高等数学课件D11_1对弧长的曲线积分
11.1对弧长的曲线积分
11.1对弧长的曲线积分《高等数学》同济高等数学精品课第11章曲线积分与曲面积分curvillnear integral and surface integral同济高等数学精品课第一节第一类曲线积分问题的提出对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的计算几何意义与物理意义小结思考题作业3第十章曲线积分与曲面积分同济高等数学精品课对弧长的曲线积分一、问题的提出实例曲线形构件的质量匀质之质量M s 分割M1 , M 2 , , M n 1OAByL( i , i ) M iM1 M 2M n 1M i 1si取近似取( i , i ) si , M i ( i , i ) six求和M ( i , i ) sii 1 nn近似值精确值4取极限M lim ( i , i ) si 0i 1同济高等数学精品课对弧长的曲线积分二、对弧长的曲线积分的概念设L为xOy面内一条光滑曲线弧, ① 函数 f ( x , y ) 在L上有界. 在L上任意插入一点列M1 , M 2 , , M n 11.定义把L分成n个小段. 设第i个小段的y长度为si ,又( i , i )为第i个小段上任意取定的②作乘积f ( i , i ) si , 一点, ③ 并作和f ( i , i ) si ,i 1 n( i , i ) M iLM n 1B④ 如果当各小弧段的长度的最大值0时,OAM1 M 2M i 1six5同济高等数学精品课对弧长的曲线积分n注意: 被积表达式都定义在曲线上, si f ( i , i ) 即满足曲线的方程 . i 1 这和的极限存在, 则称此极限为函数f ( x , y ) 在曲线弧L 对弧长的曲线积分或记作第一类曲线积分. 被积函数L f ( x, y )ds, 即nf ( i , i ) si L f ( x, y )ds lim 0 i 1积分弧段弧元素L积分和式曲线形构件的质量M ( x , y )ds6同济高等数学精品课对弧长的曲线积分2. 存在条件当f ( x , y )在光滑曲线弧L上连续,对弧长的曲线积分3. 推广L f ( x, y )ds 存在.函数f ( x , y , z )在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为f ( x , y , z )ds lim f ( i , i , i ) si 0i 1n同济高等数学精品课对弧长的曲线积分注意(1) 若L (或)是分段光滑的, ( L L1 L2 )L L12f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )dsL1 L2(对路径具有可加性)( 2) 函数f ( x , y )在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作L f ( x, y )ds8同济高等数学精品课对弧长的曲线积分4. 性质(1)L[ f ( x, y ) g( x, y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds L L(2)L kf ( x, y )ds k L f ( x, y )ds (k为常数) L ⌒ f ( x, y )ds ( AB )L (⌒ BA)(3) 与积分路径的方向无关, 即f ( x , y )ds同济高等数学精品课对弧长的曲线积分补充在分析问题和算题时常用的对称性质设函数f ( x运用对称性简化对弧长的曲线积分, y ) 在一条光滑(或分段光滑)的计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x , y )与积曲线L上连续, L关于x=0 (或y=0) 对称, 则分曲线L的对称性.L f ( x, y )ds1当f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的奇函数0 , 2 f ( x , y )ds , 当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的偶函数LL1是曲线L落在y (或x) 轴一侧的部分.同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例计算( x y )ds . 其中L是圆周x 2 y 2 R 2 . L3解对称性,得yL Lx 2 y 2 R2L( x y 3 )ds xds y 3ds 0LOx对xds , 因积分曲线L关于x=0对称,被积函数x是L上关于x的奇函数对y 3ds , 因积分曲线L关于y=0对称, LLxds 0被积函数y 3是L上关于y的奇函数y 3ds 0 L11同济高等数学精品课对弧长的曲线积分三、对弧长曲线积分的计算解法化为参变量的定积分计算定理设f ( x , y )在曲线弧L上有定义且连续, x (t ) L的参数方程为( t ),其中y (t )( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且Lf ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt对弧长的曲线积分要求ds 0 (1)化为定积分的下限一定要小于上限(2) 积分值与曲线方向无关.