13.无理数的概念及判别
北师大版初中数学八年级上册第二章《2.1认识无理数》 教案
北师大版数学八年级上册《认识无理数（2）》教案一、学生起点分析学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力.二、教学任务分析《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节，第一课时让学生感受数的发展，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时，内容是建立无理数的基本概念，借助计算器，感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义.为此，本节课的教学目标是: 1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.三、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置.第一环节：新课引入内容:想一想：1. 有理数是如何分类的？整数（如1-，0，2，3，…) 有理数 分数(如31，52-，119，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”. 第二个环节：活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.边长a 面积s 1<a <21<s<4 1.4<a <1.5[来源:学+科+1.96<s<2.25 1.41<a <1.42 1.9881<s<2.0164 1.414<a <1.415 1.999396<s<2.002225 1.4142<a <1.41431.99996164<s<2.00024449归纳总结:a 是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值.目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a =1.41421356…，b =2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础. 2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？ 探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).[来源:学.科.网Z.X.X.K]目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念. 第三个环节：知识分类整理内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力. 第四个环节：知识运用与巩固内容：认识一个数是无理数还是有理数.有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数整数分数例1填空: 0.351， 4.96••-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3π，1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ） (3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ）例3以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A ）面积为25的正方形； (B ） 面积为254的正方形； (C ） 面积为8的正方形； (D ） 面积为1.44的正方形. [来源:Z 。
无理数课件
区别
定义不同
有理数是可以表示为两个整数之 比的数，而无理数则无法表示为
有限小数或无限循环小数。
性质不同
有理数具有封闭性，即任何两个 有理数的四则运算结果仍为有理 数；而无理数则不具有封闭性， 例如√2与-√2相加结果仍是无理
数。
表示方式不同
有理数可以通过有限小数或无限 循环小数表示，而无理数则只能
在几何学中，圆的周长与其直径的比 值是$pi$，这是一个无理数。这意味 着我们无法用两个整数的比来表示圆 的周长与其直径的关系。
02
无理数的性质
无理数的加法性质
总结词
无理数的加法性质是指两个无理数相加，其结果仍是无理数。
详细描述
无理数的加法性质是基于实数的完备性定理，即任意两个无理数相加，其结果 仍是无理数，不会化简为有理数。例如，$sqrt{2} + sqrt{3}$ 仍是无理数。
通过无限不循环小数表示。
联系
01
02
03
实数包含关系
有理数和无理数共同构成 了实数的集合，即实数包 括有理数和无理数。
运算结果
在四则运算中，有理数和 无理数的运算结果可能是 有理数也可能是无理数， 取决于具体的运算过程。
数学应用
在几何学、三角学等领域 ，有理数和无理数都发挥 着重要的作用，共同构成 了数学的基础。
详细描述
无理数的加法运算与有理数的加法运算类似，需要将无理数表示为相同的分数形式或小数形式，然后 进行加法运算。例如，计算$sqrt{2} + sqrt{3}$时，可以将$sqrt{2}$表示为分数或小数，然后与 $sqrt{3}$相加。
无理数的乘法运算
总结词
无理数的乘法运算需要遵循实数的乘法 法则，包括正数乘正数、负数乘负数等 。
《认识无理数》课件
无理数的特征
无理数的小数部分是无限不循环的， 无法精确表示。
无理数是实数的一种，具有实数的所 有性质和运算规则。
无理数与有理数的区别
有理数是可以表示为 两个整数之比的数， 包括整数、分数和十 进制小数。
