电磁场理论(第二章)1
电磁场复习纲要
《电磁场理论》知识点第一章 矢量分析一、基本概念、规律矢量微分算子在不同坐标系中的表达，标量场的梯度、矢量场的散度和旋度在不同坐标系中的计算公式，常用的矢量恒等式（见附录一1.和2.)、矢量积分定理（高斯散度定理、斯托克斯旋度定理及亥姆霍兹定理）。
二、基本技能练习1、已知位置矢量z y x e z e y ex r ˆˆˆ++=ρ，r 是它的模。
在直角坐标系中证明 （1）r r r ρ=∇ （2）3=•∇r ρ （3）∇×0=r ρ （4）∇×(0)=∇r （5）03=•∇r rρ2、已知矢量z y e xy e x eA z y x 2ˆˆˆ++=ϖ，求出其散度和旋度。
3、在直角坐标系证明0A ∇⋅∇⨯=r4、已知矢量y x e eA ˆ2ˆ+=ϖ，z x e eB ˆ3ˆ-=ϖ，分别求出矢量A ϖ和B ϖ的大小及B A ϖϖ⋅ 5、证明位置矢量x y z r e x e y e z =++r r r r的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。
6、矢量函数z y x e x e y ex A ˆˆˆ2++-=ϖ，试求 （1）A ϖ⋅∇（2）若在xy 平面上有一边长为2的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量A ϖ穿过此正方形的通量。
第二章 静电场一、基本常数真空中介电常数0ε二、基本概念、规律静电场、库仑定律、电场强度、电位及其微分方程、电荷密度、电偶极子模型、高斯定理、环路定理、极化强度矢量、电位移矢量、场方程（真空中和电介质中）、介质性能方程，边界条件，场能及场能密度。
三、基本技能练习1、设非均匀介质中的自由电荷密度为ρ，试证明其中的束缚电荷密度为)(00εεερεεερ-∇•---=D b ρ。
2、证明极化介质中，极化电荷体密度b ρ与自由电荷体密度ρ的关系为：ρεεερ0--=b 。
3、一半径为a 内部均匀分布着体密度为0ρ的电荷的球体。
求任意点的电场强度及电位。
电磁场中的基本物理量
解： （1）
I
J dS
S
2 0
10r r 1.5 2
0
sin d d
|r 1mm
40 r 0.5 |r1mm 3.97( A)
（2）在球面坐标系中
d
dt
J
1 r2
d dr
r 210r 1.5
5r 2.5 |r1mm 1.58 108 A / m3
由电流强度定义：
dq I dt S J (r ) ds dt
V
s J (r )
ds
dq dt
d dt
V
(r )dV
即
J(r)d S
d
(r )dV
S
dt V
电荷守恒定 律积分形式
在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体
积分，得
V ( J )dV V t dV
J
eR
z dEz
dE
由对称性和电场的叠加性，合电场只有z
分量，则
E z ez
l dEz
ez l 4 0
l
cos
R2
dl
R
l
r0 O
dl
ez l
4 0
l
z R3
dl
ez l 4 0
z R3
l
dl
2 rl z 4 0 R3
ez
qz
40 R3
ez
结果分析
（1）当z→0，此时P点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消，
J v v v 0
面电流密度
当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时， 电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量
电磁场理论知到章节答案智慧树2023年齐鲁工业大学
电磁场理论知到章节测试答案智慧树2023年最新齐鲁工业大学第一章测试1.下列应用属于电磁场范围的有（）。
参考答案:磁悬浮列车;立体电影;北斗导航系统;隐形飞机2.矢量场中某点的旋度是一个矢量，其大小等于该点的，其方向为（）参考答案:最大环量密度，取得最大环量的环面的法线方向。
