第三章流体运动理论与动力学基础

第三章
§3.1
§3.2 §3.3 §3.4 §3.5
流体运动理论与动力学基础
流体运动的描述方法
流场的基本概念 连续方程 恒定总流的伯努利方程 恒定总流的动量方程
1．教学目的和任务
1）教学目的 使学生掌握研究流体运动的方法，了解 流体流动的基本概念。 通过分析得到理 想流体运动的基本规律， 为后续流动阻 力计算、管路计算打下牢固的基础。
2). 研究对象
流体质点
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质点 着手来研究整个流体运动的。 这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一 时刻，任一流体质点的位置可表示为：
X=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t) z=z (a，b，c，t) (3-1) 式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的 a、b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。对于 某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到某一时 刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉格朗日变 量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。
这一数学工具来研究。二是采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉
格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏 微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微 分方程求解容易。三是在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去 脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当 然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中还是 方便的。
2、欧拉法 （“站岗”的方法）
1).方法概要 欧拉法是以流场中每一空间位臵作为研究对
流场：充满运动流体的空间。 着眼于流场中各空间点时的运动情况，通过综合流场中所有 被研究空间点上流体质点的运动变化规律，来获得整个流场的 运动特性。
2). 研究对象
流场
3).运动描述
流速场：
u x u x ( x, y, z , t ) u y u y ( x, y, z , t ) u u ( x, y, z , t ) z z
拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意 大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都 灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题”的过 程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为 变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认 的第一流数学家。 1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧 洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是 他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了 《分析力学》一书，建立起完整和谐的力学体系。 1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去 世。 近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地 溯源于拉格朗日的工作。
§3.1 流体运动的描述方法
一、流体运动要素 Conception：表征流体运动状态的物理量，一般包 括
, a, , , F
等。
研究流体的运动规律，就是要确定这些运动要素。 1）每一运动要素都随空间与时间在变化； 2）各要素之间存在着本质联系。
**流场——充满运动的连续流体的空间。在流场中，每个流 体质点均有确定的运动要素。
(3-5)
或
v a ( v ) v t
4).加速度及其他物理量的时间变化率（续）
（1）加速度
v a (v )v t
当地加速度。表示通过固定空间点的流体质点速度随时间的 v ： 变化率； t
迁移加速度。表示流体质点所在空间位臵的变化所引起的速 (v )v ：
u6 u1 u2 32
u4
u6 u1 u2 u3 4
流 线
2. 流线微分方程
v ds 0
v dx cos(v , x) x v ds v y dy cos(v , y ) v ds v d cos(v , z ) z v ds
欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日 出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。 欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴 塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学 界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数 学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文， 还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本， 《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》 等都成为数学中的经典著作。 欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中 也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
25 1 (5t )
2 2
10t
10 t3
由式（3-5）得 a u 10 x t v 30 ay 4 t t
§3.2 流场的基本概念
按照流体性质分：
理想流体的流动和粘性流体的流动 不可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动
按照流动状态分：
恒定流动和非恒定流动 有旋流动和无旋流动 层流流动和紊流流动
迹线：某一液体质点在运动过程中，不同时刻 所流经的空间点所连成的线称为迹线，即液体 质点运动时所走过的轨迹线。
dx dy dz dt u v w
——迹线微分方程，是自变量。
(3-6)
二）、流线
1. 定义
在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此 线在该点的切线重合，则这条线称为流线。适于欧拉方法。
（1）将t=3代入上式 得
X=(a+2)e3-8
（2）a=2，b=2时
y=(b+2)e3-8
x=4et-2t-2
(3)
y=4et-2t-2
u (a 2)e t t
v (b 2)e t t
【例3-2】 在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2， 其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向 的分量为多少？ 【解】 根据式（3-4）得 dx d u (5t 2 ) 10t dt dt dy d 25 1 dx v 25 2 dt dt x x dt
v 2 y ay a y (a, b, c, t ) 2 t t
w 2 z az a z (a, b, c, t ) 2 t t
(3-3)
同样，流体的密度、压强和温度也可写成a、b、c、的函数，即ρ= ρ （a，b，c，），P=P (a，b，c，)，t=t (a，b，c，)。
(3-4)
压强场：
p p( x, y, z, t )
( x, y, z, t )

其他物理量（N）场：
N N( x, y, z, t )
密度场：
4).加速度及其他物理量的时间变化率
（1）加速度
ax dvx v x v x dx v x dy v x dz dt t x dt y dt z dt
dx v x dy v x dz dt y dt z dt dx v y dy v y dz dt y dt z dt dx v z dy v z dz dt y dt z dt
v x v x ax t x v y v y ay t x v z v z a z t x
将式（3-1）对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体质 点的速度和加速度为：
u
v
w
x u(a, b, c, t ) t
y v(a, b, c, t ) t
z w(a, b, c, t ) t
(3-2)
u 2 x ax a x (a, b, c, t ) t t 2
t
2. 非恒定流动
流动参量随时间变化的流动。
v v ( x, y, z, t ) p p ( x, y , z , t )
( x, y, z, t )
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函 数， 而且与时间有关。 （） 即： 0
t
二、一维流动、二维流动和三维流动
t
y (b 2)e t 2 t 将上式积分，得 x (a 2)e t 2t c1
上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。
利用t=0时，x=a，y=b得c1=-2， c2=-2
y (b 2)e t 2t c 2
X=(a+2)et-2t-2 y=(b+2)et-2t-2
1
2
3
5
6 u5
u4

dx dy dz vx v y vz
(3-7)
3. 流线的性质
v1
（1）流线彼此不能相交。 （2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点。
交点
v2
s1
s2
v1
折点
（3）恒定流动时流线形状不变， 非恒定流动时流线形状发生变化。
v2
s
【例3-3】 有一流场，其流速分布规律为： u= -ky，v= kx，w=0，试求其流线方程。
二、研究流体运动的两种方法 1、拉格朗日法 （“跟踪”的方法）
1).方法概要
着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历程，通过 综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规律。 拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象，研究每 一个流体质点在运动过程中的位臵、速度、加速度及密度、 重度、压强等物理量随时间的变化规律。然后将所有质点的 这些资料综合起来，便得到了整个流体的运动规律。即将整 个流体的运动看作许多流体质点运动的总和。质点的运动要 素是初始点坐标和时间的函数。 荡等 用于研究流体的波动和震