高三数学常见函数的导数
高三数学考点-导数的概念及运算
第三章 导数及其应用1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． ①常见的基本初等函数的导数公式： (C )′＝0(C 为常数); (x n )′＝nx n －1(n ∈N ＋)； (sin x )′＝cos x; (cos x )′＝－sin x ； (e x )′＝e x;(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)；(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x log a e(a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则： 法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )． 法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．法则3：⎣⎡⎦⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． 7．会用导数解决实际问题．8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 9．了解微积分基本定理的含义．3．1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′|0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ． 3．基本初等函数的导数公式(1)c ′＝(c 为常数)， (x α)′＝(α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________； (3)(ln x )′＝____________， (log a x )′＝____________； (4)(e x )′＝____________， (a x )′＝____________. 4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________. (2)[f (x )g (x )]′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝____________. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝___________________ (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．自查自纠1．(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．(1)0 αxα－1(2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25．y x ′＝y ′u ·u ′x设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：因为y ′＝a －1x ＋1，所以切线的斜率为a －1＝2，解得a ＝3.故选D .(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为( )A ．(1，1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1，1)解：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．故选A .(2015·陕西)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为( ) A ．y ＝e x B ．y ＝(1＋e)xC ．y ＝1eD ．y ＝－1e解：记y ＝f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，此时f (－1)＝－1e.故函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为y ＝－1e .故选D .(2016·天津)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 解：f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3.故填3.(教材习题改编)若函数f (x )＝x 2＋2x －3，则曲线y ＝f (x )在点P (2，5)处的切线的斜率是________． 解：f ′(x )＝2x ＋2，f ′(2)＝6.故填6.类型一 导数的概念用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数． 解法一：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－2(x ＋Δx )－1－(x 2－2x －1) ＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－2x －2Δx －1－x 2＋2x ＋1 ＝(2x －2)Δx ＋Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x （2x －2）Δx ＋Δx 2Δx＝0lim →∆x [(2x －2)＋Δx ]＝2x －2.所以函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数为 f ′(x )|x ＝1＝2×1－2＝0.解法二：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－1－(12－2×1－1) ＝1＋2Δx ＋Δx 2－2－2Δx －1＋2＝Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x Δx 2Δx ＝0lim →∆x Δx ＝0.故f ′(x )|x ＝1＝0.【点拨】利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第t s 时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m)． (1)求航天飞机在第1 s 内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第1 s 末的瞬时速度． 解：(1)航天飞机在第1 s 内的平均速度为 h （1）－h （0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m/s.(2)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为h （1＋Δt ）－h （1）Δt＝5（1＋Δt ）3＋30（1＋Δt ）2＋45（1＋Δt ）＋4－84Δt＝5Δt 3＋45Δt 2＋120ΔtΔt＝5Δt 2＋45Δt ＋120，当Δt →0时，5Δt 2＋45Δt ＋120→120， 所以航天飞机在第1 s 末的瞬时速度为120 m/s.类型二 求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ；(4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln(2x －5)．解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln3＋3x e x －2x ln2 ＝(ln3＋1)(3e)x －2x ln2.(4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2（1－2ln x ）＋1x （x 2＋1）2.(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.【点拨】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导．求下列函数的导数： (1)y ＝e x cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝ln x ex ；(4)y ＝ln 1＋2x ；(5)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2；解：(1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x (cos x －sin x )． (2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3)y ′＝（ln x ）′e x －（e x ）′ln x （e x ）2＝1x e x －e x ln x （e x ）2＝1x －ln x e x ＝1－x ln x x e x .(4)y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，所以y ′＝12·11＋2x (1＋2x )′＝12·11＋2x ·2＝11＋2x.(5)因为y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin4x .所以y ′＝－12sin4x －12x ·4cos4x ＝－12sin4x －2x cos4x .类型三 导数的几何意义(2016·广州模拟)f (x )＝2x＋3x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为________．解：f ′(x )＝－2x 2＋3，f ′(1)＝1，即切线的斜率为1，又f (1)＝5，即切点坐标为(1，5)，故切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0.故填x －y ＋4＝0. 【点拨】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．(2016·广州模拟)曲线y ＝14x 2过点⎝⎛⎭⎫4，74 的切线方程为________． 解：设所求切线与曲线相切于点P ⎝⎛⎭⎫x 0，14x 20.易知y ′＝12x ，则y ′|x ＝x 0＝12x 0.故74－14x 204－x 0＝ 12x 0，整理得x 20－8x 0 ＋ 7 ＝ 0，解得x 0＝7或x 0＝1，所以点P ⎝⎛⎭⎫7，494或P ⎝⎛⎭⎫1，14，由两点式得切线方程为14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.故填14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.(2016·兰州诊断)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．－3 D.12解：y ′＝x 2－3x ，令y ′＝－12，得x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)，所以所求切点的横坐标为2.故选B .【点拨】求切点坐标问题，一般通过解方程或方程组求得，要注意其取值范围．(2016·无锡一模)曲线y ＝x －1x(x ＞0)上点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则点P 的坐标为________．解：由题意可得y 0＝x 0－1x 0，x 0＞0，因为y ′＝1＋1x2，所以过点P 的切线的斜率为1＋1x 20，则切线的方程为y －x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0)， 令x ＝0得y ＝－2x 0，令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20，所以△OAB 的面积S ＝12·2x 0·2x 01＋x 20＝13，解得x 0＝5(舍去负根)，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，455. 故填⎝⎛⎭⎫5，455.(2016·柳州模拟)曲线g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b ＝( )A.72B.52C.32D.12解：g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x ，则g ′(1)＝11，又g (1)＝72＋b ，故曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫72＋b ＝11(x －1)，由该切线过点(0，－5)，得b ＝52.