3.某标量场的方向导数为一矢量。
（）参考答案:对4.只有大小没有方向的量为标量，电场为标量。
（）参考答案:错5.既有大小又有方向的量为矢量，磁场为矢量。
（）参考答案:对6.由空间某点处的散度值可以判断该点处通量源的情况。
（）参考答案:对7.由空间处的环量可以推断源的分布特性。
（）参考答案:错8.赫姆霍兹定理表明任一矢量场都可以表示成一个无散场和一个无旋场之和。
（）参考答案:对9.矢量场中每一点处的旋度均为0，则称该矢量场为无旋场。
（）参考答案:对10.矢量场中每一点处的散度均为0，则称该矢量场为无散场。
（）参考答案:对第二章测试1.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J，其国际单位为（）参考答案:安培/平方米2.电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质为（）参考答案:电介质3.麦克斯韦方程组不包含以下哪种定律（）参考答案:牛顿4.在两种理想介质分界面上，磁场的切向分量连续。
（）参考答案:对5.在两种理想介质分界面上，电位移矢量的切向分量不连续。
（）参考答案:对6.在时变电磁场中，只有传导电流与位移电流之和才是连续的。
（）参考答案:对7.位移电流也要产生磁场，与传导电流一样，也是磁场的涡旋源。
（）参考答案:对8.麦克斯韦方程组表明电荷要产生电场，是电场的散度源。
（）参考答案:对9.电介质中的位移电荷在外电场的作用下产生位移的现象，称为电介质的极化。
（）参考答案:错10.当有外磁场作用时，磁介质会产生磁化现象。
（）参考答案:对第三章测试1.静态场的位函数满足的方程有（）。
参考答案:无源区，满足拉普拉斯方程；有源区，满足泊松方程2.由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，它可用（）函数的旋度来表示。
《电磁场理论》课件2
E1t E 2t J 1n J 2 n
1 E1 cos 1 2 E 2 cos 2
及
J2
α2
E1 sin 1 E 2 sin 2
tg1 tg 2
α1
J1
1 2
图2-1
式中α1、α2分别为E1、E2与法线方向的夹角（如图2-1）
⑵良导体与不良导体分界面上的衔接条件
可见
E E d l E d l E E E d l
l e l l l e
e
dl 0
2.3.3 恒定电场的基本方程
上面给出了导电媒质中恒定电场（电源外）的基本方程：
J dS 0 E dl 0
S l
两场量间的关系
2 0
因此，对于恒定电场中的某些问题，可先解拉氏方程，解出电位函 数，然后通过电位梯度求得场强E。
在两种不同导电媒质的分界面上，由电位函数表示的衔接条
件为
1 2 1 2 2 1 n n
例2-1 位为 U 0 sin
x
a
长直接地金属槽，底面、侧面电位均为零，顶盖电 。求槽内导电媒质中的电位分布。
0； 0；
U 0 sin ax ； 0。
由边界条件⑴和⑷，在解的表达式中，需选择在x=0和x=a
处都为0的函数，故应取x的周期函数，y的双曲函数。因此，
υ(x,y)的通解为
( x, y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
( An cos k n x Bn sin k n x)(C n cosh k n y Dn sinh k n y)
电磁场理论课件 2-1静电场的标势及其微分方程
(P)
Q
4 0
(1 r
1 r
)
r2 R 2 l 2 2Rl cos
Q
2l
x -Q
求近似值：
r R
1
l2 R2
2l
cos
/
R
R
1 2l cos / R
R(1 1 2l cos ) R l cos
2R
R r
y
(l R)
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos
R02 R2
20
ln
R R0
若选P0为参考点，则
(P)
ln R
