湖南省蓝山二中高二数学《第二讲 参数方程 二、圆锥曲线的参数方程(三)》教案 新人教A版
高中数学第二章参数方程2.4圆锥曲线参数方程的应用教案新人教A版选修4_420170626212
2.4 圆锥曲线参数方程的应用【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
一、教学目标：知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题过程与方法：选择适当的参数方程求最值。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。
教学难点：正确使用参数式来求解最值问题三、教学模式：讲练结合，探析归纳四、教学过程：（一）、复习引入：通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。
（二）、讲解新课：例1、双曲线6sec ({x y ααα==为参数） 的两焦点坐标是 。
答案：（0，，（0，。
学生练习。
例2、方程{t t t t x y e ee e --=+=-（t 为参数）的图形是 双曲线右支 。
学生练习，教师准对问题讲评。
反思归纳：判断曲线形状的方法。
例3、设P 是椭圆223641y x +=在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标。
分析：本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求,POA poB OAPB s s S ∆+∆的最大值或者求点P 到AB 的最大距离，或者求四边形OAPB 的最大值。
学生练习，教师准对问题讲评。
【θ=4π时四边形OAPB 的最大值P 为（2）。
】（三）、巩固训练1、直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（A ） A ．6π或65π B ．4π或43π C ．3π或32π D ．6π-或65π- 2、椭圆 12222=+by a x （0>>b a ）与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P ，使OP ⊥AP ，（O 为原点），求离心率e 的范围。
湘教版选修4《圆锥曲线的参数方程》教案及教学反思
湘教版选修4《圆锥曲线的参数方程》教案及教学反思一、教案1. 教学背景本节课是湘教版选修4数学课程中的圆锥曲线章节，主要介绍圆锥曲线的参数方程的概念、性质和应用。
本课内容对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
2. 教学目标1.理解圆锥曲线的参数方程的概念和基本性质；2.掌握利用参数方程计算圆锥曲线的特定点坐标和方程式；3.能够应用参数方程解决实际问题。
3. 教学过程（1）引入引导学生回顾前几节课的内容，回忆圆锥曲线的定义和一般方程式，并介绍参数方程的概念和意义。
（2）讲解1.给出圆锥曲线的参数方程式；2.介绍参数方程式的基本性质；3.讲解如何利用参数方程式计算特定点坐标和圆锥曲线的方程式；4.通过例题演示如何应用参数方程解决实际问题。
（3）练习1.学生自主完成课后习题；2.教师现场抽查学生完成情况，并对出错情况进行解答。
（4）总结对本节课的重点内容进行总结，并着重强调参数方程的应用能力。
引导学生思考如何将参数方程应用到其他学科领域。
4. 教学反思本节课程在教学过程中，由于本章节是较为抽象的内容，需要引导学生理解概念，并逐渐领悟其意义和实际应用。
在教学中，通过例题演示、反复练习等多种教学形式，帮助学生掌握了圆锥曲线的参数方程的基本概念和应用技能。
同时，本节课也在明确教学目标的同时，引导学生进行思考和创新，培养了学生的逻辑思维和实际应用能力。
二、教学反思本节课教学反思，主要围绕以下几个方面进行总结：1. 教学目标教学目标的设定是本课成功教学的关键。
本节课主要目标是要使学生掌握圆锥曲线的参数方程的概念和应用技能。
教师在制定教学计划的时候，应根据学生的实际情况，制定具体的目标，使之符合学生的实际需求。
2. 教学设计教学设计是本节课教学成功的保障之一。
课程中，教师通过实例讲解、练习演示等多种教学方法，使学生逐渐领悟圆锥曲线的参数方程的意义和应用技能，并进一步拓展了学生的思维空间。
圆锥曲线的参数方程教案
圆锥曲线的参数方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解圆锥曲线的概念及其标准方程；（2）掌握圆锥曲线的参数方程的定义及表示方法；（3）能够运用参数方程解决与圆锥曲线相关的问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察实物和图形，培养学生的空间想象能力；（2）利用数形结合思想，引导学生从参数方程中揭示圆锥曲线的几何性质；（3）通过小组讨论和探究活动，提高学生合作交流的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、坚持不懈的精神；（3）引导学生认识数学在实际生活中的应用价值。
二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及其标准方程（1）介绍圆锥曲线的基本概念；（2）讲解椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及特点。
2. 参数方程的定义及表示方法（1）引入参数方程的概念；（2）举例说明参数方程的表示方法；（3）讲解参数方程与普通方程的互化方法。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）圆锥曲线的概念及其标准方程；（2）参数方程的定义及表示方法；（3）参数方程与普通方程的互化方法。
