不动点与由迭代生成的数列
不动点迭代法原理
不动点迭代法原理一、引言不动点迭代法是一种常用的数值计算方法，用于求解函数的根或近似解。
它的原理简单而有效，被广泛应用于多个领域，如数学、物理、经济学等。
本文将详细介绍不动点迭代法的原理及其应用。
二、原理概述不动点迭代法的核心思想是将问题转化为寻找一个不动点的过程。
不动点即指一个函数与其自身的值相等的点，即f(x)=x。
如果我们能找到这样一个点，那么它就是原函数的根或近似解。
三、算法步骤不动点迭代法的算法步骤如下：1. 选择一个适当的初始值x0。
2. 根据迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似解。
3. 如果满足停止准则，即|xn+1 - xn| < ε，其中ε为预设的精度要求，则停止迭代，输出xn+1作为近似解。
4. 否则，将xn+1作为新的近似解，返回第2步继续迭代。
四、收敛性分析在使用不动点迭代法时，我们需要关注其收敛性。
若迭代过程收敛于不动点，即|xn+1 - xn|趋近于0，那么该方法是可行的。
一般来说，需要满足以下两个条件：1. 函数g(x)在待求解区间上连续。
2. 在待求解区间上，g(x)的导数的绝对值小于1，即|g'(x)| < 1。
五、实例应用1. 方程求解考虑求解方程f(x) = 0的根。
我们可以将其转化为求解f(x) = x 的不动点问题。
选择一个合适的g(x)，通过不动点迭代法求解出近似解。
2. 经济学模型在经济学中，不动点迭代法被广泛用于求解均衡状态。
例如，在价格调整模型中，我们可以通过不动点迭代法求解出市场均衡价格。
3. 数值计算在数值计算中，不动点迭代法常用于求解线性方程组、矩阵特征值等问题。
通过将问题转化为不动点问题，可以利用迭代法求解出近似解。
六、优缺点分析不动点迭代法有以下优点：1. 原理简单，易于理解和实现。
2. 在一定条件下，具有较好的收敛性。
3. 可以应用于多个领域，具有广泛的适用性。
然而，不动点迭代法也存在一些缺点：1. 收敛速度较慢，可能需要进行多次迭代才能达到预设的精度要求。
用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式
用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式特征根法和不动点法是两种常用的方法来求解递推数列的通项公式。
本文将从这两个角度详细介绍这两种求解方法，并举例说明其应用。
一、特征根法（Characteristic Root Method）特征根法是一种基于代数方法的求解递推数列通项公式的方法，它通过寻找递推关系式的特征根来获取通项公式。
1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。
（2）设通项公式：假设递推数列的通项公式为Un=a^n。
（3）代入递推关系式：将通项公式Un=a^n代入递推关系式，得到方程Un=P(Un-1,Un-2,...,Un-k)，其中P为k个变量的多项式函数。
（4）寻找特征根：解方程Un=0，得到特征根r1，r2，...，rk。
（5）确定通项公式：根据特征根，得到通项公式Un=C1*r1^n+C2*r2^n+...+Ck*rk^n，其中C1，C2，...，Ck为待定系数。
（6）确定待定系数：利用已知序列的初始条件，求解待定系数，得到最终的通项公式。
2.示例：求解递推数列Un=3Un-1-2Un-2，已知U0=1，U1=2（1）建立递推关系式：Un=3Un-1-2Un-2（2）设通项公式：Un=a^n。
（3）代入递推关系式：a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)。
（4）寻找特征根：解方程a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)，得到特征根a=2，a=1（5）确定通项公式：Un=C1*2^n+C2*1^n。
（6）确定待定系数：利用初始条件U0=1，U1=2，得到方程组C1+C2=1，2C1+C2=2，解得C1=1，C2=0。
最终的通项公式为Un=2^n。
二、不动点法（Fixed Point Method）不动点法是一种基于迭代的求解递推数列通项公式的方法，它通过设定一个迭代公式，求解极限来获得通项公式。
1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。
斐波那契数列的通项求法不动点法
斐波那契数列是一个非常著名的数列，它由如下的递归关系定义：F(0) = 0,F(1) = 1,F(n) = F(n-1) + F(n-2) 对于n >= 2。
对于这个数列的通项公式（即直接计算第n项的公式而不需要计算之前所有项的值），存在一个非常著名的公式，称为Binet公式：F(n) = (φ^n - ψ^n) / √5，其中，φ= (1 + √5) / 2 约等于1.618033988749895...（黄金分割比），ψ = (1 - √5) / 2 约等于-0.618033988749895...。
这两个数实际上是方程x^2 - x - 1 = 0 的两个解。
不动点法是求解具有递归关系的数列通项的一种方法，它基于的思想是寻找一个函数的不动点（这里的不动点指的是满足f(x) = x的点），这在函数迭代和分形理论中非常常见。
但是，必须说明的是，斐波那契数列的通项公式并不是通过不动点法得出的。
不动点法在斐波那契数列的直接计算中并不是标准做法。
在数学中，不动点通常是指在迭代过程中不会改变的点。
例如，对于某个函数f(x)，如果存在x*使得f(x*) = x*，则称x*为f的不动点。
但是对于斐波那契数列，我们通常不使用不动点法来求取其通项公式，因为现有的递推关系和Binet公式已经非常简洁且易于计算。
为了计算斐波那契数列的项，我们通常依赖于递归计算、Binet公式或者使用动态规划这类编程技术来避免重复计算已求出的项。
