北师大版九年级上册数学拓展资源：研究平行四边形的方法

九年级数学上册《3.1 平行四边形》教案北师大版-北师大版初中九年级上册数学教案

平行四边形1．平行四边形（一）教学目标：知识与技能目标：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的过程．过程与方法目标：能适用综合法征明平行四边形的性质定理，及其他相关结论．情感态度与价值观目标：体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法．重点、难点、关键：1．重点：掌握平行四边形的性质定理．2．难点：探索证明过程，感悟归纳类比、转化的教学思想。

3．关键：充分应用合情推理与演绎推理获得结论．教学过程：问题：1．平行四边形有哪些性质？2．平行四边形有哪些判别条件？3．如何运用公理和已有的定理证明它们？讲解证明过程注意：1．利用三角形全等证明．2．利用定理“平行四边形对边相等”。

相关认知：1．平行四边形是一类特殊的四边形，即两组对边分别平行的四边形，平行四边形是中心对称图形。

它的对角线的交点为对称中心．2．平行四边形的主要性质有：时边相等、对角线等，对边平行，对角线互相平分。

3．平行四边形是一种特殊的四边形，它的一些性质是进行有关证明或计算的基础．如，应用边的性质，可以求解边长、周长、对角线长，以及平行等问题；应用角的性质，可求解角的问题，应用对角线的性质，可证明两个三角形全等，再通过三角形全等研究角或线段之间的关系。

4．由平行四边形的性质可以得出一些角与线段的相等关系，特别地说，可知：夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等．随堂练习：随堂练习1、2课堂小结：引导学生探索证明的不同思路和方法、并进行适当的比较和讨论，以开阔学生的视野，培养学生的思维能力。

作业：课本习题3．11、21．平行四边形（二）教案目标：知识与技能目标：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．过程与方法目标：能够用综合法证明平行四边形的判定定理．情感态度与价值观目标：感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．重点、难点、关键：1．重点：掌握证明平行四边形的方法。

2．难点；运用综合法证明问题的思路。

初三数学最新课件-平行四边形的判定[上学期]北师大版精品

❖ 求证:AE=CF. 分析:要证明AE=CF,可转化全等三角形(△ABE≌△CDF或
A
D
F2
B 1 EO
C
△AEO≌△CFO或△AED≌△CFB)的
对应边来证明.
你还有其它的证法吗?
第三章平行四边形
平行四边形的判定新店一中张斌
怎样得到平行四边形?
❖由定义判定:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的判定
❖ 定理: 两组对边分别相等的四边形是平行
四边形.
❖已知:如图,四边形ABCD A
D
中,AB=CD,BC=AD.
❖ 求证:四边形ABCD为
平行四边形.
B
回顾思考
平行四边形的判定(三种语言)
定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD,AD=BC,
A
D
∴四边形ABCD是平行四边形
定理:一组对边平行且相等的 B
C
四边形是平行四边形.
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
回顾思考
驶向胜利的彼岸
平行四边形的判定(三种语言)
C
平行四边形的判定
❖ 定理:一组对边平行且相等的四边形为平行四边形.
❖ 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
❖ 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
随堂练习
随堂练习
❖ 已知:如图,在□ABCD中,BF=DE.
❖ 求证:四边形AECF是平行四边形.
D
E
C
A
FB
随堂练习
随堂练习
定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AO=CO,BO=DO,