注意( )同济高等数学精品课对弧长的曲线积分Lx (t ) L的参数方程为( t ), y (t ) f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt特殊情形(1) L : y ( x ), a x b( )L f ( x, y )ds Lbaf [ x , ( x )] 1 2 ( x )dx (a b)ds 1 2 ( x )dx (2) L : x ( y ), c y df ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy (c d ) c13dds 1 2 ( y )dy同济高等数学精品课对弧长的曲线积分x (t ) L的参数方程为( t ), y (t )L f ( x, y )ds f [ (t ), (t ) ] 特殊情形(3) L : ( ),2 (t ) 2 (t )dt( )f [ ( ) cos , ( ) sin ] 2 ( ) 2 ( )dL f ( x , y )ds推广: x ( t ), y ( t ), z ( t ) ( t )f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( ) 14f ( x , y , z )ds同济高等数学精品课对弧长的曲线积分如果积分路径L是两个曲面的交线1 ( x , y , z ) 0 z f ( x, y) 或z g( x , y ) 2 ( x , y , z ) 0此时需把它化为参数方程(选择x , y , z中某一个为参数), 再按上述方法计算.同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例1求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到Ly ( 0 y 2) 解y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 32( 2,2)的一段.对x积分?2yy2 2x( 2,2)Ox例2 求I xyzds , 其中: x a cos , y a sin ,z k 的一段. (0 2 )解I2a 2 cos sin k a 2 k 2d1 2 2 2 ka a k 2同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例3 计算L | y | ds, 其中L是右半圆周, 即2⌒ 如图)的解由曲线L(半圆周ABC 2 2 2 方程x y R , 得ds 1 y 2dxx y R ( x 0).2 2AyLB xOCR x2 y2 dx dx 2 | y| yL R 0| y | ds AB ⌒ | y |d s ⌒ | y | d s BCR R R dx 2 R 2 | y | dx | y |0 | y| | y|17同济高等数学精品课对弧长的曲线积分计算| y | ds , 其中L是右半圆周,即L x 2 y 2 R 2 ( x 0).解此题时也可用对称性质L关于x轴对称, | y | 为y的偶函数,故AyLB xL | y | ds 2 ⌒ ydsABOC2R02R y dx y2R同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例4 求I x 2 d s ,x2 y2 z2 a2 , 其中为圆周x y z 0.解由于的方程中的x, y, z的地位完全对称, 有1 2 2 2 ( x y z )ds I 3 2 a 2 a 3 ds 3 3x 2ds y 2d s z 2ds( 2 a ds, 球面大圆周长)19同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例5 曲线是中心在( R, 0), 半径为R2 2的上半圆周.求提示:用极坐标( x y ) ds同济高等数学精品课对弧长的曲线积分四、几何意义与物理意义几何意义(1) 当f ( x , y ) 1时, L 弧长。
对弧长的曲线积分
n
0 时， (i ，i )si 的极限即为曲线形构件的质量，即 i 1
n
M
lim
0
i 1
(i
，i )si
．
上述例子是通过“分割、近似、求和、取极限”的方法来计算密度不均匀的曲
线形构件质量，对该过程进行提炼，便可得到对弧长的曲线积分的概念．
1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
2．概念与性质
例，叙述其性质．
1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
性质 1 设 ， 为常数，则
L[ f (x ，y) g(x ，y)]ds L f (x ，y)ds L g(x ，y)ds ．
性质 2（可加性） 若曲线弧 L 是由两段光滑的曲线弧 L1 和 L2 组成，则
f (x ，y)ds f (x ，y)ds f (x ，y)ds ．
以上定理可推广到空间曲线弧 ．设 的参数方程为
x (t) ，yBiblioteka (t)，(t
)，
z (t) ，
则有
f (x ，y ，z)ds f [(t) ， (t) ，(t)] 2 (t) 2 (t) 2 (t)dt ( ) ．
Γ
这里(t) ， (t) ，(t) 连续且不同时为零．
1.2 对弧长的曲线积分的计算 例 1 计算曲线积分 yds ，其中 L 是抛物线 y x2 上点 O(0 ，0) 与点 B(1，1) 之
L
L1
L2
性质 3 设曲线弧 L 的弧长为 s，则 L ds s ．
性质 4 若在曲线弧 L 上有 f (x ，y) g(x ，y) ，则
L f (x ，y)ds L g(x ，y)ds ，
特别地，有
L f (x ，y)ds L f (x ，y)ds ．
高等数学课件--D11_1对弧长曲线积分
k 1
2 2
n
注意 (t ) (t ) 连续
lim f [ ( k ) lim( k ) f ( k , k ) sk , ] 0
0
k 1 k 1
2012-10-12 同济版高等数学课件
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n
n
因此
2012-10-12
2 cos ( 2 sin )
2
( 2 sin )
I 9
2
d 2d
2 0
2π
2 d 18 π
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例7. 有一半圆弧 其线密度 求它对原点处单位质量质点的引力.
