【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册：课时作业8.5.3+第1课时 平面与平面平行的判定
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件4：8.6.3 平面与平面垂直(二)
【规律方法】
(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种
关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：
判定定理
判定定理
线线垂直 线面垂直定义 线面垂直 性质定理 面面垂直
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，
解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合
(1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 为 BC 边的中点，则能否在棱上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD？并证明你的结论．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，如图．
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB⊂平面 PGB，∴AD⊥PB.
(2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明如下： 在△PBC 中，FE∥PB，在菱形 ABCD 中，GB∥DE. 又 FE⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E， PB⊂平面 PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B， ∴平面 DEF∥平面 PGB. 由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
答案 (1)C (2)5
【题型探究】
题型一 面面垂直性质的应用 例 1 如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，四边形 ABCD 是∠DAB＝60°且边长为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平 面垂直于底面 ABCD.
(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB.
2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.1第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征课件新人教A版必修第二册
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟 棱锥、棱台结构特征问题的判断方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征
的某些说法不正确.
(2)直接法
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形, 两个互相平行的面,即
此面即为底面
为上、下底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
探究一
探究二
素养形成
答案:③
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟 关于棱柱的辨析 (1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析. ①两个面互相平行;②其余各面是四边形;③相邻两个四边形的公 共边互相平行. (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除. 特别提醒:求解与棱柱相关的问题时,首先看是否有两个平行的面 作为底面,再看是否满足其他特征.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
方法点睛(1)绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体 的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解 题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出 来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图. (2)由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是 由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平 面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个平面展 开图.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
几何体的平面展开图 典例(1)请画出如图所示的正方体的平面展开图;
(2)如图是两个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体?
探究一
探究二
素养形成
2021_2022学年新教材高中数学第8章立体几何初步章末综合提升课件新人教A版必修第二册 (1)
∴MD⊥平面ABB1A1，而AB1⊂平面ABB1A1，即MD⊥AB1．又 MD∩A1B＝D，MD⊂平面A1MB，A1B⊂平面A1MB，
∴AB1⊥平面A1MB．
[跟进训练] 3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝ A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于 点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE．
图1
图2
(2)(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利 用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何 体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为 所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g．
值Vmax＝13S△ABC×6＝31×9 3×6＝18 3．
(2)如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以
B1D1＝C1D1＝2．分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，
H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝ 22＋12＝
5 ，D1M⊥B1C1，且D1M＝ 3 ．由题意知G，H分别是
GH
的长为
1 4
×2π× 2＝ 22π．]
[跟进训练] 2．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表 面积为________．
4πRr [法一：如图，作DE⊥BC于点E．设球的 半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r， DC＝R＋r．由勾股定理得4r12＝(R＋r)2－(R－r)2，解 得r1＝ Rr，故球的表面积为S球＝4πr21＝4πRr．
(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：8.5.2 直线与平面平行 Word版含答案
