如何解一元二次不等式
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法在数学中，一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的二次不等式。
解一元二次不等式的方法可以通过图像法、代入法和判别法来实现。
本文将介绍这三种解法，并通过实例来说明其具体步骤。
图像法图像法是解一元二次不等式最直观的方法之一，它通过绘制一元二次函数的图像来找到不等式的解集。
下面以一元二次不等式x^2-4x+3>0为例来说明图像法的解题步骤：首先，将不等式转化为方程x^2-4x+3=0，求出方程的根。
我们可以通过求解x的一元二次方程来得到根，即使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
将方程x^2-4x+3=0代入求根公式中，得到x=1和x=3。
其次，在数轴上绘制一元二次函数y=x^2-4x+3的图像。
根据函数的开口方向和图像的凹凸性，我们可以确定函数在x<1和x>3的区间上为正值，即图像在该区间上位于x轴之上。
最后，根据不等式的正号，我们可以得出一元二次不等式x^2-4x+3>0的解集为x<1或x>3。
代入法代入法是通过代入特定的数值来判断一元二次不等式的真假。
下面以一元二次不等式x^2-4x+3>0为例来说明代入法的解题步骤：首先，将不等式转化为方程x^2-4x+3=0，求出方程的根。
我们可以使用同样的方法得到x=1和x=3。
其次，选择一些特定的数值，代入一元二次不等式中，判断不等式的真假。
例如，选择x=0、x=2和x=4来代入不等式。
计算得到代入x=0时，不等式为3>0，代入x=2时，不等式为-1>0，代入x=4时，不等式为3>0。
根据计算结果，我们可以确定不等式在x<1和x>3的区间上为真。
最后，根据不等式的真假，我们可以得出一元二次不等式x^2-4x+3>0的解集为x<1或x>3。
判别法判别法是解一元二次不等式的一种常用方法，它利用一元二次不等式的判别式来确定不等式的解集。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一、解一元二次不等式解一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 、与)0(02><++a c bx ax 时，可以通过一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠与一元二次函数()()20f x ax bx c a =++≠进行求解：（一）解不等式例1. (1) 解不等式：2x 2-3x -2>0 (2) 解不等式：-3x 2+x +1>0(3) 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+-≥--0412044322x x x x (4) 解不等式组：2223404210540x x x x x x ⎧+->⎪+-<⎨⎪-+>⎩（二）已知不等式的解集，写不等式例2. (1) 写出一个一元二次不等式，使它的解集()1,3-.(2) 已知219990ax x b -+>的解集是()3,1--，求不等式219990ax x b ++>的解集.(3) 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)25(20222a x a x x x 的整数解值只有2-，求实数a 的范围.二、一元二次方程根的分布例3. 若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围.例4.⑴ 已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围.⑵ 已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在()0,1内，求m 的取值范围.⑶ 已知方程012)2(2=-+-+m x m x 只有较大实根在()0,1内，求实数m 的取值范围⑷ 若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（1-、1）内，求k 的取值范围.⑸ 若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在()0,1内，另一根在()1,2内，求k 的取值范围.⑹ 已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足βα<<<10，求m 的取值范围.（三）含参数一元二次不等式例5. 当k 为何值时，不等式010)5()5(2>+----k x k x k ，对一切实数都成立.例6. 关于x 的不等式0622<+++m m mx x 的解集包含区间（1，2）时，求实数m 的范围.例7. 设集合{}{}034,0107222<+-=<++=a ax x x B x x x A ，并且B A ⊆，求实数a 的范围.例8. 解关于x 的不等式032>--a ax x .例9. 解关于x 的不等式02)2(2>--+x m mx .例10. (1) 设不等式02>++c bx ax 的解集为βαβα<<<<0},{x x ，试求不等式02<++a bx cx 的解集.