2013高考数学三轮冲刺押题 基础技能闯关夺分必备 互斥事件及其概率(含解析)
2013年湖南省高考压轴卷理科数学试题及答案
2013年湖南省高考压轴卷数学理本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。
时量120分钟，满分150分。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.时，A B =（ ）A．∅2. （ ）A.2B.4C.3D.-23.已知函数，则( )A ．32B ．16 C.D ．4.已知等比数列{}n a中，各项都是正数，且,品…中&高*考*网】A5.已知两个非零向量a 与b ，定义，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则A ．8-B ．6-C ．8D ．6 6.在空间给出下面四个命题（其中m 、n 为不同的两条直线，a 、b 为不同的两个平面）①m ^a ，n //a Þm n ^②m //n ，n //a Þm //a③m //n ，n b ^，m //a Þa b ^④m n A =，m //a ，m //b ，n //a ，n//bÞa//b其中正确的命题个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7.入的条件是（）A．1005i≤ D．1006i>i>C．1006i≤B．10058. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．．C．（1）π D．（2）π二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上。
考前练兵江西省2013届高考压轴卷 数学文试题
江西省2013届高考压轴卷 数学文试题本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：棱台的体积公式 121()3V Sh S S =+ 其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示梭台的高 球的表面积公式24R S π=球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径 第I 卷一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的．(1)已知集合{1,2},{,},a A B a b ==若1{}2A B = ,则A B 为A ．1{,1,}2bB ．1{1,}2-C ．1{1,}2D ．1{1,,1}2-（ ） (2) 已知2ii(,)ia b a b +=+∈R ，其中i 为虚数单位，则a b += (A)1- (B)1 (C)2 (D)3 (3)在空间，下列命题正确的是（A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行（4）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -=(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)3-(5) 已知a<0,b<0,a+b=-2若ba c 11+=，则c 的最值为 ( ) A ．最小值-1 B ．最小值-2C ．最大值-2D ．最大值-1（6）样本中共有5个个体，其值分别为,0,1,2,3a .若该样本的平均值为1，则样本方差为（A 652(7)已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆25x + y 2=1和双曲线23x - y 2=1，P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的面积是（ ）A ．2B ．3C ．1D ．4(8)设数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是数列{}n a 是递增数列的(A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(9)设变量,x y 满足约束条件20510080x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤，则目标函数34z x y =-的最大值和最小值分别为(A)3,11- (B)3,11-- (C)11,3- (D)11,3(10)定义平面向量之间的一种运算“ ”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)= （，令a b=mq-np，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则a b=0B.a b=b aC.对任意的R λ∈，有a)b=(λλ （a b)D. 2222(a b)+(ab)=|a||b| 第II 卷二、 填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分． (11) 函数()sin sin()3f x x x π=-的最小正周期为 ．(12) 右程序框图中，当n ∈N *（n>1）时，函数()n f x 表示函 数1n-f x ()的导函数.若输入函数1sin cos =+()f x x x ，则输出的 函数()n f x 可化为___ __。
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：10.5等可能性事件和互斥事件的概率(第1课时)
2
1
3
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• 15名新生中有3名优秀生， • 随机将15名新生平均分配到3个班级中去. • (1)每班各分配到一名优秀生的概率是多少？ • (2)3名优秀生分配到同一班的概率是多少？
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• 解： (1)每班分配到1名优秀生和4名非优 秀生，甲班从3名优秀生中任选1名，从12 1 名非优秀生中任选4名，共有C 142 种方法； C3 乙班从剩下的2名优秀生中选1人，从剩下 的8名非优秀生中选4名，共有 种方 1 4 C 2C8 法；最后剩下的1名优秀生和4名非优秀生 给丙班，有 种方法，将15名新生平 1 4 C1 C 4 均分到甲、乙、丙三个班级共有 5 5 5 C 15 C 10 C 5 种不同的分法. • 所以每班各分配到一名优秀生的概率为 C C C C C C 25 • . P
1 4 1 4 1 4 3 12 2 8 1 4
C 15C 10 C 5
5
5
5
91
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2 • (2)3名优秀生都分到甲班，共有 C 33 C 12 • 种分法，乙班从剩下的10名之中选5 5 3 名10 ，剩下的5名给丙班，共有C 2 C 5 C 5 C C 3 12 10 5 种不同分法，同理，三名优秀生都分到 乙班、丙班方法数均为2 5 5 . 3 C 3 C 12 C 10 C 5 • 所以3名优秀生都分到同一班级的概率 为 . 6
17
• 解：(1)3个景区都有部门选择可能出现 的结果数为 C 42 A33 .4个部门选择3个景区 可能出现的结果数为34.记“3个景区都 有 部 门 选 择 ”( A为 C事 A 件 4 9A1 ， P ) 3 则 . • (2)解法1：恰有2个景区有部门选择可能 2 1 2 2 C 3 ( C 4 A2 C 4 ) 的结 果数为 ，记“恰有 2 个 景C区 有 部C门 选4 择 ” 为 事 件 A2, (C A ) 1 P( 则A ) . 3 27
2013高考数学三轮冲刺押题基础技能闯关夺分必备等差、等比数列(含解析)
n 项和 S10 及 T10.
