第五章定积分的几何应用

则整体量 Q
b
Q(x)dx.
a
微元法或微元分析法遵循如下三个步骤: 第一步:分割 把区间[ a , b ]分为n个小区间（区间 微元），f(x)为高，x为底的小矩形的面积f(x)dx=dA(面 积微元) .
第二步: 求和 面积A的近似值为 A f (x)dx
第三步: 求极限 得面积的精确值A=lim f (x)dx
(1, 1)
-1
O x x+dx 1 x
例2 计算 y2 2x y x 4 所围图形的面积
解 首先定出图形所在的范围
y2 2 x 解得交点为（2，-2）和（8，4） y x4
若取 x 为积分变量 在 [x,x+dx] 上取部分量
则对于 x 的不同值 局部量的位置不同 其 上、下曲边有多种情况运用上述公式计算 较为复杂
第六节 定积分的几何应用
引 从定积分的定义可知，定积分可以用于求解曲 边梯形的面积.那么定积分在几何上还有其它方面 的应用吗？定积分应用的一般方法和步骤是什么呢？
一、微元法
微元法也称微元分析法, 它是定积分应用的基础, 给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法. 定积分作为一种数学方法, 研究的是某些量的计算问 题. 记所研究的量为 Q , 量 Q 如果符合下列条件:
=
b
f (x)dx.
a
由上诉分析，我们抽象出在应用学科中广泛采用的
将所求量（总量），表示为定积分的方法——微元法。
Ⅰ。求微元
写出典型小区间 [x, x dx] [a,b] 上的局部量
U的近似值dU f (x)dx 这就是局部量的微元
Ⅱ。求积分
即把微元 dU 在区间 [ a , b ] 上
a2

(1 2cos cos2 )d
0

a2
23

2 sin

1 4
sin
2
0
3 a2. 2
通过以上几例可见在实际计算中应
充分利用所求量的对称性和等量关系来 简化计算。
三、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体, 这条直线叫做旋转轴. 由连续曲线 y = y ( x ) , 直线 x = a , x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体 的体积可用定积分计算.
c
x ( y)
例3
求椭圆
x2 a2

y2 b2
1 所围成区域的面积.
解 椭圆关于坐标轴对称, 见图, 所求面积为
它在第一象限部分面积的4倍, 因此
y
a
a
A 4 ydx 4
a2 x2 dx
0
0
b O x x + dx a x
4 b 1 a2 ab.
与它相对应的小曲边梯形的面积为面积微元 dA=f(x)dx
当 dx 很小时
dA 可用高为f (x) g(x)
底为 dx 的矩形面积
近似表示 即
dA [ f (x) g(x)]dx
b
故 A [ f (x) g(x)]dx
a
y f (x)
y g(x)
x x dx
a
b
例1 求由曲线 y = x 2 与 y = 2 – x 2 所围成的平面
图形的面积.
解
解方程组

y y

x 2
2,
x2
求得两抛物线的交点 ,
为( – 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , 故所求平面图形 ( 如图5 – 10 )
的面积为
1
A
1
(2
1

x2
y

x2 )dx

2

2x

2 3
x3

0

8. 3
y = 2 - x2
(-1, 1) y = x2
A 4A1

A 4 4 0
1 a2 cos2d
2 aLeabharlann .y x 2 a2 cos 2
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的
面积(a 0).
d
解 dA 1 a2(1 cos )2d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2d 20
特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化
上述问题的一般情况是
d
平面区域由 [c,d] 上连续的曲线y dy
x ( y), x ( y)
y
(( y) ( y))
及直线y = c ,y = d 所围成
c x (y)
d
则其面积为 A [ ( y) ( y)]dy
如下图
但若将这一面积看作是分布在区间 [ -2，4] 上 以 y 为变量计算将会简单
在[-2,4] 上任取一小区间 [ y, y dy]
其上相应的窄条左、右曲边分别为
x 1 y2, x y 4

2
A
4 ( y 4 1 y2 )dy 18
2
2
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体
“无限积累”起来 相当于把 f ( x)dx
作积分表达式 求它在 [ a , b ] 上的定积分
b
即 U f ( x)dx
a
这就是微元法
一、平面图形的面积
1 直角坐标系 作为一般情况讨论，设平面图形由 [ a , b ]
上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) ( f (x) g(x)) 及两条直线 x =a ,x =b 所围成 在 [a ,b ] 上任取典型小区间 [ x ,x+dx ]
(1) Q 是与一个变量 x 的变化区间[a, b]有关的量;
(2) Q 对于区间 [ a , b ] 具有可加性, 也就是说,
如果把区间 [ a , b ] 分成许多部分区间, 则 Q 相应地 分成许多部分量, 而 Q 等于所有部分量之和;
(3) Q = dQ ( x ) + o ( x ).
a4
2 极坐标系
某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的
若曲线由极坐标方程 r r( ),( ) 给出
极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形
而是由射线 与 及曲线r r( )
所围成的称为曲边扇形的区域
由于曲边扇形的面积分布 与有关 当d很小时 r( )的变化不大
A 可用半径为 r( ) 圆心角为 d
的圆扇形的面积来近似 故面积元素为
dA 1 r 2( )d
2
A 1 r 2( )d 2
d r r( )

d

例 5 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形
的面积.
解 由对称性知总面 积=4倍第一象限 部分面积