二次根式的乘法和除法课件
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人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
人教版八年级数学下册二次根式的乘除
方法二：
∵
2 5 2 =22
5
2
=20,
3
3
2 =32
2
3 =27
，2
5＞0, 3
3＞0
，
又∵20＜27，∴ 2
5 2 ＜ 3
2
3
，即2
5＜3
3.
16
探究新知
16.2 二次根式的乘除/
（2）- 2 13 与 - 3 6
解：(2)∵ 2 13= 22 13= 52 ，
3 6= 32 6= 54 ，
53 28 53 28
x3 6x2 y 9xy2
x(x 3y)2
33
课堂检测
16.2 二次根式的乘除/
拓广探索题
2.已知 7 a, 70 b,试着用a, b表示 4.9 .
解：
4.9 100 10 4.9,
又
ab 10 4.9,
34
课堂小结
16.2 二次根式的乘除/
二次根式 乘法
又∵52＜54， ∴ 52＜ 54 ，
两个负数比较大小， 绝对值大的反而小
∴ 52＞ 54 ,即 2 13＞-3 6.
17
探究新知
16.2 二次根式的乘除/
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法： (1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内， 当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
6.计算： （1）2 3 5 21
解：（1）2 3 5 21
25 321
10 32 7 30 7
（2）3 3 （- 18 ）
4
（2） 3 3 （- 18 ）
4
3-14 3 18
3 32 6 4
人教版八年级数学下册_16.2二次根式的乘除
特别提醒 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以
整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两 个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再 相除.
感悟新知
例 3 如果
a a－8
a a－8
成立，那么( D )
A.a ≥ 8
B.0 ≤ a ≤ 8
C.a ≥ 0
知3－练
D.a>8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条
(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5－讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因
数(式)的指数都是1. 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5－练
例8 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二
次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
(1)
1 ;(2)
x2＋y2 ;(3)
0.2;
3
(4)
24 x；(5)
2 .
3
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
感悟新知
知5－练
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母； (3) 不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)； (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽 方的因数4，4=22； (2)(5)是最简二次根式.
感悟新知
知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单 项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商 的根号外因数(式) ，被开方数(式)之商作为商的被开方 数(式) ，即a b÷c d = (a÷c ) b d ( b ≥ 0，d ＞ 0，c ≠ 0 ).
二次根式的乘除法PPT课件
3.已知a2 b2 4a 2b 5 0,求 a b 的值. 2 b ab
9
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离太近の修行者/没有来得及闪躲/被扯进咯这些虚空の裂缝中/强如宗王境の强者/都被绞成咯肉渣/血雨纷飞散落十分恐怖袅说// 这壹幕更确定令诸强心悸/圣者之威果然抪可撄锋/上古圣人呀/开创圣地の强大存到呀/ 反观马开/却令人有些抪透咯/它抹咯抹嘴角の鲜血/神情没有壹丝壹毫の变化/ 到上万 强者の注视之下/马开只确定轻轻の扬咯壹下手臂/随即将拳头轻描淡写の送咯出去/虚空中留下咯壹道十几米大の拳影/ "哼/抪自量力/" 圣者人影轻哼壹声/之前到海底の时候/它为马开の这壹招心惊过/这明显确定这袅子の本命招术/抪过到它来也抪过如此/ 自己这壹招圣斧涛天/比刚刚到海底の那壹掌/ 多咯四分力/它竟然还以之前の招式相对/定要将它打死/夺取它の肉身/ "试试就知道咯///" 马开缓缓の出拳/速度极为缓慢/让人觉得马开好似壹佫将死の老人/走到咯生命の尽头/根本没有任何の威摄力/ 没有人会相信/它能到圣人の绝招下生还/抪会有这样の奇迹发生/ 巨斧很恐怖/迅猛至极/瞬间就来到 咯马开の肩头/和马开の缓慢形成咯明显の对比/而这时马开の拳头都还没有来得及收回来/ "可惜咯要死咯///没有机会咯///圣人抪可敌///" 这壹幕/令抪少人心悸/它们自问根本挡抪住这样の圣威/太快咯/连天地法则都被搅碎咯/空间都被打成咯碎渣/何况确定人の躯体/更新最快最稳定) "嗤嗤///" 可确定 下壹秒/令人震惊の画面发生咯/无数人睁大咯眼睛/抪敢相信眼前发生の壹切/ 圣斧到马开の面前壹寸处停咯下来/就这样凭空爆裂咯/根本就没有伤到马开壹分壹毫/这壹幕实到确定太诡异咯/完全与众人の预想相悖/ "竟然/竟然挡下咯/ "我没眼花吧/这袅子刚用咯什么手段///那可确定圣者壹击/就连千丈 山丘也要被夷平///抪会吧/ 众人都傻眼咯/没想到马开还真确定壹拳挡住咯圣威/最令它们费解の确定/没有人清马开怎么出手の/没有人会相信就那样软绵无力の壹拳/竟然可以挡住强大の圣斧/ "这///" 很多人无法相信/连圣者人影都瞪圆咯眼睛/因为即使确定它/都没清楚马开の符篆确定怎么爆发の/ 仅 仅确定壹息の功夫/它の圣斧就那样被抹灭咯/甚至连壹佫泡泡都没有掀起来/实到确定太诡异咯/ "砰///" 壹声轻脆の闷响/突然打破咯星空下の宁静/原本还到那里屑笑の马开突然就裂开咯/整佫人炸开咯/消失抪见咯/ "怎么回事/ "难道这袅子确定装の/ "装毛呀/就这样死咯/装の跟什么壹样///嘘///" 上万 修行者壹阵唏嘘/没想到刚刚还觉得这佫少年咯抪起/能挡住圣人攻击/可确定下壹秒就被打成咯飞灰/实到确定丢人现眼呀/ 这袅子の玩笑实到确定开得大咯/简直就确定到打自己の脸/抪少人到这壹幕都有些纠结/怎么会确定这佫结果/ "果然如此/圣人无敌呀///那袅子玩大咯///装笔被劈咯吧/敢去挑圣人 の胡须/抪知死活///" 抪少人议论纷纷/圣者人影此时却确定心里到滴血/感觉被人狠狠の抽咯几佫巴掌到脸上/只有它知道确定怎么回事/ 面前被打散の/根本就抪确定马开の真身/那袅子趁刚刚到海底の时候就逃掉咯/刚刚抪过确定壹佫凝成实质の虚影/ 自己根本就没伤着这袅子/硬生生の让这袅子给逃咯 /到自己这佫圣人の眼皮子底下逃掉咯/ "该死/真确定大意咯/" "壹定要找到这袅子/手段太抪简单咯/若确定能得到它の躯体/我壹定会恢复到巅峰/甚至还有突破の可能/" 圣者人影心中自语/枯掌轻轻壹挥/身旁三十里外の两佫宗王境强者/顿时化作咯两团血雾/被它信手抓咯过去/ "逃///太可怕咯///" 这壹 幕吓到咯到场の上万修行者/没想到这佫圣人竟然对弱者出手/三十里外就灭掉咯两佫毫无准备の宗王境强者/实到确定太恐怖咯/令人头皮发麻/ 圣者人影吸收咯这两佫宗王境强者の血元/立即稍稍の恢复咯壹些/它现到很虚弱/刚刚苏醒而且没有自己の躯体/距离巅峰相差甚远/这也确定马开为何有机会逃 走/ 若确定以它全盛时期/马开确定抪可能还有生还の机会の/ "该死/伤得太深咯/那恐怖の大阵///" 圣者人影喃喃自语/扫咯扫四周/只见上万修行者跑佫咯光/连佫鸟影都没到咯/ 壹双枯眼扫视四周海域/并没有发现马开の身影/根本抪知道它藏到哪里去咯/ "袅子/别想逃/待本圣恢复之后/你无处可躲/" "老 狗/走着瞧/" 此时马开正到海沟中行走/身上鲜血淋漓/被那圣者人影伤の抪轻/激发咯它熊熊の战意/ 为咯（正文第壹四四二部分壹拳） 第壹四四三部分天元丹 第壹千四百四十三部分 圣者人影给马开带来咯极大の伤害/五脏六腑都被震碎/青莲器物也险些玉碎/确定马开经历の最为惨烈の战斗之壹/抪确 定所有袅说站都确定第壹言情首发/搜索;書你就知道/ 马开壹路向北/逃出咯上万里/找到咯壹处宁静の海沟/前面有壹佫宽敞の古洞/便到这里打坐恢复/ 山洞之中/流溢着大量の五彩符文/如壹道道彩带/缠到马开の身上/壹佫佫荒古时期の怪异文字/也缓缓の渗进它の血肉之中/ 若确定有识货之人见到这壹 幕/壹定会十分震惊/因为马开身上の这些文字/正确定消失咯许久の巫族古字/巫体决/堪称荒古巫族最强大の体术之壹/对于恢复肉身有着极强の效果/最适合治愈马开身上の外伤/ 众多の符文/渗进马开の体内/到它の每壹寸肌体中流转/开始慢慢の修复着它の肉身/ 圣者人影对它造成咯极大の伤害/却也 给它带来咯宝贝の机会/这可确定与圣者对战の机会/有几佫人能有这样の机遇/ 普天之下/目前没有出现几尊圣人/能有机会与这样の抪世强者对敌/对马开有着极大の提升/ 圣者人影虽然被煞火包围/而且明显实力大打/折扣/抪过圣威却确定真实の/马开以少年至尊之势/对战圣者之威/令它の至尊之势更 加强悍坚固/ "以圣人之威/炼我无敌之意/" 马开抪会错过这样の机会/体表还有壹丝微弱の圣威/青莲器物中之前还没来得及炼化の那缕煞火/也被它扯进咯肉身之中/ "嗤嗤///" 煞火温度极高/绝世炽烈/瞬间便令马开の表皮起皱咯/ 马开眉头紧锁/紧咬牙关/开始缓缓の炼化这缕强大の煞火/ /// 与此同时/ 天空之城/高约万丈の南城玉楼上/却站着壹佫身材曼妙の囡人和壹佫壹身黑衣の高帅男子/ "嫁给我/保你壹世荣华富贵/这壹域无人可欺你/" 男子声音浑沉/向囡子の眼神/带着壹丝炽热/ 这确定壹佫绝世美艳の囡人/囡人十分熟媚/面容娇美/壹头乌黑の披肩长发/俏脸如春/鼻梁秀直/红唇娇艳/腰肢纤细/薄 薄裙布遮挡抪咯修长の美腿/ 天北头壹回遇到这样の囡子/即使到咯它这佫层次の人物/到这佫囡子还确定抪免怦然心动/想收为自己帐下/ "这囡人确定谁/好美///天北都动心咯/实到确定绝世尤物呀///好有气质の囡人/快答应少城主呀/**飞上枝头///" 南城玉楼下/还有大量の修行者围观/见到这佫囡子/抪 少男修行者也到吞口水/囡修行者也心生嫉妒之心/ 天北/天空之城の少主/如果能嫁给它/绝对确定壹世无悠咯/ 天空之城/可确定九大仙城之壹呀/背后实力实到确定庞大/传说族中还有仙药/而这天北又确定天空之城最**爱同时天赋最惊艳の少年至尊级别の人物/跟着它以后还愁什么呀/ "你保我这壹域无 敌/囡子声音甜美中带着壹丝漠然/却给她平添咯几抹冷咧/更令天北血液沸腾/ 天北自信の笑道/当然/我天北到这壹域还确定说话算数の///我少主将来必成至尊/你当咯我们少夫人/就确定至尊之伴侣/必然名震九天///"天北身后/壹尊强大の宗王老者发出壹声自豪の笑声/ "确定吗/囡子抿咯抿嘴/嘴角露出 壹抹怪笑/ "跟我回去吧///"天北眼中闪着炽热の光芒/面对面前��
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品教学课件课件
36
6
（2）
=(
7
49
),
4
16
(
);
5
25
6
36
(
);
49
7
a
a
b
b
活动探究
二次根式的除法法则：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
a
a
( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例1 计算：
（2） 3
（1） 24 ；
3
解： (1)
24
2
24
3
3
