材力 第6章弯曲变形分析
材力 孙训方 第六章弯曲变形分析
2
2
EIy 1 F (x l)3 1 Fl2x 1 Fl3
6
2
6
6）确定最大转角和最大挠度
x l,
max B
Fl2 , 2EI
ymax
yB
Fl 3 3EI
例6-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠
度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
i 1
i 1
i 1
7-4
比较 故
n
EI y ''i M (x) 与
i 1
n
y'' ( yi )''
i 1
EIy'' M (x)
由于梁的边界条件不变，因此
n
y yi i 1
重要结论：
n
i, i 1
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
0.0642 Fbl2 EI
(略b2 )
y中点＝y1
x1
l 2
Fb(3l2 4b2 ) 48EI
Fbl2 16EI
0.0625 Fbl2 EI
(略b2 )
此时，
y
max y中点 y中点
300
，所以，在简支梁中，不论
它受什么载荷，只要挠曲线上无拐点，总可以
y max y中点
(2) 当集中力 F作用在 简支梁中点时,则
yC 3
ql4 16EI
B1
ql 3 24EI
B1
ql 3 16EI
B3
ql 3 3EI
y
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
材料力学-第六章
第15单元第六章 弯曲变形§6-1 引言应用：梁的刚度问题，静不定梁，压杆稳定挠曲轴：变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时，挠曲线为平面曲线)。
挠度()y x ： 横截面形心的位移 转角()θx ：横截面绕中性轴的转角挠曲轴方程：()y y x = (挠曲轴的解析表达式)()tg dy dxy x θ=='()θθ≈='tg y x(通常θ<︒1=0.01745弧度)§6-2 梁变形基本方程目的：求()y x ，()()[]θx y x =' 途径：建立微分方程求解 一、挠曲轴微分方程1.中性层曲率表示的弯曲变形公式()1ρ=M x EI(其中M 可以通过弯矩方程表示为x 的函数，ρ为曲率半径，它可由'y 和''y 表示) 2.由数学()11232ρ=±''+'y y3.挠曲轴微分方程()()±''+'=y y M x EI1232(1) 4.方程简化，挠曲轴近似微分方程 小变形，()'≈<y θ0.0175(弧度)'<<y 21112+'≈y ((1)式分母等于1)正负号确定——确定坐标系：y 向上''>y 0(从数学) ''<y 0M >0(本书规定) M <⇒选正号()∴''=y M x EI二、积分法计算梁的变形()θ='=+⎰y M x EI dx C()y M x EIdx Cx D =++⎰⎰C 、D 为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
三、位移边界与连续条件边界条件：固定端 y A A ==00,θ 固定铰，活动铰 0,0==F E y y 自由端：无位移边界条件 连续条件 y y C C C C 左右左右===00θθy y y y B BG G G G 左右左右左右===θθ例1：()M x M =0，()''=y x M EI 0()()θ='=+y x M EI x C 0()y x M EIx Cx D =++022由()()y D y C 00000=='==()()∴==y x M EIxx M EIx022θ例2：求挠曲轴微分方程AB 段： BC 段''=y M EI x l 10 ''=-⎛⎝ ⎫⎭⎪y M EI x l201y M EI x lC xD =++03116 y M EI x l x C x D =-⎛⎝ ⎫⎭⎪++0322262边界和连续条件()y 100= ()y l 20=y l y l 1222⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪(连续条件)'⎛⎝ ⎫⎭⎪='⎛⎝ ⎫⎭⎪y l y l 1222 (光滑条件)四个方程定4个常数()()y x M x lEI x l 1022244=- ()()y x M x l EIl2024=-例3：1.画剪力弯矩图2.列挠曲线的位移和连续条件3.画挠曲线大致形状(注明凹凸性与拐点) 位移与连续条件 A ：()y 100= B:()()()()a y a y a y a y 2121'='=,C:()()020232==a y a y ,()()a y a y 2232'=' D:无挠曲线大致形状的画法 (1)根据弯矩图定凹凸性， +→⋃-→⋂,(2)弯矩图过零点处为拐点 (3)支座限定支座处的位移§6-3 计算梁位移的奇异函数法奇异函数法仍属积分法。
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
材料力学(刘鸿文)第六章-弯曲变形)
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3 3EI
