工力CAI41

解得：板刚刚触地时，人所走过的距离为：
a 2 2 hk - 1) x= ( L W
--（a）
此时，二弹簧的变形为：
A = W ( x - 1) 2k a
B =
W x ( + 1) 2k a
--（b）
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将x代入平衡方程，即可求得FA、FB。
结果讨论与分析一：
a 2 hk - 1) ---（a） x= ( L W
内力分布在截面上。向截面形心简化，内力 一般可表示为六个，由平衡方程确定。
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若外力在同一平面内，截面内 C 力只有三个分量，即: 轴力 FN 作用于截面法向。 M 剪力 FQ 作用于截面切向。 FN F Q C 弯矩 M 使物体发生弯曲。 若外力在轴线上,内力只有轴力。 FN 内力的符号规定 取截面左端研究，截面在研究对象右端，则规定：
第四章
变形体静力学基础
前一章，将物体视为刚体，讨论其平衡。 事实上，总有变形发生，还可能破坏。 本章讨论的研究对象是变形体。 属于固体力学的范畴。不再接受刚体假设。
4.1
变形固体的力学分析方法
以变形体为研究对象的固体力学研究基本方法, 包括下述三个方面的研究： 1) 力和平衡条件的研究。 2) 变形几何协调条件的研究。 研究主线 3) 力与变形之关系的研究。 1 先以一个例子说明方法。
无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同 的截面内力。因为，二部分上作用的内力互为作用 力与反作用力。适当的符号规定可保证其一致性。
注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前， 力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。 12
B
3) 小变形假设
D
C 相对于其原有尺寸而言，变形 D' 后尺寸改变的影响可以忽略不计。 在分析力的平衡时用原来的几何尺寸计算而不 引入大的误差。 基于此，固体力学研究的最基本问题是： 均匀连续介质、各向同性材料的小变形问题。
上述假设，建立了一个最简单的可变形固体的 理想化模型。 随着研究的深入，再逐步放松上述假设的限制。 如在后续课程中逐步讨论各向异性问题，大变形问 题，含缺陷或裂隙等不连续介质的问题等等。 9
FB
W
FN=0
(x>0)
--(3)
弹簧A、B的变形为 A=hA-h (受拉伸长) 及 B=h-hB (受压缩短)
--(4) --(5)
3) 力与变形间的物理关系： 对于弹簧，力与变形间的关系为： FA=kA --(6) 及 FB=kB --(7)
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x 综合考虑平衡条件、 hA hB 变形几何关系、物理关系 B A a a W F F FN=0 A B 后，得到七个方程，可求 出FA、FB、A、B、hA、hB、x 等全部未知量。
研究性思维：问题和结果的物理意义、几何意义、
正确性条件、各因素对结果的影响趋势等。
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研究变形体力学问题的主线是：
力的平衡 (已熟悉) Fy=0 MA(F)=0
x hA
A
hB a a
B
FA
FB
W
FN=0
Hale Waihona Puke 变形的几何协调(几何分析) 力与变形之关系
hB/hA=(L-a)/(L+a) A=hA-h; FA=kA ; B=h-hB FB=kB
结果讨论与分析二：
W x A = ( a - 1) 2k ---（b） W x B = ( + 1) 2k a
hA A
x
hB a a
B
FA
FB
W
FN=0
B>0。弹簧B变形与假设一致，受压。且x ，B。 x>a时，A>0，弹簧A变形如图，是伸长。 x<a时，A<0，弹簧A受压；FA指向与图中相反。 特例：x=a时，A=0，FA=0，人重由弹簧B承担。
内力 右截面正向 左截面正向 FN FQ M 微段变形（正）
受拉伸
顺时针错动
11 向上凹
2. 截面法
用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程 确定截面上内力的方法。 截面法求解内力的步骤为：
求约 束反 力 截取 研究 对象 受力图， 内力按正 向假设。 列平 衡方 程 求解内力， 负号表示与 假设反向
L
hA
A a
W
a x
B L
A
hB
B
FA
FB
W
FN=0
二个平衡方程，三个未知量：x、FA、FB，不可解。 需考虑变形。板可作刚体处理，只考虑弹簧的变形。 2
2) 变形几何协调条件： 刚性板保持为直板， 二弹簧变形后应满足的 几何条件是： hB/hA=(L-a)/(L+a)
x hA A
hB a a
B
FA
(物理关系)
研究重点是变形体的内力、变形及力与变形 之关系。 7
4.2 基本假设
固体力学的研究对象是可变形固体。变形与材 料有关。为研究方便，采用下述假设： 1) 均匀连续性假设 物体整个体积内都毫无空隙地充满着物质，是 均匀、连续的，且任何部分都具有相同的性质。 变形前、后都没有“空隙”、“重叠”，必须 满足几何协调（相容）条件。可取任一部分研究。 2) 各向同性假设 材料沿各不同方向均具有相同的力学性质。 这样的材料称为各向同性材料。 使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化8 。
2
x hA A
hB a a
B
FA
FB
W
FN=0
正确性条件：x>0 [否则变形几何条件(3)不适用] h>W/2k 各有关参数的影响： 弹簧自由长度h越大、弹簧刚度k越大、人的体 重W越小，可以走过的距离x越大。 x之值与a2成正比，与板长L成反比。 特例： 当L=(2hk/W-1)a 时，x=a，即在某特定板长 下，人走到B处板即触地。 5
例1 长2L的木板由二个弹性常数为k、自由长度为 h的拉压弹簧支承。若有一人从板中央向一端缓慢行 走，试求板与地面刚刚接触时，人所走过的距离x。
解：设人重为W，板重不计。 讨论板与地面刚接触 的临界状态，板受力如图。 1) 力的平衡条件： 由平衡方程有： Fy=FB-FA-W=0 MA(F)=2aFB-(x+a)W=0
4.3 内力、截面法
1.内力: 物体内部某一部分与 相邻部分间的相互作用力。 必须截开物体，内力才能显示。 处于平衡状态的物体，其任 一部分也必然处于平衡状态。
F1
F2
A
C
B
M
F3
F1 F2 A
Fy
C
My Mx Fx
Fz Mz 沿C截面将物体截开，A部分在 外力作用下能保持平衡，是因为受 到B部分的约束。B限制了A部分物体在空间中相对于 B的任何运动(截面有三个反力、三个反力偶)。