中档题专练(二)
高考理科数学中档大题保分专练15套(经典珍藏解析版)
（Ⅱ）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，
求 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a ；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为
得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？
i 1
xi2
112
132
122
434
2
， 3x
432 ，由公式求
得
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中档大题保分专练 15 套
3
b
xi yi
i 1
977 972 5 ，a y bx 3
3
xi 2
2
3x
434 432
2
i 1
．
x 2 cos
4.
（广西名校第一次摸底）已知曲线
M
的参数方程为
12 月 2 日
12 月 3 日
12 月 4 日
12 月 5 日
温差 x （℃） 10
11
13
12
8
发芽数 y（颗） 23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方
程，再对被选取的 2 组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率；
，
∴曲线 N 的普通方程为 3x y 16 0 ．……………………………………5 分
（Ⅱ）圆 M 的圆心 M 0 ，2 ，半径 r 2．
2 16
d
7
点 M 到直线 N 的距离为
专题03 新定义下的实数运算(中档题、压轴题50题)(解析版)
专题03�新定义下的实数运算（中档题、压轴题50题）（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、新定义下的实数运算，中档题30题，难度三星1．规定一种新运算ab ad bc cd =-．（1）2345=；（2）若22233235x x x x M -++-+-=--，则M 的化简结果为．【答案】2-2221x x --【分析】本题考查了新定义的计算，解题关键是能熟练运用新定义中的计算规律结合实数的运算法则求解．（1）根据新定义运算法则即可求解；（2）根据新定义运算法则化简即可求解．【详解】解：（1）原式254310122=⨯-⨯=-=-．（2）由题意得：22523332M x x x x =--++-+-（+）（）2210515936x x x x =---+-2221x x =--．2．若一个各个数位的数字均不为零的四位数M 满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”；将－个间位等和数的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作A ，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作B ，令()33A B F M +=，若四位数M 的千位数为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则()1573F =，如果()F M 为完全平方数（完全平方数就是这个数可以写成某个整数的平方，如，242=，所以4是完全平方数），那么M 的最小值为．【答案】83；1122．【分析】根据题意得出A 、B 的值，代入()33A B F M +=计算即可解答；由题意可知10A a b =+，10B c d =+，a c b d +=+，代入()33A B F M +=计算得到()3a c F M +=，根据()F M 为完全平方数且取M 的最小值，可得()1F M =，进而求出abcd ,,,的值，即可解答．本题考查了新定义运算，解题关键是读懂题意根据间位等和数的定义正确表示出A 、B ，再结合完全平方③[)1x x -≤，即最大值为1，该选项错误；④[)0.2x x -=不一成立，该选项错误；故答案为：①．4．定义：对于一个两位数x ，如果x 满足个位数字与十位数字互不相同．．．．，且都不为零．．．．，那么称这个两位数为“相异数”．将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，再除以11所得的商记为()S x ．例如，13a =，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为133144+=，和44除以11的商为44114÷=，所以(13)4S =．(1)下列两位数：40，51，77中，“相异数”为________；(2)计算：(65)S 的值；(3)若一个“相异数”y 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8S y =，求相异数y ．【答案】(1)51(2)11(3)相异数y 是35【分析】本题考查了新定义整数的整除问题，根据定义计算是解题的关键．（1）先确定各数位上的数字，不同的才是“相异数”．（2）根据()S x 的定义计算即可．（3）用幂乘的方式表示相异数，再根据()S x 的定义计算即可．【详解】（1）∵40中有数字0，不符合定义，不是“相异数”，51中十位数字是5，个位数字是1，不同，是“相异数”，77中，十位数字和个位数字都是7，相同，不符合题意，故不是“相异数”．故答案为：51．（2）根据题意，得655621+=1，1211111÷=，故(65)11S =．（3）由“相异数”y 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8S y =得，()10211021811k k k k +-+-+=⨯，解得3k =，∴212315k -=⨯-=，∴相异数y 是35．5．定义一种新的运算“※”，称为（加乘）运算：A．1B．4C．6D【分析】（1）根据题目中所给的定义求解即可；（2）紧扣题目给出的定义，逐一判断即可;（3）根据[][]11x x +=+，[]{}x x x -=，即[]{}2139x x x ++=-，可变为：{}(){}2139x x x x -++=-，整理：{}11x x -=，则有[]{}{}112x x x x =-=-，根据{}01x ≤<，可得[]11x 9<≤，即有[]10x =，或者[]11x =，问题随之得解．【详解】（1）根据题意：[]3.63=，即：{}[]3.6 3.6 3.60.6=-=，故答案为：3，0.6；（2）∵{}m 表示[]m m -的值，称为m 的小数部分，∴{}01x ≤<，即①正确；根据定义可得：[][]11x x +=+，即②正确；∵{}[]111x x x +=+-+，∴{}[][][]{}11111x x x x x x x x +=+-+=+--=-=，∴即③错误，∵[]x a =，[]{}x x x =-，∴{}a x x =-，∴{}x a x =+，∵{}01x ≤<，∴{}1a a x a ≤+<+，∴即④正确；故正确的有：①②④；（3）∵[][]11x x +=+，[]{}x x x -=，∴[]{}11x x x +=-+，∴[]{}2139x x x ++=-，可变为：{}(){}2139x x x x -++=-，整理：{}11x x -=，即：[]{}{}112x x x x =-=-，。
专题练习2 解三角形的实际应用问题专练
解三角形的实际应用问题专练一、选择题1．从A处望B处的仰角为，从B处望A的俯角为，则与的关系为（）A ．＞B．=C．+=90°D．+=180°【答案】B【解析】根据仰角和俯角的概念，根据平行线的性质得解.【详解】因为与为两平行线的内错角，所以=.故答案为：B【点睛】本题主要考查仰角和俯角的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A．0.5 km B．1 km C．1.5 km D． km【答案】B【解析】根据题意作图，设出相应参数，根据∠BAC=∠ABD﹣∠C，求得∠BAC=∠C，判断出三角形ABC 为等腰三角形，进而求得BC．【详解】如图设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，∵∠ABD=20°，∠C=10°，∴∠BAC=20°﹣10°=10°．∴AB=BC，∴BC=1，即坡底要加长1km，故选：B．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．3．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A．n mile/h B．n mile/hC．n mile/h D．n mile/h【答案】B【解析】由题意可知：，与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，，中利用正弦定理可得货轮的速度故选4．要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m ，由此可得河宽为(精确到1 cm)()A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m 【答案】C【解析】在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45406sin60︒=︒.设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽，所以h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406 ×sin 75°≈95(m)．故选C.【点睛】正弦定理对于任意三角形都成立，它指出三角形三条边与对应角的正弦之间的关系式，描述了任意三角形中边与角的数量关系，主要功能是实现三角形中边角的关系转化.本题的关键是根据正弦定理利用角大小来求出边长大小.5．两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在C 北偏东300，B 在C 南偏东600，则A 、B 之间相距： A ．a km B ．3a km C ．2a km D ．2a km【答案】C【解析】如图，由题意可得90ACB ∠=︒，在Rt ACB ∆中， 22222AB CA CB a a =+=+ 22a =，∴2AB a =。
中考数学 中档题突破 专项训练二 实际应用与方案设计
类型一：方程(组)与不等式的实际应用
1．(2020·抚顺)某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买 1 本 甲种词典和 2 本乙种词典共需 170 元，购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词 典共需 290 元． (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？ (2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共 30 本，总费用不超过 1 600 元， 那么最多可购买甲种词典多少本？
(3)(40＋20)×3＋[40×(1＋50%)＋20×2]×13＝ 180＋1300＝1480(万个)＜1480 万个． 答：再满负荷生产 13 天能完成任务．
类型二：函数的实际应用
1．(2021·河池)为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校组织九年级全 体师生前往广西农民运动讲习所旧址列宁岩参加“学党史、感党恩，听 党话、跟党走”的主题活动，需要租用甲、乙两种客车共 6 辆，已知甲， 乙两种客车的租金分别为 450 元/辆和 300 元/辆，设租用乙种客车 x 辆， 租车费用为 y 元． (1)求 y 与 x 之间的函数关系式(写出自变量的取值范围)； (2)若租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，租用乙种客车多少辆 时，租车费用最少？最少费用是多少元？
1 型消毒液数量的3，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
解：(1)设 A 型消毒液的单价是 x 元，B 型消毒液的单价是 y 元，
4．如图，马大爷在屋侧的菜地上搭建一 抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离地 面 1.2 米的墙体 A 处，另一端固定在离墙 体 6 米的地面上 B 点处，现以地面和墙体 为 x 轴和 y 轴建立坐标系，已知大棚的高 度 y (米)与地面水平距离 x(米)之间的关 系式用 y＝－15x2＋bx＋c 表示，结合信息请回答：
高三数学冲刺专题练习—排列组合概率(含答案详解) (2)
高三数学冲刺专题练习——排列组合概率1. 概率1．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2125，则该队员每次罚球的命中率p 为 .【分析】根据题意，分析可得两次罚球中两次都名中的概率为21412525-=，由相互独立事件的概率公式可得关于p 的方程，解可得答案．【解答】解：根据题意，该队员在两次罚球中至多命中一次的概率为2125， 则两次罚球中两次都名中的概率为21412525-=， 则有2425p =，解可得25P =． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，注意分析事件之间的关系，属于基础题．2．某市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为 . 【分析】根据古典概率模型的概率公式即可求解．【解答】解：4袋不同垃圾投4个不同的垃圾桶有4424A =种不同投法， 而恰好有两袋垃圾投对的投法数为246C =， ∴恰好有两袋垃圾投对的概率61244P ==． 【点评】本题考查古典概率模型的概率公式，属基础题．3．某校为落实“双减”政策．在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、乙、丙、丁四名同学拟参加篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为 .【分析】首先分析得到四名同学总共的选择为44个选择，然后分析恰有两人参加同一项活动的情况为2144C C ，则剩下两名同学不能再选择同一项活动，他们的选择情况为23A ，然后进行计算即可． 【解答】解：每人只能等可能的选择参加其中一项活动，且可以参加相同的项目，∴四名同学总共的选择为44个选择，恰有两人参加同一项活动的情况为2144C C ，剩下两名同学的选择有23A 种，∴恰有两人参加同一项活动的概率为21244349416C C A ⋅⋅=． 【点评】本题考查了古典概型及其概率的计算公式，解题的关键是能用排列组合的知识将满足条件的选择方案数计算出来．4．将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，则甲、乙分在同一组的概率是 . 【分析】本题是一道平均分组问题，将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，有两个组都是两个人，而这两个组又没有区别，所以分组数容易重复，甲、乙分到同一组的概率要分类计算【解答】解：不同的分组数为3227421052!C C C a ==甲、乙分在同一组的方法种数有（1）若甲、乙分在3人组，有122542152!C C C =种（2）若甲、乙分在2人组，有3510C =种，故共有25种， 所以25510521P ==． 【点评】平均分组问题是概率中最困难的问题，解题时往往会忽略有些情况是相同的5．从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是 .【分析】所有的取法有310120C =种，其中一个数是另两个数之和的取法用力矩发求得共计20种，由此求得一个数是另两个数之和的概率．【解答】解：所有的取法有310120C =种，其中一个数是另两个数之和的取法有(1，2，3)、(1，3，4)、(1，4，5)、(1，5，6)、(1，6，7)、(1，7，8)、(1，9，10)、(2，3，5)、(2，4，6)、(2，5，7)、(2，6，8)、(2，7，9)、(2，8，10)、(3，4，7)、(3，5，8)、(3，6，9)、(3，7，10)、(4，5，9)、(4，6，10)，共计20种，故其中一个数是另两个数之和的概率是2011206=． 【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．6．把12枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到1枚，且他们拿到的硬币数量互不相同，则甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为.【分析】利用插空法和古典概型可解决此题．【解答】解：根据插空法得把12枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到1枚的情况共2 1155C=种，其中甲、乙、丙三位同学拿到硬币有相同情况有(1，1，10)，(1，10，1)，(10，1，1)，(2，2，8)，(2，8，2)，(8，2，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(4，4，4)，(5，5，2)，(5，2，5)，(2，5，5)共计13种，故他们拿到的硬币数量互不相同的情况共有551342-=（种)，甲同学恰好拿到两枚硬币的情况共有1936C-=（种)，∴甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为61 427=．【点评】本题考查插空法和古典概型，考查数学运算能力及抽象能力，属于中档题．7．2021年7月，我国河南省多地遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家赴郑州，洛阳两地工作，每地至少安排一名专家，则甲，乙被安排在不同地点工作的概率为.【分析】分郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，四类分别求出每地至少安排一名专家和甲，乙被安排在不同地点工作的排法种数，从而得出答案．【解答】解：当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有155C=种排法；郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有2510C=种排法；郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有3510C=种排法；郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，则有455C=种排法；所以每地至少安排一名专家共有51010530+++=种不同的排法，若甲，乙被安排在不同地点工作，当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有122C=种排法；郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有11236C C⋅=种排法；郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有12236C C⋅=种排法；郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，则有13232C C ⋅=种排法； 所以甲，乙被安排在不同地点工作，共有266216+++=种不同的排法， 所以甲，乙被安排在不同地点工作的概率为1683015=． 【点评】本题考查古典概型及其计算公式，考查学生的分析解决问题的能力，属于中档题．8．为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶．经过前期走访得知，这四个贫困户甲、乙、丙、丁选择A ，B ，C 三个项目的意向如表：扶贫项目 ABC选择意向贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项，且每个项目至多有两户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为 .【分析】由题意可知，甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以．所以分成三类将所有情况计算出来，套用概率公式计算即可．【解答】解：由题意：甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以． 由题意基本事件可分以下三类：（1）甲乙都选A ，则丁只能选C ，丙则可以选B ，C 任一个，故共有2种方法；（2）甲乙都选B ，则丁可以选A 或C ，丙也可选A 或C ，故共有11224C C =种方法． （3）甲乙分别选AB 之一，然后丁选A 时，丙只能选B 或C ；丁选C 时，丙则A ，B ，C 都可以选．故有211223()10A C C +=种方法．故基本事件共有241016++=种． 甲乙选同一种项目的共有246+=种． 故甲乙选同一项目的概率63168P ==． 【点评】本题考查了古典概型概率的计算方法，分类求基本事件时有一定难度．属于中档题， 9．在中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游参观，其中的每个人只去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山的概率为 .【分析】分类计算游客甲去梵净山包含的基本事件的个数，代入古典概型的概率计算公式即可．【解答】解：设{A=游客甲去梵净山}，则基本事件的总数为112321431236C CC AA⨯=个．事件A发生时①若甲单独去梵净山，有22326C A⨯个基本事件，②去梵净山的游客除甲外还有1人，则有12326C A⨯=个基本事件．P∴（A）661363+==．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，在求事件A包含的基本事件个数时，牵扯到了平均分组问题，容易出错，本题为中档题．10．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数2101-60岁至79岁的人数120133341380岁及以上的人数918149其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，1-代表“生活不能自理”．按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．则被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率是35（用分数作答）．【分析】由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．列举出从这五人中抽取3人的选法，列举出恰有1位老龄人的健康指数不大于0的选法，代入古典概型概率公式求出．【解答】解；该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，)B，(1，3，4)，(1，3，)B，(1，4，)B，(2，3，4)，(2，3，)B，(2，4，)B，(3，4，B，)，其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：(1，2，)B ，(1，3，)B ，(1，4，)B ，(2，3，)B ，(2，4，)B ，(3，4，B ，)，∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为63105= 故答案为：35【点评】本题考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题． 11．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个(m 为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是 .【分析】根据等差数列前n 项和公式得出首项与公差m 的关系，列举得出所有的分配方案，从而得出结论． 【解答】解：由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成等差为m 的等差数列， 设“男”分的橘子个数为1a ，其前n 项和为n S ，则51545802S a m ⨯=+⨯=， 即1216a m +=，且1a ，m 均为正整数， 若12a =，则7m =，此时530a =， 若14a =，6m =，此时528a =， 若16a =，5m =，此时526a =， 若18a =，4m =，此时524a =， 若110a =，3m =，此时522a =， 若112a =，2m =，此时520a =， 若114a =，1m =，此时518a =， ∴ “公”恰好分得30个橘子的概率为17． 【点评】本题考查了等差数列的性质，古典概型的概率计算，属于中档题．12．某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为 .【分析】求出所有的分配方案和符合条件的分配方案，代入概率计算公式计算．【解答】解：将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每所高校至少有一个班级去，则共有42214-=种分配方案．恰有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的方案共有224⨯=种，42147P ∴==． 【点评】本题考查了古典概型的概率计算，是基础题．13．2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时，带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉祥物冰墩墩盲盒倍受欢迎，已知冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个，买到隐藏款的概率为 . 【分析】利用古典概型、排列组合直接求解．【解答】解：冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个， 基本事件总数2721n C ==，买到隐藏款包含的基本事件个数11166m C C ==， ∴买到隐藏款的概率62217m P n ===． 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．抛挪一枚硬币，每次正面出现得1分，反面出现得2分，则恰好得到10分的概率是 6831024． 【分析】分类讨论，依据独立重复试验公式即可求得恰好得10分的概率． 