,
q
C1
ql
C2
C3
B1
B2
ql2
B3
3、变形叠加
B B1 B2 B3
ql3 24 EI
ql3 16 EI
ql3 3EI
11ql3 48 EI
C C1 C2 C3 5ql4 (ql)l3 3ql4 11ql 4 384 EI 48EI 48EI 384 EI
根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确 定的挠度和转角；
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
A
C
M B
边界条件 连续性条件
a
L
x0: 0 0
xal 0
x a : C左 C右
例1悬臂梁受力如图所示。求 A 和 A 。
取参考坐标系
ω
q
1、列写弯矩方程
A
M (x) 1 qx2 2
A
a
C
B
EA
光滑连续性条件
L
x a:
C 左
C
右
C左 C右
讨论：挠曲线分段
（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
A
C
M B
a
L
讨论：挠曲线分段
（4）凡分段点处应列出连续条件；
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形
§6-6 提高梁刚度的措施
§6-1 工程中的弯曲变形问题 一、为何要研究弯曲变形
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
材料力学知识点
第六章弯曲变形知识要点1、弯曲变形的概念1）、挠曲线弯曲变形后梁的轴线变为挠曲线。
平面弯曲时，挠曲线为外力作用平面内的平面曲线。
2）、平面弯曲时的变形在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度以挠曲线的曲率来度量。
1》纯弯曲时，弯矩—曲率的关系（由上式看出，若弯曲刚度EI为常数则曲率为常数，即挠曲线为圆弧线）2》横力弯曲时，弯矩—曲率的关系3）、平面弯曲时的位移1》挠度——横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移，以表示。
2》转角——横截面绕其中性轴旋转的角位移，以表示。
挠度和转角的正负号由所选坐标系的正方向来确定。
沿y轴正方向的挠度为正。
转角的正负号判定规则为，将x轴绕原点旋转90°而与y轴重合，若转角与它的转向相同，则为正，反之为负。
4）、挠曲线近似微分方程5）、受弯曲构件的刚度条件，2、积分法求梁的挠度和转角由积分常数C、D由边界条件和连续性条件确定。
对于梁上有突变载荷（集中力、集中力偶、间断性分布力）的情况，梁的弯矩M(x)不是光滑连续函数，应用上式时，应分段积分，每分一段就多出现两个积分常数。
因此除了用边界条件外，还要用连续性条件确定所有的积分常数。
边界条件：支座对梁的位移（挠度和转角）的约束条件。
连续条件：挠曲线的光滑连续条件。
悬臂梁边界条件：固定端挠度为0，转角为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等简支梁边界条件：固定绞支座或滑动绞支座处挠度为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等连接铰链处，左右两端挠度相等，转角不等3、叠加原理求梁的挠度和转角1）、叠加原理各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时同一截面挠度和转角的代数和。
2）、叠加原理的限制叠加原理要求梁某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩成线性关系，因此要求：1》弯矩M和曲率成线性关系，这就要求材料是线弹性材料2》曲率与挠度成线性关系，这就要求梁变形为小变形4、弯曲时的超静定问题——超静定梁1）、超静定梁约束反力数目多于可应用的独立的静力平衡方程数的梁称为超静定梁，它的未知力不能用静力平衡方程完全确定，必须由变形相容条件和力与变形间的物理关系建立补充方程，然后联立静力平衡方程与补充方程，求解所有的未知数。
第六章 弯曲应力(习题解答)
6-3、图示矩形截面梁受集中力作用，试计算1-1横截面上a 、b 、c 、d 四点的正应力。
解：（1）外力分析，判变形。
荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。
中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直，沿水平方向。
（2）内力分析，弯矩图如图（b ）所示，1-1横截面的弯矩为：1115230(M -=-⨯=-⋅kN m)（3）应力分析，梁上边有弯矩图，上侧纤维受拉。
1-1横截面上的a 点处于拉伸区，正应力为正；c 点处于中性层上，正应力为零；b 、d 两点处于压缩区，正应力为负。
3111111max2301011.1110.1800.36a a zzzM M M y y I I W σ---⨯=⋅=⋅===⨯⨯Pa MPa 。
