高等数学课件--D7习题课(2)

1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 )
利用物理规律
利用几何关系 初始条件 边界条件 可能还有衔接条件
确定定解条件 ( 个性 )
2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
2012-10-12 同济版高等数学课件
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例4. 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球
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y
dx dy

d x dy
y
2
2
( y ) 0
2
dx dy
2

d x dy
2
2

( y )

y ( y )
3
代入原微分方程得
y y sin x
①
x
(2) 方程①的对应齐次方程的通解为
Y C1 e C2 e
d x dx
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练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测
要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . (1995考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 由牛顿第二定律
处的衔接条件可知,
y 4 y 0
解满足
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x 定解问题的解: y 1 sin 2 x (1 ) cos 2 x, x 2 2 2 故所求解为
y 1 2 sin 2 x (1 ) cos 2 x , 2
思考 若问题改为求解 y
x 0
0,
则求解过程中得
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问开方时正负号如何确定?
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例1. 求微分方程
y y x, y 4 y 0 ,
x x
π 2 π 2
满足条件
处连续且可微的解.
提示:
解满足
y y x
内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程
d x dy
2 2
( y sin x)(
dx dy
) 0
3
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解. 解: (1) 由反函数的导数公式知
(2003考研)
上式两端对 x 求导, 得
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代数法
2 x y p x y q y f (x) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (et )
练习题: P353 题 2 (2); 4 (2)；
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3 (6) , (7) ;
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y C1 e C2 e
x
x

1 2
sin x 3 2 , 得
由初始条件 y (0) 0, y (0)
C1 1, C2 1
故所求初值问题的解为
y e e
x x

1 2
sin x
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二、微分方程的应用
上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数 为 k),
s
求质点的运动规律
提示: 由题设 F ds k t , 两边对 s 求导得: s
0
牛顿第二定律
ds d s dt dt
2 2
m
d s
2
2
k
dt ds

k m
dt d ds
dt

dt

2

2k m

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ds dt
2 2
O
2( x 10) g
dx dt
t 0
x
t 0
12 ,
0
x x
摩擦力为链条 1 m 长的质量 时的数学模型为
20 d x dt
2 2
2( x 10) g 1 g
dx dt
t 0
x
t 0
12 ,
0
此时链条滑下来 所需时间为
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解答提示
P353 题2 (2) 求以 故特征方程为 因此微分方程为 P353 题3 求下列微分方程的通解
y 2 1 0, (6) y y
为通解的微分方程 .
提示: 由通解式可知特征方程的根为
(7) y 2 y 5 y sin 2 x .
提示: (6) 令
备用题 1. 设二阶非齐次方程
而对应齐次方程有解
有特
微分方程的通解 .
m d y dt
2 2
O
重力 浮力 阻力 mg B k v
dv d y dy d t
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y 质量 m
体积 B
dv dy
注意:
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v
y
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得
mv
dv dy
m g Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ k v
O
初始条件为 v
y 0
0
y 质量 m
体积 B
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x
2
例2.
x 0
且满足方程
f ( x) sin x ( x t ) f (t ) d t
求 f (x) .
提示: f ( x) sin x x f (t ) d t t f (t ) d t , 则
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思考: 设 ( x) e
x

x
x 0
(
x u ) du, (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
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例3. 设函数
数, 且
d h dt
2 2

GM h
2
②
v0
h
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t 0
R,
dh dt t 0
③
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设
dh dt
v
v( h), 则

d h dt
2
2
v
dv dh
,
代入原方程②, 得
GM h
2
dv dh
GM h
2
vdv
dh
两边积分得
1 2
2 2
令 p ( x)
)
dy dx dp dx f ( x, p )
f ( x,

d y dx
2
f ( y,
dy dx
令 p ( y)
)
dy dx
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2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程
v
2
GM h 1 2
2 v0
C GM R 1 R
利用初始条件③, 得 C
因此 d h
2
dt
2
2 2 h
v GM
1
2

1 2
2 v0
GM
1
②h


d h 1 v2 1 v2 G M 1 注意到 R, lim h t 0 v0 0 ③ h 2 0 2 R dt t
解得
( 左端 1, 舍去另一根 )
当 x = 20 m 时,
(s)
思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的质量 , 定解问题的
x
t 0
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0 12 , 数学模型是什么 ? d t t 0
dx
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不考虑摩擦力时的数学模型为
20 d x dt
第七章 习题课 (二) 二阶微分方程的 解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法
二、微分方程的应用
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一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d y dx
2 2 2
f ( x)
逐次积分求解
dy dx

d y dx
P354 题4(2) 求解
y a y 0
2
y
x 0
0,
y
x 0
1
提示: 令
积分得
1
则方程变为
a x C1 , 利用 p
x 0 y

p dy 1 , 并利用 y 再解 dx 1 ax
x 0
1 得 C1 1
x 0
0 , 定常数 C2 .
3
2 63 10 9.81
5
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11.2 10 (m s) 1 2 1 2 1 lim v v0 G M 这说明第二宇宙速度为 11.2 km s h 2 2 R
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例5. 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点
yp
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则方程变为
p 1 0 ,
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dp dy
2
(7) y 2 y 5 y sin 2 x
特征根: 齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A
x
设①的特解为 y A cos x B sin x, 代入①得 A＝0, 2
1 ( y sin x)( ) 3 0 1 B d y 2, 故 y d y x, 从而得①的通解: sin 2 2 2012-10-12 同济版高等数学课件
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0 0
x
x
f ( x) cos x f (t ) d t x f (x) x f (x)
0
x
f ( x) sin x f ( x)
问题化为解初值问题: 最后求得
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f ( x) f ( x) sin x
f (0) 0 ,
f (0) 1
用分离变量法解上述初值问题得
y m k v m ( m g B ) k
2
y
ln
m g B k v m g B
作业
P348 4 , 6 ; P353 3 (8) ; 4 (2) ,(4) ； 7; *11(1)
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第十一节 目录 上页 下页 返回 结束
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为使 v 0 , v0 应满足
v0 2G M R
④
因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即
GM m R
2
2
mg
( g 9.81m s )
2
故 G M R g , 代入④即得
v0 2R g
引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 解: 设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得:
m d h dt
2 2

GM m
2
(G 为引力系数)
h 又设卫星的初速度 为 v0 ,已知地球半径 R 63 105，
则有初值问题:
1 17
,
B 417
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
思考
若 (7) 中非齐次项改为
提示:
2012-10-12
特解设法有何变化 ?
故 y* A cos 2 x B sin 2 x D
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y
x 0
0 , y
特征根 : r1, 2 i ,
故通解为
利用 y
x 0
x 0
0
设特解 : y Ax B, 代入方程定 A, B, 得
y C1 cos x C2 sin x x
0, y
x 0
0, 得
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F x g (20 x) g 2( x 10) g
O
x x
由牛顿第二定律, 得
20 d x dt
2 2
2( x 10) g
dx dt
t 0
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x
2012-10-12
t 0
12 ,
0
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微分方程通解:
由初始条件得 故定解问题的解为

2

2k m
t C1 …
开方如何定 + – ?
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例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 . 解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段 下垂 x m , 又设链条线密度为常数 , 此时链条受力