【解答】解：抛掷一枚硬币，得1分的概率为12，得2分的概率为12， 恰好得到10分可分为6种情况：5个2分，共抛掷5次，概率为55511()232C ⨯=； 4个2分，2个1分，共抛掷6次，概率为466115()264C ⨯=； 3个2分，4个1分，共抛掷7次，概率为377135()2128C ⨯=； 2个2分，6个1分，共抛掷8次，概率为28817()264C ⨯=；1个2分，8个1分，共抛掷9次，概率为19919()2512C ⨯=； 10个1分，共抛掷10次，概率为1011()21024=；故恰好得到10分的概率是1153579168332641286451210241024+++++=，故答案为：6831024． 【点评】本题考查了独立重复试验的应用及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．15．六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是120． 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有66A 种结果，满足条件的事件是后排每人均比其前排的同学身材要高，则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，据概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有66720A =种结果， 满足条件的事件是后排每人均比其前排的同学身材要高， 则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，共有3333A A 种结果， ∴后排每人均比前排同学高的概率是36172020=， 故答案为：120【点评】本题考查等可能事件的概率，站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素．2. 排列组合1．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全“，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上．排成一个五个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成 32 种不同的音序．【分析】根据角所在的位置，分两类，根据分类计数原理可得．【解答】解：若角排在一或五，有12A 种方法，再排商、徵，有22A 种方法，排宫、羽用插空法，有23A 种方法，利用乘法原理可得：12222324A A A =种， 若角排在二或四，同理可得：有222228A A =， 根据分类计数原理可得，共有24832+=种，故答案为：32．【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题，本题较抽象，计数时要考虑周详，本题以实际问题为背景，有着实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势．2．从0，1，2，3，4，5中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5224，则这样的四位数共有600个．【分析】根据题意，分当0被选用，且用两次；当0被选用，但用一次；当0没被选用三种情况讨论求解即可．【解答】解：当0被选用，且用两次，则先在个位，十位，百位这3个位置上选2个位置放0，再从剩下的5个数中选2个数字排在其他两个位置上，故有223560C A=个；当0被选用，但用一次，则先在个位，十位，百位这3个位置上选1个位置放0，再从剩下的5个数字中选2个数字，进而从选出的两个数字中选一个为出现两次的数字，最后在剩下的三个位置上选一个位置放置选出的2个数字中出现1次的数字，进而完成任务，故有12113523180C C C C=个；当0没被选用，则从1，2，3，4，5选3个数字，再从中选一个出现两次的数字，最后将其他两个数字选2个位置排序，故有312534360C C A=个所以，一共有60180360600++=个．故答案为：600．【点评】本题考查排列组合，考查学生推理能力，属于中档题．3．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有36种（用数字作答）．【分析】根据题意，分3步进行分析：①，先在4个社团中任选2个，有学生报名，②、将3名学生分为2组，③，进而将2组全排列，对应2个社团，分别求出每一步的情况数列，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，根据题意，4个社团中恰有2个社团，即只有2个社团有人报名，则先在4个社团中任选2个，有学生报名，有246C=种选法，②、将3名学生分为2组，有233C=种分法，③，进而将2组全排列，对应2个社团，有222A=种情况，则恰有2个社团没有同学选报的报法数有63236⨯⨯=种； 故恰有2个社团没有同学选报的报法数有36种； 故答案为：36【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，关键是正确进行分步分析．4．设集合1{(A x =，2x ，3x ，4x ，5)|{1i x x ∈-，0，1}，1i =，2，3，4，5}，则集合A 中满足条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”元素个数为 130 ．【分析】从条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”入手，讨论i x 所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由{1i x ∈-，0，1}，1i =，2，3，4，5}，集合A 中满足条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”， 由于||i x 只能取0或1，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况： ①i x 中有2个取值为0，另外3个从1-，1中取，共有方法数：2352⨯； ②i x 中有3个取值为0，另外2个从1-，1中取，共有方法数：3252⨯； ③i x 中有4个取值为0，另外1个从1-，1中取，共有方法数：452⨯．∴总共方法数是：23324555222130⨯+⨯+⨯=．故答案为：130．【点评】本题考查了组合数的计算公式及其思想、集合的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．5．从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为a ，b ，c ，d ，e ，则使a b c d e +为奇数的不同排列方法有 180 种．【分析】按照分类讨论，先选后排的步骤，求出结果． 【解答】解：（分类讨论：先选后排）若a b c 为奇数，d e 为偶数时，有323336A A ⨯= 种； 若a b c 为偶数，d e 为奇数时，有2334144A A ⨯= 种； 故a b c d e +为奇数的不同排列方法有共36144180+=种， 故答案为：180．【点评】本题主要考查排列组合的应用，属于中档题．6．现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有 40 种．【分析】根据题意，先排好7个空车位，注意空车位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3车插入6个空位中，注意甲必须在乙、丙两车之间，由倍分法分析可得答案．【解答】解：先排7个空车位，由于空车位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三车的顺序，将3辆车插入6个空位中，则共有361120A ⨯=种情况， 由于甲车在乙、丙两车之间，则有符合要求的坐法有1120403⨯=种；故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的应用，对于不相邻的问题采用插空法．7．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有 29 种不同选取方法【分析】据题意，对选出的3名英语教师分5种情况讨论：①若从只会英语的3人中选3人翻译英语，②若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张），③若从只会英语的3人选小张翻译英语，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张），⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张），每种情况中先分析其余教师的选择方法，由分步计数原理计算每种情况的安排方法数目，进而由分类计数原理，将其相加计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分5种情况讨论： ①、若从只会英语的3人中选3人翻译英语，则需要从剩余的4人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有246C =种， ②、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的3人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有11222312C C C ⨯⨯=种， ③、若从只会英语的3人选小张翻译英语，则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的2人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有22221C C⨯=种，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的4人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有2112236C C C⨯⨯=种，⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的3人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有1212224C C C⨯⨯=种，则不同的安排方法有61216429++++=种．故答案为：29．【点评】本题考查排列、组合的运用，注意根据题意对“既会英语又会日语”的教师的分析以及小张与小李恰有1人选中，是本题的难点所在．8．有6张卡片分别写有数字1，1，1，2，3，4，从中任取3张，可排出不同的三位数的个数是34．（用数字作答）【分析】根据题意，按取出3张的卡片中写有1的卡片的张数分4种情况讨论，求出每种情况下排出不同的三位数的个数，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①、取出3张的卡片全部是写有数字1的，有1种情况，②，取出3张的卡片有2张写有数字1的，有11339C C=种情况，③，取出3张的卡片有1张写有数字1的，有223318C A=种情况，④，取出3张的卡片没有写有数字1的，有336A=种情况，则一共有1918634+++=种情况，即可以排出34个不同的三位数；故答案为：34．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意6张卡片中相同的情况．9．分配4名水暖工去3个不同的民居家里检查暖气管道，要求4名水暖工部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有36种（用数字作答）．【分析】根据题意，分2步分析：①，将4名水暖工分成3组，②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步分析：①，将4名水暖工分成3组，有246C=种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，有336A=种分配方法，则有6636⨯=种不同的分配方案；故答案为：36．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列．10．3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有40种（用数字作答）．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，六名学生按男女男女男女排列，②，六名学生按女男女男女男排列，分析每种情况的安排方法数，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求3名男生和3名女站成一排，男生、女生各不相邻，则有2种情况；①，六名学生按男女男女男女排列，若男生甲在最左边的位置时，女生乙只能在其右侧，有1种情况，剩下的2名男生和女生都有222A=种情况，此时有1224⨯⨯=种安排方法，若男生甲不在最左边的位置时，女生乙可以在其左侧与右侧，有2种情况，剩下的2名男生和女生都有222A=种情况，此时有222216⨯⨯⨯=种安排方法；则此时有41620+=种安排方法；②，六名学生按女男女男女男排列，同理①，也有20种安排方法，则符合条件的安排方法有202040+=种；故答案为：40【点评】本题考查排列组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为.【分析】不考虑特殊情况，共有316C 种取法，其中每一种卡片各取三张，有344C 种取法，两种红色卡片，共有21412C C 种取法，由此可得结论． 【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有316C 种取法，其中每一种卡片各取三张，有344C 种取法，两种红色卡片，共有21412C C 种取法， 故所求的取法共有332116441245601672472C C C C --=--= 故选：C ．【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．12．因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有 .种【分析】依题意，重点要先排好3号位和6号位，余下的分类讨论分析即可． 【解答】解：上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3号位必须比12456要高，1，6两处是排列里最低的，3，8两处是最高点，设8个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8， 则 3号位最少是6，最大是8，下面分类讨论：①第3个位置选6号：先从1，2，3，4，5号中选两个放入前两个位置，余下的3个号中放入4，5，6号顺序是确定的只有一种情况，然后7，8号放入最后两个位置也是确定的，此时共2510C =种情况；②第3个位置选7号：先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置， 余下的4个号中最小的放入6号位置，剩下3个选2个放入4，5两个位置， 余下的号和8号放入最后两个位置，此时共226345C C =种情况；。
新高考数学高考数学压轴题多选题专项训练分类精编含解析(2)
一、数列多选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 2022答案：BCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}na 满足递推关系()12211,1,+3nn n aa a aan --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确；对于C ，可得()112nn n a aan +-=-≥，则()()()()1234131425311++++++++++nn n a a a a aa a a aa a a aa+-=----即212++1nnn n S a a aa++=-=-，∴202020221Sa=-，故C 正确；对于D ，由()112n n n a aan +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a aaa=---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3nn n a a a aan --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.2．已知数列{}na 中，11a =，1111n na a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212n at a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ）A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n =-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++， 则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立， 对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.3．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}na 称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{}na 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．13520192022a a a aa++++=D ．22212201920202019a a a aa+++=答案：ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n aaa ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018aaa=-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a aaaaaaa=-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n naaa ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确；7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018aaa=-，可得13572019a a a a a+++++=242648620202018a a a a a a a aa+-+-+-++-2020a=，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a aaaaaaa=-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a aaaa=+-+-+-+-20192020aa=，所以22212201920202019a a a aa+++=，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.4．已知数列{}na 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ） A ．2-B ．23C ．32D ．3答案：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，212131()2a ∴==--； 32131a a==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3；故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．5．设数列{}na 的前n 项和为*()nS n N ∈，关于数列{}na ，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若1*()n naa n N +∈=，则{}na 既是等差数列又是等比数列B ．若2nS An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}na 是等差数列C ．若()11n nS =--，则{}na 是等比数列D ．若{}na 是等差数列，则nS ，2n n SS -，*32()n nS S n N -∈也成等差数列答案：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对; 选项C: ,,当时也成立，是等比数列解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】 选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n aa +∴-=得{}na 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2nS An Bn =+,12nn a aA -∴-=,得{}na 是等差数列，故对;选项C: ()11n nS =--,112(1)(2)n nn nS Sa n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n na -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}na 是等差数列，由等差数列性质得nS ，2n n SS -，*32()n nS S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.6．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．8答案：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数，验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.7．公差不为零的等差数列{}na 满足38aa =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的A ．110S =B ．10nnS S-=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5nS S ≥D ．当110S <时，5nS S ≥答案：BC 【分析】设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】 设公差d 不为零, 因为， 所以， 即， 解得， ，故A 错误； ，故B 正确；若，解得，，故C 正确；D 错误； 故选：BC解析：BC 【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断. 【详解】设公差d 不为零, 因为38a a =， 所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--，解得192a d =-， 11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误； ()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n d d na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误；8．设{}na 是等差数列，nS是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为nS 的最大值答案：BD 【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项： 是等差数列，若，则，故B 正确； 又由得，则有，故A 错误； 而C 选项，，即，可得，解析：BD 【分析】设等差数列{}na 的公差为d ，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列{}na 的公差为d ，依次分析选项：{}na 是等差数列，若67SS =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a+>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为nS 的最大值，故D 正确；故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.9．已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a=-C ．当且仅当10n =时，nS 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为22答案：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ． 【详解】等差数列的前n 项和为，公差，由，可解析：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0nS <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}na 的前n 项和为nS，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222na n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102nS n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 10．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}na的公差0d >，则{}na 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列D ．若数列{}na是等差数列，则数列{}12++nn aa也是等差数列答案：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}na必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立；D 选项：数列{}na是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)nn a aa n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.11．在下列四个式子确定数列{}na 是等差数列的条件是（ ）A ．na knb =+（k ，b 为常数，*n N ∈）； B ．2n naa d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}na 的前n 项和21nSn n =++（*n N ∈）.