2. 教学难点：（1）圆锥曲线的几何性质的揭示；（2）参数方程在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入新课：（1）通过实物和图形，引导学生回顾圆锥曲线的基本概念；（2）提问：如何用数学语言描述圆锥曲线的形状和位置？2. 讲解新课：（1）讲解圆锥曲线的标准方程及其特点；（2）引入参数方程的概念，举例说明参数方程的表示方法；（3）讲解参数方程与普通方程的互化方法。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成教材中的相关练习题；（2）引导学生运用参数方程解决实际问题。
五、课后作业1. 复习圆锥曲线的标准方程及其特点；2. 熟练掌握参数方程的表示方法；3. 练习互化参数方程与普通方程；4. 探索圆锥曲线参数方程在实际问题中的应用。
六、教学策略与方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提出圆锥曲线的参数方程需求；2. 利用数形结合思想，通过图形软件或实物展示，直观地展示圆锥曲线的几何性质；3. 组织小组讨论和探究活动，让学生合作交流，共同解决问题；4. 注重个体差异，针对不同学生提供个性化的指导和建议。
湖南省蓝山二中高二数学《第二讲 试验设计初步 二、正交试验的应用》教案 新人教A版
湖南省蓝山二中高二数学《第二讲 试验设计初步 二、正交试验的应用》教案 新人教A 版教学过程;案例1 考察表所列的对胶鞋弯曲性能有影响的3个因素和2个水平，选取主要因素及较好的配方.(1)首先，找出适合试验要求的正交表.(2)再安排试验方案.(3)按照这个安排需要做4次试验.经过试验，将试验的结果（弯曲次数）列在表中.(4)画弯曲次数和因素的关系图.2.0乙类炭黑1.02 2.5甲类炭黑1.51C 硫磺用量B 炭黑品种A 促进剂总量因素水平1224221221231111321列号试验号C B A 2C 1(2.5)B 2(乙)A 2(1.0)42(2.0)2(乙)1(1.5)C 2(2.0)B 1(甲)A 2(1.0)3C 1(2.5)B 1(甲)A 1(1.5)1C 硫磺用量B 炭黑品种A 促进剂总量列号试验号 2.53.01.51.5试验结果弯曲次数(万次)0.30.31.3 2.32.02.8 2.02.31.5C 1(2.5)B 2(乙)A 2(1.0)4C 2(2.0)B 2(乙)A 1(1.5)2C 2(2.0)B 1(甲)A 2(1.0)3C 1(2.5)B 1(甲)A 1(1.5)1C 硫磺用量B 炭黑品种A 促进剂总量列号试验号q q q q K k K k 22112121==q R案例2 某农场希望知道某个玉米品种的高产栽培条件.研究人员选择了3个试验 因素：种植密度、施化肥量、施化肥时间，每个试验因素选3个水平，如表.(1)首先，找出适合试验要求的正交表.(2)再安排试验方案.(3)按这个安排，需要做9次试验.经过试验，将试验的结果列在表中.(4)画产量和因素的关系图.按3:5分2次施完2800303一次施完3200402按1:2:1分3次施完3700501C 施化肥时间B 种植密度(株/亩)A 施化肥量(kg/亩)因素水平1131323213122523263238133921373124221233131111421列号试验号418.2423.7438.821.638.914.1439.2417.3424.7439.8456.2433.7394.0426.5453.5429.5435.5428.5428.5409.0463.5试验结果亩产量(kg)C 2(一次)C 1(三次)C 3(二次)C 1(三次)C 3(二次)C 2(一次)C 3(二次)C 2(一次)C 2(三次)C 施化肥时间1B 1(3200)A 2(40)52B 2(2800)A 2(40)63B 2(3200)A 3(30)81B 1(2800)A 3(30)92B 1(3700)A 3(30)73B 2(3700)A 2(40)42B 2(3200)A 1(50)23B 1(2800)A 1(50)31B 1(3700)A 1(50)14B 种植密度(株/亩)A 施化肥量(kg/亩)列号试验号q q K k 1131=q R q q K k 2231=qq K k 3331=案例3 某工厂生产弹簧，为了提高弹簧的弹性，需要通过试验寻找合适的生产条件，根据以往的经验，提出与弹性相关的3个因素，每个因素有4个水平，如表.课后作业1.阅读教材P. 35-P.41；2.《学案》第二讲第二课时.13652041155003944602734401C工件重量(kg)B保温时间(min)A回火温度(o C)因素水平。
湖南省蓝山二中高二数学《第二讲 参数方程 二、圆锥曲线的参数方程(二)》教案 新人教A版
湖南省蓝山二中高二数学《第二讲 参数方程 二、圆锥曲线的参数方
程（二）》教案 新人教A 版
知识与技能：理解椭圆的参数方程，掌握参数方程的应用.
过程与方法：通过学习圆锥曲线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法. 情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学的现实应用价值，从而提高学习数学的
兴趣，坚定信心.
教学过程： 一、复习回顾
椭圆 )0(12222>>=+b a b y a x 的一个参数方程) (.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩
⎨⎧==b y a x
二、新课
例1. 如图，已知椭圆14
22
=+y x 上一点M (除短轴端点处)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证|OP | · |OQ |为定值.
练习1. 椭圆19
162
2=+y x 的内接矩形的最大面积是_______24___________.