解: d Fx k
d Fy k
目录
如果曲线 L 的方程为
则有
a
b
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f ( r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
y O
L
y ds
( )
2
L R x
x R cos L: y R sin
3
R sin
2
2
2
( R sin ) ( R cos ) d
3
2
2
sin 2 R sin d 2 R 2 4
z ds
2
x ds
高等数学-第七版-课件-11-1 对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念 二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算
四 、对弧长的曲线积分的应用
曲线弧的质心
x
L
x ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
y
L
y ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
(3) 在上述公式中,下限α一定小于上限β. (4) 口诀:变量参数化、一小二起下.
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
特例 (1)
y ( x ) ( x0 x X ) L：
对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念
二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算 四 、对弧长的曲线积分的应用
线性性质
f( x, y) g( x, y) ds f ( x, y)ds g( x, y)ds. L L L
可加性
则曲线积分 L f ( x , y )ds存在, 且
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
注
(1) 对弧长的曲线积分的计算归结为计算一个定积分!
(2) 化为定积分中的三个变化 L f(x,y) ds [α,β] f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
三 变 、 一 注 意
[α,β] 积分弧段 L 被积函数 f ( x , y ) f ( ( t ), ( t )) 弧长元素 ds 2 ( t ) 2 ( t )dt 一点注意 下限一定小于上限
对弧长曲线积分课件
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
高等数学11.1对弧长的曲线积分
一、问题的提出
B L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M1
物质曲线Ｌ的质量M
A
o 分割 M 1 , M 2 , , M n1 其中一段弧为 si , 近似 取 ( i ,i ) si , M i ( i , i ) si .
x
近似值
(2)
f ( x , y ) 1,
L 弧长 ds ; L
z f ( x, y)
(3) 当 f ( x , y )表示立于L上的柱面
在 ( x , y ) 处的高时
S
柱面面积
s
L
L
f ( x , y )ds .
三、第一类曲线积分的计算
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续 , x ( t ), ( t ) L的参数方程为 : y ( t ), 其中 ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数 , 且
( )
ds
r ( ) r ( )d ,
2 2
s
r 2 ( ) r 2 ( )d .
第十一章 曲线积分与曲面积分
定积分的积分区域： OX轴上的[a,b] 二重积分： 平面区域D 三重积分：空间区域Ω
§1.