解：∵ { an} 为等差数列， { bn } 为等比数列，∴ a2+a4=2a3,
b2· b4=b3 2,
已知 a2+a4=b3, b2· b4=a3, ∴ b3=2a3, a3=b32, 得 b3=2b32,
∵b3≠0, ∴ b3= 1 , a3= 1 . 24
由 a1=1, a3= 1 ，知 { an} 的公差 d=－ 3 ,
下列结论错．误．的是（ C ）
A. d＜ 0
B. a7＝0
C. S9＞ S5
D. S6 与 S7 均为 Sn 的最大值
-3-
（ 2）等差数列 { an } 的前 m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（ C ）
A.130
B.170
C.210
D.260
解：（ 1）答案： C；
由 S5<S6 得 a1+a2+a3+… +a5<a1+a2+… +a5+a6，∴ a6 >0，
(4a 4)(1 2n 1)
（ 2） Sn a
12
3a 4 (2a 2)2n
当 n≥ 2 时， Sn Sn 1
(2a 2)2n 3a 4
3a 4
(2a 2)2n 1 3a 4 2 (a 1)2n 1 3a 4
∵ { Sn } 是等比数列 , ∴ Sn (n ≥ 2) 是常数，
Sn 1
∴3a+4=0，即 a
a11 a12 a13 105 。
5．公差不为 0 的等差数列 { an} 中， a2，a3， a6 依次成等比数列，则公比等于 3
。
2013届高考北师大版数学总复习课件：11.4随机事件的概率、互斥事件的概率
基 础 自 测
1.某商场举行抽奖活动，从装有编号 0,1,2,3 的四个小球的 抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码之和等于 5 时中一 等奖，等于 4 时中二等奖，等于 3 时中三等奖，则在一次抽奖 中，中奖的概率为( 2 A. 3 3 C. 4 ) 1 B. 3 1 D. 4
[答案] A
[解析] 本题主要考查等可能事件的概率的求法和对立事 件的概率公式的应用． 从四个小球中任取两个小球的取法有 6 种，抽出的两个小 球号码之和等于 1 的取法有 1 种：(0,1)；抽出的两个小球号码 之和等于 2 的取法有 1 种：(0,2)．所以在一次抽奖中，中奖的 1 1 2 概率为 1－( ＋ )＝ . 6 6 3
[答案] C
[解析] 从 4 个数字中随机抽取 2 张共有(1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,3)， (2,4)， (3,4)6 种情况， 其中 2 张数字之和为奇数的有(1,2)， 4 2 (1,4)，(2,3)，(3,4)4 种情况，故概率为 P＝ ＝ ，因此选 C. 6 3
• 4 ． ( 文 ) 某产品分一、二、三级，其中只有 一级正品．若生产中出现正品的概率是0.97 ，出现二级品的概率是0.02，那么出现二级 品或三级品的概率是( ) • A．0.01 B．0.02 • C．0.03 D．0.04 • [答案] C • [解析] “出现一级品”这一事件的对立是 “ 出现二级品或三级品 ” ，由对立事件概
• 2．(文)(教材改编题)某人在打靶时，连续射 击 2 次，事件“至少有 1 次中靶”的互斥事 件是( ) • A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 • C．2次都不中靶 D．只有1次中 靶 • [答案] C • [ 解析 ] “ 至少有 1 次中靶 ” 的意义是 “ 只 有 1 次中靶 ” 或 “ 2 次都中靶 ” ，与其不可
(江西版)2013年高考数学总复习 第十章10.1 事件与概率基础梳理自测 理 北师大版(含详解)
2013年高考第一轮复习数学北师(某某版)理第十章10.1 事件与概率基础梳理自测考纲要求1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．知识梳理1．事件的分类2．频数、频率、概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称________________________为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例____________为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率______________________，那么把这个常数记作______，称为事件A 发生的概率．3．事件的关系与运算定义 符号表示包含关系 如果事件A ____，则事件B ____，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )____ (或____) 相等关系 若B ⊇A 且____，那么称事件A 与事件B 相等A ＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)____ (或____) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)____ (或____) 互斥事件 若A ∩B 为______事件，那么事件A 与事件B 互斥A ∩B ＝ 对立事件 若A ∩B 为______事件，A ∪B 为____，那么称事件A 与事件B 互为对立事件(1)概率的取值X 围：________.(2)必然事件的概率P ＝____.(3)不可能事件的概率P ＝____.(4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝________.若事件A 与B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，P (A ∪B )＝____，P (A )＝________. 基础自测1．在下列六个事件中，随机事件的个数为( )．①如果a ，b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋a ；②从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10X号签中任取一X，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在101 kPa下，水的温度达到50 ℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．A．2 B．3 C．4 D．52．总数为10万X的彩票，中奖率为11 000，下列说法中正确的是( )．A．买1X一定不中奖B．买1 000X一定中奖C．买2 000X一定中奖D．买2 000X不一定中奖3．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )．A．至多有1次中靶 B．2次都中C．2次都不中靶 D．只有1次中靶4．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为__________．5．下列说法：①频率反映了事件发生的频繁程度，概率反映了事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的、不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有__________．思维拓展1．“频率”与“概率”有何区别？提示：频率是个试验值，具有随机性，试验次数不同则得到的频率也会不同，当试验次数很大时，一个事件的试验频率就会稳定接近于它的理论概率．因此频率只能近似地反映事件发生可能性的大小，频率是通过大量试验得到的，它的变化始终围绕着一个常数值，即概率．概率是个理论值，是由事件的本质所决定的，与试验的次数无关，它能准确反映事件出现可能性的大小，试验频率与理论概率是不能等同的．2．如何正确区分互斥与对立的关系？提示：在任何一次试验中不可能同时发生的两个事件是互斥事件．若事件A与事件B是互斥的，则A与B的交集是空集，此时若A与B的并集是全集，则A与B是对立的，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件．一、随机事件及其概率(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率是多少？(结果精确到0.1)方法提炼1．判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，基本依据就是在一定条件下，所求的结果是否一定出现，不可能出现还是既有可能出现也有可能不出现．2．频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生可能性的大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小，通过大量重复试验可以发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某个固定的值，这个值就是概率．请做[针对训练]1二、互斥事件、对立事件的概率【例2－1(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．【例2－2】有朋自远方来，已知他乘火车，轮船，汽车，飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.求：(1)他乘火车或飞机来的概率；(2)他不乘轮船来的概率．【例2－3】现有7名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．方法提炼求随机事件的概率的方法有：(1)通过大量重复试验，求出事件发生的频率，以此估计事件的概率．(2)根据互斥事件的概率加法公式计算概率．(3)转化为对立事件，运用公式P (A )＝1－P (A )求概率．请做[针对训练]2考情分析从近三年的高考试题来看，对于随机事件的有关概念及频率的考查多与其他知识相联系，多与现实生活相结合，强调概率的应用性．在高考题中考查较多的是互斥事件的概率及其运算，考查难度较低，属容易题．针对训练1(1)(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？2．某河流上的一座水力发电站，每年6月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在6月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：(2)率，求今年6月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．参考答案知识梳理2．(1)n 次试验中事件A 出现的次数n Afn (A )＝n A n(2)逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上 P (A ) 3．发生 一定发生 B ⊇AA ⊆BA ⊇BA ∪BA ＋BA ∩BAB 不可能不可能 必然事件4．