山东省实验中学西校2019届高三12月检测(数学理)

高三数学(理类)出题人李倩审题人孙颜本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第23题为选考题，其它题为必考题．注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的某某、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设全集，集合，,则下列结论正确的是（）A．B．C．D．3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．B．C．D．4.已知两个非零向量满足，且，则（）A. B. C. D.5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A．B．C．D．6.设等差数列满足，，是数列的前n项和，则使得最大的自然数是（）A．9 B. C. D.7．若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）8.执行如图所示的程序框图，如果输入，，则输出的的值为（）A．B．C．D．9．实数满足，则的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．810.已知是双曲线上任意一点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则的值是（）A．B．C．D．不能确定11.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种B．28种C．32种D．36种12.已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（）A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13.已知，则=____________.14.已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过作于点，当（为坐标原点）时, ____________.15.设数列的前项和为，且，，则____________.16.已知函数若方程恰有一个解时，则实数的取值X 围.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，，且点为中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小.19.（本小题满分12分）某地4个蔬菜大棚顶部,阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜,成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示,该地周光照量（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周,不低于50且不超过70的周数大约有35周,超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图,用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程,估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克,则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响,为该基地提供了部分光照控制仪,该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制,并有如下关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪最多可运行台数 3 2 1,则该台光照控制仪周亏损800元,欲使商家周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：,．20.（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，设是椭圆上一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，求证：为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，某某数的取值X围；（Ⅲ）若，证明.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程是，将向上平移1个单位得到曲线.(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线的切线交曲线于不同两点,切点为.求的取值X围.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，.（Ⅰ）若，解关于的不等式；（Ⅱ）若对于任意的实数，不等式恒成立，某某数的取值X围.高三数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一．选择题1.D2.D3.C4.B5. C6.A7.B8.B9.B 10.A 11.B 12.D二.填空题13. 14. 15.66 16.三、解答题17.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）设数列的公差为，由题设，，.............2分即，解得...................................4分又∵，∴，可以求得. .................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得.................8分. .................12分（分别求和每步给2分）18.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）证明:因为，且为的中点，所以， ............2分又∵侧面底面,交线为,且平面，∴平面. .........4分（Ⅱ）如图,以为原点,所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 由已知可得，，，，∴，，.................6分设平面的一个法向量为，则有令，得，∴. .................8分设平面的法向量为，则有令，则，，∴ .................10分∴∴所求二面角的大小为. .................12分19. (本小题满分12分)（Ⅰ）,,,.......................................................3分,...................................................4分所以关于的线性回归方程为,当时,百斤＝550斤,所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克,则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是500斤．.............. .............. ............ ........................5分（Ⅱ）记商家总利润为元,由已知条件可知至少需安装1台,①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元, ............ .....................6分②安装2台光照控制仪的情形：当时,一台光照控制仪运行,此时元,当时,两台光照控制仪都运行,此时元,故的分布列为42010000.2 0.8所以元, ............. .....................8分③安装3台光照控制仪的情形：当时,一台光照控制仪运行,此时元,当时,两台光照控制仪运行,此时元,当时,三台光照控制仪都运行,此时元, 故的分布列为34092015000.2 0.7 0.1所以元, ......... ..............11分综上,为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．..... .............12分20. (本小题满分12分)解:（Ⅰ）由题意得，，解得， .................1分∴椭圆方程为. .................3分（Ⅱ）由已知，直线：，：，且与圆相切，∴，化简得同理，.................5分∴是方程的两个不相等的实数根∴，， .................7分∵点在椭圆C上，所以，即∴． .................8分（Ⅲ）是定值18．设，联立解得∴同理，得． .................10分由，∴综上：． .................12分21. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）时，. . ................1分当时，；当时，. .................2分故在单调递减，在单调递增，，∴ .................3分（Ⅱ）方法一：.由（Ⅰ）知，当且仅当时等号成立. 故从而当，即时，在区间上，，单调递增，，即，符合题意. .................5分又由，可得.从而当时，在区间上，，单调递减，，即，不合题意. ..............7分综上得实数的取值X围为. .................8分方法二：，令，则.1）当时，在上，，递增，，即在为增函数，，时满足条件；............5分2）当时，令，解得，在当上，单调递减，时，有，即，在区间为减函数，，不合题意. .............7分综上得实数的取值X围为. .................8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当时，，，即欲证不等式，只需证..................10分设，则时，恒成立，且，恒成立.所以原不等式得证. .................12分22. (本小题满分10分)依题,因,所以曲线的直角坐标下的方程为,所以曲线的直角坐标下的方程为,…3分又，所以,即曲线的极坐标方程为.…………………5分(Ⅱ)由题令，，切线的倾斜角为，所以切线的参数方程为: (为参数). ……………………………7分联立的直角坐标方程得,, …8分即由直线参数方程中,的几何意义可知,，因为所以. …………10分(解法二)设点，则由题意可知当时，切线与曲线相交，由对称性可知，当时斜线的倾斜角为，则切线MN的参数方程为：（t为参数），…………………7分与C2的直角坐标联立方程，得，…………………8分则,因为，所以. …………………10分此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.23. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）当时，，即， .................1分原不等式等价于， .................3分解得，不等式的解集为. .................5分（Ⅱ），原问题等价于， ........6分由三角绝对值不等式的性质，得 .................8分原问题等价于，又，，解得. ...............10分。

2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学(理)试题(解析版)

2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合中的元素个数是A．2 B．3 C．6 D．8【答案】C【解析】先写出，再看的个数.【详解】由题得=，故A∪B的元素的个数为6，故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2．已知向量A．B．C．D．2【答案】D【解析】由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得故答案为：D【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.3．设满足约束条件的最大值是A．B．0 C．2 D．3【答案】C【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的点B时，目标函数取得最大值，由解得B（2，0），目标函数的最大值为2-0=2,故答案为：C【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．4．已知等比数列中，A．B．±4 C．4 D．16【答案】A【解析】由题得，解之即得解.【详解】由题得因为等比数列的奇数项同号，所以，故答案为：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，本题要注意检验.5．“”是“指数函数单调递减”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先化简“指数函数单调递减”得，再利用充要条件的定义判断得解.【详解】因为“指数函数单调递减”，所以，所以“”是“指数函数单调递减”的必要非充分条件.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量服从正态分布，则，A．4.56％B．13．59％C．27.18％D．31.74％【答案】B【解析】由题意P（﹣4＜ξ＜4）=0.6826，P（﹣8＜ξ＜8）=0.9544，可得P（4＜ξ＜8）=（0.9544﹣0.6826），即可得出结论．【详解】由题意P（﹣4＜ξ＜4）=0.6826，P（﹣8＜ξ＜8）=0.9544，可得P（4＜ξ＜8）=（0.9544﹣0.6826）= 0.1359．故答案为：B【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股(+股-勾2)4=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为1:1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A ． 866B ． 500C ． 300D ． 134 【答案】D【解析】由题意，大正方形的边长为21，则所求黄色图形内的图钉数大约为21000134⨯≈⎝⎭，故选D.8．函数21x y e x =-的部分图象为（）【答案】A【解析】试题分析：因,故当时,,函数21x y e x =-单调递增; 当时,,函数21x y e x =-单调递减; 当时,,函数21x y e x =-单调递增.故应选A.【考点】导数与函数单调性的关系．9．展开式的系数为A．B．C．15 D．45【答案】B【解析】先化简=，再利用二项式定理的通项分析得解.【详解】由题得=，设对于二项式，设其通项为，令6-r-3k=2,所以r+3k=4,r,k∈,方程的解为r=1,k=1或者r=4,k=0.所以展开式的系数为.故答案为：B【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式中的系数的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.10．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A．B．C．D．【答案】C【解析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移个单位后得到函数的的图像，若函数在区间上均单调递增，则实数a的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的范围．【详解】将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos 的图象；然后向右平移个单位后得到函数g（x）=cos=cos（﹣）的图象，若函数g（x）在区间与[2aπ，4π]上均单调递增，则0﹣=﹣，﹣≤0，且﹣≥2kπ﹣π，﹣≤2kπ，k∈Z．解得≤a≤，故答案为：B【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．12．已知均为单位向量，满足，设，则的最小值为：A．B．0 C．D．1【答案】C【解析】由题意可设C（cos θ，sin θ），设A（，），B（1，0），由条件求得x，y，再由两角和的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值．【详解】由||=1可设C（cos θ，sin θ），又•=，所以cos∠BOA=,所以∠BOA=.因为||=||=1，可设A（，），B（1，0），=x+y，所以所以,因为,所以（1）因为，所以，（2）由（1）（2）得所以当x+y最小值为.故答案为：C【点睛】本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．已知函数_________【答案】【解析】先求f(-1),再求的值.【详解】由题得f(-1)=所以=故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.14．设为正实数，且的最小值为_________【答案】【解析】由题得=,再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得=,当且仅当时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15．函数的最大值为________【答案】【解析】先化简，再利用基本不等式求的最大值，即得f(x)的最大值.【详解】由题得，所以所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.16．下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为________【答案】【解析】利用观察法及定义可知第1行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，进一步分析得知第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j 的等差数列，同时分别求出通项公式，从而从而得知结果．【详解】第i行第j列的数记为A ij．那么每一组i与j的解就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j=2+（j﹣1）×1=j+1，所以第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以A ij=j+1+（i﹣1）×j=ij+1．令A ij=ij+1=2019，即ij=2018=1×2018=2018×1=2×1009=1009×2故表中2019共出现4次．故答案为：4【点睛】此题考查行列模型的等差数列的求法，解答的关键是分析出A ij=j+1+（i﹣1）×j=ij+1.三、解答题17．已知在递增的等差数列的等比中项(I)求数列的通项公式；(II)若，为数列的前n项和，求．【答案】（1）（2）【解析】(I)根据已知求出的通项公式.(II)由题意可知，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为,因为，所以，解得所以.(II)由题意可知：所以.【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18．在中，A,B,C所对的边分别为，满足．(I)求角A的大小；(Ⅱ)若，D为BC的中点，且的值．【答案】（1）（2）【解析】(I)得，求出 . (Ⅱ)由题意可知，化简得，再结合余弦定理求出，再利用正弦定理求出的值．【详解】(I)，所以，所以因为，所以，所以(Ⅱ)由题意可知：所以所以又因为，所以，因为，所以由正弦定理可得，所以【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19．某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数精确到0.01)；(II)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：参考数据：【答案】（1）z与x的线性回归方程是（2）当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【解析】(I)利用最小二乘法求出z与x的线性回归方程. (II)先求出y关于x的回归方程是, 令x＝10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.【详解】(I)由题意，知，，又,所以，所以，所以z与x的线性回归方程是；(II)因为,所以y关于x的回归方程是,令x＝10，得=,因为ln 1.03≈0.03，所以，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20．已知数列(I)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】(I)利用项和公式求数列的通项公式. (Ⅱ)利用错位相减法求数列的前n 项和【详解】(I)由题意可知：当时，，又因为，所以，又因为当，，所以所以等比数列，且（2）所以【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21．依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.【答案】（1）（2），因此企业应选方案二．【解析】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，分别求出它们发生的概率，记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，分别求出它们发生的概率，再利用求解.（II）以企业利润为随机变量，分别计算出三种方案的利润，再选择.【详解】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：，．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件．则．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．（II）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（I）知．的分布列为则该企业在8月份的利润期望（万元）．选择方案二，则（万元）的取值为：，由（I）知，，的分布列为：则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．【点睛】本题主要考查概率的计算，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22．已知(e为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数图象关于直线对称，函数的最小值为m．(I)求曲线的切线方程；(Ⅱ)求证：；(III)求函数的最小值．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】(I)由题意可知,再利用导数的几何意义求切线方程. (Ⅱ)令，求出函数的最小值，再根据得到 . (III)先利用导数求得，再证明，所以.【详解】(I)由题意可知，所以，所以切线方程为，(Ⅱ)令，因为，，又因为在上单增所以存在唯一的，使得，即，当，所以单减，同理在单增，所以，因为，所以所以因为，所以(III)因为,，所以因为，所以存在唯一的，使得，即在单减，在单增所以因为所以，所以令，所以因为所以由，可得，所以所以，，所以，即，所以【点睛】本题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。