有理数和无理数在实 数域中是互斥的，即 它们不能相互转化。
无理数则无法表示为 分数形式，其小数部 分无限不循环。
古希腊数学家阿基米德首次使用圆内接多边形的方法近似计 算出圆周率的值。
根号2的发现
根号2是一个无限不循环小数，表示2的平方根。
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中首次证明了根号2的存在性，并对其进 行了近似计算。
03 无理数的应用
在几何学中的应用
勾股定理
无理数在几何学中最为著名的应 用是勾股定理，它说明了直角三 角形的两条直角边的平方和等于 斜边的平方，其中斜边长度是一
无理数在未来的发展前景
01
推动数学与其他学科的进一步融合
随着科学技术的不断发展，无理数将在更多领域发挥重要作用，推动数
学与其他学科的进一步融合。
02
深化实数理论的研究
随着数学的发展，实数理论的研究将不断深入，无理数作为实数理论的
基础之一，其研究也将得到进一步深化。
03
促进数学教育的发展
无理数是数学教育中的重要内容之一，随着教育的不断改革和完善，无
02 无理数的产生
无法精确表示的数
无法用分数精确表示的数
例如，0.333...虽然可以无限接近于1/3，但无法精确等于1/3。
无法用有限小数或循环小数精确表示的数
例如，0.1010010001...是一个无限不循环小数，无法用有限小数或循环小数来 表示。
圆周率π的发现
无理数
摘要在实数系中，无理数和有理数相比较，无理数更为抽象，但它在实数系中是不可缺少的，占着重要的枢纽地位。
同时，它也是数系扩充的重要组成部分，即有理数系扩充到实数系。
对于无理数证明的研究，一方面，极大地促进了数学演绎推理的发展；另一方面，也体现了数学研究的严谨性。
因此，在研究无理数时，对于一些常见无理数的证明是非常重要的。
文章首先归纳了方根型无理数的证明方法，然后利用幂级数展开式和定积分的知识论证了一些特殊类型的无理数，最后，验证了 ，e的超越性，并借助Lindemann-Weierstrass定理证明在一定条件下的代数数的三角函数值与反三角函数值的无理性。
关键词：无理数，有理数，超越数ABSTRACTIn the real number system, irrational number is more abstract than rational number, but irrational number are indispensable and occupies an important key position in the real number system. Meanwhile, they are an important part when the rational number system is expanded to the real number system. The study of the proof of irrational number greatly promotes the development of mathematical rational deductive inference. At the same time, it also shows the rigorousness of mathematics. Therefore, the proofs of some common irrational numbers are extremely important. Firstly, the article generalizes the methods to prove irrational numbers with root type. Secondly, it uses the knowledge of power series expansion and definite integral to prove some irrational numbers with special types. Finally, the article demonstrates the transcendence of and e. Moreover, it uses Lindemann-Weierstrass theorem to prove the irrationality of trigonometric function value and anti-trigonometric function value under certain conditions.Key Words:irrational number, rational number, transcendental number目录摘要 (I)ABSTRACT ............................................ I I 一引言 . (1)二有理数与无理数的定义和性质 (1)2.1有理数与无理数的定义 (1)2.2相关性质 (1)三无理数的判定方法 (3)3.1 方根型无理数的证明 (3)3.2 幂级数证明方法 (9)3.3 利用定积分证明 (12)3.4 超越数证明法 ............................................................... 错误！未定义书签。
什么是无理数及其定义是什么
什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。
无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。
他以几何方法证明无法用整数及分数表示。
而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。