(1)0≤P ≤1 (2)1 (3)0(4)P (A )＋P (B ) 1 1－P (B )基础自测1．A 解析：①⑥是必然事件；③⑤是不可能事件；②④是随机事件．2．D 3.C4．0.5 解析：P ＝1－(0.2＋0.3)＝0.5.5．①④⑤考点探究突破【例1】解：(1)击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906.(2)随着射击次数的增加，频率基本稳定在0.9，并在其附近摆动，由此可估计该运动员击中10环的概率约为0.9.【例2－1】解：记事件“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生．由互斥事件概率的加法公式得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生．由互斥事件概率的加法公式得P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B ：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即B 表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P (B )＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22.【例2－2】解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A 、B 、C 、D ， 则P (A )＝0.3，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，P (D )＝0.4，且事件A 、B 、C 、D 之间是互斥的．(1)他乘火车或飞机来的概率为P 1＝P (A ∪D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7.(2)他乘轮船来的概率是P (B )＝0.2，所以他不乘轮船来的概率为P ＝1－P (B )＝1－0.2＝0.8.【例2－3】解：(1)从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．C 1恰被选中有6个基本事件：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)， 记事件“C 1被选中”为M .因而P (M )＝612＝12. (2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“A 1，B 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以事件N 由两个基本事件组成，所以P (N )＝212＝16，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56. 演练巩固提升针对训练1．解：(1)计算m n即得到男婴出生的频率依次为：0.520 0,0.517 3,0.517 3,0.517 3.(2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.2．解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3(2)P＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年6月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.。
2013高考数学三轮冲刺押题 基础技能闯关夺分必备 不等式综合(含解析)
不等式综合【考点导读】能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等. 【基础练习】 1.若函数()()()()22112,022x f x x x g x x x -⎛⎫=+>=≠ ⎪-⎝⎭，则()f x 与()g x 的大小关系是()()f x g x >2.函数()()22f x a x a =-+在区间[]0,1上恒为正，则a 的取值范围是0＜a ＜2 3.当点(),x y 在直线320x y +-=上移动时，3271x y z =++的最小值是74.已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b )，则f (x )·g (x )＞0的解集是22,,22b b a a ⎛⎫⎛⎫⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx ＞4x +m －3恒成立，则x 的取值范围是x ＞3或x ＜－1【范例导析】例1、已知集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,21P ，函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为Q（1）若φ≠Q P ，求实数a 的取值范围。
（2）若方程()222log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解，求实数a 的取值范围。
分析：问题（1）可转化为2220ax x -+>在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有有解；从而和问题（2）是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数. 解：（1）若φ≠Q P ，0222>+-∴x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有有解x xa 222+->∴ 令2121122222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=x x x u当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,4u所以a>-4,所以a 的取值范围是{}4->a a（2）方程()222log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解则0222=--x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解2121122222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∴x x x a当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a 时，()222log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解 点拨：本题用的是参数分离的思想例2.已知f (x)是定义在[—1，1]上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈[—1，1]，m+n ≠0时有()().0>++nm n f m f（1）判断f (x)在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式:⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1121x f x f ； （3）若f (x)≤122+-at t 对所有x ∈[—1，1]，a ∈[—1，1]恒成立，求实数t 的取值范围．分析：可利用定义法判断单调性，再利用单调性解决问题（2），问题（3）只要f (x)max ≤()2min21tat -+解：(1)任取—1≤x 1<x 2≤1，则f (x 1)—f (x 2)= f (x 1)+f (－x 2)=()()()212121x x x x x f x f -⋅--+∵—1≤x 1<x 2≤1，∴x 1+（－x 2）≠0， 由已知()()2121x x x f x f --+＞0，又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)—f (x 2)＜0，即f (x)在[—1，1]上为增函数． （2）∵f (x)在[—1，1]上为增函数，故有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-123,1121,1111,1211x x x x x x 由此解得 （3）由(1)可知：f （x ）在[—1，1]上是增函数，且f (1)=1，故对x ∈[—l ，1]，恒有f （x ）≤1．所以要使f （x ）≤122+-at t ，对所有x ∈[—1，1]，a ∈[—1，1]恒成立， 即要122+-at t ≥1成立，故at t 22-≥0成立．记g(a )=at t 22-对a ∈[—1，1]，g(a )≥0恒成立，只需g(a )在[—1，1]上的最小值大于等于零． 故()()⎩⎨⎧≥-≤⎩⎨⎧≥>.010010g t g t ，或，， 解得：t ≤—2或t=0．点拨：一般地，若()[],,y f x x a b =∈与()[],,y g t t m n =∈若分别存在最大值和最小值，则()()f x g t ≤恒成立等价于()()max min f x g x ≤.例3.甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs，全程运输成本为)(2bv vas v s bv v s a y +=⋅+⋅=．故所求函数为)(bv bas y +=，定义域为)0(c v ，∈．（2）由于v b a s 、、、都为正数，故有bv bas bv v a s ⋅⋅≥+2)(，即ab s bv vas 2)(≥+． 当且仅当bv va=，即b a v =时上式中等号成立． 若c b a ≤时，则bav =时，全程运输成本y 最小； 当c b a ≤，易证c v <<0，函数)()(bv vas v f y +==单调递减，即c v =时，)(min bc cas y +=．综上可知，为使全程运输成本y 最小， 在c b a ≤时，行驶速度应为b a v =； 在c ba≤时，行驶速度应为c v =． 点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题． 反馈练习：1.设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是),0(+∞2.一个直角三角形的周长为2P ，其斜边长的最小值122+P3.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是833d <≤ 4.如果函数213log (23)y x x =--的单调递增区间是(-∞，a ]，那么实数a 的取值范围是____a <-1____5.若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围为(,3]-∞-6.