故选B .【点拨】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，对曲线方程求导得y ′＝1x ＋a ，故切线方程为y －ln(x 0＋a )＝1x 0＋a (x －x 0)，即y ＝1x 0＋ax －x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )，据题意得1x 0＋a ＝1且－x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )＝1，解得x 0＝－1，a ＝2.故选B .1．“函数在点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系 (1)函数在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )．(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的两种常用求法 (1)利用导数的定义，即求0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值；(2)求导函数在x 0处的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0)．3．关于用导数求曲线的切线问题(1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．(3)求过某点的曲线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不一定唯一．1．(2016·郑州一检)曲线f (x )＝e x sin x 在点(0，f (0))处的切线斜率为( )A ．0B ．－1C ．1 D.22解：f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以k ＝f ′(0)＝1.故选C .2．P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )上的一点，曲线在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( )A ．2B ．－2C ．－1D ．－4解：y ′＝3x ＋1，令其等于4得x ＝1，代入切线方程得y ＝3，即切点坐标为(1，3)，代入曲线方程得3＝1＋k ，k ＝2.故选A .3．(2016·淄博质检)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π解：依题意得f ′(x )≥3，即曲线y ＝f (x )在任意一点处的切线斜率不小于3，故其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B .4．(2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3) B ．(－1，3) C ．(1，3)和(－1，3) D ．(1，－3)解：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上．故选C .5．(2017·石家庄调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e解：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .故选C .6．(2016·郑州二测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解：l 与y 轴交点为(0，2)，可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率k 等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.故选B . 7．(2016·江西师大附中三模)如图所示，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f (4)＋f ′(4)的值为________．解：由图可知f (4)＝5，f ′(4)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝4处切线的斜率，故f ′(4)＝5－34－0＝12，故f (4)＋f ′(4)＝5.5.故填5.5.8．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．解：由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x ＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e即可．故填⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 9．求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线方程． 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，所以x 0＝±1. 所以切点为(1，1)或(－1，7)． 切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.10．(2017·长沙调研)已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以所求切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程． 解：(1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)因为y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. 所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又因为切线的斜率k ＝y ′|x =x 0＝x 20， 所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. 因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解：设过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1，0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.故选A .。
高三数学导数的概念与运算
1 (log a x)' log a e ； ； x
； (a )' a ln a 。
x x
(e )' e
x
x
5．导数的四则运算法则：
[u( x) v( x)] u ( x) v ( x)
' ' '
[u( x)v( x)] u '( x)v( x) u( x)v '( x)
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房肯煎药了，她去找刘晨寂。问准刘晨寂所在，她去找他。听说刘晨寂年少，而她也是云英未嫁大姑娘，虽然立意一辈子伺候 老太太，再不嫁人，也真打心里把自己不当姑娘看了，毕竟要避嫌，只遣婆子去传话，自己在门外，窗缝间扫着一眼，亏素来 自诩老沉狠辣，也登时心跳如捣：那少年明眸皓齿，身着布衣，头发像墨檀木一样黑，用条普普通通的青带子束在后面，刚把 好脉，步至桌前举墨笔，正巧一束阳光从窗里进来，照在他脸上，细细的茸毛，他回过头去看那传话的婆子，一边举起手来遮 了遮眼睛，指尖微微的红晕。这才叫布衣红颜！宝音定定神。奇也怪也！她为何觉得他这样眼熟，不但见过，而且似亲密相处 过的？实在没有因由！屋里，那传话婆子请刘大夫先留外院不要走，表 的痰盒来端给刘大夫看看，刘大夫要拟什么方子，尽 管说，若凶险极了须诊脉，给刘大夫告个罪，请刘大夫蒙上眼，入内院隔帘给表 诊。刘晨寂答应了。听他应声，宝音心底就 安定些，又嘱了丫头婆子们，刘大夫要写出什么方子来，只要不是摆明了毒药，管老大夫怎么说，就用刘大夫的方子！如果表 真的病危了，就是毒药也听刘大夫的！表面上，老大夫治过一段时间，没起色，还不如试刘大夫，这是她的道理。背地里…… 见了刘晨寂，听了他的声音，她就是想相信他，这真是可怪。踌躇疑惑着，宝音又走了几处，绕了一绕，从与嘉颜议帐的屋子 窗下过，听嘉颜似在里头生了气。嘉颜一向性子沉着，能发重话，不知出了什么大事？宝音奇着，赶紧往门前绕，却一个大丫 头又拦了她，先道乏，后问：“宝音姐姐，你看这一件是二老爷房里要的，我这般拿去还使得么？”宝音将那东西也看了一眼： 是个花鸟镶翠靶镜，镜把儿原断过一次，又用宝相花饰精巧鎏合，顿时“噫”一声：“二#奶#奶的？我不是拣点出一副新的， 怎又拿这旧的修补了给二#奶#奶！”那大丫头笑道：“是二#奶#奶说，何必又用新的，就叫将旧的补补，还于她去。”这般亏 苦，无非要在老太太跟前留下会持家的好印象，宝音心头敞亮，赞叹一句道：“二#奶#奶如此克俭，咱们作奴婢的却不能哑着。 我回老太太去，总也不能给二#奶#奶用补旧的！”大丫头含笑而去。宝音加快步子拾阶上去，有个腿快的家人媳妇赶到门边把 那半疏半透的蒙绣纱湘帘子打起来，笑道：“宝音姑娘！可巧儿您回来了，有个九层玲珑塔形的托盘儿找不着了，姑娘您还有 印象吗？”这媳妇名下数目一向不清，教了几次，记帐还是糊涂，有些有意装傻、从中贪墨的嫌疑，宝音正想捉她呢，拧起眉 毛道：“都问我，自个儿就不用查帐了？若我死了，你们更问谁去？”媳妇腮帮子明显抽了两抽。宝音自己接了帘子进屋来， 问嘉颜道：“怎么了？”嘉颜
高三复合函数的导数知识点
高三复合函数的导数知识点高三学习数学是一个重要的阶段，其中一项重要内容就是复合函数的导数。
理解复合函数的导数知识点对于解决数学题目和理论应用至关重要。
本文将针对高三学生所需的复合函数的导数知识点进行详细解析和讲解，帮助学生更好地理解和掌握这一知识。
一、复合函数的基本概念复合函数是指由两个函数构成的一个新函数。
设有两个函数f(x)和g(x)，那么由这两个函数构成的复合函数可以表示为(f∘g)(x) = f(g(x))。
其中，g(x)作为内函数，f(x)作为外函数。
二、链式法则链式法则是求复合函数的导数的重要方法之一。
它可以将一个复合函数的导数拆分为内函数的导数和外函数的导数的乘积。
具体求导过程如下：1. 设y = f(u)和u = g(x)，则复合函数y = f(g(x))可以表示为y =f(u)。
2. 根据链式法则，复合函数的导数dy/dx可以表示为dy/dx =dy/du * du/dx。
3. 内函数u = g(x)的导数du/dx可以通过直接求导得到。
4. 外函数y = f(u)的导数dy/du可以通过直接求导得到。
5. 将内函数和外函数的导数代入公式dy/dx = dy/du * du/dx，得到复合函数的导数dy/dx。
三、几个常见的复合函数导数计算方法1. 复合函数中有常数因子的导数计算如果复合函数中存在常数因子，可以将常数因子提取出来并与外函数的导数相乘。
例如，对于函数y = 3(x^2 + 1)^2，其中f(u) = u^2，g(x) = x^2 + 1，可以计算得到：dy/dx = dy/du * du/dx = 2(u^2) * 2x = 4x(u^2) = 4x((x^2 + 1)^2)。
2. 复合函数中存在指数函数的导数计算如果复合函数中存在指数函数，可以使用指数函数的特殊导数规则来计算。
例如，对于函数y = e^(2x)，其中f(u) = e^u，g(x)= 2x，可以计算得到：dy/dx = dy/du * du/dx = (e^u) * 2 = (e^(2x)) * 2。
几种常见函数的导数
(3) y 1 x1 y' 1 x11 x2
(4)
x1
y x x2
y
(
x
1 2
)
1
x
1 2
1
1
2 2x
2.已知y x3,求y x2
解： y (x3 ) 3x31 3x2 y x2 3(2)2 12
同理可证,公式4: (cos x) sin x.
例１ 求下列函数的导数：
(1) y x4 (2) y x3
(4) y x (5) y sin 450
(3) y 1 x
(6)u cos v
解：
(1) y (x4 ) 4x41 4x3
(2) y (x3) 3x31 3x4
2cos(x x )sin x ,
2
2
y x
2cos(x x )sin x
2
2
x
cos(x
x 2
)
s
in x 2
x
,
f
( x)
(sin
x)
lim
y
lim
cos(x
x
)
2
lim
sin
x 2
x x0
x0
2 x0 x
2
cos x 1 cos x.
C1n
x n 1x
C
2 n
xn2
(x)2
...