初三解平行四边形的技巧

初三解平行四边形的技巧
解平行四边形的技巧如下：
1. 首先，确定平行四边形的两对边是否平行。

对于一个四边形，如果
两对边互相平行，则可以判断为平行四边形。

2. 计算平行四边形的周长。

平行四边形的周长等于四条边的长度之和。

3. 计算平行四边形的面积。

可以使用公式：面积 = 底边长度× 高，其中底边长度是任意一条平行四边形的边长，高是与底边平行的另一
条边的长度。

4. 求解平行四边形的对角线。

对角线可以通过两条相邻边之间的夹角
和边长来计算。

使用余弦定理或正弦定理可以求得对角线的长度。

5. 判断平行四边形的特性。

平行四边形具有以下特性：对边相等，对
角线相等，任意两条相邻边之间的夹角相等，对角线互相平分。

通过掌握这些技巧，我们可以更加准确地计算和解决与平行四边形相
关的问题。

北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结

北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。

（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。

（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

注意：平行线间的距离处处相等。

5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。

（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。

（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。

（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。

（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形回顾与思考优秀教学案例

2. 问题导向，培养学生的数学思维能力：通过设计具有挑战性的实际问题，引导学生运用特殊平行四边形的知识进行分析、解决，培养学生的数学思维能力，提高他们运用知识解决实际问题的能力。
3. 小组合、交流，共同解决问题。通过小组合作，培养学生的团队合作精神，提高他们的沟通能力和协作能力。
3. 组织小组汇报，让学生分享自己的思路和方法，培养他们的语言表达能力和沟通能力。
（四）反思与评价
1. 引导学生对所学知识进行反思，巩固他们对特殊平行四边形性质的理解。
2. 组织学生进行自我评价和小组评价，让他们认识到自己的优点和不足，培养他们的自我管理能力。
3. 教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的成长，激励他们不断进步。
本案例的目标是让学生在回顾与思考特殊平行四边形的过程中，加深对数学知识的理解，提高数学思维能力、团队协作能力和语言表达能力，为今后的数学学习奠定坚实的基础。
二、教学目标
（一）知识与技能
1. 回顾特殊平行四边形的性质和判定方法，包括矩形、菱形、正方形的性质及其判定。
2. 培养学生运用特殊平行四边形的知识解决实际问题的能力，提高他们的数学思维能力。
4. 反思与评价，提高自我管理能力：引导学生对所学知识进行反思，巩固对特殊平行四边形性质的理解。组织学生进行自我评价和小组评价，让他们认识到自己的优点和不足，培养他们的自我管理能力。
5. 层次性作业，巩固知识与培养能力：布置具有针对性、层次性的作业，让学生在完成作业的过程中巩固对本节课知识的理解和应用。鼓励学生在完成作业后进行自我检查、反思，提高他们的自我管理能力。
（三）情感态度与价值观
1. 培养学生对数学学科的兴趣，激发他们继续探索数学知识的欲望。
2. 通过小组合作，让学生体验到团队协作的重要性，培养他们团结互助的品质。

研究平行四边形的思路和方法

研究平行四边形的思路和方法研究平行四边形的思路和方法主要围绕以下几个方面展开：1、定义与性质：首先，我们要明确平行四边形的定义。

平行四边形是两组相对边平行的一种四边形。

在此基础上，我们可以进一步探索它的性质，例如对角线互相平分，相对角相等或互补等。

这些性质可以通过逻辑推理和数学证明来得出。

2、判定条件：除了定义，我们还需要了解如何判定一个四边形是否为平行四边形。

这可以通过比较角、对边或对角线的关系来进行。

例如，如果一个四边形的两组对边分别平行，或者两组对角分别相等，或者一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形。

3、面积与周长：研究平行四边形的面积和周长是重要的实际问题。

面积可以通过底乘高得到，而周长则是四边之和。

在更复杂的情况下，可能还需要考虑如何通过最优化的问题来求解面积和周长的最大值或最小值。

4、与三角形的关系：在平行四边形中，如果我们将一条对角线画出来，就会将平行四边形分成两个三角形。

因此，三角形的一些性质和定理也可以应用于平行四边形。

此外，一些特殊的平行四边形（如矩形、菱形等）也有其独特的三角形关系。

5、作图方法：在几何学中，作图是非常重要的一部分。

对于平行四边形，我们可以使用给定的两边或者一对相对角来作出一个平行四边形。

此外，我们还可以通过将一个三角形沿一条中位线进行翻折来得到一个平行四边形。

6、应用问题：最后，我们需要将平行四边形应用于实际问题中。

例如，在建筑学中，平行四边形被广泛应用于支撑结构的设计；在物理学中，平行四边形法则（即力的平行四边形法则）被用于描述力的合成与分解；在日常生活中，我们也经常遇到平行四边形的实例，如窗户、门等。