ER
R
20
,
2 0 R
R0 E EZ 0
解2：
z
电荷源
dq dz z' o
r
场点
p
R
选取柱坐标：源点的坐标为（0, z'），场点的坐标为
（R, 0），考虑到导线是无限长，电场强度显然与z
无关。
这里，先求场强 E
，后求电势
E 0
D
E
这两方程连同介质的 电磁性质方程是解决 静电问题的基础。
静电场的无旋性是它的一个重要特 性，由于无旋性，我们可以引入一 个标势来描述静电场。
无旋性的积分形式是电场 沿任一闭合回路的环量等 于零，即
E dl 0
设C1和C2为P1和P2点的两 条不同路径。C1与C2合成 闭合回路，因此
量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以
密度 w 1 E D的形式在空间连续分布，场强大的地方 2
能量也大；
（4）W 1 dV中的 是由电荷分布 激发的电势； 2
电磁场电磁波 第二章+2.4+电介质
P= n p
p P lim
V 0
i
V
3
第二章 电磁场基本规律
分子或者原子团的电偶极矩的大小和方向与 外加电场强度的大小和方向有关，所以极化 强度P是外加电场强度的函数，其关系一般 比较复杂。但对于线性均匀介质，P与外加 电场成正比。另一方面，空间不同点处分子 或者原子团构成不同，极化强度也不同，P 还可能是空间的函数。如果外加电磁场是时 变的，极化强度P还可能是时间的函数。
2.4
媒质的电磁场
一、电介质的极化 电位移矢量
1、介质的极化
介质中分子和原子的正负电荷在外 加电场力的作用下发生小的位移，形 成定向排列的电偶极矩；或原子、分 子固有电偶极矩不规则的分布，在外 场作用下形成规则排列
1
第二章 电磁场基本规律
2
第二章 电磁场基本规律
pi = p
2、极化强度概念
极化强度矢量P，定 义为单位体积中分 子或原子团的电偶 极微分形式
jm磁化电流密度:表示单位时间通过单位垂直面积的磁化 电流 均匀磁化：M 为常数 ，M=0， jm=0，介质内部没有 磁化电流，磁化电流只分布在介质表面
25
第二章 电磁场基本规律
5、 磁介质中磁场的基本方程
1、磁介质中磁场的散度 在磁介质中，磁力线仍然是连续的。即： B dS 0 B 0
p
dV
p P
第二章 电磁场基本规律
5
（1）线性均匀介质中，极化迁出的 电荷与迁入的电荷相等，不出 现极化体电荷分布。
（2）不均匀介质或由多种不同结构 物质混合而成的介质，可出现 极化体电荷。 （3）在两种不同均匀介质交界面上 的一个很薄的层内，由于两种 物质的极化强度不同，存在极 化面电荷分布。
丁君版工程电磁场与电磁波答案 第二章 电磁学基本理论.
2π 0
dθ
1 0
ρS • r • 4πε0 r2 +1
1 dr r2 +1
∫ ∫ = 2π dθ 1 5r ×10-9 • r • 1 dr
0
0 4πε0 r2 +1 r2 +1
∫ = ρS 1
r2
dr
2ε0 0 (r2 +1) r2 +1
= ρS (ln(1+ 2ε 0
2
)
−
1 2
)az
=90π
a 2
⎞ ⎟⎠
r2( t ) =
d
2
+
⎛ ⎜⎝
a 2
⎞2 ⎟⎠
+
2
cos(
ωt
)⋅
d
⋅
⎛ ⎜⎝
a 2
⎞ ⎟⎠
∴
ψ
=
b 2π
μ0 I
ln
r2 (t) r1 (t )
(2) 求 εin
ε in
= − ∂ψ ∂t
= − bμ0I 2π
1 ( r2
dr2 (t) − 1 dt r1
dr1 (t ) ) dt
10z ⋅ dz (4 − z)2
az
∫ + 10−9
4πε 0
0 −2
−10 (4 −
zdz z)2
az
=
10−8 4πε 0
(− ln 2 +1− ln
2 3
−
1 )
3
⋅
az
=
5 ×10−9 2πε 0
(ln
3 4
+
2 3
)
⋅
az
=
北工大_电磁场理论选填答案