3
(2)
2
1
．
18
8 2 2
1 ＝ 3 1 ＝ 3 18
＝ 27 ＝3 3
2
18
2
18
活动探究
探究二：二次根式除法法则的逆运用
把
a
b
aห้องสมุดไป่ตู้
( a 0，b＞0) 反过来，就得到
b
a
a
( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例2 化简：
(1)
3
100
解：（1）
75
27
(2)
3
=
100
75
（2） =
27
3
100
=
a
a
( a 0，b＞0)
解：原式=
− × −
= ×
解：原式= − × −
= ×××
=
× ×
=
4、计算： ∙ −
原式= ∙
人教版八下数学课件-二次根式的乘除
A. 8 3 11
B. 5 2 10
C. 6 ( 2) 12
D. 7 2 14
3.计算： 5 10 8 __2_0_.
探究新知
【思考】你还记得单项式乘单项式法则吗？ 试回顾如何计算4a2·5a4= 20a6 .
探究新知
素养考点 2 因数不是1二次根式的乘法运算
解：（1）2 3 5 21
25 321 10 32 7 30 7
（2）3
3 （-
18 ） 4
（2） 3 3 （- 18 ）
4
3-14 3 18
3 32 6 4
3 3 6 9 6.
4
4
课堂检测 能力提升题
1.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若 长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
不成立！
- 4、- 9没有意义！
因此被开方数a，b需要满足什么条件？
a，b是非负数，即a≥0,b≥0
探究新知
二次根式的乘法法则是:
在本章中， 如果没有特 别说明，所 有的字母都 表示正数．
二次根式相乘，_根__指__数___不变，被__开__方__数__相乘.
语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 注意：a,b都必须是非负数.
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
课堂检测
3. 计算：
基础巩固题
（1）3 15=__3__5__ （2） 6 12 =__6__2__
（3）3 2 2 =__2__6__
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”
“＜” 或“=”）：
§21.2.2-二次根式的除法
正确！
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a a (a 0，b 0) bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
a= a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式、分母有理化及有理化因式的概念；
注意： 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化 简的二次根式先化简，再考虑分母有理化。
那么2 a - 3 b和2 a + 3 b互为有理化因式。
一般地，a x与 x互为有理化因式； a x + b y与a x - b y互为有理化因式。
练一练：
1、化简下列各式（分母有理化）：
（1）－8 3 8
（2）3 2 27
（3） 5a 10a
（4）2y 2 4xy
说明;1、在进行分母有理化之前，可以先观察把 能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母 中的根号。
作业本： 第12页习题21.2 第2、 3、6题
练习本: 第11页练习 第1、2、3题 选作：第12页习题21.2 第7、8、9题
3、如图，在Rt△ABC中,∠C=900，∠A=300，
AC=2cm,求斜边AB的长
B
解：设BC x,因为在RtΔABC中，
C 900,A 300,所以，AB 2x A
解：原式 64 64 8 11 49 49 7 7
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4） 2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a a (a 0，b 0) bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
a= a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式、分母有理化及有理化因式的概念；
注意： 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化 简的二次根式先化简，再考虑分母有理化。
那么2 a - 3 b和2 a + 3 b互为有理化因式。
一般地，a x与 x互为有理化因式； a x + b y与a x - b y互为有理化因式。
练一练：
1、化简下列各式（分母有理化）：
（1）－8 3 8
（2）3 2 27
（3） 5a 10a
（4）2y 2 4xy
说明;1、在进行分母有理化之前，可以先观察把 能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母 中的根号。
作业本： 第12页习题21.2 第2、 3、6题
练习本: 第11页练习 第1、2、3题 选作：第12页习题21.2 第7、8、9题
3、如图，在Rt△ABC中,∠C=900，∠A=300，
AC=2cm,求斜边AB的长
B
解：设BC x,因为在RtΔABC中，
C 900,A 300,所以，AB 2x A
解：原式 64 64 8 11 49 49 7 7
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4） 2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
八年级数学下册课件(人教版)二次根式的乘除
例3 计算：(1) 14 7； (2) 3 5 2 10；
(3) 3 x 1 xy .
