幂函数及应用全部
初三函数全部知识点总结
初三函数全部知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义函数是一种对应关系，它把一个自变量的值对应到一个因变量的值上。
一般地，函数f(x)可以表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
2. 自变量与因变量自变量是函数中独立变化的变量，通常用x表示；因变量是根据自变量的取值而定的变量，通常用y表示。
3. 定义域和值域定义域是自变量的所有可能取值的集合；值域是因变量的所有可能取值的集合。
4. 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的点的集合。
二、函数的表示方法1. 用一个通项公式表示函数函数f(x)有时可以用一个表达式y=f(x)表示。
2. 用函数的图像表示函数函数的图像是函数在平面直角坐标系中的点的集合。
三、常见函数及其性质1. 线性函数线性函数是具有形式y=kx的函数，其中k为常数。
2. 幂函数幂函数是具有形式y=ax^n的函数，其中a和n为常数。
3. 指数函数指数函数是具有形式y=a^x的函数，其中a为正数且不等于1。
4. 对数函数对数函数是指数函数的逆运算。
5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
四、函数的性质1. 奇偶性如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
2. 增减性如果函数f(x)在区间(a,b)上有f'(x)>0，那么f(x)在区间(a,b)上是增函数；如果函数f(x)在区间(a,b)上有f'(x)<0，那么f(x)在区间(a,b)上是减函数。
3. 最值和零点函数在定义域内可能有最大值、最小值和零点。
4. 对称性有关函数的图像可能有关于y轴对称、关于x轴对称、或者关于原点对称的性质。
五、函数的运算1. 基本函数的运算加减乘除四则运算和复合运算。
2. 复合函数复合函数是一个函数作为另一个函数的自变量而得到的函数。
3. 函数的反函数函数的反函数是满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数。
幂函数 于凤雪
小结
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 并且函数图象都通过点(1,1) 2.>0时,图象都经过点（0，0）和（1，1）， 在(0,+∞)函数是增函数. 3.<0时, 图象都经过点（1，1）图象 在(0,+∞)上是减函数;在第一象限内, 图象向上与Y轴无限地接近, 向右与X轴无限地接近.
目标达成：熟练掌握幂函数的图象与性质，
1、课本、导学案、典型题目本、 练习本、双色笔 2、分析错因，自纠学案 3、标记疑难，以备讨论
引入
我们先来看看几个具体的问题:
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付 W元 P=———— p是w的函数
a² (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=_____ S 是a的函数 a³ (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=______
展示 位置
前黑板 前黑板 前黑板 前黑板
展示 小组
6组 10组 9组 7组
点评
目标：
（1）点评对错、规 范(布局、书写)、思 路分析（步骤、易错 点），总结规律方法 用彩笔, （2）其它同学认真 倾听、积极思考,重 点内容记好笔记。有 不明白或有补充的要 大胆提出。 （3）力争全部达成 目标，A层多拓展、 质疑,B层注重总结， C层多整理，记忆。 科研小组成员首先要 质疑拓展。
(1)
yx
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1; （5）幂前的系数也为1。
(2) y x2
y x3 (3)
(4) y x
1 2
(5)
y x 1
y x 的函数。 上述问题中涉及的函数，都是形如
高一数学知识点幂函数的总结
高一数学知识点幂函数的总结高一数学知识点幂函数的总结「篇一」不过作为集合大小的定义，我们希望能够比较任意两个集合的大小。
所以，对于任何给定的两个集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一样大，这三种情况必须有一种正确而且只能有一种正确。
这样的偏序关系被称为“全序关系”。
最后，新的定义必须保持原来有限集合间的大小关系。
有限集合间的大小关系是很清楚的，所谓的“大”，也就是集合中的元素更多，有五个元素的集合要比有四个元素的集合大，在新的扩充了的集合定义中也必须如此。
这个要求是理所当然的，否则我们没有理由将新的定义作为老定义的扩充。
经过精心的整理，有关“高一数学学习：集合大小定义的基本要求三”的内容已经呈现给大家，祝大家学习愉快!学好高中数学也需阅读积累阅读，在语文中要抓住精炼的或生动形象的词与句，而在数学中，则应抓住关键的词语。
比如在初二课本第一学期第21章第五节反比例函数性质的第一条：“当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小。
&rdquo 高中历史;这句话中，关键词语是“在每个象限内”，反比例函数的图像为双曲线，而这个性质是对于其中某一分支而言，并不是对整个函数来说的。
所以在做题时，应注意到这一点。
从这一实例来看，我们不难发现阅读时抓住关键词语的重要性。
积累，在语文中有利于写作，在数学中有利于解题。
积累包括两方面：一、概念知识，二、错误的题目。
脑子中多一些概念就多了一些思考的方法，多了一些解题的突破口，在做较难的题目时，也就得心应手了。
积累错误的题目，指挑选一些自己平时易错或难懂的题目，记在本子上，在复习时，翻看这本本子就能更加清楚地了解自己在哪些方面还有所欠缺，应特别注意。
所以积累对学好数学起着极大的作用。
自主复习最好各科交替进行大部分区县都将实行全区统考，并将考生成绩进行大排队。
这次考试将成为考生填报高考志愿的重要参考依据。
一次函数、二次函数、幂函数模型的应用实例
2.5 t 3.5,
150 50(t 3.5), 3.5 t 6.5.
它的图象如图：
2
车速v(km/h)与时间t(h)的函数关系式为：
60, v 0,
50,
它的图象如图：
0 t 2.5, 2.5 t 3.5, 3.5 t 6.5.
思路分析： 完成全部任务的时间就是两组中需要用时较多的那组所 用时间，因此要想最快完成任务，两组所用时间之差应 为0或最小。
5
解：设x名工人制作课桌，(30 名x)工人制作椅子，
由题意知，一个工人制作一张课桌与制作一把椅子用时 之比为10：7，则一个工人制7张桌子和制作10把椅子所 用时间相等，不妨设为1个时间单位，那么
7 13
g(13)
200
1.18
10(30 13)
所以 t(13) 1.18
因为 t(12) t(13)
所以 x 1时3用时最少。
答：用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子完成任务 最快。
8
3
练习： 某人如果将进货价为8元的商品按每件10元售出时
每天可销售50件,现在他采用提高价格销售,减少进货量 的办法增加利润,己知商品每件售价每提高1元,其日销 售量就减少5件,为使每天赚得的利润最大,该商品的定 价应为多少元?