2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学(理)试题及答案

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题(理科)说明：本试卷满分150分，分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷为第1页至第3页，第II 卷为第3页至第5页。

试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第I 卷(共60分)一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项．．．．．．符合题意) 1．已知集合{}{}12342468A B A B ==⋃，，，，，，，，则中的元素个数是A ．2B ．3C ．6D ．82．已知向量()()1,2,,1a b m a b m =-=⊥=，若，则 A. 2-B ．12-C ．12D ．23．设,x y 满足约束条件326000x y x z x y y +-≤⎧⎪≥=-⎨⎪≥⎩，则的最大值是 A ．3-B ．0C ．2D ．34．已知等比数列{}n a 中，3752,8,a a a =-=-=则 A. 4-B ．±4C ．4D ．165．“1a >”是“指数函数()()32xf x a =-在R 单调递减”的 A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布()20,4N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<≤+=，())2295.44%P μσξμσ-<≤+=，A ．4.56％B.13．59％C ．27.18％D ．31.74％7．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+(股－勾)= 4×朱实十黄实=弦实=弦2，化简得：勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为若向弦图内随机抛掷l 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为 A ．866B.500C ．300D ．1348.函数21x y e x =-的部分图象为9．6211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式2x 的系数为A ．45-B ．15-C ．15D ．4510．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是,,a b c ，当且仅当a b c b >>且时称为“凹数”，若{},,1234a b c ∈，，，，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A. 13B ．532C.732D ．7121l.将函数()cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移6π个单位后得到函数()g x 的的图像，若函数()g x 在区间[]0,2,49a a πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与上均单调递增，则买效a 的取值范围为 A ．13,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．133,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．7,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．73,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知,,OA OB OC 均为单位向量，满足1,0,02OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅≥⋅≥，设OC xOA yOB =+，则x y +的最小值为：A. 3-B.0C.3D.1第II 卷(非选择题，共90分)二、填空题(本题包括4小题，共20分)13．已知函数()()()3log ,,19,0x x x f x f f x >0⎧=-=⎨≤⎩则_________14．设,x y 为正实数，且211x y x y+=+，则的最小值为_________ 15．函数()()sin1cos 2xf x x =+的最大值为________ 16.右表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为________三．解答题(本题包括6小题，共70分) 17．(本小题10分)已知在递增的等差数列{}1319,2,n a a a a a =中是和的等比中项 (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)若()11n nb n a =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．18．在ABC ∆中，A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，满足()2sin 32AB C +=． (I)求角A 的大小；(Ⅱ)若a b c =>，D 为BC的中点，且sin AD C 求的值．19.(本小题12分)某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x 与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z 与x 有很强的线性相关关系，请求出z 与x 的线性回归方程(回归系数,b a 精确到0.01)； (II)求y 关于x 的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：()()()1122211,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb a y bx x x xnx====---===---∑∑∑∑参考数据：6662111187.4,47.64,139,ln1.030.03,ln1.020.02.i ii i i i i i x yx z x ======≈≈∑∑∑20．(本小题12分)已知数列{}11,2,2n n n n a n S a a S +==+的前项和为 (I)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设()31n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T21．(本小题12分)依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I 级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.22．(本小题12分)已知()xf x e =(e 为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数()()yg x y f x ==与图象关于直线y x =对称，函数()()f x g x -的最小值为m ． (I)求曲线()()212y g x =+在点，的切线方程； (Ⅱ)求证：522m <<； (III)求函数()()()F x f x m g x =--的最小值．山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学答案 (理科)选择题CDCAB BDABC BC 二．填空题13. 2- 14. 223+ 15. 934 16. 4 三．解答题17.解：（1）设公差为d因为9123a a a =，所以)82(2)22(2d d +=+，解得2=d ………………..2分所以n a n 2= …………………5分（2）由题意可知：)111(21)1(21+-=+=n n n n b n …………………8分所以=n S )1(2)111...3121211(21+=+-++-+-n n n n …………………10分 18.解：（1）2sin 332)sin(2A C B =+，所以2sin 332sin 2AA =，所以32tan =A因为),0(π∈A ，所以32π=A ，所以32π=A …………………5分（2）由题意可知：ADC ADB ∠-=∠cos cos 所以372373723722b c -+-=-+所以2022=+c b 又因为A bc b c a cos 2222-+=，所以8=bc因为c b >，所以2,4==c b …………………10分由正弦定理可得C c A a sin sin =，所以1421sin =C …………………12分19. 解：(1)由题意，知x －＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，……………1分z －＝16×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，……………………2分又∑6i ＝1x i z i ＝47.64，∑6i ＝1x 2i ＝139 所以b ^＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52＝－6.3617.5≈－0.363，………………………6分所以a ^＝z －－b ^x －＝2＋0.363×4.5＝3.63，……………………7分所以z 与x 的线性回归方程是z ^＝－0.36x ＋3.63；………………….8分（2）因为z ＝ln y ，所以y 关于x 的回归方程是y ^＝e －0.36x ＋3.63……………………….10分令x ＝10，得y ^＝e －0.36×10＋3.63＝e 0.03，因为ln 1.03≈0.03，所以y ^＝1.03，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．………………….12分20.解：（1）由题意可知：当2≥n 时，12-+=n n S a ，又因为n n S a +=+21，所以n n a a 21=+，…………………2分又因为当1=n ，42=a ，所以122a a = ………………….3分所以{}na 等比数列，且n na2= …………………5分（2）nn n T 2)13( (25222)-++⋅+⋅= 1322)13(...25222+-++⋅+⋅=n n n T1322)13(23...23234+--⋅++⋅+⋅+=-n n n n T 112)13(212134+-----+=n n n 12)127(1--+=n n所以12)712(1--=-n nn T …………………12分21．（I ）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件1A ，“水位在40米至50米之间”为事件2A ，“水位大于50米”为事件3A ，它们发生的概率分别为：()()()()120.020.050.0650.65,0.040.0250.30P A P A =++⨯==+⨯=，()30.0150.05P A =⨯=．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ，所以()()()1230.1,0.2,0.6P B P B P B ===．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件B ．则()()()()()()()()()()112233112233P B P AB P A B P A B P A P B P A P B P A P B =++=++0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155．………………………………4分（II ）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X （万元）的取值为：500,100,1000--，由（I ）知()()115000.650.90.300.750.0500.81,1000.155,P X P X ==⨯+⨯+⨯==-= ()110000.6500.300.050.050.400.035P X =-=⨯+⨯+⨯=． 1X 的分布列为………………7分则该企业在8月份的利润期望()()()15000.811000.15510000.035354.5E X =⨯+-⨯+-⨯=（万元）．选择方案二，则2X （万元）的取值为：460,1040-，由（I ）知，()()224600.810.1550.965,10400.035P X P X ==+==-=， 2X 的分布列为：…………………………9分则该企业在8月份的平均利润期望()()24600.96510400.035407.5E X =⨯+-⨯=（万元） …………………………10分选择方案三，则该企业在8月份的利润为：()3500100400E X =-=（万元） ………………………11分由于()()()231E X E X E X >>，因此企业应选方案二． ……………… …12分22.解（1）由题意可知x x g ln )(=xy 1/=，所以1=k ，所以切线方程为1+=x y …………………….2分（2）令x e x g x f x h xln )()()(-=-=x e x h x 1)(/-=，因为01)1(/>-=e h ，02)21(/<-=e h ，又因为)(/x h 在+R 上单增所以存在唯一的)1,21(0∈x ，使得0)(0/=x h ，即10x e x =，……………..3分当0)(),,0(/0<∈x h x x ，所以)(x h 单减，同理)(x h 在),(0+∞x 单增，所以00ln )(0x e x h m x -==， …………….4分因为01x ex =，所以00ln x x =- 所以0001ln 0x x x em x +=-=因为)1,21(0∈x ，所以252<<m ……………..6分（3）因为x ex F mx ln )(-=-,，所以xe x F m x 1)(/-=- 因为,011)(/>-=mm F 01)1(1/<-=-m e F ，所以存在唯一的),1(1m x ∈，使得 0)(1/=x F ，即111x e m x =- )(x F 在()1,0x 单减，在()+∞,1x 单增所以00111111min 111ln )()(1x x x x m x x x e x F x F mx --+=-+=-==-……………..8分因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===-000111101x x m x e x ex m x 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=001001ln 1ln xx x x x x ，所以10011ln x x x x -=……………..10分令0110,x t x t x x ==则，所以00011ln x t x t x t -=-= 因为1ln 1-≤≤-t t tt （要证）所以1110-≤-≤-t x t t t 由110-≤-t x t ，可得0)11)(1(0≥+-x t ，所以1≥t 所以010≤-x t，01≥-t t ，所以1=t ，即110=x x ， …………….11分所以0)(min =x F ……………..12分2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学（理）试题解析一、单选题1．已知集合中的元素个数是A．2 B．3 C．6 D．8【答案】C【解析】先写出，再看的个数.【详解】由题得=，故A∪B的元素的个数为6，故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2．已知向量A．B．C．D．2【答案】D【解析】由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得故答案为：D【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 3．设满足约束条件的最大值是A．B．0 C．2 D．3【答案】C【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的点B时，目标函数取得最大值，由解得B（2，0），目标函数的最大值为2-0=2,故答案为：C【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．4．已知等比数列中，A．B．±4 C．4 D．16【答案】A【解析】由题得，解之即得解.【详解】由题得因为等比数列的奇数项同号，所以，故答案为：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，本题要注意检验.5．“”是“指数函数单调递减”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先化简“指数函数单调递减”得，再利用充要条件的定义判断得解.【详解】因为“指数函数单调递减”，所以，所以“”是“指数函数单调递减”的必要非充分条件.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量服从正态分布，则，A．4.56％B．13．59％C．27.18％D．31.74％【答案】B【解析】由题意P（﹣4＜ξ＜4）=0.6826，P（﹣8＜ξ＜8）=0.9544，可得P（4＜ξ＜8）=（0.9544﹣0.6826），即可得出结论．【详解】由题意P （﹣4＜ξ＜4）=0.6826，P （﹣8＜ξ＜8）=0.9544，可得P （4＜ξ＜8）=（0.9544 ﹣0.6826）= 0.1359．故答案为：B 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股(+股-勾2)4=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A ． 866B ． 500C ． 300D ． 134 【答案】D【解析】由题意，大正方形的边长为21，则所求黄色图形内的图钉数大约为21000134⨯≈⎝⎭，故选D.8．函数21x y e x =-的部分图象为（）【答案】A【解析】试题分析：因,故当时,,函数21x y e x =-单调递增; 当时,,函数21x y e x =-单调递减; 当时,,函数21x y e x =-单调递增.故应选A.【考点】导数与函数单调性的关系．9．展开式的系数为A ．B ．C ． 15D ． 45【答案】B【解析】先化简=，再利用二项式定理的通项分析得解.【详解】由题得=，设对于二项式，设其通项为，令6-r-3k=2,所以r+3k=4,r,k∈,方程的解为r=1,k=1或者r=4,k=0.所以展开式的系数为.故答案为：B【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式中的系数的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.10．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A．B．C．D．【答案】C【解析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移个单位后得到函数的的图像，若函数在区间上均单调递增，则实数a的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的范围．【详解】将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos的图象；然后向右平移个单位后得到函数g（x）=cos=cos（﹣）的图象，若函数g（x）在区间与[2aπ，4π]上均单调递增，则0﹣=﹣，﹣≤0，且﹣≥2kπ﹣π，﹣≤2kπ，k∈Z．解得≤a≤，故答案为：B【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．12．已知均为单位向量，满足，设，则的最小值为：A．B．0 C．D．1【答案】C【解析】由题意可设C（cos θ，sin θ），设A（，），B（1，0），由条件求得x，y，再由两角和的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值．【详解】由||=1可设C（cos θ，sin θ），又•=，所以cos∠BOA=,所以∠BOA=.因为||=||=1，可设A（，），B（1，0），=x+y，所以所以,因为,所以（1）因为，所以，（2）由（1）（2）得所以当x+y最小值为.故答案为：C【点睛】本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．已知函数_________【答案】【解析】先求f(-1),再求的值.【详解】由题得f(-1)=所以=故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.14．设为正实数，且的最小值为_________【答案】【解析】由题得=,再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得=,当且仅当时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15．函数的最大值为________【答案】【解析】先化简，再利用基本不等式求的最大值，即得f(x)的最大值.【详解】由题得，所以所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.16．下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为________【答案】【解析】利用观察法及定义可知第1行数组成的数列A（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差1j数列，进一步分析得知第j列数组成的数列A（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等1j差数列，同时分别求出通项公式，从而从而得知结果．【详解】．那么每一组i与j的解就是表中一个数．第i行第j列的数记为Aij因为第一行数组成的数列A（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，1j所以A=2+（j﹣1）×1=j+1，1j所以第j列数组成的数列A（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，1j所以A=j+1+（i﹣1）×j=ij+1．ij令A=ij+1=2019，ij即ij=2018=1×2018=2018×1=2×1009=1009×2故表中2019共出现4次．故答案为：4【点睛】此题考查行列模型的等差数列的求法，解答的关键是分析出A=j+1+（i﹣1）×j=ij+1.ij三、解答题17．已知在递增的等差数列的等比中项(I)求数列的通项公式；(II)若，为数列的前n项和，求．【答案】（1）（2）【解析】(I)根据已知求出的通项公式. (II)由题意可知，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为,因为，所以，解得所以.(II)由题意可知：所以.【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18．在中，A,B,C所对的边分别为，满足．(I)求角A的大小；(Ⅱ)若，D为BC的中点，且的值．【答案】（1）（2）【解析】(I)得，求出 . (Ⅱ)由题意可知，化简得，再结合余弦定理求出，再利用正弦定理求出的值．【详解】(I)，所以，所以因为，所以，所以(Ⅱ)由题意可知：所以所以又因为，所以，因为，所以由正弦定理可得，所以【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19．某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数精确到0.01)；(II)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：参考数据：【答案】（1）z与x的线性回归方程是（2）当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【解析】(I)利用最小二乘法求出z与x的线性回归方程. (II)先求出y关于x的回归方程是, 令x＝10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.【详解】(I)由题意，知，，又,所以，所以，所以z与x的线性回归方程是；(II)因为,所以y关于x的回归方程是,令x＝10，得=,因为ln 1.03≈0.03，所以，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20．已知数列(I)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】(I)利用项和公式求数列的通项公式. (Ⅱ)利用错位相减法求数列的前n项和【详解】(I)由题意可知：当时，，又因为，所以，又因为当，，所以所以等比数列，且（2）所以【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21．依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.【答案】（1）（2），因此企业应选方案二．【解析】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，分别求出它们发生的概率，记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，分别求出它们发生的概率，再利用求解.（II）以企业利润为随机变量，分别计算出三种方案的利润，再选择.【详解】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：，．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件．则．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．（II）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（I）知．的分布列为则该企业在8月份的利润期望（万元）．选择方案二，则（万元）的取值为：，由（I）知，，的分布列为：则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．【点睛】本题主要考查概率的计算，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22．已知(e为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数图象关于直线对称，函数的最小值为m．(I)求曲线的切线方程；(Ⅱ)求证：；(III)求函数的最小值．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】(I)由题意可知,再利用导数的几何意义求切线方程. (Ⅱ)令，求出函数的最小值，再根据得到 . (III)先利用导数求得，再证明，所以.【详解】(I)由题意可知，所以，所以切线方程为，(Ⅱ)令，因为，，又因为在上单增所以存在唯一的，使得，即，当，所以单减，同理在单增，所以，因为，所以所以因为，所以(III)因为,，所以因为，所以存在唯一的，使得，即在单减，在单增所以因为所以，所以令，所以因为所以由，可得，所以所以，，所以，即，所以。