设实数m ,n ,x ,y 满足ny mx b y x a n m +=+=+则,,2222的最大值ab7．已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是［－2，2］8.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式342-+>+p x px x 都成立的x 的取值范围13-<>x x 或9..三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 a ≤1010.设曲线cx bx ax y ++=23213在点x 处的切线斜率为()x k ，且()01=-k ,对一切实数x ，不等式()()1212+≤≤x x k x 恒成立（0≠a ）. (1)求()1k 的值； (2) 求函数()x k 的表达式. 解：（1）设()c bx ax x k ++=2，()()1212+≤≤x x k x , ()()1112111=+≤≤∴k , ()11=∴k (2)解：⎩⎨⎧==-1)1(0)1(k k=+=+-10c c b a ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=2121c a bx c x ax ≥++∴212, 161,0441,0212≥∴≤-=∆≥+-ac ac c x ax ， 又()16142=+≤c a ac ， 即41,161,161161==∴=∴≤≤c a ac ac ()()22141412141+=++=∴x x x x k 11.已知二次函数f (x)=()0,,12>∈++a R b a bx ax 且,设方程f (x )=x 的两个实根为x 1和x 2．（1）如果x 1<2＜x 2<4，且函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证：x 0＞—1； （2）如果∣x 1∣<2，∣x 2—x 1∣=2，求b 的取值范围．解：(1)设g(x)= f (x)—x=()()0242.011212<<<<>+-+g x x a x b ax 得，由，且，且g(4)>0，即,81,221443,221443,03416,0124>-<--<<-∴⎩⎨⎧<-+<-+a a a a b a b a b a 得由∴.1814112,4112832-=⋅->-=->->-ab x a a b a 故（2）由g(x)=()同号、可知2121,01,011x x ax x x b ax ∴>==+-+．①若0<x 1<2，则x 2一x 1=2，即x 2=x 1+2>2，∴g(2)=4a +2b —1<0， 又()()()，负根舍去，得01112441222212>+-=+=--=-a b a aa b x x ，代入上式得();41,231122<-<+-b b b 解得②若-2<x 1<0，则x 2=－2+x 1<-2，∴g （-2）<0，即4a －2b +3<0，同理可求得47>b ． 故当0<x 1<2时， 41<b ；当-2<x 1<0时，47>b ． 12.已知A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8km/h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v 0v ≤)，若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当v=12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度v 0应为多少？分析：本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间体现了分类讨论这一重要的数学思想，本题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视。
(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备互斥事件及其概率(含解析)
(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备互斥事件及其概率（含解析）【考点导读】1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判定某两个事件是否是互斥事件，进而判定它们是否是对立.2.了解互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式进行简单的概率运算.【基础练习】1.两个事件互斥是这两个事件对立的必要不充分条件（充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是③ .①至少有1个白球，差不多上红球②至少有1个白球，至多有1个红球③恰有1个白球，恰有2个白球④至多有1个白球，差不多上红球3．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必定事件是④ .①3个差不多上正品②至少有1个是次品③3个差不多上次品④至少有1个是正品4.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范畴内的概率是 0.38 .5.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 50% .【范例解析】例1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观看正品件数与次品件数，判定下列每件事件是不是互斥事件，假如是，再判定它们是不是对立事件.（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品.解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中可不能同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，同理能够判定：（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件点评解决此类问题，应结合互斥事件和对立事件的定义.例2．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，运算该射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）少于7环的概率.解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44.（2）射中许多于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中许多于7环的事件为对立事件，因此射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03.例3 一盒中装有各色小球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求：（1） 取出1球是红球或黑球的概率；（2） 取出1球是红球或黑球或白球的概率.解：记事件A 1={任取一球为红球}，A 2={任取一球为黑球}，A 3={任取一球为白球}， A 4={任取一球为绿球}，则12345421(),(),(),()12121212P A P A P A P A ==== （1）()1212543()()12124P A A P A P A +=+=+= （2）()12312311()()()12P A A A P A P A P A ++=++= （或()12341111()11212P A A A P A ++=-=-=） 点评 （1）解决此类问题，第一应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定用哪一个公式（2）要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用.【反馈演练】1. 一个射手进行一次射击,试判定下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环；事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环.3．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中显现乙级品的概率为03.0,显现丙级品的概率为01.0,则对产品抽查一次抽得正品的概率是 96.0 .4.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则56是 ② . ①乙获胜的概率 ②乙不输的概率 ③甲胜的概率 ④甲不输的概率5．假如事件A ，B 互斥，那么 ② . ①A B +是必定事件 ②A B +是必定事件 ③ A B 与互斥 ④A B 与独立6. 在所有的两位数中，任取一个数，则那个数能被2或3整除的概率是 32 7.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，采取有放回地每次摸出一个球并记下颜色为一次实验，实验共进行3次，则至少摸到一次红球的概率是 78 8．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒差不多上黑子的概率是71，从中取出2粒差不多上白子的概率是3512，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 3517 9.同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张贺年卡.则至少一人拿到自己所写贺年卡的概率为5810.有三个人，每个人都以相同的可能性被分配到四个房间中的某一间，求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率；（2）至少两个人分配到同一个房间的概率.答案 （1）116； （2）58. 11. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为31，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率也是125，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A 、B 、C 、D ，则有P(B+C)=P(B)+P(C)=125；P(C+D)=P(C)+P(D)=125； 又P(A)=31, P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1解得P(B)=41,P(C)=61, P(D)=41 答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是41、61、41.。
北京市2013届高考压轴卷 数学理试题