但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。
有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。
如22/7等。
实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。
有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。
除了无限不循环小数以外的数统称有理数。
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。
2、无理数不能写成两整数之比。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。
无理数的性质及运算规律
无理数的性质及运算规律一、无理数的定义1.无理数是不能表示为两个整数比例的实数，即无限不循环小数。
2.无理数不能精确地表示为分数形式，其小数部分既不会终止也不会无限重复。
二、无理数的性质1.transcendental number：无法表示为任何一种函数的根，如π和e。
2.不可数性：无理数集合中的元素无法与自然数一一对应，即无法数清无理数的个数。
3.均匀分布性：无理数在小数点后的每一位出现的概率是相等的。
4.无法表示为有限或无限循环小数：与有理数相区别的根本特征。
三、无理数的运算规律1.加减法：无理数加减无理数仍为无理数。
示例：√2−√2=02.乘除法：无理数乘以无理数仍为无理数。
示例：√2×√2=23.乘方：一个无理数的平方仍为无理数。
示例：(√2)2=24.无理数与有理数的运算：结果为无理数或是有理数，取决于运算方式。
示例：√2+1（无理数与有理数和为无理数）5.根号的性质：只有非负实数的平方根才是无理数。
示例：√(−2)没有实数解四、无理数在日常生活中的应用1.测量与工程：角度、几何尺寸的精确度等。
2.物理科学：自然界的许多现象与数学常数相关，如π在圆的周长与直径的比值中。
3.计算机科学：算法中的随机数生成、加密等领域。
五、无理数的估算与近似1.逼近法：使用有理数逼近无理数的值，如用分数近似π。
2.近似值：在需要的精度范围内，对无理数进行近似取值。
示例：π≈3.14六、无理数在数学中的地位1.实数体系：无理数与有理数共同构成实数集，是数学分析、微积分等高级数学分支的基础。
2.数论：无理数在数论中有着广泛的应用，如素数的分布等。
3.几何学：无理数在几何形状的计算和理论分析中不可或缺。
总结：无理数是实数的重要组成部分，其独特的性质和运算规律在数学、科学及日常生活中具有广泛的应用。
习题及方法：1.习题：判断以下哪个数是无理数？方法：无理数是不能表示为两个整数比例的实数，即无限不循环小数。
认识无理数ppt课件
新课引入
小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程 师的爸爸给小红出了一道数学题：一个边长为6cm的正方形 木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下 的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是 多少厘米呢？见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？
探究学习
核心知识点一 无理数的认识 讨论一：a，b是否存在，它们是有理数吗？
(3)借助计算器进行探索，过程整理如下，你的结果呢?
边长a 1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415 1.4142<a<1.4143
面积s 1<s<4 1.96<s<2.25 1.9881<s<2.0164 1.999396<s<2.002225 1.99996164<s<2.00024449
解：(1)在整数10和11之间 (2)x精确到十分位时，x在10.2与10.3之间，x精确到百分位时，x 在10.29与10.30之间
9．如图，在3×3的方格网(每个小方格的边长均为1) 中有一阴影正方形， (1)阴影正方形的面积是多少？ (2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？
解：(1)S阴影正方形＝3×3－12 ×1×2×4＝5 (2)介于2和3之间
随堂练习
1．下列各数中，是有理数的是( B ) A．面积为3的正方形的边长 B．体积为8的正方体的棱长 C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长 D．长为3，宽为2的长方形的对角线长
2．下列各数：π，0，0.23·，22，0.303 003 000 3…(每个 3 后增加 1 个 0)
湘教版解读-第二课时无理数及用计算器求近似值
第一章 实数1．1 平方根第二课时 无理数的概念及用计算器求近似值一．预习题纲（1）学习目标展示1．理解无理数的概念及能正确识别无理数2．会用计算器求平方根和算术平方根（2）预习思考1．无理数与有理数从形式上看有什么区别？2．若一个正方形的面积为12，那么它的边长的取值范围在哪两个整数之间？二．经典例题例1．在下列数2，13.0 ，3π，71，3.6024×103，9，1.212242……（相邻两个1之间逐次增加1个2）中，无理数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】无理数有两个特征：（1）．是无限小数（2）．是不循环的．判断一个数是不是无理数，应抓住无理数这两个特征去判断．【简解】选C【规律总结】无理数有以下几种形式：（1）开方开不尽的数，如2，39等；（2）含有π的数，如2π，-3π等；（3）有特殊特征或一定规律的无限不循环小数，如0。