(2) 已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为（1，2），解关于x 的不等式20cx bx a -+>.(3) 已知关于x 的不等式0k x b x a x c++<++的解集为（-2，-1）∪（2，3），解关于x 的 1011kx bx ax cx -+<--.(4) 已知不等式223()0x a a x a -++<的解集为{|33}x x <<，求实数a 的取值情况；(5) 已知不等式223()0x a a x a -++<在{|33}x x <<内恒成立，求实数a 的取值情况．(6) 已知集合]2,21[=P ，}022|{2>+-=x ax x Q ．① 若∅≠Q P ，求实数a 的取值范围；② 若方程0222=--x ax 在]2,21[内有解，求实数a 的取值范围．(7) k 为何值时，不等式13642222<++++x x k kx x 恒成立例11. 已知2()2(2)4f x x a x =+-+，（1）如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．例12. 设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围.例13. 若不等式2x －1＞m （x 2－1）对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.例14. 设c bx ax x f ++=2)(，若27)1(=f ，问是否存在R c b a ∈,,，使得不等式212+x 2322)(2++≤≤x x x f 对一切实数x 都成立，证明你的结论.。
一元二次不等式全部解法
一元二次不等式全部解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。
要求解一元二次不等式，我们需要找到其解集，即使不等式成立的x的取值范围。
下面将介绍几种解一元二次不等式的方法。
方法一：图像法通过绘制二次函数的图像，我们可以直观地观察到不等式的解集。
以ax^2 + bx + c > 0为例，我们可以绘制出函数y = ax^2 + bx + c的图像，然后观察函数图像在x轴上的位置。
如果函数图像位于x轴上方，则不等式成立的x的取值范围为图像所在的区间；如果函数图像位于x轴下方，则不等式不成立的x的取值范围为图像所在的区间。
方法二：因式分解法对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先通过因式分解将其转化为(ax + m)(ax + n) > 0的形式，其中m、n是已知实数。
然后根据乘积大于零的性质，我们可以得到两个因子同时大于零或同时小于零时不等式成立。
因此，我们需要解以下两个不等式：ax + m > 0和ax + n > 0，得到的解集再取交集，即为原不等式的解集。
方法三：配方法对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将不等式移项，得到ax^2 + bx + c = 0的形式。
2. 根据二次方程的求根公式，求得方程的两个根x1和x2。
3. 根据二次函数的性质，我们可以得到该二次函数在x1和x2之间变号。
即对于ax^2 + bx + c > 0来说，当x在x1和x2之间时，不等式成立。
方法四：求解判别式对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先求解对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac。
根据判别式的值，我们可以得到不等式的解集：1. 当Δ>0时，二次方程有两个不相等的实根x1和x2，此时不等式成立的x的取值范围为x<x1或x>x2。
一元二次不等式6种解法大全
一元二次不等式6种解法大全一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0的二次不等式，其中a、b、c为实数，a≠0。
这种不等式的解法有很多种，下面我将介绍其中的六种解法。
解法一：使用因式分解法。
对于形如(ax+b)(cx+d)>0或(ax+b)(cx+d)≥0的一元二次不等式，可以尝试将其因式分解为两个一次因式相乘的形式，然后根据不等式的性质讨论各个因式的取值范围，从而求得不等式的解。
解法二：使用它的图像解法。
将一元二次不等式对应的二次函数的图像画出来，然后根据图像的特点来确定使得函数大于0（或大于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。
解法三：使用开平方法。
对于形如x²+a≥0或x²+a>0的一元二次不等式，可以通过开平方的方法来求解。
首先将不等式移到一边，得到一个完全平方的形式，然后对不等式两边同时开平方，得到关于x的两个二次方程，根据二次方程的性质来求解。
解法四：使用代数求解法。
对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0，可以将其转化为一个关于x的二次方程ax²+bx+c=0的解的范围问题。
求得这个二次方程的解，然后根据这些解的范围来确定不等式的解。
解法五：使用数轴法。
将一元二次不等式对应的二次函数的图像画在数轴上，然后根据函数的凸性来确定函数取正值的x的取值范围，即为不等式的解。
解法六：使用区间法。