为使每天赚得的利润最大,该商品的定价应为14元.
4
例3:某车间有30名木工，要制作200把椅子和100张课桌，已知 制作一张课桌与制作一把椅子的工时之比为10：7，问30名工 人应当如何分组（一组制作课桌，另一组制作椅子），才能保 证完成全部任务最快？
解函数应用题的方法和步骤： 1．审题:（1）设出未知量;（2）找出量与量的关系. 2．建摸:建立函数关系式. 3．求解:用数学方法解出未知量.
高一上学期全部知识点公式
高一上学期全部知识点公式一、数学1. 代数与函数- 一元一次方程：ax + b = 0- 二元一次方程组：- ax + by = c- dx + ey = f- 一次函数的表达式：y = kx + b- 二次函数的表达式：y = ax² + bx + c- 幂函数的表达式：y = axᵇ- 对数函数的表达式：y = logₐx- 指数函数的表达式：y = abˣ2. 三角学- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC- 余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC- 正切定理：tanA = a/b- 各角的和与差公式：- sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB- cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB- tan(A±B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓ tanAtanB)3. 几何- 平行线间的性质：- 同位角相等- 内错角相等- 对顶角相等- 相似三角形的性质：- 对应角相等- 对应边成比例- 正方形的周长：4s- 正方形的面积：s²- 圆的周长：2πr- 圆的面积：πr²4. 概率与统计- 百分数：百分数 = 实际数量/总数量 × 100%- 平均数：平均数 = 总和/个数- 中位数：将一组数按大小排列后中间的数（偶数个数时取中间两个数的平均数）- 众数：一组数中出现最频繁的数值- 方差：方差 = Σ(xi - x)²/n- 标准差：标准差= √方差二、物理1. 运动学- 平均速度：v = Δx/Δt- 平均加速度：a = Δv/Δt- 自由落体运动：- 下落时间：t = √(2h/g)- 下落距离：h = 0.5gt²- 斜抛运动：- 水平位移：Δx = v₀xt- 垂直位移：Δy = v₀yt - 0.5gt²2. 力学- 牛顿第一定律：物体的静止状态或匀速直线运动状态保持不变，除非有外力作用- 牛顿第二定律：F = ma- 牛顿第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反- 动能：动能 = 0.5mv²- 功：功= Fs cosθ3. 光学- 凸透镜成像公式：- 1/f = 1/v + 1/u- m = -v/u- 反射定律：入射角等于反射角，入射光线、法线和反射光线在同一平面上- 折射定律：入射角、折射角和法线在同一平面上，n₁sinθ₁= n₂sinθ₂三、化学1. 元素周期表- 元素符号：表示元素的缩写，如H表示氢，C表示碳- 原子序数：表示元素中原子的数量，如氢的原子序数为1 - 原子质量：表示元素中一个原子的质量，如氢的原子质量为1.00792. 化学方程式- 反应物与生成物的表示：如2H₂ + O₂ → 2H₂O表示氢气和氧气生成水- 反应物与生成物的摩尔比：如反应物的摩尔比为2:1，则生成物的摩尔比也为2:13. 化学计算- 摩尔质量计算：摩尔质量 = 质量/物质的量- 摩尔浓度计算：摩尔浓度 = 物质的量/溶液体积- 溶解度计算：溶解度 = 已溶解物质质量/溶液体积以上是高一上学期数学、物理和化学中的全部知识点公式。
幂函数指数函数对数函数的图像和性质
幂函数指数函数对数函数的图像和性质在数学中，幂函数，指数函数和对数函数是一类十分重要的函数，它们在各种领域都有着重要的应用，它们之间也有着千丝万缕的联系，而本文的主要重点就是分析它们的关系，以及它们的图像和性质。
首先，对于幂函数而言，它的定义域为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0,aeq 1)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。
此外，还可以确定的是，幂函数是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=ln(a)a^x$ 。
接下来，我们来看看指数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。
此外，还可以确定的是，指数函数也是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=a^xln(a)$可以看出，指数函数也是一种以连续变量为参数的可导函数。
最后，我们再来看看对数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=ln x$，可以看出，对数函数的图像呈右斜线形，它是一个单调函数，且为可导函数，其导函数的形式为$f(x)=frac{1}{x}$ 。
接下来，我们来看看三种函数之间的关系，第一，它们之间有着联系，即可以从一种函数通过定义变换到另外一种函数，其具体形式为$f(x)=a^x=ln(y)$，即从一个函数求另一个函数，从而将三种函数联系在一起；第二，它们之间也存在着双射，可以实现函数的双向转换；第三，它们的应用场景类似，都是应用于数量的变化趋势分析中，以及特定概率的分析等领域。
以上，就是有关幂函数、指数函数和对数函数的图像和性质以及它们之间的联系的全部内容，它们在数学中都有着重要的应用，因此，理解它们的关系以及图像和性质也是十分重要的。
六大基本初等函数图像及性质
WORD 格式整理版六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C （其中 C 为常数）；常数函数（ y C ）C 0yy Cy 0xO平行于 x 轴的直线定义域 R二、幂函数 y x ，x是自变量，是常数；y 11. 幂函数的图像：y x2y x2y x1O2.幂函数的性质；性质y x y x2y x3函数定义域R R R值域R[0,+ ∞ )R奇偶性奇偶奇单调性增[0,+ ∞) 增增(-∞ ,0]减公共点（ 1,1）C 0yOy轴本身定义域 Ry xy x3x1y x2[0,+ ∞ )[0,+ ∞ )非奇非偶增xy x 1{x|x ≠ 0}{y|y ≠ 0}奇(0,+∞) 减(-∞ ,0) 减WORD 格式整理版1）当 α 为正整数时，函数的定义域为区间为x ( ,)，他们的图形都经过原点，并当α >1 时在原点处与 x 轴相切。
且 α为奇数时，图形关于原点对称；α 为偶数时图形关于 y 轴对称；2）当 α 为负整数时。
函数的定义域为除去 x=0 的所有实数；3）当 α 为正有理数m时， n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞）， n 为奇数时函数的定义域为（ -n∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）；4）如果 m>n 图形于 x 轴相切，如果m<n,图形于 y 轴相切，且 m 为偶数时，还跟y 轴对称； m ， n均为奇数时，跟原点对称；5）当 α 为负有理数时， n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 以外的一切实数。
三、指数函数 ya x ( x 是自变量 , a 是常数且 a0 ， a 1) ，定义域是 R ；[ 无界函数 ]1. 指数函数的图象 ：ya xyyya x(a 1)(0 a1)(0,1)y 1(0,1)y 1OxOx2. 指数函数的性质 ；性质y a x(a 1)y a x(0 a 1)函数定义域 R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0，1)，即 x0 时， y 1单调性 在（ ，）是增函数在（， ）是减函数1 ） 当 a 1时 函 数 为 单 调 增 , 当 0 a 1时函数为单调减；2 ） 不 论 x 为 何 值 , y 总 是 正 的 , 图 形 在 x 轴 上 方 ；3 ） 当 x0 时 , y1,所以它的图形通过(0,1) 点。
幂函数ppt课件全
(4)
1
y x2
(5)
y x1
21
y x2
(-2,4)
y x3
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
2
4
6
y x 1 (-1,-1) -1
-2
-3 22
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
… -8 -1 0 1 8 27 64 …
… / / 0 1 2 3 2…
y 8
y=x3
6
4
1
2
y=x 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-2
-4
-6
17
-8
函数 y x3 的图像
定义域： R
值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
18
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
2
1
2
所求的幂函数为y
x
1 2
.