8．5.2 直线与平面平行问题导学预习教材P 135－P 138的内容，思考以下问题： 1．直线与平面平行的判定定理是什么？2．直线与平面平行的性质定理是什么？1．直线与平面平行的判定定理用该定理判断直线a 和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a 在平面α外，即a ⊄α. (2)直线b 在平面α内，即b ⊂α. (3)两直线a ，b 平行，即a ∥b .2．直线与平面平行的性质定理(1)线面平行的性质定理成立的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a⊂β.以上三个条件缺一不可．(2)定理的作用：①线面平行⇒线线平行；②画一条直线与已知直线平行．(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．()(2)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.()(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．()(4)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.()(5)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b答案：D如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能解析：选B.因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．答案：l⊄α直线与平面平行的判定如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.【证明】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.又AB═∥A1B1═∥D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④成比例线段法．[提醒] 线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”． (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．1．如图，下列正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则不能得出AB ∥平面MNP 的是( )解析：选C.在题图A ，B 中，易知AB ∥A 1B 1∥MN ，MN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ，所以AB ∥平面MNP ；在图D 中，易知AB ∥PN ，PN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ，所以AB ∥平面MNP .2．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE .证明：如图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQ BD . 因为EA ＝BD ，AP ＝DQ ， 所以EP ＝BQ .又因为AB ＝CD ，所以PM ═∥QN ， 所以四边形PMNQ 是平行四边形， 所以PQ ∥MN .又因为PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，所以PQ∥平面CBE.线面平行性质定理的应用如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【证明】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以AP∥OM.又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM.因为平面P AHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面P AHG，所以AP∥GH.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且P A＝3.F在棱P A上，且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．解：过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面P AC＝FO，CG⊂平面P AC，所以FO∥CG.又O为AC的中点，所以F为AG的中点，所以FG＝GP＝1，即G是PF的中点，又EG∥FD，所以E为PD的中点，所以PE∶ED＝1∶1.1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交解析：选D.若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.2．给出下列命题：①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．3．三棱台ABC-A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．不确定解析：选B.在三棱台ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.[A基础达标]1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C.选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B 与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m 与平面α平行，故选项C符合题意．2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能解析：选B.因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.3．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b()A．相交B．平行C．异面D．共面或异面解析：选B.因为直线a∥α，a∥β，所以在平面α，β中分别有一直线平行于a，不妨设为m，n，所以a∥m，a∥n，所以m∥n.又α，β相交，m在平面α内，n在平面β内，所以m∥β，所以m∥b，所以a∥b.4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是()A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC解析：选D.由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.5．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点解析：选A.因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.6．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分別是对角线A1D、B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF 平行的平面有________________．解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ， 所以F 为A 1C 1的中点， 在△A 1C 1D 中，EF 为中位线， 所以EF ∥C 1D ，又EF ⊄平面C 1CDD 1， C 1D ⊂平面C 1CDD 1，所以EF ∥平面C 1CDD 1. 同理，EF ∥平面A 1B 1BA .故与EF 平行的平面有平面C 1CDD 1和平面A 1B 1BA . 答案：平面C 1CDD 1和平面A 1B 1BA7．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ，所以F 为DC 的中点， 所以EF ＝12AC ＝ 2.答案： 28.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ，又E 为AD 的中点，AB ＝2， 所以EF ＝12AC ＝12×22＋22＝ 2.答案： 29．如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，E 为PC 的中点，PF ＝2FD ，求证：BE ∥平面AFC .证明：如图，连接BD ，交AC 于点O ，取PF 的中点G ，连接EG ，ED ，ED 交CF 于点M ，连接MO .在△PCF 中，E ，G 分别为PC ，PF 的中点， 则EG ∥FC .在△EDG 中，MF ∥EG ，且F 为DG 的中点，则M 为ED 的中点． 在△BED 中，O ，M 分别为BD ，ED 的中点， 则BE ∥MO .又MO ⊂平面AFC ，BE ⊄平面AFC ，所以BE ∥平面AFC . 10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，求证：EF ∥平面BDD 1B 1.解：如图，取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB . 因为OF ═∥12B 1C 1，BE ═∥12B 1C 1， 所以OF ═∥BE ，所以四边形OFEB 是平行四边形，所以EF ∥BO . 因为EF ⊄平面BDD 1B 1，BO ⊂平面BDD 1B 1， 所以EF ∥平面BDD 1B 1.[B 能力提升]11．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，EH ∥FG ，则EH 与BD 的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定解析：选A.