将一元二次不等式移项，化成形如ax²+bx+c<0或ax²+bx+c≤0的不等式，然后求出二次函数的零点，并根据二次函数的凸性来确定函数小于0（或小于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。
以上是关于一元二次不等式的六种解法，每种解法都有其独特的思路和方法。
在实际的解题过程中，可以根据具体的题目情况选择合适的解法来求解，以提高解题效率和准确性。
一元二次不等式6种解法大全
一元二次不等式6种解法大全
一元二次不等式有多种解法，以下是一些常见的解法：
1. 图像法：将一元二次不等式转化为图像，通过观察图像的变化来确定解的范围。
首先，将不等式转化为等式，再画出对应的抛物线图像，然后根据不等式的符号确定解的范围。
2. 因式分解法：将一元二次不等式进行因式分解，得到一个或多个一次因子和一个二次因子。
然后，根据这些因子的正负确定不等式的解。
3. 求导法：对一元二次不等式两边同时求导数，得到一个一次方程。
然后，通过解这个一次方程得到不等式的解。
4. 完全平方式：将一元二次不等式进行变形，使其成为完全平方式。
然后，通过对方程两边取平方根，得到不等式的解。
5. 化简法：将一元二次不等式进行化简，整理为一个或多个一次项和一个常数项的形式。
然后，根据这些项的符号确定不等式的解。
6. 区间法：将一元二次不等式转化为一个或多个区间，并确定每个区间内的解的情况。
然后，将这些区间的解合并，得到不等式的解集。
以上是一些常见的一元二次不等式的解法，具体使用哪种解法取决于不等式的形式和题目要求。
在解题过程中，可以根据需要选择适合的方法进行求解。
一元二次不等式解法
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 2a 2a
⑤得出不等式的解：
不等式是“>”号，解为：x>x ₁或x<x ₂ 口诀为“取两边”
不等式是“<”号，解为：x₂<x<x₁ 口诀为“取中间”。 ⑥不等式是“>”号，解为R，不等式是“<”号，解为∅
b b 2 4ac 5 25 24 x1 1 2a 2
b b 2 4ac 5 - 25 （ 24） x2 6 2a 2
⑤得不等式的解，不等式中是“>”号 口诀为“取两边”即：x>x ₁或x<x ₂ 所以此不等式的解为： ｛x |x>1或x<-6 ｝ 用区间表示为（- ∞ ，－6） ∪（1，+ ∞）
例： x 2 4 x 3 0
解：△＝16-12＝4>0 解方程 x 2 4 x 3 0
（x 3)(x 1) 0 x1 3, x2 1
所以此不等式的解为：x 1或x 3
， 3 1 ， 用区间表示为：
b b 2 4ac 4 - 16 12 x2 3 2a 2
⑤得不等式的解，不等式中是“<”号 口诀为“取中间”即： x₂<x<x₁ 所以此不等式的解为： ｛x |-3<x<-1｝ 用区间表示为（- 3 ，－1）
例： （ 1 x)(4 x) 0
2 x 3x 4 0 ①化成一般式： 二次项系数a=-1，即a<0 2 ②化正得同解不等式： x 3x 4 0 ③计算△， △＝b ²-4ac＝9-（-16）＝25>0 2 x 3x 4 0 的根 ④求对应方程 用求根公式得：
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次不等式，通常形式为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解一元二次不等式的方法主要有以下几种：图像法、代数法和判别法。
一、图像法1. 绘制一元二次函数的图像：根据不等式的形式，确定二次函数的开口方向（a的正负），以及顶点的横坐标、纵坐标（b和c的值）。
2. 根据不等式的符号（大于或小于），确定图像与x轴的关系，即求解函数值大于0或小于0的区间。
3. 根据求解得到的区间，直观地表示出不等式的解集。
二、代数法1. 化简一元二次不等式：通过合并同类项、配方等方法，将二次不等式化简为标准形式，即ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。
2. 求解方程：将不等式转化为等式，即ax^2+bx+c=0，并求解得出方程的根。
3. 利用根的性质：通过根的位置和值的正负判断方程在不等式中的取值情况，从而确定不等式的解集。
三、判别法1. 计算判别式：根据二次不等式的形式，计算出判别式Δ=b^2-4ac。
2. 根据判别式的值判断解集：a) 当Δ>0时，二次不等式有两个不同的实数根，根据系数的正负关系，可得出不等式的解集；b) 当Δ=0时，二次不等式有且仅有一个实数根，根据系数的正负关系，可得出不等式的解集；c) 当Δ<0时，二次不等式没有实数根，根据系数的正负关系，可得出不等式的解集。
综上所述，一元二次不等式的解法包括图像法、代数法和判别法。
根据具体情况，选择合适的方法求解可以快速得到一元二次不等式的解集。
通过掌握这些解法，我们能够更加灵活地处理和求解各种形式的一元二次不等式，提高数学问题的解决能力。
一元二次不等式解法(通用5篇)
一元二次不等式解法（通用5篇）一元二次不等式解法篇1第十二教时教材：目的：从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系动身，把握运用二次函数求解一元二次不等式的方法。