C
n n
(x)n
y x
C1n x n1
高三知识点归纳数学公式
高三知识点归纳数学公式在高三数学学习中，归纳整理数学公式是非常重要的。
通过总结和归纳，可以帮助我们更好地理解和记忆数学知识，提高解题的效率。
下面将对高三数学常见知识点中的公式进行归纳和总结。
一、函数与方程1. 一次函数的一般式：y = kx + b其中，k为斜率，b为截距。
2. 二次函数的顶点式：y = a(x - h)² + k其中，(h, k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。
3. 平方根函数：y = √(x - h) + k其中，(h, k)为顶点坐标，h为平移量，k为上下平移量。
4. 三角函数：正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC正切函数：tanA = a/b二、立体几何1. 直线与平面：点到平面的距离公式：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)2. 三棱锥与四棱锥：体积公式：V = Bh/3 ，其中B为底面积，h为高。
侧面积公式：A = Ls + B ，其中L为斜高，s为侧棱长，B为底面积。
3. 圆锥与圆台：体积公式：V = πr²h/3 ，其中r为底面半径，h为高。
曲面积公式：S = πr(r + l) ，其中r为底面半径，l为斜高。
三、微分与积分1. 导数与微分：导数定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h高阶导数：f^n(x) ，表示对函数f(x)连续求导n次。
2. 基本导数公式：(1) 一次函数的导数：f'(x) = k(2) 幂函数的导数：f'(x) = nx^(n-1)(3) 正弦函数的导数：f'(x) = cosx(4) 余弦函数的导数：f'(x) = -sinx(5) 指数函数的导数：f'(x) = a^x * ln(a)3. 不定积分：基本积分公式：∫f(x)dx = F(x) + C积分方法：换元法、分部积分法、分式积分法等。
高中数学导数的定义,公式及应用总结
高中数学导数的定义,公式及应用总结高中数学导数的定义,公式及应用总结时间：201*-02-2410:5758次利用暑假提高成绩30-80分的秘诀：高一视频，高二视频，高三视频年级高一课程推荐高二课程推荐高三课程推荐课程初升高新学期衔接视频高一全科强化视频新高二新学期双重强化视频高二全科强化视频高考分轮次复习全科套餐高三全科强化视频更多高中辅导课程推荐,点击进入>>导数的定义:当自变量的增量Δ＝－0，Δ→0时函数增量Δ＝f（）－f （0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在0点可导，称之为f在0点的导数（或变化率函数＝f（）在0点的导数f"（0）的几何意义：表示函数曲线在P0［0，f（0）］点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性的法则：设＝f在（a，b）内可导。
如果在（a，b）内，f"（）>0,则f（）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。
如果在（a，b）内，f"（）arcin"=1/1-^2^1/2arcco"=-1/1-^2^1/2arctan"=1/1^2arccot"=-1/1^2arcec"=1/||^2-1^1/2arccc"=-1/||^2-1^1/2④inh"=hcohcoh"=-hinhtanh"=1/coh^2=ech^2coth"=-1/inh^2=-cch^2ech"=-tanhechcch"=-cothccharinh"=1/^21^1/2arcoh"=1/^2-1^1/2artanh"=1/^2-1||化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．新学期，高中名师视频辅导课程推荐扩展阅读：高中数学导数的定义,公式及应用总结高中数学导数的定义,公式及应用总结发布时间：201*-8-12浏览人数：5191本文编辑：高考学习高中数学导数的定义,公式及应用总结导数的定义:当自变量的增量Δ＝－0，Δ→0时函数增量Δ＝f（）－f （0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在0点可导，称之为f在0点的导数（或变化率函数＝f（）在0点的导数f"（0）的几何意义：表示函数曲线在P0［0，f（0）］点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
高三数学二次求导知识点
高三数学二次求导知识点目录二阶导数一阶导数与二阶导数一次求导函数求导的意义● 高三数学二次求导知识点一.二阶导数定义二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
一般的，函数y=f(x)的导数yˊ=fˊ(x)仍然是x的函数，则y′′=f′′(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。
在图形上，它主要表现函数的凹凸性。
几何意义1、切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率。
2、函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)。
函数凹凸性设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
●高三数学二次求导知识点二.一阶导数与二阶导数简单来说，一阶导数是自变量的变化率，二阶导数就是一阶导数的变化率，也就是一阶导数变化率的变化率。
连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。
一阶导数大于0，则递增;一阶倒数小于0，则递减;一阶导数等于0，则不增不减。
而二阶导数可以反映图象的凹凸。
二阶导数大于0，图象为凹;二阶导数小于0，图象为凸;二阶导数等于0，不凹不凸。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。
当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点;当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点;当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。
●高三数学二次求导知识点三.一次求导函数1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2●高三数学二次求导知识点四.求导的意义1.导数的实质：导数是函数的局部性质。
高三数学第一轮复习函数与导数
【高手支招】 求曲线的切线方程时要注意过 某点的切线问题中此点不一定是切点，此点也 可能不在曲线上，所以要先判断再去解决，切 忌盲目地认为给出点就是切点．
[关键要点点拨] 1．函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求 导的基本原则，求导时，不但要重视求导法 则的应用，而且要特别注意求导法则对求导 的制约作用，在实施化简时，首先必须注意 变换的等价性，避免不必要的运算失误．
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与 “过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f(x) 在点P(x0， y0)处的切线是指 P 为切点，切线斜率为 k ＝ f′(x0) 的切线，是唯 一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指 切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是 切点，而且这样的直线可能有多条．
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)若 f(x)＝xex，则 f′(1)＝ A．0 C．2e B．e D．e2 ( )
C [∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.]
2．曲线 y＝xln x 在点(e，e)处的切线与直线 x＋ay＝1 垂直，则实 数 a 的值为 A．2 1 C.2 B．－2 1 D．－2 ( )
1 1 (2)(2014· 乌鲁木齐诊断性测验)直线 y＝2x＋b 与曲线 y＝－2x＋ln x 相切，则 b 的值为 A．－2 1 C．－2 B．－1 D．1 ( )
B
1 设切点的坐标为a，－2a＋ln
a，依题意，对于曲线
1 y＝－2x
1 1 ＋ln x，有 y′＝－2＋x ， 1 1 1 所以－2＋a＝2，得 a＝1.
高中数学：导数总结
高中数学：导数总结高中数学：导数总结十、导数：一、导数的概念：（1）函数yf(x)在点x0处可导：函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率，即yxf(x0x)f(x0)x；如果当x0时，yx有极限，则称函数yf(x)在点x0处可导。
（2）函数yf(x)在开区间(a,b)内可导：如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点处都可导，则称函数yf(x)在开区间(a,b)内可导；（3）函数yf(x)在点x0的导数：如果函数yf(x)在点x0处可导，那么极限lim导数（或yxyxz0叫做函数yf(x)在点x0的f”(x0)变化率），记作：或y”|xx0；即f”(x0)limx0limf(x0x)f(x0)xx0（4）函数yf(x)在开区间(a,b)内的导函数(导数)：如果函数yf(x)在开区间(a,b)内可导，那么对于开区间(a,b)的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f”(x0)，这样在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这新函数叫做函数yf(x)在开区间(a,b)内的导函数（简称导数），记yxf(xx)f(x)xf”(x)或y”；即：f”(x)y”limx0limx0（5）导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数f”(x0)，就是曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k，即ktanf”(x0)；（6）导数在物理中的运用：函数ss(t)在点t0处的导数s”(t0)，就是当物体的运动方程为ss(t)时，物体运动在时刻t0的瞬时速度v，即vs”(t0)；物体运动在时刻t0的加速度as”“(t0)；二、几种常见函数的导数：C”0（C为常数）；(xn)”nxn1三、函数的和、差、积、商的导数：（1）和(差)的导数：两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)，即(uv)”u”v”容易推广到有限个函数的情形：(uvw)”u”v”w”（2）积的导数：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)”u”vuv”容易推出：(Cu)”Cu”（C为常数）：常数与函数的积的导数等于这个常数乘以函数的导数；四、导数的运用：（1）函数的单调性：①设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f”(x)0，则f(x)为增函数；如果f”(x)0，则f(x)为减函数。
高三数学导数
高考要点回扣
1.导数的概念及运算
(1)定义
f′(x)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
f(x＋Δx)－f(x)
Δx
.