因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.12．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于a的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，一定不在α内C．只有一条，一定在α内D．有无数条，一定在α内解析：选C.若这样的直线不只一条，由基本事实4知，这些直线互相平行，这与这些直线都过点P矛盾，因此只有一条．又由直线与平面平行的性质定理知，这条直线一定在α内．13.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD 中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．14.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.证明：因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°，由于AB＝2EF，因此BC ＝2FG .如图，连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ， 因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥F A .又F A ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM ∥平面ABFE .[C 拓展探究]15．如图，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 1为A 1C 1上的点．当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?解：如图，取D1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1. 连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，所以OD 1∥BC 1.又因为OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1.所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.。
2021年新教材高中数学第八章8.5.3第1课时平面与平面平行的判定学案新人教A版必修第二册11
8.5.3 平面与平面平行第1课时平面与平面平行的判定[目标] 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性.2.能利用判定定理解决有关面面平行问题．[重点] 平面与平面平行的判定定理的理解及应用．[难点] 定理应用条件中“相交”的理解．要点整合夯基础知识点平面与平面平行的判定定理[填一填][答一答]1．如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定平行．如果不是两条相交直线，即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，也不能判定这两个平面平行，这是因为在两个相交平面的一个平面内，可以画出无数条直线与交线平行，显然这无数条直线都与另一个平面平行，但这两个平面不平行．2．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？提示：不一定平行，这无数条直线可能相互平行，此时两个平面也可能相交．3．三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面的位置关系是什么？提示：平行.典例讲练破题型类型一面面平行判定定理的理解[例1]在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是()A．AD1∥平面EFGHB．BD1∥GHC．BD∥EFD．平面EFGH∥平面A1BCD1[解析]在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，在A中，AD1与BC1平行，而BC1与平面EFGH相交，故AD1不平行于平面EFGH，故A错误；在B中，BD1∩CD1＝D1，CD1∥GH，故BD1不可能平行于GH，故B错误；在C中，BD∩A1B＝B，A1B∥EF，故BD与EF不可能平行，故C错误．在D中，EF∥A1B，FG∥BC，A1B∩BC＝B，EF∩FG＝F，所以平面EFGH∥平面A1BCD1，故D正确．[答案] D解决此类问题的关键有两点：(1)借助常见几何体进行分析，使得抽象问题具体化.(2)把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面”.[变式训练1]下列命题中，错误的命题是(A)A．平行于同一直线的两个平面平行B．平行于同一平面的两个平面平行C．平行于同一平面的两直线关系不确定D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面解析：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥平面ADD1A1，BB1∥平面DCC1D1，而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1.类型二平面与平面平行的证明[例2]如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.[分析]要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可．[证明]如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.又D、E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB.则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D.又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB ＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线，找不到再引辅助线.[变式训练2]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.证明：(1)连接B1D1，如图．∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．(2)由题知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.如图，连接MF.∵M、F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.类型三线面平行、面面平行的综合应用[例3]已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，且PE ED＝21，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．[分析]解答本题应抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F 的位置．[解]存在．证明：如图所示，连接BD、AC交于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G，∴平面BGF∥平面AEC.又∵BF⊂平面BGF，∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．又∵PE ED＝21，∴G是PE中点．而GF∥CE，∴F为PC中点．综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.,(2)解决此类问题时，可应用平面中直线平行的判定自行构造一个与目标平面平行的平面，再根据性质判断目标点的位置.[变式训练3]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB.∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)如图，连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.课堂达标练经典1．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，下列结论正确的是(D)A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′解析： 长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，上底面ABCD 与下底面A ′B ′C ′D ′平行，故选D.2．