一、问题的提出
对弧长的曲线积分
y
两个端点为Ａ，Ｂ， 设有物质曲线Ｌ， 线密度为 在Ｌ上任意一点 M ( x , y ) 处，
纯粹物理的目的是揭示我们这个可 以认识的世界的规律，纯粹数学的目的 则是揭示人类认识能力的规律。 西尔维斯特（英国数学家） 数学是打开科学大门的 钥匙……轻视数学将造成对 一切知识的危害。 F.培根（英国思想家）
《对弧长的曲线积分》课件
其他实际问题中的应用
曲线积分可用于电路和工程学中描述电流和磁场的 路径积分。
四、总结
曲线积分和弧长的关系
曲线积分可以使用弧长来表示。曲线积分的计算 基于弧长。
总结和拓展
通过本课程，您已经了解了对弧长的曲线积分的 基本概念，计算方法和应用。您还可以拓展研究 其他应用，如计算弯曲量和曲率。
五、参考文献
曲线积分的计算可以分为第一型和第二
股定理计算弧长。
型的积分。第一型积分是对曲线在各点
的函数值进行积分，第二型积分是对曲
线的切线和每点法向量的积进行积分。
3
面积的计算
利用二重积分的方法，可以计算由曲线 围成的面积。这种计算有时是研究曲线 性质的关键。
三、应用
物理学中的应用
曲线积分可用于描述物理学上的某些概念，如力和 能量的路径的课程。本次课程将介绍如何计算弧长和曲 线积分，以及其应用于物理学和其他实际问题中。我们将深入研究这一主题， 让您从中受益。让我们开始吧！
一、基本概念
曲线积分的定义
曲线积分是指在弧线上的积分。它可以用来计算弧线上某些量的累积变化，如速度、位移和 质量分布。
弧长的概念
弧长是曲线从起点到终点的长度。它是计算曲线积分的基本量。
曲线的参数方程与弧长公式
曲线的参数方程可以用来方便地计算弧长。通常采用勾股定理和导数的知识来推导弧长公式。
二、计算方法
1
利用参数方程计算弧长
通过曲线的参数方程，我们可以得到它
曲线积分的计算方法
2
在每个点的切线，从而确定其弧长。通 过把切线摆放为三角形，我们可以用勾
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第19讲 对弧长的曲线积分
§11.1 对弧长的曲线积分1、主要教学目标(1)对弧长的曲线积分的概念与性质 (2)对弧长曲线积分的计算(3)对弧长曲线积分的几何与物理意义及应用 2、重点内容对弧长曲线积分的计算 3、难点分析对弧长曲线积分的计算中，参数方程的确定及直角坐标、极坐标、参数方程三种情形下曲线积分计算公式 4、对教材的处理及其教学提示(1)注意教材在该部分的淡化，要注意考研的需求，介绍参考书； (2)注意线、面积分的性质局限在线性、可加、符号范畴；(3)曲线、曲面积分重在讲授转化成定积分的思想方法，定积分计算不宜过难； (4)注意构建第一类线、曲积分计算法与曲线长度、曲面面积计算的知识结构体系；5、作业布置 P190：3(2，3，5)教案内容一、问题的提出实例：曲线形构件的质量匀质之质量.s M ⋅=ρ 分割,,,,121i n s M M M ∆→-Λ,),(i i i s ∆∈ηξ取.),(i i i i s M ∆⋅≈∆ηξρ求和.),(1∑=∆⋅≈ni i i i s M ηξρ近似值取极限.),(lim1∑=→∆⋅=ni iiis M ηξρλ精确值二、对弧长的曲线积分的概念与性质1.平面上对弧长的曲线积分y上对弧长的曲线积分在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设L y x f s f s f i s i n L L y x f xoy L ni i i i i i i i i i ),(,,0,),(,),(,),(,..),(,1→∆⋅∆⋅∆∑=ληξηξηξ.),(lim ),(,),(1∑⎰⎰=→∆⋅=ni i i i LL s f ds y x f ds y x f ηξλ即记作2.空间中对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分为在空间曲线弧函数Γ),,(z y x f.),,(lim ),,(1i ni i i i s f ds z y x f ∆⋅=∑⎰=→Γζηξλ3.曲线积分的存在性.),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当⎰L ds y x f L y x f4.分段光滑的曲线上对坐标的曲线积分)(,)(21L L L L +=Γ是分段光滑的或若.),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f5.闭曲线积分.),(),(⎰Lds y x f L y x f 为上对弧长的曲线积分记在闭曲线函数 6.对弧长的曲线积分的性质.),(),()],(),([)1(⎰⎰⎰±=±LLLds y x g ds y x f ds y x g y x f).(),(),()2(为常数k ds y x f k ds y x kf LL⎰⎰=.),(),(),()3(21⎰⎰⎰+=L L Lds y x f ds y x f ds y x f ).(21L L L +=三、对弧长的曲线积分的计算法1.