练习2. 已知A 、B 是椭圆14
92
2=+y x 与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAP B 的面积最大.
课后作业
y x
O B 2B 1M P Q
.,116252.11625)1(2121222
2面积的最大值求四边形是椭圆的焦点、上的点，是椭圆、）（面积的最大值求，、为轴和原点的对称点分别关于上的点，是椭圆设QF PF F F y x Q P PQR R Q y P y x P =+∆=+。
高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程互动课堂学案新人教A版选修
二 圆锥曲线的参数方程互动课堂重难突破本课时要掌握椭圆、双曲线、抛物线的参数方程,并能应用于设圆锥曲线上的点,从而讨论最值、距离或定值等问题.难点是对参数方程中参数的几何意义或物理意义的理解.一、圆锥曲线的参数方程的实际意义圆锥曲线的参数方程不是无本之末、无源之水，而是来源于实际生活，是实际生活的抽象.例如，在军事上，在一定高度下作水平飞行的飞机将炸弹进攻投向目标，要知道炸弹离开飞机后的各个时刻所处的位置.像这样的实际问题显然炸弹所处的位置与离开飞机的时间密切相关，通过时间就可以将炸弹各个时刻所处横、纵位置给确定，从而可知其所处位置，是否能击中目标就可以及时得知，这时显然通过建立相应的参数方程比建立普通方程容易，这也更有利于实际需要.再比如在研究人造地球卫星的运行轨道时,常常也选择其参数方程的形式来予以研究.这样的例子还有很多.二、圆锥曲线的参数方程1.椭圆2222b y a x +=1(a >0,b >0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos b y a x (φ为参数). 要注意:(1)参数φ的几何意义是点(假设为M )的离心角,不是OM 的旋转角.(2)通常规定φ∈［0,2π).2.双曲线2222b y a x -=1(a >0,b >0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕtan ,sec b y a x (φ为参数). 同样需注意:(1)参数φ是点(假设为M )所对应的圆的半径的旋转角(也称为点M 的离心角),不是OM 的旋转角.(2)通常规定φ∈［0,2π),且φ≠2π,φ≠23π. 3.抛物线y 2=2px (其中p 表示焦点到准线的距离)的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 2,22(t 为参数).需强调,参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数,且t ∈(-∞,+∞).4.圆锥曲线的参数方程的特点.椭圆与双曲线的参数方程都与三角函数有着密切的关系.椭圆的参数方程与正弦、余弦函数有着密切的关系，这与椭圆的有界性和正弦、余弦函数的有界性有着一定的关系.而双曲线的参数方程与正割、正切函数有着密切的关系，这也与双曲线的图形分布和正割、正切函数的值域有着密切的关系.抛物线的参数方程是一、二次函数形式，同样这也与抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应着.5.从课本的推导过程来看，好像一条圆锥曲线的参数方程形式的确是唯一的，但事实上，同一条圆锥曲线的参数方程形式也不唯一，例如椭圆12222=+by a x 的参数方程可以是⎩⎨⎧==ϕϕtan ,sec b y a x 的形式，也可以是⎩⎨⎧==ϕϕtan ,sec b y a x 的形式，它们二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆(通过消参数即可看出)，同样对于双曲线、抛物线亦是如此.6.当圆锥曲线的普通方程不是标准形式时,也可表示为参数方程形式,如1)()(2222=-+-b n y a m x (a >b >0)可表示为⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin ,cos b n y a m x (φ为参数);同时要注意在使用参数方程时所含变量的取值范围.例如,实数x 、y 满足9)2()(222++-y a m x =1,试求x -y 的最大值与最小值,并指出何时取得最大值与最小值.分析:本题的思考方式也许容易想到由已知方程予以变形代换,但容易看到会出现开方,很不利于求x -y 的最大值与最小值.这时,根据已知条件可考虑借助于相应的参数方程来求解,借助于正弦、余弦的有界性从而把问题解决.求解的过程可如下:解:由已知可设⎩⎨⎧-=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-.2sin 3,1cos 4,sin 32,cos 41θθθθy x y x 即 则x -y =(4cos θ+1)-(3sin θ-2)=(4cos θ-3sin θ)+3=5cos(θ+α)+3,其中cos α=54,sin α=53. 当cos(θ+α)=1,即θ+α=2k π,k∈Z 时,cos θ=cos(2k π-α)=cos α=54, sin θ=sin(2k π-α)=-sin α=-53, x =4×54+1=521,y =3×(-53)-2=-519时,x -y 的最大值为8, 同理,当x =-511,y =-51时,x -y 的最小值为-2.活学巧用【例1】已知A 、B 分别是椭圆93622y x +=1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.