这些方法在实践中更加常见和有效。
要理解不动点的概念，一个简单的例子就是函数f(x) = x^2。
假设我们想要找到满足f(x) = x 的x值，我们可以简单求解方程x^2 = x，得到两个解x=0和x=1。
其中0和1就是这个函数的不动点。
不过这个例子和斐波那契数列的求解并没有直接关联。
总的来说，斐波那契数列的通项是通过数学推导得出的Binet公式，而不是通过不动点法，后者在其他类型的问题中更为常见，特别是在分析动态系统和迭代函数时。
高中数学 用不动点法求数列的通项论
用不动点法求数列的通项定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.证明：因为 p 是)(x f 的不动点p b ap =+∴ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠（1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qca pca k --=）（2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则k p a p a n n +-=--111 （这里da c k +=2）证明：由x x f =)(得x dcx bax x f =++=)(，所以0)(2=--+b x a d cx（1）因为q p ,是不动点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以 q a pa qc a pc a qc ab qd a pc a bpd a qca pc a qdb a qc a pd b a pc a qdca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅--=------⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qca pca k --=，则q a p a k q a p a n n n n--=----11（2）因为p 是方程0)(2=--+b x a d cx 的唯一解，所以0)(2=--+b p a d cp 所以ap cp pd b -=-2，cda p 2-=所以 dca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111))(()()(所以da c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令da ck +=2，则k p a p a n n +-=--111 例1：设}{n a 满足*11,2,1N n a a a a nn n ∈+==+，求数列}{n a 的通项公式 解：作函数xx x f 2)(+=，解方程x x f =)(求出不动点1,2-==q p ，于是 12212221211+-⋅-=++-+=+-++n n n n n n n n a a a a a a a a ，逐次迭代得n n n na a a a )21(12)21(12111-=+-⋅-=+-- 由此解得nn n n n a )1(2)1(21---+=+ 例2：数列}{n a 满足下列关系：0,2,2211≠-==+a a a a a a a nn ，求数列}{n a 的通项公式解：作函数xa a x f 22)(-=，解方程x x f =)(求出不动点a p =，于是a a a a a a a a aa a a a a aa n n n nn n 11)(1211221+-=-=-=--=-+ 所以}1{a a n -是以a a a 111=-为首项，公差为a1的等差数列 所以a n a n a a n a a a a n =⋅-+=⋅-+-=-1)1(11)1(111，所以naa a n +=定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a fex cbx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++证明: k x 是)(x f 的两个不动点∴fex c bx ax x k k k k +++=2即k k k bx x a e f x c --=-2)()2,1(=k∴222221211222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++⇔22222112222221211222)()()()(x u x u x u x u bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+ ⇔22222112222221211222)()(x u x u x u x u abx x a e u a ex b u a bx x a e u a ex b u n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+ ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-221122x aex b x aex b ⇔⎩⎨⎧=-+=-+0)2(0)2(21x e a b x e a b 11 21x x 0≠ ∴方程组有唯一解a e b 2,0== 例3：已知数列}{n a 中,*211,22,2N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.