定理(计算曲线积分的公式)的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设L L y x f ,),())((),(βαψϕ≤≤==t t y t x)()()()](),([),(,],[)(),(22βαψϕψϕβαψϕβα<'+'=⎰⎰dt t t t t f ds y x f t t L则上具有一阶连续导数在其中例1 ).(,sin ,cos :,象限第椭圆求I ⎩⎨⎧===⎰t b y t a x L xyds I L解答要点：dt t b t a t b t a I 2220)cos ()sin (sin cos +-⋅=⎰πdt t b t a t t ab 222220cos sin cos sin +=⎰π⎰-=ab du u b a ab 222)cos sin (2222t b t a u +=令.)(3)(22b a b ab a ab +++=2.其它计算公式.)(:)1(b x a x y L ≤≤=ψ.)(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f baL⎰⎰'+=ψψ)(b a <.)(:)2(d y c y x L ≤≤=ϕ.)(1]),([),(2dy y y y f ds y x f dcL⎰⎰'+=ϕϕ)(d c <)().(),(),(:)3(βαωψϕ≤≤===Γt t z t y t x)()()()()](),(),([),,(222βαωψϕωψϕβα<'+'+'=⎰⎰Γdt t t t t t t f ds z y x f3.应注意的问题;.1βα一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f例2 .)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求-==⎰x y L yds I L解答要点：dy y y I 222)2(1+=⎰-.0= 例3 ⎰Γ=xyzds I 求，其中)20(,sin ,cos :πθθθθ≤≤===Γk z a y a x解答要点：⎰+⋅=πθθθθ20222sin cos d k a k a I .21222k a ka +-=π例4 ⎩⎨⎧=++=++Γ=⎰Γ.0,,22222z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解答要点：由对称性, 知.222⎰⎰⎰ΓΓΓ==ds z ds y ds xxy 42=⎰Γ++=ds z y x I )(31222故⎰Γ=ds a 32.323a π=),2(球面大圆周长⎰Γ=ds a π例5 计算曲线积分ds z y x )(222++⎰Γ, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t从0到达2π的一段弧.解 在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=, 于是ds z y x )(222++⎰Γ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=.四、几何与物理意义,),()1(的线密度时表示当L y x ρ;),(⎰=Lds y x M ρ;,1),()2(⎰=≡Lds L y x f 弧长时当,),(),()3(处的高时在点上的柱面表示立于当y x L y x f.),(⎰=Lds y x f S 柱面面积,)4(轴的转动惯量轴及曲线弧对y x .,22⎰⎰==Ly L x ds y I ds x I ρρ曲线弧的重心坐标)5(.,⎰⎰⎰⎰==LL L L dsds y y dsds x x ρρρρ 五、小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用。
11-1对弧长的曲线积分-PPT精品文档31页
f(x ,y ) d s b f[x ,(x )1 ]2 (x ) d.x(ab)
L
a
西南科技大学理学院
( 2 ) L : x ( y ) c y d .
f(x ,y ) d s df[(y )y ] ,1 2 (y ) d .y
L
c
(cd)
西南科技大学理学院
2 、 x 2 yzds , 其 中 L 为 折 线 ABCD , 这 里 A , B , C , D 依 次 为 点 (0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；
3 、 ( x 2 y 2 )ds , 其 中 L 为 曲 线 L
x a (cos t t sin t )
西南科技大学理学院
4.性质
( 1 ) L [ f ( x , y ) g ( x , y ) d ] L f s ( x , y ) d L g s ( x , y ) d . s
(2 )L k(x f,y )d s k L f(x ,y )ds (k 为)常 . 数
积分弧段
曲线形构件的质量 ML(x,y)d.s
西南科技大学理学院
2.存在条件：
当f(x, y)在光滑曲 L上线 连弧 ,续 对时 弧长的曲线
Lf(x,y)ds存.在
3.推广:
函数 f(x,y,z)在空间 曲 上线 对弧 弧长的曲线积
n
f(x ,y,z)d sl i0im 1f(i,i,i) si.