1212212221……等三．易错例题例2．下列说法：（1）有限小数和无限循环小数都是有理数；（2）分数是有理数；（3）无限小数是无理数；（4）5π是分数，其中正确的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【错解】：选D【错因分析】主要对（3）和（4）判断错误，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两种；5π看似分数，实质上是无理数 【正解】选B【点拨】含有π的数是无理数，无理数不能表示成分数形式一．课前预习1．计算0.01=2．面积为4cm 2的正方形的边长是 ，面积为9cm 2的正方形的边长是3．计算器上的开机键是 ，关机键是二．当堂训练知识点一：无理数的识别1．（2009肇庆）实数-2，0。
3，17，2，π-中，无理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．(2009义乌)在实数0，1，2，0.1235中，无理数的个数为（ ）**个 B.1个 C.2个 D.3个3．（2008宜昌）从实数－2，－31，0，π，4中，挑选出的两个数都是 无理数的为（ ） A ． －31，0 B ．π，4 C ． －2，4 D.－2，π 4．（2009江西）写出一个大于1且小于4的无理数 ．知识点二：利用计算器求值5．（2008盐城）用计算器求2008的算术平方根时，下列四个键中，必须按的键是（ ）A ．B ．C ．D ．6．用计算器求10的近似值的按键顺序正确的是（ ）A ．10＝ B ．ON 10 ＝ C ．ON 10 ＝ D ．2ndf 10＝ 7．对于5678的值，下列关系式何者正确（ ）A ． 55<5678<60B ．65<5678<70C ．75<5678<80D ．85<5678<908．用计算器求下列各式的值（1）．7056 （2）．10（结果用四舍五入法取到小数点后三位）课时测评：（40分钟，满分100分）一．选择题 （每小题5分，共25分）1．下列说法：（1）带根号的数都是无理数；（2）不带根号的数都是有理数；（3）无理数一定是无限循环小数；（4）无限小数不一定是无理数，其中正确的有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．42．（2009湖南邵阳）3最接近的整数是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．53．（2009茂名）下列四个数中，其中最小的数是（ ）A ．0B ．-4C ．π-D ．24．用计算器估计20的算术平方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间5．计算器上依次按下键1 4 4 = ，显示的结果为（ ）A ．12B ．±12C ．-12D ．以上均错二．填空题（每小题5分，共25分）6．（2009福州）请写出一个比5小的整数 .7．在23-，4π，3，2．333……，2．9845731……，251-，0．4，3．14，51-，25，│16—1│中，有 个整数； 个无理数； 个有理数8．用计算器求：±2304=9．某厂内有一变电站，为了安全，现在想用铁丝网将它围起来，围成一个面积为48平方米的正方形场地，请你计算一下需要买 米长的铁丝网（保留小数点后两位）10．11的整数部分是 ，小数部分是三．解答题（本题共3个小题，满分50分）11．（本题16分）（1）小明想剪一块面积为25cm 2的正方形纸板，你能帮他求出正方形的边长吗？（2）若小明想将两块边长都是6cm 的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图1所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，请你估计这个边长的值在哪两个整数之间？12．（本题16分）如图2，将一块面积为30m 2的正方形铁皮的四个角各截去一个面积为2 m 2的小正方形，剩下的部分刚好围成一个无盖的正方体运输箱，用计算器求运输箱底面的边长（结果精确到0。
基础--数的分类及相关概念
9.（2分） 的平方根是±3
．
10.（2分）已知 +|a+b+1|=0，则ab=1
．
11.（2018•四川凉州•1分）已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是．
12.（2018·广东·1分）计算：|﹣2|﹣20180+（ ）﹣1
13.（2018•年四川内江•2分）计算： ﹣|﹣ |+（﹣2 ）2﹣（π﹣3.14）0×（ ）﹣2．
A．6个B．5个C．4个D．3个
考点七：估算无理数的大小
【例11】估计 的值在（ ）之间．
A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．4与5之间
考点九：实数的混合运算。
【例12】计算：20130+( )-1-2°-| -2|=
1
【例13】计算： ．
【例14】我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
学习评价：
老师：学生完成情况：一般（）好（）较好（）
完成不好的原因：
教师签字并对本次学案完成情况的评价：
(2)(－3)2的相反数是()
A．6 B．－6 C．9 D．－9
(3)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|＋ ＝__________.