第二章电磁场根本规律一 选择题： 1．所谓点电荷是指可以忽略掉电荷本身的〔 C 〕A ．质量B ．重量C ．体积D ．面积2．电流密度的单位为〔 B 〕A ．安/米3B ．安/米2C ．安/米D ．安3．体电流密度等于体电荷密度乘以〔 C 〕A ．面积B ．体积C ．速度D ．时间4．单位时间通过某面积S 的电荷量，定义为穿过该面积的〔 B 〕。
A ．通量B ．电流C ．电阻D ．环流5．静电场中两点电荷之间的作用力与它们之间的距离〔 C 〕A ．成正比B ．平方成正比C ．平方成反比D ．成反比6．电场强度的方向与正试验电荷的受力方向〔 A 〕A ．一样B ．相反C ．不确定D ．无关7．两点电荷所带电量大小不等，放在同一电场中，那么电量大者所受作用力〔A 〕A ．更大B ．更小C ．与电量小者相等D ．大小不定8.静电场中试验电荷受到的作用力与试验电荷电量成( A )关系。
A.正比B.反比C.平方D.平方根9．在静电场中，D 矢量，求电荷密度的公式是〔 B 〕A ．ρ=×DB ．ρ=·DC ．ρ=D D ．ρ=2D10．一样场源条件下，均匀电介质中的电场强度值为真空中电场强度值的〔 D〕 A ．ε倍 B ．εr 倍C ．倍ε1D ．倍r1ε11.导体在静电平衡下，其部电场强度( B )A.为常数B.为零C.不为零D.不确定12.真空中介电常数的数值为( D )×10-9×10-10F/m×10-11×10-12F/m13.极化强度与电场强度成正比的电介质称为( C )介质。
A.均匀B.各向同性C.线性D.可极化14. 静电场中以D表示的高斯通量定理，其积分式中的总电荷应该是包括( C )。
A. 整个场域中的自由电荷B. 整个场域中的自由电荷和极化电荷C. 仅由闭合面所包的自由电荷D. 仅由闭合面所包的自由电荷和极化电荷15．电位移矢量D=0 E+P，在真空中P值为〔 D 〕A．正B．负C．不确定D．零16．真空中电极化强度矢量P为〔 D 〕。
电磁场的源与边界条件
根据安培环路定理可得恒定磁场的磁感应强度 B 的旋度为
当有磁介质存在时，上式变为
B 0J B 0 (J JM )
式中 J 为传导电流密度， J M 为磁化电流密度。
（3）磁感应强度 B 的边界条件 将积分形式的麦克斯韦第三方程应用于如图 4 所示的圆
柱，易得
en (B1 B2 ) 0 上式表明磁感强度的法向分量是连续的。
球的极限当带电体的尺寸相对于观察点至带电体的距离可以忽略时，就可以认为电荷分布于
带电体中心上，即将带电体抽象为一个几何点。点电荷的电荷密度分布可以用数学上的 (r )
来描述。
二、 电流及电流分布
电荷做定向运动形成电流，通常以电流强度来描述其大小。在电磁理论研究中，常用到 体电流模型，面电流模型和线电流模型。 1、 体电流
移矢量的切向分量是不连续的（两种介质的 通常不等）。
3、磁感应强度 B 的散度、旋度和边界条件
（1）磁感应强度 B 的散度 根据磁通连续性原理的微分形式可知恒定磁场为无散场，故 B0
磁通连续性原理表明自然界无孤立的磁荷存在。上式即为麦克斯韦第二方程的微分形式。 （2）磁感应强度 B 的旋度
即
故有
(P1 P2 ) enS SPS
en (P1 P2 ) SP 上式表明极化强度的法向分量是不连续的。一般情况下，其切向分量也不连续。
7、磁化强度 M 的散度、旋度和边界条件
7/9
电磁场与电磁波
第二章 电磁场的基本规律
学习报告
（1）磁化强度 M 的散度
对于各向同性和线性磁介质， M m H ，由于 H 的散度为零，故
自然界中存在两种电荷：正电荷和负电荷。带电体上所带的电荷是以离散的方式分布的， 任何带电体的电荷量都是基元电荷的整数倍，但在研究宏观电磁现象时，人们关注的是大量 微观带电粒子的整体效应，因此可以认为电荷是以一定形式连续分布的，并用电荷密度来描 述电荷的分布。 1、 电荷体密度
电磁场复习纲要
《电磁场理论》知识点第一章矢量分析一、基本概念、规律矢量微分算子在不同坐标系中的表达，标量场的梯度、矢量场的散度和旋度在不同坐标系中的计算公式，常用的矢量恒等式(见附录一1•和2.)、矢量积分定理(高斯散度定理、斯托克斯旋度定理及亥姆霍兹定理)。
二、基本技能练习1、已知位置矢量r x? y@y ze?z，r是它的模。