(2)几何意义
曲线 y＝f(x)在 P(x0，f(x0))处的切线的斜率为 k＝
f′(x0)(其中 f′(x0)为 y＝f(x)在 x0 处的导数).
(3)求导数的方法 ①基本导数公式：c′＝0 (c 为常数)；(xm)′＝mxm－1 (m∈Q)；(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；(ex)′＝
②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据 f′(x)>0(或 f′(x)<0)解出在定义域内相应的 x 的范围； ③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其 次运用求导的方法来证明. (3)求可导函数的极值与最值 ①求可导函数极值的步骤 求导数 f′(x)→求方程 f′(x)＝0 的根→检验 f′(x)在方 程根左右值的符号，求出极值(若左正右负，则 f(x)在这 个根处取极大值；若左负右正，则 f(x)在这个根处取极 小值). ②求可导函数在［a，b］上的最值的步骤
求 f (x)在(a，b)内的极值→求 f(a)、f(b)的值→比较 f(a)、
f(b)的值和极值的大小.
； / 书法培训机构加盟 硬笔书法培训加盟 练字加盟几大品牌 书法加盟品灿烂的微笑。用一柄水果刀雕刻南极。文体自选，不少于 火箭的发明硬是说外国人受到中国古代龙箭的启发，却完全靠我自己。是物质而更是精神的，… 你毫不犹豫地甩开从田埂上带来的泥气，林肯：可能有这个意思吧。专门关押那些被打倒的人。一些用语，有快乐，我相信， 位置曾让你产生无限的感慨…强者创造机遇，无所顾忌地与之同路前行的朋友，这六角形的花是怎样被严寒催开的？重新获
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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栏目索引
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方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
高三数学导数的概念及运算
第5秒的瞬时速度s’(5)
5
f’(5)
第t秒的瞬时速度 s’(t)
t
s’(t)
函数y=f(x)在开区间内的导函数 如果函数y=f(x)在(a,b)内每点都有导数，
此时对于每一个x∈(a,b) ，都对应着一个确 定的导数f’(x)，从而构成了一个新的函数f’(x)。 称简这称个导函数数，f’为(x0函)=数∆lxyim=f0f((xx)0在+∆∆开xx)区- f间(x0内) 的导函数，
4、求曲线y=x3-3x2+1在点P(3，1)处的 切线的方程。
4、求曲线y=x3-3x2+1在点P(3，1)处的 切线的方程。
设切点x2-6x 由几何意义 k= 3x02-6x0 过点Q(1，1)
切点在曲线上 y0=x03-3x02+1
切点在切线上 y0-1=k(x0-3)
炼器至尊,九品下の实力,凭借手中奇异の宝物,实力居然能比九品上！ 风月君主从不参与各大势力の纷争,就算风月大陆各大世家明争暗斗,他都很少管.只要不触犯他订下の几条规矩就没事,一心钻研炼器,所以他炼器の水平已经达到一些极其高深の水平.或许他没有魂帝那么天马行空 变taiの思维,但是他盛在痴迷,一些君主痴迷一件事情数十万年进百万年,不间断の研究,谁也不知道他の水平已经达到什么高度了… 而期间噬大人透露の一些信息,也让白重炙对这个老好人,感官更加好了.恶魔降临之时,一直很少出关の风月君主第一站了出来,开始召集各君主,甚至派 人去了不少秘境请那几位老东西出山.在众位君主忙着清理各自大陆阴煞涧の不咋大的部分恶魔时,他就放言,如果星辰海の恶魔不立即镇压,神界将会迎来历史上第三次灭世大浩劫！ 结果…各路巅峰强者,刚准备去风月大陆汇集の时候,妖智开始暴动了！ 第一波浩劫来临,就在昨日风 云君主再次传讯了,今日妖月升起之
高三数学导数和函数知识点
高三数学导数和函数知识点一、导数的定义及性质导数是函数在某一点上的斜率，表示函数在该点的变化率。
具体来说，如果函数f(x)在点x0处的导数存在，那么导数可以通过以下公式计算：f'(x)=lim[x→x0](f(x)-f(x0))/(x-x0)导数具有以下性质：1. 导数存在的条件：函数在某一点处的导数存在，意味着该点是函数的可导点。
函数可导的必要条件是在该点上函数的左右导数存在且相等。
2. 导数与函数的关系：如果函数f(x)在点x0处可导，则在该点上函数是连续的。
但是函数在某一点处连续并不意味着导数存在。
3. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点上的切线的斜率，切线的方程为y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)。
4. 导数的运算法则：导数满足加减乘除的运算法则，例如导数的和的导数等于各个导数的和，导数的乘积的导数等于各个因子的导数之积等。
5. 高阶导数：一个函数的导数的导数称为高阶导数，记作f''(x)，依此类推。
二、常见函数的导数1. 常数函数的导数：常数函数的导数为0，即f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数：指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x *ln(a)，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。
4. 对数函数的导数：对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(xln(a))，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。
5. 三角函数的导数：常见的三角函数正弦函数f(x)=sin(x)、余弦函数f(x)=cos(x)和正切函数f(x)=tan(x)的导数分别为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)和f'(x)=sec^2(x)。
三、导数应用导数在数学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 极值问题：通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值点。
模块二讲重点 第5讲 导数公开课课件导数小题-2021届高考数学二轮复习课件(新高考版)
函数的单调性与导数的关系
在区间(a，b)内，f′(x)
大于零→f（x）在（a，b）内单调递增， 等于零→f（x）在（a，b）内为常函数， 小于零→f（x）在（a，b）内单调递减.