设直线l ，m 和平面α，β，下列条件能使α∥β的有( D ) ①l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥β；②l ⊂α，m ⊂β且l ∥m ； ③l ∥α，m ∥β且l ∥m .A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 解析：①②③都不正确．3．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，BC ，A 1D 1的中点，则下列结论正确的是( C )A ．MN ∥APB ．MN ∥BD 1C ．MN ∥平面BB 1D 1D D ．MN ∥平面BDP解析：由题意，取B 1C 1的中点E ，连接EM ，NE ，B 1D 1，BD ，如图．M ，N ，P 分别是C 1D 1，BC ，A 1D 1的中点， 所以BB 1∥NE ，B 1D 1∥EM ， EM ∩NE ＝E ，BB 1∩B 1D 1＝B 1， 所以平面EMN ∥平面BB 1D 1D ， 那么MN ∥平面BB 1D 1D .4．a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题． ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α，其中正确的命题是①④.(填序号)解析：①是平行公理，正确；②中a ，b 还可能异面或相交；③中α，β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a ⊂α；⑥也是忽略了a ⊂α的情形．5.如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，点M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2)求S △MNG S △ACD .解：(1)证明：如图，连接BM ，BN ，BG 并延长分别交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H 三点，∵M ，N ，G 分别是△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， ∴BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2， 连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，又MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD . (2)由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ，∴△MNG ∽△DCA ， ∴S △MNGS △ACD ＝(NGAC )2＝(13)2＝19.——本课须掌握的两大问题1．证明面面平行的方法：①利用定义：两个平面没有公共点；②判定定理：归纳为线面平行⇒面面平行；③利用平行平面的传递性；④推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．2．要证明面面平行需证明线面平行，要证明线面平行需证明线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．在判断相关命题时要把握好定理的条件，可结合常见几何模型，比如长方体(正方体)等帮助理解．学科素养培优精品微课堂平行中的探究性问题开讲啦 (1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．解答此类问题，先观察与尝试给出条件再给出证明．(2)探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么．解答此类问题，常从条件出发，探索出要求的结论是什么．对于探索的结论是否存在问题，求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论．[典例] 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由．[解] 如图，设N 是棱C 1C 上的一点，且C 1N ＝14C 1C ，则平面EMN 为符合要求的平面．证明如下：设H 为棱C 1C 的中点，连接B 1H ，D 1H . ∵C 1N ＝14C 1C ，∴C 1N ＝12C 1H .又E 为B 1C 1的中点，∴EN ∥B 1H . 又CF ∥B 1H ，∴EN ∥CF .又EN ⊄平面A 1FC ，CF ⊂平面A 1FC ， ∴EN ∥平面A 1FC .同理MN ∥D 1H ，D 1H ∥A 1F ，∴MN ∥A 1F ， ∴MN ∥平面A 1FC .又EN ∩MN ＝N ，∴平面EMN ∥平面A 1FC .晨鸟教育Earlybird [对应训练] 如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别为PC ，PD 的中点，在底面ABCD 内是否存在点Q ，使平面EFQ ∥平面P AB ？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．解：存在．如图，分别取AD ，BC 的中点G ，H ，连接FG ，HE ，GH .因为F ，G 分别为PD ，AD 的中点，所以FG ∥P A .因为FG ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ，所以FG ∥平面P AB .因为E ，F 分别为PC ，PD 的中点，所以EF ∥CD ，因为AB ∥CD ，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB .所以EF ∥平面P AB ，因为EF ∩FG ＝F ，所以平面EFG ∥平面P AB .又GH ∥CD ，所以GH ∥EF .所以平面EFG 即平面EFGH .所以平面EFGH ∥平面P AB .又点Q ∈平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ，所以点Q ∈GH .所以点Q 在底面ABCD 的中位线GH 上．。
新教材高中数学第八章立体几何初步8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课件新人教A版必修第二册
位置关系
直线 a 外
直线 a 与平
直线 a 与
面 α 相交
平面 α 平行
公共点
有且只有 _无__数___个__公共点 __一___个___公共点 _没__有___公共点
符号表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
■名师点拨 一般地，直线 a 在平面 α 内时，应把直线 a 画在表示平面 α 的平行 四边形内；直线 a 与平面 α 相交时，应画成直线 a 与平面 α 有且只 有一个公共点，被平面 α 遮住的部分画成虚线或不画；直线 a 与平 面 α 平行时，应画成直线 a 与表示平面 α 的平行四边形的一条边平 行，并画在表示平面α 的平行四边形外．
【解析】 经探究可知直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中，且 没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点 A1、B、B1 在平面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直线 B1C 异面．同理，直线 AB 与直线 B1C 异面．所以②④应该填“异面”； 直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以③应该填“相交”． 【答案】 ①平行 ②异面 ③相交 ④异面
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；
④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条
直线．
其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 因为直线 l 虽与平面 α 内无数条直线平行，但 l 有可 能在平面 α 内，所以 l 不一定平行于 α，所以①是假命题． 因为直线 a 在平面 α 外包括两种情况：a∥α 和 a 与 α 相交，所 以 a 和 α 不一定平行，所以②是假命题． 因为直线 a∥b，b⊂α，则只能说明 a 和 b 无公共点，但 a 可能 在平面 α 内，所以 a 不一定平行于 α，所以③是假命题． 因为 a∥b，b⊂α，所以 a⊂α 或 a∥α，所以 a 可以与平面 α 内 的无数条直线平行，所以④是真命题． 综上，真命题的个数为 1. 【答案】 A
【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册：8.6.3+第2课时 平面与平面垂直的性质
又∵E 是 PC 的中点，∴O 是 AC 的中点． 又∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO. 又∵AO＝OC，∴AB＝CD， 这与 CD＝2AB 矛盾，
∴假设不成立．故平面 EBD 不能垂直于平面 ABCD.