在直角坐标系中证明r r(1) r (2) ?r 3 (3) x r 0 (4) x( r) 0 (5) ?-y 0r r22、已知矢量A e x x e y xy gy z，求出其散度和旋度。
r3、在直角坐标系证明 A 04、已知矢量A e x 2?y, B e x3e z，分别求出矢量A和B的大小及A B5、证明位置矢量r £x X e『y e z Z的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。
6、矢量函数A x2e x y?y x?z，试求(1)A(2)若在xy平面上有一边长为2的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量A穿过此正方形的通量。
第二章静电场一、基本常数二、基本概念、规律静电场、库仑定律、电场强度、电位及其微分方程、电荷密度、电偶极子模型、高斯定理、环路定理、极化强度矢量、电位移矢量、场方程(真空中和电介质中)、介质性能方程，边界条件，场能及场能密度。
三、基本技能练习2、证明极化介质中，极化电荷体密度b与自由电荷体密度的关系为：bD?(—)。
3、一半径为a内部均匀分布着体密度为0的电荷的球体。
求任意点的电场强度及电位。
媒质2。
已知空气中的电场强度为E14e x e z，求(1)空气中的电位移矢量(2)媒质2中的电场强度。
5、半径为a的均匀带电无限长圆柱导体，单位长度上的电荷量为，求空间电场强度分布。
6、半径为a的导体球外套一层厚为(b a)的电介质(其介电系数为)，设导体球带电为q，求任意点的电位。
7、一个半径为a的电介质球内含有均匀分布的自由电荷，电荷体密度为证明其中心点的电位是(2 r 1) a 厶8、一个半径为a,带电量为Q的导体球，球外套有半径为b的同心介质球壳，壳外是空气，壳内介质的介电系数为「求空间任一点的D, E, P及束缚电荷密度。
电磁场与电磁波理论基础 第二章 课后答案
u=0
∂u 1 ∂u ∂u E = −∇u = − e ρ + eϕ + e z ρ ∂ϕ ∂z ∂ρ
得到 题 2-9 图
E = −∇u = 0, ρ ≤ a
a2 a2 E = − A 1 + 2 cos ϕ e ρ + A 1 − 2 sin ϕ eϕ , ρ ≥ a ρ ρ
代入得到
2 2
r1
-2 q
Y
S1 (-a, 0 , 0)
X
S 2 (a, 0, 0)
题 2-7 图
u (r ) =
q 4πε 0
1
( x + a)
2
+ y2 + z2
−
2 2 2 ( x − a) + y + z 2
电位为零，即令
q u (r ) = 4πε 0
∂u2 =0 ∂x
代入，得到
ρ S下 = −ε 0
∂u1 ∂x
=
x =0
ρd ρd ε U ε U x2 − 0 0 + 0 = − 0 0 + 0 2d 6 x =0 6 d d
ρ0
对于上极板，导体中的电位为常数
u1 = U 0
有
∂u1 =0 ∂x
上极板下表面电荷密度为
l
场分布具有柱对称性，电通密度矢量 D 仅有 e ρ 分量，由 高斯定理 题 2-15 图
D ⋅ dS = ρ
(S ) (V )
V
dV
取圆柱面为高斯面，有
2π
Dρ ρ ldϕ = 20 ρ e
0 0 0
电磁场理论-2011-2[1]
![电磁场理论-2011-2[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/9b8462c7bb4cf7ec4afed0be.png)
q ne , (n , ,) 1 2
静电场—静电场的基本规律
上式中，基元电荷电量在数值上等于一个电子所带 的电量。即
密立根油滴实验说明：物体所带电量是不连续的， 即自然界中的电荷是量子化的。 现代科学实验证明，任何物体都由大量的原子构 成，而原子则由带正电的原子核和带负电的电子组 成。 通常，同一个原子中正负电量数值相等，因而整 个物体呈现电中性。当它们因为某种原因，例如摩 擦、受热、化学变化等失去一部分电子时，则表现 为正电性；当获得额外电子时，则呈现负电性。