解析:本题有两种思考方式，求解时把点C 的坐标设为一般的(x 1,y 1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cos θ,3sin θ)的形式，从而予以求解.解:由动点C 在该椭圆上运动，故据此可设点C 的坐标为(6cos θ,3sin θ)，点G 的坐标为(x ,y )，则由题意可知点A (6，0)、B (0，3). 由重心坐标公式可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+=++=,sin 13sin 330,cos 223cos 606θθθθy x由此消去θ得到4)2(2-x +(y -1)2=1,即为所求. 点评:本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.【例2】 在椭圆2222b y a x +=1(a >b >0)的第一象限的上求一点P ,使四边形OAPB 的面积最大,并求最大面积.解析:如图,将四边形的OAPB 分割成△OAP 与△OPB ,则P 点纵坐标为△OAP 的OA 边上的高,P 点横坐标为△OPB 的OB 边上的高.解:设P (a cos θ,b sin θ),S △APB =S △OAP +S △OPB =21ab sin θ+21ab cos θ =21ab (sin θ+cos θ) =22ab sin(4π+θ). 当θ=4π时,四边形OAPB 面积最大,最大面积为22ab ,此时,P 点坐标为(22a ,22b ). 点评:用参数方程解决一些最值、距离或定值等问题,非常有效.【例3】在椭圆7x 2+4y 2=28上求一点,使它到直线l:3x -2y -16=0的距离最短,并求出这一最短距离.解:把椭圆方程化为7422y x +=1的形式,则可设椭圆上点A 坐标为(2cos α,7sin α),则A 到直线l 的距离为13|16)sin(8|13|16sin 72cos 6|--=--=αβa a d (其中β=arc sin 43). ∴当β-α=2π时,d 有最小值,最小值为.13138138=. 此时α=β-2π,∴sin α=-cos β=-47,cos α=sin β=43. ∴A 点坐标为(47,23-). 【例4】一炮弹在某处爆炸，在F 1(-5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚17300秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆炸点所在的曲线的参数方程.解析:本题与实际生活紧密相关，主要考查学生能否将所学数学知识应用于实际生活中来解决相关的问题，并注意曲线的普通方程与参数方程之间的关系.解:由声速为340米/秒可知F 1、F 2两处与爆炸点的距离差为340×17300=6 000米. 因此爆炸点在以F 1、F 2为焦点的双曲线上.因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点D 应在靠近F 2处的一支上.设爆炸点P 的坐标为(x ,y )，则PF 1-PF 2=6 000，即2a =6 000,a =3 000，而c =5 000，∴b 2=5 0002-3 0002=4 0002.又PF 1-PF 2=6 000>0，∴x >0. ∴所求的双曲线方程为222200040003y x -=1(x >0). 故所求曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θθtan 0004,sec 0003y x 〔θ∈(-2π,2π)〕. 点评:在F 1处听到爆炸声比F 2处晚17300秒，相当于爆炸点离F 1的距离比F 2远6 000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题)；借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题).。
湖南省蓝山二中高二数学(文科)学案《必修2解析几何(二)》
1.写出下列圆的标准方程：
).
1 ,5()3 ,8( )2(; 5)4 ,3( )1(M C C ，且经过点圆心在，半径长是圆心在--
2. 求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：
.
03322 )3(; 02 )2(;
06 )1(2222222=+--+=++=-+a ay ax y x by y x x y x
3. 已知△AOB 的顶点坐标分别是A (4，0)，B (0，3)，O (0，0)，求△AOB 外接圆的面积.
4.已知直线4x ＋3y －35＝0与圆心在原点的圆C 相切，求圆C 的方程.
5. 已知两点P 1(4, 9)，P 2(6,3)，求以线段P 1P 2为直径的圆的方程，并判断点M (6, 9)，N (3, 3)， Q (5, 3)在圆上、在圆内、还是在圆外？
6.判断直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的位置关系.
7.已知直线l：y＝x＋6，圆C：x2＋y2－2y－4＝0.试判断直线l与圆C有无公共点，有几个公共点.
8.求直线l：2x－y－2＝0被圆C：(x－3)2＋y2＝9所截得的弦长.
9.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，圆C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0，判断圆C1与圆C2的的位置关系.
课后作业
1. 阅读必修2教材第四章.