解:作函数为xx x f 22)(2+=,解方程x x f =)(得)(x f 的两个不动点为2±2222211)22(22222222222222+-=++-+=++-+=+-++n n nn n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a再经过反复迭代,得1122211222211)2222()22()22()22(22--+-=+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-=+-=+-----n n a a a a a a a a n n n n n n由此解得11112222)22()22()22()22(2------+-++⋅=n n n n n a其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例4：已知1,011≠>a a 且)1(4162241+++=+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.解: 作函数为)1(416)(224+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为 i x i x x x 33,33,1,14321=-==-=.取1,1-==q p ,作如下代换: 423423422422411)11(146414641)1(4161)1(41611-+=+-+-++++=-+++++++=-+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 逐次迭代后,得:111141414141)1()1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
04-不动点解决递推型数列不等式问题
“不动点法”解决递推型数列不等式问题数列不等式历来是高中数学的重点和难点，常出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和技巧性。
尤其是浙江省的高考，最近几年压轴题中连续考到递推型数列不等式，解决递推型数列不等式的一般方法是利用“不动点”来解决问题，要计算变比()n q a 在不动点处的函数值来进一步判定数列的类型是“裂项相消型”还是“等比型”，从而进行进一步地放缩。
一、 知识方法 1、不动点的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为D ,若存在实数0x D ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点。
对定义的理解： 代数角度：0x 为方程()f x x =的实数根； 几何角度：0x 为函数()y f x =与y x =图像交点的横坐标。
2、简单迭代数列任取初始值1a ，并且()()*1n n a f a n N +=∈，则得到数列{}n a 。
二次递推：()2f x ax bx c =++一次分式递推：()ax bf x cx d+=+根式递推：()f x d =双勾递推：()()0,0bf x ax c a b x=++>> 等等。
3、“五步法”求解递推型问题模型：已知数列{}n a 满足1a a =，()()*1n n a f a n N +=∈。
第1步：找出迭代函数()f x ；第2步：求出迭代函数的不动点：由()f x x =，得0x x =；通过猜想式画图或特殊值法得到n a 的初始范围。
第3步：“中心化”再作商得到“变比”()n q a ，研究数列在不动点附近的性质：求出()100n n n a x q a a x +-=-，分析()n q a （由变比的同号法则先证n a 的初始范围中和不动点有关的这边，然后再利用作差法或作商法或数学归纳法证明n a 的单调性，即得n a 的初始范围中和首项有关的这边）。
第4步：计算“变比”()n q a 在不动点处的函数值，判定数列类型：（1） 若()01q x =，则数列为“裂项相消型”。
函数迭代不动点法的运用
函数迭代不动点法的运用
函数迭代不动点法（Fixed-Point Iteration Method）是一种数值计算方法，用于寻找函数的不动点（即满足f(x) = x的点），通常用于解非线性方程的近似解。
迭代不动点法可以通过重复应用函数的迭代过程，逐步逼近不动点。
该方法的基本思想是先将原方程转换为等价的形式，使其可以通过迭代求解。
以下是函数迭代不动点法的一般步骤：
1.将原始方程f(x) = x转换为x = g(x)的形式，其中g(x)是一个
新函数。
2.选择一个初始近似值x0。
3.迭代过程：重复应用迭代公式xn+1 = g(xn)，直到满足停止
准则，例如达到所需的精度或迭代次数。
4.返回最终的逼近解xn，即不动点的近似值。
函数迭代不动点法的成功与否与选择的迭代函数g(x)密切相关。
选择适当的迭代函数是关键。
一个有效的选择应该满足以下条件：
•g(x)在迭代区间（通常是一个区间）内连续。
•g(x)在迭代区间内有唯一的不动点（x = g(x)的解）。
•迭代函数g(x)对于初始近似值x0收敛到不动点。
但需要注意的是，并不是所有的函数都适合使用函数迭代不动点法。
某些函数可能在特定区间内不满足上述条件，导致迭代不收敛或产生不稳定的结果。
函数迭代不动点法在数学和计算科学中有广泛的应用，如解方程、求解非线性方程组和优化问题等。
它是一种简单且直观的方法，但在实践中需要认真选择迭代函数，并控制迭代过程以避免不收敛或产生误差。
数列递推与不动点
数列与不动点 1 / 10递推数列与不动点班别： 姓名： .一、 知识讲解通过之前的学习，同学们已经对数列有了进一步的认识。
大家回忆一下，我们之前学过一类由数列的递推关系式求数列的通项公式的题型.另外，在必修5的课本中谈到数列的概念的时候，特别的说到了，数列{}n a 的通项公式，可以看作定义在正整数集上函数。