4．求值： =-2
．
5.如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）
7.4的平方根是()
A．2 B．±2
C．16 D．±16
无理数的概念及分类
无理数是指不能表示为两个整数的比例（即分数）的实数。
与有理数相对，无理数无法准确表示为一个有限小数或循环小数。
无理数可以进一步分为以下两类：
1.代数无理数：代数无理数是指满足某个代数方程的无理数。
例如，开平方根时所得到的
无理数（如√2、√3等）就属于代数无理数。
这些无理数是方程x^2 - a = 0 的根，其中a 是一个整数而不是完全平方数。
2.超越无理数：超越无理数是指不能满足任何代数方程的无理数。
换句话说，它们不是任
何多项式的根。
例如，π（圆周率）和e（自然对数的底数）都被认为是超越无理数。
需要注意的是，无理数是实数的一个子集，而实数包括有理数和无理数。
无理数的存在打破了古希腊人提出的所有数字都可以用有理数表达的观念。
无理数在数学中具有重要的地位，它们广泛应用于各个领域，如几何、物理学和计算机科学等。
北京中考数学考点梳理
北京中考数学考点梳理一、数与式一)有理数1、有理数的分类法则是把有理数按一定的标准分成三类：按定义、性质分成整数和分数；按符号分成正数、负数和零；按绝对值大小分成正有理数和负有理数．2、有理数的运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先算括号里面的．3、有理数的运算律包括加法运算律和乘法运算律．二)实数1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．2、算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．3、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．4、无理数的概念是由无限不循环小数引出的．初中阶段只研究实数，所以初中阶段学的无理数都是无限不循环小数．5、实数的运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先算括号里面的．6、实数的运算律包括加法运算律和乘法运算律．三)代数式1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式．2、代数式的求值要先化简，即化简为最简代数式．化简的方法根据已知条件来确定．二、方程(组)与不等式(组)一)方程(组)1、一元一次方程的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a0)．只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．2、解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1.中考语文考点梳理中考语文考点众多，涵盖了语文知识、文学常识、文化素养、语言表达等多个方面。
本文将重点对中考语文的一些重要考点进行梳理，帮助考生更好地备考中考语文。
一、基础知识基础知识是中考语文的重要组成部分，包括字音、字形、词语辨析、成语辨析、修辞手法、文学常识等。
考生需要熟练掌握这些基础知识，以便在考试中准确理解和运用。
二、阅读理解阅读理解是中考语文的必考题型，主要考查考生对文本的理解能力和分析能力。
无理数判定方法
无理数判定方法
无理数的判定方法如下：
1. 定义法：根据无理数的三种形式进行判断。
例如，无法开方开得尽方的数是无理数，无限不循环小数是无理数。
2. 特殊值法：选取适当的特殊值进行检验，如对于平方根类无理数，可取其算术平方根或0进行检验。
3. 性质法：根据无理数的性质进行判断，例如，无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数。
无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数。
无理数加（减）有理数一定是无理数。
无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数。
4. 运算判别法：通过实数的运算性质来判断，如利用有理数的运算性质，反证无理数的存在。
5. 放缩法：通过放缩法判断一个数是否为无理数。
例如，对于形如√n的开
方类无理数，可通过放缩其范围来判定。
6. 代数法：通过代数法来判断一个数是否为无理数。
例如，对于形如
√n+√m的复杂形式，可通过代数变形来判定。
7. 反证法：通过反证法来判断一个数是否为无理数。
例如，假设一个数为有理数，然后利用有理数的性质进行推导，得出矛盾，从而证明原假设不成立，该数为无理数。
以上方法仅供参考，具体应用时需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。
同时需要注意，判定一个数是否为无理数需要严格按照定义和性质进行判断，不能随意臆断。
判断无理数的三个方法
判断无理数的三个方法无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数，它们在数轴上没有固定的位置，也无法用分数或小数表示。
在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数，下面我将介绍三种判断无理数的方法。
首先，我们可以使用平方根判定法。
对于一个正实数x，如果它的平方根不是整数，那么它就是一个无理数。
例如，根号2是一个无理数，因为它的平方根不是整数，而根号4是一个有理数，因为它的平方根是2，是一个整数。
这种方法可以简单快速地判断一个数是否为无理数，但并不适用于所有情况。
其次，我们可以使用小数判定法。
将一个数表示为小数形式，如果它是一个无限不循环小数，那么它就是一个无理数。
例如，π就是一个无理数，因为它的小数形式是一个无限不循环小数。
这种方法适用于大多数情况，但是对于一些特殊的无理数可能并不适用。
最后，我们可以使用反证法。
