2015年广东高考理科数学模拟试题+答案详解

绝密★启用前2015届广东高考模拟试题数学(理科)注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则AB 中元素的个数为A ．8B ．7C ．6D ．5 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22ac bc >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为B.C.2D.5．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为A. 7B.5C. 3D.146．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则； C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则； D. 若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则； 7．将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为A. 48B. 24C. 20D. 12 8．非空数集A 如果满足：①0A ∉；②若对,x A ∀∈有1A x∈，则称A 是“互倒集”.给出以下数集：①2{|10}x R x ax ∈++=； ②2{|410}x x x -+<； ③ln 1{|,[,1)(1,]}x y y x e x e=∈⋃； ④22,[0,1)51.[1,2]x x x x x y y +∈+∈⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎭.其中“互倒集”的个数是A.4B. 3C.2D. 1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为 ． 10．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式y = ．11．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos A =，则b =______ ．12．某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是35，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是 ．（记1035p =（），结果用含p 的代数式表示） 13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=- ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 .FEACB3648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI ）指数4012016020015．（几何证明选讲选做题）如图1，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知1,AE =3,AB CF ==则BC 边的长为 ．图1 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.17.(本小题满分12分)图2是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图2（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图3中作出这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月1日至10日中的某一天到达该市，并停留2天，设ξ是此人停留期间空气质量优良的天数，求ξ的数学期望．（图中纵坐标1/300即1300，以此类推）图318．（本小题满分14分）如图4，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，AB =AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）求四棱锥B-CDFE 的体积V ；（3）求平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值．图419. (本小题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且211a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）设数列{}n b满足n b =123n b b b +++<． 20. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，已知点(01)A ，，点B 在直线1:1l y =-上，点M 满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）设直线2:l y kx m =+与曲线C 有唯一公共点P ，且与直线1:1l y =-相交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈,（e ≈2.718）． （1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：211sin ln 2(1)nk k =<+∑．2015届广东高考模拟试题数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：CBBD ACBC解析：7. 不同的摆法种数为:2223224A A ⋅=或43432424A A -=．8. 集合①，当22a -<<时为空集；集合②即{|22x x <<，1122x x <<⇒<<1[,1)x e ∈时，[,0)y e ∈-，当1(1,]x e ∈时1(0,]y e ∈，显然非互倒集；对于集合④，2125[,)[2,]552y ∈25[,]52=且125[,]52y ∈，故集合④是互倒集. 二、填空题：9.12；10. 4x；11.12.233p ；13. 3；14.解析：12.所求概率9910101010323()+C ()555P C =（）91023352310()()455533p p p =⨯⨯+=⨯+=. 13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q=的等比数列，又310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.15．依题意得BE =BEA ∽△CFA得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = BC =三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+= -----------------------3分∵(0,)8πα∈，∴5π2(,)6612ππα+∈， --------------------------------------------4分 ∴πcos(2)6α+==-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分cos(2)cos sin(2)sin6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分11132326=+⋅=----------------------------------------------------12分 [解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=，--------------------------3分即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=-------------------------------------------------5分 ⇒2cos 2sin 2αα-=①---------------------------------6分 将①代入22sin 2cos21αα+=并整理得24cos 212cos 2230αα--=，---------------8分 解得：121cos 2726α±±==-------------------------②----------------10分∵(0,)8πα∈ ∴024πα<<，∴cos 20α>，故②中负值不合舍去，----------------11分∴1cos 26α+=.-----------------------------------------------------------12分] 17．解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下图示：--3分 --7分 （2）设i A 表示事件“此人于当月i 日到达该市”（ i =1,2，…，10）. 则1()10i P A =（ i =1,2，…，10）-------------------------------------------------8分 依题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2且P(ξ=0)= P(A 5)+P(A 6)=21105=, ----------------------------------------------------9分 P(ξ=1)= P(A 1)+P(A 4)+P(A 7)+P(A 10)=42=105，---------------------------------------10分P(ξ=2)= P(A 2)+P(A 3) +P(A 8)+P(A 9) =42105=，--------------------------------------11分 所以ξ的数学期望12260125555E ξ=⨯+⨯+⨯=．-----------------------------------12分18.（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD A B C D ∴⊥，-------------------1分 又BC CD ⊥， ABBC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------4分 （2）解法1：由（1）知EF //CD∴AEF ACD ∆∆--------------------------------5分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=---------------------6分 331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅111142=⨯⨯⨯=-------------------8分[解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----5分 ∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------6分 由（1）知EF ⊥平面ABC ， ∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅1111113423228=⨯+⨯⨯⨯⨯=.-----------------8分] （3）解法1：以点C 为坐标原点，CB 与CD 所在的直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系如图示，--------------------------------------------------------9分则(000)C ，，,(100),(010),(10B D A ，，，，111(,0(,222E F∴1(,02BE =-,11(,22BF =-,---------------10分 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n a b c =，由0n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得10211022a a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令c =6,0a b ==，∴(6,0,n =，------------------12分∵BA =是平面BCD 的法向量，设平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角大小为θ，则cos 7||||6n BA n BA θ⋅===⋅⨯,．