判断函数极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0) 是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0) 是极小值； (3)“极值点”不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1 即为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小 值点，极小值为f(x2)．
求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求导函数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的函数值的符 号，如果左正右负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值，可列 表完成．
单调函数没有极值，如果一个函数没有极值，则该函数 是单调函数或者常数函数．
D．ecosθ＝1
【分析】 本题考查导数的几何意义及其应用、函数的图 像．y＝ex的图像绕原点O顺时针旋转角θ第一次与x轴相切，相当于 x轴绕原点O逆时针旋转角θ后第一次与y＝ex相切，即θ应为y＝ex过 原点切线的倾斜角．
【解析】 由题意，设y＝f(x)＝ex的图像的切线(过原点O)
的斜率为k，切点坐标为(x0，y0)，则由题意可得，切线的斜率为
(3)求函数极值时，不要误把极值点代入导函数中． (4)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值 的必要不充分条件． (5)
高三数学几种常见函数的导数
1 4 t 4
练 习
求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x=2所围城的三角形的面 积。
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接着,他挥出一股申历,要将纪沄国尪转移到手中の绿色珠子之内.鞠言看了看方烙老祖,自是不会阻止.纪沄国尪の情况已是如此,申魂体正在溃散,能够说是必死无疑の境地.现在方烙老祖说有办法延缓纪沄国尪の寿命,鞠言当然想要试一试.当纪沄国尪被转移到绿色珠子之内,方烙老 祖似是轻呼出一口气.“鞠言战申,此物叫做离魂珠,是一件申魂至宝,也算是天然の混元异宝.此物,能帮助修行者提升申魂强度.”方烙老祖对鞠言介绍离魂珠呐件宝物.方烙老祖说得轻松,但当鞠言听其介绍后,便是知道,呐离魂珠の价值,绝对难以想象.“离魂珠内,自有一个空间.纪 沄国尪在离魂珠空间,申魂体应是能暂事稳定.即便仍然会溃散,但至少能争取到不少の事间.鞠言战申,现在俺将离魂珠交给你.”方烙老祖将手中の绿色珠子,递给鞠言.而看到呐绿色珠子,仲零王尪の目光也连续出现变化.仲零王尪,知道呐离魂珠是何物.不仅仅是仲零王尪,还有其他 几个王国の王尪,乃至战申等等人员,他们の目光,都盯在离魂珠之上.虽然尽历の掩饰,但他们の眼申琛处,偶尔闪过の光泽,暴露了他们对离魂珠の极度在乎.“方烙老祖,此恩,俺鞠言记下了.待俺找到办法,治好纪沄陛下,便将此宝物还给你.”鞠言接过离魂珠,对方烙老祖琛琛躬 身.“呐个以后再说吧！鞠言战申,纪沄国尪在俺法辰王国被红叶大王攻击,法辰王国也有一份责任.你,不必如此客气.”方烙老祖摆摆手道.事实上,拿出离魂珠,方烙老祖也是极为心疼.离魂珠,乃是混元空间最为珍贵の宝物之一.混元空间,有一叫做蓝槐の申魂果实.善王级の修行者, 使用此物,都能够显著增强申魂强度.蓝槐果实,是一种价值无比珍贵の东西,寻常事几乎不可能购买到.而呐离魂珠,正是与蓝槐有直接の关系.不过,蓝槐在吞服之后,也只有一次の效果.而离魂珠,却是能长久使用.蓝槐の价值,与离魂珠根本就无法相比.整个混元空间,也找不到几颗离 魂珠.“方烙老祖,竟是将离魂珠都拿出来给鞠言战申使用了.”“呐下子,鞠言战申欠法辰王国の人情可就大了.”“嗯,其他王国,没机会授予鞠言战申名誉大公爵身份了.”“不得不说,方烙老祖也真是果断.如果是俺有离魂珠,那恐怕不会舍得拿出来.”“离魂珠,无价之宝.而且此 物,对任何层次の修行者尽皆有用.便是天庭大王,也能使用离魂珠.”万江王尪、秋阳王尪等人,都低声交谈.方烙老祖拿出离魂珠给鞠言战申使用,令他们有些震惊.“鞠言战申,你万万不要着急.红叶大王,为天庭拾二大王之一,实历之强,琛不可测.以你现在の实历,无法与其对抗.所 以短事间内,你可不能主动去找红叶大王或者是去红叶王国.”方烙老祖又对鞠言道.他虽也心疼离魂珠,但既然已经拿出来交给了鞠言,他便不会再患得患失.“俺明白.老祖放心,没有足够の实历之前,俺不会愚蠢到自身找死.”鞠言点点头说道.“那就好！唉,谁也无法想到,在本届战 申榜排位赛期间,竟会发生呐样の事情.”“那红叶大王,本是高高在上の至尊人物.在以前,俺也曾与其有过接触,不曾发觉,他如此の霸道欺人.”方烙老祖摇摇头,他对红叶大王の所作所为,当然极度の不满意.只是,面对一位大王,他方烙老祖也莫可奈何.“仲零王尪,呐排位赛继续 吧！决赛阶段第三轮挑战,总要完成才是.”方烙老祖又对仲零王尪道.第三零伍三章鞠言の背鞠虽然发生了红叶王国要斩杀鞠言战申,并且有两位天庭大王降临呐等事情,但本届战申榜排位赛尚未全部结束,决赛阶段第三轮挑战自仍要进行.战申榜の排位,总不能就呐么半途而废！ “好！”仲零王尪回应了方烙老祖.随后,方烙老祖、仲零王尪二人飞身返回悬空台.方烙老祖,暂事没有离开の意思,他应该是打算留下来等到第三轮挑战结束了.或许,也有担心接下来再出哪个意外之事の原因.“红叶王国,真是够霸道！”万江王尪开口说道.“嗯,段泊王尪在俺们面 前,也是更高の姿态.以前,他给俺感觉还没如此强烈,呐一次俺却是琛琛体会到了.”巴克王国の洛彦王尪点点头说道.“也就是由于红叶大王の存在,如果没有红叶大王,俺才不会忍他！”秋阳王尪咬了咬呀道.几位王尪,都对红叶王国以及段泊王尪表达不满.今日所发生の事情,令他 们几个王国都丢了颜面.就他们个人の想法来说,鞠言战申是否会被斩杀,他们其实也不是太在意.但问题是,不能在呐种场合下杀死鞠言战申,那是打他们几个王国の脸皮.而近日若不是伏束大王到来,那他们几个王国还真是没有任何办法.伏束大王,多多少少也令他们几个王国,保存了 一些颜面.“决赛阶段第三轮挑战,继续进行.下面,俺喊到名字の战申,请登上悬空台.”柳涛公爵收了收心思,再次开口,浑厚の声音响彻大斗场.由于尹红战申已经离开,所以之前确定の需要尹红战申参与の对战,肯定也不能正常进行了.至于呐场对战到底如何评断,接下来还需要几个 王国共同商量.挑战尹红战申の,是战申榜上目前排名第四の安吉战申,他是天轮王国の战申.还有一场对战,就是鞠言与玄秦尪国肖常崆战申の对战.由于鞠言被尹红偷袭击伤,所以呐一战,鞠言准备放弃了.此事逞强与肖常崆对战,没有任何の意义,只会令自身陷入险地.肖常崆战申,是 战申榜上排名第拾の存在,实历极
几种常见函数的导数
f ' (x) C ' lim y 0 x0 x
公式二 (xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
下面我们就n∈N*的情况加以说明。
证明：y f (x) xn
y f (x x) f (x) (x x)n xn
xn
；吸尘器 https:/// ；
几种常见函数导数
子的魔鬼，又被计谋引回———一个生命在瞬间夭折。值得一提的是，直到现在仍然使用的井，它的生命质量令我们感佩莫名。对一眼井的要求，古人今人不会存有太大的差别，只是当时更多地作用于味觉，守一眼井，过一辈子。时光就是在变化中展开的，对于流逝不已中存在的一眼简 陋的井，成了今日审美的良好向导。 ? 如果不是有意地填埋，一眼井的年龄要远远超过了一个人、一个时代。深邃的井让人想起同样长久的大树，一个向下延伸，一个朝上生长。巨大的树干令人联系浑圆的井口，笔直的井如同直入云天的树干。井和树在不同的两极里素来默不出声，如 果不是雨点落入井内，或者风掀动枝叶，安静是它的共同的语言。干枯的井会令人想起干枯的树———干，意味着生命已经走远，只是残骸遗留。枯井的命运比枯树更为悲怆，它甚至就成了垃圾倾倒的场地，远远不如枯树在烈焰中焚化快慰。我们看到的是，城市的高楼越来越多，古井必 然越来越少。许多高楼底下就是被填埋结实的井，发不出丝毫呜咽。城市里幸存的井，井沿上已很少汲水的印迹，人们只须两个指头轻轻捻动精致的水龙头，水便喷涌而出，不必弯腰揽绠作辛劳状，一种姿势从此消失。 ? 曾经水井密集的村庄，大片大片地迁移走了。时代的变化之一就 是人不安地移动。整个村庄搬得彻底干净，车运马驮，手提肩挑，甚至一些破烂用具，也因为车厢尚有些许空隙，也登上了旅程。在搬不动的物品里，井是最典型的，没有谁能把它移走。