假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值，然后推导出一个矛盾的结论，那么这个数就是一个无理数。
例如，假设根号2是一个有理数，即可以表示为a/b，其中a和b都是整数且互质，那么我们可以得出2 = a^2 / b^2，即2b^2 = a^2。
这样一来，我们就得到了一个矛盾的结论，因为2b^2是偶数，而a^2是奇数，这与数学定理相矛盾，所以根号2是一个无理数。
这种方法是一种较为严谨的证明方法，但相对来说也更为复杂。
综上所述，判断无理数的三种方法分别是平方根判定法、小数判定法和反证法。
不同的方法适用于不同的情况，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来判断一个数是否为无理数。
希望本文对您有所帮助。
《认识无理数(2)》优教教案
第二章实数1. 认识无理数（2）一、学情与教材分析1.学情分析学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力.2.教材分析《认识无理数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节，第一课时让学生感受数的发展，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时，内容是建立无理数的基本概念，借助计算器，感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义.二、教学目标1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4．充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.三、教学重难点教学重点：①无理数概念的探索过程. ②用计算器进行无理数的估算. ③了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.教学难点：①无理数概念的建立及估算.②用所学定义正确判断所给数的属性.四、教法建议合作探究法五、教学设计（一）课前设计1.预习任务1）量一量：面积为2平方分米的正方形的边长应该为多少呢（精确到小数百分位，单位：分米）2）你能估计千分位的大概数值么尝试请借助计算器探索.2.预习自测一、选择题1. 在﹣3，，π，中，无理数是（）A．﹣3 B． C．π D．答案：C解析：﹣3，，为有理数，π为无理数．故选C．点拨：根据无理数的三种形式求解．2. 下列分数中不能化成有限小数的分数是（）A．1 B． C． D．答案：D解析：1=，=，=，==…，故选D．点拨：分别计算各分数，发现==…，是无限循环不数．二、填空题3. 请写出一个无理数________．答案：（任意一个无理数即可）解析：是无理数．点拨：根据无理数定义，随便找出一个无理数即可．（二）课堂设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究发现；第三环节：知识运用；第四环节：随堂检测；第五环节：课堂小结．第一环节：情境引入问题情景：同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢本节课我们就来揭示它的真面目.第二环节：探究发现活动1：大家判断以下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系说说你的理由.（因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.）大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢（因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.）很好. a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢如=，=，=，=，=，而a2=2，故a应比大且比小，可以写成＜a＜，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字. 请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.（学生）我的探索过程如下.边长a 面积S1＜a＜2 1＜S＜4＜a＜＜S＜＜a＜＜S＜＜a＜＜S＜还可以继续下去吗（学生）可以.请大家继续探索，并判断a是有限小数吗（学生）a=1.…，还可以再继续进行,且a是一个无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5请大家分组合作后回答. (约4分钟) （学生）b=…，还可以再继续进行,b也是一个无限不循环小数.活动2：请大家把下列各数表示成小数：3,4582 ,,, 594511,并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数. 大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.（学生）3=，40.85=，50.59=，80.1745=，20.1811=（学生）3，45是有限小数，582,,94511是无限循环小数.上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像上面研究过的a2=2,b2=5中的a，b是无限不循环小数.无限不循环小数叫无理数(irrational number).除上面的a，b外，圆周率π=3.…也是一个无限不循环小数，…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.第三环节：知识运用例题：下列各数中，哪些是有理数哪些是无理数，43-，0.57，…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).练习1.