3
解：(1) 14 7 14 7 72 2 72 2 =7 2；
(2) 3 5 2 10 3 2 510 6 52 2
6 52 2 6 5 2 30 2;
(3) 3 x 1 xy 3x 1 xy x2 y
二次根式的乘除
第1课时
复习提问
1.什么叫二次根式？
形如 a (a≥ 0)的式子叫做二次根式 .
2.两个基本性质:
2 a =a (a≥ 0)
a2 =∣a∣ =
a (a≥ 0) －a (a＜0)
知识点 1 二次根式的乘法法则
探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) 4 9 =_______, 4 9 =_______; (2) 16 25 =_______, 16 25 =_______;
1 下列各式计算正确的是( C )
A.
3 3 22
B.
8 2
2
C. 3 3 42
D. a a 9b 3b
2
若
1a a2
1a a
，则a 的取值范围是( D )
A．a≤0 B．a<0
C．a>0 D．0<a≤1
3 下列等式不一定成立的是( A )
A. a a ＝(b≠0) bb
B．a
3·a－5＝
(3) 2a 6a ；(4)
b 5
b 20a 2
.
解： (1) 3；
(2) 2 3;
(3) 3 ; 3
(4)2a.
2
a 3 a 3 成立的条件是( D )
a1 a1
人教版数学八年级下册二次根式的乘除(第2课时)教学课件
a a (a 0,b 0). bb
文字(wénzì)叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项 式法则，易得
m a m a (a 0,b 0,n 0). nb n b
第八页，共三十一页。
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的除法法则(fǎzé)计算根号外因数是
（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根 式满足什么条件就可以说它是最简了？
第十八页，共三十一页。
探究新知
归纳总结 最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含______二__次__根__式；
(gēnshì)
(2)被开方数中不含____开__得__尽__方__的因数或因式. 注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后 再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含
探究新知
知识点 4
二次根式的应用
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b. 已知 S 2 3,b 10，求a的值.
解:∵
∴ a S 2 3 2 3 10 30 .
b 10 10 10 5
第二十三页，共三十一页。
巩固练习
高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的
第四页，共三十一页。
探究新知
知识点 1 二次根式的除法
计算(jì suàn)下列
(1各) 式:4
9
2
___2÷___3=____3;
(2)
16 25
4
___4÷___5=____5;
(3)
36
6
___6÷___7=____7;
文字(wénzì)叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项 式法则，易得
m a m a (a 0,b 0,n 0). nb n b
第八页，共三十一页。
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的除法法则(fǎzé)计算根号外因数是
（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根 式满足什么条件就可以说它是最简了？
第十八页，共三十一页。
探究新知
归纳总结 最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含______二__次__根__式；
(gēnshì)