北京市2013届高考压轴卷 数学理试题本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．在复平面内，复数52ii+的对应点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限2．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M N N =I 成立的a 的值是（A ）1（B ）0 （C ）－1（D ）1或－13．设函数1()7,02()0x x f x x ⎧-<⎪=≥，若()1f a <，则实数a 的取值范围是 （ ）（A ）(,3)-∞- （B ）(1,)+∞ （C ）(3,1)- （D ）(,3)(1,)-∞-+∞U4．已知 a b r r ，为非零向量，则“函数2()()f x ax b =+r r 为偶函数”是“a b ⊥r r ”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和， 77521a S ==，，则10S =（ ）（A ）40 （B ）35 （C ）30 （D ）286.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若,//m αβα⊥，则αβ⊥；②若,m n αβ⊥⊥，且,m n ⊥则αβ⊥；③若,m β⊥//m α，则αβ⊥；④若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ。
其中正确命题的序号是（ ） （A ）①④（B ）②③（C ）②④（D ）①③7．一个几何体的三视图如图l所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为 （ ）（A ）1 （B ）33（C ）3 （D ）2338．已知函数9()4(1)1f x x x x =-+>-+，当x=a 时，()f x 取得最小值,则在直角坐标系 中，函数11()()x g x a+=的大致图象为（ ）第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= 10. 已知a =（3，2），b =（-1，0），向量a λ+b 与a -2b 垂直，则实数λ的值为11. 如果执行右面的程序框图，则输出的结果是12. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为13.设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤， 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是 14．以下正确命题的为①命题“存在R x ∈，220x x --≥”的否定是：“不存在R x ∈，220x x --<”； ②函数xx x f )21()(31-=的零点在区间11(,)32内； ③在极坐标系中，极点到直线:l πsin()4ρθ+=④函数()xx f x ee -=-的图象的切线的斜率的最大值是2-；⑤线性回归直线$$y bxa =+$恒过样本中心(),x y ，且至少过一个样本点. 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）已知向量)(),0,0,sin a x b x ==rr，记函数()()22f x a b x =++r r .求：（I ）函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合； （II ）函数()f x 的单调递增区间. 16．（本小题共13分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112a b ==，454b =，12323a a a b b ++=+． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（2）数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．17．本小题共14分为了参加2012年全省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：（（II ）该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三（7）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．18．（本小题共13分）如图所示，在棱锥P ABCD -中， ⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，2,4PA AD DC AB ====且AB //CD ，ο90=∠BAD ，（Ⅰ）求证：PC BC ⊥（Ⅱ）求PB 与平面PAC 所成角的正弦值. 19．（本小题共14分）已知函数1ln )(++=x xb a x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2=+y x ．（I ）求a ，b 的值；（II ）对函数)(x f 定义域内的任一个实数x ，xmx f <)(恒成立，求实数m 的取值范围． 20．（本小题共13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，短轴长为43. (I)求椭圆C 的标准方程；(II)直线x =2与椭圆C 交于P 、Q 两点,A 、B 是椭圆O 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜率为12。
2013高考数学三轮冲刺押题 基础技能闯关夺分必备 集合的概念及运算（含解析）
集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂=∅．3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ⋂=____________． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8或2___．5. 已知集合[1,4)A =,(,)B a =-∞，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围____________．6. 已知集合{|10}M x x =+<,1{|0}1N x x =>-，则图中 阴影部分所表示的集合是 ____ .【范例解析】例1. 设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b a b a b a +=，求b a -的值. 分析：利用集合中元素互异性和集合相等性质，得到集合中对应元素的关系.解：由题知，0a ≠， 0a b +=，则1b a =-，所以 1b a a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以2b a -=. 点评：本题以集合中元素的性质为载体，考察学生对条件的把握分析能力，以寻找解题的突破口.例2.已知集合{026}A x ax =<+≤，{124}B x x =-<≤.（1） 若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围；（2） 集合A ，B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由.第6题{0,2} {11}x x -≤< [4,)+∞分析：（1）对a 进行分类讨论，利用数轴求a 的取值范围. 解：{124}B x x =-<≤1{2}2x x =-<≤，{026}A x ax =<+≤{24}x ax =-<≤. ①当0a =时，A R =，所以A B ⊆不可能；②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，若A B ⊆，则21,24 2.a a⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得4a ≥. ③当0a <时，42{}A x x a a =≤<-，若A B ⊆，则41,22 2.a a⎧>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得8a <-. 综上所得，a 的取值范围为(,8)[4,)-∞-⋃+∞.(2)分析一：求出满足B A ⊆时a 的取值范围，再与（1）取交集.解法一：①当0a =时，A R =，所以B A ⊆成立；②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，若B A ⊆，则21,24 2.a a⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得02a <≤. ③当0a <时，42{}A x x a a =≤<-，若B A ⊆，则41,22 2.a a⎧≤-⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得10a -<<. 综上，B A ⊆时，12a -<≤.A B A B =⇔⊆且B A ⊆，∴若A B =，则(1,2]a ∈-且(,8)[4,)a ∈-∞-⋃+∞，矛盾. 所以，集合A 与B 不可能相等.分析二：利用两个相等集合中元素的对应关系，建立等量关系.解法二：①当0a =时，A R =，所以B A ≠；②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，若B A =，则21,24 2.a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解. ③当0a <时，42{}A x x a a=≤<-，若B A =，显然不成立. 综上，集合A 与B 不可能相等.点评：在解决两个数集关系问题时，应合理运用数轴帮助分析与求解.另外，在解含参数的不等式（方程）时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循不重不漏的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答.例3.（1）已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ⋃=，{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，求集合B ；（2）已知集合{,0}M a =，2{30,}N x x x x Z =-<∈，且{1}M N ⋂=，记P M N =⋃，写出集合P 的所有子集.分析：（1）先化简集合A ，由R B C A R ⋃=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.（2）求出N ，由{1}M N ⋂=，可知1M ∈，解得a ，进而求出P .解：（1）{12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ⋃=，R A C A R ⋃=，可得A B ⊆.