静电场的保守力性质也可以用另一个等价形式表 示，即
上式表明：在静电场中，电场强度沿任意闭合环 路的线积分恒等于零。 通常，将某一个量沿任意闭合环路的线积分称为 该物理量的环流。于是上式又可以表述为：在静电 场中，电场强度的环流为零。这一结论称为静电场 的环路定理，它是静电场的基本规律之一。
静电场—静电场的基本规律
静电场—静电场的基本规律
例题5 半径为a 的球中充满密度为ρ(r)的体分布电 荷，已知
求：电荷密度为ρ(r)。 解：由高斯定理，在球内有
静电场—静电场的基本规律
解得
(r ) 5 0 r 4 0 Ar
2
又考虑在球外，有
0
0
r
2
a r
5
Ar 4 0 Ar
4
即求得电荷密度
(r ) 5 0 r
2
静电场—电势及静电势能
电势
§2.2 电势及静电势能
电势差
静电场环路定理说明：电场力移动电荷所作的功 只与电荷的始末位置有关，而与具体的路径无关。 因此可以用一个位置函数φ(x,y,z)描述电场力电荷 所作的功，即
电磁场与电磁波(电磁场理论)第二章
例2.7.6 球形电容器的内导体半径为a ，外导体内半径为b，
设内球带电荷为q ，外球壳带电荷为-q ，求两球壳间的电场和极
q q
,
2
1
即为切向分量。根据边界条件可知
但 。由高斯定理，有
q q
2
1
处:
处:
相互抵消。 在圆环的中心点上，即z = 0 磁感应强 度最大
当场点P 远离圆环，即z >> a 时
3. 利用安培环路定理计算磁感应强度
在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路 定理计算磁感应强度。 例2.3.2 求电流面密度为 感应强度。 解：分析场的分布，取安培环路如图，则 的无限大电流薄板产生的磁
以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和 D 代入式
由
例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 区域的媒质参数为 强度为 媒质2中的电场强度为 （1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 （3）验证 和 满足边界条件。 和
, z>0 。若媒质1中的电场
；
解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0 处，有
例 2.6.2 在无源
电场强度矢量
的电介质
中，若已知
，式中的E0为振幅、ω为
角频率、k 为相位常数。试确定 k 与ω 之间所满足的关系，并求
出与
相应的其他场矢量。
解： 是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利
用麦克斯韦方程组可以确定 k 与ω 之间所满足的关系，以及与
相应的其他场矢量。
对时间 t 积分，得
的球形电介质内的极化强
，式中的 k 为常数。（1）计算极化电荷体密度 解：（1）电介质球内的极化电荷体密度为
电磁场与电磁波第四版之第二章电磁场基本规律
解：
E(r) 1 S (r)R dS
4π0 S R3
dE z
场点：P(0, 0, z)
R r r r ez z
dS ' 'd 'd '
源点：
r e
E(r ) S
4π 0
b a
2π 0
ez z e (z2 2 )3/2
d d
r dS ' 'd 'd ' P(0,0,z) R
电 荷密度为 0 。
解：（1）球外某点的场强
S
E dS
q
0
1
0
4 3
π a30
E
0a3 3 0r 2
(r≥a)
（2）求球体内一点的场强
E dS
1
S
0
V 0dV
4
r2E
1
0
4π
q a3
4 πr3 33
E 0r
2021/3/9
3 0
（r < a）
0
r
r
a
E
a
r
电磁场理论
第 2 章 电磁场的基本规律
流过体积内任意曲面S 的电流为
2021/3/9
i S J dS
体电流与体电 荷的关系?