2. 教材P.132习题4.2A组第2、5题.。
高中数学 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程学案
二 圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程，了解参数的意义，会用椭圆的参数方程解决简单问题． 2．理解双曲线的参数方程，了解参数的意义，会用双曲线的参数方程解决简单问题． 3．理解抛物线的参数方程，了解参数的意义，会用抛物线的参数方程解决简单的相关问题．4．通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．1．椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为________．(1)圆的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)中的参数θ是动点M (x ，y )的旋转角，但在椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．(2)通常规定φ∈[0,2π)．(3)当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形式．如x －m2a 2＋y －n 2b 2＝1(a ＞b ＞0)可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数)．【做一做1－1】 椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0,2π)，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ为( )．A ．π B.π2 C ．2π D.3π2【做一做1－2】 A ，B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程．2．双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的参数方程是__________规定参数φ的取值范围为__________．【做一做2】 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )．A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2) D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)3．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为____________． (2)参数t 的几何意义是________________． 答案：1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0) [0,2π)【做一做1－1】 A【做一做1－2】 解：由于动点C 在该椭圆上运动，所以可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6,0)，B (0,3)．由重心坐标公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3＝2＋2cos θ，y ＝0＋3＋3sin θ3＝1＋sin θ.由此可得x －224＋(y －1)2＝1即为所求．2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ.φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2【做一做2】 C 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)，所以y 2－x 2＝1. 而x ＝sin α2＋cos α2＝2sin(α2＋π4)，故x ∈[－2，2]．3．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈(－∞，＋∞)(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ax ，y ′＝1b y ，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2＝1，利用圆x ′2＋y ′2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos φ，y ′＝sin φ(φ是参数)，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，因此，参数φ的几何意义是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．圆锥曲线的参数方程不是惟一的剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不惟一的．例如，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ的形式，也可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝b cos θ的形式，二者只是形式上不同而已，实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也不同．题型一 求圆锥曲线的参数方程【例1】 椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是25，求椭圆的参数方程．分析：可先根据题目条件求出椭圆的普通方程，然后化为参数方程．反思：求参数方程的关键是选准参数，有时可选的参数并不惟一，这时要选择一个恰当的．另外求参数方程比较困难时，也可以先求出它的普通方程，再化为参数方程．题型二 圆锥曲线普通方程与参数方程的互化【例2】 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θsin θ＋cos θ，y ＝sin θsin θ＋cos θ(θ为参数)表示什么曲线？分析：消去参数，化为普通方程再判断．反思：有些参数方程很难直接看出它所表示的曲线类型，这时只需先把它化为普通方程再作研究即可．题型三 圆锥曲线参数方程的应用【例3】 设M 为抛物线y 2＝2x 上的动点，给定点M 0(－1,0)，点P 为线段M 0M 的中点，求点P 的轨迹方程．分析：合理选取参数，将抛物线方程转化为参数方程，再寻求解题方法． 题型四 易错辨析【例4】 已知P 为椭圆x 216＋y 212＝1上一点，且∠POx ＝π3，求点P 的坐标．错解：设点P 的坐标为(x ，y )，如图所示， 由椭圆的参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos π3，y ＝23sin π3，即P 的坐标为(2,3)．答案：【例1】 解：由题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，则a ＝3，c ＝5， ∴b ＝2，∴椭圆的普通方程为x 232＋y 222＝1，化为参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．【例2】 解：∵x ＝cos θ·sin θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋12，∴x －12＝sin 2θ＋cos 2θ2.∵y ＝sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ－cos 2θ＋12，∴y －12＝sin 2θ－cos 2θ2.∴(x －12)2＋(y －12)2＝1＋2sin 2θcos 2θ＋1－2sin 2θcos 2θ4＝12.∴原参数方程表示的曲线是圆心为(12，12)，半径为22的圆．【例3】 解：令y ＝2t ，则x ＝y 22＝2t 2，得抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)，则设动点M (2t 2,2t )，定点M 0(－1,0)．