山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题(解析版)

山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{}21|A x log x =<，集合{|B y y ==，则AB =（）A. (),2-∞B. (],2-∞C. ()0,2D. [)0,+∞【答案】D 【解析】【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B ⋃=+∞．故选：D ．【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．2.已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（） A. 23i + B. 23i - C. 23i -+ D.23i -- 【答案】A 【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由32i z i ⋅=+，得()()2323223i i i z i i i +-+===--， ∴23z i =+．故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，39S =，且21a -，31a -，51a -构成等比数列，则5S =（） A. 15 B. -15C. 30D. 25【答案】D 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，再由等差数列的前n 项和公式求解．【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意，()()()1211133921141a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+-=+-+-⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩． ∴ 554251252S ⨯⨯=⨯+=．故选：D ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和，考查等比数列的性质，是基础题．4.已知正实数a ，b ，c 满足236log a log b log c ==，则（） A. a bc = B. 2b ac =C. c ab =D. 2c ab =【答案】C 【解析】【分析】设236log log log a b c k ===，则2k a =，3k b =，6k c =，由此能推导出c ab =．【详解】解：∵正实数a ，b ，c 满足236log log log a b c ==， ∴ 设236log log log a b c k ===，则2k a =，3k b =，6k c =，∴c ab=．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知实数x，y满足约束条件202201x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21yzx-=+的最小值为（）A.23- B.54- C.43- D.12-【答案】B 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数21yzx-=+的几何意义为动点(),M x y到定点()1,2D-的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数21yzx-=+的几何意义为动点(),M x y到定点()1,2D-的斜率，当M位于11,2A⎛⎫-⎪⎝⎭时，此时DA的斜率最小，此时1252114minz--==-+．故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（）A.163πB.283πC. 11πD.323π【答案】B 【解析】【分析】首先利用三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出几何体的表面积．【详解】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，，所以：外接球的半径为：R ===故：外接球的表面积为：27284433S R πππ==⋅=．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 64种【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况，此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法；故选：C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8.如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =，AC b =，则向量AD =（）A. a b +B.12a b + C. 12a b +D. 23a b +【答案】C 【解析】【分析】的根据Rt ABC ∆中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+．【详解】解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===，所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+．故选：C ．【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．9.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A. 1B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【详解】解：由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=， ∴sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12+=故选：D ．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．10.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A. 12B. 13C.41π- D. 42π-【答案】C 【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C 。

2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学(理)试题(解析版)

【解析】由题得 = 【详解】
,再利用基本不等式求最小值.
由题得 =
,
当且仅当
时取等.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能
力.
15．函数【答案】
【解析】先化简大值. 【详解】由题得
所以
的最大值为________ ，再利用基本不等式求的最大值，即得 f(x)的最，
，所以
，解得
(II)由题意可知：
所以
.
【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
18．在中，A,B,C 所对的边分别为，满足
．
(I)求角 A 的大小；
(Ⅱ)若
，D 为 BC 的中点，且
的值．
【答案】（1）（2）
【解析】 (I)
种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有以共有凹数 8+6=14 个，
种方法，所
由古典概型的概率公式得 P=
.
故答案为：C
【点睛】
本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握
水平和分析推理能力.
11．将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向右
2．已知向量
A．
B．
【答案】D
C．
D． 2
【解析】由题得【详解】
，解方程即得 m 的值.
由题得
故答案为：D
【点睛】
本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能
力.