本节课，我们将从函数的角度数列的递推关系的相关问题.定义 1: 非空集合X 上的函数:f X X →，数列{}n a 满足：0a X ∈，()1n n a f a +=.我们则称数列{}n a 为函数f 的一阶递推数列，函数f 称为数列{}n a 的递推函数.定义2：非空集合X 上的函数:f X X →，x X ∈，n N ∈，记()0f x x =，()()1f x f x =，()()()2f x f f x =，……，()()()n n ff x f ff x =个，我们称函数()n f x 为函数()f x 的n 次迭代.注1：根据迭代的定义，不难证明：对任意的,m n N ∈， 都有()()()()()m n n m m n f x f f x f f x +==注2：其递推数列与函数的迭代，这两个概念是等价的，令0a x =，则对任意的n N ∈，都有()n n a f x =。
定义3： 定义在非空集合X 上的函数()f x ，0x X ∈，满足：()00f x x =.则我们称0x x =为函数()f x 的不动点.注：1、考察函数()f x 的n 次迭代()n f x 的不动点，也就是设0x X ∈，且满足：()00n f x x =.则对任意的m N ∈，都有()()()()000m n m n m f x f f x f x +==，此时，()0m f x 是一个以n 为周期迭代函数..2、若0x 是函数()f x 的不动点，数列{}n a 满足：()001,n n a x a f a +==，则{}n a 是一个恒等于0x 的常数列；若0x 是函数()n f x 的不动点，数列{}m a 满足：()001,m m a x a f a +==，则{}m a 是一个以T 为周期的数列.数列与不动点 2 / 10为什么叫不动点呢？大家想想不动该怎么理解呢? 我们可以这么理解，在函数:f X X →的作用下，集合X 中的每一个x ，都与集合X 中都存在唯一的元素y 对应，也就是fx y −−→.而不动点在函数:f X X →的作用下，所得的结果没有发生变化，所以称为不动点.下面举一个生活中的例子来理解不动点的概念.如图所示，将一幅地图X ，比如中国地图，缩小得到新的地图'X ，然后任意放入原来的地图中，也就是'X X ⊆.这样的话，我们可以定义一个类似函数的对应关系:'f X X →，地图X 中的每一个点A 都对应地图'X 中的'A ，使得A 和'A 能表示同一个地点.比如，北京在地图X 中的位置与北京在地图'X 中的点对应。
不动点法求数列通项的原理
不动点法求数列通项的原理
一、不动点法(特征根法)的概念
不动点法，又称特征根法，是一种用于解决数列求通项的有效方法，该方法通过求解特征根或不动点来求出数列通项。
二、不动点法(特征根法)的原理
不动点法，是把数列的运算转化为求解特征根的问题。
特征根，是指使得其中一特定数列值不变的数。
通常情况下，当一个数列的通项具有对数函数的形式时，它的公式可以求出，但如果它具有指数函数的形式时，就不能用常规的方法求出。
此时，可以用不动点法来求出该数列的通项。
不动点法的基本步骤为：
（1）将数列的前n项归纳成一个大的等比数列；
（2）建立等比数列的递推关系式；
（3）求解递推关系式的特征根；
（4）根据特征根求出数列的通项。
例如，解数列{an}的通项
要解这个数列的通项，可以先将数列归纳成一个大的等比数列，即显然，等比数列 {an} 的公比 = q = 3 ，自然数 n 的取值范围是0 ≤ n ≤ 7
接下来，建立等比数列的递推关系式：
an+1=3·an
可以把它写成递推公式的一般形式：an+1-3an=0
特征方程可以由上式求出：
lamda^2-3lamda+1=0
两个根分别是
lamda_1=1
lamda_2=3
这样，就可以求出数列通项，即
an=A·1^n + B·3^n
设a0=7
则有A+B=7，a1=21，则有3A+B=21。
分式数列不动点法
分式数列不动点法分式数列不动点法是一种数学方法，用于寻找分式数列的不动点。
不动点是指在一个函数中，当输入等于输出时，即f(x) = x。
在分式数列中，不动点即为分式数列的通项公式中的变量与其后一项的值相等的情况。
分式数列不动点法可以用来解决一些与分式数列相关的问题，例如寻找分式数列的极限值、确定分式数列的收敛性等。
下面将详细介绍分式数列不动点法的原理和应用。
我们来看一个简单的例子。
考虑分式数列An = 1 / (An-1 + 1)，其中A0为任意给定的初始值。
我们希望找到这个分式数列的不动点。
我们可以进行如下的计算：A1 = 1 / (A0 + 1)A2 = 1 / (A1 + 1)A3 = 1 / (A2 + 1)...我们可以观察到，当An = An-1时，即An = 1 / (An-1 + 1) = An-1。
这就是分式数列的不动点。
通过不断迭代计算，我们可以逐步逼近这个不动点的值。
分式数列不动点法的原理是基于不动点的定义和分式数列的递推关系。
通过代入不动点，我们可以得到一个方程，通过求解这个方程，即可得到不动点的值。
除了求解不动点，分式数列不动点法还可以用来判断分式数列的收敛性。
如果分式数列的不动点存在且唯一，并且分式数列的通项公式中的变量与不动点的差的绝对值小于一个给定的正数ε时，我们可以说分式数列是收敛的。
反之，如果不动点不存在或不唯一，或者通项公式中的变量与不动点的差的绝对值大于ε时，分式数列是发散的。
分式数列不动点法的应用非常广泛。
它可以用来解决一些实际问题，例如金融领域中的投资问题、物理领域中的运动问题等。
在这些问题中，我们可以将问题转化为分式数列，然后利用不动点法求解。
分式数列不动点法是一种寻找分式数列不动点的数学方法。
它可以用来解决分式数列的极限值和收敛性问题，具有广泛的应用前景。
通过不断迭代计算，我们可以逐步逼近分式数列的不动点，从而得到所需的结果。
不动点法求数列通项公式