过程：一、课题：一元二次不等式的解法先回忆一下学校学过的一元一次不等式的解法：如 2x-70 x y这里利用不等式的性质解题从另一个角度考虑：令 y=2x-7 作一次函数图象： xco引导观看，并列表，见 p17 略当 x=3.5 时, y=0 即 2x-7=0当x3.5 时, y0 即 2x-70当 x3.5 时, y0 即 2x-70结论：略见p17留意强调：1°直线与 x轴的交点x0是方程 ax+b=0的解2°当 a0 时, ax+b0的解集为{x | x x0 } 当 a0 时, ax+b0可化为 -ax-b0来解y二、一元二次不等式的解法同样用图象来解，实例：y=x2-x-6 作图、列表、观看-2 o 3 x 当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2-x-6=0当 x-2 或 x3 时, y0 即 x2-x-60当 -2x3 时, y0 即 x2-x-60∴方程 x2-x-6=0 的解集：{ x | x = -2或 x = 3 }不等式x2-x-6 0 的解集：{ x | x -2或 x 3 }不等式 x2-x-6 0 的解集：{ x | -2 x 3 }这是△0 的状况：若△=0 , △0 分别作图观看争论得出结论：见p18--19说明：上述结论是一元二次不等式 ax+bx+c0(0) 当 a0时的状况若a0, 一般可先把二次项系数化成正数再求解三、例题 p19 例一至例四练习：（板演）有时间多余，则处理《课课练》p14 “例题推举”四、小结：一元二次不等式解法（务必联系图象法）五、作业：p21 习题 1.5 《课课练》第8课余下部分一元二次不等式解法篇2各位评委、各位专家：大家好!今日，我说课的内容是人民教育出版社全日制一般高级中学教科书(必修)《数学》第一章第五节"一元二次不等式解法'。
一元二次不等式的解法全面版
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图象 来解一元二次不等式。
首先，我们可以把任何一个一元二次 不等式转化为下列四种形式中的一种：
(1 )a2x b xc0(a0) (2)a2x b xc0(a0) (3)a2x b xc0(a0) (4)a2x b xc0(a0)
一元二次不等式的解法 （一）
y
o
x
问题：
（1）如何解一元二次方程 a2xb xc0(a0) （2）二次函数ya2xb xc(a0)的图象是
什么曲线？ （3）一元二次方程 a2xb xc0(a0) 的
解与二次函数ya2xb xc(a0)的图象 有什么联系？
一元二次方程a2xb xc0(a0)的解实
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
△＝0
xxx2或 xx1
xR
x
b 2a
xx1xx2
xxx2或 xx1 R
xx1xx2
x
x
b 2a
小结：
（1）根据数形结合的思想，利用二次 函数的图象解二次不等式。
（2）根据分类讨论的思想，正确选定 分类标准，解含参数的不等式。
同 学 们 再 见 ！
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0 (或ax^2 + bx + c < 0)的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
要解一元二次不等式，需要通过一系列的步骤来确定其解集。
步骤一：将一元二次不等式的左边转化为一个二次函数f(x)。
根据一元二次不等式的形式，我们可以将其左边的项看作是二次函数f(x) = ax^2 + bx + c。
这个二次函数的图像可能是一个抛物线开口向上，也可能是开口向下。
步骤二：求出二次函数f(x)的零点。
为了求出二次函数f(x)的零点，我们需要将其转化为标准形式。
标准形式是指f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。
步骤三：根据二次函数f(x)的开口方向，确定一元二次不等式的解集。
如果二次函数f(x)开口向上，即a > 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线上方的区域。
如果二次函数f(x)开口向下，即a < 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线下方的区域。
步骤四：根据一元二次不等式的形式，找出它的解集。
通过分析图像和零点，我们可以进一步确定一元二次不等式的解集。
例如，考虑不等式x^2 - 3x + 2 > 0。
首先，我们将不等式左边的项转化为二次函数f(x) = x^2 - 3x + 2，然后求出其零点。
将f(x)转化为标准形式可以得到f(x) = (x - 1)(x - 2)，则它的零点是x = 1和x = 2。
这意味着抛物线与x轴相交于点(1, 0)和(2, 0)。
由于a = 1 > 0，我们知道抛物线开口向上。
因此，不等式的解集是抛物线上方的区域。
我们可以通过测试f(x)在零点以及零点左右的取值来进一步确定解集。
当x < 1时，抛物线在x轴上方，因此f(x) > 0；当1 < x < 2时，抛物线在x轴下方，因此f(x) < 0；当x > 2时，抛物线再次在x轴上方，因此f(x) > 0。
一元二次不等式及其解法
解法编辑解法一当△=b²-4ac≥0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实根，那么ax²+bx+c可分解为如a(x-x1)(x-x2)的形式。