11.11b a σσ=-=-MPa0c σ= 31133010(0.1500.050)7.4110.1800.312d d zM y I σ-⨯=-⋅=-⨯-=-⨯⨯Pa MPa37M kN V 图(kN)(a)(c)(b)(c)(e)(d)2+q l /8MkN ·m)(f)(b)180q题6-3图 题6-5图6-5、两根矩形截面简支木梁受均布荷载q 作用，如图所示。
梁的横截面有两种情况，一是如图(b)所示是整体，另一种情况如图(c)所示是由两根方木叠合而成（二方木间不加任何联系且不考虑摩擦）。
若已知第一种情况整体时梁的最大正应力为10MPa ，试计算第二种情况时梁中的最大正应力，并分别画出危险截面上正应力沿高度的分布规律图示。
解：（1）外力分析，判变形。
荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。
第一种情况中性层为过轴线的水平纵向面，中性轴z 轴过整体形心C 与载荷垂直，沿水平方向。
而第二种情况，两根木梁以各自的水平纵向面为中性层发生弯曲，两根中性轴为与荷载垂直的水平形心主轴。
如图所示。
（2）内力分析，判危险面：弯矩图如图（b ）所示，跨中截面为危险面。
刘鸿文版材力第六章 弯曲变形 (2)
q
RB
ql RA = RB = 2
A
B
x
y
l
例题 6 -2 图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M(x) = x − qx = (lx − x2 ) 2 2 2 q EIw' ' = M(x) = (lx − x2 ) 2 (a) (b)
RA
A
x
q
RB
B x
y
l
q EIw ' = M(x) = (lx − x2 ) ' 2
w"Байду номын сангаас 0
o y
M M
x
ν"> 0
o 图 6 -2 x
M>0
w '' (1 + w ' )
2
2
3
2
M (x) = EI
（6 -1） ）
w' 与 1 相比十分微小而可以忽略不计 故上式可近似为： 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为：
M(x) w "= EI
（6 -2 a） ）
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了w′2 项。 略去了 ′
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成 若为等截面直梁 其抗弯刚度 为一常量上式可改写成
EIw = M(x)
''
（6 -2 b） ）
上式积分一次得转角方程
EIw' = EIθ = ∫ M(x)dx + C 1
再积分一次, 再积分一次 得挠曲线方程
（6 -3 a） ）
材料力学 第6章 弯曲变形
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会 影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
F l [ ( x a)3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
第6章
6-5 叠加法求梁的位移 叠加法求梁的挠曲线
弯曲变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代 数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3. 增大梁的弯曲刚度：主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用
适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱 形等。
q
A B l B l A
q
A
q
B
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
1) 支承条件：
y
w 0; w 0
弯曲变形
y
y
w0
F A
w0
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
w|
x C
w|
x C
， |
x C
|
材力06弯曲应力详解
M y
(sdA)z
A
Eyz
E
dA
A
yzdA EI yz 0
A
（Iyz＝0）
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
10
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y 2dA EI z M
A
1 Mz
EI z
… …(3)
由式（2）和（3）
s M y
x
Iz
...... (4)
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
1
主要内容
§6–1 梁的纯弯曲 §6–2 纯弯曲时的正应力 §6–3 横力弯曲时的正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 提高弯曲强度的措施
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