下列各数中，哪些是有理数哪些是无理数，3.7，π-，17-，18.2. ①判断题(1)有理数与无理数的差都是有理数.(2)无限小数都是无理数.(3)无理数都是无限小数.(4)两个无理数的和不一定是无理数.②下列各数中，哪些是有理数哪些是无理数，23-，4.96，，－…，…(由相继的正整数组成).第四环节：随堂检测一、选择题1. 实数﹣2，，，，﹣π中，无理数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个D．4个答案：B解析：因为﹣2是整数，是有限小数，所以﹣2、都是有理数；因为，是循环小数，所以是有理数；因为，π=3.…，…，3.…都是无限不循环小数，所以，﹣π都是无理数；所以无理数的个数是2个：，﹣π．故选B．点拨：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可．2. 在实数：，，…，，4.，，中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：C解析：=4，=2，无理数有：…，，，共3个．故选C．点拨：根据无理数的三种形式，找出无理数的个数．二、填空题3. 从实数﹣、、0、π、﹣1中挑出一个无理数，可以是________．答案：﹣或π解析：﹣、、0、π、﹣1中挑﹣、π，故答案为﹣或π．点拨：无理数是无限不循环小数，可得答案．4. 下列数中：①﹣|﹣3|，②﹣，③﹣，④，⑤，⑥，⑦0，⑧﹣，⑨…（每两个2之间依次多一个0）（请填序号）无理数是___________，整数是___________．负分数是___________．答案：③④⑨，①⑥⑦，②⑧．解析：根据无理数的定义可知：无理数是③④⑨；根据有理数的分类可知：整数是①⑥⑦，负分数是②⑧．点拨：无理数就是无限不循环小数．整数应包括正整数、0、负整数．分数包括正负数、负分数．由此即可判定求解．第五环节：课堂小结教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获师生共同畅谈收获.师生相互交流总结：1.用计算器进行无理数的估算.2.无理数的定义.3.判断一个数是无理数或有理数.布置作业：1.课本习题 T1，22.设面积为5π的圆的半径为a.(1)a是有理数吗说说你的理由.(2)估计a的值(精确到十分位，并利用计算器验证你的估计).(3)如果精确到百分位呢解：∵πa2=5π∴a2=5(1)a不是有理数，因为a既不是整数，也不是分数，而是无限不循环小数.(2)估计a≈.(3)a≈.分层作业基础型一、选择题1. 下列实数中，无理数是（）A．2 B．﹣2 C． D．答案：D解析：由有理数的定义可知：2，﹣2，均为有理数；是无理数．故选D．点拨：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．2. 在，，，，，…，0，中，无理数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个答案：C解析：，|﹣2|是无限不循环小数，故选C．点拨：根据无理数是无限不循环小数，可得无理数的个数．二、填空题3. 写出一个小于0的无理数________．答案：﹣π（答案不唯一）解析：答案不唯一，符合小于0且是无理数即可；如﹣π，﹣，﹣等．点拨：由于无理数就是无限不循环小数，所以根据题意和无理数的定义可得答案，答案不唯一．4. 在“﹣3，，2π，”中无理数有________个．答案：1解析：无理数有2π，只有1个．点拨：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．三、解答题5. 在：，，0，，﹣，﹣，…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中，整数集合{ …}，分数集合{ …}，无理数集合{ …}．答案：见解析解析：整数集合{0，﹣}；分数集合{，}；无理数集合{，﹣，…}．点拨：根据无理数、整数、分数的定义即可作答．能力型一、填空题1. 若无理数a满足：﹣4＜a＜﹣1，请写出两个你熟悉的无理数：________．答案：﹣，﹣π（答案不唯一）解析：无理数有：﹣，﹣π，答案不唯一．点拨：无理数就是无限不循环小数，依据定义即可作出解答．2. 在，﹣，，，，，，，5π，0，，…中，属于无理数的个数是________个．答案：5解析：在，﹣，，，，，，，5π，0，，…中，﹣，，5π，，…是无理数，共有5个．点拨：根据无理数的定义以及无理数的常见形式判断并选择即可求解．二、解答题3. 求整式7a3﹣3（2a3b﹣a2b﹣a3）与（3a2b﹣6a3b）+2（5a3﹣a）的差，并说明当a、b均为无理数时，结果是一个什么数答案：无理数解析：由题意，得7a3﹣3（2a3b﹣a2b﹣a3）﹣（3a2b﹣6a3b）﹣2（5a3﹣a）=3a2b﹣3a2b+2a=2a，a是无理数时，2a是无理数．点拨：根据整式的加减，可得答案．探究型一、解答题1. 阅读下列材料：设=…①，则10x=…②，则由②﹣①得：9x=3，即．所以=…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．=________，=________．答案：；解析：设=x=…①，则10x=…②则由②﹣①得：9x=7，即x=；根据已知条件=…=．可以得到=1+=1+=．故答案为：；．点拨：根据阅读材料，可以知道，可以设=x，根据10x=…，即可得到关于x的方程，求出x即可；根据=1+即可求解．2. 如图，是一个数值转换器，原理如图所示．（1）当输入的x值为16时，求输出的y值；（2）是否存在输入的x值后，始终输不出y值如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．（3）输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x=________．答案：见解析解析：（1）=4，=2，则y=；（2）x=0或1时．始终输不出y值；（3）答案不唯一．x=[（）2]2=25．点拨：（1）根据运算的定义即可直接求解；（2）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有0和1；（3）写出一个无理数，平方式有理数，然后两次平方即可．。