这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。
一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。
举例：试解一元二次不等式解：利用十字相乘法：2x -3x-2得（2x-3)(x-2)<0然后，分两种情况讨论。
口诀同一元一次不等式的“数轴法”：大大取大，小小取小；大小小大取中间，小小大大没有解。
1）2x-3<0，x-2>0得x<1.5且x>2（不成立）2）2x-3>0，x-2<0得x>1.5且x<2。
得最终不等式的解集为：解法二此外，亦可用配方法解一元二次不等式。
如上例题中：2x²-7x+6=2(x²-3.5x)+6=2(x²-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x²-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)²-0.125<02(x-1.75)²<0.125(x-1.75)²<0.0625两边开平方，得：x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25x<2且x>1.5得不等式的解集为解法三一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。
通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。
解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法引言一元二次不等式是数学中常见的一类问题，解决一元二次不等式可以帮助我们确定变量的取值范围，进而解决实际问题。
本文将介绍一元二次不等式的解法，包括代入法、求值法以及图像法。
代入法代入法是解决一元二次不等式的一种常用方法。
该方法的基本思想是通过逐个地代入可能的解，从而找到满足不等式的解。
以一元二次不等式x2−5x+6<0为例，我们可以通过代入法来解决。
首先，我们需要找到该不等式的零点，即x2−5x+6=0。
解这个方程可以得到x=2和x=3两个解。
接下来，我们选择代入两个解的中间值x=2.5，代入原来的不等式，即(2.5)2−5(2.5)+6<0。
计算得到2.5<0，不满足该不等式。
然后，我们选择代入两个解的两边值x=2，代入原来的不等式，即(2)2−5(2)+6<0。
计算得到2>0，也不满足该不等式。
最后，我们选择代入两个解的另一边值x=3，代入原来的不等式，即(3)2−5(3)+6<0。
计算得到3<0，符合该不等式。
因此，根据代入法，我们可以得出不等式x2−5x+6<0的解为2<x<3。
求值法求值法是解决一元二次不等式的另一种常用方法。
该方法的基本思想是通过判断不等式在每个可能的解点的取值情况，从而找到满足不等式的解。
以一元二次不等式x2−4x−5>0为例，我们可以通过求值法来解决。
首先，我们需要找到该不等式的零点，即x2−4x−5=0。
解这个方程可以得到x=−1和x=5两个解。
接下来，我们选择零点的两边值x=−2，代入原来的不等式，即(−2)2−4(−2)−5>0。
计算得到15>0，满足该不等式。
然后，我们选择零点的两边值x=0，代入原来的不等式，即(0)2−4(0)−5>0。
计算得到−5>0，不满足该不等式。
最后，我们选择零点的两边值x=6，代入原来的不等式，即(6)2−4(6)−5>0。
一元二次不等式的解法
6. A = x | x 2 + 4 x + p < 0 , B = x | x 2 − x − 2 > 0 ，满足 A ⊆ B，
解：B = {x | x < −1 或 x > 2} ① A = ∅，则 ∆ = 16 − 4 p ≤ 0 ⇒ p ≥ 4。
一元二次不等式的解法
1. 一元二次不等式：
ax 2 + bx + c > 0 或 ax 2 + bx + c < 0 (a ≠ 0)
2. 区间
闭区间： 闭区间： 开区间： 开区间：
[a , b] = {x | a ≤ x ≤ b} (a , b) = {x | a < x < b}
R = (−∞ , + ∞)
解：a = 2 + 3 = 5 , − b = 2 × 3 = 6 ⇒ b = −6
1 1 不等式 bx − ax − 1 > 0 为 − 6 x − 5 x − 1 > 0，解为 − < x < − 。 2 3 推广：若不等式 ax 2 + bx + c > 0 的解集为 (α , β )，其中 0 < α < β ，
的根的判别式 不等式 的解集
△ = b 2 − 4ac = 0 △ = b 2 − 4ac < 0
ax 2 + bx + c > （a > 0）(−∞, x1 ) ∪ ( x2 ,+∞) (−∞, x0 ) ∪ ( x0 ,+∞) 0
不等式 的解集 不等式
R R
ax 2 + bx + c ≥ （a > 0）(−∞, x1 ] ∪[ x2 ,+∞) 0
一元二次不等式的解法和解题技巧
一元二次不等式的解法和解题技巧一元二次不等式是高中数学知识点中的重要内容，所以一元二次不等式的解法是非常重要的。
高中网校的数学老师称同学们对于一元二次不等式的题目一定要首先掌握一元二次不等式的解法和技巧，本文中酷课网老师就像同学们介绍一下一元二次不等式的解法和解题技巧。