不动点法求数列通项公式通常为了求出递推数列an+1=can+d/ean+fc、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{an}满足an+1=fan,我们就称x=fx为函数fx的不动点方程,其根称为函数fx的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{an}存在极限,an和an+1是没有区别的.首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如：an+1=an+1/an.其次,不动点有相异不动点和重合不动点.下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧.◎例1：已知a1=2,an+1=2/an+1,求通项.说明：这题是“相异不动点”的例子.先求不动点∵an+1=2/an+1∴令 x=2/x+1,解得不动点为：x=1 和 x=-2 相异不动点∴an+1-1/an+1+2 使用不动点=2/an+1-1/2/an+1+2=2-an-1/2+2an+2=-an+1/2an+4=-1/2an-1/an+2∵a1=2∴a1-1/a1+2=1/4∴{an-1/an+2}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列∴an-1/an+2=1/4-1/2^n-1解得：an=3/1--1/2^n+1-2◎例2：已知数列{an}满足a1=3,anan-1=2an-1-1,求通项.说明：这题是“重合不动点”的例子.“重合不动点”往往采用取倒数的方法.∵an=2-1/an-1∴采用不动点法,令：x=2-1/x即：x^2-2x+1=0∴x=1 重合不动点∵an=2-1/an-1∴an-1=2-1/an-1-1 使用不动点an-1=an-1-1/an-1两边取倒数,得：1/an-1=an-1/an-1-1即：1/an-1-1/an-1-1=1∵a1=3∴{1/an-1}是首项为1/a1-1=1/2,公差为1的等差数列即：1/an-1=1/2+n-1=2n-1/2∴an=2/2n-1+1=2n+1/2n-1例3：已知数列{an}满足a1=1/2,Sn=ann^2-nn-1,求通项.说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数,现在看个不动点方程系数包含n的例子.∵Sn=ann^2-nn-1∴Sn+1=an+1n+1^2-n+1n将上面两式相减,得：an+1=an+1n+1^2-ann^2-n+1n+nn-1n^2+2nan+1=ann^2+2nn+2an+1=nan+2an+1=ann/n+2+2/n+2 1采用不动点法,令：x=xn/n+2+2/n+2解得：x=1 重合不动点设：an-1=bn,则：an=bn+1 使用不动点代入1式,得：bn+1+1=bn+1n/n+2+2/n+2bn+1=bnn/n+2即：bn+1/bn=n/n+2于是：由于右边隔行约分,多写几行看得清楚点bn/bn-1=n-1/n+1 这里保留分母bn-1/bn-2=n-2/n 这里保留分母bn-2/bn-3=n-3/n-1bn-3/bn-4=n-4/n-2.b5/b4=4/6b4/b3=3/5b3/b2=2/4 这里保留分子b2/b1=1/3 这里保留分子将上述各项左右各自累乘,得：bn/b1=12/nn+1∵a1=1/2∴b1=a1-1=-1/2∴bn=-1/nn+1∴通项an=bn+1=1-1/nn+1◎例4：已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+1/3,求通项.说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法,也可以采用其他解法. ∵an+1=2an+1/3求不动点：x=2x+1/3,得：x=1 重合不动点∴an+1-1=2an+1/3-1 使用不动点即：an+1-1=2/3an-1∴{an-1}是首项为a1-1=1,公比为2/3的等比数列即：an-1=2/3^n-1∴an=1+2/3^n-1又∵an+1=2an+1/3∴3an+1=2an+1这时也可以用待定系数法,甚至直接用观察法,即可得到：3an+1-3=2an-2∴an+1-1=2/3an-1下面同上◎例5：已知数列{xn}满足x1=2,xn+1=xn^2+2/2xn,求通项.说明：现在举个不动点是无理数的例子,其中还要采用对数的方法.∵xn+1=xn^2+2/2xn∴采用不动点法,设：y=y^2+2/2yy^2=2解得不动点是：y=±√2 相异不动点为无理数∴xn+1-√2/xn+1+√2 使用不动点={xn^2+2/2xn-√2}/{xn^2+2/2xn+√2}=xn^2-2√2xn+2/xn^2+2√2xn+2={xn-√2/xn+√2}^2∵xn+1=xn^2+2/2xn=xn/2+1/xn≥2/√2=√2∴ln{xn+1-√2/xn+1+√2}=2ln{xn-√2/xn+√2} 取对数∵x1=2>√2∴x1-√2/x1+√2=3-2√2∴{lnxn-√2/xn+√2}是首项为ln3-2√2,公比为2的等比数列即：ln{xn-√2/xn+√2}=2^n-1ln3-2√2xn-√2/xn+√2=3-2√2^2^n-1xn-√2=3-2√2^2^n-1xn+√2xn-xn3-2√2^2^n-1=√23-2√2^2^n-1+√2∴xn=√2{1+3-2√2^2^n-1}/{1-3-2√2^2^n-1}◎例6：已知数列{an}满足a1=2,an+1=1+an/1-an,求通项.说明：现在举个不动点是虚数的例子,说明有些题目可以采用不动点法,但采用其他解法可能更方便.求不动点：x=1+x/1-x,即：x^2=-1,得：x1=i,x2=-i 相异不动点为虚数,i为虚数单位∴an+1-i/an+1+i 使用不动点={1+an/1-an-i}/{1+an/1-an+i}=1+an-i+ani/1+an+i-ani={1+i/1-i}{an-i/an+i}=ian-i/an+i∵a1=2∴{an-i/an+i}是首项为a1-i/a1+i=2-i/2+i,公比为i的等比数列即：an-i/an+i=2-i/2+ii^n-1an-i2+i=an+i2-ii^n-12an-2i+ian+1=2an+2i-ian+1i^n-1{2+i-2-ii^n-1}an=2i-1+2i+1i^n-1an=2i-1+2i+1i^n-1/2+i-2-ii^n-1∴an=2i-1+2-ii^n/2+i-2-ii^n-1下面用“三角代换”,看看是否更巧妙一些.∵an+1=1+an/1-an∴令an=tanθ,则an+1=tanπ/4+tanθ/1-tanπ/4tanθ=tanπ/4+θ∵θ=arctanan,π/4+θ=arctanan+1∴上面两式相减,得：arctanan+1-arctanan=π/4∵a1=2∴{arctanan}是首项为arctana1=arctan2,公差为π/4的等差数列即：arctanan=arctan2+n-1π/4∴an=tann-1π/4+arctan2。