综上所述，研究平行四边形的思路和方法需要从定义、性质、判定条件、面积与周长、与三角形的关系、作图方法以及应用问题等多个方面进行探讨。

这样可以帮助我们全面了解平行四边形的属性和应用，为解决实际问题提供理论支持和实践指导。

同时，这些思路和方法也可以推广到其他几何图形的研究中去。

北师大版九年级上3.1平行四边形课时1教案【外国语中学】

北师大版九年级上第三章第一节平行四边形（一）教案一、教学目标：（一）知识与技能1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。

2、能够用综合法证明平行四边形的性质定理。

（二）过程与方法1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。

2、能够用综合法证明平行四边形的性质定理以及其他相关结论。

3、体会证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法（三）情感态度与价值观1、通过利用已有的公理和定理来证明新的结论的过程，使学生从中领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求使的科学态度和积极参与的主动精神。

2、通过交流来提高学生的几何语言的表达能力。

二、教学重点：平行四边形的性质定理的证明。

教学难点：探索、寻求性质定理的证明过程。

三、教学方法：启发诱导式教学法四、教学过程：（一）复习回顾，引入新课老师导语：利用前面学过的公理和定理,我们可以证明许多与四边形的有关结论.如图,四边形ABCD 四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH 是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD 都成立吗?用推理的方法可以说明得到的四边形是平行四边形。

实际上，利用前面学过的公理和定理，我们可以证明许多与四边形有关的结论。

今天我们就来证明特殊的四边形-----平行四边形的性质。

（二）推进新课1、我们要研究平行四边形的性质。

首先就要知道什么是平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形我们知道定义有两个作用，即性质和判定2、性质平行四边形除了具有两组对边分别平行这一特殊性质外，还有什么特殊性质？（学生回答）1.平行四边形的对边相等.2.平行四边形的对角相等.3.平行四边形的对角线互相平分. AB C HE F G你能利用公理和已有的定理证明它们吗?证明如下：性质1：已知:如图,四边形ABCD 是平行四边形.求证:AB=CD,BC=DA分析:要证明AB=CD,BC=DA 可转化全等三角形的对应边来证明,于是可作辅助线来达到目的.证明:连接AC.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,BC ∥DA.∴∠1=∠2, ∠3=∠4.∵AC=CA,∴△ABC ≌△CDA(ASA).∴AB=CD,BC=DA.几何语言：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,BC=DA.性质2：已知:如图,四边形ABCD 是平行四边形.求证:∠A=∠C, ∠B=∠D.分析:要证明∠A=∠C, ∠B=∠D 可转化全等三角形的对应角来证明,于是由上面的证明可达目的.证明: ∵△ABC ≌△CDA(已证).∴∠B=∠D, ∠1=∠2, ∠3=∠4.∴∠BAD=∠BCD.几何语言：∵四边形ABCD 是平行四边形∴∠A=∠C, ∠B=∠D.性质3：已知:如图,四边形ABCD 是平行四边形,对角线AC,BD 相交于点O.求证:CO=AO,BO=DO分析:要证明AO=CO,BO=DO 也可转化全等三角形的对应边来证明.1 2 B C A O 3 4 B C A3 4 B C A3 4老师设问：在刚才的证明过程中都用了哪些公理，定理？（用到了平行四边形的定义，平行线的性质定理，全等三角形的判定定理及全等三角形的性质定理）老师总结：从刚才的证明知道,要研究平行四边形，对角线是它的主要辅助线，即对角线把平行四边形分成两个全等三角形，进而将平行四边形内的线段或角的相等问题转化为三角形全等的问题，这体现了数学中的一个重要思想------转化思想3、等腰梯形的性质首先同学们回忆一下等腰梯形有什么性质？1.等腰梯形同一底上的两个角相等.2.等腰梯形的两条对角线相等.如何证明呢？性质1：已知:如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC.求证:∠A=∠D, ∠B=∠C.注意：在用几何语言书写梯形时，需指明哪两条边是梯形的上下底。