而{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，∴{01x x <<或23}x <<.B ⊆借助数轴可得B A =⋃{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<.（2）由230x x -<，得03x <<；又x Z ∈，故{1,2}N =.由{,0}M a =且{1}M N ⋂=，可得1a =.{1,0}M ∴=，故P 的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}.点评：（1）研究数集的相互关系时，可通过数轴示意，借助直观性探求，易于理解.（2）含有n 个元素的集合，共有2n 个子集，21n-个真子集.另注意空集的情况.例4.已知函数2()f x x px q =++，集合{()}A x f x x ==，集合{[()]}B x f f x x ==. （1）求证：A B ⊆；（2）若{1,3}A =-，求集合B .分析：（1）要证明A B ⊆，根据定义，只要证A 中任一元素都是B 中的元素即可；（2）由{1,3}A =-，可以求出p ，q 的值，从而求出B .解：（1）设0x 是集合A 中的任一元素，即0x A ∈.{()}A x f x x ==，∴ 00()x f x =，即有000[()]()f f x f x x ==.∴0x B ∈.故A B ⊆.（2）{1,3}A =-2{}x x px q x =++=，1∴-，3是方程2(1)0x p x q +-+=的两个根， ∴1(1)(1)0,9(1)30,p q p q +-⋅-+=⎧⎨+-⋅+=⎩1,3.p q =-⎧∴⎨=-⎩2() 3.f x x x ∴=-- 因为集合B 中的元素是方程[()]f f x x =的根，也就是222(3)(3)3x x x x x ------=的根. 方程整理得22(23)(3)0x x x ---=，解得x =-{B =-. 点评：本题考查集合语言与集合思想在解决方程问题时的运用，在解答过程中，应脱去集合符号和抽象函数符号的“外衣”，显出本质的数量关系，要不断实施各种数学语言间的相互转换.【反馈演练】 1．设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ⋂=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是____8___个．3．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B ⊆A ，则实数m ＝ 1 ．4．若集合M ＝{0，l ，2}，N ＝{(x ，y )|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M }，则N 中元素的个数为______4____个．5．设f(n)＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f(n)∈P}，Q ∧＝{n ∈N |f(n)∈Q}，则(P ∧∩N C Q ∧)∪(Q ∧∩N C P ∧)＝___________. 6．若集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，则A ∩B 等于[]1,1-． 7．已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围是 . 8．已知A ，B ，C 为三个集合，若C B B A ⋂=⋃，给出下列结论：①C A ⊆；②A C ⊆；③C A ≠；④φ=A ．其中正确结论的有_______①______．提示：由A B B C =知，,A B B A B C A B C ⊆⊆∴⊆⊆．9．已知集合2{20}A x x x =+-≤，{214}B x x =<+≤，2{0}C x x bx c =++>，若集合A ，B ，C 满足()A B C ⋃⋂=∅，()A B C R ⋃⋃=，求b ，c 的值.解：由题知：{(1)(2)0}A x x x =-+≤{21}x x =-≤≤，{13}B x x =<≤.{23}A B x x ∴⋃=-≤≤.{0,3}(2,3)()A B C ⋃⋂=∅，()A B C R ⋃⋃=，()R C A B ∴=⋃.{2C x x ∴=<-或3}x >. 又2{0}C x x bx c =++>，∴20x bx c ++=的两根为2-和3，即有420,930.b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得1b =-，6c =-． 10．设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+.（1）若P Q P ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若P Q ⋂=∅，求实数a 的取值范围；（3）若{03}P Q x x ⋂=≤<，求实数a 的值.解：（1）由题意知：{23}P x x =-<<，P Q P ⋃=，Q P ∴⊆.①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >．②当Q ≠∅时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<．综上，(1,0)(3,)a ∈-⋃+∞．（2）①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >；②当Q ≠∅时，得23,3223a a a a ≤+⎧⎨+≤-≥⎩或，解得3532a a ≤-≤≤或． 综上，3(,5][,)2a ∈-∞-⋃+∞．（3）由{03}P Q x x ⋂=≤<，则0a =．11．设集合2{40}A x x x =+=，22{2(1)10}B x x a x a =+++-=．（1）若A B B ⋂=，求a 的值；（2）若A B B ⋃=，求a 的值．解：由题知：{0,4}A =-．（1）A B B ⋂=，B A ∴⊆．①当B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-；②当{0}B =或{4}-时，224(1)4(1)0a a ∆=+--=，解得1a =-，此时，{0}B =，满足B A ∴⊆；③当{0,4}B =-时，22224(1)4(1)0,10,168(1)10.a a a a a ⎧∆=+-->⎪-=⎨⎪-++-=⎩综上所述，实数a 的取值范围是1a =或1a ≤-．（2）A B B ⋃=，A B ∴⊆，故{0,4}B =-．即22224(1)4(1)0,10,168(1)10.a a a a a ⎧∆=+-->⎪-=⎨⎪-++-=⎩，解得1a =．。
高考数学 11.2 互斥事件有一个发生的概率课时提升作业
11.2 互斥事件有一个发生的概率课时提升作业文一、选择题1.(2013·南宁模拟)从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品至少有一件是次品”,则下列结论正确的是( )(A)A与C互斥(B)任何两个均互斥(C)B与C互斥(D)任何两个均不互斥2.一批产品次品率是1%,则这批产品中正品的概率是( )(A)1% (B)50% (C)90% (D)99%3.一篮球运动员一次投球,命中三分球的概率是错误!未找到引用源。
,命中两分球的概率是错误!未找到引用源。
,则他一次投球得分的概率是( )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
4.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽验一件是正品(甲级)的概率为( )(A)0.95 (B)0.97 (C)0.92 (D)0.085.袋中红球、白球、黑球分别有5,4,3个,从中任意摸取两个球,其颜色相同的概率是( )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
6.(2013·河池模拟)从1,2,3,4,5,6这六个数中随机地取两个数,则这两个数都是奇数或都是偶数的概率为( )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
7.设事件A,B的对立事件分别为错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
,则事件A与B 互斥是事件错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
互斥的( )(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件8.(2013·桂林模拟)将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次,至少出现一次6点向上的概率是( ) (A)错误!未找到引用源。
高考数学总复习 第九章 第1课时 随机变量的概率课时闯
2013年高考数学总复习 第九章 第1课时 随机变量的概率课时闯关（含解析） 新人教版一、选择题1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：选B.根据对立事件与互斥事件的关系知，甲是乙的必要条件但不是充分条件．2．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )A ．0.45B ．0.67C ．0.64D ．0.32解析：选D.P ＝1－0.45－0.23＝0.32.3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是( ) A ．甲获胜的概率是16 B ．甲不输的概率是12 C ．乙输了的概率是23 D ．乙不输的概率是12解析：选A.“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P ＝1－12－13＝16； 设事件A 为“甲不输”，则A 是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23； 乙输了即甲胜了，所以乙输了的概率为16； 乙不输的概率为1－16＝56. 4．(2012·威海质检)掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是( )A ．P (M )＝13，P (N )＝12B ．P (M )＝12，P (N )＝12C ．P (M )＝13，P (N )＝34D ．P (M )＝12，P (N )＝34解析：选 D.I ＝{(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)}，M ＝{(正，反)、(反，正)}，N ＝{(正，正)、(正，反)、(反，正)}，故P (M )＝12，P (N )＝34. 5．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310B.15C.110D.112 解析：选A.