答案：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中na knb =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}na 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确， B 选项中2n naa d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误； C 选项中()*2120n n n aaa n ++-+=∈N ，对于数列{}na 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}na 的前n 项和21nSn n =++（*n N ∈），不符合2nS An Bn =+，所以{}na 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．无穷数列{}na 的前n 项和2nSan bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}na 可能为等差数列B ．{}na 可能为等比数列 C ．{}na 中一定存在连续三项构成等差数列 D ．{}na 中一定存在连续三项构成等比数列 答案：ABC 【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】 当时，． 当时，． 当时，上式＝． 所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．解析：ABC 【分析】由2nS an bn c =++可求得na 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S abc ==++．当2n ≥时，()()221112nnn a S San bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}na 是等差数列，则0.ab a bc c +=++∴=所以当0c时，{}n a 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}na 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和nS 与通项公式na 的关系，利用nS 求通项公式，属于基础题．二、等差数列多选题13．在等差数列{}na 中，公差0d ≠，前n 项和为nS，则（ ）A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2nS n n a =-+，则0a =解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由nS 求出na 及1a ，根据数列{}na 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}na 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}na 递减，则12130,0aa ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2nS n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)nnn a S Sn n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.14．题目文件丢失！15．已知数列{}na 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,nn a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n na -=-+C ．2sin 2n n a π=D ．cos(1)1na n π=-+解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}na 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．7D ．8解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+=整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 17．已知数列{}na ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记nS为数列{}na 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．68S a = B ．733S =C ．13520212022a a a aa++++=D ．2222123202020202021a a a a aa++++=解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020aaa=-，可得13520212022a a a aa +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n aaa ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018aaaa-，220202020202120202019a aaaa=-，故2222123202020202021a a a a a a+++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n na aa ++=+对所给式子进行变形.18．已知等差数列{}na 的公差不为0，其前n 项和为nS，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ）A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD【分析】设等差数列{}na 的公差为d ，根据条件12a 、8S、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出na 、nS 的表达式，进而可判断各选项的正误.【详解】设等差数列{}na 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122nnn d n n dS na --=+=.对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d S d -⨯==-，()2779772d S d -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确.故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和nS 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 19．定义11222n nna a a H n-+++=为数列{}na 的“优值”.已知某数列{}na 的“优值”2n nH =，前n 项和为nS ，则（ ）A ．数列{}na 为等差数列 B ．数列{}na 为等比数列C ．2020202320202S =D ．2S ，4S ，6S 成等差数列解析：AC 【分析】由题意可知112222n n nna a a H n-+++==，即112222n n na a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n na n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1na n =+，易知{}na 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出nS ，判断C ，D 的正误.【详解】 解：由112222n n nna a a H n-+++==，得112222n n na a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a an ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n na n n n ---=⋅--⋅=+⋅， 即2n ≥时，1na n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1na n =+．所以数列{}na 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错， 故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.20．数列{}n a 满足11,121n n naa a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2nS n =C ．数列{}na 的通项公式为21nan =-D ．数列{}na 为递减数列解析：ABD【分析】首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121n n naa a +=+，11a =， 所以121112n n nna a a a ++==+，即1112n na a+-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121nn a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.21．设等差数列{}na 的前n 项和为nS，若39S =，47a =，则（ ）A ．2nS n =B ．223nS n n =-C ．21na n =-D ．35na n =-解析：AC 【分析】利用等差数列{}na 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出na 与nS ．【详解】等差数列{}na 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221na n n ∴+-⨯=-=．()21212nn nS n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．已知数列{}na 满足：13a =，当2n ≥时，()21111nn a a-=++-，则关于数列{}na 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}na 为递增数列C ．数列{}na 为周期数列D ．22na n n =+解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列{}1na +是首项为112a +=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】()21111nn a a-=++-得()21111nn a a-+=++，∴1111nn a a-+=++，即数列{}1na +是首项为112a +=，公差为1的等差数列，∴12(1)11na n n +=+-⨯=+，∴22na n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}na 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.23．无穷数列{}na 的前n 项和2nSan bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}na 可能为等差数列 B ．{}na 可能为等比数列 C ．{}na 中一定存在连续三项构成等差数列 D ．{}na 中一定存在连续三项构成等比数列 解析：ABC 【分析】由2nS an bn c =++可求得na 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S abc ==++．当2n ≥时，()()221112nnn a S San bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}na 是等差数列，则0.ab a bc c +=++∴=所以当0c时，{}na 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}na 从第二项开始是等差数列．故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和nS 与通项公式na 的关系，利用nS 求通项公式，属于基础题．24．等差数列{}na 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ）A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S>解析：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722aaa Sa <+⨯⨯===，()1191019101921919022aaa S a +⨯⨯===>，故BD 正确.【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确； ()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确；()1191019101921919022aaa S a +⨯⨯===>，故D 正确；190a >，181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.三、等比数列多选题25．题目文件丢失！ 26．题目文件丢失！27．在数列{}na 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k aa+++-=-（k 为常数），则称{}na 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0 C ．若32n na =-+，则数列{}na是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 解析：BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}na ，考虑121,1,1nn n aaa++===，211n n n na aa a+++--无意义，所以A 选项错误；若等差比数列的公差比为0，212110,0n n n n n na aa a a a+++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；若32n n a =-+，2113n n n na aa a+++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确； 若等比数列是等差比数列，则11,1n n q a a q -=≠，()()11211111111111n n nn n n n n n na q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.28．已知数列{}na 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ）A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．13n S n= C ．13(1)n a n n =--D ．{}3nS 是等比数列解析：ABD 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得nS ，利用nS 求出na ，并确定3n S 的表达式，判断D．【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113nn S S--=，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3nn n S =+-=，13n S n =．B 正确； 2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错； 由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．29．已知数列{}na 前n 项和为nS.且1a p =，122(2)nn S Sp n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}na 为等比数列 B ．1p =时，41516S = C ．当12p =时，()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D ．3856a a a a +=+解析：AC 【分析】 由122(2)nn S Sp n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n SSp ---=，相减可得120nn a a--=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 错误； 由A 可得mnm na a a+⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确；故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题．30．设等比数列{}na 的公比为q ，其前n 项和为nS，前n 项积为nT ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．8601a a <<C ．nS 的最大值为7SD ．nT 的最大值为6T解析：ABD 【分析】先分析公比取值范围，即可判断A，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾；若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确；因为0na >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)na ∈，当16n ≤≤时，(1,)na ∈+∞，所以nT 的最大值为6T ，即D正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.31．记单调递增的等比数列{}na 的前n 项和为nS，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ） A ．112n n nSS ++-=B ．12n naC ．21n nS =-D ．121n nS -=-解析：BC 【分析】先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,nnn na S SS +-，进而判断出正确选项.【详解】由23464a a a =得3334a =，则34a =．设等比数列{}na 的公比为()0q q ≠，由2410a a +=，得4410q q+=，即22520q q -+=，解得2q 或12q =．又因为数列{}na 单调递增，所以2q，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n na，()1122112n nnS ⨯-==--，所以()1121212n n n n n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.32．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1＜1 B ．1＜b 12＜ C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n解析：ABC 【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解.【详解】∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n+a n +1＝2n ，∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩； ∴12123212244a a aa a a a +⎧⎨+=-⎩＞＞ ∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n}为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3； ∵b n•b n +1＝2n∴122324b b b b =⎧⎨=⎩； ∴2132b b b b⎧⎨⎩＞＞； ∴1＜b 12＜，故B 正确．∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）()()()()121212122122nnn b b b b⋅--=+=+-()()122212221n n b b ≥-=-； ∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n；故C 正确，D 错误．故选：ABC 【点睛】本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.33．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}na ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2x f x =C ．()f x x =D ．()ln f x x =解析：AC 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】设等比数列{}na 的公比为q .对于A ，则2221112()()n n n n n nf a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则111()22()2n n n na a a n a nf a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C ，则111()()n n n nnnaf a aq f a aa+++=== ，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n nnnnna a q a q q f a f a a a a a++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题.34．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0 B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 10解析：AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则8912()3a a =-，91012()3a a =-， ∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误； ∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ，由于910,a a 异号，因此90a <或100a<故 90b <或100b <，且b 1＝12可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.35．等差数列{}na 的公差为d ，前n 项和为nS，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( )A ．7aB ．8aC ．15SD ．16S解析：BC 【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()11515815152a aS a +==为定值，但()()11616891682a aS a a +==+不是定值.故选：BC. 【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.36．对于数列{}na ，若存在正整数()2k k ≥，使得1kk aa-<，1kk a a+<，则称ka 是数列{}na 的“谷值”，k 是数列{}na 的“谷值点”，在数列{}na 中，若98nan n=+-，下面哪些数不能作为数列{}na 的“谷值点”？（ ）A ．3B ．2C ．7D ．5解析：AD。
中考数学 中档题突破 专项训练二 图形的设计与计算
(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． (3)如图③中，△ABC 即为所求．
2．(2022·江西)如图是 4×4 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要 求完成以下作图(保留作图痕迹)．
(1)在图①中作∠ABC 的平分线； 解：(1)如图①中，射线 BP 即为所求．
(2)在图②中过点 C 作一条直线 l，使点 A，B 到直线 l 的距离相等． (2)如图②中，直线 l 或直线 l′即为所求．
3．(2021·武汉)如图是由小正方形组成的 5×7 网格，每个小正方形的 顶点叫做格点，矩形 ABCD 的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给 定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图①中，先在边 AB 上画点 E，使 AE＝2BE，再过点 E 画直线 EF，使 EF 平分矩形 ABCD 的面积；
类型二：无刻度直尺的网格作图
1．(2020·安顺)如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做 格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； 解：(1)如图①中，△ABC 即为所求．
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长 是无理数； (2)如图②中，△ABC 即为所求．
解：空地的总面积为 12×4x＝48x(m2 )； ∵空白部分的面积和为 2x×6＋12πx2＝12x＋12πx2m2， ∴绿地的面积为 48x－ 12x＋21πx2＝36x－21πx2m2 故答案为 48x；36x－21πx2.
(2)若 x＝2 m 时，试问小明的设计方案是否合乎要求﹖请说明理由(其中 π取 3)． 小明的设计方案合乎要求， 理由：若 x＝2 m 时， 36x－12πx2＝36×2－12×3×4＝66(m2 )， ∵48×2×58＝60(m2)，66>60， ∴小明的设计方案合乎要求﹒
2023中考化学真题基础练专题二空气氧气课件
3.B 磷在空气中燃烧的现象是产生白烟,放出热量,A错误;镁条燃烧时发出耀眼白光,放出热量,生成白色固体,B正确; 甲烷在空气中燃烧产生淡蓝色火焰,放出热量,生成物没有刺激性气味,C错误;氢气在空气中燃烧产生淡蓝色火焰,放 出热量,D错误。故选B。