九年级数学上册《3.1平行四边形》教案2 北师大版

平行四边形
评价）环节１：巧设现实情景，引入新课
1、上节课我们研究了平行四边形的性质定理．下面我们来
做一练习以复习上节课的知识．
如上图；（1）若四边形ABCD是平行四边形，则∠A＝______，
∠B______；
（2）若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝______，BC＝______；
（3）若四边形ABCD是平行四边形，则AB______CD；
（4）若平行ABCD的对角线AC、BD交于点O，则
OA＝____，OB＝______.
2、如何证明判别一个四边形是平行四边形的方法？
环节2：小组合作、推理论证
1.命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

2.议一议
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？如果是,请你证明它
3.定理一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

环节3：知识应用，课堂练习
(1)已知:如图。

九年级数学上特殊平行四边形知识点理论总结北师大版

（特殊）平行四边形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．=⨯3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线及边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；。

九年级数学上册(31平行四边形(二))教案北师大版教案

第三章证明(三)总课时： 8 课时第2课时 3.1平行四边形(二)1、教学目标：能运用综合法证明平行四边形的判定定理。

2、过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

3、情感态度与价值观：感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。

教学重点：掌握证明平行四边形的方法。

教学难点：运用综合法证明问题的思路。

教学过程一、课前复习：（学生完成5分钟）提问：1.请观察屏幕上的平行四边形，说一说它有哪些性质？2.你能写出（1）中的逆命题吗？二、导入新课：（学生探究得出证明过程10分钟）如何证明判别一个四边形是平行四边形的方法？与同伴交流。

定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

已知：在四边形ABCD中，AB=CD,CB=AD.求证：四边形ABCD是平行四边形三、新课教学（学生分析出辅助线的引法并总结出结论10分钟）议一议：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？若是，请证明。

与同伴交流。

定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形做一做：学生独立完成证明：图中的四边形MNOP是平行四边形四、知识巩固（学生独立完成12分钟）P87 随堂练习五、课堂小结：（师生共同总结3分钟）六、课外作业：A组：P88 1-3B组：P88 1-2C组：P88 2板书设计：教学反思：这种以学生的生成问题为主导的课，对大部分学生来说效果都非常好，但是对于一部分思维特别活跃的学生来说，其潜能力往往出乎我们的预料，所以如何更好地预测这一部分学生的思维动向，为其上课备好充足3.1平行四边形定理议一议做一做的“营养”需要我们继续加强。

九年级数学上册 3.1 平行四边形的性质教案北师大版

平行四边形的性质教材内容:北师大版数学教材八年级上册第四章第一节“平行四边形的性质”第一课时．【教学目标】知识技能：探索并掌握平行四边形的有关概念和性质，能根据性质解决简单问题．数学思考：经历观察、猜想、验证等数学活动，认识平行四边形的性质，体会类比、转化等数学思想方法．问题解决：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性；培养学生的探究能力和动手操作能力．情感态度：在探索平行四边形性质的过程中培养学生的合作探究意识和独立思考的习惯，使学生在数学学习活动中获得成功的体验．【教学重点与难点】重点：平行四边形性质的探索．难点：平行四边形性质的探索及其运用．【教学过程展示】一、欣赏图片、初步感知【师】请同学们欣赏一组美丽的图片,并从数学的角度出发,找一找图片中有你熟悉的几何图形？【生】平行四边形的晾衣架、平行四边形的栅栏、平行四边形的窗户......【师】可见，平行四边形在我们生活中的应用非常广泛，今天这节课就让我们一起走进“平行四边形”，去发现和探索平行四边形的性质。

（揭示课题：§4．1平行四边形的性质）.二、动手操作，探究新知1、平行四边形的概念拼图游戏：将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片．Array将它们相等的一组边重合，得到一个四边形．【师】你拼出了怎样的四边形？与同伴交流．【生】（学生按照活动中要求的步骤动手操作。