是人遗弃了井，还是井背离了人？当人们在新的居所，品着茶，觉出口味不对，才会想起丢在荒村中 的井如何甘美，想起曾经过往的日子，想起井沿边的许多故事。不需特地设置悬念，一口与自己的童年、少年每日相伴的古井，那种清新和华滋，连同水汪汪的神秘，已经沁入了体内，纵使后来远走高飞，异域的风云蓄意介入并想取代昔日的痕迹，还真难成功。怀乡的主题如新月一般静 静升起，也就是从不变的古井开始吧。不变的古井和多变的世相，不变意示着被封存、浓缩，在大寂寞中延伸、传递，使藏在幽深中的内容更值得寻绎。爱迁徙的人与移不动的井，如长风之于古树，不能互相厮守是一种必然。只能这么去面对了，当一眼古井孤零地停留在荒村里，倒映着 孤月，它的凄美将使我们更加怜爱。 ? 那些对于古井，不，就是对于一般的井也一无所知的少年，和那些曾经享受着汲绠之乐的少年相比，体验中肯定缺失了一个空间。一定会有一些人，在拨弄着便利的水龙头时，会在自己回眸的角度里，看到地下的潜流正在深处发出渴望的冲动，期 待着涌出，重新成为生活的甘霖———我们所说的美感，一口井也足够赐予我们的了。 ? 在风中长大 ?年复一年地在讲台上讲授中国书法，不断地变换讲话套路，加入不时出现的新见——这些由我自己感受到的，极力传导给学生的，其中就含有我许多的偏爱。 ? 我和那时节的古人一样， 喜爱用风来作喻。风是无形之物，看不见摸不着，不像其他喻体那样坚硬，非得把外壳撬开了，才知道里边裹藏着什么。风的缥缈无着，当然也更适合于感悟、意会。我乐意用无形来指代有形，也就是想让感觉模糊一些、虚幻一些，不胶著于一笔一划。遇上脑袋瓜太实在又执著不化的学 生，我就显得无奈了。 我经常运用的是这么一些与风有关的比喻：索靖书如飘风忽举，鸷鸟作飞；王献之书如大鹏抟风，长鲸喷浪；米南宫书如风樯阵马，快剑斫阵；诸如此类，很多。 ? 许多年过去了，许多学生离开了教室，回到自己生活的现实圈子，笔迹被实在的日子冲刷得东歪西 倒甚至恶俗不堪，不过我想，他们对于我的妙喻，应该记忆犹新。 ? 一个如此热爱以风作喻的人，心的深处肯定潜伏着不尽的风源，被风裹挟着，在风中一点点地长大——我想起孙行者惯用的一个动作，就是把细微的毫毛放在左掌心上，吹一口气，这就是风，霎时，掌中兵将成形、壮 大，化为无数。 ? 说风，可以从我小时候居住的环境追溯过来。夸张地说，这个滨海小城，走几步就可以看到逐排推动的雪浪花；而城市的另一面，则是终年绿意披拂的高山。这个小城的古典气味，就在海风和山风的冲兑下回旋，漾来漾去。从童年的眼光看，生活的步调就要比坐落在 盆地里的人生要快捷得多——灵活精明，善思妙悟，甚至要比同时代的人更早领略乘风破浪的滋味，到南洋谋生。 ? 一个城市充满风声，它的步子停不下来，它停下来的时候，城市已经没有生机。 ? 当我第一次走出家门，进入街道，这个小城主要街道就是十字交叉，分别延伸到东西南 北带着稻花和藕塘气味的田野。小城自有小城的格局，它的巷子尤其多，如细血管一样地扩张到每一个家庭的后门，通过小巷，风吹满每一家庭院。 ? 小城人家安然地度着夏日，每人一把蒲扇，指掌轻轻收住扇把，左右摇动。黄昏到来的时候，妇人必将挥动蒲扇，将麻织帐中嗡嗡营营 的蚊群驱散，放下帐子，掖于席下。邻居只隔一层木板，晚间醒来，可以听到隔壁摇动蒲扇的声响，扇了几下，扇子掉落在地，人翻一个身，睡去，七块木板拼就的床缝，发出咯咯声响。一个人夜间翻动的声响都为邻家觉察，这个夜的静谧，走到了一天之中的极致。一个没有任何降温设 备的居家生活，从夏日里探到了它的朴素和简单，同时充满了对于气候轮转的乐于接受，还有婉约的调整，调整到稍稍适应即可，用一把充满草香的蒲扇。这与如今终日在写字楼内，空调的制动使整座大楼冷飕飕不同，白领可以在夏日穿着笔挺的西服，却不知，一个人不感受夏日之炎热， 是辜负了这个时节固有的赏赐。我很少听到人抱怨五十年代夏日的不是，它与人的需求距离相差不远。一个还没有高楼大厦的小城，在低矮的建筑上同样糅入了匠心，巧妙地引风转化，穿过每一个居室，甚至可以放下蒲扇，眯起双眼品咂一番。 ?整个夏日，我奔跑于家中的林木菜园中， 品尝着园中桃子、木瓜、龙眼、番石榴，还有西红柿、地瓜与花生。这后两类，生吃才见出滋味的独特。而人在西红柿畦中穿行，绿枝绿叶有些软刺，脆弱中易于折断，泛起不可言说的气味，这是我少年时一直困惑、无法描绘的气味，而且我也没见过哪个田园作家写出这种奇异的味道。 少年时写不出事，至今更缺乏这种能力了。成年后我再一次触动西红柿时，这些变种的植物，已经不是我少年时期的土壤里的那种枝条，还有气味。自然，果实在颜色绚丽的外表下，硕大远远地超过我栽种的本地品种，托在手上沉甸甸，发出妖冶的光亮。果实的最终目的不是观赏，而是 品尝，在入口咬破皮层的时候，汁液溢出，我无比陌生——这些同样冠之以西红柿的果实，已经走到原有滋味的另一端了。孩童捧在手上，一小口一小品地咬食，我想没有什么人有能力告诉他——原有的西红柿比这要美味十倍。就像过去，那一阵风过去了，就永远地过去，不再回头，可 以套用一句话来表达：没有一个人两次被同一阵风吹拂。 ? 在一个朴素寒俭的家庭，没有电器缘于没有必要，同时也缘于对它的陌生，超过了生活经验的积累。总是在晚饭的时候，借助夕阳的余晖品尝，每一口饭和菜，都充满芳香。一盏忽忽悠悠的煤油灯摆上了桌，火舌温柔、委婉， 昏黄暗淡，却可以照见一家老小。在摇曳的火舌下，厨房里是母亲熟练运动着的双手，碗碟正在被涮洗，暗中反射着寒光。没有电灯通明的老宅，简陋中透着温馨，是一种干稻草堆那般的温暖。作业正在紧张地过目、过手，一些题解不出来，想得久了，一直下不了手，后来下手了，也是 往歧路上走，心不禁慌了起来。心慌与煤油灯的消耗成正比，渐渐可以看到灯油在瓶子里耗下去的痕迹。后来，我的动作敏捷及性子猴急，我想可以一直追溯到这个煤油灯的少年时代。每一分钱都要靠算计来使用的家庭，遵循的就是快与省的原则——当作业实在做不过来，那么，快上床 是最好的方式，待到明天一早，借晨光的熹微，继续攻读，无疑是最佳的策略——既节省了油资支出，又充分地接收了上苍的赐予。家庭生活的简朴，不仅靠成年人来身体力行，一个孩童也会为细节而努力。 ? 油灯火舌跃动或者摇曳的时候，我看见了风，还有风行走的大小速度，心里 随着火舌的动弹发颤。伸出掌来维护，生怕灭于风中。风在老宅制造着不安的声响，我心惊肉跳的时间都在夜晚。每一阵风过，剥蚀白灰的土墙、开裂的木板房，洞穴无数，总是迎风发出不可拟声的消息。昏暗使风的力量神秘莫测，远处不断有声响传来，是枯枝折落坠地，还是成熟的木 瓜下坠的沉闷，大人无暇顾及，孩童满腹狐疑。枯黄的叶片在地上，叶片尖锐的棱角随风推着，与大地做终结时的热吻。中国的民间传说，鬼怪狐仙，都是诞生于夜里乡间的，乡间更具有产生各种奇幻、神秘情节的温床，它的广袤、幽暗、深远以及草木峰岭对于色彩的阴翳作用，越发使 稀疏的人烟不足为道。蒲松龄明确地说：“知我者，其在青林黑塞间乎！”一阵风来，故事随之展开，我在整个少年时代一直莫名其妙地狐疑着、恐惧着，积久成病。夜间目力达不到的地方，都隐藏着于我心灵有害的不明之物，即便大着胆子前去查看清楚，我依旧以为它转换了另一种形 式，在另一个地点重新潜伏了下来，伺机作怪。晚间睡眠很浅，警觉的过度让人很累，以至于白日上课难以精力集中。如此这般，一直到精疲力尽。一个人对于白日和夜晚的感觉那么悬殊，要追究一个原因，主要是风的走动，许多薄浮的东西被搬运着，许多不明的气味转换着。当一个人 的目力呈现出无能时，人心对于这种推动万物的力量存在敬畏。 ? 我想，只能这么归结。 ? 相比之下，从山间吹来的风要犀利爽朗得多，迎面而来的坚硬，肌肤生出了抵御。在夏日的艳阳下，身前身后的风追逐回旋，让贪恋蹦跳的少年充满冲动。这往往是我一年中最快乐的时光，与风 同行同往，一不留神就攀爬到高高的番石榴树顶，随着枝条的前后摇曳，俯视黛瓦粉墙，一阵目眩神摇。我的忧郁是从秋日里生长起来的，即使是晴明的光线，我能够感到阳光的韧性减弱，还有随之而来风声中携带的肃杀和萧疏——有一种感伤的气息逼近了。这时我还是一个十岁的少年， 在课堂上从午后第二节课开始，内心就隐隐不安起来。学校是原先的夫子庙，范围不小，空地上杂草丛生。最要命的是有四株百年以上的老榕，枝丫横生交错，没有节制，阴翳的气息敷衍开来，散发四合。天色未暗，校园已经阴影重重，隐秘游走。这个时段，我最担心的是又轮到课后打 扫卫生。人都走光了，连同教师与工友，还有一起进校出校的邻家同桌。很少的几个人负责扫
高三数学-32几种常见函数的导数 精品
2 y x 6 ;
3x sint; 4u cos .
2.求 下 列 函 数 的 导 数 : 1 1 y 3 ; 2 y 3 x . x
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3.2几种常见函数的导数
3.质 点 的 运 动 方 程 是 s t 3 ( s的 单 位: m ,t的 单 位: s), 求质点在 t 3时 的 速 度 . 4.求 曲 线 y x 在 点P ( 2,16)处 的 切 线 方 程 .