数列特征根和不动点法解题原理
数列特征根和不动点法解题原理一、数列特征根法。
1. 原理。
- 对于二阶线性递推数列a_n + 2=pa_n+1+qa_n（p,q为常数，n∈ N^*），其特征方程为x^2=px + q。
- 设特征方程的两个根为x_1,x_2。
- 当x_1≠ x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n，其中C_1,C_2由初始条件a_1,a_2确定。
- 当x_1 = x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=(C_1+C_2n)x_1^n，同样C_1,C_2由初始条件确定。
2. 例题。
- 例1：已知数列{a_n}满足a_n + 2=3a_n+1-2a_n，且a_1=1,a_2=3，求数列{a_n}的通项公式。
- 解：特征方程为x^2=3x - 2，即x^2-3x + 2=0。
- 分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x_1=1,x_2=2。
- 所以a_n=C_1×1^n+C_2×2^n=C_1+C_2×2^n。
- 由a_1=1,a_2=3可得C_1+2C_2=1 C_1+4C_2=3。
- 用第二个方程减去第一个方程得2C_2=2，解得C_2 = 1。
- 把C_2=1代入C_1+2C_2=1得C_1=-1。
- 所以a_n=-1 + 2^n。
- 例2：已知数列{a_n}满足a_n + 2=2a_n+1-a_n，a_1=1,a_2=2，求a_n。
- 解：特征方程为x^2=2x - 1，即x^2-2x + 1 = 0。
- 解得x_1=x_2=1。
- 所以a_n=(C_1+C_2n)×1^n=C_1+C_2n。
- 由a_1=1,a_2=2可得C_1+C_2=1 C_1+2C_2=2。
- 用第二个方程减去第一个方程得C_2=1。
- 把C_2=1代入C_1+C_2=1得C_1=0。
- 所以a_n=n。
二、数列不动点法。
1. 原理。
- 对于一阶分式递推数列a_n + 1=frac{pa_n+q}{ra_n+s}（p,q,r,s为常数，r≠0），令x=(px + q)/(rx + s)，这个方程称为不动点方程。
不动点定理与Picard迭代数列的收敛性--不动点方法在大学生数学竞赛试题解题中的应用
| | | xn - xn-1| = f (xn - 1) - f (xn-2) ≤ L| xn - 1 - | xn - 2 ,0 < L < 1 ，
{ 下证 xn} 为有界变差数列．事实上，
| | | | | | | | xn - xn - 1 ≤ r xn - 1 - xn - 2 ≤ r2 xn - 2 - xn - 3 ≤ ⋯ ≤ rn - 2 x2 - x1 (n ≥ 3) ，
第 42 卷第 3 期 2021 年 6 月
韩山师范学院学报 Journal of Hanshan Normal University
Vol.42 No.3 Jun.2021
不动点定理与 Picard 迭代数列的收敛性
——不动点方法在大学生数学竞赛试题解题中的应用
许绍元 1，程素玉 2
（1．韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041；2．韩山师范学院 图书馆，广东 潮州 521041）
( ) xn + 1 = f (xn) ， 令 n → ∞ ， 由 函 数 f (x) 的 连 续 性 有 nli→m∞xn + 1 = nli→m∞ f (xn) = f nli→m∞xn ， 即 x0 = f (x0) ． 下 证
x0 = 0 ．反证法．若 x0≠ 0 则 0 < x0 < a ，再由题设可知 x0 = f (x0) < x0 ，矛盾．故 nli→m∞xn = 0 ．证毕． 在定理 1 中，将 f (x) 的定义域扩大为 [0, +∞) ，得到下面的结论． 推论1 设函数 f (x) 在 [0, +∞) 上连续，且 0 < f (x) < x,x ∈(0, +∞) ．作Picard迭代 xn + 1 = f (xn), x1∈(0, +∞) ．
数值分析(不动点迭代) ppt课件
| xn x* | L | xn1 x* |
12/22
| xn x* | Ln | x0 x* |
lim
n
|
xn
x*
|
lim
n
Ln
|
x0
x*
|
0
( 0<L<1 )
所以,
lim
n
xn
x*
故迭代格式收敛
| xn x* || xn xn1 xn1 x* |
| xn xn1 | | xn1 x* || xn xn1 | L | xn x* |
( x) (1 ( x))x ( x)( x) ( x) 0 ( x) 1
1 ( x)
( x) (( x)) ( x) (x) x
加速收敛序列
xn1
xn
( ( xn ) xn )2 (( xn )) 2( xn )
xn
21/22
迭代法思想:
|(x) | 1
收敛性
( x*) ( x*) L (r1) ( x*) 0 (r)( x*) 0
而 ( p) ( x*) 0 则 xn1 ( xn ) p阶收敛
由Taylor公式
|
xn1
x* || ( xn ) ( x*) |
|
xn
x* |p p!