课堂达标练经典
1．设两个平面互相垂直，则 ( C ) A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面 B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上 C．一个平面内过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于 另一个平面 D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直 解析：由面面垂直的性质可知，选 C.
四边形 ABCD 是∠DAB＝60°的菱形，侧面 PAD 为正三角形，其 所在平面垂直于底面 ABCD.若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥ 平面 PAD.
[分析] 解答本题可先由面面垂直依据面面垂直的性质定 理得线面垂直．
[证明] 连接 BD， ∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD 是正三角形． ∵G 是 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴BG⊥平面 PAD.
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
要点整合夯基础
知识点 平面与平面垂直的性质定理
[填一填] 1．文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂 直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面 垂直．
2．符号语言：
α⊥β aα⊂∩αβ＝l⇒a⊥β a⊥l
3．图形语言：
解：平面 EBD 不能垂直于平面 ABCD.理由如下： 假设平面 EBD 垂直于平面 ABCD， 过 E 作 EO⊥BD 于 O，连接 AO、CO. ∵EO⊂平面 EBD，EO⊥BD，平面 EBD∩平面 ABCD＝BD， ∴EO⊥平面 ABCD. 又∵PA⊥平面 ABCD，∴EO∥PA. ∵A、O、C 是 PC 上三点 P、E、C 在平面 ABCD 上的投影， ∴P、E、C 三点的投影均在直线 AC 上， ∴A、O、C 三点共线．
【新教材】高中数学 新人教A版必修第二册 第八章 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
(3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系 ①从是否有公共点的角度来分： 没有有且公仅共有点一个__平异__公__行面__共点——相___交_
②从是否共面的角度来分： 在同一平面内__平相______行交 不同在任何一个平面内——异___面_
_α__∩_β__＝__l_
无__数__个__点___(共___线_ )
常考题型
一、两直线位置关系的判定
例 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是_______； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是_______； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是_______； ④直线AB与直线B1C的位置关系是_________.
A.l至少与l1，l2中的一条相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l与l1，l2都不相交 （2）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ D ）
A.异面或平行
B.异面或相交
C.异面
D.相交、平行或异面
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2.［2019·安徽蚌埠高一检测］空间中有三条线段AB，BC，CD，且 ∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（ D ） A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交
A.0
B.1
C.2
D.3
13
【解析】如图，借助长方体模型来判断说法是否正确， 说法①不正确，相交时也符合；说法②不正确，图中， A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；说法③不 正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB 与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；说 法④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与 平面α内所有直线都没有公共点.
2021年新教材高中数学必修第二册：8.6.2 直线与平面垂直(第1课时)直线与平面垂直的判定
2021年新教材高中数学必修第二册：8.6.2 直线与平面垂直第1课时 直线与平面垂直的判定本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习直线与平面垂直的判定定理及其应用。
线面垂直是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直关系转化的关键。
同时，它又是学习直线和平面所成的角、平面与平面的距离等后续知识的基础。
因此，这部分内容在教材中起着承上启下的作用。
本节课的学习，可以培养学生提出猜想、验证猜想、作出数学发现的意识，增强“平面化”和“降维”的转化思想，以及发展空间想象能力。
课程目标学科素养证明．1.教学重点：直线与平面垂直的定义，用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明；2.教学难点：直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．多媒体三、达标检测1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直【答案】A【解析】若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是() A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定【答案】A【解析】因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120°【答案】A【解析】∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°. 故选A.4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.[证明]如图，连接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.四、小结让学多观察直线与平面垂直的实例，更好的理解直线与平面的定义，证明直线与平面垂直，应强调关键是在平面内找两条相交直线与该直线垂直。
2022版新教材数学必修第二册人教A版练习课件-8.3.1-棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
6．已知正三棱锥 S-ABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上， 另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为 15 cm，底面边长为 12 cm，内接 正三棱柱的侧面积为 120 cm2. (1)求正三棱柱的高． (2)求棱柱上底面截得的棱锥与原棱锥侧面积之比．
【解析】(1)如图，设正三棱柱高为 h，底面边长为 x，
＝13
3 ×4
×3＝
3 4
.