10
练习3：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27）， 求证：f(x)是奇函数。
证明: 设所求的幂函数为y x 函数的图像过点(3，27)
27 3 ,即33 3
3
f (x) x3
f (x)的定义域为R， f (x) (x)3 x3
f (x) f (x)
f (x1) f (x2)
x1
人教版高中数学必修1--第三章 幂函数的图象与性质 3
变化规律
立确定的函数模型解决实际问题
(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
高中数学 必修 第一册
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课前 自主学习 课堂 互动探究 课堂 达标训练
栏目索引
第三章 函数的概念与性质
课前 自主学习
[对应学生用书 P74] 常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
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第三章 函数的概念与性质
续表 一般地，设自变量为 x，函数为 y，并用 x 表示各相
关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知 第二步：
识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际 建模
问题转化为数学问题．实现问题的数学化，即建立函数
模型
第三步： 求解
利用所学知识对函数模型予以解答，求得结果
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第三章 函数的概念与性质
有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为 Q1 万元和 Q2万元，它们与投入的资金 x 万元的关系是 Q1＝15 x，Q2＝35 x . 现有 3 万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最 大利润？
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第三章 函数的概念与性质
注意到每月成本不超近 23 万元，则 40×200x＋150×50×(30－ x)≤230 000，从而求出 x 的取值范围是 0≤x≤10，且 x 为整数．显然 当 x＝10 时，赢利最大，最大利润是 124 000 元．
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第三章 函数的概念与性质
(1)一次函数模型的实际应用 一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原 则． (2)一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式 ax＋b≥0(或≤0)，解答时， 注意系数 a 的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
高中数学目录
高中数学目录第一章：方程和不等式1.1 一元一次方程及其应用1.2 二元一次方程组及其应用1.3 一元二次方程及其应用1.4 二元二次方程组及其应用1.5 一次不等式及其应用1.6 二次不等式及其应用第二章：函数2.1 函数的概念及初步认识2.2 幂函数和指数函数2.3 三角函数及其应用2.4 反三角函数及其应用2.5 导数和函数的变化率2.6 极限及其计算第三章：数列和数学归纳法3.1 数列的概念及性质3.2 等差数列和等比数列3.3 数列的极限和收敛性3.4 数学归纳法及其应用第四章：平面向量4.1 向量的概念及初步认识4.2 向量的加减及数量积4.3 向量的叉积及应用第五章：解析几何5.1 空间直线的方程及其相交关系5.2 空间平面的方程及其相交关系5.3 空间曲线及其参数方程5.4 二次曲线及其方程第六章：三角形6.1 三角形的性质及重要定理6.2 三角函数在三角形中的应用6.3 三角形相似及其判定方法6.4 三角形的内心、外心、垂心和重心第七章：概率统计7.1 随机事件和概率的概念7.2 概率的计算方法及其应用7.3 随机变量及其分布函数7.4 统计量及其应用第八章：数学证明思想和方法8.1 数学证明的思想及方法8.2 常用代数证明方法8.3 常用几何证明方法第九章：几何构图与解析几何9.1 常用几何构图方法及其应用9.2 解析几何的计算方法及其应用第十章：微积分基础10.1 导数及其应用10.2 微分及其应用10.3 积分及其应用第十一章：向量空间和线性代数11.1 向量空间的定义及其性质11.2 线性变换及其应用11.3 矩阵及其应用第十二章：复数及其应用12.1 复数的概念及其运算12.2 欧拉公式及其应用12.3 复函数及其应用第十三章：常微分方程及其应用13.1 常微分方程的基本概念及方法13.2 高阶线性常微分方程及其应用13.3 系统的常微分方程及其应用第十四章：数学思想和方法的发展历程14.1 古希腊数学的兴起及其特点14.2 数学分析的探索及其发展14.3 现代数学的新发展及其趋势以上就是我为大家总结的高中数学目录，希望能够对大家的学习有所帮助。
幂函数及应用全部
A．(－3，－1)和(2,4)
B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)
D．(－¡Þ，－3)和(4，＋¡Þ)
(2)函数f(x)＝lgx－ 的零点所在的大致区间是()
A．(6,7)B．(7,8)
C．(8,9)D．(9,10)
在同一坐标系中试作出幂函数yxyx化解疑难常见幂函数的图象与性质解析式奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数单调性单调递增定点11化解疑难幂函数的性质归纳1所有的幂函数在区间0上都有定义并且图象都过点11
学科教师辅导讲义
教学主任签字：
学员编号：年级：高一课时数：2课时
学员姓名：张浩翔辅导科目：数学学科教师：
2．由f(x1)<f(x2)得x1与x2的大小关系时，如果f(x)的单调区间不止一个，那么需要对x1，x2的范围进行讨论．这时可借助函数y＝f(x)的图象，直观地进行分析，得出结果．
[活学活用]
若(3－2m) >(m＋1) ，则实数m的取值范围为________．
解析：考察幂函数y＝x ，因为y＝x 在定义域[0，＋¡Þ)上是增函数，所以
故f(x)＝x3.