电磁场理论
第 2 章 电磁场的基本规律
2. 面电流
i di
JS
et
lim l0 l
et
dl
en et
12
JS
正电荷运动的方向
单位：A/m （安/米） 。
l
dh0 0
面电流密度矢量
通过面上任意横截线的电流为
z S q
电磁场与电磁波 第2章静电场
如果是一个闭合路径，则W=0 电场强度的环路线积分恒为零，即
应用斯托克斯定理
因此，静电场的电场强度 可以用一个标量函数 的梯度来表示，即定义
单位正实验电荷在电场中移动电场力做功
两点间的电位差定义为两点间的电压U，即
单位：V
电位函数不唯一确定，取
故可选空间某点Q作为电位参考点，空间任一点P的电位为 通常选取无限远作为电位参考点，则任一P点的电位为
在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。
D 1 n D 2 n 1 E 1 c1 o 2 E s 2 c2 os
E 1 t E 2 t E 1 si1 n E 2 si2n
图2.3.3 分界面上E线的折射
t电位函数 表示分界面上的衔接条件
Ax Ay Az
对应静电场的基本方程 E 0 ，矢量 A 可以表示一个静电场。
能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?
2.3.2 分界面上的边界条件
1、 电位移矢量D的衔接条件 以分界面上点P作为观察点，作一
小扁圆柱高斯面（ L 0）。
图2.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律
根据 DdSq
V ' P d ' V S 'P e n d ' S 0
• 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 p 0。
• 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为
(r) 4 1 0 V '( r f r 'p )d' V S '( r f r 'p )d' S E (r ) 4 1 0 V '( f r p r )'3 r( r ')d' V S '( f r p r ) '3 r( r ')d' S
电磁场的基本理论
d
ez
b a
2
0 4 0
z z2
r 2
3/ 2
S rdrd
ez
S z 4 0
b a
2
z2
0
r 2
3/ 2 rdr
ez
S z 4 0
b a
z2
2
r2
3/ 2 rdr
ez
2 S z 4 0
b a
rdr
z2 r2
3/2
ez
S z 2 0
z2
1 a2
解解::(分1)析选电坐场标的系分：布圆，柱可坐知标线系电p荷(r产,生.z)
(的2)选电电场荷具源有轴对(0称,0,性Z'。) z轴d与q线电 l荷dz重'
(合3)确，定采d用E圆的柱方坐向标，轴线外任一点的电
(将场半4)确d强平E定度 面投d与为影E计角的到算度大坐区坐小标域标轴，上d线无，E 电关只4荷，考1中可虑0 点过大Rl为dz2小轴l 坐，取标
27
2、磁场的基本量--磁感应强度
理论上可以认为是电流元 Idl1 对电流元 Idl2 的安培作用力
F12 C 2 C 1 dF12 c2 I2dl 2B1
B为回路C1中的电流在 Idl2 所在点产生的磁场，称为磁感应
强度或磁通密度
B
dB
0
I dl
S
4 C R2
eR
dF12 I2dl 2dB1
1/ 2
1
z2
b2
1/ 2
25
四、安培力定律——磁感应强度
1、安培力定理
dl1
dl2 R
C2
实验结果表明，在真空中两个
C1
电磁场理论第二章
r r' r r'
3
V
(r ' )dV
(r ' ) 高斯定律的微分形式 E (r ) 0
E 0
E 0
E 0
返 回 上 页 下 页
说明 静电场是有源场，电荷是电场的通量源。
第 二 章
静 电 场
2.6 静电场的环路定律
2. 已知电荷求电位 以点电荷为例
连续分布电荷
1 (r ) 4π 0
V'
dq C r r'
返 回 上 页 下 页
dq dV , dS , dl 相应的积分原域 V ' , S ' , l '。 式中
第 二 章
3. 与 E 的积分关系
静 电 场
线积分
P0Leabharlann P • 说明： W 1 (r ) (r )dV e V 2
电场能量与电荷分布的关系