| ( p) (n ) |
其中, n 介于xn和x*之间. 所以
lim
n
| |
xn1 x* | xn x* | p
1 p!
lim
xn1 ( xn ), n=0,1,2,L
是如收果敛数的列。{xxn*}是是非有线极性限方x程* 的ln根im,
xn , 则称迭代
( x) 的不动点。
不动点法求解数列
不动点法求解数列不动点法是一种经典的数学概念，它是指数列上的某个元素，它不受数列中其他元素变化而变化。
因此，当处于不动点位置时，它可以被视为一个“静态”或“定式”的数列。
不动点是指数列中，值始终保持不变的元素，任意对其他元素的改变都不会影响其值的数列元素。
使用不动点法求解数列的概念非常简单，但与实际应用的不同，它们的运用也是比较复杂的。
首先，我们需要确定数列的不动点，然后在数列中定义一个独立的等式，观察这个等式的解，并将其作为数列的某个元素。
接下来，对数列中剩余所有元素进行运算，从而求出不动点的值，最后，将这个数列的不动点作为解决整个数列的依据。
由于不动点的特征，解决数列的方法不同于一般的线性方程组解决方法。
与一般线性方程组不同，不动点法是一种模型化的技术，而一般线性方程组求解则是一种基于数据分析的技术。
因此，不动点法在求解数列时更加简洁高效。
不动点法求解数列也有其优势，可以减少计算时间和复杂度。
由于数列使用不动点，只要设定一个独立等式，即可求解整个数列，而不需要逐个求解数列中的每个元素。
而一般线性方程组的求解，需要对数列中的每个元素进行计算，才能得出解。
因此，使用不动点法求解数列，可以更有效地节省计算时间，并减小计算复杂度。
虽然不动点法求解数列有其优势，但它也有一定的局限性。
例如，当数列具有线性特性时，不动点法可能无法求解整个数列，因为它不能揭示数列的两个部分之间的关系。
此外，应用不动点法时，还需要进行复杂的计算，以便找到最佳的不动点，同时确保不动点等式的独立性。
由于这些原因，不动点法仅能满足特定的情况，它不能解决所有的数列问题。
总之，不动点法是一种求解数列的经典方法，它可以高效地求解数列，但也有一定的局限性和复杂性。
因此，在使用不动点法求解数列时，需要考虑到它的局限性和复杂度，并根据具体的需求，确定是否进行求解。
用不动点法求数列通项
用不动点法求数列的通项定义：方程= X的根称为函数/（X）的不动点.利用递推数列/（X）的不动点，可将某些递推关系0” ==/（"“」）所确左的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若f（x） = ax + b（a^O,a^\\ p是/（劝的不动点，©满足递推关系a n = f（%）,（“ > 1）,则a n-p = - /?）,即｛a n - p］是公比为a 的等比数列.证明：因为"是/（x）的不动点ap + b = p••• b-p = -ap由a n= a • a n_｝ + b得a n - p = a-a n_x +b-p =“（"心-p）所以｛a n-p｝是公比为d的等比数列.定理2：设f（x） = ""+（c 丰 0,ad 一H 0）, ｛a”｝满足递推关系a… = f （a n_｝）, n > 1,cx + d初值条件q工_/（山）（1）：若/（x）有两个相异的不动点p、q,则乞二£ = &・竺丄工（这里《=丄二2竺）〜一q Si -q "一qc1 1 2c（2）：若/（兀）只有唯一不动点〃，则--- = -------- + k（这里k = U）a n一P 一P。
〃证明：由 /(%) = x得 /(牙)="入+ ” =小所以ex2 + (d - a)x - b = 0 cx + dP ==><q =J 一P j-q 叫T +h所以（1）因为pg是不动点，所以a _ pc qd b叫t +b eg + d(a - pc)g + b _ pd(a — gc)% 十b _ qdpd bqd _b a_qc g _ qa_qc(2)因为”是方程ex 2 +(d-a)x-b = 0的唯一解，所以cp2+(d-a)p-b = 0所以b _ pd = c]F 一 ap , p = -_ 所以2c_ aa n ^ +b _ (a — cp )5-i +b_pd _(u-cp)a fJ _｛ +cp 2 - ap _ (a 一 cp^a^ 一 p)a ” 一 p = ---------- — p = -------------------------- = ------------------------------ = -----------------------+ d eg + d fl + 〃所以1 _ 1 5一]+〃_ 1 c(% - ”)+ 〃+ 3 _ c d + cp 1 _ 1 2c------ = ------ . --------- = ------ • ----------------- = ------- + ------- • ------- = --------— -----5 _ P u _ cp g - P u _ cp n a _ cp u — cp a n ^ - p a n ^ - p a + d2c 1 1令k=^—9 则一-一 =一-一 + k〃 _ P例1：设｛给｝满足绚=1卫叶=也匸三MW NS 求数列｛心｝的通项公式2例2：数列｛〜｝满足下列关系：⑷=2么色利=2d — ”4H0,求数列｛心｝的通项公式//y- 4- bx + C定理3：设函数f(x) = — ------------ ——(G HO,0HO)有两个不同的不动点且由ex + J知利=/（绻）确定着数列｛心），那么当且仅当h = 0,e = 2a 时,⑺一"=（匕二I ），% 一勺 知一勺证明:・・・Xk 是f （x ）的两个不动点耳田一州==叫^+少一如冷+ —町=叫：+ @_M )给 + (f __ 1小 冷+i 一吃 + bi* +c-x 2(eu n + /) cm ； + (b — %)冷+c-x 2f an ； + (Z? — ex 2)u tt +(e-一娅•> 2auj + (Z? - ex x )u n +(£_□)叮- byan/ + (Z? - ex 2 )u n +(e-a)x 2^ -bx 2ax^ +bx k +cM /-2X A +X 22即 c-x k f =(e —a)x k 2于是,H 2 [ “ | 2_心「W" a " aj b 一 ex. (e 一 一 bx 、 叮+——心+ ----------------------- =---- "a a・・・'HO ・・・方程组有唯一解b = 0上=2a1 x 22 -例3：已知数列｛©｝中宀=2如=——求数列｛心｝的通项.2®其实不动点法除了解决上而所考虑的求数列通项的几种情形，还可以解决如下问题:42 t例4：已知q >0,®工1且匕+i[ *，求数列｛心｝的通项.仇(勺「+1).4 x 2]解：作函数为/« =「二匸 懈方程f(x) = /得f(x)的不动点为4x( J T +1)X] =—1,勺=1，勺=-^-/,x 4 = $/•.取/? = l,q =—1,作如下代换：勺,+6%2+]r' *43分勺田+1 = 4。
用不动点法求数列通项