容易题
4 [2018重庆A卷改编]纳米铁粉在空气中能自燃并生成一种红色氧化物。对比铁丝在空气中不能燃烧,而在氧气中能 剧烈燃烧的事实,某同学得出的下列结论不正确的是( ) A.纳米铁粉在空气中自燃的产物是四氧化三铁 B.相同的反应物在不同条件下生成物可能不同 C.反应物间的接触面积大小是反应能否发生的因素之一 D.铁丝在一定浓度的氧气中才能燃烧
容易题
2 [2021重庆B卷]氧气是人类活动的必需物质之一。下列与氧气有关的实验装置图错误的是( )
A.制取
B.干燥 C.收集 D.验满
答案
2.C 氧气的密度比空气大,用向上排空气法收集时,应该“长进短出”。故选C。
容易题
7 [2021广州]空气是多种气体的混合物,下列生产生活中用到的气体来自空气的是( ) A.填充气球用到的氦气 B.制硝酸用到的二氧化氮 C.炼铁用到的一氧化碳 D.做饭用到的天然气
答案
7.A 填充气球用到的氦气属于稀有气体,是空气的成分,A正确;二氧化氮、一氧化碳为空气污染物,不是空气的成 分,B、C错误;做饭用到的天然气不是空气的成分,D错误。故选A。
容易题
3 [2022广西北部湾]下列物质不属于空气污染物的是( )
A.N2 C.NO2
B.CO D.可吸入颗粒物
答案
3.A 氮气是空气的成分,不属于空气污染物。
容易题
4 [2022广西北部湾]下列有关空气成分的叙述中,错误的是( ) A.氧气具有助燃性,可用作助燃剂 B.氮气化学性质不活泼,常用作保护气 C.稀有气体在通电时能发出不同颜色的光,可制成多种用途的电光源 D.二氧化碳是植物进行光合作用的基本原料,所以空气中二氧化碳越多越好
探索平行线的性质中档题30道解答题附答案
=7.2 探索平行线的性质中档题汇编（3）7.2 探索平行线的性质中档题汇编（3）参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）∠BAF=50°，5．（2012?犍为县模拟）如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之8．（2011?淄博）如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若友情提示：请同学们做完上面考题后，再认真检查一遍，估计一下你的得分情况．如果你全卷得分低于90分（及格线），则本题的得分将计入全卷总分，但计入后全卷总分最多不超过90分；如果你全卷得分已经达到或超过90分，则本题的得分不计入全卷总分．填空：（1）计算：（﹣2）×3=﹣6 ．的值等于 5 ；×140°=70°，④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具∠BMF=65°，12）根据两直线平行，内错角相等可得∠MPQ=∠PQR=∠APQ﹣（∠APQ﹣∠PQG）∠PQG，∠APQ﹣（∠APQ﹣∠PQG）30．如图，在△ABC中∠B=45°，∠C=75°，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，求∠ADE ∠BAC=30°，。
集合全章中档解答题
1、集合全章中档解答题一．解答题（共24小题）1．（2016春•如皋市期末）已知集合A={x|}，B={x|（x+a）（x﹣a﹣2）＜0}．（1）当a=0时，求A∪B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．2．（2016春•莆田校级期末）已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（x﹣m﹣9）＜0}（1）求A∩B；（2）若A⊆C，求实数m的取值范围．3．（2016春•蚌埠期末）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．4．（2016春•定州市校级期末）已知集合A={x|x2﹣2mx+m+6=0}，B={x|x＜0}，若命题“A∩B=∅”是假命题，求实数m的取值范围．5．（2016春•抚州校级期中）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|x2﹣（2m﹣3）x+m（m ﹣3）≤0，m∈R}．（1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；（2）设全集为R，若A⊆（∁R B），求实数m的取值范围．6．（2015•张家港市校级模拟）设集合M={x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0，x∈R}，M⊆[0，3]，求实数a的取值范围．7．（2015秋•石家庄校级期末）集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，集合B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．8．（2015春•福州校级期末）已知三个集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}，C={x|bx2﹣x+1=0}，问同时满足B⊊A，A∪C=A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b 的取值情况；若不存在，请说明理由．9．（2015秋•凉山州期末）记关于x的不等式＜0的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（1）若a=3，求P；（2）若a＞0，且Q⊆P，求a的取值范围．10．（2015秋•罗庄区期末）已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x∈Z|2＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}（1）求A，（∁R A）∩B；（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．11．（2015秋•淮安校级期末）已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．（Ⅰ）若M⊆N，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若M⊇N，求实数a的取值范围．12．（2015秋•河南校级期末）已知A={x|﹣1＜x≤3}，B={x|m≤x＜1+3m}（1）当m=1时，求A∪B；（2）若B⊆∁R A，求实数m的取值范围．13．（2015春•富阳市校级期末）已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=2，求M∩（∁R N）；（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．14．（2015春•陕西校级期末）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}．（1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．15．（2015秋•垫江县期末）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|2x2+（2k+5）x+5k＜0}．（1）若k＜0时，求B；（2）若A∩B中有且仅有一个整数﹣2，求实数k的取值范围．16．（2015秋•泰安期末）设集合A={x|2≤x≤4}，B={x|x＞3，或x＜1}，C={x|t+1＜x＜2t}，t∈R．（Ⅰ）求A∪∁U B；（Ⅱ）若A∩C=C，求t的取值范围．17．（2015秋•潍坊期末）已知全集U=R，集合A={x|4≤2x＜128}，B={x|1＜x≤6}，M={x|a ﹣3＜x＜a+3}．（Ⅰ）求A∩∁U B；（Ⅱ）若M∪∁U B=R，求实数a的取值范围．18．（2015秋•吉林校级期中）已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0，a∈R}．1）若A是空集，求a的取值范围；2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．19．（2015秋•瓦房店市期中）设集合A={x|﹣7≤2x﹣5≤9}，S={x|k+1≤x≤2k﹣1}，（1）若S≠∅且S⊆A，求k的取值范围：（2）当A∩S=∅时，求k的取值范围．20．（2015秋•菏泽期中）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}，（1）求A∩B，（∁U A）∪（∁U B）；（2）若集合M={x|2a≤x≤2a+1}是集合A的子集，求实数a的取值范围．21．（2015秋•余姚市校级期中）设全集U=R，A={x|x2+x﹣20＜0}，B={x||2x+5|＞7}，C={x|x2﹣3mx+2m2＜0}．（1）若C⊆（A∩B），求m的取值范围；（2）若（C U A）∩（C U B）⊆C，求m的取值范围．22．（2015春•姜堰市期中）已知集合，B={x|x2﹣2x﹣a2﹣2a＜0}．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．23．（2015秋•枣阳市期中）设集合A={x|x2﹣x+m=0}，B={x|x2+px+q=0}，且A∩B={1}，A∪B=A．（1）求实数m的值；（2）求实数p，q的值．24．（2015秋•上海校级期中）已知集合．（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．1、集合全章中档解答题参考答案与试题解析一．解答题（共24小题）1．（2016春•如皋市期末）已知集合A={x|}，B={x|（x+a）（x﹣a﹣2）＜0}．（1）当a=0时，求A∪B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）化简集合A，B，即可求A∪B；（2）若A⊆B，所以（x+a）（x﹣a﹣2）＜0对x∈（﹣1，1）恒成立，即可求实数a的取值范围．【解答】解：对于集合A，，所以﹣1＜x＜1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分（1）由a=0，对于集合B，x（x﹣2）＜0，所以0＜x＜2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分则A∪B={x|﹣1＜x＜2}；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分（2）由A⊆B，所以（x+a）（x﹣a﹣2）＜0对x∈（﹣1，1）恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分设f（x）=（x+a）（x﹣a﹣2），因函数为二次函数，图象开口向上，且与x有交点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分所以解得a≤﹣3或a≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分【点评】本题考查集合的运算与关系，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键．2．（2016春•莆田校级期末）已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（x﹣m﹣9）＜0}（1）求A∩B；（2）若A⊆C，求实数m的取值范围．【分析】（1）由A={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|﹣1＜x＜6}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}={x|x≥，或x≤}，能求出A∩B．（2）由A⊆C，建立不等式组，能求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|﹣1＜x＜6}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}={x|x≥，或x≤}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤，或≤x＜6}．（2）∵集合C={x|（x﹣m）（x﹣m﹣9）＜0}={x|m＜x＜m+9}，A⊆C，∴，解得﹣3≤m≤﹣1．∴m的取值范围是{m|﹣3≤m≤﹣1}．【点评】本题考查了不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2016春•蚌埠期末）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．（Ⅰ）通过解集合A，B里的两个一元二次不等式即可得出A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x 【分析】＜﹣3，或x＞1}；（Ⅱ）容易求出A∩B，根据条件C⊆（A∩B），并讨论a的符号：a=0，a＞0，和a＜0，进而便可解出每种情况下的集合C，并可得出每种情况下a的范围，求并集即可得出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解x2﹣2x﹣8＜0得，﹣2＜x＜4；解x2+2x﹣3＞0得，x＜﹣3，或x＞1；∴A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＜﹣3，或x＞1}；（Ⅱ）A∩B={x|1＜x＜4}；∵C⊆（A∩B）；（1）若a=0，C=∅，满足条件；（2）若a＞0，C={x|a＜x＜2a}，则：；∴1≤a≤2；（3）若a＜0，C={x|2a＜x＜a}，不满足条件；∴实数a的取值范围为{a|1≤a≤2，或a=0}．【点评】考查一元二次不等式的解法，描述法表示集合的概念及其表示形式，以及交集的运算，子集的定义．4．（2016春•定州市校级期末）已知集合A={x|x2﹣2mx+m+6=0}，B={x|x＜0}，若命题“A∩B=∅”是假命题，求实数m的取值范围．【分析】根据A，B，以及A与B的交集不为空集，得到A中方程有负根，确定出m的范围即可．【解答】解：由题意得方程x2﹣2mx+m+6=0有负根，①若方程无根，则△＜0，即4m2﹣4（m+6）＜0，解得：﹣2＜m＜3；②若方程无负根，则，解得：m≥3，由①②知，m＞﹣2，则当方程有负根时，m的范围为m≤﹣2．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．（2016春•抚州校级期中）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|x2﹣（2m﹣3）x+m（m ﹣3）≤0，m∈R}．（1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；（2）设全集为R，若A⊆（∁R B），求实数m的取值范围．【分析】（1）根据所给的两个集合的不等式，写出两个集合对应的最简形式，根据两个集合的交集，看出两个集合的端点之间的关系，求出结果．（2）根据所求的集合B，写出集合B的补集，根据集合A是B的补集的子集，求出两个集合的端点之间的关系，求出m的值．【解答】解：（1）由已知得A={x|x2﹣2x﹣8≤0，x∈R}=[﹣2，4]，B={x|x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣3m≤0，x∈R，m∈R}=[m﹣3，m]．∵A∩B=[2，4]，∴，∴m=5．（2）∵B=[m﹣3，m]，∴∁R B=（﹣∞，m﹣3）∪（m，+∞）．∵A⊆∁R B，∴m﹣3＞4或m＜﹣2．∴m＞7或m＜﹣2．∴m∈（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）【点评】本题考查集合之间的关系与参数的取值，本题解题的关键是利用集合之间的关系，得到不等式之间的关系，本题是一个基础题．6．（2015•张家港市校级模拟）设集合M={x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0，x∈R}，M⊆[0，3]，求实数a的取值范围．【分析】当M⊆[0，3]，通过f（0）≥0，且f（3）≥0，以及对应的二次函数的对称轴的范围，即可求实数a的取值范围．【解答】解：设y=x2+2（1﹣a）x+3﹣a，其开口向上，那么满足y=x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0的x的取值，即为使二次函数的图象在x轴下方的x的取值范围，也就是二次函数与x轴交点之间的部分，当M包含于[0，3]时，二次函数与x轴两交点之间的部分，或M为空集，应包含于区间[0，3]之间，即两交点都在[0，3]之间，可知f（0）≥0，f（3）≥0，且0≤a﹣1≤3f（0）=3﹣a≥0，a≤3f（3）=9+6（1﹣a）+（3﹣a）=18﹣7a≥0，a≤，0≤a﹣1≤3⇒1≤a≤4，当判别式△＜0，即4（1﹣a）2﹣4（3﹣a）＜0，解得﹣1＜a＜2时，M为空集．综上﹣1＜a≤．【点评】本题是中档题，考查集合的运算，构造法与函数的零点与方程的根的知识，考查计算能力，转化思想．7．（2015秋•石家庄校级期末）集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，集合B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）先化简集合A，由B⊆A得B=∅，或m满足，解得即可．（2）因为x∈R，且A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，分类讨论，即可求实数m的取值范围．【解答】解：因为x2﹣3x﹣10≤0，所以（x+2）（x﹣5）≤0，解得﹣2≤x≤5．所以A={x|﹣2≤x≤5}．（1）当m+1＞2m﹣1即m＜2时，B=∅满足B⊆A；（2分）当m+1≤2m﹣1即m≥2时，要使B⊆A成立，则解得2≤m≤3．综上所述，当m≤3时有B⊆A．（6分）（2）因为x∈R，且A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，则①若B=∅，即m+1＞2m﹣1，得m＜2时满足条件；（8分）②若B≠∅，则要满足条件解得m＞4；或无解．综上所述，实数m的取值范围为m＜2或m＞4．（12分）【点评】本题考查了集合间的关系，分类讨论和数形结合是解决问题的关键．8．（2015春•福州校级期末）已知三个集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}，C={x|bx2﹣x+1=0}，问同时满足B⊊A，A∪C=A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b 的取值情况；若不存在，请说明理由．【分析】先求得集合A、B；然后结合已知条件得到C⊆A，则C中元素有以下三种情况：①C=∅；②C={2}或{3}；③C={2，3}．分别求得这三种情况下b的取值范围．【解答】解：∵A={x|x2﹣5x+6=0}={2，3}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}={x|（x﹣2）（x﹣a）=0}，又∵B⊊A，∴a=2．∵A∪C=A，∴C⊆A，则C中元素有以下三种情况：①若C=∅，即方程bx2﹣x+1=0无实根，∴△=1﹣4b＜0，∴b＞，②若C={2}或{3}，即方程bx2﹣x+1=0有两个相等的实根，∴△=1﹣4b=0，∴b=，此时C={2}符合题意．③若C={2，3}，则=2+3=5，，不存在这样的b．综上所述，a=2，b≥．【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用．综合性强，具有一定的难度．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．9．（2015秋•凉山州期末）记关于x的不等式＜0的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（1）若a=3，求P；（2）若a＞0，且Q⊆P，求a的取值范围．【分析】（1）把a=3代入不等式解集合P；（2）根据Q⊆P，求正数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，由＜0，得P=（﹣1，3）…4分（2）由|x﹣1|≤1，得：Q={x|0≤x≤2}…6分由a＞0，得P=（﹣1，a），…8分又Q⊆P，所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）…10分【点评】本题主要考查不等式的解法和集合间的关系．10．（2015秋•罗庄区期末）已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x∈Z|2＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}（1）求A，（∁R A）∩B；（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求出集合A，化简集合B，根据根据集合的运算求，（C R A）∩B；（2）若A∪C=R，则可以比较两个集合的端点，得出参数所满足的不等式解出参数的取值范围．【解答】解：（1）由题意，解得7＞x≥3，故A={x∈R|3≤x＜7}，B={x∈Z|2＜x＜10}═{x∈Z|3，4，5，6，7，8，9}，∴（C R A）∩B{7，8，9}（2）∵A∪C=R，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}∴解得3≤a＜6实数a的取值范围是3≤a＜6【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是理解集合运算的意义，能借助数轴等辅助工具正确判断两个集合的关系及相应参数的范围，本题中取参数的范围是一个难点，易因为错判出错，求解时要注意验证等号能否成立．11．（2015秋•淮安校级期末）已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．（Ⅰ）若M⊆N，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若M⊇N，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）本题考查集合包含关系中参数取值的问题，由包含关系转化出参数的不等式，解出其范围即可；（Ⅱ）本题考查集合包含关系中参数取值的问题，由包含关系转化出参数的不等式，解出其范围即可，求解时要分两类，N是空集与不是空集．【解答】解：（Ⅰ）由于M⊆N，则，解得a∈Φ（4分）（Ⅱ）①当N=Φ时，即a+1＞2a﹣1，有a＜2．（6分）②当N≠Φ，则，解得2≤a≤3，综合①②得a的取值范围为a≤3．（10分）【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是掌握由集合的包含关系得出参数所满足的不等式的方法﹣﹣比较端点法，求解此类题时，如本题的第二小题，易因为忘记讨论空集的情况导致失解，谨记！12．（2015秋•河南校级期末）已知A={x|﹣1＜x≤3}，B={x|m≤x＜1+3m}（1）当m=1时，求A∪B；（2）若B⊆∁R A，求实数m的取值范围．【分析】（1）将m的值代入集合B中确定出B，找出既属于A又属于B的部分，即可确定出两集合的并集；（2）由全集R求出A的补集，由B为A补集的子集，列出关于m的不等式，求出不等式的解集，即可得到m的范围．【解答】解：（1）当m=1时，A={x|﹣1＜x≤3}，B={x|1≤x＜4}，则A∪B={x|﹣1＜x＜4}；（2）∵全集为R，A={x|﹣1＜x≤3}，∴C R A={x|x≤﹣1或x＞3}，∵B⊆C R A，当B=∅时，m≥1+3m，即m≤﹣；当B≠∅时，m＜1+3m，即m＞﹣，此时1+3m≤﹣1或m＞3，解得：m＞3，综上，m的范围为m≤﹣或m＞3．【点评】此题考查了并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．13．（2015春•富阳市校级期末）已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=2，求M∩（∁R N）；（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，由此能求出M∩（C R N）．（Ⅱ）由M∪N=M，得N⊂M，由此能求出实数a的取值范围．【解答】（本小题满分8分）解：（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，C R N={x|x＜3或x＞5}，所以M∩（C R N）={x|﹣2≤x＜3}．（Ⅱ）∵M∪N=M，∴N⊂M，①a+1＞2a+1，解得a＜0；②，解得0≤a≤2．所以a≤2．【点评】本题考查交集、实集的应用，考查实数的取值范围的求法，是基础题．14．（2015春•陕西校级期末）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}．（1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【分析】（1）先求出集合A，利用A∩B=[1，3]，确定实数m的值．（2）求出∁R B，利用条件A⊆∁R B，确定条件关系，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，∴A={x|﹣1≤x≤3，x∈R}，∵A∩B=[1，3]，∴m﹣2=1，即m=3，此时B={x|1≤x≤5}，满足条件A∩B=[1，3]．（2）∵B={x|m﹣2≤x≤m+2}．∴∁R B={x|x＞m+2或x＜m﹣2}，要使A⊆∁R B，则3＜m﹣2或﹣1＞m+2，解得m＞5或m＜﹣3，即实数m的取值范围是m＞5或m＜﹣3．【点评】本题主要考查集合的基本运算，以及利用集合关系求参数问题，考查学生分析问题的能力．15．（2015秋•垫江县期末）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|2x2+（2k+5）x+5k＜0}．（1）若k＜0时，求B；（2）若A∩B中有且仅有一个整数﹣2，求实数k的取值范围．【分析】（1）B={x|2x2+（2k+5）x+5k＜0}={x|（2x+5）（x+k）＜0}．由k＜0，能求出结果．（2）集合A={x|x＜﹣1或x＞2}，B={x|（2x+5）（x+k）＜0}．由﹣与﹣k的大小关系进行分类讨论，能求出A∩B中有且仅有一个整数﹣2，实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵k＜0，∴B={x|2x2+（2k+5）x+5k＜0}={x|（2x+5）（x+k）＜0}．={x|﹣＜x＜﹣k}．（2）集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，B={x|2x2+（2k+5）x+5k＜0}={x|（2x+5）（x+k）＜0}．当﹣＞﹣k，即k＞时，B={x|﹣k＜x＜﹣}，A∩B中没有整数﹣2，不满足条件；当k=时，B=∅，不满足条件；当k＜时，，B={x|﹣＜x＜﹣k}，要使A∩B={﹣2}，则﹣2＜﹣k≤﹣1，解得1≤k＜2，∴A∩B中有且仅有一个整数﹣2，实数k的取值范围是[1，2）．