1)此公式只适用于静电场能量求解； 1 不表示电场能量密度； 2)公式中 2 3) (r )为空间中自由电荷分布； 4)积分范围 V 为整个空间，但可退化到电荷 分布区域。
第 二 章
静 电 场
第 二 章
[1 (2 1 ) 0 ]U Q ln b ln a U ˆ E er (ln b ln a)r 1 2 1 We E dV1 0 E 2 dV1 V1 2 V2 2 b 1 1 U2 rdr 2 a 2 1 2 (ln b ln a ) r
导体内部电场为零； 导体边界面上电场的切向分量为零； 导体为等势体； 电荷只分布在导体的表面
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有净余的正电荷
没有净余的电荷
有净余的负电荷
E 0
E 0
Ε 0
性质2 静电场是无旋矢量场
R ' E r R 3 r dV 40 V 1 1 40 1 r R dV 0 V
qi q j Rij
多个电荷体系中电荷 q受到的作用力是系统 i
中除 qi以外的电荷与该电荷单独存在时作用
力之矢量代数和，满足线性叠加原理。
2.3 电场与电场强度
◆ 实验证明: 任何电荷在其所
处的空间中激发出对置于其
中别的电荷有作用力的物
质，称为电场。由静止电荷
激发的电场称为静电场。
电场
◆ 电场对电荷有作用力是电场的基本性质之 一，现代物理学证明电荷之间的作用力是 通过电场来传递的。 ◆ 空间不同点处电场的大小和方向是变化 的，引入电场强度概念描述空间电场的 大小和方向。因此电场对电荷的作用力 可以用于定义电场的强度。
孤立系统
§2.2 Coulomb定律与静电场
q1 R12 q2 F12
1. Coulomb定律
真空中两静止点电荷q1和q2
之间作用力的大小与两电荷 的电荷量成正比，与两电荷 距离的平方成反比；方向沿 q1 和q2 连线方向，同性电荷
相排斥，异性电荷相吸引。
q1q2 R12 F12 3 40 R12
线电荷
电荷的运动形成电流
面电流密度：J s M 线电流密度：J l M 体电流密度：J x, y,z
面电流 体电流 线电流
v 电荷移动
Hale Waihona Puke ２. 电荷守恒定律大量实验表明： 孤立系统的电荷总量
保持不变。在任何时
刻，系统中正负电荷
＋
－
的代数和保持不变，
称为电荷守恒定律。
电荷守恒定律意义：
实验证明： 真空中多个点电荷构
qj qi
成的电荷体系，两两
间的作用力，不受其
它电荷存在的影响。
Fi
j i
qi q j Rij 40 R
3 ij
qi q1 Ri1 qi q2 Ri 2 qi qn Rin Fi 3 3 3 3 4 0 Rij 4 0 Ri1 4 0 Ri 2 4 0 Rin j i
第三讲
宏观电磁场理论基础 (第二章)
主要内容
电磁现象的实验定律 真空中的Maxwell方程组
介质的极化和磁化现象
介质中的Maxwell方程组
宏观电磁场的边界条件
§2.1 电荷与电流
1. 电荷与电流 自然界存在正、负两种电荷 点电荷：
点电荷
Q 或 q
面电荷 体电荷
面电荷： s M 线电荷：l M 体电荷： x, y,z
◆ 电场强度
空间某点电场强度定义为置于该点的单位 点电荷（称试验电荷）受到的作用力： F r E r lim q 0 q 0
0
真空中静止点电荷 q 激发的电场为：
qR E r 3 40 R
如果电荷是连续分布，密度为 (r ) 。 它在空间任意一点产生的电场为：
利用Gauss定理得到：
r E r 0
1
EdV E r ds r dV
V s 0 V
称为静电场的Gauss定律。
静电场的Gauss定律表明： 静电场的力线发源于正电荷，终止于负电荷; 在没有电荷的空间中，静电场力线是连续的。
'
标量场的梯度是无旋场，所以静电场 又可以表示为某个标量场的梯度。即
E r r
(ri )Vi Ri E (r ) 40 Ri3 i 1
'
r
R
(ri ' )Vi
(r ' ) R dV 3 40 R V
R = r – r’
小体积元中的电荷产生的电场
2.5 静电场的性质
性质1 静电场是有散矢量场，电荷是静电场的 通量源。对电场直接求散度:
◆ 孤立系统中产生或湮没某种符号的电荷， 必有等量异号的电荷伴随产生或湮没. ◆ 孤立系统总电荷量增加或减小，必有等 量电荷进入或离开该系统.
２. 电荷守恒定律
单位时间内通过孤立系统 边界流入的电荷量为： q J ds
s
J 0 t
J s
V
n
该电荷量等于孤立系统内 单位时间内电荷的增量： d q J ds dV dt V s