y
a (sin
t t cos
t)
(0 t 2 ) ；
4、 计 算 L y ds ,其 中 L 为 双 纽 线
高等数学：11-1对弧长的曲线积分
L
L
从而
(x2 y)ds x2ds 1 (x2 y2 )ds ．
L
L
2L
因为点(x, y) 位于 L 上，所以 x, y 满足 L 的方程，即有 x2 y2 1，
故
(x2 y)ds 1 ds 1 L的周长 1 2 ．
L
2L 2
2
注：解法二表明在计算过程中，可将曲线方程直接代入被积函数中．
(11.1.4)
a
注：式(11.1.1),(11.1.2),(11.1.3) ，和 (11.1.4) 中，积分下限小于积分上限．
16-12
例 11.1.1 计算曲线积分 x2 y2ds ，其中 L 是由圆周x2 y2 a2(a 0) ， L
直线 y x 以及 x 轴在第一象限中所围平面图形的边界．
数，则
f (x, y)ds
b
f (x, y(x))
1 y2(x)dx ．
L
a
(11.1.2)
16-11
（续定理）如果曲线 L 的方程为 x x( y) (c y d ) ，且x( y) 在[c,d ] 上具有
连续导数，则
f (x, y)ds
d
f (x( y), y)
1 x2( y)dy ．
16-4
n
⑶ 求和：得柱面 面积的近似值S h(i ,i )si ． i1
⑷ 取极限：令 0，则有 的面积
n
S
lim
0
i1
h(i ,i )si
．
㈡ 曲线形物体的质量
设有平面上的曲线状物体，占有 xOy 坐标面上的
曲线段 L （见图 11-1-2），在 L 上任一点(x, y) 处，其线密
11-1对弧长曲线积分重新学习-16页PPT精品文档
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
15 - 2
Tuesday, September 17, 2019
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
y 1.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件
在x o y面上所占 弧段为AB , A
其线密度为
o
x
现计算此构件的质量。
高等数学A(下）
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Tuesday, September 17, 2019
被积函数
n
Lf(x ,y)d s l i0im 1f(i, i) si
积分和式
积分弧段
曲线形构件的质量 ML(x,y)d.s
2.存在条件：
当 f(x,y)在光滑 L上 曲连 线 ,对 续 弧 弧 时长的
曲线L积 f(x,y分 )d存 s .在
3.推广 函f数 (x,y,z)在空间 上 曲对 线弧 弧 曲长 线
推广: 设空间曲线弧的参数方程为 : x ( t ) y , ( t ) , z ( t ) ( t )
则 f(x,y,z)ds f((t),(t) ,(t))2 (t) 2 (t) 2 (t)d t
高等数学A(下）
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基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
L f( x ,y ) d s f[( t) ,( t)] 2 ( t) 2 ( t) d t
y
ds(d x)2(d y)22(t)2(t)dt
d s dy dx
g(x,y,z)ds(,为常数 )
( 2 ) f( x ,y ,z ) d s 1 f( x ,y ,z ) d s 2 f( x ,y ,z ) d s
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b f (x,ψ (x) )
a
1+ψ ′2(x) dx
如果方程为极坐标形式: L : r = r(θ ) (α ≤ θ ≤ β ), 则
∫L f (x, y)ds
∫=
β f (r(θ ) cosθ , r(θ )sinθ
α
)
r 2 (θ ) + r′2 (θ ) dθ
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
= ϕ′2 (τ k′ ) +ψ ′2 (τ k′ ) Δtk , τ k′ ∈[ tk −1 ,tk ]
∫ 则 f (x, y) ds
L
n
∑ =
lim
λ →0
k
f
=1
[ϕ
(τ
k
)
,ψ
(τ
k
)
]
ϕ′2 (τ k′ ) +ψ ′2 (τ k′ ) Δtk
注意 ϕ′2 (t) +ψ ′2 (t ) 连续
f (x, y, z) ds
Γ
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z)在曲线 Γ上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
Mk MΔskk−1
f (x, y, z)称为被积函数，Γ 称为积分弧段 .