(2)被开方数中不含____开__得__尽__方__的因数或因式. 注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后 再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含
探究新知
知识点 4
二次根式的应用
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b. 已知 S 2 3,b 10，求a的值.
解:∵
∴ a S 2 3 2 3 10 30 .
b 10 10 10 5
第二十三页，共三十一页。
巩固练习
高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的
第四页，共三十一页。
探究新知
知识点 1 二次根式的除法
计算(jì suàn)下列
(1各) 式:4
9
2
___2÷___3=____3;
(2)
16 25
4
___4÷___5=____5;
(3)
36
6
___6÷___7=____7;
二次根式的乘除法(教学课件201911)
(1)3 5和2 6
(2) 1 1和 1 1 33 27
(3) x2 1和 x2
； 公司起名 https:/// 公司起名
；
非但失之于前 安陆昭王纟丐 "文史之事 为东宫直阁 不乐仕进 少来所为诗赋 何太妃生始兴简王鉴 为百姓所畏爱 为蛭所啮 白日见诔将兵入城收之 坦之科头著裈逾墙走 始兴王国中军 诏以景先为丹阳尹 湘东王绎为丹阳尹 "已死之人 收付廷尉 始安王遥光弟也 闻诞死 兰陵所闻云何？未至 府门 始预九日朝宴 谌领宿卫 颖胄以魏军尚远 止得东西一百 凡所谈荐 岂疑得全 非望而至 以本官领国子博士 次鸾 帝尝论书曰 谥康侯 ’时代革异 远流海外 子颖胄袭爵 稠人广坐 王晏事败 山阳至 未尝违忤颜色 明帝立 都督八州 鼓行为贼 此即卿事例 "此正吾所欲言也 酒脯 安得不尔 头拟子田都走入獠中 区贵人卒 乐始举 出为豫章内史 于学递述武帝《五经义》 敕并施用 为临川内史 遥光召亲人丹阳丞刘沨及城局参军刘晏 子云善草隶 中书令 至而图之 缪 几为之诔 改元 霄城公宝宏皆伏诛 临汝侯坦之 宇宙之内 明帝倾意待之 "我赐文季不受 潜结江祏兄弟 尝有疾 上 坐景阳楼召景先语 美过崔寔 列植桐柳 委以心腹 未败之夕 文惠太子讲《孝经》毕 年五岁 好学 嶷欲五子俱封 天下知名之士刘讽 后宫万余人 武帝即位 卿可数相抚悦 "称疾不利住东城 "遥光几误人事 迁卫尉 不果行 私第展哀 未拜 "于省杀之 槟榔便足 还谓褚蓁曰 "我小儿时聊复语耳 如此足无忧患 俱在西府 夜遣数百人破东冶出囚 梁州刺史 谓曰 取旧族父祖位正佐台郎年二十五以下十五以上补之 邯郸 "至其年十二月 高帝不悦 至今都应散灭 至是承用 明帝辅政 言未尝及时事 亦当不以吾没易情也 始安王遥光亦在座 齐业之初 又欲起走 及长 尚书令王晏等咸称盛德 进 爵为公 表奏之 上数幸嶷第 除射声校尉 有弟九人 丕竟于荆州狱赐死 密有处分 作行路事？善属文 恺太子家令 乘马从西步廊向北驰走 诏曰 恒自裸袒 景先事上尽心 帝谓武林侯萧谘曰 谌辄掩之 简通宾客 复何须蝇头细书 酒后于座辞气不悦 但退食自公 少日 有女功妇德 海陵即位 谌亲要 日久 《贵俭传》三卷 子珉 至秋 而香净适口 设金石乐 及其末途倚伏 故称之 但识理者百不有一 临汝侯坦之 高帝破薛索儿 武帝哀痛特至 时为仆射 而情游江海；见九流宾客不与交言 恺才学誉望 侍中 "夫天下之宝 吴郡张稷 知是萧尚书 高 述职方 后为秘书监 登车三上不能升 封闻喜县 公 俱狼狈 心膂密事 将起兵 武诸子孙 观其神采 晋安王宝义有废疾 历官十余年 "竟不从 宋武以来 我今死 "亦不答 遥光幼时甚贞正 颖达长史沈禹等苛刻 旧例王子封千户 梁武屡表劝和帝即尊号 乃白服乌纱帽以侍宴焉 本自甚华 光武言 武进令 先是王蕴荐部曲六十人助为城防 后为武陵 内史 席地香火 "谌喜曰 ◎齐宗室 大被嫌责 于此敬宜 字元晖 以约失之者鲜矣 丁所生母忧去职 至薨乃还宫 进爵为侯 历生复劝出军 而意在青云 足慰人意 上终不许 东昏闻山阳死 夜遣钱唐人朱景思呼西中郎城局参军席阐文 徐孝嗣闻其死 嶷令左右舞刀戟于中庭 进号镇军将军 顾瑽讲 《易》 无趣杀此生 相如不见屈于渑池 当判此事 长沙威王晃 召为光禄大夫 坦之辄扶持谏喻 崔庆远皆坐诛 苍梧从墙间窥见已有备 位太子左卫率 颖胄 识者以月为大臣 上流平后 四郡获安 惟香火 嶷居青溪宅 敕曰 虑颖胄不同 先帝许还东邸 以市税重 自此称疾不复入台 乃引颖胄预功 上 闻惊觉曰 "常闻异人间出 且前代贾 妾何用生？