高中数学 全册综合素质检测 新人教A版选修1-2

选修1－2综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d>0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q>1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 7<b 5＋b 8[答案] A[解析] 在等差数列{a n }中， 由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7， 所以在等比数列{b n }中，由于4＋8＝5＋7， 所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7，选A .2．在如下图所示的各图中，两个变量具有相关关系的是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)(3)[答案] D[解析] (1)为函数关系，(4)关系很不明显．3．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解[答案] C4．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n (n∈N *)，猜想a n 等于( )A ．2cos θ2nB ．2cos θ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2n[答案] B[解析] ∵0<θ<π2，∴a 2＝2＋2cos θ＝2cos θ2.a 3＝2＋2cos θ2＝2cos θ4，a 4＝2＋2cos θ4＝2cos θ8.于是猜想a n ＝2cos θ2n －1.5．(2010·福建文，6)阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[答案] C[解析] 本题主要考查框图等知识． S ＝0 i ＝0a ＝1·21＝2S ＝2 i ＝2a ＝2·22＝8S ＝10 i ＝3a ＝3·23＝24S ＝34 i ＝4 ∵S ＝34>11所以输出的i 值等于4.6．在复平面内的▱ABCD 中，点A ，B ，C 分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i ，则点D 对应的复数是( )A ．2－3iB ．4＋8iC ．4－8iD ．1＋4i[答案] C[解析] 由题意知BC →＝AD →且BC →对应的复数为－9i ，设D 点对应的复数为x ＋yi (x ，y ∈R )，则x －4＋(y －1)i ＝－9i ，所以x ＝4，y ＝－8.7．(2010·浙江理，5)对任意复数z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －z －|＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z －|≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |[答案] D[解析] z ＝x ＋yi ，z ＝x －yi ，有|z －z |＝2x ，而|z |＝x 2＋y 2，则|z |2＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2≤x 2＋y 2＋2|x |·|y |，故选D.8．已知等比数列a n ＝13n －1，其前n 项和为S n ＝∑nk ＝1a k ，则S k ＋1与S k 的递推关系不满足．．．( ) A ．S k ＋1＝S k ＋13k ＋1B ．S k ＋1＝1＋13S kC ．S k ＋1＝S k ＋a k ＋1D ．S k ＋1＝3S k －3＋a k ＋a k ＋1 [答案] A[解析] S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝S k ＋13k .B 、D 可以验证是正确的．9．观察两相关变量得如下数据：A.y ^＝12x ＋1B.y ^＝xC.y ^＝2x ＋13D.y ^＝x ＋1[答案] B[解析] 回归直线过(x ，y )验证即得．10．一等差数列的前n 项和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n 的值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18[答案] B[解析] 由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40.a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80.得4(a 1＋a n )＝120，所以a 1＋a n ＝30. 所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×302＝210.n ＝14.∴选B.11．(2010·陕西文，2)复数z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] 本题考查复数的除法运算．z ＝i 1＋i ＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i 1－i 2＝12＋i 2，故复数z 在复平面上对应的点位于第一象限． 12．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定[答案] B[解析] 分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC >∠BAD ，∠ADC >∠ABD ，△ABD 与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π2时，才符合题意，∴选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．已知回归直线方程y ^＝0.6x －0.71，则当x ＝25时，y 的估计值是________． [答案] 14.29[解析] 当x ＝25时，y ^＝0.6×25－0.71＝14.29.14．观察下列式子1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，……，则可归纳出________________[答案] 1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2＜2n ＋1n ＋1(n ∈N *) 15．(2010·安徽理，14)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x ＝________.[答案] 12[解析] x ＝1→x ＝2→x ＝4→x ＝5→x ＝6→x ＝8→x ＝9→x ＝10→x ＝12. 16．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a 、b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a 、b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a 、b 、c 、d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出；“若a 、b 、c 、d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a 、b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a 、b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”． 其中类比结论正确的命题序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)． [答案] ①②三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b的值．[解析] z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )5＝1－i ，∵z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝1＋i ， ∴(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－(a ＋2)＝1解得：a ＝－3，b ＝4.∴a ＝－3，b ＝4.18．(本题满分12分)用分析法证明：若a >0，则a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，∴两边均大于0. ∴只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22.只需证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a只需证a 2＋1a 2≥22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a只需证a 2＋1a 2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2只需证a 2＋1a2≥2，而这显然是成立的．∴原不等式成立．19．某报对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如下表[解析] 可以求得K 2＝1000×(198×109－217×476)2674×326×585×415≈125.161由K 2≈125.161＞6.635因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“男女同龄退休”这一问题的看法与性别有关．20．(本题满分12分)如图所示，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)平面上在任意三角形DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面的面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式．[解析] (1)证明：因为CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN ，又因为PM ∩PN ＝P ，所以CC 1⊥平面PMN ，而MN ⊂平面PMN ，从而CC 1⊥MN .(2)解：在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2四边形AA 1C 1C ＝S 2四边形AA 1B 1B ＋S 2四边形CC 1B 1B －2S 四边形AA 1B 1B ·S 四边形CC 1B 1B cos α，其中α是侧面AA 1B 1B 与侧面CC 1B 1B 所成的二面角的平面角．21．(本题满分12分)若α，β均为锐角，且cos αsin β＋cos βsin α＝2.求证：α＋β＝π2.[证明] 假设α＋β≠π2，则α＋β>π2或α＋β<π2.若α＋β>π2，由于α，β均为锐角，所以0<π2－β<α<π2，所以0<sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－β<sin α，即0<cos β<sin α，所以cos βsin α<1.同理，可得0<cos α<sin β，所以cos αsin β<1.故cos αsin β＋cos βsin α<2，与已知矛盾． 同理，若α＋β<π2，得cos αsin β＋cos βsin α>2，也与已知矛盾．综上可知，假设不成立．故α＋β＝π2.[点拨] 对于三角恒等式的证明，通常都会从条件出发利用三角变换最后产生结论．本题根据题目特点，发现使用反证法来证明比较简捷．本题的证明关键是否定结论后的分类，必须做到既不重复也不遗漏．22．(本题满分14分)观察以下各等式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．[解析] 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋sin(30°＋2α)－sin30°2＝1＋cos(60°＋2α)－cos2α2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin(30°＋2α)－12＝1＋－2sin(30°＋2α)sin30°2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin(30°＋2α)－12＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.。