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学(理)试题(解析版)

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题(理科)说明：本试卷满分150分，分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至第5页。

试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第I卷(共60分)一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意)1.已知集合中的元素个数是A. 2B. 3C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】先写出，再看的个数.【详解】由题得=，故A∪B的元素的个数为6，故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.已知向量A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得故答案为：D【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.3.设满足约束条件则的最大值是A. B. 0 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的点B时，目标函数取得最大值，由解得B（2，0），目标函数的最大值为2-0=2,故答案为：C【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．4.已知等比数列中，A. B. ±4 C. 4 D. 16【答案】A【解析】【分析】由题得，解之即得解.【详解】由题得因为等比数列的奇数项同号，所以，故答案为：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，本题要注意检验.5.“”是“指数函数单调递减”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先化简“指数函数单调递减”得，再利用充要条件的定义判断得解.【详解】因为“指数函数单调递减”，所以，所以“”是“指数函数单调递减”的必要非充分条件.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.6.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量服从正态分布，则，A. 4.56％B. 13．59％C. 27.18％D. 31.74％【答案】B【解析】【分析】由题意,利用正态分布的对称性，即可得出结论．【详解】由题意P（﹣4＜ξ＜4）=0.6826，P（﹣8＜ξ＜8）=0.9544，可得P（4＜ξ＜8）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359．故答案为：B【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A. 866B. 500C. 300D. 134【答案】D【解析】由题意，大正方形的边长为2，中间小正形的边长为，则所求黄色图形内的图钉数大约为，故选D.8.函数的部分图象为（）【答案】A【解析】试题分析：因,故当时,,函数单调递增; 当时,,函数单调递减; 当时,,函数单调递增.故应选A.考点：导数与函数单调性的关系．9.展开式的系数为A. B. C. 15 D. 45【答案】B【解析】【分析】先化简=，再利用二项式定理的通项分析得解.【详解】由题得=，设对于二项式，设其通项为，令6-r-3k=2,所以r+3k=4,r,k∈,方程的解为r=1,k=1或者r=4,k=0.所以展开式的系数为.故答案为：B【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式中的系数的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.10.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移个单位后得到函数的的图像，若函数在区间上均单调递增，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的范围．【详解】将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos的图象；然后向右平移个单位后得到函数g（x）=cos=cos（﹣）的图象，若函数g（x）在区间与[2aπ，4π]上均单调递增，则0﹣=﹣，﹣≤0，且﹣≥2kπ﹣π，﹣≤2kπ，k∈Z．解得≤a≤，故答案为：B【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．12.已知均为单位向量，满足，设，则的最小值为：A. B. 0 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】由题意可设C（cos θ，sin θ），设A（，），B（1，0），由条件求得x，y，再由两角和的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值．【详解】由||=1可设C（cos θ，sin θ），又•=，所以cos∠BOA=,所以∠BOA=.因为||=||=1，可设A（，），B（1，0），=x+y，所以所以,因为,所以（1）因为，所以，（2）由（1）（2）得所以当x+y最小值为.故答案为：C【点睛】本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．第II卷(非选择题，共90分)二、填空题(本题包括4小题，共20分)13.已知函数_________【答案】【解析】【分析】先求f(-1),再求的值.【详解】由题得f(-1)=所以=故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.14.设为正实数，且的最小值为_________【答案】【解析】【分析】由题得=,再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得=,当且仅当时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.函数的最大值为________【答案】【解析】【分析】先化简，再利用基本不等式求的最大值，即得f(x)的最大值.【详解】由题得，所以所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.16.下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为【答案】【解析】【分析】利用观察法及定义可知第1行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，进一步分析得知第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，同时分别求出通项公式，从而得知结果．【详解】第i行第j列的数记为A ij．那么每一组i与j的解就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j=2+（j﹣1）×1=j+1，所以第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以A ij=j+1+（i﹣1）×j=ij+1．令A ij=ij+1=2019，即ij=2018=1×2018=2018×1=2×1009=1009×2故表中2019共出现4次．故答案为：4【点睛】此题考查行列模型的等差数列的求法，解答的关键是分析出A ij=j+1+（i﹣1）×j=ij+1.三．解答题(本题包括6小题，共70分)17.已知在递增的等差数列的等比中项(I)求数列的通项公式；(II)若，为数列的前n项和，求．【答案】 (I) (II)【分析】(I)根据已知求出的通项公式. (II)由题意可知，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为,因为，所以，解得所以.(II)由题意可知：所以.【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.在中，A,B,C所对的边分别为，满足．(I)求角A的大小；(Ⅱ)若，D为BC的中点，且的值．【答案】(I);(II).【解析】【分析】(I)得，求出. (Ⅱ)由题意可知，化简得，再结合余弦定理求出，再利用正弦定理求出的值．【详解】(I)，所以，所以因为，所以，所以(Ⅱ)由题意可知：所以所以又因为，所以，因为，所以由正弦定理可得，所以【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19.某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数精确到0.01)；(II)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：参考数据：【答案】(I)z与x的线性回归方程是 (II)当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【解析】【分析】(I)利用最小二乘法求出z与x的线性回归方程.(II)先求出y关于x的回归方程是, 令x＝10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.【详解】(I)由题意，知，，又,所以，所以，所以z与x的线性回归方程是；(II)因为,所以y关于x的回归方程是,令x＝10，得=,因为ln 1.03≈0.03，所以，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20.已知数列(I)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n项和【答案】(I).【解析】【分析】(I)利用项和公式求数列的通项公式. (Ⅱ)利用错位相减法求数列的前n项和【详解】(I)由题意可知：当时，，又因为，所以，又因为当，，所以所以等比数列，且（2）所以【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21.依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.【答案】 (I)，因此企业应选方案二．【解析】【分析】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，分别求出它们发生的概率，记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，分别求出它们发生的概率，再利用求解.（II）以企业利润为随机变量，分别计算出三种方案的利润，再选择.【详解】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：，．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件．则．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．（II）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（I）知．的分布列为X1500－100－1000P0．810．1550．035则该企业在8月份的利润期望（万元）．选择方案二，则（万元）的取值为：，由（I）知，，的分布列为：X2460－1040P0．9650．035则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．【点睛】本题主要考查概率的计算，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22.已知(e为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数图象关于直线对称，函数的最小值为m．(I)求曲线的切线方程；(Ⅱ)求证：；(III)求函数的最小值．【答案】(I)(Ⅱ)见解析(III)【解析】【分析】(I)由题意可知,再利用导数的几何意义求切线方程. (Ⅱ)令，求出函数的最小值，再根据得到. (III)先利用导数求得，再证明，所以.【详解】(I)由题意可知，所以，所以切线方程为，(Ⅱ)令，因为，，又因为在上单增所以存在唯一的，使得，即，当，所以单减，同理在单增，所以，因为，所以所以因为，所以(III)因为,，所以因为，所以存在唯一的，使得，即在单减，在单增所以因为所以，所以令，所以因为所以由，可得，所以所以，，所以，即，所以【点睛】本题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。

2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学试题(理)

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题(理科)2018．11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷为第1页至第3页，第II 卷为第3页至第5页。