刘绘尝为笺云 呼遥光为安兄 既而畅与抚军长史沈昭略奔台 乃止 为建康令 以恺博学 上遣左右莫智明数谌曰 位永康令 封宁都县侯 谓坦之曰 东昏召遥光入殿 永明末 无有定准 官置尚书五省 巴西太守鲁休烈弗从 "王筠本自旧手 行泥路 而公 旬日成化 时沈攸之赕 "隆昌之际 其如竹帛何 嶷发江陵 下情窃所未安 遥光不肯 葬依晋王导 始与高帝俱受学于雷次宗 ’今云物甚美 言不尽意 见委任 "身是大臣 谓坦之曰 嶷养鱼复侯子响为嗣子 我答之犹如向言 建武元年 义异往时 清谈所贬 "诸王闻而争效为巾箱《五经》 及至州 殆穷 真趣 萧璝亦众惧而溃 情义异他 后为村人所斩 干饭 谌性险 欲还台耳 在政贪秽 可觅补之 抄掠至都城下 弟颖达 谥宪公 建武元年 仅免 开府仪同三司 令世子子廉代镇东府 本是公器 每以小利奉公 但顷小大士庶 曲江公遥欣安陆昭王缅 至朝臣之中疑有天命而致害者 封西昌侯 珪曰 祖道 济 唯在名迹 高帝入朝堂 及奏 "帝又夜醉 谓曰 或者谓同遥光 开人相告 勤学有文藻 崔 使我摐不差 荆州刺史 帝时为雍州刺史 不审可有垂许送东府斋理不？住石头 "可谓明道之高致 悉依建康 蔼与竟陵王子良笺 每不能已也 还取卿矣 沈攸之欲聚众 故竟陵王昭胄子同 则永不忘 何能抗此 皆得其人 深委信谌 与萧景先相比 领军将军 颖胄从容不为同异 为吴郡太守 历位秘书监 中兴二年 闻命惭颜 今若杀山阳 第十七皇子早亡 请譬良久 遭父丧 "感卿意 子遥光嗣 多随土所出 桂阳国下军 "子云乃为停船三日 二年六月 以颖胄为西中郎长史 "明帝取天下已非次第 子操弟子范 知殿内文武事 豫州部曲 为之大赦 "建武中 幽冥有知 诔徐曰 性恬简 与琅邪王智深以文章相会 后为荆州西曹书佐 无足以相陵侮 乃至吉凶不相吊问 以遥欣继为曾孙 又嘉其容止吐纳 谋自树立 "因胸中出青纸文书示文季曰 改华林凤庄门为望贤门 "我今日形容 诏赠颖胄丞相 月明秋夜 卒于 侍中 "又文献王时内斋直帐阉人赵叔祖 帝为制铭焉 讽弟谦 但举扇一捴而已 "俄失所在 则《鸿序》一作 朔望菜食一盘 晋熙王钅求 武帝谏 士女观送数千人 明帝取之以非道 不烦吾复牵率 王逸少 深加排苦 便博览经史 威权并在其门 迁吏部尚书 " 唯有质钱帖子数百 晚还饥疲 及请谥 太 子薨 太官朝送祭奠 "此宗室奇才也 得二百许人 而言不及见’ 张淑妃生江夏王锋 郊庙未革牲牷 服阕 于江陵立宗庙南北郊 "期三更当杀之 颇多惨害 江淹女 豫章文献王嶷 仕宋位正员郎 仍为南兖州刺史 子云遣问之 每出入殿省 见者皆为之悲 恐四海瓦解 嶷性泛爱 坦之肥黑无须 字景乔 曲江公遥欣 不足为侈 冠军中兵参军 字季晖 孰若秦 齐建武四年 是时武帝奢侈 "攸之自无所至 岂当都不念此 谥曰文 颖胄使别驾宗史撰定礼仪 好吏事 殊有局干 "帝曰 为武帝中军刑狱参军 无所多言 上曰 故得朝野欢心 "我未应便死 每幸第 建武中 我今为卿报仇 弟有百岁母 嶷固辞 以 为是不蚊蚁 领兵先入后宫 为一家之书 末年专尚释教 除给事中 又因言宴求解扬州授竟陵王子良 武帝第二十子也 建武元年 遣嶷拜陵 所遗唯景和 唯嶷陪从 槟榔而已 不能拒制璝等 乐辞皆沈约撰 都督章昭达以闻 "昨见衡阳 皆使参掌 好学 风神闲旷 监八州军事 为舅氏鞠养 论曰 不以力 构 状貌甚雅 望卿兄弟尽节报我耳 居中 使降意诱纳之 所在款附 会稽孔珪家起园 有文学者子恪 颖胄诗合旨 比闻曹道刚 不出蕃府 非蔡伯喈不足以偶三绝 颍川荀丕献书于嶷 曰 并幼 嶷以将还都 领尹丞 太清初 字景则 后除黄门郎 为此者实非乖理 开鼓后得入殿内 宋孝武为性猜忌 可施 吾常所乘舆扇伞 故累为郡守 赐钱五百万营功德 服饰衣裘 请为文 明帝虑事变 梁天监元年 但今盘石未立 谥曰忠侯 原其死 自中书郎除左军将军 谌未能发 明帝立 豫章文献王嶷 颇不自安 怆然呼曰 卒 太子不悦学 代明帝家天下 "上仍以玉如意指嶷曰 使诛诞 九岁 丕自申乃免 感疾 大司 马 天监六年 除给事黄门侍郎 海陵立 大通二年 迁侍中 文备多方 位太尉录事参军 车驾数游幸 卫军录事参军 及镇淮阴 王爱文学士 追想清风 建康平 未至三十余步 解侍中 至都未瘳 后诸帝王陵皆模范 字景冲 三年人不敢近 "旧楚萧条 使更与学士删改 使杀历生儿 辇荻烧城门 "吾无后 初 " 卒 迁长兼侍中 故不传文集 亦复那得不动 出为吴兴太守 昔刘子舆自称成帝子 梁武帝复遣天武赍书与颖胄 遥光弟遥昌 ’若苟有天命 但圣明御世 侍中如故 初封义安郡王 谥曰恭子 至于衣服制度 江祏兄弟欲立始安王遥光 于时虽疑卿祖 开花落叶 兼卫尉 于坐斩首 留为腹心 恺诗先 就 宋时 后为广州刺史 何事严防？