---------------------------------------------------14分[解法2：过点B 作l //CD ，则l ⊂平面BCD EF//CD ，∴//EF l ∴l ⊂平面BEF ,∴l 为平面BEF 与平面BCD 的交线，---------------------------------------------10分 ∵CD ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，∴BE CD ⊥，∴BE l ⊥ 又BC CD ⊥，∴BC l ⊥∴CBE ∠为平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角的平面角，------------------------12分 在Rt ABC∆中，∵BE=CE ，CBE ACB ∠=∠∴cos cos BC CBE ACB AC ∠=∠===， 即所求二面角的余弦值为7．----------------14分] 19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和211a =可得15a = --------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项15a =，公差为6的等差数列，∴16(1)61n a a n n =+-=--------------------------------------------------------7分 ∴21()322n n n a a S n n +==+-----------------------------------------------------8分[解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---------------------4分 可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=- 131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分 ∴数列{}n S n 是首项151S=,公差为3的等差数列， 53(1)32nS n n n∴=+-=+，即232n S n n =+.--------------------------------------8分] （3）证明：n n b S ===<-----------------10分23=--------------------11分 ∴122[(52)(85)(3231)]3n b bb n n +++<-+-+++---------------13分23=<----------------------------------------14分 20.解：(1)设(,)M x y ,由//MB OA uuu r uu r得(,1)B x -,-------------------------------------1分又(01)A ，，∴(,1)MA x y =--u u u r , (0,1)MB y =--u u u r , (,2)AB x =-uu u r.--------------------3分 由MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r 得()0MA MB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r即(,2)(,2)0x y x --⋅-=24x y ⇒=，∴曲线C 的方程式为24x y =.----------------------------------------------------5分 （2）解法1：由曲线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ， 则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点200(,)4x P x ，由直线2:l y kx m =+与曲线C 有唯一公共点P 知，直线2l 与曲线C 相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线2l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分令1y =-得20022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NP x n NQ n x ∴=-=------------------------------------------10分∵点N 在以PQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NP NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=---------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．---------14分 [解法2：设点00(,)P x y ，由2:l y k x m =+与曲线C 有唯一公共点P 知，直线2l 与曲线C 相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------6分 ∴直线2l 的方程为000()2xy y x x -=-，--------------------------------------------7分令1y =-得002(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为002(1)(,1)y x --，-------------------------8分 ∴以PQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=--------①-----10分 分别令02x =和02x =-，由点P 在曲线C 上得01y =，将00,x y 的值分别代入①得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=-------------------------------②(1)(1)(2)0y y x x -+++=--------------------------------------------------------③②③联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-，将(0,1)的坐标代入①式得，①式， 左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边， 将(0,1)-的坐标代入①式得，①式， 左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，------------------------------------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分] 21.解：（1）∵()ln F x ax x =-，(0)x > ∴1'()F x a x=-，---------------------------------------------------------------1分 ①若0a ≤，则对任意的(0,)x ∈+∞都有'()0F x <，即函数()F x 在(0,)+∞上单调递减， 函数()F x 在(0,)+∞上无极值；----------------------------------------------------2分②若0a >，由'()0F x =得1x a =，当1(0,)x a ∈时'()0F x <，当1(,)x a∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在1(0,)a 单调递减，在1(,)a +∞单调递增，∴函数()F x 在1x a=处有极小值，∴1()F a 11ln 1a=-=，∴1a =.---------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数且当(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->， ∴1'()cos(1)0G x a x x =--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222c o s 1s i n 1s i n 1c o s 1'()c o s (1)c o s (1)x x x x x x H x x x x x -------==------7分当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分 [解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x=--≤-----------（*）恒成立，--------------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->，当0a ≤时，（*）式显然成立；----------------------------------------------------6分 当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a≥-在(0,1)上恒成立， 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-------------------------------7分 ∴()(1)1h x h <=， ∴11a≥01a ⇒<≤，------------------------------------------------------------8分 综上得(,1]a ∈-∞.-------------------------------------------------------------9分] （3）证法1：由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，------------------------------------------10分∵对任意的k N *∈有21(0,1)(1)k ∈+，∴211(0,1)(1)k -∈+ ∴22211(1)sin ln ln1(1)(2)1(1)k k k k k +<=++-+，--------------------------------------12分 ∴22222211123(1)sin sin sin ln ln ln23(1)1324(2)n n n n ++++<++++⨯⨯+ 22223(1)2(1)ln[]ln1324(2)2n n n n n ++=⋅⋅⋅=⨯⨯++ln 2<， 即211sinln 2(1)nk k =<+∑．--------------------------------------------------------14分[证法2：先证明当02x π<<时，sin ,x x <令()sin p x x x =-,则()cos 10p x x '=-<对任意的02x π∈（，）恒成立，----------------10分∴函数()p x 在区间(0,)2π上单调递减，∴当02x π<<时，()(0)0p x p <=，sin ,x x ∴<----------------------------------11分∵对任意的k N *∈，21(0,)2k π∈ 而2214112(),412121k k k k <=⋅---+---------------------------------------------12分 ∴221111sin2()(1)(1)2123k k k k <<⋅-++++232111111112sin 2()ln ln 2(1)355721233nk e k n n =∴<-+-++-<=<=+++∑.----14分]。