试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第I 卷(共60分)一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项．．．．．．符合题意)1．已知集合{}{}12342468A B A B ==⋃，，，，，，，，则中的元素个数是A ．2B ．3C ．6D ．82．已知向量()()1,2,,1a b m a b m =-=⊥=，若，则A.2-B ．12-C ．12D ．23．设,x y 满足约束条件326000x y x z x y y +-≤⎧⎪≥=-⎨⎪≥⎩，则的最大值是A ．3-B ．0C ．2D ．34．已知等比数列{}n a 中，3752,8,a a a =-=-=则A.4-B ．±4C ．4D ．165．“1a >”是“指数函数()()32xf x a =-在R 单调递减”的A.充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布()20,4N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<≤+=，())2295.44%P μσξμσ-<≤+=，A ．4.56％B.13．59％C ．27.18％D ．31.74％7．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+(股－勾)=4×朱实十黄实=弦实=弦2，化简得：勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷l 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为A ．866B.500C ．300D ．1348.函数21x y e x =-的部分图象为9．6211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式2x 的系数为A ．45-B ．15-C ．15D ．4510．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是,,a b c ，当且仅当a b c b >>且时称为“凹数”，若{},,1234a b c ∈，，，，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A.13B ．532C.732D ．7121l.将函数()cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移6π个单位后得到函数()g x 的的图像，若函数()g x 在区间[]0,2,49a a πππ⎡⎤⎢⎣⎦与上均单调递增，则买效a 的取值范围为A ．13,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．133,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．73,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知,,OA OB OC均为单位向量，满足1,0,02OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅≥⋅≥ ，设OC xOA yOB =+，则x y +的最小值为：A.3-B.0C.3D.1第II 卷(非选择题，共90分)二、填空题(本题包括4小题，共20分)13．已知函数()()()3log ,,19,0x x x f x f f x >0⎧=-=⎨≤⎩则_________14．设,x y 为正实数，且211x y x y+=+，则的最小值为_________15．函数()()sin1cos 2xf x x =+的最大值为________16.右表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为________三．解答题(本题包括6小题，共70分)17．(本小题10分)已知在递增的等差数列{}1319,2,n a a a a a =中是和的等比中项(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)若()11n nb n a =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．18．在ABC ∆中，A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，满足()2sin 32AB C +=．(I)求角A 的大小；(Ⅱ)若a b c =>，D 为BC的中点，且sin AD C =求的值．19.(本小题12分)某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x 与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z 与x 有很强的线性相关关系，请求出z 与x 的线性回归方程(回归系数 ,ba 精确到0.01)；(II)求y 关于x 的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：()()()112211,n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybay bx x x xnx====---===---∑∑∑∑ 参考数据：6662111187.4,47.64,139,ln1.030.03,ln1.020.02.i ii i i i i i x yx z x ======≈≈∑∑∑20．(本小题12分)已知数列{}11,2,2n n n na n S a a S +==+的前项和为(I)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设()31n nb n a =-，求数列{}n b 的前n 项和nT21．(本小题12分)依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I 级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.22．(本小题12分)已知()xf x e =(e 为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数()()yg x y f x ==与图象关于直线y x =对称，函数()()f x g x -的最小值为m ．(I)求曲线()()212y g x =+在点，的切线方程；(Ⅱ)求证：522m <<；(III)求函数()()()F x f x m g x =--的最小值．山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学答案(理科)2018．11一.选择题CDCAB BDABC BC 二．填空题13.2-14.223+15.93416.4三．解答题17.解：（1）设公差为d因为9123a a a =，所以)82(2)22(2d d +=+，解得2=d ………………..2分所以na n 2=…………………5分（2）由题意可知：111(21)1(21+-=+=n n n n b n …………………8分所以=n S )1(2111...3121211(21+=+-++-+-n n n n …………………10分18.解：（1）2sin 332)sin(2A C B =+，所以2sin 332sin 2A A =，所以32tan =A因为),0(π∈A ，所以32π=A ，所以32π=A …………………5分（2）由题意可知：ADC ADB ∠-=∠cos cos 所以372373723722b c -+-=-+所以2022=+c b 又因为A bc b c a cos 2222-+=，所以8=bc 因为c b >，所以2,4==c b …………………10分由正弦定理可得ca sin sin =，所以1421sin =C …………………12分19.解：(1)由题意，知x －＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，……………1分z －＝16×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，……………………2分又∑6i ＝1x i z i ＝47.64，∑6i ＝1x 2i ＝139所以b ^＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52＝－6.3617.5≈－0.363，………………………6分所以a ^＝z －－b ^x －＝2＋0.363×4.5＝3.63，……………………7分所以z 与x 的线性回归方程是z ^＝－0.36x ＋3.63；………………….8分（2）因为z ＝ln y ，所以y 关于x 的回归方程是y ^＝e －0.36x ＋3.63……………………….10分令x ＝10，得y ^＝e －0.36×10＋3.63＝e 0.03，因为ln 1.03≈0.03，所以y ^＝1.03，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．………………….12分20.解：（1）由题意可知：当2≥n 时，12-+=n n S a ，又因为n n S a +=+21，所以n n a a 21=+，…………………2分又因为当1=n，42=a ，所以122a a =………………….3分所以{}n a 等比数列，且nn a 2=…………………5分（2）nn n T 2)13( (25222)-++⋅+⋅=1322)13(...25222+-++⋅+⋅=n n n T 1322)13(23...23234+--⋅++⋅+⋅+=-n n n n T 112)13(212134+-----+=n n n 12)127(1--+=n n 所以12)712(1--=-n n n T …………………12分21．（I ）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件1A ，“水位在40米至50米之间”为事件2A ，“水位大于50米”为事件3A ，它们发生的概率分别为：()()()()120.020.050.0650.65,0.040.0250.30P A P A =++⨯==+⨯=，()30.0150.05P A =⨯=．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ，所以()()()1230.1,0.2,0.6P B P B P B ===．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件B ．则()()()()()()()()()()112233112233P B P A B P A B P A B P A P B P A P B P A P B =++=++0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155．………………………………4分（II ）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X （万元）的取值为：500,100,1000--，由（I ）知()()115000.650.90.300.750.0500.81,1000.155,P X P X ==⨯+⨯+⨯==-=()110000.6500.300.050.050.400.035P X =-=⨯+⨯+⨯=．1X 的分布列为………………7分则该企业在8月份的利润期望()()()15000.811000.15510000.035354.5E X =⨯+-⨯+-⨯=（万元）．选择方案二，则2X （万元）的取值为：460,1040-，由（I ）知，()()224600.810.1550.965,10400.035P X P X ==+==-=，2X 的分布列为：X 2460－1040P0．9650．035…………………………9分则该企业在8月份的平均利润期望()()24600.96510400.035407.5E X =⨯+-⨯=（万元）…………………………10分选择方案三，则该企业在8月份的利润为：()3500100400E X =-=（万元）………………………11分X 1500－100－1000P0．810．1550．035由于()()()231E X E X E X >>，因此企业应选方案二．…………………12分22.解（1）由题意可知xx g ln )(=xy 1/=，所以1=k ，所以切线方程为1+=x y …………………….2分（2）令xe x g xf x h xln )()()(-=-=x e x h x 1)(/-=，因为01)1(/>-=e h ，0221(/<-=e h ，又因为)(/x h 在+R 上单增所以存在唯一的)1,21(0∈x ，使得0)(0/=x h ，即010x e x =，……………..3分当0)(),,0(/0<∈x h x x ，所以)(x h 单减，同理)(x h 在),(0+∞x 单增，所以00ln )(0x e x h m x -==，…………….4分因为01x ex =，所以00ln x x =-所以0001ln 0x x x em x +=-=因为)1,21(0∈x ，所以252<<m ……………..6分（3）因为x e x F mx ln )(-=-,，所以xe x F m x 1)(/-=-因为,011)(/>-=mm F 01)1(1/<-=-m e F ，所以存在唯一的),1(1m x ∈，使得0)(1/=x F ，即111x e m x =-)(x F 在()1,0x 单减，在()+∞,1x 单增所以00111111min 111ln )()(1x x x x m x x x e x F x F m x --+=-+=-==-……………..8分因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===-000111101x m x e x ex m x 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=001001ln 1ln xx x x x x ，所以1011ln x x x x -=……………..10分令0110,x t x t x x ==则，所以00011ln x tx t x t -=-=因为1ln 1-≤≤-t t tt （要证）所以1110-≤-≤-t x t t t 由110-≤-t x t ，可得011)(1(0≥+-x t ，所以1≥t 所以010≤-x t，01≥-t t ，所以1=t ，即110=x x ，…………….11分所以0)(min =x F ……………..12分。

山东省实验中学西校区2018-2019学年高三(上)12月月考数学试卷(理科)(解析版)

2018-2019学年山东省实验中学西校区高三（上）12月月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{﹣2，1}，则下列结论正确的是（）A．A∩B＝{﹣2}B．（∁R A）∪B＝（﹣∞，0）C．A∪B＝（0，+∞）D．（∁R A）∩B＝{﹣2}3．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．y＝2x B．y＝2|x|C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝2x+2﹣x4．已知两个非零向量，满足•（﹣）＝0，且2||＝||，则＜，＞＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A．14B．6+4C．8+6D．8+46．设等差数列{a n}满足a2＝7，a4＝3，S n是数列{a n}的前n项和，则使得S n＞0最大的自然数n是（）A．9B．10C．11D．127．若函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，如果输入a＝﹣1，b＝﹣2，则输出的a的值为（）A．16B．8C．4D．29．实数x，y满足，则z＝|x﹣y|的最大值是（）A．2B．4C．6D．810．已知P是双曲线﹣y2＝1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•的值是（）A．﹣B．C．﹣D．不能确定11．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）。

山东省实验中学东校2019届高三上学期12月份模考理科数学试题+Word版含答案

绝密★启用前
山东省实验中学东校区
2019届高三上学期12月份模拟考试
数学(理科)试题
2018．12
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．下列判断错误
．．的是（）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．若均为假命题,则为假命题
D．命题“若,则或”的逆否命题为“若或,则”3．将函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数解析式是( )
A. B. C. D.
4．已知函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
5.设，则的大小关系是( )
A． B． C． D．
6.已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
7．已知所在平面内有两点，满足，若
，,则的值为( )
A. B. C. D.
8.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20，则r＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
9.是两个平面，是两条直线，下列命题正确的个数是（）
①如果，那么.
②如果，那么.
③如果，那么.
④如果，那么与所成的角和与所成的角相等.
A.1个
B. 2个
C.3个
D.4个
10.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且
，则该三棱锥的外接球的体积为( )。