[例2](1) 如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－ ， ，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为()
A．－2，－ ， ，2B．2， ，－ ，－2
C．－ ，－2,2， D．2， ，－2，－
(2)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则()
f(8)＝lg 8－ <0，f(9)＝lg 9－1<0，f(10)＝lg 10－ >0，
高一上学期数学知识：幂函数
高一上学期数学学问：幂函数幂函数的定义域的不怜悯况如下：假设a为任意实数，那么函数的定义域为大于0的全部实数;假设a为负数，那么x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需根[据q的奇偶性来确定。
以下是我为大家整理有关幂函数的〔高一〕上学期〔数学〕学问梳理，欢送大家参阅!高一上学期数学学问：幂函数幂函数定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假设a为任意实数，那么函数的定义域为大于0的全部实数;假设a为负数，那么x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需根[据q的奇偶性来确定，即假犹如时q为偶数，那么x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假犹如时q为奇数，那么函数的定义域为不等于0的全部实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不怜悯况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，那么只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域幂函数性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来商量各自的特性：首先我们知道假设a=p/q，q和p都是整数，那么x^(p/q)=q 次根号(x的p次方)，假设q是奇数，函数的定义域是R，假设q是偶数，函数的定义域是[0，+)。
当指数n是负整数时，设a=-k，那么x=1/(x^k)，明显x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x 所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排解了为0与负数两种可能，即对于x0，那么a可以是任意实数;排解了为0这种可能，即对于x0和x0的全部实数，q不能是偶数;排解了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的全部实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假设a为任意实数，那么函数的定义域为大于0的全部实数;假设a为负数，那么x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需依据q的奇偶性来确定，即假犹如时q为偶数，那么x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假犹如时q为奇数，那么函数的定义域为不等于0的全部实数。
高考数学总复习专题讲解15---函数模型及其应用
高考数学总复习专题讲解15 函数模型及其应用[考点要求] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0).(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0).(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0).(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0).2．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝a x(a＞1)y＝log a x(a＞1)y＝x n(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢因n而异图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．[常用结论]形如f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)内单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a，当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x与函数y＝x2的图象有且只有两个公共点．()(2)幂函数增长比直线增长更快．()(3)不存在x0，使ax0＜x n0＜log a x0.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x).()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改编1．[多选]某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中正确的有()(注：结余＝收入－支出)A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元ABC[由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．]2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如下表：则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.] 3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．18[利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．3[设隔墙的长度为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，则y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，y最大．]考点1用函数图象刻画变化过程判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的2种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．1.(2019·遵义模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0＜a＜12).不考虑树的粗细，现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是()A B C DB[设AD的长为x m，则CD的长为(16－x)m，则矩形ABCD的面积为x(16－x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a).画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选B.]2．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()A B C DB[由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，选B.]3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D[根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．]准确掌握常见函数模型图象的变化趋势是解决此类问题的关键．考点2应用所给函数模型解决实际问题求解所给函数模型解决实际问题的3个关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元).在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元).每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？[解] (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3； 当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8. (2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15，此时，当且仅当x＝100x，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．解决实际问题时，应注意自变量的取值范围，如本例中x∈(0，＋∞).一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16[当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝a e－8b＝12a，∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－b t＝18a，e－b t＝18＝(e－8 b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min.]考点3构建函数模型解决实际问题构建函数模型解决实际问题的步骤构造二次函数、分段函数模型国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0＜x≤75(x∈N*)，每张飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10（x －30），30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，1 200x －10x 2－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10（x －60）2＋21 000，30＜x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0，30]上为增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000.