定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。
它的一般形式是ax^2+bx+c>0 或ax^2+bx+c<0(a不等于0)其中ax^2+bx+c是实数域内的二次三项式。
一元二次不等式的解法解法一当△=b^2-4ac≥0时，二次三项式，ax²+bx+c有两个实根，那么ax²+bx+c 总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。
这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。
一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。
举例：试解一元二次不等式2x²-7x+6<0解：利用十字相乘法2x -3x-2得(2x-3)(x-2)<0然后，分两种情况讨论：1) 2x-3<0，x-2>0得x<1.5且x>2。
不成立2)2x-3>0，x-2<0得x>1.5且x<2。
得最后不等式的解集为：1.5完毕。
解法二另外，你也可以用配方法解二次不等式。
如上例题：2x^2-7x+6=2(x^2-3.5x)+6=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)^2-0.125<02(x-1.75)^2<0.125(x-1.75)^2<0.0625两边开平方，得x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25x<2且x>1.5得不等式的解集为1.5解法三一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式解法1 二次函数解析式的三种形式一般式：()20y ax bx c a =++≠ 顶点式：()224()024b ac b y a x a a a-=++≠ 交点式：()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于两点（x 1 , 0）, (x 2 , 0)，则有 ()20y ax bx c a =++≠= ，特别地若021x x x ==， 则有y = 。
2 ∆法与求根公式对于方程()002≠=++a c bx ax ，定义ac b 42-=∆， （1） 时，方程无解； 时，方程有两个相同的解； 时，方程有不同两解；（2）设 时，方程的不同两解为21,x x ，则=1x ，=2x ；2. 一元二次不等式的解法类似地，为了解不等式0322>-+x x ，可按以下程序完成：S 1：定向 确定二次函数223y x x =+-图像的开口方向；S 2：定根 解方程0322=-+x x ，确定二次函数的图像与x 轴的交点坐标； S 3：定号 根据以上两点勾勒二次函数的图像，根据图像观察二次函数的函数值何时为正，何时为负。
最后可得不等式0322>-+x x 解集为 .巩固：1 不等式2310x x -+>的解集为 ；2 不等式2340x x +->的解集为 ；3 不等式2340x x --<的解集为 ；3. 解集归纳4. 分类讨论题1 给定关于x 的不等式03<-ax ，（1）当0<a 时，不等式的解集为 ；（2）当0=a 时，不等式的解集为 ；（3）当0>a 时，不等式的解集为 ；5. 巩固练习1 已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则A B = ．2 不等式1222-+≤-x x x x 的解集为 ．3 不等式2210x x -->的解集为 ．4 不等式2210x x -+-≤的解集为 ．5 解关于x 的不等式ax+1>06 若关于x 的不等式：02<--b ax x 的解集为（1,3），则a+b= .。
一元二次不等式题型及解题方法
一元二次不等式题型及解题方法一元二次不等式是数学中常见的题型之一，涉及到一元二次函数的不等式关系。
解决一元二次不等式需要掌握一些基本的解题方法。
首先，我们来了解一些常见的一元二次不等式类型：1. 一元二次不等式的基本形式是 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0），其中 a、b、c 是实数且 a ≠ 0。
这种类型的不等式可以化简为一个二次函数的图像在 x 轴上的开口方向。
2. 一元二次不等式的形式可能会有一些变化，例如 ax^2 + bx + c ≥0（或≤ 0），或者以绝对值的形式出现。
这些变化不影响我们解决问题的思路，只需要根据具体的情况进行适当的分析和转化。
接下来，我们讨论一些解题方法：1. 图像法：对于一元二次不等式，我们可以通过绘制二次函数的图像来直观地看出解的范围。
根据开口方向和图像与 x 轴的关系，我们可以很容易地确定不等式的解集。
2. 代入法：当我们遇到一元二次不等式时，有时可以将其转化为一个方程来求解。
我们可以通过解方程得到函数的根，并根据根的位置和开口方向来确定不等式的解集。
3. 判别式法：对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0），我们可以通过判别式 b^2 - 4ac 的正负性来判断解的情况。
当判别式大于零时，不等式有两个实数解；当判别式等于零时，不等式有一个实数解；当判别式小于零时，不等式没有实数解。