设点P 的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－1＋2t2，y ＝120＋2t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12＋t2，y ＝t(t 为参数)，这就是点P 的轨迹的参数方程．化为普通方程是y 2＝x ＋12.这是以x 轴为对称轴，顶点在(－12，0)的抛物线．【例4】 错因分析：椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ和圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ中，参数φ的意义是不同的．在圆的方程中，φ是圆周上的动点M (x ，y )所对应的角∠xOM ，而椭圆方程中的φ，其意义却不是这样，上述解答把椭圆方程中φ的意义错混为圆的方程中φ的意义，从而导致了解答的错误．正解：设|OP |＝t ，点P 的坐标为(t cos π3，t sin π3)，代入椭圆方程得12t 216＋32t 212＝1，即t ＝855，所以点P 的坐标为(455，4515)．1椭圆2cos ,5sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的焦距为( )．21．22129 D ．2292椭圆45cos ,3sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)的焦点坐标为( )．A ．(0,0)，(0，－8)B ．(0,0)，(－8,0)C ．(0,0)，(0,8)D ．(0,0)，(8,0)3参数方程2cos ,sin x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)所表示的曲线为( )．A ．抛物线的一部分B ．抛物线C ．双曲线的一部分D ．双曲线4实数x ，y 满足221169x y +=，则z ＝x －y 的最大值为________，最小值为________． 5如图，由椭圆2249x y +＝1上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．答案：1．B2．D 利用平方关系化为普通方程：22(4)259x y -+＝1. 3．A4．5 －5 由椭圆的参数方程，可设x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，∴z ＝x －y ＝4cos θ－3sin θ＝5cos (θ＋φ)，其中φ为锐角，且tan φ＝34.∴－5≤z ≤5.5．解：椭圆2249x y +＝1的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，∴设M (2cos θ，3sin θ)，P (x ，y )，则N (2cos θ，0)，∴2cos 2cos 2cos ,23sin ,2x y θθθθ+⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 消去θ，得22449x y +＝1， 即点P 的轨迹方程为22449x y +＝1.。
湖南省蓝山二中高二数学《第二讲 参数方程 三、直线的参数方程(二)》教案 新人教A版
湖南省蓝山二中高二数学《第二讲 参数方程 三、直线的参数方程（二）》教案 新人教A 版知识与技能：理解直线的参数方程，掌握参数方程的应用.过程与方法：通过学习直线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法.情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学的现实应用价值，从而提高学习数学的兴趣，坚定信心.教学过程：复习回顾经过点M 0 (x 0, y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)( sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα例1. 当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成，并以40km ，并以10kmm 的速度不断增大），那么问题又该如何解决？例2. 如图所示， AB ，CD 是中心为O 的 的椭圆的两条相交弦，交点为P .两弦AB ，CD 与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2.求证：|PA|· |PB|＝|PC|· |PD|.课堂练习1. 经过抛物线y 2＝2px (p ＞0)外的一点A (－2, －4)且倾斜角为45o 的直线l 与抛物线分别交于M 1，M2.如果|AM 1|，|M 1M 2|，|AM 2|成等比数列，求p 的值.)( )( 60sin 330cos 2.2o o D t t y t x 等于的倾斜角为参数直线α⎪⎩⎪⎨⎧-=+-= o o o o 135.D 45.C 60.B 30.A -)( 9 )( 221.322B y x t ty t x 截得的弦长等于被圆为参数直线=+⎩⎨⎧+=+= 1059.D 529.C 5512.B 512.A )(22,3)( )( 2322.4C P t ty t x 的点的坐标是的距离等于上与点为参数直线-⎩⎨⎧+=--=)1,0()5,4.(D )2,1()4,3.(C )4,3.(B )5,4.(A 或或-----)( )( sin cos .521B M BC t t C B t t b y t a x 对应的参数值是的中点，则线段、的参数值分别为两点，它们对应、所表示的曲线上有为参数在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθ2.D 2.C 2.B 2.A 21212121t t t t t t t t +-+- .171720)6,3(421.6到该直线的距离是，则点设直线的参数方程⎩⎨⎧-=+-=ty t x.13||2:)(13431364 )3,4(.721==-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=PQ Q y x l t t y t x l P ，则的交点为，它与直线为参数的参数方程为的直线过点课后作业教材P.39习题2.3第1、2题.。
高中数学第2章圆锥曲线与方程24圆锥曲线的应用课件湘教版选修2
解：建立如图所示的坐标系，设椭圆方程为 xa22＋by22＝1(a>b>0)． 依题意有 2a＝4，2b＝2 3， 所以 a＝2，b＝ 3，c＝1， 故椭圆方程为x42＋y32＝1，F 为(－1，0)， 将 x＝－1 代入椭圆方程得 y＝±32， 即彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离为 1.5cm.
【解】 设所求轨道方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)， c＝ a2－b2.因为 a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34， 所以 a＝438，c＝396， 于是 b2＝a2－c2＝35 028. 所以所求轨道方程为191x2844＋35y0228＝1.
设变轨时，探测器位于 P(x0，y0)，则 x20＋y20＝ab≈81 975.1，191x20844＋35y02028＝1， 解得 x0≈239.7，y0≈156.7(由题意 x0>0，y0>0)． 所以探测器在变轨时与火星表面的距离为
复习课件
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4圆锥曲线的应用课件湘教版选修2
2021/4/17
高中数学第2章圆锥曲线与方程24圆锥曲线的应用课件湘教 版选修2
第2章 圆锥曲线与方程
2．4 圆锥曲线的应用
第2章 圆锥曲线与方程
1.掌握圆锥曲线的概念、性质． 2.能利用圆锥曲线的 有关性质解决实际问题．
利用两个观测点 A、B 测得同一点 P 发出的信号时间差，可以 确定 P 所在双曲线方程．利用 A、C 两处测得的点 P 发出信号 的时间相同，求得 P 在直线 y＝－x 上．联立方程组，从而确定 点 P 位置，这是双曲线的一个重要应用．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