用不动点法求数列的通项之马矢奏春创作时间：二O 二一年七月二十九日定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.运用递推数列)(x f 的不动点,可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种方法称为不动点法.定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点,n a 知足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ,则)(1p a a p a n n -=--,等于}{p a n -公比为a 的等比数列.证实：因为 p 是)(x f 的不动点ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---所所以}{p a n -公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ,}{n a 知足递推关系1),(1>=-n a f a n n ,初值前提)(11a f a ≠（1）：若有)(x f 两个相异的不动点q p ,,则qa pa k q a p a n n n n --⋅=----11（这里qca pca k --=）（2）：若)(x f 只有独一不动点p ,则k pa p a n n +-=--111 （这里da ck +=2）证实：由x x f =)(得x dcx bax x f =++=)(,所以0)(2=--+b x a d cx（1）因为q p ,是不动点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=qc a bqd q pc a b pd p ,所以 q a pa qc a pc a qc ab qd a pc a bpd a qca pc a qdb a qc a pd b a pc a qdca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅--=------⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qc a pca k --=,则qa p a k q a p a n n n n --=----11（2）因为p是方程0)(2=--+b x a d cx 的独一解,所以0)(2=--+b p a d cp所以ap cp pd b -=-2,cda p 2-=所以dca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111))(()()(所以da c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令da ck +=2,则k pa p a n n +-=--111例1：设}{n a 知足*11,2,1N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项公式 例2：数列}{n a 知足下列关系：0,2,2211≠-==+a a a a a a a nn ,求数列}{n a 的通项公式 定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a fex c bx ax x f 有两个不合的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当ae b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++证实: k x 是)(x f 的两个不动点∴fex cbx ax x k k kk +++=2即k k k bx x a e f x c --=-2)()2,1(=k ∴222221211222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,1121x x 0≠∴方程组有独一解a e b 2,0== 例3：已知数列}{n a 中,*211,22,2N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.其实不动点法除理解决上面所推敲的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:例4：已知1,011≠>a a 且)1(4162241+++=+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.解: 作函数为)1(416)(224+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为 i x i x x x 33,33,1,14321=-==-=.取1,1-==q p ,作如下代换: 逐次迭代后,得:111141414141)1()1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ,切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证实：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<<设p q ，为实数,αβ，是方程20x px q -+=的两个实根,数列{}n x 知足1x p =,22x p q =-,12n n n x px qx --=-（34n =，，…）．（1）证实：p αβ+=,q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）若1p =,14q =,求{}n x 的前n 项和n S ．已知函数2()1f x x x =+-,αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>）,()f x '是()f x 的导数,设11a =,1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='，，． （1）求αβ，的值；（2）证实：对随便率性的正整数n ,都有n a α>； （3）记ln(12)n n n a b n a βα-==-，，,求数列{}n b 的前n 项和n S13陕西文21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 知足,*11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-,证实：{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求{}n a 的通项公式.山东文20.（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对随便率性的n N +∈ ,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（11）当b=2时,记1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T。