Γ
曲线形构件的质量 M = ∫Γ ρ (x, y, z) ds
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∫ ∫ ∫ (3) f (x, y, z) ds = f (x, y, z) ds + f (x, y, z) ds
Γ
Γ1
Γ2
( Γ 由 Γ1 , Γ2 组成)
∫ (4) ds = l Γ
( l 为曲线弧 Γ 的长度)
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
L
α
证: 根据定义
n
∫ ∑ L
f
(x,
y) ds
=
lim
λ →0 k =1
f
(ξk
,ηk
)Δsk
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设各分点对应参数为 tk ( k = 0,1, , n ),
点 (ξk ,ηk )对应参数为 τ k ∈[ tk −1 ,tk ],
∫ Δsk =
tk tk −1
ϕ′2 (t ) +ψ ′2 (t ) d t
Γ : x = φ (t), y =ψ (t), z = ω(t) (α ≤ t ≤ β )
则 ∫Γ f (x, y, z)ds
∫=
β f (ϕ (t) ,ψ (t),ω(t) )
α
ϕ′2 (t) +ψ ′2 (t) + ω′2 (t) d t
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∫ 例1. 计算 xds , 其中 L 是抛物线 y = x2 上点 O (0,0) L
n
∑ =
lim
λ →0
k
=1
f
[ϕ
(τ
k
)
,ψ
(τ
k
)
]
ϕ′2 (τ k ) +ψ ′2 (τ k ) Δtk
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因此
∫L f (x, y) ds ∫= β f [ϕ (t ),ψ (t )] ϕ′2 (t ) +ψ ′2 (t ) d t
α
说明:
(1)∵ Δsk > 0, ∴Δtk > 0,因此积分限必须满足 α < β !
第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲面域
曲线积分 曲面积分
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
第一节
第十一章
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
A
λ →0 k =1
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2.பைடு நூலகம்义
设 Γ 是空间中一条有限长的光滑曲线, f (x, y, z)是定
义在 Γ上的一个有界函数, 若通过对 Γ 的任意分割 和对
局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
(ξk ,ηk ,ζ k )
∑ = ∫ n
记作
lim
λ →0
k =1
f
(ξk ,ηk ,ζ k )Δsk
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的曲线积
分为
n
∫ ∑ L
f
(x,
y) ds
=
lim
λ →0 k =1
f
(ξk
,ηk
)Δsk
如果 L 是闭曲线 , 则记为 ∫L f (x, y) ds.
思考:
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 ∫L d s 表示什么?
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?
否! 对弧长的曲线积分要求 ds ≥ 0 , 但定积分中
dx 可能为负.
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3. 性质
(1) ∫Γ[ f (x, y, z) ± g(x, y, z) ]ds = ∫Γ f (x, y, z) ds ± ∫Γ g(x, y, z) ds
(2) ∫Γ k f (x, y, z) ds = k ∫Γ f (x, y, z) ds （k 为常数)
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件在空间所占
弧段为AB , 其线密度为 ρ (x, y, z),
为计算此构件的质量, 采用
(ξk ,ηk ,ζ k )
Mk MΔskk−1
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
n
∑ 可得 M = lim ρ (ξk ,ηk ,ζ k )Δsk
例2. 计算半径为 R ,中心角为2α 的圆弧 L 对于它的对
定理: 设 f (x, y) 是定义在光滑曲线弧
L : x = ϕ (t ), y =ψ (t) (α ≤ t ≤ β )
∫ 上的连续函数, 则曲线积分 f (x, y) ds 存在, 且 L
∫ ∫ f (x, y) ds = β f [ϕ (t ) ,ψ (t )] ϕ′2 (t ) +ψ ′2 (t ) d t
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: ∵ L : y = x2 ( 0 ≤ x ≤ 1)
∫ ∫ ∴
xds =
1
x⋅
1+ (2x)2 dx
L
0
∫=
1
x
1+ 4x2 dx
0
=
⎡ ⎢⎣
1 12
(1
+
4x
2
)
3
2
⎤ ⎥⎦
1 0
y B(1,1) y = x2
L
o
1x
= 1 (5 5 −1) 12
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(2) 注意到
ds = (d x)2 + (d y)2
= ϕ′2 (t ) +ψ ′2 (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”.
y
ds dy dx
o xx
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如果曲线 L 的方程为 y =ψ (x) (a ≤ x ≤ b ),则有
∫ ∫ f (x, y)ds =