【加固训练】 把一个棱长为 a 的正方体，切成 27 个全等的小正方体则所有小正方体的表面积为 ________． 【解析】原正方体的棱长为 a，切成的 27 个小正方体的棱长为13 a，每个小正方体的 表面积 S1＝91 a2×6＝23 a2，所以 27 个小正方体的表面积是23 a2×27＝18a2. 答案：18a2
则有 AC1＝ 42＋22 ＝2 5 ，即当经过侧面 ADD1A1 和底面 A1B1C1D1 时的最短距离 是2 5 . 因为 3 2 <2 5 ，所以沿长方体表面从 A 到 C1 的最短距离是 3 2 ，C 正确，D 不 正确．
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 3．学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1 挖去四棱锥 O-EFGH 后所得几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F， G，H 分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
C．2 D．49
【解析】选 D.因为 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点， 所以棱柱 EFCB-E1F1C1B1 的体积 V＝S 梯形 EFCB×3＝43 S△ ABC×3＝94 S△ ABC. 设甲中水面的高度为 h，则 S△ ABC×h＝94 S△ ABC， 解得 h＝94 .
新教材高中数学第8章立体几何初步8.2立体图形的直观图课时作业25立体图形的直观图课件新人教A版必修第二册
6．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)， 底面边长为 3 cm，高为 5 cm，画出这个正六棱锥的直观图．
解 (1)先画出边长为 3 cm 的正六边形水平放置的直观图，如图①所示． (2)过正六边形的中心 O′建立 z′轴，画出正六棱锥的顶点 V′，如图② 所示． (3)连接 V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图 ③所示．
答案
2 2
答案
解析 点 B′到 x′轴的距离等于点 A′到 x′轴的距离 d，而 O′A′＝
12OA＝1，∠C′O′A′＝45°(或
135°)，所以
d＝
22O′A′＝
2 2.
解析
8．等腰梯形 ABCD 中，上底 CD＝1，腰 AD＝CB＝ 2，下底 AB＝3， 以下底所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面 积为________．
答案
解析
2．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是 ()
A．内心的平行投影还是内心 B．重心的平行投影还是重心 C．垂心的平行投影还是垂心 D．外心的平行投影还是外心 答案 B 解析 三角形的重心是三条中线的交点，三角形平行投影后各边的中点 位置不会变，故其中线的交点，即重心仍是三角形的重心．
(2)已知一个四边形的直观图是一个底角为 45°，腰和上底均为 2的等腰 梯形，求原四边形的面积．
解 (1)如图，四边形 ABCD 为等腰梯形，其中 AD＝DC＝ 2，∠DAB＝ 45°，过 D 作 DH⊥AB，交 AB 于 H 点，则 DH＝AH＝1，∴AB＝ 2＋2，建 立如图所示的直角坐标系及对应的坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°， 画出其直观图梯形 A′B′C′D′，
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件3：7.1.1 数系的扩充和复数的概念
复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的 a 与 b 分别叫做
复数 z 的 实部与虚部
知识点三
复数的分类
对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当 b＝0 时，它是实数； 当且仅当 a＝b＝0 时，它是实数 0；当且仅当 b≠0 时，叫
做虚数；当 a＝0 且 b≠0 时，叫做纯虚数．
复数相等．( √ )
2．做一做 (1)若 a＋bi＝0，则实数 a＝________，实数 b＝________. (2)(1＋ 3)i 的实部与虚部分别是________． (3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则 a＝________. 答案 (1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1
可以通过下图表示：
实数b＝0， (1)复数 a＋bi(a，b∈R)虚数b≠0纯非虚纯数虚数a＝a0≠，0.
(2)集合表示
知识点四 复数相等的充要条件 在复数集 C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数 a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 规定：a＋bi 与 c＋di 相等当且仅当 a＝c 且 b＝d .
题型二 复数的分类 例 2 当实数 m 为何值时，复数 z＝m2＋mm－6＋(m2－2m)i 为： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ [解] (1)当mm2≠－02，m＝0， 即 m＝2 时，复数 z 是实数． (2)当 m2－2m≠0，即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数． (3)当m2＋mm－6＝0， 即 m＝－3 时，复数 z 是纯虚数．
【规律方法】 数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的 比较，某数的平方是非负数等．但 i 与实数的运算及运算律仍成立．
【跟踪训练 1】