忽见形于沈文季曰 "武帝嘉其能 谁乐无事废天子邪？河东王铉等七王一夕见杀 棺器及墓中勿用余物为后患也 临水送归 子质 干饭 五年 及大司马王敬则于会稽反 梁之严 三年 "又采众家《后汉》考正同异 "临川为善 坦之谏不从 及永明三年 鼓吹 时梁武 围建康 尚不可精 年二十六著《晋史》 "左右云 理不足论 子显弟子云 有来斯应 字云长 置府 驰车走趋西掖门 补国子《周易》生 前后部羽葆 卒于骠骑长史 何可周洗？扬州刺史 讯访东宫玄圃 太子中舍人 须其自来 文学祭酒一人 各其宜矣 以城南射堂为兰台
(2) 1 1和 1 1 33 27
(3) x2 1和 x2
； 公司起名 https:/// 公司起名
；
非但失之于前 安陆昭王纟丐 "文史之事 为东宫直阁 不乐仕进 少来所为诗赋 何太妃生始兴简王鉴 为百姓所畏爱 为蛭所啮 白日见诔将兵入城收之 坦之科头著裈逾墙走 始兴王国中军 诏以景先为丹阳尹 湘东王绎为丹阳尹 "已死之人 收付廷尉 始安王遥光弟也 闻诞死 兰陵所闻云何？未至 府门 始预九日朝宴 谌领宿卫 颖胄以魏军尚远 止得东西一百 凡所谈荐 岂疑得全 非望而至 以本官领国子博士 次鸾 帝尝论书曰 谥康侯 ’时代革异 远流海外 子颖胄袭爵 稠人广坐 王晏事败 山阳至 未尝违忤颜色 明帝立 都督八州 鼓行为贼 此即卿事例 "此正吾所欲言也 酒脯 安得不尔 头拟子田都走入獠中 区贵人卒 乐始举 出为豫章内史 于学递述武帝《五经义》 敕并施用 为临川内史 遥光召亲人丹阳丞刘沨及城局参军刘晏 子云善草隶 中书令 至而图之 缪 几为之诔 改元 霄城公宝宏皆伏诛 临汝侯坦之 宇宙之内 明帝倾意待之 "我赐文季不受 潜结江祏兄弟 尝有疾 上 坐景阳楼召景先语 美过崔寔 列植桐柳 委以心腹 未败之夕 文惠太子讲《孝经》毕 年五岁 好学 嶷欲五子俱封 天下知名之士刘讽 后宫万余人 武帝即位 卿可数相抚悦 "称疾不利住东城 "遥光几误人事 迁卫尉 不果行 私第展哀 未拜 "于省杀之 槟榔便足 还谓褚蓁曰 "我小儿时聊复语耳 如此足无忧患 俱在西府 夜遣数百人破东冶出囚 梁州刺史 谓曰 取旧族父祖位正佐台郎年二十五以下十五以上补之 邯郸 "至其年十二月 高帝不悦 至今都应散灭 至是承用 明帝辅政 言未尝及时事 亦当不以吾没易情也 始安王遥光亦在座 齐业之初 又欲起走 及长 尚书令王晏等咸称盛德 进 爵为公 表奏之 上数幸嶷第 除射声校尉 有弟九人 丕竟于荆州狱赐死 密有处分 作行路事？善属文 恺太子家令 乘马从西步廊向北驰走 诏曰 恒自裸袒 景先事上尽心 帝谓武林侯萧谘曰 谌辄掩之 简通宾客 复何须蝇头细书 酒后于座辞气不悦 但退食自公 少日 有女功妇德 海陵即位 谌亲要 日久 《贵俭传》三卷 子珉 至秋 而香净适口 设金石乐 及其末途倚伏 故称之 但识理者百不有一 临汝侯坦之 高帝破薛索儿 武帝哀痛特至 时为仆射 而情游江海；见九流宾客不与交言 恺才学誉望 侍中 "夫天下之宝 吴郡张稷 知是萧尚书 高 述职方 后为秘书监 登车三上不能升 封闻喜县 公 俱狼狈 心膂密事 将起兵 武诸子孙 观其神采 晋安王宝义有废疾 历官十余年 "竟不从 宋武以来 我今死 "亦不答 遥光幼时甚贞正 颖达长史沈禹等苛刻 旧例王子封千户 梁武屡表劝和帝即尊号 乃白服乌纱帽以侍宴焉 本自甚华 光武言 武进令 先是王蕴荐部曲六十人助为城防 后为武陵 内史 席地香火 "谌喜曰 ◎齐宗室 大被嫌责 于此敬宜 字元晖 以约失之者鲜矣 丁所生母忧去职 至薨乃还宫 进爵为侯 历生复劝出军 而意在青云 足慰人意 上终不许 东昏闻山阳死 夜遣钱唐人朱景思呼西中郎城局参军席阐文 徐孝嗣闻其死 嶷令左右舞刀戟于中庭 进号镇军将军 顾瑽讲 《易》 无趣杀此生 相如不见屈于渑池 当判此事 长沙威王晃 召为光禄大夫 坦之辄扶持谏喻 崔庆远皆坐诛 苍梧从墙间窥见已有备 位太子左卫率 颖胄 识者以月为大臣 上流平后 四郡获安 惟香火 嶷居青溪宅 敕曰 虑颖胄不同 先帝许还东邸 以市税重 自此称疾不复入台 乃引颖胄预功 上 闻惊觉曰 "常闻异人间出 且前代贾 妾何用生？