【点评】本题考查集合的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．16．（2015秋•泰安期末）设集合A={x|2≤x≤4}，B={x|x＞3，或x＜1}，C={x|t+1＜x＜2t}，t∈R．（Ⅰ）求A∪∁U B；（Ⅱ）若A∩C=C，求t的取值范围．【分析】（Ⅰ）由B与全集U，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可；（Ⅱ）由A与C的交集为C，得到C为A的子集，确定出t的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵B={x|x＞3，或x＜1}，∴∁U B={x|1≤x≤3}，∵A={x|2≤x≤4}，∴A∪∁U B={x|1≤x≤4}；（Ⅱ）∵A∩C=C，∴C⊆A，当C=∅时，则有2t≤t+1，即t≤1；当C≠∅时，则，即1＜t≤2，综上所述，t的范围是t≤2．【点评】此题考查了交集及其运算，以及交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（2015秋•潍坊期末）已知全集U=R，集合A={x|4≤2x＜128}，B={x|1＜x≤6}，M={x|a ﹣3＜x＜a+3}．（Ⅰ）求A∩∁U B；（Ⅱ）若M∪∁U B=R，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B补集的交集即可；（Ⅱ）根据M与B的补集并集为R，确定出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵全集U=R，集合A={x|4≤2x＜128={x|22≤2x＜27}={x|2≤x＜7}，B={x|1＜x≤6}，∴∁U B={x|x≤1或x＞6}，则A∩∁U B={x|6＜x＜7}；（Ⅱ）∵∁U B={x|x≤1或x＞6}，M={x|a﹣3＜x＜a+3}，且M∪∁U B=R，∴，解得：3＜a≤4，则实数a的范围是{a|3＜a≤4}．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．（2015秋•吉林校级期中）已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0，a∈R}．1）若A是空集，求a的取值范围；2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．【分析】（1）A为空集，表示方程ax2﹣3x+2=0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．（2）若A中只有一个元素，表示方程ax2﹣3x+2=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值．（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案．【解答】解：1）若A是空集，则方程ax2﹣3x+2=0无解此时△=9﹣8a＜0即a＞2）若A中只有一个元素则方程ax2﹣3x+2=0有且只有一个实根当a=0时方程为一元一次方程，满足条件当a≠0，此时△=9﹣8a=0，解得：a=∴a=0或a=若a=0，则有A={}；若a=，则有A={}；3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax2﹣3x+2=0根的情况，是解答本题的关键．19．（2015秋•瓦房店市期中）设集合A={x|﹣7≤2x﹣5≤9}，S={x|k+1≤x≤2k﹣1}，（1）若S≠∅且S⊆A，求k的取值范围：（2）当A∩S=∅时，求k的取值范围．【分析】（1）若S≠∅且S⊆A，可得，即可求k的取值范围：（2）当A∩S=∅时，分类讨论，即可求k的取值范围．【解答】解：（1）A={x|﹣7≤2x﹣5≤9}={x|﹣1≤x≤7}，∵S≠∅且S⊆A，∴，∴2≤k≤4；（2）S=∅，则2k﹣1＜k+1，∴k＜2；S≠∅，则或，∴k＞6．综上所述，k＜2或k＞6．【点评】本题考查集合的运算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（2015秋•菏泽期中）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}，（1）求A∩B，（∁U A）∪（∁U B）；（2）若集合M={x|2a≤x≤2a+1}是集合A的子集，求实数a的取值范围．【分析】（1）直接利用集合的交、并、补运算，即可得出结论；（2）利用子集的关系，建立不等式，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}={x|﹣2≤x≤3}，∴A∩B={x|1＜x≤3}，（∁U A）∪（∁U B）={x|x≤1，或x＞3}；（2）由题意：2a+1＜﹣4或2a＞1…（10分）解得：．…（12分）【点评】本题考查子集的关系，考查集合的交、并、补运算，属于中档题．21．（2015秋•余姚市校级期中）设全集U=R，A={x|x2+x﹣20＜0}，B={x||2x+5|＞7}，C={x|x2﹣3mx+2m2＜0}．（1）若C⊆（A∩B），求m的取值范围；（2）若（C U A）∩（C U B）⊆C，求m的取值范围．【分析】（1）先分别化简集合A，B，从而可求A∩B，再由C⊆（A∩B），分类讨论可求m 的取值范围；（2）根据（C U A）∩（C U B）⊆C，可得C U（A∪B）⊆C，从而先求C U（A∪B），再进行分类讨论，从而得解．【解答】解：由题意，A=（﹣5，4），B=（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞），C={x|x2﹣3mx+2m2＜0}={x|（x﹣m）（x﹣2m）＜0}．（1）A∩B=（1，4），m=0时，C=∅，符合题意；m＞0时，2m＞m，C=（m，2m），∵C⊆（A∩B），∴m≥1且2m≤4，∴1≤m≤2m＜0时，2m＜m，C=（2m，m），显然不满足C⊆（A∩B），综上知，m的取值范围是m=0或1≤m≤2；（2）∵（C U A）∩（C U B）⊆C，∴C U（A∪B）⊆C∵A=（﹣5，4），B=（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞），∴C U（A∪B）=[﹣6，﹣5]∴[﹣6，﹣5]⊆Cm＞0时，2m＞m，C=（m，2m），显然不成立；m＜0时，2m＜m，C=（2m，m），∴2m＜﹣6且m＞﹣5∴﹣5＜m＜﹣3【点评】本题以集合为载体，考查集合的运算，考查分类讨论思想，解题的关键是将集合A，B化简，及问题的等价转化．22．（2015春•姜堰市期中）已知集合，B={x|x2﹣2x﹣a2﹣2a＜0}．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出A中不等式的解集确定出A，把a=4代入B中求出解集确定出B，找出两集合的交集即可；（2）由A与B的并集为B，得到A为B的子集，分三种情况考虑，①当a=﹣1时；②当a+2＞﹣a时；③当a+2＜﹣a时，分别求出a的范围即可．【解答】解：（1）由题意得：A={x|1＜x＜7}，当a=4时，B={x|﹣4＜x＜6}，∴A∩B={x|1＜x＜6}；（2）B={x|（x+a）（x﹣a﹣2）＜0}，①当a=﹣1时，可得B=∅，显然A⊆B不成立；②当a+2＞﹣a，即a＞﹣1时，B={x|﹣a＜x＜a+2}，∵A⊆B，∴，解得：a≥5；③当a+2＜﹣a，即a＜﹣1时，B={x|a+2＜x＜﹣a}，∵A⊆B，∴，解得：a≤﹣7，综上，当A∪B=B时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣7或a≥5}．【点评】此题考查了并集及其运算，交集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．23．（2015秋•枣阳市期中）设集合A={x|x2﹣x+m=0}，B={x|x2+px+q=0}，且A∩B={1}，A∪B=A．（1）求实数m的值；（2）求实数p，q的值．【分析】（1）由A与B的交集确定出1为A中的元素，把x=1代入A中方程即可求出m 的值；（2）由m的值确定出A中方程的解，进而确定出A，根据A与B的并集为A，得到B为A的子集，可得出B中只有一个元素1，即B中方程只有一根1，求出p与q的值即可．【解答】解：（1）由题意可得1∈A，即x=1是方程x2﹣x+m=0的根，将x=1代入方程得：m=0；（2）由m=0，得到A中方程为x2﹣x=0，解得：x=0或x=1，即A={0，1}，∵A∪B=A，∴B⊆A，又∵A∩B={1}，∴B={1}，∴B中方程x2+px+q=0只有一个根为1，∴，解得：p=﹣2，q=1．【点评】此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．24．（2015秋•上海校级期中）已知集合．（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，分类讨论a的范围表示出B，（1）根据B为A的子集，确定出a的范围即可；（2）根据两集合的交集为空集，分B为空集与B不为空集两种情况求出a的范围即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+2）（x﹣4）＜0，解得：﹣2＜x＜4，即A=（﹣2，4），由B中不等式变形得：（x﹣a）（x﹣2a）＜0，当a＞2a，即a＜0时，解得：2a＜x＜a，此时B=（2a，a）；当a＜2a，即a＞0时，解得：a＜x＜2a，此时B=（a，2a），当a=2a，即a=0时，B=∅，（1）∵B⊆A，B=（2a，a），A=（﹣2，4），∴，且a＜0，即﹣1≤a＜0；∵B⊆A，B=（a，2a），A=（﹣2，4），∴，且a＞0，即0＜a≤2，当B=∅，即a=0时，满足题意，综上，a的范围为﹣1≤a≤2；（2）A∩B=∅，当B=∅时，a=2a，即a=0；当B≠∅时，B=（2a，a），A=（﹣2，4），可得a≤﹣2或a≥4（舍去）；B=（a，2a），A=（﹣2，4），可得2a≤﹣2或a≥4，解得：a≤﹣1（舍去）或a≥4，综上，a的范围为：a≥4或a≤﹣2或a=0．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．。
备战高考数学(精讲+精练+精析)必做02排列与组合试题(江苏版)(含解析)
专题2 排列与组合【三年高考】1. 【2016高考江苏】（1）求的值；（2）设m，n N*，n≥m，求证：（m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）.【答案】（1）0（2）详见解析试题解析：解：（1）（2）当时，结论显然成立，当时又因为所以因此【考点】组合数及其性质【名师点睛】组合数的性质不仅有课本上介绍的、，更有，现在又有，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.2．【2016高考新课标2理数改编】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为．【答案】18【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有条路，再从F处到G处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条．考点：计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．3.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为．【答案】72【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共种可能，所以其中奇数的个数为．考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．.4.【2016高考新课标3理数改编】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有个．【答案】14【解析】试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：0 1 1 1110 1 110 11 010 1 110 11 01 00 11 0100 1 110 11 01 00 11 0考点：计数原理的应用．【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．5．【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有________________个【答案】120【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.6.【2015高考上海，理8】在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：7.【2015高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】．8.【2014浙江高考理第14题】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.【答案】【解析】不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有，二是有三人各获得一张，共有，因此不同的获奖情况有种9.【2014辽宁高考理第6题】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为_________. 【答案】72【解析】如图，将6把椅子依次编号为1,2,3,4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5”；“1,3,6”；“1,4,6”；“2,4,6”号位置做热坐人，故总数由4=24.10.【2014重庆高考理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是______________.【答案】120【解析】将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.11.【2014高考广东卷理第8题】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为__________.【答案】130【2017年高考命题预测】纵观近几年高考，我们可以发现，排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一，从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查可能出现在理科附加题，属于中档题．内容以考查排列、组合的基础知识为主，考查排列组合的综合应用．题目有一定的难度，有时难度还较大，重点考查分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法.排列、组合是高考数学相对独立的内容，也是密切联系实际的一部分.在2017年高考中，应该注重基本概念，基础知识和基本运算的考查.排列组合的试题会以现实生活中的生产问题、经济问题为背景，不会仅是人或数的排列.以排列组合应用题为载体，考查学生的抽象概括能力，分析能力，综合解决问题的能力.将排列组合与概率统计相结合是近几年高考的一大热点，应引起重视.排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；考察形式：单独的考题会出现在理科附加22或23题，属于中等难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2017年高考，排列、组合及排列与组合的综合应用仍是高考的重点，同时应注意排列、组合与概率、分布列等知识的结合，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．复习建议：⑴使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事情时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理.怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情.所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.⑵排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关.⑶复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验.⑷按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义.⑸处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能.⑹在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定——问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.常见的解题策略有以下几种：①特殊元素优先安排的策略；②合理分类与准确分步的策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略；④正难则反、等价转化的策略；⑤相邻问题捆绑处理的策略；⑥不相邻问题插空处理的策略；⑦定序问题除法处理的策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.【2017年高考考点定位】本节内容高考的重点就是利用计数原理，排列组合，排列数、组合数计算公式与组合数性质, 重点考查学生的抽象概括能力，分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法.题型既有选择题也有填空题,难度中等偏下,将排列组合与概率统计相结合是近几年高考的一大热点.【考点1】计数原理【备考知识梳理】1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.3. 两个原理的区别：（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件. 【规律方法技巧】1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．6. 分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．分步乘法计数原理的两个条件：(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．7. 应用两种原理解题：(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．8. 涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．【考点针对训练】1.用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？（2）可以排出多少个不同的数？（3）恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？【答案】（1）120；（2）216；（3）90．【解析】试题分析：（1）得到一个三位数，分三步进行：先填百位，有6种方法；再填十位，有5种方法；最后填个位，有4种方法，根据分步计数原理可得；（2）分三步进行：先填百位，再填十位，最后填个位，每种都有6种方法，根据分步计数原理可得；（3）从三个位中任选两个位，填上相同的数字，有种方法，剩下的一位数字的填法有5中，根据分步计数原理可求得结果．2.某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？【答案】185种.【解析】试题分析：根据分类加法计数原理，这个问题可按只会印刷的四人作为分类标准：第一类：只会印刷的4人全被选出，有种；第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，即可.试题解析：将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类：第一类：只会印刷的4人全被选出，有种；第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种4；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种.所以共有（种）.【考点2】排列组合综合【备考知识梳理】1. 排列的相关概念及排列数公式(1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．(3)排列数公式：这里并且(4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定.2．组合的相关概念及组合数公式(1)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．(3)组合数的计算公式：，由于，所以.(4)组合数的性质：①；②；③.3.区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．4.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．5.要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．【规律方法技巧】1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2. 解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．3. 有条件的排列问题大致分四种类型．(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．5.排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有种不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法．【考点针对训练】1.现有6名学生，按下列要求回答问题（列出算式，并计算出结果）：（Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数；（Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；（Ⅲ）把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数；（Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率．．．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）；（Ⅳ）【解析】试题分析：（Ⅰ）6个人全排列共有种不同排法，由于甲站在乙的前面与乙站在甲的前面各占一半，故甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数为；（Ⅱ）甲乙捆绑到一起与剩下3人共4人共有种不同排法，由于丙与乙不相邻，丙只需从甲乙这个整体与剩余3人产生的4个空中任选一个进行排放，根据分步计数原理，共种不同排法；（Ⅲ）6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人有两类，第一类是3个班级各1人，1个班级有3人，这种情况共有，第二类是2个班级2人，2个班级1人，这种情况共有,根据分类计数原理知每个班级至少1人的不同分配方法种数为；（Ⅳ）记A：甲乙相邻共有种不同排法，记B:甲、乙相邻且丙、丁不相邻共有种不同排法，根据条件概率的计算公式试题解析：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）2. 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2）甲得一本，乙得二本，丙得三本；（3）平均分给甲、乙、丙三人；（4）平均分成三堆.【答案】（1）60；（2）60; (3)90; (4)15【解析】（1）先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法种．（2）由（1）知．分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为种．（4）把6本不同的书分成三堆，每推二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应种，由（3）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有种．所以,则（种）.【两年模拟详解析】1.将甲、乙等名学生分配到三个不的班级，每个班级至少1．用这六个数字，完成下面两个小题．（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数；（2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）依据能被整除的数，其个位是或，分两类，由加法原理得到结论；（2）对于选不选零，结果会受影响，所以第一类均不为零，的取值，第二类中有一个为，则不同的直线仅有两条，根据分类计数原理得到结果．（2）中有一个取时，有条；都不取时，有（条）；与重复；，与重复．故共有（条）．2．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）；（5）甲、乙站在两端．【答案】（1）480；（2）240；（3）480；（4）360；（5）48．【解析】试题分析：本题主要考查排列组合等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，甲除去两端的位置外，还有四个位置可供选择，排好后再其余的5人；第二问，用捆绑法把甲乙看成1个人，甲乙进行全排列，5个人进行全排列；第三问，用插空法，先排其余4人，将甲乙插在5个空中；第四问，先排甲乙以外的4人，排好后剩下的2个位置直接放甲和乙；第五问，先排甲乙两端的位置，再排中间4个人．试题解析：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步计数原理，共有站=480（种）．方法二：由于不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选 2个人站，有种站法，然后中间4人有。
人教版中考数学中档题突破 专项训练二 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
12．等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方
程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为1100.