4. 化简法：有时候，我们可以通过对不等式进行化简来求解。
例如，将不等式的两边同时乘以一个正数或除以一个负数，可以改变不等式的符号，从而得到一个更简单的不等式。
除了上述方法，还可以使用数轴法、区间判断法等方法来解决一元二次不等式。
不同的问题可能需要结合多种方法进行综合分析和求解。
总之，解决一元二次不等式需要熟练掌握相关的解题方法，并能够根据具体情况进行灵活运用。
通过不断的练习和积累，我们可以更加熟练地解决各种类型的一元二次不等式问题。
解一元二次不等式的方法总结
解一元二次不等式的方法总结一元二次不等式是数学中的一个重要概念，它可以用来描述一个二次函数的特性以及不等关系。
解一元二次不等式是解决实际问题和数学推理的基础，本文将总结几种常见的方法来解一元二次不等式。
一、图像法通过绘制一元二次不等式的函数图像来解决问题是一种直观且易于理解的方法。
首先，将一元二次不等式转化为一元二次方程，在坐标系中绘制该二次函数的图像。
然后，通过分析图像的形状和位置，确定不等式的解集。
二、配方法当一元二次不等式比较复杂时，可以尝试使用配方法来进行求解。
配方法的步骤如下：1. 将一元二次不等式中含有二次项的部分进行配方，使得方程转化为一个完全平方。
2. 对配方后的方程进行简化和变形，得到简化后的一元二次不等式。
3. 根据一元二次不等式的特性来确定解集。
三、分析法分析法适用于一元二次不等式中存在一些特殊的性质或者限制条件的情况。
通过分析不等式中的系数、常数、变量的范围等相关因素，来确定解集。
四、代入法代入法是一种简单但有效的方法，适用于一元二次不等式解集比较明显的情况。
通过将解集的边界值代入原始的一元二次不等式中，判断不等式的真假，从而确定解集。
五、区间法区间法是一种基于区间的求解方法，通过将一元二次不等式转化为区间的交集或并集来求解。
首先，将不等式转化为一个区间表示形式，然后利用区间的性质进行求解。
六、图像与代数相结合法有时候，利用图像法和代数法结合可以更好地解决一元二次不等式的问题。
首先，通过图像法确定不等式的大致解集，然后再通过代数方法进一步精确地确定解集。
综上所述，解一元二次不等式有多种方法，包括图像法、配方法、分析法、代入法、区间法以及图像与代数相结合法。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法来解决不等式问题。
通过灵活运用这些方法，可以更准确地找到一元二次不等式的解集。
求解一元二次不等式解集步骤详解
求解一元二次不等式解集步骤详解在求解一元二次不等式时，我们实际上并不是直接求解不等式的“根”，因为不等式没有“根”这个概念，而是求解对应的一元二次方程的根。
这些根会帮助我们确定不等式的解集。
以下是如何求解一元二次方程ax2+bx+c=0的根，并据此确定一元二次不等式解集的步骤：1. 求解一元二次方程对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0），我们可以使用求根公式来求解其根：x=−b±√b2−4ac2a这里，b2−4ac被称为判别式，记作Δ。
●如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根，分别对应求根公式中的“+”和“-”号。
●如果Δ=0，则方程有一个重根，即两个相等的实数根，此时只取“+”号（或“-”号，结果相同）即可。
●如果Δ<0，则方程没有实数根，但有两个共轭复数根，这在求解不等式时通常不直接考虑。
2. 确定不等式的解集一旦我们找到了一元二次方程的根（或确定了根的存在性），我们就可以根据这些根来确定不等式的解集。
●对于不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，我们首先观察a的符号，因为它决定了二次函数的开口方向（a>0时开口向上，a<0时开口向下）。
●然后，我们根据方程的根在数轴上的位置来划分区间，并测试每个区间内的点是否满足不等式。
●或者，更简便地，我们可以直接利用数轴标根法：将根按从小到大的顺序标在数轴上，然后根据不等式的符号和二次函数的开口方向来确定解集。
示例考虑不等式x2−4x+3<0。
1.求解对应的一元二次方程x2−4x+3=0，得到根x1=1和x2=3。
2.因为a=1>0，所以二次函数开口向上。
3.使用数轴标根法，将x1=1和x2=3标在数轴上，并测试区间(−∞,1)，(1,3)和(3,+∞)内的点。
4.由于二次函数开口向上，且x1和x2是方程的根，因此不等式x2−4x+3<0的解集是两根之间的区间，即1<x<3。
原题: 解一元二次不等式
原题: 解一元二次不等式解一元二次不等式引言本文将探讨如何解一元二次不等式。
一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0的方程，其中a、b和c是已知的实数，且a不等于0。
解一元二次不等式的过程将涉及一系列代数运算和图像分析，以确定方程的解集。
方法解一元二次不等式的常用方法包括图像法和求根法。
图像法图像法是通过绘制二次函数的图像来确定不等式的解集。
一元二次函数的图像是抛物线，它可能开口向上或向下。
根据抛物线的位置和开口的方向，可以判断不等式的解集。
- 如果抛物线开口向上，即a > 0，那么不等式的解集为抛物线上方的区域。
- 如果抛物线开口向下，即a < 0，那么不等式的解集为抛物线下方的区域。