又S ＝－10(x －60)2＋21 000，x ∈(30，75]，所以当x ＝60时，S 取得最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润．解题过程——谨防2种失误(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小得解．构造y ＝x ＋a x (a ＞0)模型某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．[解] 设该养殖场x (x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 元． 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元).从而有y＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥2300x·3x＋357＝417，当且仅当300x＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．利用模型f(x)＝ax＋bx求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件．构建指数函数、对数函数模型(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0，100.007 5≈1.017)()A.1.5%B．1.6%C．1.7% D．1.8%(2)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为(提示：1.0653≈1.208)()A．93.8万亿元B．99.9万亿元C．97万亿元D．106.39万亿元(1)C(2)B[(1)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg (1＋x)＝lg 2，所以lg (1＋x)＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.故选C.(2)由题意可知，2020年我国国内年生产总值约为：82.7×(1＋6.5%)3≈99.9(万亿元).故选B.](1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．1.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)8 [设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%(1－13)n ≤0.1%，即(23)n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]2．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？[解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3，∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x∈Z .∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ），－3x 2＋68x －115（6＜x ≤20，x ∈Z ）.(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3(x －343)2＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．。
幂函数单调递减
幂函数单调递减幂函数单调递减是数学中一种具有特殊性质的函数，它具有单调递减的性质，是很多应用中常用的一种函数。
首先，我们先来了解一下什么是幂函数。
幂函数又称指数函数，其定义为：在实数域上，存在实数a、b，若函数f（x）满足f （x）=axb（a>0，b>0）的关系式，则称f（x）为幂函数。
在函数f （x）中，参数a、b决定了函数的特征，其中a是指系数，b是指指数，也就是说，函数的初等变换，即项系数的变换，其他形式是不变的。
根据幂函数的定义，我们可以推看出幂函数的极限，即当x趋于正无穷大时，幂函数的值趋于0。
这也意味着，在f（x）=axb 时，当x变大，则值趋近于0。
这就是说，幂函数具有单调递减的特点。
为了更详细的论述，接下来我们将详细的阐述幂函数的单调递减性质。
首先，我们来考虑一下幂函数的导数。
幂函数的导数可以表示为f（x）= axb-1，其中a、b为幂函数的参数，而b-1称为斜率。
从导数的表达式中可以看出，当x变大时，斜率b-1会减小，也就是说，导数的值会随着x的增大而减小。
根据单调性定义：若当x变化时，函数f（x）的变化方向始终保持一致，说明f（x）是单调递减的。
从前面我们看出，当x变大，函数的导数的值会减小，也就是说，当x变大时，函数的变化方向始终向下变化，根据单调性定义，说明函数f（x）是单调递减的。
此外，幂函数的单调递减性质还体现在当x趋于无穷大时，函数的值等于0。
即任何时候，当x的增大的时候，函数的值都会趋于0，也就是说，函数的变化总是向下变化，说明函数具有单调递减的特性。
以上就是幂函数单调递减性质的全部内容。
幂函数单调递减是数学中一种具有特殊性质的函数，它具有单调递减的性质，是很多应用中常用的一种函数。
它可以帮助我们分析特定问题，可以用来分析特殊情况，以便给出最佳的解决方案。
负一次幂函数和幂函数的性质和图像
负一次幂函数和幂函数的性质和图像数学中有一类特殊的函数，它们具有很多有趣的性质和图像。
这类函数被称为幂函数。
其中，幂函数中的一种最特殊的形式就是负一次幂函数。
在本文中，我们将讨论负一次幂函数和幂函数的性质和图像，并为读者介绍有关这些函数的一些有趣事实。
1、负一次幂函数负一次幂函数是指在其定义域内，以x为底的指数函数的指数为-1。
负一次幂函数通常写作f(x)=x^(-1)，也可以写成f(x)=1/x。
需要注意的是，这个函数的定义域不包括x=0，因为在这个点上它是无限大的。
在计算负一次幂函数的图像时，可以先取几组特殊的x值。
当x取正数时，f(x)的值趋近于0；当x取负数时，f(x)的值趋近于负无穷。
这样，我们可以画出函数的大致图像，即从上方的正半轴趋近于0，从下方的负半轴趋近于负无穷，而在x=0处没有定义。
2、幂函数幂函数是指以x为底数的正整数次幂为自变量的函数。
幂函数通常写成f(x)=x^n的形式，其中n为自然数。
因为n的取值范围很大，因此幂函数的形态和性质也千差万别。
在本文中，我们将围绕n的不同取值来探讨幂函数的性质。
当n=1时，f(x)=x。
这就是一次函数，函数图像是一条直线，斜率为1。
当n>1时，f(x)=x^n。
这种情况下，函数图像在x>0的部分是递增的，而在x<0的部分是递减的。
函数的导数为f'(x)=nx^(n-1)，在x=0处导数为0，因此这里可能存在极值。
特别地，当n为偶数时，函数图像在全部定义域内为非负值。
当n为奇数时，函数图像在全定义域内都为正负交错。
当n=0时，f(x)=1。
这是常函数，函数图像为一条水平直线，恒等于1。
当n<0时，f(x)=x^n是一个分式函数。
此时，函数的定义域是全实数集。
当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于0；当x趋近于负无穷时，f(x)趋近于无穷。
当n为负偶数时，函数在正半轴上递减，在负半轴上递增。
当n为负奇数时，函数在全定义域上都是正负交错的。
幂级数求和及其应用
幂级数求和及其应用摘要本文在学习了幂级数及幂级数求和的基本性质基础上，对幂级数的求和问题引进了8种方法，对幂级数的应用问题主要介绍了在数学和物理上的8个应用。
本文先从幂级数求和的两种最基本和最简单的方法入手，在这两种方法的基础上紧接着引进基本初等函数等方法，实现由简单到复杂，由具体到抽象，由一般到特殊的过度，进而运用高等数学的其他知识和通过查阅大量资料，简单的介绍了构造函数方程的三种方法，最后重点介绍了幂级数在数学和物理上的8个实际应用，即数学上的4个应用和物理学上的四个应用。
关键词：幂级数；和函数；收敛区间Several Methods about the Sum of Power SeriesAbstract.This paper study the power series and the power series summation, the basic properties of the foundation, on the power series and introduced the summation of 8 method, the power series of the application of mainly introduced in mathematical and physical eight applications. This paper first from the power series summation of two of the most basic and the simplest method of the two methods in based on the introduction of basic elementary function then and other methods, the realization from simple to complex, from the concrete to the abstract, from common to special excessive, and then use the higher mathematics knowledge and the other by consulting a large number of material, simple introduces structural function equation of the three methods, finally introduced the power series in mathematics and physics of the eight practical application, namely mathematical four application and physics on the four applications.key words：power series; And functions; Convergence interval目录摘要 (I)Abstract (II)前言 (2)1.幂级数求和的方法 (2)1.1逐项微分法 (2)1.2逐项积分法 (4)1.3拆项组合法 (5)1.4部分和极限法 (6)1.5 基本初等函数法 (7)1.6代数方程法【8】 (8)1.7微分方程法【9】 (9)1.8逐级递推法 (10)2.幂级数的应用 (12)2.1幂级数在数学上的应用 (12)2.2幂级数在物理学中的应用 (14)结束语 (16)参考文献 (17)前言幂级数及其求和是数学分析中最重要的内容之一，在高等数学中也有着广泛的应用，而幂级数的收敛及其求和也是高等数学中的难点之一，因此对幂级数的收敛及其求和的研究不仅有着重要的理论意义，还有着重大的实践意义，无论是在高等数学中还是在科学计算中，不管是在经济管理还是在实际生活中都有着广泛的应用. 本文讨论幂级数的结构为1n n n a x ∞=∑，通过举具体例子，引进了幂级数求和的8种方法，最后主要介绍了幂级数在数学和物理学中的应用，包括4个数学上的应用和4个物理学上的应用。