2
§6–1 梁的纯弯曲
弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
平面弯曲时横截面只有s
纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面既有s又有t
横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
例如：
P1
P2
纵向对称面
aP A
Q
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
B 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x
x M
F
B
D
1m
FBY=10.5KN
弯矩图 M
弯矩图
2.5KN· m
X
2020/9/29
4KN·m
材料力学 第六章 弯曲应力
15
B截面和C截面应力分布规律图
材料力学第六章知识点总结
P
材料力学
y C y C1
§6-2 挠曲线的微分方程
F x 1.挠度：横截面形心沿垂直 于轴线方向的线位移。用 y 表示。向上为正，反之 为负。
一、度量梁变形的两个基本位移量
θ
θ
2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用θ 表示。横截 面从变形前转动到变形后，逆时针为正，反之为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠 曲线。其方程为： y = y(x)
CB 段： a ≤ x 2 ≤ l
C
B
θB x
FBy
FAy x1
ymax
x2
a
b
Fb 2 F Fb 2 2 EIθ 2 = x2 − ( x2 − a ) − (l − b 2 ) 2l 2 6l Fb 3 F Fb 2 3 EIy2 = x2 − ( x2 − a ) − (l − b 2 ) x2 6l 6 6l
4）由位移边界条件确定积分常数
x 1 2 1 3 C = − Fl , D = Fl l 2 6 5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EIθ = F ( x − l ) − Fl 2 2 1 1 2 1 3 3 EIy = F ( x − l ) − Fl x + Fl 6 2 6
6）确定最大转角和最大挠度
x = 0, x = 0,
θA = 0
yA = 0
y
A
yB
F
B
θB
x
x = l,
θ max
Fl 2 = θB = − , 2 EI
ymax
Fl 3 = yB = − 3EI
材料力学
例6-3-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最 大挠度，梁的EI 已知，l=a+b，a>b。 解 1）由梁整体平衡分析得： Fb Fa F Ax = 0 , F Ay = , F By = l l 2）弯矩方程 AC 段：
材料力学第六章弯曲变形
以图示悬臂梁为例： x
A
w
q qy
2.梁的变形可以用以下两个位移度量：
F Bx
B1
① 挠度：梁横截面形心的竖向位移y，向下的挠度为正 ② 转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正
简支梁
挠度方程：挠度是轴线坐标x的函数
转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系
=tan =dy =f ´(xd)x
梁在简单荷载作用下的转 角和挠度可从表中查得。
例3 图示悬臂梁，其弯曲刚度EI为常数，求B点转角和挠度。
q
A
C
F
1.在F作用下：
查表： BF
Fl 2 2EI
,
yBF
Fl 3 3EI
B
2.在q作用下：
查表： Cq
q(l / 2)3 6EI
ql3 48 EI
A A
qBF
F
B
q(l / 2)4 ql4
M图 Fl / 4
Wz
M max
35 103 160 106
2.19 10 4 m3
3、梁的刚度条件为：
Fl3 l 48EIz 500
解得
Iz
500 Fl 2 48 E
500 35 103 42 48 200 109
2.92 10 5 m4
由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数Wz＝3.09×l0-4m3 ，惯性矩 Iz=3.40×10-5m4，可见．选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。
提高梁刚度的措施：
y ln EI
1.增大梁的弯曲刚度 EI；主要增大截面惯性矩I值，在截面 面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴 较远的地方。例如：工字形、箱形等。
刘鸿文版材力第六章 弯曲变形 (1)
度量梁变形后 横截面位移的 两个基本量
y
A
图 பைடு நூலகம் -1
B
x