从五个小球中任取两个共有10种，而1＋2＝3,2＋4＝6,1＋5＝6，取出的小球标注的数字之和为3或6的只有这3种情况，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为310. 二、填空题6．(1)某人投篮3次，其中投中4次是________事件；(2)抛掷一枚硬币，其落地时正面朝上是________事件；(3)三角形的内角和为180°是________事件．解析：(1)共投篮3次，不可能投中4次；(2)硬币落地时正面和反面朝上都有可能；(3)三角形的内角和等于180°.答案：(1)不可能 (2)随机 (3)必然7．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________． 解析：“出现奇数点”的概率是事件A ，“出现2点”的概率是事件B ，A 、B 互斥，则“出现奇数点或2点”的概率之和为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23. 答案：238．向敌方三个相邻的军火库各投一枚炸弹．击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为________．解析：设A 、B 、C 分别表示击中第一、二、三个军火库，易知事件A 、B 、C 彼此互斥，且P (A )＝0.025，P (B )＝P (C )＝0.1.设D 表示军火库爆炸，则P (D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 所以军火库爆炸的概率为0.225.答案：0.225三、解答题9．(2011·高考陕西卷)如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数6 12 18 12 12 选择L 2的人数0 4 16 16 4(1)．．(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人， 故由调查结果得频率为： 所用时间(分钟)10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L 1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2L 2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1(3)设A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1.同理，P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P (B 1)＜P (B 2)，∴乙应选择L 2.10．(2011·高考江西卷)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率．(2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345), 可见共有10种．令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)P (D )＝110. (2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710. 11．(探究选做)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A 表示和为6的事件，求P (A )；(2)现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？说明理由．解：(1)甲、乙各出1到5根手指头，共有5×5＝25种可能结果，和为6有5种可能结果．∴P (A )＝525＝15. (2)B 与C 不是互斥事件，理由如下：B 与C 都包含“甲赢一次，乙赢两次”，事件B 与事件C 可能同时发生，故不是互斥事件．(3)和为偶数有13种可能结果，其概率为P ＝1325>12， 故这种游戏规则不公平．。
(江苏专用)2013高考数学总复习 (基础达标演练+综合创新备选)第十一篇《第67讲 互斥事件的概率 》理(
2013高考总复习江苏专用（理科）：第十一篇《第67讲 互斥事件的概率 》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A 级 基础达标演练 (时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是________(写出一个即可)． 答案 2次都不中靶2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为________． 解析 由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3 答案 0.33．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级品)的概率为________． 解析 记抽验的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92. 答案 0.924．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析 记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 是彼此互斥的，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 的概率的并集．P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35.答案 355．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为________．解析 依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40. 答案 0.406．(2011·浙江)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是________．解析 法一 (直接法)：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取③个球的取法共有10种，所以所求概率为910.法二 (间接法)：至少一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球共1种取法，故所求概率为1－110＝910. 答案9107．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________． 解析 因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案 23二、解答题(每小题15分，共45分)8．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：求：(1)至多(2)至少2人排队的概率．解 记“没有人排队”为事件A ，“1人排队”为事件B ，“2人排队”为事件C ，A 、B 、C 彼皮互斥．(1)记“至多2人排队”为事件E ，则P (E )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)记“至少2人排队”为事件D .“少于2人排队”为事件A ＋B ，那么事件D 与事件A ＋B 是对立事件，则P (D )＝1－P (A ＋B )＝1－[P (A )＋P (B )]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74. 9．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到⎩⎪⎨⎪⎧ 14＋P B ＋P C ＋P D ＝1，P B ＋P C ＝512，PC ＋PD ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧P B ＝14，PC ＝16，PD ＝13.∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是14，16，13.10．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： (1)两数之和为5的概率； (2)两数中至少有一个奇数的概率．解 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件． (1)记“两数之和为5”为事件A ，则事件A 中含有4个基本事件，所以P (A )＝436＝19.所以两数之和为5的概率为19.(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件．所以P (B )＝1－936＝34.所以两数中至少有一个奇数的概率为34.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．给出满足A B 的非空集合A ，B ，以下四个命题中正确的为________(填序号)． ①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件； ②若任取x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件； ③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件； ④若任取x ∉B ，则x ∉A 是必然事件．解析 由A B 可知A 中元素必在B 中，反之不成立，故①，③，④正确． 答案 ① ③ ④2．某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两队夺取冠军的概率分别是37和14，则该市足球队夺得全省足球冠军的概率是________． 解析 P ＝37＋14＝1928.答案19283．两个射击，甲射击一次，中靶概率是P 1，乙射击一次，中靶概率是P 2，已知1P 1，1P 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，且P 1满足方程P 21－P 1＋14＝0.则甲射击一次，不中靶概率为________；乙射击一次，不中靶概率为________．解析 由P 21－P 1＋14＝0，得P 1＝12，因为1P 1，1P 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，所以1P 1·1P 2＝6，所以P 2＝13，因此甲射击一次，不中靶概率为1－12＝12，乙射击一次，不中靶概率为1－13＝23.答案 12 234．某家庭电话，有人时打进的电话响第一声时被接的概率为110，响第二声时被接的概率为310，响第三声时被接的概率为410，响第四声时被接的概率为110，则电话在响前四声内被接的概率为________．