13．关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，则此方程 的根为xx11＝＝xx22＝1＝1.
14．(2020·黄石)已知：关于x的一元二次方程x2＋ m x－2＝0有两个实 数根． (1)求m的取值范围； 解：(1)由题意，得 Δ＝( m)2－4×1×(－2)＝m＋8≥0，且m≥0， 解得m≥0.
A．2 B．－1
1 C．－2 D．－2
3．(2019·荆州)若一次函数y＝kx＋b的图象不经过第二象限，则关于x
的方程x2＋kx＋b＝0的根的情况是
（ A）
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
4．(2022·仙桃)若关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4m－1＝0有两个
只有一个实数解；取
何值，方程都有一个负数解．其中正确的是
（ C）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
9．(2022·荆州模拟)小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只
抄对了a＝1，b＝3，解出其中的一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c
比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是
11 D．－2≤k＜2且k≠0
6．(2021·荆州)定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q.有[m，p]※
[q，n]＝mn＋pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，
3]※[4，5]＝2×5＋3×4＝22.若关于x的方程[x2＋1，x]※[5－2k，k]
＝0有两个实数根，则k的取值范围是
2021中考总复习课件第42讲 广东中考中档解答题专练(2)——简单应用题
解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x. 根据题意，得20 000（1+x）2=24 200. 解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）. 答：口罩日产量的月平均增长率为10%． （2）24 200×（1+0.1）=26 620（个）． 答：预计4月份平均日产量为26 620个．
类型六:
解：（1）设甲气球的函数解析式为y=kx+b，乙气球的函
数解析式为y=mx+n.
分别将（0，5），（20，25）和（0，15），（20，25）
代入，得 b=5,
n=15,
20k+b=25. 20m+n=25.
解得 k=1, b=5,
m= n=15.
∴甲气球的函数解析式为y=x+5，乙气球的函数解析式为 y= x+15.
解：设甲工程队每天掘进x m，则乙工程队每天掘进（x-2） m. 由题意，得2x+（x+x-2）=26. 解得x=7. ∴甲工程队每天掘进7 m，乙工程队每天掘进5 m. （146-26）÷(7+5)＝10（天）. 答：甲、乙两个工程队还需联合工作10天．
类型二:
二元一次方程组应用题
【例2】(2020·黄冈）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府 组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现， 如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元;如果 购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元.请问每盒羊 角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
5. （2019·徐州改编）如图3-42-1，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周 突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的 边长取何值时，所得长方体盒子的底面积为200 cm2？
中考数学 中档题突破 专项训练二 古代数学文化
3．(2021·武汉)我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，
人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现
有几个人共买一件物品，每人出 8 钱，多出 3 钱；每人出 7 钱，还差 4
钱．问人数，物价各是多少？若设共有 x 人，物价是 yx－3)＝7(x＋4) B．8x＋3＝7x－4
木条长为 y 尺，则根据题意所列方程组正确的是
( B)
x－y＝4.5， x－y＝4.5， x－y＝4.5， x－y＝4.5，
A.21x－y＝1
B.y－12x＝1 C.x－12y＝1
D.12y－x＝1
2．(2021·岷县二模)程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧
三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有 100 个和
8x
7．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九 两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何．”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值 19 两银子；2 头牛、5 只羊，值 16 两银子，问每头牛、 每只羊分别值银子多少两．”请根据译文，解答如下问题：求每头牛、每 只羊各值多少两银子．
专项训练二 古代数学文 化
1．(2021·肃州区四模)我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今
有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木
长几何？”大致意思是：“用绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺，将绳
子对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？”设绳子长为 x 尺，
物，人出九，盈四；人出六，不足五，问人数、物价各几何？据此设计
一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出 9 元，则多了 4 元；如果
每人出 6 元，则少了 5 元，问组团人数和物价各是多少？若设 x 人参与
中考数学 中档题突破 专项训练七 新函数的图象与性质的探究题
(1)列表：如表的已知数据是根据 A，E 两点间的距离 x 进行取点、画图、 测量，分别得到了 x 与 y 的几组对应值，请补全表格；
x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.3 2.5 y/cm 0 0.39 0.75 1.07 1.33 1.45 11..50 x/cm 2.8 3.2 3.5 3.6 3.8 3.9 50 y/cm 1.53 1.42 1.17 1.03 0.63 0.35
(1)按照表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应值：
x/cm 0 1 2 3 4
5
6
y1/cm 2.49 2.64 2.88 3.25 3.80 4.65 6.00
y2/cm 4.59 4.24 3.80 3.25 2.51 11..35 0.00 35
解：(1)①当 x＝BM＝0 时，MN＝BE. ∵AB＝AC，BE＝DE， ∴∠B＝∠C＝∠EDB， ∴ED∥AC.
∵D 是 BC 的中点， ∴E 是 AB 的中点， ∴y＝MN＝BE＝12AB＝3.
②x＝BM＝83，又∵在△MBD 中，BD＝4，
42
5
5
cos B＝6＝3，sin B＝ 3 ，tan B＝ 2 ，
小涛根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进
行了探究．
下面是小涛的探究过程，请补充完整．
(1)列表：下表的已知数据是根据 B，M 两点间的距离 x 进行取点、画图、
测量，分别得到了 y 与 x 的几组对应值：
x/cm
0
0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
解： (1)x，y 都是边长，因此都是正数， 点(x，y)在第一象限，故答案为：一．
中考数学 中档题突破 专项训练二 实际应用与方案设计
6．(2022·赤峰)某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植 A，B 两种
苗木共 6 000 株，其中 A 种苗木的数量比 B 种苗木的数量的一半多 600
株．
(1)请问 A，B 两种苗木各多少株；
解：设 A 苗木的数量是 x 棵，则 B 苗木的数量是 y 棵，根据题意可得
x＋y＝6 000，
x＝2 400，
(2)该农场安排两种型号的收割机共 12 台同时进行小麦收割作业，为确 保每天完成不少于 50 公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台 A 型收割 机？
解：设每天要安排 y 台 A 型收割机，根据题意，得 5y＋3(12－y)≥50，解得 y≥7. 答：至少要安排 7 台 A 型收割机．
5．(2022·玉林)某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共 21 t，第 一次购买龙眼的价格为 0.4 万元/t；因龙眼大量上市，价格下跌，第二 次购买龙眼的价格为 0.3 万元/t，两次购买龙眼共用了 7 万元．
3．(2022·郴州)为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小 姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地 蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格 比乙种有机肥每吨的价格多 100 元，购买 2 t 甲种有机肥和 1 t 乙种有 机肥共需 1 700 元．
(2)若给全班 50 名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的 纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过 540 元，最多可以购买多少本 笔记本？ 解：设购买 y 本笔记本，则购买钢笔(50－y)支，依题意得 12y＋10(50－y)≤540，解得 y≤20， 答：最多可以购买笔记本 20 本．
解：设绳子的单价为 x 元，则实心球的单价为(x＋23)元，根据题意，得 84 360 x ＝x＋23，解得 x＝7， 经检验，x＝7 是所列分式方程的解，且符合实际， ∴x＋23＝30(元)． 答：绳子的单价为 7 元，实心球的单价为 30 元．
(北师版)七年级数学上学期中档解答题专项训练
（北师版）七年级数学上学期中档解答题专项训练一．正数和负数（共2小题）1．超市购进8筐白菜，以每筐25kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：1.5，﹣3，2，﹣0.5，1，﹣2，﹣2，﹣2.5．（1）这8筐白菜总计超过或不足多少千克？（2）这8筐白菜一共多少千克？（3）超市计划这8筐白菜按每千克3元销售，为促销超市决定打九折销售，求这8筐白菜现价比原价便宜了多少钱？2．2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是二月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）．星期一二三四五六日增减+100﹣200+400﹣100﹣100+350+150（1）根据记录可知前三天共生产多少个口罩；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个；（3）该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？二．数轴（共1小题）3．已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数为80．（1）请直接写出AB的中点M对应的数．（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题：①试求出点C在数轴上所对应的数；②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？三．有理数的混合运算（共3小题）4．计算（1）10﹣（﹣5）+（﹣8）；（2）÷（﹣1）×（﹣2）；（3）（+﹣）×12；（4）（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4．5．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊗”，规定a⊗b＝|a+b|﹣|a﹣b|．（1）计算（﹣3）⊗2的值；（2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊗b．6．计算：（1）（﹣+﹣）×（﹣24）；（2）﹣14+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|．四．列代数式（共1小题）7．某市为鼓励市民节约用水，特制定如下的收费标准：若每月每户用水不超过10立方米，则按3元/立方米的水价收费，并加收0.2元/立方米的污水处理费；若超过10立方米，则超过的部分按4元/立方米的水价收费，污水处理费不变．（1）若小华家5月份的用水量为8立方米，那么小华家5月份的水费为元；（2）若小华家6月份的用水量为15立方米，那么小华家6月份的水费为元；（3）若小华家某个月的用水量为a（a＞10）立方米，求小华家这个月的水费（用含a的式子表示）．五．代数式求值（共1小题）8．如图所示是一个长方形．（1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S；（2）若x＝2，求S的值．六．整式的加减（共1小题）9．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个二次三项式，形式如下：3（x﹣1）+▇＝x2﹣5x+1（1）求所挡的二次三项式；（2）若x＝﹣3，求所挡的二次三项式的值．七．整式的加减—化简求值（共3小题）10．先化简下式，再求值：2（x﹣2y）﹣（3x﹣6y）+2x，其中x＝﹣4，y＝3．11．在对多项式（x2y+5xy2+5）﹣[（3x2y2+x2y）﹣（3x2y2﹣5xy2﹣2）]代入计算时，小明发现不论将x、y任意取值代入时，结果总是同一个定值，为什么？12．已知，求代数式的值．八．完全平方公式的几何背景（共1小题）13．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．九．平方差公式（共1小题）14．观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1（1）根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝；（2）你能否由此归纳出一般规律（x﹣1）（x n+x n﹣1+……+x+1）＝；（3）根据以上规律求32018+32017+32016+…32+3+1的结果．一十．整式的混合运算（共2小题）15．王老师家买了一套新房，其结构如图所示（单位：m）．他打算将卧室铺上木地板，其余部分铺上地砖．（1）木地板和地砖分别需要多少平方米？（2）如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米3x元，那么王老师需要花多少钱？16．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b ﹣c）2+（c﹣a）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美观．（1）请你检验这个等式的正确性；（2）若a＝2005，b＝2006，c＝2007，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？一十一．整式的混合运算—化简求值（共1小题）17．先化简，再求值：（2x+y）（2x﹣y）﹣（x﹣2y）2+y（﹣4x+5y+1），其中x＝2，y＝2008．一十二．解一元一次方程（共2小题）18．关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣m＝x的解互为相反数．（1）求m的值；（2）求这两个方程的解．19．．一十三．一元一次方程的应用（共5小题）20．列方程解应用题：如图，现有两条乡村公路AB、BC，AB长为1200米，BC长为1600米，一个人骑摩托车从A处以20m/s的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶；另一人骑自行车从B处以5m/s的速度从B 向C行驶，并且两人同时出发．（1）求经过多少秒摩托车追上自行车？（2）求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米？21．华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍：甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？22．A、B两地相距360km，甲、乙两车分别沿同一条路线从A地出发驶往B地，已知甲车的速度为60km/h，乙车的速度为90km/h，甲车先出发1h后乙车再出发，乙车到达B地后在原地等甲车．（1）求乙车出发多长时间追上甲车？（2）求乙车出发多长时间与甲车相距50km？23．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表：销售量单价不超过100件部分 2.6元/件超过100件不超过300件部分 2.2元/件超过300件部分2元/件（1）若买100件花元，买300件花元；买380件花元；（2）小明买这种商品花了568元，列方程求购买这种商品多少件？（3）若小明花了n元（n＞260），恰好购买0.45n件这种商品，求n的值．24．甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为a（0＜a＜100）千米/小时，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米/小时，设客车行驶时间为t（小时）（1）当t＝5时，客车与乙城的距离为千米（用含a的代数式表示）（2）已知a＝70，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米①求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间；（列方程解答）②已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站M处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种返回乙城的方案：方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计；方案二：在M处换乘客车返回乙城．试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？一十四．两点间的距离（共2小题）25．如图，C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB＝18cm，AC＝4CD．（1）图中共有条线段；（2）求AC的长；（3）若点E在直线AB上，且EA＝2cm，求BE的长．26．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．一十五．方向角（共1小题）27．如图，OA，OB，OC，OD分别表示北、南、西、东，∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，OE表示北偏东15°．（1）请在图中画出表示南偏西50°的射线OH和表示东南方向的射线ON；（2）通过计算判断射线OG表示的方向．一十六．角平分线的定义（共1小题）28．如图①，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC 的平分线．（1）求∠MON的度数．（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．（3）其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图②，已知线段AB＝a，延长线段AB到C，使BC＝m，点M、N分别为线段AC、BC的中点，求线段MN的长（用含a，m的式子表示）．一十七．角的计算（共1小题）29．如图，∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．（1）求∠BOC的度数；（2）若∠DOE＝30°，求∠BOE的度数．30．问题情境：以直线AB上一点O为端点作射线OM、ON，将一个直角三角形的直角顶点放在O处（∠COD＝90°）．（1）如图1，直角三角板COD的边OD放在射线OB上，OM平分∠AOC，ON和OB重合，则∠MON ＝°；（2）直角三角板COD绕点O旋转到如图2的位置，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数．（3）直角三角板COD绕点O旋转到如图3的位置，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，猜想∠MON的度数，并说明理由．一十九．平行线的判定（共1小题）31．已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；（2）求证：BE∥CD．32．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线M上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP 和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）∠CBD＝（2）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，则此时∠ABC＝（3）在点P运动的过程中，∠APB与∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．33．完成下面的证明．已知：如图，BC∥DE，BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．求证：∠1＝∠2．证明：∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠ADE（）．∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．∴∠3＝∠ABC，∠4＝∠ADE．∴∠3＝∠4．∴∥（）．∴∠1＝∠2（）．34．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．