与双曲线有关的实际应用问题 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报 告．正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点 听到巨响的时间比其他两观测点晚 4s．已知各观测点到该中心 的距离都是 1 020m．试确定该巨响发生的位置．(假设当时声 音传播的速度为 340m/s，相关各点均在同一平面上)
湖南省蓝山二中高二数学(第二讲 参数方程 二、圆锥曲线的参数方程(三))教案 新人教A版 教案
某某省蓝山二中高二数学《第二讲 参数方程 二、圆锥曲线的参数方程（三）》教案 新人教A 版知识与技能：理解双曲线的参数方程，掌握参数方程的应用.过程与方法：通过学习圆锥曲线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法.情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学的现实应用价值，从而提高学习数学的兴趣，坚定信心.教学过程：一、复习 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的一个参数方程) (.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 将下列参数方程化为普通方程.⎩⎨⎧==ϕϕcos 2sin 3.1y x ⎩⎨⎧=+=ϕϕϕcos cos sin .2y x 为参数）ϕϕϕϕ(cos sin cos 1.3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 二、新课双曲线的参数方程 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的参数方程 ) (.tan ,sec 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .232),[0,2 πϕπϕπϕ≠≠∈，且 以原点O 为圆心，a ，b (a ＞0,b ＞0)为半径分别作同心圆C 1，C 2.设A 为圆C 1上的任一点，作直线OA ，过点A 作圆C 1的切线与x 轴交于点A'，过圆C 2与x 轴的交点B 作 圆C 2的切线BB'与直线OA 交于点B'.过点A'，B'分别作y 轴，x 轴的平行线A'M ，B'M 交于点M .问题：求点M 的参数方程.O ϕA点M 的轨迹的参数方程是) (.tan ,sec 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 通常规定参数ϕ的X 围为.232),[0,2 πϕπϕπϕ≠≠∈，且思考 类比椭圆的参数方程，从双曲线的参数方程中可以得出哪些结论?椭圆的参数方程) (.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 双曲线的参数方程) (.tan ,sec 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角（称为点M 的离心角），而不是OM 的旋转角.例1. 设M 为双曲线)0,(12222>=-b a by a x 上任意一点，O 为原点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A 、B 两点.探究平行四边 形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？课堂小结双曲线的参数方程) (.tan ,sec 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .232),[0,2 πϕπϕπϕ≠≠∈，且课后作业.)(sec 6tan 32.1的焦点为参数求曲线ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x 2.教材P34 第3题.。
湖南省蓝山二中高二数学《函数及其表示》学案 文 人教版
湖南省蓝山二中高二数学《函数及其表示》学案 文 人教版基础知识1. 设A 、B 是非空集的数集，如果按照某个对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A →B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ，其中x 叫做自变量，它的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做_函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域2. 设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的____任意一个元素x _______________，在集合B 中都有______唯一确定的元素y ____________与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A →B 的一个___映射_______.3. 函数的表示法：函数的三种表示方法：_______解析法、图象法和列表法练习 1. 求下列函数的定义域：.131)( )2( ;741)( )1(-++-=+=x x x f x x f2. 已知函数f (x )＝3x 3＋2x.(1)求f (2)，f (－2)，f (2)＋f (－2)的值；(2)求f (a )，f (－a )，f (a )＋f (－a )的值.3. 判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：(1)表示炮弹飞行高度h 与时间t 的关系函数h ＝130t －5t 2和二次函数y ＝130x －5x 2；(2) f (x )＝1和g (x )＝x 0.4. 如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为y cm 2，把y 表示为x 的函数.5. 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事. x(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；(2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.6. 画出函数y＝－|x －2|的图象.中的元素是什么？相对应的中元素中的元素是什么？与对应的相中元素与的映射是“求正弦”，到，从，是锐角设A B B A B A B x x A 2260)1,0(}|{.7o==8. 求下列函数的定义域：.14)()4( ;236)()3( ;)()2( ;43)()1(22--=+-==-=x x x f x x x f x x f x x x f9 下列哪一组中的函数f (x )与g (x )相等？.)( ,)()3( ;)()( ,)()2( ;1)( ,1)()1(362422x x g x x f x x g x x f x x x g x x f ====-=-=10. 已知函数, 62)(-+=x x x f (1) 点(3,14)在f (x )的图象上吗 ？(2) 当x ＝4时，求f (x )的值；(3) 当f (x )＝2时，求x 的值.11. 如图，矩形的面积为10.如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，那么你能获得关于这些量的哪些函数？dx12. 一个圆柱形容器的底部直径是d cm，高是h cm.现在以v cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度x cm关于注入溶液的时间t s的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.13. 设集合A＝{a，b，c}，B＝{0，1}.试问：从A到B的映射共有几个？并将它们分别表示出来.课后作业1.阅读必修1教材第一章；2.教材P.24习题1.2第3，4，6，7题.。
湘教版高中数学选修4-4 2.3圆锥曲线的参数方程_教案设计
圆锥曲线的参数方程【教学目标】圆锥曲线的参数方程及其与普通方程的关系，系数a ，b 的含义；【教学重难点】圆锥曲线参数方程的推导及应用，参数方程与普通方程的相互转化。
【教学过程】一、圆的参数方程写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
（1）圆参数方程。