幂函数与指数函数的区别
幂函数与指数函数的差异1.指数函数：自变量x在指数的地点上，y=a^x（a>0，a不等于1）性质比较单一，当a>1时，函数是递加函数，且y>0;当0<a<1时，函数是递减函数，且y>0.2.幂函数：自变量x在底数的地点上，y=x^a（a不等于1）.a不等于1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不相同的。
高中数学里面，主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。
此中当a=2时，函数是过原点的二次函数。
其余a值的图像可自己经过描点法画下并认识下基本图像的走向即可。
3.y=8^(-0.7)是一个详细数值，其实不是函数，假如要和指数函数或许幂函数联系起来也是能够的。
第一你能够将其当作：指数函数y=8^x（a=8），当x=-0.7时，y的值；或许将其当作：幂函数y=x^(-0.7)（a=-0.7），当x=8时，y的值。
幂函数的性质：依据图象,幂函数性质概括以下：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1,1）；（2）当a>0时，幂函数的图象经过原点，并且在区间[0,+ ∞)上是增函数．特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸；当0<a<1时，幂函数的图象上凸；（3）当a<0时，幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右侧趋势原点时，图象在y轴右方无穷地迫近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在轴x上方无穷地迫近轴x正半轴。
指出：此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别重申，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x 轴的两条射线，但点（0，1）要除外。
思虑议论：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪一种重要性质？（2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪一种重要性质？讲评：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。
3.3幂函数 教案
第三章函数的概念与性质3．3 幂函数[目标] 1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．[重点] 幂函数的定义、图象和性质． [难点] 利用幂函数的性质解决有关问题．知识点一幂函数的概念[填一填]一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．[答一答]1．下列函数：①y ＝2x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝(x ＋1)3是幂函数吗？提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数．知识点二幂函数的图象[填一填]五种常见幂函数的图象幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝的图象如下图．[答一答]2．幂函数y ＝x α的图象在第一象限内有何特征？提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y ＝x 2.(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y ＝.(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如1y x -=. 3．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？提示：当x >0时，y ＝x α>0，不可能出现y <0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．知识点三幂函数的性质[填一填]五类幂函数的性质[答一答]4．对于幂函数y ＝x α(α是常数，x 是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？ 提示：α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数； α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数．类型一幂函数的概念[例1] 下列函数：①y ＝x 3；②y ＝x 2＋2x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x .其中幂函数的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ②为二次函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.幂函数解析式的结构特征：(1)解析式是单项式；(2)幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.[变式训练1] (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( C )A.12 B ．1 C.32D ．2(2)已知函数y ＝(m 2＋2m －2)x m ＋2＋2n －3是幂函数，则m ＝－3或1，n ＝－3或1.解析：(1)由幂函数定义知k ＝1，把⎝⎛⎭⎫12，22代入y ＝x α得α＝12，∴k ＋α＝32.选C.(2)因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x m ＋2＋2n －3是幂函数，由幂函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得m ＝－3或1，n ＝32.类型二幂函数的图象[例2] 下图是幂函数y ＝x m 、y ＝x n 与y ＝x－1在第一象限内的图象，则(B )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1[解析] 由y ＝x m 的图象是横卧抛物线形，知0<m <1；由y ＝x n 的图象是双曲线，知n <0.作直线x ＝x 0(0<x 0<1)，与y ＝x n 、y ＝x －1的图象分别交于点A 、B ，由“点低指数大”知n <－1.故选B.在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．[变式训练2]幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的区域对应的序号有(D)A．④⑦B．④⑧C．③⑧D．①⑤解析：∵x－x＝x(x－1)，当0<x<1时，x－x<0，即x<x<1，∴幂函数12y x=的图象经过区域①；当x>1时，x－x>0，即x>x>1，∴幂函数12y x=的图象经过区域⑤.类型三幂函数的性质应用[例3]比较下列各组中三个数的大小．[分析]本题考查幂函数．比较幂值大小的方法分类比较对象方法指数相同，底数不同 1x α与2x α利用幂函数y x α=的单调性底数相同，指数不同 1x a 与2xa 利用不等式性质底数、指数都不同1x a 与2x b 寻找“中间量”2x a 或1x b 或1或0等[变式训练3] 比较下列各组中两个值的大小：1.下列所给出的函数中，是幂函数的是( B ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝x －3 C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－12.如果幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f ⎝⎛⎭⎫116的值为( D ) A.12 B ．2 C ．1D ．4解析：设f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，∴12＝4α，解得α＝－12.∴f (x )＝＝4.3.函数13y x =的图象是( B )解析：∵函数13y x =是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A ，D.当x >1,0<α<1时，y ＝x α在直线y ＝x 下方，排除C ，选B.4.幂函数1y x -=在[－4，－2]上的最小值为__－12__..解析：∵1y x -=在(－∞，0)上单调递减，∴1y x -=在[－4，－2]上递减，∴1y x -=在[－4，－2]上的最小值是－12.5．比较下列各题中两个幂的值的大小：——本课须掌握的三大问题1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．2.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．幂函数课时作业(15分钟30分)1.下列结论正确的是( )A.幂函数图象一定过原点B.当α<0时，幂函数y=xα是减函数C.当α>1时，幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数【解析】选D.函数y=x-1的图象不过原点，故A不正确；y=x-1在(-∞，0)及(0，+∞)上是减函数，故B不正确；函数y=x2在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，故C不正确.2.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点(12,√2)，则k+α等于 ( )A.12B.1 C.32D.2【解析】选A.因为幂函数f(x)=kxα(k∈R，α∈R)的图象过点(12,√2)，所以k=1，f(12)=(12)α=√2，即α=-12，所以k+α=12.3.在下列四个图形中，y=x-12的图象大致是( )【解析】选D.函数y=x-12的定义域为(0，+∞)，是减函数. 4.幂函数的图象过点(3，√3)，则它的单调递增区间是( )A.[-1，+∞)B.[0，+∞)C.