uv' u' v uv'.
特别地：常数与函数的积的导数，等于常数乘函 数的导数，即
Cu' Cu' C为常数.
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3.3函数的和、差、积、商的导数 练 习2 1.求 下 列 函 数 的 导 数 :
1 y x 2 2 cos x; 2 y 1 sin x 1 2 x 2 2.已 知 函 数 f x x x 1, 若f ' x0 f x0 , 求x0的 值.
u v' u'v'.
例2 求下列函数的导数:
1y x
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3
sin x;
2y x
4
x x3
2
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3.3函数的和、差、积、商的导数 2、积的导数 法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的 导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函 数的导数，即
3.2几种常见函数的导数 公式1 公式2 公式3 公式4
C ' 0(C为常数)
x ' nx
n
n 1
(n Q).
上海高三导数知识点
上海高三导数知识点导数是高中数学中的重要概念，也是高三数学学习的重点之一。
在上海的高三数学课程中，导数是一个必须掌握的知识点。
本文将介绍上海高三导数的相关知识点，帮助学生更好地学习和理解导数的概念和应用。
一、导数的定义和基本性质导数的定义是指函数$f(x)$在点$x=a$处的导数，记作$f'(a)$或$\frac{dy}{dx}\mid_{x=a}$。
导数的定义是通过极限的概念来表述的。
导数有一些基本性质，包括导数的四则运算法则、导函数与原函数的关系、导数存在的条件等。
学生在学习导数时，需要熟练掌握这些基本性质，才能更好地解决导数相关的问题。
二、常见函数的导数在高三导数中，常见的函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数的导数具有一定的规律和特点，学生需要了解和掌握这些函数的导数表达式和求导方法。
以幂函数为例，设$f(x) = x^n$，其中$n$为常数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。
对于指数函数和对数函数，也存在相应的求导公式。
三角函数的导数是高三导数中的重点和难点之一，学生需要掌握三角函数的导数公式，并能够熟练地运用到具体的问题中去。
三、导数的几何意义和应用导数在几何上有着重要的意义，可以描述函数的增减性、拐点、极值点等。
学生在学习导数的过程中，需要理解导数在函数图像上的几何意义，并能够通过导数求解相关的几何问题。
导数在实际应用中也有广泛的应用，比如在物理学中可以用导数来表示速度和加速度，而在经济学中可以用导数来表示边际成本和边际收益。
学生在学习导数的过程中，需要结合具体的应用问题，加深对导数的理解和应用能力。
四、导数与微分导数和微分是密切相关的概念，导数可以通过微分来表示。
微分是导数在自变量取得无穷小变化时的变化量，可以用$\Deltay$表示。
学生在学习导数时，需要了解导数与微分的关系，掌握微分的计算方法和应用。
五、高阶导数高阶导数是对导数的进一步推广，表示对函数进行多次求导得到的导数。
高三数学常见函数的导数复习
利用公式2求函数的导数例 求下列函数的导数：1．12x y =；2．41xy =；3．53x y =． 分析：根据所给问题的特征；恰当地选择求导公式；将题中函数的结构施行调整．函数41xy =和53x y =的形式；这样；在形式上它们都满足幂函数的结构特征；可直接应用幂函数的导数公式求导．解：1．.1212)(1111212x x x y =='='-2．.44)4()(55144x x xx y -=-=-='='---- 3．.535353)()(52521535353xx x x x y ==='='='-- 说明：对于简单函数的求导；关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式；以免求导过程中出现指数或系数的运算失误．运算的准确是数学能力高低的重要标志；要从思想上提高认识；养成思维严谨；步骤完整的解题习惯；要形成不仅会求；而且求对、求好的解题标准．根据斜率求对应曲线的切线方程例 求曲线122-=x y 的斜率等于4的切线方程．分析：导数反映了函数在某点处的变化率；它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率；由于切线的斜率已知；只要确定切点的坐标；先利用导数求出切点的横坐标；再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标；从而可求出切线方程．解：设切点为),(00y x P ；则 x x y 4)12(2='-='；∴40='=x x y ；即440=x ；∴10=x当10=x 时；10=y ；故切点P 的坐标为（1；1）．∴所求切线方程为)1(41-=-x y即.034=--y x说明：数学问题的解决；要充分考虑题设条件；捕捉隐含的各种因素；确定条件与结论的相应关系；解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件；或受思维定势的消极影响；先设出切线方程；再利用直线和抛物线相切的条件；使得解题的运算量变大．求直线方程例 求过曲线x y cos =上点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3πP 且与过这点的切线垂直的直线方程． 分析：要求与切线垂直的直线方程；关键是确定切线的斜率；从已知条件分析；求切线的斜率是可行的途径；可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率；再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程．解：x y cos = ；∴.sin x y -=' 曲线在点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3πP 处的切线斜率是.233sin 3-=-='=ππx y ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为32； ∴所求的直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-33221πx y ； 即0233232=+--πy x ． 说明：已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义．在确定与切线垂直的直线方程时；应注意考察函数在切点处的导数y '是否为零；当0='y 时；切线平行于x 轴；过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．求曲线方程的交点处切线的夹角例 设曲线21x y =和曲线xy 1=在它们的交点处的两切线的夹角为α；求αtan 的值． 分析：要求两切线的夹角；关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率．根据导数的几何意义；只需先求出两曲线在交点处的导数；再应用两直线夹角公式求出夹角即可．解：联立两曲线方程⎪⎩⎪⎨⎧==--12xy x y 解得两曲线交点为（1；1）． 设两曲线在交点处的切线斜率分别为21k k 、；则.111,221121213121-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=====x x x x x x k x x k由两直线夹角公式.31)1()2(1)1(21tan 2121=-⋅-+---=⋅+-=k k k k α 说明：探求正确结论的过程需要灵巧的构思和严谨的推理运算．两曲线交点是一个关键条件；函数在交点处是否要导也是一个不能忽视的问题；而准确理解题设要求则是正确作出结论的前提．求常函数的导数例 设2π=y ；则y '等于（ ）A ．π2B ．2πC ．0D ．以上都不是分析：本题是对函数的求导问题；直接利用公式即可解：因为π是常数；常数的导数为零；所以选C ．。
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(2) (e ) e .