山东省实验中学2019届高三第四次诊断性考试试题数学(理)试题含答案

山东省实验中学2019届高三第四次诊断性考试试题数学(理科)全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1、已知函数122+--=x x y 的定义域为集合A ，集合{}Z n n x x B ∈-==,12，则A B ⋂为（） A.{}3,1B. {}3,1,1,3--C. {}3,1,1-D.{}1,1,3--2、x R ∈，当复数Z=(1)x x i +-的模长最小时，z 的虚部为( )A. 21-B.21C. 1D. 21-i 3、已知cos25π22sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭则1tan tan αα+等于（） A. 8-B. 8C.18D. 18-4、小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a ，有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递推公式()*11,n n a a n n N +=++∈其中正确的是（）A. ①②④B. ①③④C. ①②D. ①④5、已知函数()3cos 2cos 22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数()f x 的图象( )A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度D. 向右平移12π个单位长度6、已知,x y 满足不等式组⎧⎪⎨⎪⎩240,{20, 30,x y x y y +-≥--≤-≤则1z x y =+-的最小值为（）0.A1.B2.C3.D7、已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（）.A.4()22x f x =+B.2()1f x x =+C.1()1f x x =+D.2()21f x x =+ 8、如果函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=36sin 2ππx x f ()102<<-x 的图像与x 轴交与点A ，过点A 的直线交)(x f 的图像于C B ,两点，则()=∙+OA OC OB （）32.-A16.-B 16.C32.D9、如图，ABC ∆与ACD ∆都是等腰直角三角形，且BC AC DC AD ===,2.平面⊥A C D ABC 平面，如果以平面ABC 为水平平面，正视图的观察方向与AB 垂直，则三棱锥ABC D -的三视图的面积和为（）A ．4+23B ．4+23C ．4+22 D.4+3310、若0,,>c b a 且()324-=+++bc c b a a ,则c b a ++2的最小值为( )A ．3-1B ．3+1C ．23+2D ．23-211、若数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为a a n n ∙-=+2018)1(，nb n n 2019)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1B. [)1,1-C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2D. [)1,2-12、把函数())1(log 2+=x x f 的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()x g 的图象关于直线x y =对称；已知偶函数()x h 满足()()11--=-x h x h ，当[]1,0∈x 时，()()1-=x g x h ；若函数()()x h x kf y -=有五个零点，则k 的取值范围是（） A. ()1,2log 3B. [)1,2log 3C. 61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,2log 6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卷上) 13、由曲线x y 1=及直线0,1,21===y x x 围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得几何体体积为 .14、已知命题“x R ∃∈，使012≤++ax ax ”是假命题，则实数a 的取值范围是． 15、长方形ABCD 中，3,4==BC AB ,将ACD ∆沿AC 折起，使二面角B AC D --大小为θ，则四面体ABC D -的外接球的表面积为________16、已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,且6,4sin 5sin a B C ==，有以下四个命题：①ABC ∆的面积的最大值为40；②满足条件的ABC ∆不可能是直角三角形； ③当C A 2=时，ABC ∆的周长为15；④当C A 2=时，若O 为ABC ∆的内心，则AOB ∆的面积为7. 其中正确命题有__________（填写出所有正确命题的序号）．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 17、（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()()1121++=+n n nn a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=- ，且//m n. （1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为233，求ABC ∆周长的取值范围.19、（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB ⊥侧面11BB C C ， 2BC =，12AB BB ==，14BCC π∠=，点E 在棱1BB 上.（Ⅰ）求证：1C B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）试确定点E 的位置，使得二面角1A C E C --的余弦值为55．20、（本小题满分12分）已知函数()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若函数()y f x =的图像与直线12y x a =+没有交点，求a 的取值范围；（3）若函数()1()2421f x xx h x m +=+- ，[]3log ,02∈x ，是否存在实数m ，使得()h x 最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21、（本小题满分12分）已知B A ,是椭圆C ：93222=+y x 上两点，点M 的坐标为()0,1. ⑴当B A ,两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长； ⑵当B A ,两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.22、（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，()()()11F x f x f x =+--．（Ⅰ）当*n ∈N 时，比较()132ni F i =∑与()3112133n +-的大小（注：121ni n i a a a a ==+++∑ ）；（Ⅱ）设()()()121ee -⎛⎫+=-≤- ⎪⎝⎭ax f x g x x a a ，若函数()g x 在()0,+∞上的最小值为21e a -，求a 的值．山东省实验中学2019届高三第四次诊断性考试试题数学（理科）答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A D C B B D A D C C 二、填空题13,π; 14,[)4,0; 15,π25; 16,③④16、③④【解析】①由题，，由余弦定理得：当且仅当即取等号，此时．的面积的最大值为24；不正确②由题，假设是直角三角形，则解得故可能是直角三角形；②不正确③当时，有正弦定理，结合由余弦定理可得，的周长为15；正确；④当时，若为的内心，则设的内接圆半径为由可得故则即的面积为.正确故答案为③④.三、解答题17、（1）当时，，得当时，有，所以即，满足时，，所以是公比为2，首项为1的等比数列，故通项公式为．（2），．18、解：（1）由//m n，得(2)cos cos 0b c A a B -+=.由正弦定理，得2sin sin cos 0sinBcosA CcosA A B -+=，即()2sin CcosA sin A B sinC =+=.在ABC ∆中，由0sinC >，得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=. （2）根据题意，得4332sin 232a R A ==⨯=.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤.所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6. 19、（Ⅰ）证明：∵BC=，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=，在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B=，∴C 1B 2+BC 2=，即C 1B ⊥BC ．又AB ⊥侧面BCC 1B 1，故AB ⊥BC 1，又CB∩AB=B ，所以C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B （0，0，0），A （0，2，0），C （，0，0），C 1（0，0，），B 1（﹣，0，），∴=（0，2，﹣），设1BE BB λ=，则=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ）设平面AC 1E 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），由1100m C A m C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得，令z=，取m=（，1，），又平面C 1EC 的一个法向量为=（0，1，0）所以cos ＜，＞=m nm n⋅⋅==，解得λ=．所以当λ=时，二面角A ﹣C 1E ﹣C 的余弦值为．20、解：（1）∵()()f x f x -=，即()()44log 41log 41x xkx kx -+-=++对于任意x R ∈恒成立.∴()()444412log 41log 41log 41x xxx kx --+=+-+=+∴2kx x =-∴12k =-（2）由题意知方程()411log 4122xx x a +-=+即方程()4log 41x a x =+-无解. 令()()4log 41xg x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点.∵()()444411log 41log log 144x xx x g x x +⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭任取12x x R ∈、，且12x x <，则12044x x<<，∴121144x x > ∴()()12124411log 1log 1044x x g x g x ⎛⎫⎛⎫-=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 在(),-∞+∞上是单调减函数. ∵1114x +>，∴()41log 104x g x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭∴a 的取值范围是(],0-∞ （3）由题意()[]24?21,0,log 3xxh x m x =+-∈，)[]24?21,0,log 3x x h x m x =+-∈令[]21,3x t =∈， ()2t t mt ϕ=+[]1,3t ∈∵开口向上，对称轴2mt =-，当12m-≤，即2m ≥-，()()min 110,1t m m ϕϕ==+==- 当132m <-<，即62m -<<-，()2min 0,024m m t m ϕϕ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭（舍去）当32m-≥，即6m <-，()()min 3930,3t m m ϕϕ==+==-（舍去） ∴存在1m =-得()h x 最小值为0. 21．解：⑴设A （x 0，y 0），B （x 0，-y 0），因为△MAB 为等边三角形，所以|y 0|=33|x 0-1|，又点A （x 0， y 0）在椭圆上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=932|1|33||202000y x x y ，消去y 0，得3x 20-2x 0-8=0，解得x 0=2或x 0=-34，当x 0=2时，|AB |=332；当x 0=-34时，|AB |=9314.⑵根据题意可知，直线AB 斜率存在.设直线AB ：y =kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为N （x 0，y 0），联立⎩⎨⎧+==+mkx y y x 93222，消去y 得（2+3k 2）x 2+6kmx +3m 2-9=0，由△＞0得2m 2-9k 2-6＜0，① 所以x 1+x 2=-2326k km +,y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m =2324k m+, 所以N （-2323k km +，2322k m+），又M （1， 0），假设△MAB 为等边三角形，则有MN ⊥AB ，所以k MN ×k =-1，即132332222-+-+k km k m×k =-1，化简得3k 2+2+km =0，② 由②得m =-k k 232+，代入①得2222)23(k k +-3（3k 2+2）＜0，化简得3k 2+4＜0，矛盾，所以原假设不成立，故△MAB 不可能为等边三角形.22、解：（1）()()()()()122462ni F i F F F F n ==++++∑L ()35721ln ln 2113521n n n +⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=+ ⎪-⎝⎭L ，构造函数()()()313ln 133h x x x x =--≥，()3233x h x x x x-'=-=，当3x ≥时，()0h x '<，∴()h x 在[)3,+∞上单调递减．∴()()133ln 3903h x h ≤=-+<，故当()*21x n n =+∈N 时，()()313ln 2121103n n ⎡⎤+-+-<⎣⎦，即()()313ln 212113n n ⎡⎤+<+-⎣⎦，即()132n i F i =<∑()3112133n +-．（2）由题可得()1eln ax g x x ax x -=--，则()111ee ax ax g x ax a x --'=+--=()111e ax ax x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由11e 0ax x --=得到1ln x a x -=，设()1ln x p x x -=，()2ln 2x p x x -'=．当2e x >时，()0p x '>；当20e x <<时，()0p x '<．从而()p x 在()20,e上递减，在()2,e +∞上递增． ∴()()22min 1ee p x p ==-．当21e a ≤-时，1ln x a x -≤，即11e 0ax x --≤ （或111e 1e ax ax x x x----=，设()1e 1ax p x x -=-，证明()0p x ≤亦可得到11e 0ax x --≤）．在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，10ax +>，()0g x '≤，()g x 递减；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，10ax +<，()0g x '≥，()g x 递增． ∴()2min 11e g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2111ln e a a ⎛⎫+--=- ⎪⎝⎭，∴1ln1a⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得1ea=-．。

山东省实验中学2019届高三上学期第二次诊断性测试(数学理)

山东省实验中学2019届高三上学期第二次诊断性测试（数学理）数学试题（理科）.12说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）共两卷。