挠度（ 即轴线上的点)在垂直于 挠度（ w ）: 横截面形心 C (即轴线上的点 在垂直于 x 轴方向 即轴线上的点 的线位移，称为该截面的挠度。 的线位移，称为该截面的挠度。 转角（ 转角（θ） ：横截面对其原来位置的角位移 , 称为该截面的 转角。 转角。 y A C 转角θ B x w 挠度 C' B'
C'
θ B'
挠度和转角符号的规定 挠度：与坐标正负相相同，即向上为正，向下为负。 挠度：与坐标正负相相同，即向上为正，向下为负。 转角：逆时针为正，顺时针转为负。 转角：逆时针为正，顺时针转为负。 y A θ w 挠度 挠曲线 C' B' C 转角θ B x
§ 6 -1 工程中的弯曲变形问题
一、工程实例： 工程实例： 车床主轴： 车床主轴：
叠加弹簧： 叠加弹簧：
在本章中，研究梁弯曲变形的主要目的是： 在本章中，研究梁弯曲变形的主要目的是： ；（2）解超静定梁。 （1）对梁作刚度校核；（ ）解超静定梁。 ）对梁作刚度校核；（
§ 6 -2 挠曲线的微分方程
挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。 挠曲线方程 为
w= f (x)
转角方程 为该点的挠度。 式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w为该点的挠度。 为该点的挠度
挠度与转角的关系： 挠度与转角的关系： y A C
θ ≈ tgθ = w' = f ' (x)
刘鸿文材力第六章弯曲变形机械[61P][2.03MB]
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w〃= 0 ; ρ = c . 圆弧
y qx(l 3 3lx 2 2 x 3 ) / (48EI ), 则 例:已知挠曲线方程
B 两端截面的约束可能为下列情形中的＿＿. o
(A) y (C) y l x (B) y x (D) l y
o
l
x
o
o
l
x
EIw EIqx(l 3 3lx 2 2 x 3 ) / 48 EIw q(l 3 9lx 2 8 x 3 ) / 48 EIw q(24 x 2 18lx) / 48 M EIw q(48 x 18l ) / 48 Fs
叠加法成立前提，线弹性、小变形。
某梁对应某种荷载情况的挠度为w1 该梁对应另种荷载情况的挠度为w2 当这两种荷载同时作用在梁上时挠度为w
则
w w1 w2
同样地， =1+2
A
P B L q
PL wB , 3EI z qL wB , 8EI z
4
3
PL2 B 2 EI z qL3 B 6 EI z
w x 0 0, w x l 0 A, B
M Fs
x 0 x 0 x 0
0,
x l
0 B, D 0 B, D 0 A, B, C , D
0, M 0, Fs
x l x l
§6.4
用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为w，则有：
4.挠度与转角关系为：tan dw , arctan dw
dx dx
7-2
纯弯曲时，得到：
1 M ρ EI z
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AC
段：M
x1
FAy x1
Fb l
x1,
(0 x1 a)
w
EI
d 2w1 dx12
M (x1)
Fb l
x1
A
A
F DC
B B x
EI
dw1 dx1
EI (x1)
Fb 2l
x2 1
C1
FAy x1
wmax
FBy
EIw1
Fb 6l
x3 1
C1x1
D1
x2
a
b
CB
段：M
x2
FAy x2
F (x2
令 d 0
得，
dx
l a x
l , max
B
Fab 6EIl
(
)( )
令 dw = 0 dx
得，
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
wmax
b
B B x
FBy
x
l2 b2 ,
3
Fb (l2 b2 )3 wmax 9 3EIl (
)
讨论：1.或由大致挠曲线确定
y
F
A
DC
最大转角，显然在支座处
A
EI1
tan
dw
,
dx
arctan
dw dx
7-2
纯弯曲时，得到：
1
M
EI Z
M
M
横力弯曲时,忽略剪力对变形的影响
1 M (x)
(x) EIz
由数学知识可知：
d2y
1
dx2
[1 ( dy )2 ]3
dx
y M (x) > 0
M (x) > 0
y M (x) < 0
M (x) < 0
d2y
dx 2 > 0
Fb 6l
x3 1
-
Fb 6l
(l 2
-
b2 ) x1
CB 段：a x2 l
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
wmax
b
B B x
FBy
EI 2
Fb 2l
x22
F 2
( x2
a)2
Fb 6l
(l 2
b2 )
EIw2
Fb 6l
x23
F 6
( x2
a)3
Fb 6l
(l 2
b2 )x2
6）确定最大转角和最大挠度
a)
Fb l
x2
F (x2
a),
(a x2 l)
EI
d 2w2 dx22
Hale Waihona Puke M (x2 ) Fb l
x2
F (x2
a)
EI
dw2 dx2
EI (x2 )
Fb 2l
x2 2
F 2
( x2