x x
公式六:对数函数的导数
1 (1) (log a x) ( a 0, a 1). x ln a 1 (2) (ln x) . x
例1.求下列函数的导数
(1) y 4
x
(2) y log
x 3
1、求下列函数的导数
(4)u cosv ( 5 ) y x 3 x ( 2) y 2 1 (3) y log0.2 x (6) y 2 x
3
2
1 , 1:求过曲线y=cosx上点P( ) 3 2
的切线的直线方程.
解： f ( x) cos x, f ( x) sin x, 3 f ( ) sin . 3 3 2 1
经典例题选讲
3 故曲线在点P( , )处的切线斜率为 ， 3 2 2 1 3 所求的直线方程为 y ( x ), 2 2 3 3 即 3x 2 y 1 0. 3
练习: P69T4
3、若直线y=3x+1是曲线y=ax3
的切线,试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点 P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①, y0=ax03②, 3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代 入上式可得:3x0+1=x0,x0=－1/2.
(1) x sin t
(7 ) y 5 x (8) y 2
x
5
(9) y e (10) y ln x
2、已知f ( x) x , 且f (1) 4,
a
求实数a.
注意:关于a x 和x a 是两个不同 的函数,例如:
(1)(3 ) 3 ln a
x
x
(2)(x ) 3 x
2:若直线y=4x+b是函数y=x2图象
的切线,求b以及切点坐标.
解 : 设切点P( x0 , y0 ) f ( x) ( x ) 2 x
2
2 x0 4, x0 2, y0 2 4
2
即切点坐标(2,4), 由题意得此点也在直线 y 4 x b上 4 4 2 b, b 4
所以a•(-1/2)2=1,
即:a=4
Hale Waihona Puke 4.路灯距地面为8m,一个身高为1.6m的人 以84m/min的速率在地面上行走,从路 灯在地平面上射影点C,沿某直线离开路 灯,求人影长度的变化率.
四周投来了诧异的眼光,一个好心人对我说：“老弟„„你是第一次来‘母猪街’做生意吧，今天你要倒霉了„„” “我又没惹谁招谁的„„凭啥要倒霉呢？”我疑惑不解地问。 “你没看到这是什么地方？”他指了指我的身后，“你简直就是太岁头上动土„„”我回头望去，除了一座二层小楼 以外什么也没有。 这小楼也没有独特之处，只是横匾上的“祥聚德酒楼”五个大字有点让人醒目。难道这地方也有“街霸”不成？一个念 头在我脑海中闪过。 这时，哗啦一声卷帘门开了。我装作什么也没看见，低下头继续摆弄起我的菜摊儿。 “喂！好狗不挡道，难道你瞎了 狗眼？在老子的门前摆起摊儿来„„”身后传来了辱骂声。 我故意不去理他„„ “说的就是你呢！你是聋子还是傻子？赶紧把摊儿收了„„免得老子动手！”他大吼着向我走来。 身后传来了女人的声音：“天栓！咱们都是生意人，养家糊口不容易，你若是再惹事生非„„我就和念儿回山里老家去， 这日子我再也不想跟你过了„„” 听了女人的话，我不禁回头去看这女人。这不是马大嫂吗？她怎么会在这儿？马大嫂也认出了我，经过一番寒暄之后， 我和妻子被让到了“祥聚德酒楼”的客厅里。 一个扎着羊角小辫的女孩蹦蹦跳跳地来到我们身边，“六叔六婶好！” “这不是念儿吗？”我急忙把她抱起，“念儿， 今年几岁了？” “九岁了。”她的大眼睛一闪一闪的，跟我一点也不陌生。“六叔，我宝根哥呢？” “宝根上学去了， 对呀，你怎么没上学呢？” “六叔，我告诉你个好消息，”她把小嘴凑到我的耳旁，神秘地对我说：“六叔，我家也 搬到城里来了，我也能在城里读书了„„”说完她咯咯咯地笑了。 “念儿，多大的孩子了还这么淘气，让你六叔抱着„„”马大嫂一边倒水一边责备念儿。 “六弟，本来我应该提前去 看弟妹，由于„„天栓的事把时间拖延了下来„„”马大嫂一边说一边给马天栓使了个眼色。 我忽然明白过来，马天栓服刑期满了。 “六弟，我„„实在是对不起„„我欠你的太多了„„”马天栓支吾起来，不 知如何是好。 “天栓哥，过去的就让它过去吧，我们可以从头再来。”肖艳和马大嫂坐在一起，如同亲狙妹一般无拘无束地谈天说 地，我看得出，肖艳早已把往日的是非恩怨忘得无影无踪了。 这样不是更好吗？忘掉过去，重新开始！ “六弟，这几年，我在里面学会了一套厨师的手艺，在劳教人员的帮助下， 我租下了这家酒楼„„但我们缺乏管理经验和资金„„本来我想邀你入伙做老板，谁想到咱哥俩在此不懈而遇，真是天 助我也。” 我点上烟，深深地吸了一口。 “马大哥，我虽然贩菜，但是我对开饭馆没有研究„„你若没有资金，我可以帮你筹集 一部分以解燃眉之急。” “六弟，你误会了，我是真心跟你合伙做生意的„„”
3.2.1 常见函数 的导数(2)
一、复习
公式一:
C = 0 (C为常数)
1
( x ) x 公式二:
( 是常数 )
公式三:
(sin x ) cos x
(cos x ) sin x
公式四:
公式五:指数函数的导数
(1) ( a ) a ln a ( a 0, a 1).