其中第一卷共60分，第II 卷共90分，两卷合计150分。

答题时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．240tan 的值是（）A ．33-B ．33C ．3-D ．3 2．下列命题中是真．命题的为（）A ．x R ∀∈，21x x <+ B ．x R ∀∈，21x x ≥+ C ．x R ∃∈，y R ∀∈，22xy y = D ．x R ∀∈，y R ∃∈，2x y >3．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是（）A ．15B ．30C ．31D ．644．已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为（） A ．227- B ．154 C ．227D ．54-5．已知命题2:11xp x <-，命题:()(3)0q x a x +->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（） A ．(]3,1-- B ．[]3,1-- C ．(],1-∞- D ．(],3-∞-．6．已知实数y x ,满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（）A ．3B ．4C ．5D ．77．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像（）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度8．已知两点(1,0),A B O 为坐标原点，点C 在第三象限，且5,6AOC π∠=设 2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于（） A ．1- B ． C ．2- D ．29．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 10．函数|1||2||2011|y x x x =-+-++-（） A ．图象无对称轴,且在R 上不单调 B ．图象无对称轴,且在R 上单调递增C ．图象有对称轴,且在对称轴右侧不单调D ．图象有对称轴,且在对称轴右侧单调递增11．已知函数()1xf x xe ax =--，则关于()f x 的零点叙述正确的是（） A . 当a =0时，函数()f x 有两个零点 B. 函数()f x 必有一个零点是正数C. 当0a <时，函数()f x 有两个零点 D.当0a >时，函数()f x 有一个零点 12．已知函数)(x f y =，R x ∈，有下列4个命题：①若)21()21(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称； ②)2(-x f 与)2(x f -的图象关于直线2=x 对称；③若)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线2=x 对称； ④若)(x f 为奇函数，且)2()(--=x f x f ，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称. 其中正确命题的个数为（）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第Ⅱ卷（非选择题共90分）13．已知数列{}n a 为等比数列，且64,495==a a ，则=7a .14．若幂函数)(x f 的图象经过点(4,2)A ，则它在A 点处的切线方程为 .15．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆的面积与凹四边形ABOC 的面积之比为 .16．对于函数()f x =, 存在一个正数b ,使得()f x 的定义域和值域相同, 则非零实数a 的值为__________．三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）锐角ABC △中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知sin 3A =，（Ⅰ）求22tansin 22B C A++的值；（Ⅱ）若2a =，ABC S =△，求b 的值．18．（本小题满分12分）已知函数4()log (41)xf x kx =++()k R ∈是偶函数．（Ⅰ）求k 的值;（Ⅱ）设44()log (2)3xg x a a =⋅-,若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点,求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12sin 262sin 3)(2ππx x x f (∈x R ).（Ⅰ）若21)(-=x f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,4ππx ，求x ；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递增区间.20．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为n S ，n S a a n n +==+11,2.（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列}{n b 的各项为正，其前n 项和为,n T 且93=T ,又332211,,b a b a b a +++成等比数列.（1）求}{n b 的通项公式；（2）求证：当2≥n 时，4311122221<+++nb b b .21．（本小题满分12分）已知圆C 的方程为066222=--++y x y x ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求过点)11,5(-M 的圆C 的切线方程；（Ⅱ）若圆C 上有两点Q P 、关于直线04=++my x 对称，并且满足7-=⋅OQ OP ，求 m 的值和直线PQ 的方程；（Ⅲ）过点)3,2(N 作直线与圆C 交于B A 、两点，求ABC ∆的最大面积以及此时直线AB 的斜率.22．（本小题满分14分）已知函数xax x f -=ln )(,x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中∈a R. （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；（Ⅲ）设函数4)(2+-=mx x x h ,当2=a 时，若)1,0(1∈∃x ，]2,1[2∈∀x ，总有)()(21x h x g ≥成立，求实数m 的取值范围．实验中学级第二次诊断性测试数学试题参考答案及评分标准（理科）.12一、1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C7．A 8．A 9．B 10．D 11．B 12．C二、13． 16 14．044=+-y x 15．5:4 16．4-三、17．解：（Ⅰ）因为ABC △为锐角三角形，且sin 3A =，所以31cos =A ---------1分22tan sin 22B C A ++A C B C B cos 21)sin()cos(12-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-= A A A cos 21sin cos 12-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= --------------------------------------------------------4分将sin A =， 31cos =A 代入得22tan sin 22B C A ++97= ---------------------------6分（Ⅱ）由232sin 21===∆bc A bc S ABC ，得3=bc ① --------8分 A bc c b a cos 2222-+=得3132422⨯⨯-+=c b ，即622=+c b ② --------10分由①②解得3=b ----------------------------------------------12分 18．解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数可知：()()f x f x =-44log (41)log (41)x x kx kx -∴++=+- -----------------------------------------------2分441log 241x x kx -+=-+ 即2x kx =-对一切x R ∈恒成立12k ∴=- -----------------------------------------------5分（Ⅱ）函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点即方程4414log (41)log (2)23xx x a a +-=⋅-有且只有一个实根化简得：方程142223x xx a a +=⋅-有且只有一个实根令20x t =>，则方程24(1)103a t at ---=有且只有一个正根 --------------------------8分①314a t =⇒=-，不合题意； ---------------------------------9分 ②304a ∆=⇒=或3- ---------------------------------10分若3142a t =⇒=-，不合题意；若132a t =-⇒=---------------------------------11分③一个正根与一个负根，即1011a a -<⇒>- 综上：实数a 的取值范围是),1(}3{+∞- ---------------------------------12分19．解：（Ⅰ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12sin 262sin 3)(2ππx x x f )62cos(1)62sin(3ππ--+-=x x1662sin 2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx132sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx ------------------------------------------------------------------------------------4分因为21)(-=x f ，所以2232sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-πx ------------------------------------------------6分由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,6532πππx ，故4332ππ-=-x 或432ππ-=-x所以245π-=x 或24π=x ---------------------------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）令223222πππππ+≤-≤-k x k ------------------------------------------------10分解得)(12512Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 所以)(x f 单调递增区间为)(125,12Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ----------------------------------------12分20．解：（Ⅰ）由n S a n n +=+1，得)1(1-+=-n S a n n )2(≥n ，两式相减得 1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以121+=+n n a a -------------------------------------2分所以)1(211+=++n n a a )2(≥n -------------------------------------3分又,32=a 所以nn n a a 2)1(2122=+=+-，从而12-=nn a )2(≥n ---------------------------------5分而21=a ，不符合上式，所以⎩⎨⎧≥-==2,121,2n n a nn -------------------------------------6分（Ⅱ）（1）因为}{n b 为等差数列，且前三项的和93=T ，所以32=b ，--------7分可设d b d b +=-=3,331由于7,3,2321===a a a ，于是d b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211，因为332211,,b a b a b a +++成等比数列，所以36)10)(5(=--d d ，1=d 或15-=d （舍）所以1)1(2)1(1+=-+=-+=n n d n b b n -----------------------------------9分（2）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=-+<+=21121)2(11)1(1)1(11222k k k k k k b k所以，当2≥n 时 22222221)1(13121111+++=+++n b b b n⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<211412131121n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=211121121n n 4321121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+< ------- ----------------------------------------------------12分 21．解：（Ⅰ）圆C 的标准方程为16)3()1(22=-++y x ，圆心为)3,1(-C ，半径4=r 设过点)11,5(-M 的切方程为)5(11+=-x k y ，即0115=++-k y kx ，则41|1153|2=+++--k k k ，解得43-=k 切线方程为02943=-+y x ----------------3分当斜率不存在时，5-=x 也符合题意.故求过点)11,5(-M 的圆C 的切线方程为：02943=-+y x 或5-=x . ----------------4分（Ⅱ）因为点Q P 、在圆上且关于直线04=++my x 对称，∴圆心)3,1(-C 在直线上，代入得1-=m ----------------------------------------------------5分因为直线PQ 与直线04=+-y x 垂直，所以可以设),(),,(2211y x Q y x P ，PQ 方程为b x y +-=将直线b x y +-=代入圆C 的方程，得066)4(2222=--+-+b b x b x --------------------------------------------------------------6分)66(24)4(422>--⨯⨯--=∆b b b得242242+<<-b由根与系数的关系得266,422121--=-=+b b x x b x x212122121)())((x x x x b b b x b x y y ++-=+-+-=因为7-=⋅所以766)4(2)(22212122121-=--+--=++-=+b b b b b x x x x b b y y x x即0122=+-b b ,解得)242,242(1+-∈=b故所求的直线方程为1+-=x y .-------------------------------------------------------------------------------8分（Ⅲ）当直线AB 的斜率不存在时,73=∆ABC S , ----------------------------9分当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为)2(3-=-x k y ，即023=-+-k y kx ，圆心)3,1(-C 到直线AB 的距离=d 1||32+k k ，线段AB 的长度2162||d AB -=，所以，82)16()16(16||2122222=-+≤-=-==∆d d d d d d d AB S ABC ，当且仅当82=d 时取等号，此时81922=+k k ，解得22±=k 所以，ABC ∆的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为22±. ----------------12分22．解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞，且2)('xax x f +=， ----------------1分 ①当0≥a 时，0)('>x f ，)(x f 在),0(+∞上单调递增； ----------------2分②当0<a 时，由0)('>x f ，得a x ->；由0)('<x f ，得a x -<；故)(x f 在),0(a -上单调递减，在),(+∞-a 上单调递增. ----------------4分（Ⅱ）x xaax x g ln 5)(--=，)(x g 的定义域为),0(+∞ 22255)('x ax ax x x a a x g +-=-+= ----------------5分因为)(x g 在其定义域内为增函数，所以),0(+∞∈∀x ，0)('≥x gmax222215155)1(05⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⇔+≥⇔≥+⇔≥+-⇔x x a x x a x x a a x ax11 / 11而2515152≤+=+xx x x ，当且仅当1=x 时取等号，所以25≥a ----------------8分（Ⅲ）当2=a 时，x xx x g ln 522)(--=，22252)('x x x x g +-= 由0)('=x g 得21=x 或2=x 当)21,0(∈x 时，0)('≥x g ；当)1,21(∈x 时，0)('<x g .所以在)1,0(上，2ln 53)21()(max +-==g x g ----------------10分而“)1,0(1∈∃x ，]2,1[2∈∀x ，总有)()(21x h x g ≥成立”等价于 “)(x g 在)1,0(上的最大值不小于)(x h 在]2,1[上的最大值” 而)(x h 在]2,1[上的最大值为)}2(),1(max{h h 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥)2()21()1()21(h g h g -----------------------------------------------------------------------------12分 ⎩⎨⎧-≥+--≥+-⇔m m 282ln 5352ln 53⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≥⇔)2ln 511(212ln 58m m 2ln 58-≥⇔m 所以实数m 的取值范围是) ,2ln 58[∞+-------------------------------------------------------------14分。

2019届山东省实验中学东校高三上学期12月份模考理科数学试题

山东省实验中学东校2019届高三12月份模拟试题数学试题(理科) 2018．12一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则( )A. B. C. D.2．下列判断错误．．的是（）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“”的否定是“”C．若均为假命题,则为假命题D．命题“若,则或”的逆否命题为“若或,则”3．将函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数解析式是( )A. B. C. D.4．已知函数，则不等式的解集是( )A. B. C. D.5.设，则的大小关系是( )A． B． C． D．6.已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.7．已知所在平面内有两点，满足，若，,则的值为( )A. B. C. D.8.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20，则r＝( )A．1 B．2C．4 D．89.是两个平面，是两条直线，下列命题正确的个数是（）①如果，那么.②如果，那么.③如果，那么.④如果，那么与所成的角和与所成的角相等.A.1个B. 2个C.3个D.4个10.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D.11．函数在内的值域为，则的取值范围是( )A. B. C. D.12. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若复数，则的共轭复数的虚部为________14. 设函数,_____________15.已知正项等比数列的前项和为且，则的最小值为_________.16.在中，角所对的边分别为，已知，，则的面积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本题满分12分）已知的内角的对边分别为,且2a cos C＋c＝2b.（1）若点在边上,且,,求的面积；（2）若为锐角三角形,且,求的取值范围.18．（本小题满分12分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：对一切正整数，有．19.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，为钝角三角形，侧面垂直于底面，，点是的中点，，，.（1）求证：平面平面；（2）若直线与底面所成的角为，求二面角余弦值．20. 为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元；③租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；④租用时间超过3小时的时段，按每小时2元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5 ，租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3.（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量，求的分布列和数学期望E21.如图；.已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最小值，并求此时圆T的方程;（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点.试问；是否存在使最大的点P，若存在求出P点的坐标，若不存在说明理由.22．（本题满分12分）已知函数（1）若直线与曲线和分别相交于两点，且曲线在处的切线与在处的切线相互平行，求的取值范围；（2）设在其定义域内有两个不同的极值点且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.数学试题答案一选择题： B D A C A C A B C D C D二、填空题：, 9 , 24,17.已知的内角的对边分别为,且2a cos C＋c＝2b.（1）若点在边上,且,,求的面积；（2）若为锐角三角形,且,求的取值范围.【答案】（1）（2）解：(1)2a cos C＋c＝2b，由正弦定理，得2sin A cos C＋sin C＝2sin B＝2sin(A＋C)＝2sin A cos C＋2cos A sin C，∴sin C＝2cos A sin C.∵0<C<π，∴sin C≠0，∴cos A＝又0<A<π，∴A＝，又由由,得∴由正弦定理,可知,所以AB=4.由余弦定理有,所以.（2）由A＝知,，.又∵，所以，，由正弦定理,则由△ABC为锐角三角形,则,,所以b+c=4sin,即b+c的取值范围为.18．（本小题满分12分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：对一切正整数，有．【解析】（1）当时，，,当时，是公差的等差数列.构成等比数列，，，解得,由（1）可知，是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为.（2）19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，为钝角三角形，侧面垂直于底面，，点是的中点，，，.（1）求证：平面平面；（2）若直线与底面所成的角为，求二面角余弦值．【解析】（1）证明：取中点，连接，设，，依题意得，四边形为正方形，且有，，所以，所以，又平面底面，平面底面，底面，所以平面. 又平面，所以平面平面（2）过点作的垂线，交延长线于点，连接，因为平面底面，平面底面，平面，所以底面，故为斜线在底面内的射影，为斜线与底面所成的角，即由（1）得，，所以在中，，，，在中，，，，由余弦定理得，所以，从而，过点作，所以底面，所以两两垂直，如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量得取得，设平面的法向量得，取得，，所以，故所求的二面角的余弦值为. 20．解：(Ⅰ)根据题意，分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件A1，A2，A3，它们彼此互斥，且,分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件B1，B2，B3，它们彼此互斥，且2分.由题知，A1，A2，A3与B1，B2，B3相互独立， 3分记甲、乙两人所付租车费相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3，所以P(M)=P(A1)P(B1)+ P(A2)P(B2)+ P(A3)P(B3)=0.4×0.5＋0.5×0.3＋0.1×0.2=0.2＋0.15＋0.02=0.37; 6分(Ⅱ) 据题意的可能取值为：0,1,2,3,4 , 7分;;;;. 10分所以的分布列为：的数学期望,………11分答：甲、乙两人所付租车费相同的概率为0.37，的数学期望E=1.4. …………12分21.解：（I）由题意知解之得；，由得b=1，故椭圆C方程为；.…………………3分（II）点M与点N关于轴对称，设,不妨设, 由于点M在椭圆C上，,由已知,,…………………………………………………….4分由于故当时，取得最小值为,当时，故又点M在圆T上，代入圆的方程得,故圆T的方程为：；……………………………………………………………..6分（III）假设存在满足条件的点P,设，则直线MP的方程为：令，得，同理,故;…………………………………………………..8分又点M与点P在椭圆上，故,得,为定值,……………………………………….10分===,由P为椭圆上的一点,要使最大，只要最大，而的最大值为1,故满足条件的P点存在其坐标为．……………………………………..12分22.【解析】（1）依题意，函数的定义域为（0，），因为曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，所以有解，即方程有解.……………………2分方程有解转化为函数的图像在上有交点，如图，令过原点且与函数的图像相切的直线的斜率为，只须令切点为，所以，所以………………………………………5分（2）因为在其定义域内有两个不同的极值点，所以的两个根，即…………………6分因为…8分令，则，由题意知，不等式上恒成立.令（ⅰ）若所以上单调递增，又上恒成立，符合题意.……………………………10分（ⅱ）若时，上单调递减，在上单调递增，又上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综合（ⅰ）（ⅱ）得，若不等式恒成立，只须……12分。