(-∞，+∞)D.(-∞，0)【解析】选B.设幂函数为f(x)=xα，因为幂函数的图象过点(3，√3)，，所以f(x)=x12，所以幂函数的单调所以f(3)=3α=√3=312，解得α=12递增区间为[0，+∞).5.(2020·北京高一检测)如果幂函数f(x)=x a的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内( )A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值【解析】选C.因为幂函数f(x)=x a的图象经过点(2，4)，所以f(2)=2a=4，解得a=2，所以f(x)=x2，所以f(x)在定义域先递减再递增，有最小值.【补偿训练】已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是_______.【解析】因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y=xα在(0，+∞)上为减函数，故α<0.答案：(-∞，0)6.已知幂函数f(x)=x-m2-2m+3(-2<m<2，m∈Z)满足：①在区间(0，+∞)上单调递增；②对任意的x∈R，都有f(-x)-f(x)=0.求幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0,4]时，f(x)的值域.【解析】因为函数在(0,+∞)上单调递增，所以-m2-2m+3>0，解得：-3<m<1.因为-2<m<2，m∈Z，所以m=-1或m=0.又因为f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，所以-m2-2m+3为偶数.当m=-1时，-m2-2m+3=4满足题意，当m=0时，-m2-2m+3=3不满足题意，所以f(x)=x4，所以f(x)在[0,4]上递增，所以f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(4)=256，所以值域是[0,256].(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.(2020·琼海高一检测)若函数f(x)=(m2-6m+9)x m2-3m+1是幂函数且为奇函数，则m的值为 ( )A.2B.3C.4D.2或4【解析】选D.因为函数f(x)=(m2-6m+9)x m2-3m+1为幂函数，所以m2-6m+9=1，所以m=2或m=4，当m=4时，f(x)=x5是奇函数，满足题意，当m=2时，f(x)=x-1是奇函数，满足题意；所以m=2或4.2.下列命题中，不正确的是( )A.幂函数y=x-1是奇函数B.幂函数y=x2是偶函数C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数D.y=x 12既不是奇函数，又不是偶函数【解析】选C.因为x-1=1x ，1-x=-1x，所以A正确；(-x)2=x2，所以B正确；-x=x不恒成立，所以C不正确；y=x12定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D正确.3.给出幂函数：①f(x)=x；②f(x)=x2；③f(x)=x3；④f(x)=√x；⑤f(x)=1x.其中满足条件f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2(x1>x2>0)的函数的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解题指南】解决该题的关键是正确理解f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2(x1>x2>0)的含义.【解析】选A.①函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2；②函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2；③在第一象限，函数f(x)=x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2；④函数f(x)=√x的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2；⑤在第一象限，函数f(x)=1x的图象是一条凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2.故仅有函数f(x)=√x满足当x1>x2>0时，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下列函数中，其定义域和值域相同的函数是( )A.y=x 13 B.y=x-12 C.y=x53 D.y=x23【解析】选A、B、C.A中y=x13=√x3，定义域、值域都为R；B中y=x-12=√x 定义域与值域都为(0，+∞)；C中y=x53的定义域、值域也为R；D中y=x 23=√x23定义域为R，而值域为[0，+∞).三、填空题(每小题5分，共10分)5.已知函数f(x)=(m2-m-1)x m2-2m-2是幂函数，且在(0，+∞)上单调递减，则实数m=_______.【解析】在幂函数f(x)=(m2-m-1)x m2-2m-2中，令m2-m-1=1，得m2-m-2=0，解得m=2或m=-1；当m=2时，m2-2m-2=-2，函数f(x)=x-2，在(0，+∞)上单调递减，满足题意；当m=-1时，m2-2m-2=1，函数f(x)=x，在(0，+∞)上单调递增，不满足题意；所以实数m=2.答案：26.已知幂函数f(x)=x -m 2-2m+3(m ∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则f(2)的值为_______.【解析】因为幂函数f(x)=x -m 2-2m+3(m ∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则指数是偶数且大于0，因为-m 2-2m+3=-(m+1)2+4≤4， 因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m 非整数，所以m=-1，即f(x)=x 4.所以f(2)=24=16.答案：16四、解答题7.(10分)已知幂函数f(x)=x (m 2+m )-1(m ∈N *)经过点(2，√2)，试确定m 的值，并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f(x)经过点(2，√2)，所以√2=2(m 2+m )-1，即212=2(m 2+m )-1.所以m 2+m=2.解得m=1或m=-2.又因为m ∈N *，所以m=1.所以f(x)=x 12，则函数的定义域为[0，+∞)，并且在定义域上为增函数.由f(2-a)>f(a-1)，得{2-a ≥0,a -1≥0,2-a >a -1,解得1≤a<32. 所以a 的取值范围为[1,32).。
高二必修一数学知识点幂函数的定义域和值域
高二必修一数学知识点幂函数的定义域和值域高中最重要的阶段，大家必定要掌握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了高二必修一数学知识点，希望对大家有帮助。
幂函数定义域当 a 为不一样的数值时，幂函数的定义域的不一样状况以下：1.假如 a 为负数，则 x 必定不可以为 0，可是这时函数的定义域还一定依据 q 的奇偶性来确立，即假如同时 q 为偶数，则 x不可以小于 0，这时函数的定义域为大于0 的全部实数 ;2.假如同时 q 为奇数，则函数的定义域为不等于0 的全部实数。
当 x 为不一样的数值时，幂函数的值域的不一样状况以下：1.在 x 大于 0 时，函数的值域老是大于0 的实数。
2.在 x 小于 0 时，则只有同时 a 为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有 a 为正数， 0 才进入函数的值域。
因为 x 大于 0 是对 a 的随意取值都存心义的，所以下边给出幂函数在第一象限的各自状况。
要练说，得练听。
听是说的前提，听得正确，才有条件正确模拟，才能不停地掌握高一级水平的语言。
我在教课中，注意听闻联合，训练少儿听的能力，讲堂上，我特别重视教师的语言，我对少儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富裕吸引力，这样能惹起少儿的注意。
当我发现有的少儿不专心听他人讲话时，就随时夸奖那些静听的少儿，或是让他重复他人说过的内容，抓住教育机遇，要求他们专心听，专心记。
平常我还经过各样兴趣活动，培育少儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事叙述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出想法，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样少儿学得生动开朗，轻松快乐，既训练了听的能力，加强了记忆，又发展了思想，为说打下了基础。
幂函数值域当 a 为不一样的数值时，幂函数的定义域的不一样状况以下：如果 a 为随意实数，则函数的定义域为大于 0 的全部实数 ;假如a 为负数，则 x 必定不可以为 0，可是这时函数的定义域还一定根[ 据 q 的奇偶性来确立，即假如同时 q 为偶数，则 x 不可以小于0，这时函数的定义域为大于 0 的全部实数 ;假如同时 q 为奇数，则函数的定义域为不等于0 的全部实数。
高考数学复习幂函数定义与性质知识点讲解
高考数学复习幂函数定义与性质知识点讲解依据同学们的需求，查词典数学网编写老师整理了幂函数定义与性质知识点解说，欢迎大家关注!掌握幂函数的内部规律及实质是学好幂函数的重点所在，下面是中华考试网为大家整理的幂函数公式大全，希望对广大朋友有所帮助。
定义：形如 y=x^a(a 为常数 )的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：当 a 为不一样的数值时，幂函数的定义域的不一样状况以下：如果 a 为随意实数，则函数的定义域为大于0 的全部实数 ;假如a 为负数，则 x 一定不可以为 0，可是这时函数的定义域还一定根[ 据 q 的奇偶性来确立，即假如同时 q 为偶数，则 x 不可以小于0，这时函数的定义域为大于 0 的全部实数 ;假如同时 q 为奇数，则函数的定义域为不等于0 的全部实数。
当x 为不一样的数值时，幂函数的值域的不一样状况以下：在x 大于 0 时，函数的值域老是大于0 的实数。
在x 小于 0 时，则只有同时q 为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有 a 为正数， 0才进入函数的值域性质：关于 a 的取值为非零有理数，有必需分红几种状况来议论各自的特征：第一我们知道假如 a=p/q，q 和 p 都是整数，则 x^(p/q)=q 次根号(x 的 p 次方 )，假如 q 是奇数，函数的定义域是 R，假如q 是偶数，函数的定义域是[0 ， +)。