（2）圆参数方程。
二、椭圆的参数方程类比圆的参数方程，能写出椭圆的参数方程吗？问题：以坐标原点O 为圆心，分别以A 、B(a>b>0)为半径作两个圆。
点A 是大圆上任意一点，点B 是大圆半径与小圆的交点，过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，再过点B 作BM ⊥AN 于点M 。
求当半径OA 绕点O 旋转时，点M 的轨迹的参数方程。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为θ，点M 的坐标是(x ，y)。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点A ，B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有x ＝ON ＝|OA|cos θ＝acos θ，y ＝NM ＝|OB|sin θ＝bsin θ。
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是即 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x (θ为参数)。
这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
常数A 、B 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。
在椭圆的参数方程中，通常规定参数θ的范围为[0,2)ϕπ∈。
222x y r +=20220()()x x y y r -+-=椭圆的参数方程中参数ϕ的意义与圆的参数方程r cos y rsin x θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)中参数θ的意义类似吗？由图可以看出，参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角），不是OM 的旋转角。
参数θ是半径OM 的旋转角。
焦点在y 轴上的椭圆的参数方程：2222y 1,b a x += 练习： 已知椭圆4922y x +＝1，点M 是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM ＝60°。
湘教版高中数学选修4-4 2.3圆锥曲线的参数方程_学案设计(学生版)
12222=-b y a x 圆锥曲线的参数方程【学习目标】1．知识目标：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义。
2．能力目标：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。
3．德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
【学习重难点】圆锥曲线的参数方程的定义和方法。
【知识链接】复习1：圆的参数方程及参数的几何意义是什么？圆x 2+y 2=r 2(r>0)的参数方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的参数方程：其中参数的几何意义为：复习2：圆的参数方程是怎样推导出来的呢？【学习指导】分组讨论学习法、探究式【学习过程】一、自主学习：（预习）椭圆 的参数方程为的几何意义是什么？双曲线 的参数方程为________________________抛物线的参数方程是_____________________，其中at tan 1= )0(12222>>=+b a b y a x ϕ,,b a二、合作探究：参数方程的推导过程是怎样的？三、巩固练习A 类1．椭圆 的两个焦点坐标是（ ）2．双曲线23(6sec x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）的两焦点坐标是 。
3．参数方程所表示的曲线为（ ） A ．抛物线的一部分 B ．一条抛物线C ．双曲线的一部分D ．一条双曲线B 类1．已知某条曲线的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21)1(21a a y a a x 其中a 是参数，则该曲线是（ ）A 线段B 圆C 双曲线的一部分D 圆的一部分2．设P 是椭圆在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标。
2cos ()sin x y θθθ⎧=⎨=⎩为参数223641y x +=为参数）ϕϕϕ(sin 5cos 3⎩⎨⎧==y x )3,0(),3,0.(-A )0,4(),0,4.(-C )0,5(),0,5.(-D )4,0(),4,0.(-B3．设炮弹发射角为α，发射速度为0v ，（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）（2）若s m V o /100=，6πα=，当炮弹发出2秒时，求炮弹高度和炮弹的射程。
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湖南省蓝山二中高二数学《第二讲 参数方程 二、圆锥曲线的
参数方程（三）》教案 新人教A 版
知识与技能：理解双曲线的参数方程，掌握参数方程的应用.
过程与方法：通过学习圆锥曲线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法. 情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学的现实应用价值，从而提高学习数学的
兴趣，坚定信心.
教学过程：
一、复习
椭圆 )0(12222>>=+b a b y a x 的一个参数方程) (.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩
⎨⎧==b y a x 将下列参数方程化为普通方程.
⎩⎨⎧==ϕϕcos 2sin 3.1y x ⎩⎨⎧=+=ϕϕϕcos cos sin .2y x 为参数）ϕϕϕϕ(cos sin cos 1.3⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==y x 二、新课
双曲线的参数方程
双曲线 )0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的参数方程 ) (.tan ,sec 为参数ϕϕϕ⎩
⎨⎧==b y a x .232),[0,2 πϕπϕπϕ≠≠∈，且 以原点O 为圆心，a ，b (a ＞0,b ＞0)为半径分别作同心圆C 1，C 2.设A 为圆C 1上的任一点，作直线OA ，过点A 作圆C 1的切线与x 轴交于点A'，过圆C 2与x 轴的交
点B 作
圆C 2的切线BB'与直线OA 交于点B'.过点A'，B'分别作y 轴，x 轴的平行线A'M ，B'M 交于点M .
问题：求点M 的参数方程.
点M 的轨迹的参数方程是) (.tan ,sec 为参数ϕϕϕ⎩
⎨⎧==b y a x 通常规定参数ϕ的范围为.2
32),[0,2 πϕπϕπϕ≠≠
∈，且
思 考 类比椭圆的参数方程，从双曲线的参数方程中可以得出哪些结论?
椭圆的参数方程) (.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩
⎨⎧==b y a x 双曲线的参数方程) (.tan ,sec 为参数ϕϕϕ⎩
⎨⎧==b y a x 参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角（称为点M 的离心角），而不是OM 的旋转角.
例1. 设M 为双曲线)0,(122
22>=-b a b
y a x 上任意一点，O 为原点，过点M 作双曲
线两渐近线的平行线，分别与两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A 、B 两点.探究平行四边
形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？
课堂小结
双曲线的参数方程
) (.tan ,sec 为参数ϕϕϕ⎩
⎨⎧==b y a x .232),[0,2 πϕπϕπϕ≠≠∈，且 课后作业
.)(sec 6tan 32.1的焦点为参数求曲线ϕϕϕ⎩
⎨⎧==y x 2.教材P34 第3题.。