a)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3 2
F 6
( x2
a)3
C2 x2
D2
4）由边界条件确定积分常数
EI (x1)
D 1 Fl3 6
A
x
wB
5）确定转角方程和挠度方程
l
EI 1 F ( x l)2 1 Fl 2
2
2
EIw 1 F (x l)3 1 Fl2x 1 Fl3
6
2
6
6）确定最大转角和最大挠度
x l,
max
B
Fl2 , 2EI
wmax
yB
Fl3 3EI
F
Bx
B
例6-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠 度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。
EIzw = M (x)dxdx + C x + D
7-3
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
位移边界条件
光滑连续条件
~
~~
A
AA
~
A A AA A AA A
~
wA = 0
wA 0
A 0
~~ ~~ ~
~
~ ~~ ~~ ~ ~
~
A
A
A
A A AAA A AA A A A A
wA
－弹簧变形
wAL = wAR wAL = wAR
AL AR
例6-1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠 度，梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
w
F
FAx 0, FAy F (), M A Fl( ) A x 2）写出x 截面的弯矩方程
wB
l
Bx
B
M(x) F(l x) F(x l)
x
O
O
d2y
dx 2 < 0
x
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二 阶导数符号一致，所以挠曲线的微分方程为：
d 2w
dx2
3
1
dw dx
2
2
M EI
挠曲线微分方程：
d 2w
dx2
3
1
dw dx
2
2
M EI
上式是非线性的，适于弯曲变形的任意情况。小变形 情况下：
tan dw f x,
dx
dw dx
2
<<
1
d2w M dx2 = EI
——挠曲线近似微分方程
§6-3 用积分法求梁的变形
挠曲线的近似微分方程为：
d2w dx 2
=
M (x) EI z
积分一次得转角方程为：
EI z
d2w dx 2
=
M
(x)
EI z
dw dx
=
EI z θ
=
M (x)dx + C
再积分一次得挠曲线方程为：
Fb 6l
x3 2
F 6
( x2
a)3
C2 x2
D2
w1(a) = w2(a)
y
A
F DC
B B x
A
C1
C2
1 6
Fbl
Fb3 6l
D1 D2 0
FAy
wmax
FBy
x1
x2
a
b
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2)
EIw1
3）列挠曲线近似微分方程并积分
d 2w
EI M (x) F(x l)
dx2
积分一次
EI dw EI 1 F (x l)2 C
dx
2
再积分一次
EIw 1 F (x l)3 Cx D 6
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0, wA 0
w
代入求解
C 1 Fl2, 2
解 1）由梁整体平衡分析得：
w
F
FAx
0, FAy
Fb l , FBy
Fa l
A
A
DC
2）弯矩方程
FAy
wmax
AC 段：
x1
x2
M
x1
FAy x1
Fb l
x1,
(0 x1 a)
a
b
CB 段：
B B x
FBy
M
x2
FAy x2
F (x2
a)
Fb l
x2
F (x2
a),
(a x2 l)
3）列挠曲线近似微分方程并积分
Fb 2l
x2 1
C1
位移边界条件
EIw1
Fb 6l
x3 1
C1x1
D1
x1 = 0, w1(0) = 0 x2 = l, w2(l ) = 0
EI (x2 )
Fb 2l
x2 2
F 2
( x2
a)2
C2
光滑连续条件 x1 x2 a, x1 = x2 = a,
代入求解，得
1(a)
EIw2
2(a)
第六章 弯曲变形 静不定梁
§6-1 工程实际中的弯曲变形问题
7-1
§6-2 梁的挠曲线的微分方程
转角
1.挠曲线方程：
w
挠度 挠曲线
w f (x)
θ
w
2.挠度w：截面形
x
x
心在y方向的位移
w 向上为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
3.转角θ：截面绕中性轴转过的角度,逆钟向为正
4.挠度与转角关系为：
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2)
FAy
wmax
x1
x2
A
(0)
Pab 6EIz L
(L
b)
a
（顺时针方向）
b
EI 2
Fb 2l
x22
F 2
( x2
a)2
Fb 6l
(l 2
b2 )
B B x
FBy
B
(L)
Pab 6EIz L
(L
a)