）【师】观察右图拼出的这个四边形，它的对边之间有怎样的位置关系？说说你的理由．【生】（小组代表展示拼图成果，并简述拼图思路。

）【师】观察你所拼出的四边形中，有没有特殊的四边形呢？你认为它们的两组对边之间有怎样特殊的位置关系吗？说说你的想法。

【生】指出其中的平行四边形，发现“平行四边形的两组对边分别平行”，并简述理由。

【师】结合学生的拼图，引导学生发现其中特殊的四边形，从而给出平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．教师结合图形介绍平行四边形对边、对角、对角线等概念及平行四边形的表示方法．2.平行四边形的性质【师】你能不能结合定义，利用直尺和三角尺动手画出一个平行四边形呢？【生】学生动手画图，教师巡视指导。

北师大版初中数学九年级上册31平行四边形

求证:AC=DB.
AD
B
C
6.定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
已知:如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC, ∠B=∠C.
求证:AB=DC.
AD
B
C
作业P74 随堂练习2
A
D
B
E
C
思路1:平移一腰至DE
O
A
D
B
C
思路3:延长两腰相交
A
D
┎E
┒F
BБайду номын сангаас
C
思路2:作梯形的高
A
DM
B
C
思路4:平移一腰至CM
已知:如图,四边形ABCD是平行四
′ 边形,对角线AC,BD相交于点O. 求证:CO=AO,BO=DO.
A
D
O4 2
B
1
3
C
4.定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.
已知:在梯形ABCD中,AD∥BC,
′
AB=DC.
求证:∠A=∠D,
AD
∠B=∠C.
B EC
5.定理:等腰梯形的两条
对角线相等.
已知:如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AB=DC.
7.定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
已知:在梯形ABCD中,AD∥BC,
AC=DB. 求证:AB=DC. A D
B
CE
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
你能利用公理和已有的定理证明它们吗?
1.定理:平行四边形的对边相等.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形.
求证:AB=CD,BC=DA.
A
D
14

九年级数学上册-北师大版九年级上册数学拓展资源：研究平行四边形的方法

研究平行四边形的方法
利用图形的变换来探究平行四边形的性质，这是一种重要的合情推理方法。

而连接对角线，把平行四边形分割成两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质得出平行四边形的性质，这是运用演绎推理研究平行四边形的重要方法，体现了转化的思想。

教学中，要引导学生关注辅助线是怎么作的、为什么这样作、有几种不同作法等问题，培养和锻炼自我探究问题的手段和方法。

同时，要让学生及时总结，积累“合情”方法与“演绎”方法对应关系的经验。

例如，“对折”与中线、角平分线、中位线；“平移”与平行线；“旋转”与三角形的构造……添加适当的辅助线，把未知化为已知，利用已学过的知识来解决新的问题，提高分析、解决问题的能力。

在学完了平行四边形性质后，就可以直接运用平行四边形性质解决的问题，如证明线段相等，证明两角相等，证明线段的和差倍分，证明两直线垂直等都很常见。

北师大版九年级数学上册研学案：3-1平行四边形的性(1)

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

2．能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论。

3．体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。

学习重点：运用综合法证明平行四边形的性质定理学习过程：课前热身：平行四边形的性质：边：角：对角线：自主学习探究一：1.证明定理：平行四边形的对边相等。

2.证明定理：平行四边形的对角相等。

探究二：1.证明：等腰梯形在同一底上的两个角相等。

求证：∠B＝∠C，∠A＝∠D你能证明吗？请写出证明定理：相等的梯形是等腰梯形AB CD课堂小结平行四边形的主要性质有：对边相等、对角相等，对边平行，对角线互相平分。