35．已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE（1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数；（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．二十一．作图—基本作图（共1小题）36．如图，点C是线段AB外一点，用没有刻度直尺和圆规画图：（1）画射线CB；（2）画直线AC；（3）①延长线段AB到E，使AE＝3AB；②在①的条件下，如果AB＝2cm，那么BE＝cm．二十二．频数（率）分布直方图（共2小题）37．某市在今年对全市6000名八年级学生进行了一次视力抽样调查，并根据统计数据，制作了统计表和如图所示统计图．组别视力频数（人）A 4.0≤x＜4.320B 4.3≤x＜4.6aC 4.6≤x＜4.9bD 4.9≤x＜5.270E 5.2≤x＜5.510请根据图表信息回答下列问题：（1）求抽样调查的人数；（2）a＝，b＝，m＝；（3）补全频数分布直方图；（4）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，则视力正常的人数占被统计人数的百分比是多少？根据上述信息估计该市今年八年级视力正常的学生大约有多少人？38．为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成A，B，C，D，E五个小组，绘制统计图如下（未完成），解答下列问题：（1）样本容量为，频数分布直方图中a＝；（2）扇形统计图中D小组所对应的扇形圆心角为n°，求n的值并补全频数分布直方图；（3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？二十三．条形统计图（共2小题）39．在读书月活动中学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就”我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类）．下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了名同学；（2）条形统计图中m＝，n＝；（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是度；（4）学校计划购买课外读物8000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？40．在“国庆车展”期间，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，图①是各型号参展轿车的百分比，图②是已售出的各型号轿车的数量．（两幅统计图尚不完整）（1）参加展销的D型号轿车有多少辆？（2）请你将图②的统计图补充完整；（3）通过计算说明哪一款型号的轿车销售情况最好？参考答案与试题解析（北师版）七年级数学上学期中档解答题专项训练一．正数和负数（共2小题）1．解：（1）1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2﹣2.5＝﹣5.5（千克），答：以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计不足5.5千克；（2）1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2﹣2.5＝﹣5.5（千克），25×8﹣5.5＝194.5（千克），答：这8筐白菜一共194.5千克；（3）194.5×3＝583.5（元），583.5×（1﹣0.9）＝58.35（元）．答：这8筐白菜现价比原价便宜了58.35元．2．解：（1）（+100﹣200+400）+3×5000＝15300（个）．故前三天共生产15300个口罩；（2）+400﹣（﹣200）＝600（个）．故产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个；（3）5000×7+（100﹣200+400﹣100﹣100+350+150）＝35600（个），0.2×35600＝7120（元）．故本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是7120元．二．数轴（共1小题）3．解：（1）AB的中点M所对应的数为＝30（2）①如图1，设点C所表示的数为x，则AC＝x+20，BC＝80﹣x，由题意得，＝，解得，x＝40，答：点C在数轴上所表示的数为40；②分两种情况进行解答，设运动的时间为t秒Ⅰ）如图2，相遇前相距15个单位长度，则3t+2t＝80﹣（﹣20）﹣15，解得，t＝17（秒），Ⅱ）如图3，相遇后相距15个单位长度则3t+2t＝80﹣（﹣20）+15，解得，t＝23（秒）答：当两只蚂蚁运动17秒或23秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度．三．有理数的混合运算（共3小题）4．解：（1）10﹣（﹣5）+（﹣8）＝10+5﹣8＝7；（2）÷（﹣1）×（﹣2）＝×（﹣）×（﹣）＝；（3）（+﹣）×12＝×12+×12﹣×12＝3+2﹣6＝﹣1；（4）（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4＝1×2+（﹣8）÷4＝2﹣2＝0．5．解：（1）∵a⊗b＝|a+b|﹣|a﹣b|，∴（﹣3）⊗2＝|（﹣3）+2|﹣|（﹣3）﹣2|＝1﹣5＝﹣4；（2）由数轴可得，b＜0＜a，|b|＞|a|，a⊗b＝|a+b|﹣|a﹣b|＝﹣（a+b）﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a．6．解：（1）（﹣+﹣）×（﹣24）＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）＝16﹣15+4＝5；（2）﹣14+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|＝﹣1+16÷（﹣8）×4＝﹣1﹣8＝﹣9．四．列代数式（共1小题）7．解：（1）由题意，得8×（3+0.2）＝25.6（元）故答案是：25.6；（2）由题意，得10（3+0.2）+（15﹣10）（4+0.2）＝53（元）故答案是：53；（3）3×10+4（a﹣10）+0.2a＝4.2a﹣10．∴小华家这个月的水费为（4.2a﹣10）元五．代数式求值（共1小题）8．解：（1）S阴影部分＝S长方形﹣S三角形ABC﹣S三角形DEF＝12×6﹣×12×6﹣×6×（6﹣x）＝72﹣36﹣18+3x＝18+3x；（2）当x＝2时，S＝18+3×2＝24．六．整式的加减（共1小题）9．解：（1）由题意，可得所挡的二次三项式为：（x2﹣5x+1）﹣3（x﹣1）＝x2﹣5x+1﹣3x+3＝x2﹣8x+4；（2）当x＝﹣3时，x2﹣8x+4＝（﹣3）2﹣8×（﹣3）+4＝9+24+4＝37．七．整式的加减—化简求值（共3小题）10．解：原式＝2x﹣4y﹣x+2y+2x＝3x﹣2y，当x＝﹣4，y＝3时，原式＝﹣12﹣6＝﹣18．11．解：（x2y+5xy2+5）﹣[（3x2y2+x2y）﹣（3x2y2﹣5xy2﹣2）]＝x2y+5xy2+5﹣（3x2y2+x2y﹣3x2y2+5xy2+2）＝x2y+5xy2+5﹣3x2y2﹣x2y+3x2y2﹣5xy2﹣2＝（x2y﹣x2y）+（5xy2﹣5xy2）+（﹣3x2y2+3x2y2）+（5﹣2）＝3，∴结果是定值，与x、y取值无关．12．解：因为，所以解得，；原式＝＝＝a2﹣ab，当，时，原式＝＝．八．完全平方公式的几何背景（共1小题）13．解：（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，…（2分）故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；…（4分）（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴，∴x+y+z＝9，故答案为：9；…（6分）（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．…（8分）九．平方差公式（共1小题）14．解：（1）根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；（2）根据题意得：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝x n+1﹣1；（3）原式＝×（3﹣1）×（1+3+32+…+32017+32018）＝．故答案为：（1）x7﹣1；（2）x n+1﹣1一十．整式的混合运算（共2小题）15．解：（1）卧室的面积是：2b（4a﹣2a）＝4ab（平方米），厨房、卫生间、客厅的面积是：b•（4a﹣2a﹣a）+a•（4b﹣2b）+2a•4b＝ab+2ab+8ab＝11ab（平方米），即木地板需要4ab平方米，地砖需要11ab平方米；（2）11ab•x+4ab•3x＝11abx+12abx＝23abx（元）即王老师需要花23abx元．16．解：（1）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，＝（a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2），＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac；（2）a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，＝[（2005﹣2006）2+（2006﹣2007）2+（2007﹣2005）2]，＝3．一十一．整式的混合运算—化简求值（共1小题）17．解：原式＝4x2﹣y2﹣x2+4xy﹣4y2﹣4xy+5y2+y＝3x2+y∵x＝2，y＝2008，∴原式＝3×22+2008＝2020一十二．解一元一次方程（共2小题）18．解：（1）由x﹣2m＝﹣3x+4得：x＝m+1，依题意有：m+1+2﹣m＝0，解得：m＝6；（2）由m＝6，解得方程x﹣2m＝﹣3x+4的解为x＝×6+1＝3+1＝4，解得方程2﹣m＝x的解为x＝2﹣6＝﹣4．19．解：去分母得，4（2x﹣1）﹣2（10x﹣1）＝3（2x+1）﹣12，去括号得，8x﹣4﹣20x+2＝6x+3﹣12，移项得，8x﹣20x﹣6x＝3﹣12+4﹣2，合并同类项得，﹣18x＝﹣7，系数化为1得，x＝．一十三．一元一次方程的应用（共5小题）20．解：（1）设经过x秒摩托车追上自行车，20x＝5x+1200，解得x＝80．答：经过80秒摩托车追上自行车．（2）设经过y秒两人相距150米，第一种情况：摩托车还差150米追上自行车时，20y﹣1200＝5y﹣150解得y＝70．第二种情况：摩托车超过自行车150米时，20y＝150+5y+1200解得y＝90．答：经过70秒或90秒两人在行进路线上相距150米．21．解：（1）设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品2x件，根据题意得：20×2x+30x＝7000，解得：x＝100，∴2x＝200件，答：该超市第一次购进甲种商品200件，乙种商品100件．（2）（25﹣20）×200+（40﹣30）×100＝2000（元）答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润2000元．（3）方法一：设第二次乙种商品是按原价打y折销售根据题意得：（25﹣20）×200+（40×﹣30）×100×3＝2000+800，解得：y＝9答：第二次乙商品是按原价打9折销售．方法二：设第二次乙种商品每件售价为y元，根据题意得：（25﹣20）×200+（y﹣30）×100×3＝2000+800，解得：y＝36×100%＝90%答：第二次乙商品是按原价打9折销售．方法三：2000+800﹣100×3＝1800元∴＝6，∴×100%＝90%，答：第二次乙商品是按原价打9折销售．22．解：（1）设乙车出发x小时追上甲车，由题意得：60+60x＝90x解得x＝2故乙车出发2小时追上甲车．（2）乙车出发后t小时与甲车相距50km，存在以下三种情况：①乙车出发后在追上甲车之前，两车相距50km，则有：60+60t＝90t+50 解得t＝；②乙车超过甲车且未到B地之前，两车相拒50km，则有：60+60t+50＝90t解得t＝；③乙车到达B地而甲车未到B地，两车相距50km，则有：60+60t+50＝360 解得t＝．故乙车出发小时、小时或小时与甲车相距50km．23．解：（1）买100件花：2.6×100＝260（元）买300件花：2.6×100+2.2×200＝700（元）买380件花：2.6×100+2.2×200+2×80＝860（元）故答案为：260，700，860（2）设购买这种商品x件因为花费568＜700，所以购买的件数少于300件．260+2.2（x﹣100）＝568解得：x＝240答：购买这种商品240件（3）①当260＜n≤700时260+2.2（0.45n﹣100）＝n解得：n＝4000（不符合题意，舍去）②当n＞700时700+2（0.45n﹣300）＝n解得：n＝1000综上所述：n的值为100024．解：（1）当t＝5时，客车与乙城的距离为（800﹣5a）千米故答案为：（800﹣5a）；（2）①解：设当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是t小时a：当客车和出租车没有相遇时70t+90t+100＝800解得：t＝4.375b：当客车和出租车相遇后70t+90t﹣100＝800解得：t＝5.625当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是4.375小时或5.625小时②小王选择方案二能更快到达乙城．【精思博考：选择方案一时，小王需要7小时到达乙城；选择方案二时，小王需要小时到达乙城】解：设客车和出租车x小时相遇70x+90x＝800∴x＝5此时客车走的路程为350km，出租车的路程为450km∴丙城与M城之间的距离为90km方案一：小王需要的时间是（90+90+450）÷90＝7h方案二：小王需要的时间是450÷70＝∴小王选择方案二能更快到达乙城．一十四．两点间的距离（共2小题）25．解：（1）图中有四个点，线段有＝6．故答案为：6；（2）由点D为BC的中点，得BC＝2CD＝2BD，由线段的和差，得AB＝AC+BC，即4CD+2CD＝18，解得CD＝3，AC＝4CD＝4×3＝12cm；（3）①当点E在线段AB上时，由线段的和差，得BE＝AB﹣AE＝18﹣2＝16cm，②当点E在线段BA的延长线上，由线段的和差，得BE＝AB+AE＝18+2＝20cm．综上所述：BE的长为16cm或20cm．26．解：（1）当DP＝2PE时，DP＝DE＝10cm；当2DP＝PE时，DP＝DE＝5cm．综上所述：DP的长为5cm或10cm．（2）①根据题意得：（1+2）t＝15，解得：t＝5．答：当t＝5秒时，点P与点Q重合．②（I）点P、Q重合前，AP＝t，PQ＝15﹣t﹣2t＝15﹣3t，当2AP＝PQ时，有2t＝15﹣3t，解得：t＝3；当AP＝2PQ时，有t＝2（15﹣3t），解得：t＝；（II）点P、Q重合后，AP＝t，PQ＝（2﹣1）（t﹣5）＝t﹣5，当AP＝2PQ时，有t＝2（t﹣5），解得：t＝10；当2AP＝PQ时，有2t＝（t﹣5），解得：t＝﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t＝3秒、秒或10秒时，点P是线段AQ的三等分点．一十五．方向角（共1小题）27．解：（1）如图所示：OH表示南偏西50°方向，ON表示东南方向；（2）∵∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，∴∠AOG＝∠MOG﹣∠AOM＝70°，∴射线OG表示的方向为北偏东70°方向．一十六．角平分线的定义（共1小题）28．解：（1）∵∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝100°+60°＝160°，∵OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠MOA＝∠AOC＝80°，∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝100°﹣80°＝20°，∵ON平分∠BOC，∴∠BON＝∠CON＝30°，∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝20°+30°＝50°；（2）∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，∵OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠MOA＝∠AOC＝（α+β），∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝α﹣（α+β）＝α﹣β，∵ON平分∠BOC，∴∠BON＝∠CON＝β，∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝，故∠MON＝；（3）∵AB＝a，BC＝m，∴AC＝AB+BC＝a+m，∵M是AC中点，∴MC＝，∵N是BC中点，∴NC＝，∴MN＝MC﹣NC＝＝．一十七．角的计算（共1小题）29．解：（1）∵∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，∴∠BOC＝∠AOC＝×80°＝40°；（2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC＝80°，∠DOE＝30°，∴∠BOC＝∠AOC＝40°，∠COE＝2∠DOE＝60°，∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝40°+60°＝100°．一十八．余角和补角（共1小题）30．解：（1）∵∠COD＝90°，OM平分∠AOC，ON和OB重合，∴∠MOC＝∠AOC＝（∠AOB﹣∠COD）＝45°，∴∠MON＝∠MOC+∠COD＝45°+90°＝135°，故答案为：135；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC＝∠AOC，∠DON＝∠BOD，∵∠COD＝90°，∴∠MOC+∠DON＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD）＝（∠AOB﹣∠COD）＝（180°﹣90°）＝45°，∴∠MON＝∠MOC+∠DON+∠COD＝45°+90°＝135°，即∠MON的度数是135°；（3）猜想∠MON的度数是135°，理由是：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，∵∠COD＝90°，∴∠MOC+∠BON＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD）＝（∠AOB﹣∠COB+∠BOD）＝[∠AOB﹣（∠COD﹣∠BOD）+∠BOD]＝[∠AOB﹣∠COD+∠BOD+∠BOD]＝[180°﹣90°+∠BOD+∠BOD]＝45°+∠BOD∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠COB＝45°+∠BOD+∠COB＝45°+∠COD＝135°，即∠MON的度数是135°．一十九．平行线的判定（共1小题）31．解：（1）∵∠A＝∠ADE，∴AC∥DE，∴∠EDC+∠C＝180°，又∵∠EDC＝3∠C，∴4∠C＝180°，即∠C＝45°；（2）∵AC∥DE，∴∠E＝∠ABE，又∵∠C＝∠E，∴∠C＝∠ABE，∴BE∥CD．二十．平行线的性质（共4小题）32．解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°，又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝（∠ABP+∠PBN）＝∠ABN＝60°，故答案为：60°．（2）∵AM∥BN，又∵∠ACB＝∠ABD，∴∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝∠CBN﹣∠CBD＝∠DBN，∴∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN，∴∠ABC＝∠ABN＝30°，故答案为：30°．（3）不变．理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠ADB＝∠DBN＝∠PBN＝∠APB，即∠APB：∠ADB＝2：1．33．证明：∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠ADE（两直线平行，同位角相等）．∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．∴∠3＝∠ABC，∠4＝∠ADE．∴∠3＝∠4，∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行），∴∠FDE＝∠DEB（两直线平行，内错角相等），故答案是：两直线平行，同位角相等；DF；BE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．34．解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠1＝65°（两直线平行，同位角相等），∠ABD+∠BDC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵BC平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABC＝130°（角平分线定义）∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝50°，∴∠2＝∠BDC＝50°（对顶角相等）．35．解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣（∠B﹣∠A）＝120°．（2）在图②中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．∵QM∥AD，QM∥BE，∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，∴∠NAD＝∠CAD，∠EBQ＝∠CBE，∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM＝（∠CBE﹣∠CAD）．∵∠C＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝180°﹣2∠AQB，∴2∠AQB+∠C＝180°．（3）∵AC∥QB，∴∠AQB＝∠CAP＝∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝∠CBE，∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°﹣∠CBE．∵2∠AQB+∠ACB＝180°，∴∠CAD＝∠CBE．又∵QP⊥PB，∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，∴∠ACB＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝120°，∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．二十一．作图—基本作图（共1小题）36．解：（1）如图所示，射线CB即为所求；（2）如图所示，直线AC即为所求；（3）①如图所示，线段AE即为所求；②∵AB＝2cm，AE＝3AB，∴AE＝6cm．则BE＝AE﹣AB＝4cm．故答案为：4．二十二．频数（率）分布直方图（共2小题）37．解：（1）抽样调查的人数是：20÷10%＝200人；（2）a＝200×20%＝40，b＝200﹣（20+40+70+10）＝60，m%＝＝30%，即m＝30，故答案为40，60，30；（3）根据（2）求出a，b的值，补图如下（4）视力正常的人数占被统计人数的百分比是：35%+5%＝40%；根据题意得：6000×40%＝2400（人）．答：该市今年八年级的学生视力正常的学生2400人．38．解：（1）学生总数是40÷20%＝200（人），则a＝200×8%＝16；故答案为：200；16；（2）n＝360×＝126°．C组的人数是：200×25%＝50．如图所示：；（3）样本D、E两组的百分数的和为1﹣25%﹣20%﹣8%＝47%，∴2000×47%＝940（名）答估计成绩优秀的学生有940名．二十三．条形统计图（共2小题）39．解：（1）根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，故本次调查中，一共调查了：70÷35%＝200人，故答案为：200；（2）根据科普类所占百分比为：30%，则科普类人数为：n＝200×30%＝60人，m＝200﹣70﹣30﹣60＝40人，故m＝40，n＝60；故答案为：40，60；（3）艺术类读物所在扇形的圆心角是：×360°＝72°，故答案为：72；（4）由题意，得8000×＝1200（册）．答：学校购买其他类读物1200册比较合理．40．解：（1）1000×（1﹣35%﹣20%﹣20%）＝1000×25%＝250（辆），所以参加展销的D型号轿车有250辆；（2）1000×20%×50%＝100（辆），如图2，（3）四种轿车的成交率分别为：A：×100%＝48%，B：×100%＝49%，C：50%，D：×100%＝52%．所以D型号的轿车销售的情况最好．。