无理数概念
无理数的概念
---------------------------------------------------------------------- 在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
1、无理数的概念。
无理数是指突数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，常贝的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例p等等。
无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
2、有理数和无理数的区别。
(1)性质区别：
有理数是两个整数的比，总能写成整数、有限小数或无限循环小数;无理数不能写成两个整数之比，是无限不循环小数。
(2)结构区别：
有理数是整数和分数的统称;无理数是所有不是有理数的实数。
(3)范围区别：
有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法(除数不为零)4种运算均可进行;无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
初中数学 什么是一元二次方程的无理数解
初中数学什么是一元二次方程的无理数解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b 和c是已知的实数常数，且a ≠ 0。
无理数解是指方程的解为无理数，即不能表示为两个整数的比值的数。
要确定一元二次方程的无理数解，我们可以使用以下方法：1. 判别式法：-一元二次方程的判别式D可以表示为D = b² - 4ac。
-如果判别式D大于0，方程有两个不相等的实数根，无理数解也可能存在。
-如果判别式D小于0，方程没有实数根，也就没有无理数解。
-只有当判别式D大于等于0且不是完全平方数时，方程才有无理数解。
-例如，方程x² - 2x + 1 = 0，判别式D = (-2)² - 4(1)(1) = 0，0是完全平方数，所以方程没有无理数解。
-例如，方程x² - 5x + 6 = 0，判别式D = (-5)² - 4(1)(6) = 1，1不是完全平方数，所以方程有无理数解。
2. 求根公式法：-一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。
-如果方程的判别式D大于0且不是完全平方数，我们可以通过求根公式计算方程的解。
-如果方程的判别式D是完全平方数，那么方程的解为有理数，而不是无理数。
-只有当判别式D大于等于0且不是完全平方数时，方程才有无理数解。
-例如，方程x² - 7x + 10 = 0，判别式D = (-7)² - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9，9是完全平方数，所以方程没有无理数解。
-例如，方程x² - 2x - 3 = 0，判别式D = (-2)² - 4(1)(-3) = 16，16不是完全平方数，所以方程有无理数解。
需要注意的是，一元二次方程的解可能是实数也可能是复数。
当方程的解是实数时，我们可以进一步判断是否为无理数解。
无理数的由来
的由来”无理数“发现了一个惊(Hippasus)学派的弟子希勃索斯(Pythagoras)年，古希腊毕达哥拉斯500公元前(人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，则对角线的长不1若正方形边长是的哲理大相径庭。
这一发现)指有理数”(万物皆为数“这一不可公度性与毕氏学派)是一个有理数使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。
希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看孔隙“。
而这种”孔隙“待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的不可胜数“经后人证明简直多得” 。
于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的” 设想彻底地破灭了。
不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了2000以后公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。
不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直世纪意大利著名画家达15被认为是不可理喻的数。
世纪德国天文学17，”无理的数“芬奇称之为. 的数。
”不可名状“家开普勒称之为。
人们为了纪念希勃索斯这位”无理“然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是的由来．”无理数“这便是”——无理数“为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为对数简史”对数“对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创这种高级运算的呢？在数学史，Napier纳皮尔（——上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家1550-1617 年）男爵。
刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门”太阳中心说“在纳皮尔所处的年代，哥白尼的天“学科。
可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。