反馈检测：1.如图，ABCD，则AB=__________，__________=AD，∠A=__________，__________=∠D，若此时∠B +∠D=128°,则∠B=__________度，∠C=__________度.2.如果一个平行四边形的周长为80 cm，且相邻两边之比为1∶3，则长边=__________cm，短边=__________cm.3.如下左图，ABCD,∠C的平分线交AB于点E，交D A延长线于点F，且AE=3 cm，E B=5 cm,则ABCD的周长为__________.4.如下中图，ABCD，AB＞BC，AC⊥AD，且AB∶BC=2∶1，则DC∶AD=__________，∠DCA=__________度，∠D=∠B=__________度，∠DAB=∠BCD=__________度.5.如下右图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，则图中全等三角形有__________对.。

北师大版-数学-九年级上册- 特殊平行四边形新型问题探究

《特殊平行四边形》新型问题探究四边形是初中数学的重点内容之一，深受考试命题者的青睐，年年有新意，岁岁出妙题. 现选析部分省市中考题，供同学们学习.一、方案设计型例1 正方形通过剪切可以拼成三角形. 方法如下：仿上用图示的方法，解答下列问题：操作设计：（1）如图1，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干，再拼成一个与原三角形等面积的矩形.（2）如图2，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形.解析：本题的设计方法多种，下面提供一例作为参考：（1）（2）二、图案设计型例2 在综合实践活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形座垫，座垫的图案如图3所示，应该选图3—2中的哪一块布料才能使其与右图拼接符合原来的图案模式（）解析正确答案应为C.三、猜想型例3 如图4，等腰梯形ABCD图1图2图3—1E图4中，AD ∥BC ，AB = CD ，DE ⊥BC 于E ，AE = BE ，BF ⊥AE 于F. 请你判断线段BF 与图中的哪条相等，先写出你的猜想，在加以证明. （1）猜想：BF = ；（2）证明：解析：（1）猜想：BF = DE.证明：∵在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = CD ， ∴∠ABE =∠C.∵AE = BE ，∴∠ABE =∠1. ∴∠1=∠C.∵DE ⊥BC 于E ， BF ⊥AE 于F ，∴∠AFB =∠CED=90°. 又∵AB = CD ，∴△AFB ≌△CED. ∴BF = DE. 四、开放型例4 如图5，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由.解：添加的条件： . 理由：解析：本题也是条件开放型问题. 添加的条件：对角线相等.理由：连结AC 和BD.∵在△ABC 中，AE = BE ，BF = CF ， ∴EF =21AC. 同理FG =21BD ，GH =21AC ，HE =21BD. 又∵AC = BD ，∴EF = FG = GH = HE. ∴四边形EFGH 为菱形. 例5如图6，在平行四边形ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 分别交AB 、 CD 于E 、F.请写出图中三对全等的三角形：；；；请你自选其中的一对加以证明.（2004年无为县）解析：本题是结论开放型考题. 有: △AOD ≌△COB ， △EOB ≌△FOD ， △COF ≌△AOE ， △CAOD ≌△AOB ， △ACD ≌△CAB ， △ABD ≌△COB ，CADHFGBE图5OBCD 图6AFE△AOD≌△CDB（只需三对即可）.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD = CB，∠DAO =∠BCO，OA = OC.∴△AOD≌△COB.五、运动型例6如图7，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为.解析：连结CH.由正方形EFCG是正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到的，则DH = FH，∠BCF =∠DCG =30°.∴∠DCF = 60°. ∴∠DCH = 30°.∴CH=2DH.在Rt△DCH中，DH2 + DC2 =CH2，即DH2 + 32 =4DH2，∴DH =3.六、格点型例7正方形网格中，小格的顶点叫做格点. 小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形. 小华在图8（1）的正方形网格中作出了Rt△ABC. 请你按照同样的要求，在图8（2）、图（3）正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等.解析：正确的图形可作如下.说明多种作法，只要符合题意都正确.七、游戏型例8图9是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（）图714图9-1 1A.1 号袋B.2 号袋C.3 号袋D.4 号袋解析：通过绘制反射图（如图9—2虚线部分），得知该球最后将落入2号球袋. 故应选B.。

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