当指数 n 是负整数时，设 a=-k ，则 x=1/(x^k) ，明显 x0，函数的定义域是 (-， 0)(0，+).所以能够看到x 所遇到的限制根源于两点，一是有可能作为分母而不可以是0，一是有可能在偶数次的根号下而不可以为负数，那么我们就能够知道：清除了为 0 与负数两种可能，即关于x0，则 a 能够是随意实数;单靠“死”记还不可以 ,还得“活”用 ,临时称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来 ,摒弃那些谎话套话空话 ,写出自己的真情实感 ,篇幅可长可短 ,并要求运用累积的成语、名言警语等 ,按期检查评论 ,选择优异篇目在班里朗诵或展出。
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学科教师辅导讲义教学主任签字：学员编号： 年 级：高一 课时数：2课时 学员姓名： 张浩翔 辅导科目：数学 学科教师： 授课日期及时段 2017年2月11日教学目标 1、使学生理解和掌握幂函数的定义和性质以及函数的零点。
2、会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题。
重点难点会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题一、幂函数的定义一般地，函数y ＝x α叫做幂函数．其中x 是自变量，α是常数．[化解疑难] 1．幂函数的特征(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)x α前的系数为1，且只有一项． 2．指数函数与幂函数的辨析指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的底数a 为常数，指数为自变量；幂函数y ＝x α(α∈R )以幂的底为自变量，指数α为常数.：在同一坐标系中，试作出幂函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1的图象．[化解疑难]常见幂函数的图象与性质解析式y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝1xy ＝x 12图象定义域 R R R {x |x ≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y |y ≠0} [0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数 奇函数奇函数 非奇非偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减在[0，＋∞)上单调递增定点(1,1)[化解疑难]幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．[例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝⎛⎭⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知幂函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．(1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.[答案] B(2)[解] ∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，(x ≠0)或y ＝x 0(x ≠0)． [类题通法]判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．[活学活用]函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． 解：根据幂函数的定义得m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3.已知α取－2，－12，12，2[例2] (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．－1<n <0<m <1 B ．n <－1,0<m <1 C ．－1<n <0，m >1 D ．n <－1，m >1[解析] (1)令x ＝2，则22>212>2－12>2－2，故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为2，12，－12，－2.故选B.(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.[答案] (1)B (2)B [类题通法]解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．[活学活用]已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 由幂函数的图象特征知，c <0，a >0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a >b .综上所述，可知c <b <a . [例3] 比较下列各组数中两个数的大小． (1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫2334与⎝⎛⎭⎫3423.[解] (1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵函数y 1＝⎝⎛⎭⎫23x 为R 上的减函数，又34>23， ∴⎝⎛⎭⎫2323>⎝⎛⎭⎫2334.又∵函数y 2＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2323，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2334. [类题通法]比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数； (2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．9.用幂函数的单调性解题时易忽视单调区间的讨论[典例] 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则满足(a ＋1)－m3<(3函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0.那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[化解疑难]对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y ＝1x.(2)当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )<0.则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(3)当函数y ＝f (x )的图象在[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )<0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．[例1] (1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4； (3)f (x )＝2x －3；(4)f (x )＝1－log 3x .[解] (1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x 的零点是x ＝－3.(2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根， 所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点． (3)令2x －3＝0，解得x ＝log 23. 所以函数f (x )＝2x －3的零点是x ＝log 23. (4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3， 所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是x ＝3. [类题通法]函数零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[活学活用]判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－x 2－4x －4； (2)f (x )＝(x －1)(x 2－4x ＋3)x －3；(3)f (x )＝4x ＋5； (4)f (x )＝log 3(x ＋1)．[例2] (1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6m－4－6－6－4n6不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间是( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)函数f (x )＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C ．(8,9)D ．(9,10) [解析] (1)利用f (a )f (b )<0，则f (x )＝0在(a ，b )内有根来判定．∵f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，∴在(2,4)内必有根．故选A.(2)∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32<0，f (7)＝lg 7－97<0，f (8)＝lg 8－98<0，f (9)＝lg 9－1<0，f (10)＝lg 10－910>0，∴f (9)·f (10)<0.∴f (x )＝lg x －9x 的零点的大致区间为(9,10)．[答案] (1)A (2)D [类题通法]确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．[例3] (1)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)判断函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．(1)在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2.。