高考数学一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法教案

数列的概念与简单表示法
【教学目标】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、公式法)．
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
【重点难点】
1.教学重点：了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、公式法)．；
2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
递减数列的定义，
再由指数函数性质得结合等差数列的定
D.
，再由
则
1
N *
(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
知识点5 a n 与S n 的关系
若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，
则a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
S 1，
n ＝，
S n －S n －1，
n
名师点睛：1．必会结论
在数列{a n } 中，若a n 最大，则⎩⎪⎨
⎪⎧
a n ≥a n －1，
a n ≥a n ＋1.若a n 最
小，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ≤a n －1，
a n ≤a n ＋1.
2．必知联系；数列中的数与集合中的元素的区别与联系：
(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，则它们是不同的数列．这区别于集合中元素的无序性． (2)数列中的数可以重复出现而集合中的元素不能重复出现． 考点分项突破
考点一：由数列的前几项归纳数列的通项公式 1．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A ．a n ＝n 2
－(n －1)
B ．a n ＝n 2－1
C ．a n ＝n n ＋
2
D ．a n ＝
n n －
2
【解析】 观察数列1,3,6,10，…可以发现
1＝1， 3＝1＋2，
6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，
…
第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝
n n ＋
2
.
∴a n ＝
n n ＋
2
.【答案】 C
2．数列{a n }的前4项是32，1，710，9
17，则这个数列的
一个通项公式是a n ＝________.
【解析】 数列可以看作32，55，710，9
17，…，
分母可以看作12
＋1,22
＋1,32
＋1,42
＋1，
第n 项分母为n 2＋1，分子可以看作2×1＋1,2×2＋1,2×3＋1,2×4＋1，第n 项分子为2n ＋1，故a n ＝2n ＋1
n 2＋1. 【答案】
2n ＋1
n 2＋1
归纳： 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
2．具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k
或(－1)
k ＋1
，k ∈N *
处理．
考点二: 由a n 与S n 的关系求通项
(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1
3，则{a n }的通项
公式a n ＝________.
(2)已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：①S n ＝2n 2
－3n ；②S n ＝3n
＋b .
【解析】 (1)由S n ＝23a n ＋13得，当n ≥2时，S n －1＝2
3
a n
－1
＋1
3
，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又n ＝1时，
＝3a＋
3
，∴
当b≠－1时，a n＝{3＋b，n＝1，n－1，n≥2.
归纳：已知S n 求a n 的三个步骤 1．当n ＝1时，a 1＝S 1. 2．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.
3．对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时
a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合
写；如果不符合，则a n 应写成分段函数的形式，即a n
＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2.
考点三: 由数列的递推公式求通项公式 1.根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式：
(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1n ；
(2)a 1＝1，a n ＋1＝2n
a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.
【解】 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n ，
∴a n －a n －1＝ln ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋
1n －1＝ln n
n －1
(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝ln
n
n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 3
2
＋ln 2＋2 ＝2＋ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2)． 又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *
)． (2)∵a n ＋1＝2n
a n ，∴a n a n －1
＝2n －1
(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1
·a 1＝2n －1·2n －2
·…·2·1＝2
1＋2＋3＋…＋(n －1)
＝2n n －1
2
.又a 1＝1适合上式，故
a n ＝2
n n －1
2
.
(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＋1＝2·3
n －1
，
因此a n ＝2·3n －1
－1. 跟踪训练：
1.根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2；
(2)a 1＝1，a n ＝n －1
n
a n －1(n ≥2)；
(3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.
【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－
a 1)＋a 1＝n 3n ＋1
2
(n ≥2)．
当n ＝1时，a 1＝1
2×(3×1＋1)＝2适合上式，
∴a n ＝32n 2＋n 2.
(2)∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1
n (n ≥2)， ∴a n
＝
a n a n －1
·
a n －1a n －2
·…·
a 2a 1
·a 1＝
n －1n ·n －2n －1·…·12·1＝1
n
， 当n ＝1时适合上式，故a n ＝1n
.
(3)∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2.∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＋1＝2·2
n －1
，∴a n ＝2n
－1.
归纳：典型的递推数列及处理方法 递推式
方法 示例
a n ＋1＝ a n ＋f (n ) 叠加法
a 1＝1，a n ＋1
a n
＝f (n ) 叠乘法 a 1＝1，
＋1＝pa n ＋q ≠0,1，q ≠0) 化为等 比数列 a 1＝1，a 1＝pa n ＋q ·
化为等
a 1＝1，a n ＋。