2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学试题(理)

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题(理科)2018．11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷为第1页至第3页，第II 卷为第3页至第5页。

试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第I 卷(共60分)一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项．．．．．．符合题意) 1．已知集合{}{}12342468A B A B ==⋃，，，，，，，，则中的元素个数是A ．2B ．3C ．6D ．82．已知向量()()1,2,,1a b m a b m =-=⊥=，若，则 A. 2-B ．12-C ．12D ．23．设,x y 满足约束条件326000x y x z x y y +-≤⎧⎪≥=-⎨⎪≥⎩，则的最大值是 A ．3-B ．0C ．2D ．34．已知等比数列{}n a 中，3752,8,a a a =-=-=则 A. 4-B ．±4C ．4D ．165．“1a >”是“指数函数()()32xf x a =-在R 单调递减”的 A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布()20,4N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<≤+=，())2295.44%P μσξμσ-<≤+=，A ．4.56％B.13．59％C ．27.18％D ．31.74％7．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+(股－勾)= 4×朱实十黄实=弦实=弦2，化简得：勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷l 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为 A ．866B.500C ．300D ．1348.函数21x y e x =-的部分图象为9．6211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式2x 的系数为A ．45-B ．15-C ．15D ．4510．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是,,a b c ，当且仅当a b c b >>且时称为“凹数”，若{},,1234a b c ∈，，，，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A.13B ．532C.732D ．7121l.将函数()cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移6π个单位后得到函数()g x 的的图像，若函数()g x 在区间[]0,2,49a a πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与上均单调递增，则买效a 的取值范围为 A ．13,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．133,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．73,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知,,OA OB OC 均为单位向量，满足1,0,02OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅≥⋅≥，设O C x O A y =+，则x y +的最小值为：A. 3-B.0C.3D.1第II 卷(非选择题，共90分)二、填空题(本题包括4小题，共20分)13．已知函数()()()3log ,,19,0x x x f x f f x >0⎧=-=⎨≤⎩则_________14．设,x y 为正实数，且211x y x y+=+，则的最小值为_________ 15．函数()()sin1cos 2xf x x =+的最大值为________ 16.右表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为________三．解答题(本题包括6小题，共70分) 17．(本小题10分)已知在递增的等差数列{}1319,2,n a a a a a =中是和的等比中项(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)若()11n nb n a =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．18．在ABC ∆中，A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，满足()2sin sin32AB C +=． (I)求角A 的大小；(Ⅱ)若a b c =>，D 为BC的中点，且sin AD C =求的值．19.(本小题12分)某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x 与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z 与x 有很强的线性相关关系，请求出z 与x 的线性回归方程(回归系数,b a 精确到0.01)；(II)求y 关于x 的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：()()()1122211,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb a y bx x x xnx====---===---∑∑∑∑参考数据：6662111187.4,47.64,139,ln1.030.03,ln1.020.02.i ii i i i i i x yx z x ======≈≈∑∑∑20．(本小题12分)已知数列{}11,2,2n n n n a n S a a S +==+的前项和为 (I)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设()31n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T21．(本小题12分)依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I 级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.22．(本小题12分)已知()xf x e =(e 为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数()()yg x y f x ==与图象关于直线y x =对称，函数()()f x g x -的最小值为m ． (I)求曲线()()212y g x =+在点，的切线方程； (Ⅱ)求证：522m <<； (III)求函数()()()F x f x m g x =--的最小值．山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学答案 (理科) 2018．11一. 选择题 CDCAB BDABC BC 二．填空题13. 2- 14. 223+ 15. 934 16. 4 三．解答题17.解：（1）设公差为d因为9123a a a =，所以)82(2)22(2d d +=+，解得2=d ………………..2分所以n a n 2= …………………5分（2）由题意可知：)111(21)1(21+-=+=n n n n b n …………………8分所以=n S )1(2)111...3121211(21+=+-++-+-n n n n …………………10分 18.解：（1）2sin 332)sin(2A C B =+，所以2sin 332sin 2AA =，所以32tan =A因为),0(π∈A ，所以32π=A ，所以32π=A …………………5分（2）由题意可知：ADC ADB ∠-=∠cos cos 所以372373723722b c -+-=-+所以2022=+c b又因为A bc b c a cos 2222-+=，所以8=bc因为c b >，所以2,4==c b …………………10分由正弦定理可得C c A a sin sin =，所以1421sin =C …………………12分 19. 解：(1)由题意，知x －＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，……………1分z －＝16×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，……………………2分又∑6i ＝1x i z i ＝47.64，∑6i ＝1x 2i ＝139 所以b ^＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52＝－6.3617.5≈－0.363，………………………6分所以a ^＝z －－b ^x －＝2＋0.363×4.5＝3.63，……………………7分所以z 与x 的线性回归方程是z ^＝－0.36x ＋3.63；………………….8分（2）因为z ＝ln y ，所以y 关于x 的回归方程是y ^＝e －0.36x ＋3.63……………………….10分令x ＝10，得y ^＝e －0.36×10＋3.63＝e 0.03，因为ln 1.03≈0.03，所以y ^＝1.03，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．………………….12分20.解：（1）由题意可知：当2≥n 时，12-+=n n S a ，又因为n n S a +=+21，所以n n a a 21=+，…………………2分又因为当1=n ，42=a ，所以122a a = ………………….3分所以{}na 等比数列，且n na2= …………………5分（2）nn n T 2)13( (25222)-++⋅+⋅= 1322)13(...25222+-++⋅+⋅=n n n T1322)13(23...23234+--⋅++⋅+⋅+=-n n n n T 112)13(212134+-----+=n n n 12)127(1--+=n n所以12)712(1--=-n nn T …………………12分21．（I ）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件1A ，“水位在40米至50米之间”为事件2A ，“水位大于50米”为事件3A ，它们发生的概率分别为：()()()()120.020.050.0650.65,0.040.0250.30P A P A =++⨯==+⨯=，()30.0150.05P A =⨯=．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ，所以()()()1230.1,0.2,0.6P B P B P B ===．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件B ．则()()()()()()()()()()112233112233P B P AB P A B P A B P A P B P A P B P A P B =++=++0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155．………………………………4分（II ）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X （万元）的取值为：500,100,1000--，由（I ）知()()115000.650.90.300.750.0500.81,1000.155,P X P X ==⨯+⨯+⨯==-= ()110000.6500.300.050.050.400.035P X =-=⨯+⨯+⨯=． 1X 的分布列为………………7分则该企业在8月份的利润期望()()()15000.811000.15510000.035354.5E X =⨯+-⨯+-⨯=（万元）．选择方案二，则2X （万元）的取值为：460,1040-，由（I ）知，()()224600.810.1550.965,10400.035P X P X ==+==-=， 2X 的分布列为：…………………………9分则该企业在8月份的平均利润期望()()24600.96510400.035407.5E X =⨯+-⨯=（万元）…………………………10分选择方案三，则该企业在8月份的利润为：()3500100400E X =-=（万元） ………………………11分由于()()()231E X E X E X >>，因此企业应选方案二． ……………… …12分22.解（1）由题意可知x x g ln )(=xy 1/=，所以1=k ，所以切线方程为1+=x y …………………….2分（2）令x e x g x f x h xln )()()(-=-=x e x h x 1)(/-=，因为01)1(/>-=e h ，02)21(/<-=e h ，又因为)(/x h 在+R 上单增所以存在唯一的)1,21(0∈x ，使得0)(0/=x h ，即10x e x =，……………..3分当0)(),,0(/0<∈x h x x ，所以)(x h 单减，同理)(x h 在),(0+∞x 单增，所以00ln )(0x e x h m x -==， …………….4分因为01x ex =，所以00ln x x =- 所以0001ln 0x x x em x +=-=因为)1,21(0∈x ，所以252<<m ……………..6分（3）因为x ex F mx ln )(-=-,，所以xe x F m x 1)(/-=- 因为,011)(/>-=mm F 01)1(1/<-=-m e F ，所以存在唯一的),1(1m x ∈，使得 0)(1/=x F ，即111x e m x =- )(x F 在()1,0x 单减，在()+∞,1x 单增所以00111111min 111ln )()(1x x x x m x x x e x F x F mx --+=-+=-==-……………..8分因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===-000111101x x m x e x ex m x 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=001001ln 1ln xx x x x x ，所以10011ln x x x x -=……………..10分令0110,x t x t x x ==则，所以00011ln x t x t x t -=-= 因为1ln 1-≤≤-t t tt （要证）所以1110-≤-≤-t x t t t 由110-≤-t x t ，可得0)11)(1(0≥+-x t ，所以1≥t 所以010≤-x t，01≥-t t ，所以1=t ，即110=x x ， …………….11分所以0)(min =x F ……………..12分。