解析 这是四个互斥事件，所以概率P ＝110＋310＋410＋110＝910.答案9105．抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，则P (A ＋B )＝________.解析 记事件C 为“朝上一面的数为2”，则A ＋B ＝A ＋C ，且A 与C 互斥．又因为P (C )＝16，P (A )＝12，所以P (A ＋B )＝P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )＝12＋16＝23.答案 236．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析 圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d ＜2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2＜2，得b ＞a ，满足题意的b ＞a ，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512.答案512二、解答题(每小题15分，共30分)7．国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：(1)射中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率．解 记事件“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.32＋0.28＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生．由互斥事件概率的加法公式得P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B “射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B 表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P (B )＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22.8．有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站……，第100站，一枚棋子开始在第0站，参与者每掷一次硬币，若硬币正面向上，棋子向前跳一站(从k 到k ＋1)，若硬币反面向上，棋子向前跳两站(从k 到k ＋2)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束时．设棋子跳到第n 站的概率为P n . (1) P 0，P 1，P 2的值；(2)试寻找P n ，P n －1，P n －2三个概率之间的关系，其中n ∈N ， 2≤n ≤99.解 (1)因为棋子开始在第0站，棋子在第0站为必然事件，所以P 0＝1. 若第一次掷硬币出现正面向上，则棋子跳到第1站，其概率为12，所以P 1＝12.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：①前两次掷硬币都出现正面向上，其概率为14；②第一次掷硬币出现反面向上，其概率为12，而①②不可能同时发生，所以P 2＝14＋12＝34.(2)棋子跳到第n (2≤n ≤99)站的情况有下列两种，而且也只有这两种 ①棋子先到第n －2站，又掷硬币出现反面向上，其概率为12P n －2；②棋子先到第n －1站，又掷硬币出现正面向上，其概率为12P n －1；又这两种情况不可能同时发生，所以P n ＝12P n －2＋12P n －1.。
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互斥事件及其概率
【考点导读】
1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们
是否是对立.
2.了解互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式
进行简单的概率计算.
【基础练习】
1.两个事件互斥是这两个事件对立的必要不充分条件（充分不必要、必要不充分、充要条
件、
既不充分也不必要）
2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是③ .
①至少有1个白球，都是红球②至少有1个白球，至多有1个红球
③恰有1个白球，恰有2个白球④至多有1个白球，都是红球
3．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是④ .
①3个都是正品②至少有1个是次品③3个都是次品④至少有1个是正品
4.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率
是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范围内的概率是 0.38 .
5.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概
率为 50% .
【范例解析】
例1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品.
解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1
件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，
同理可以判断：（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事
件既是互斥事件也是对立事件
点评解决此类问题，应结合互斥事件和对立事件的定义.
例2．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，
0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率.
解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44.
（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为
0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，
所以射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03.
例3 一盒中装有各色小球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中
随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2） 取出1球是红球或黑球或白球的概率.
解：记事件A 1={任取一球为红球}，A 2={任取一球为黑球}，A 3={任取一球为白球}， A 4={任
取一球为绿球}，则12345421(),(),(),()12121212
P A P A P A P A =
=== （1）()1212543()()12124
P A A P A P A +=+=+= （2）()12312311()()()12
P A A A P A P A P A ++=++= （或()12341111()11212P A A A P A ++=-=-=） 点评 （1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定用哪一个公式
（2）要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用.
【反馈演练】
1. 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环；
事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环.
分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生.
解：A 与C 互斥（不可能同时发生），B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件（至少一个发生）
2．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是 21 3．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为03.0,出现丙级品的概率为01.0,则对产品抽查一次抽得正品的概率是 96.0 .
4.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则56
是 ② . ①乙获胜的概率 ②乙不输的概率 ③甲胜的概率 ④甲不输的概率
5．如果事件A ，B
①A B +是必然事件 ③ A B 与互斥 ④A B 与独立
6. 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是 3
2 7.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，采取有放回地每次摸出一个球并记下颜色为一次实验，实验共进行3次，则至少摸到一次红球的概率是 78
8．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是71，从中取出2粒都是白子的概率是35
12，现从中任意取出2粒恰好是同一色的
概率是 3517
9.同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张贺年卡.则至少一人拿到自己所写贺年卡的概率为58
10.有三个人，每个人都以相同的可能性被分配到四个房间中的某一间，求：
（1）三个人都分配到同一个房间的概率；
（2）至少两个人分配到同一个房间的概率.
答案 （1）116； （2）58
. 11. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为31，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率也是12
5，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A 、
B 、
C 、
D ，则有P(B+C)=P(B)+P(C)=
125；P(C+D)=P(C)+P(D)=125； 又P(A)=31, P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1
解得P(B)=41,P(C)=61,P(D)=4
1 答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是
41、61、41.。