中考数学 中档题突破 专项训练二 古代数学文化题
9．(2020·嘉兴)数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人 平分 10 元钱，每人分得若干；若再加上 6 人，平分 40 元钱，则第二次 每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为 x 人，则可列方程为 1x0＝＝x4＋06 .
10．(2020·株洲)据《汉书·律历志》记载：“量者，龠 (yuè)、合、升、斗、斛(hú)也．”斛是中国古代的一种 量器．“斛底，方而圜(huán)其外，旁有庣(tiāo)焉．” 意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是 一个同心圆．”如图所示． 问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即 2.5 尺)，“庣旁”为 两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为 0.25 尺)，则此斛底面 的正方形的周长为 44 2尺尺．(结果用最简根式表示)
11．(2021·泰安)《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，
甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”
其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的
钱给甲，则甲的钱数为 50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为 50.问
甲、乙各有多少1钱？”设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y，根据题意，可列
( A)
3．(2021·株洲)《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米
之法”：“粟率五十，粝米三十……”(粟指带壳的谷子，粝米指糙米)，
其意为：“50 单位的粟，可换得 30 单位的粝米……”．
问题：有 3 斗的粟(1 斗＝10 升)，若按照此“粟米之法”，则可以换得
的粝米为
( C)
A．1.8 升 B．16 升 C．18 升 D．50 升
x＋2y＝50，
方程组为 23x＋y＝50
【压轴卷】高三数学下期中第一次模拟试题(含答案)(2)
【压轴卷】高三数学下期中第一次模拟试题(含答案)(2)一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2014．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年5．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,6．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)7．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102008．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9009．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ）A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14± D ．1411．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B．()-+∞C ．[)3,-+∞D．)⎡-+∞⎣12．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-二、填空题13．若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.14．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于_____．15．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．16．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积6S =+形的外接圆半径是______ 17．设0,0,25x y x y >>+=______.18．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 19．在无穷等比数列{}n a中，121a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．三、解答题21．设函数()112f x x =+＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求11m n+的最小值. 22．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且sin sin sin sin a A b B c C B +=+()1求角C ；()2求cos 4A B π⎛⎫-+⎪⎝⎭的最大值． 23．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.24．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 25．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S2，求sin C 的值． 26．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．向量()m a =r与()cos ,sin n =A B r平行．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．C解析：C 【解析】在ABC ∆中，222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab abQ +-+-=∴==⋅，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.3．A解析：A 【解析】 【分析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．4．C解析：C 【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意，作出可行域，分析yx的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，根据图象即可求解. 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，yx 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102x y y -+=⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-， 所以yx的取值范围是()[),22,-∞-+∞U . 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.6．B解析：B 【解析】【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.7．B解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.8．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 9．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．10．A解析：A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．11．D解析：D【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q 当2x =时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值22,22m -∴≥-，m 的取值范围是)22,⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.12．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.二、填空题13．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤 解析：4-【解析】由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立12{20x y x y +=-=，解得()84A ，，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依题意可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最 解析：72-【解析】 【分析】先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值 【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-．【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值 15．4【解析】【分析】由题知：四边形为圆内接四边形的最大值为四边形外接圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故的最大值为四边形外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到：又因为所以在中由正弦定解析：4 【解析】 【分析】由题知：四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定理即可求出AC 的最大值. 【详解】因为120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，所以 故AC 的最大值为四边形外接圆的直径. 当AC 为四边形外接圆的直径时，得到：90ADC ABC ∠=∠=︒，又因为2AB AD ==，60BCD ∠=︒， 所以30ACD ACB ∠=∠=︒. 在ABC V 中，由正弦定理得：sin 90sin 30AC AB=︒︒，解得：4AC =.故答案为：4 【点睛】本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形ABCD 为圆内接四边形是解题的关键，属于中档题.16．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应 解析：2【解析】 【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】由题：232162sin sin 75sin(4530)22224B =︒=︒+︒=+=设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=即262224R+⨯⨯+=，解得：R=故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.17．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析：【解析】【分析】把分子展开化为26xy+，再利用基本不等式求最值．【详解】=Q0,0,25,0,x y x y xy>>+=>∴Q≥=当且仅当3xy=，即3,1x y==时成立，故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．18．7【解析】由2an＋1＋Sn＝3得2an＋Sn－1＝3(n≥2)两式相减得2an＋1－2an＋an＝0化简得2an＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1解析：7【解析】由2a n＋1＋S n＝3得2a n＋S n－1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n＋1－2a n＋a n＝0，化简得2a n＋1＝a n(n≥2)，即1nnaa+＝12(n≥2)，由已知求出a2＝34，易得21aa＝12，所以数列{a n}是首项为a1＝32，公比为q＝12的等比数列，所以S n＝31122112n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n]，S2n＝3[1－(12)2n]代入1817<2n nS S <87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 19．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出【详解】解：根据等比数列的性质数列是首项为公比为的等比数列又因为公比所以故答案为：【点睛】本题考查了无穷等比数列的求和公式考查了推理能力与计算能力属【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出． 【详解】解：根据等比数列的性质，数列1321,,,n a a a -⋯是首项为1a ，公比为2q 的等比数列。
高一集合专练——中档题
集合——中档题1．已知集合{}{},12A x x a B x x =<=<<，且(C )R A B R ⋃=，则实数a 的取值范围()A.2a ≤ B.1a < C.2a ≥ D.2a >2.如果集合}012|{2=++=x ax x A 中只有一个元素，则a 的值是（）A ．0B ．0或1C ．1D ．不能确定3．设全集}{},|,{|},,,{521232322=-=-+=A C a A a a U u ，则实数a =___________.4．满足{}0,1,2{0,1,2,3,4,5}A ⊆的集合A 的个数是____个.5．设集合={|25}A x x -≤≤，{|+121}B x m x m =≤≤-．（1）当3m =且x ∈Z 时，求A B ⋂；（2）当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．6．已知二次函数2,10y x bx c x y =++==当自变量时，函数值。
（1）若b=0,求函数在13x -≤≤上的最大值。
（2）若函数在13x -≤≤上有最小值为-3，求b的值。
集合——中档题答案1.C2.B3.2=a ；4.75．[解析](1)3m =时{|45}B x x =≤≤，{|25}{|45}{|45}A B x x x x x x =-≤≤≤≤=≤≤ 又x ∈Z ，所以{4,5}A B = (２)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，∴当B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时，符合题意；当B ≠Q ，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，≥2，＋1>5，≥2，m －1<－2，解得m >4.综上，所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．6．解：（1）由已知，1+b+C=0,C=-b-1∴当b=0时，c=-1,∴y=21x -∵开口向上，对称轴为x=0(y 轴)∴当x=3时，8max y =（2）∵21y x bx b =+--,对称轴为2b x =-ⅰ）若min 1,211132b b x y b b -<->=-=---=-即时，则当时，,∴32b =,(不符合，舍去)；ⅱ）若22min 13,2132242b b b b b x y b -≤-≤≤≤=-=---=-即-6时，则当时，化简得：2480b b +-=∴12b =-+(符合)，22b =--符合)；ⅲ）若min 3,6393132b b x y b b -><-==+--=-即时，则当时，∴112b =-(不符合，舍去)∴综上可得：2b=-±。
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中档题专练(二)
一、选择题：1．已知复数z ＝1－i
m ＋i 为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数m
的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
2．若全集U ＝R ，集合A ＝{x ||2x ＋3|<7}，B ＝{x |y ＝log 2(x 2－4)}，则A ∩B
＝( )
A ．{x |x <－5或x >－2}
B ．{x |－5<x <－2}
C ．x >－5
D ．x <－2
3．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．[2015·辽宁质监(一)]抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫116a ，0
5．西藏一登山队为了解某座山山高y (km)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了5次山高与相应的气温，并制作了对照表如下：
气温(℃) 17 14 9 －1 －4 山高(km)
24
34
38
64
80
由表中数据，得到线性回归方程y ^＝－3x ＋a ，a ∈R ，据此数据估计山高为99 km 处的气温是( )
A ．－10 ℃
B ．－9 ℃
C ．－8 ℃
D ．－7 ℃
6．[2015·云南统测]在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字
2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )
A.34
B.58
C.12
D.1
4
7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
8．[2015·长春质监(三)]已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB
→＝0，则m ＝( ) A. 2 B .22 C.1
2 D ．0
9．执行如图所示的程序框图，输出z 的值为( ) A ．－1008×2015 B ．1008×2015 C ．－1008×2017 D ．1008×2017
10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ∈(0,2π)，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成
立，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2<f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )
B.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
k π－π2，k π(k ∈Z ) 11．过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ，双曲线左顶点为M ，若∠AMB ＝120°，则该双曲线的离心率为( )
A. 2 B . 3 C ．3 D ．2 二、填空题：
12．[2015·陕西质检(一)]已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________________.
13．若变量x ，y 满足⎩
⎨⎧
|x |＋|y |≤1xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为___
中档题专练(二)
1．若数列{x n }满足：1x n ＋1－1
x n ＝d (d 为常数，n ∈N *)，则称{x n }为调和数列．已
知数列{a n }为调和数列，且a 1＝1，1a 1
＋1a 2
＋1a 3
＋1a 4
＋1
a 5
＝15.
(1)求数列{a n }的通项a n ；
(2)数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
2n
a n 的前
n 项和为S n ，是否存在正整数n ，使得S n ≥2015？若存在，
求出n 的取值集合；若不存在，请说明理由．
2．[2015·石家庄一模]某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．
(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：件，n∈N)的函数解析式；
(2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件)，整理得下表：
日需求量89101112
频数9111510 5
若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400,550]内的概率．
3．[2015·唐山一模]如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2.
(1)求证：AB1⊥CC1；
(2)若AB1＝6，求四棱锥A－BB1C1C的体积．。