求根法求根法是通过求解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的根，来确定一元二次不等式的解集。
一元二次方程的根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a- 如果一元二次方程有实数根，即(b^2 - 4ac)大于等于0，那么不等式的解集为使得不等式成立的x的取值范围。
- 如果一元二次方程没有实数根，即(b^2 - 4ac)小于0，那么不等式没有解。
示例以下是解一元二次不等式的示例：示例1解不等式x^2 - 3x + 2 > 0。
首先，可以求出一元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0的根。
x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4(1)(2))) / (2(1))x = (3 ± √(9 - 8)) / 2x = (3 ± √1) / 2x = (3 ± 1) / 2x1 = 2, x2 = 1根据求根得到的根的情况，可以绘制抛物线的图像。
抛物线开口向上，所以不等式的解集为抛物线上方的区域。
示例2解不等式-2x^2 + 5x - 3 ≤ 0。
首先，可以求出一元二次方程-2x^2 + 5x - 3 = 0的根。
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如何解一元二次不等式
在一元二次不等式的解法中，基本解法是先求相应一元二次方程的根，然后画出相应的一元二次函数的草图，最后写出不等式的解集；或转化为一元一次不等式组求解；当然还有判别式、求根法以及配方法等。
例：解不等式：02
>++c bx ax （0>a ）。
解法1（解一元二次不等式的一般方法：转化为解二次
函数何时大于零）：当042>-=∆ac b ，方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根a ac b b x 2421---=，a
ac b b x 2422---=，此时抛物线c bx ax y ++=2
（0>a ）与x 轴有两个交点。
（如图）
∴不等式02>++c bx ax （0>a ）的解集是a ac b b x x 24|{2---<或}242a
ac b b x -+->； 当042=-=∆ac b ，方程02=++c bx ax 有两个
相等的实数根a
b x x 221-==，此时抛物线
c bx ax y ++=2（0>a ）与x 轴只有一个交点。
（如图）
∴不等式02
>++c bx ax （0>a ）的解集是}2|{a
b x x -≠； 当042<-=∆a
c b ，方程02=++c bx ax 没有实
数根，此时抛物线c bx ax y ++=2
（0>a ）与x 轴没
有交点。
（如图）
∴不等式02>++c bx ax （0>a ）的解集是}|{R x x ∈。
解法2（转化为解一元一次不等式组）： a b ac a b x a c bx ax 44)2(2
22
-++=++， 若0>∆，方程02
=++c bx ax 有两个实数根a ac b b x 2421---=，a
ac b b x 2422---=，则0))((212>--=++x x x x a c bx ax 。
∴⎩⎨⎧<-<-0021x x x x 或⎩⎨⎧>->-0
021x x x x ， ∴1x x <或2x x >， ∴不等式的解集为a ac b b x x 24|{2---<或}242a
ac b b x -+->； 若0=∆，方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根a
b x x 221-==，则 0)2(22>-
=++a b x a c bx ax 。
∴a b x 21-≠，即不等式的解集为}2|{a b x x -≠； 若0<∆，方程02=++c bx ax 没有实数根，此时02>++c bx ax 恒成立，
∴不等式的解集为}|{R x x ∈。
解法3（转化为解简单的绝对值不等式）： 044)2(2
22
>-++=++a b ac a b x a c bx ax ， ∴原不等式课化为a
ac b a b x a 44)2(22->+。
若0>∆，则a
ac b a b x 24|2|2->+， ∴a ac b a b x 2422--<+或a ac b a
b x 2422->+ ∴不等式的解集为a a
c b b x x 24|{2---<或}242a
ac b b x -+->。
若0=∆，原不等式可化为0)2(2>+a b x ，∴不等式的解集为}2|{a
b x x -≠ 若0<∆，则不等式的解集为}|{R x x ∈。
反思：1．由本例知二次函数有三种表达形式：一般式、顶点式、坐标式。
即
c bx ax x f ++=2
)(，a b ac a b x a x f 44)2()(2
2-++=，))(()(21x x x x a x f --=，（0≠a ），1x 、2x 是02=++c bx ax 的两根，何时采用何种情形，应视具体题目而定。
2．解一元二次不等式02>++c bx ax （或0<），当0<a 时，可以采用不等式两边同乘以1-后不等号改变方向，将0<a 的情形转化为0>a 的情形去解。
3．这三种方法深刻揭示出一元二次不等式与其他知识间的内在联系。
二次方程、二次函。