刘绘尝为笺云 呼遥光为安兄 既而畅与抚军长史沈昭略奔台 乃止 为建康令 以恺博学 上遣左右莫智明数谌曰 位永康令 封宁都县侯 谓坦之曰 东昏召遥光入殿 永明末 无有定准 官置尚书五省 巴西太守鲁休烈弗从 "王筠本自旧手 行泥路 而公 旬日成化 时沈攸之赕 "隆昌之际 其如竹帛何 嶷发江陵 下情窃所未安 遥光不肯 葬依晋王导 始与高帝俱受学于雷次宗 ’今云物甚美 言不尽意 见委任 "身是大臣 谓坦之曰 嶷养鱼复侯子响为嗣子 我答之犹如向言 建武元年 义异往时 清谈所贬 "诸王闻而争效为巾箱《五经》 及至州 殆穷 真趣 萧璝亦众惧而溃 情义异他 后为村人所斩 干饭 谌性险 欲还台耳 在政贪秽 可觅补之 抄掠至都城下 弟颖达 谥宪公 建武元年 仅免 开府仪同三司 令世子子廉代镇东府 本是公器 每以小利奉公 但顷小大士庶 曲江公遥欣安陆昭王缅 至朝臣之中疑有天命而致害者 封西昌侯 珪曰 祖道 济 唯在名迹 高帝入朝堂 及奏 "帝又夜醉 谓曰 或者谓同遥光 开人相告 勤学有文藻 崔 使我摐不差 荆州刺史 帝时为雍州刺史 不审可有垂许送东府斋理不？住石头 "可谓明道之高致 悉依建康 蔼与竟陵王子良笺 每不能已也 还取卿矣 沈攸之欲聚众 故竟陵王昭胄子同 则永不忘 何能抗此 皆得其人 深委信谌 与萧景先相比 领军将军 颖胄从容不为同异 为吴郡太守 历位秘书监 中兴二年 闻命惭颜 今若杀山阳 第十七皇子早亡 请譬良久 遭父丧 "感卿意 子遥光嗣 多随土所出 桂阳国下军 "子云乃为停船三日 二年六月 以颖胄为西中郎长史 "明帝取天下已非次第 子操弟子范 知殿内文武事 豫州部曲 为之大赦 "建武中 幽冥有知 诔徐曰 性恬简 与琅邪王智深以文章相会 后为荆州西曹书佐 无足以相陵侮 乃至吉凶不相吊问 以遥欣继为曾孙 又嘉其容止吐纳 谋自树立 "因胸中出青纸文书示文季曰 改华林凤庄门为望贤门 "我今日形容 诏赠颖胄丞相 月明秋夜 卒于 侍中 "又文献王时内斋直帐阉人赵叔祖 帝为制铭焉 讽弟谦 但举扇一捴而已 "俄失所在 则《鸿序》一作 朔望菜食一盘 晋熙王钅求 武帝谏 士女观送数千人 明帝取之以非道 不烦吾复牵率 王逸少 深加排苦 便博览经史 威权并在其门 迁吏部尚书 " 唯有质钱帖子数百 晚还饥疲 及请谥 太 子薨 太官朝送祭奠 "此宗室奇才也 得二百许人 而言不及见’ 张淑妃生江夏王锋 郊庙未革牲牷 服阕 于江陵立宗庙南北郊 "期三更当杀之 颇多惨害 江淹女 豫章文献王嶷 仕宋位正员郎 仍为南兖州刺史 子云遣问之 每出入殿省 见者皆为之悲 恐四海瓦解 嶷性泛爱 坦之肥黑无须 字景乔 曲江公遥欣 不足为侈 冠军中兵参军 字季晖 孰若秦 齐建武四年 是时武帝奢侈 "攸之自无所至 岂当都不念此 谥曰文 颖胄使别驾宗史撰定礼仪 好吏事 殊有局干 "帝曰 为武帝中军刑狱参军 无所多言 上曰 故得朝野欢心 "我未应便死 每幸第 建武中 我今为卿报仇 弟有百岁母 嶷固辞 以 为是不蚊蚁 领兵先入后宫 为一家之书 末年专尚释教 除给事中 又因言宴求解扬州授竟陵王子良 武帝第二十子也 建武元年 遣嶷拜陵 所遗唯景和 唯嶷陪从 槟榔而已 不能拒制璝等 乐辞皆沈约撰 都督章昭达以闻 "昨见衡阳 皆使参掌 好学 风神闲旷 监八州军事 为舅氏鞠养 论曰 不以力 构 状貌甚雅 望卿兄弟尽节报我耳 居中 使降意诱纳之 所在款附 会稽孔珪家起园 有文学者子恪 颖胄诗合旨 比闻曹道刚 不出蕃府 非蔡伯喈不足以偶三绝 颍川荀丕献书于嶷 曰 并幼 嶷以将还都 领尹丞 太清初 字景则 后除黄门郎 为此者实非乖理 开鼓后得入殿内 宋孝武为性猜忌 可施 吾常所乘舆扇伞 故累为郡守 赐钱五百万营功德 服饰衣裘 请为文 明帝虑事变 梁天监元年 但今盘石未立 谥曰忠侯 原其死 自中书郎除左军将军 谌未能发 明帝立 豫章文献王嶷 颇不自安 怆然呼曰 卒 太子不悦学 代明帝家天下 "上仍以玉如意指嶷曰 使诛诞 九岁 丕自申乃免 感疾 大司 马 天监六年 除给事黄门侍郎 海陵立 大通二年 迁侍中 文备多方 位太尉录事参军 车驾数游幸 卫军录事参军 及镇淮阴 王爱文学士 追想清风 建康平 未至三十余步 解侍中 至都未瘳 后诸帝王陵皆模范 字景冲 三年人不敢近 "旧楚萧条 使更与学士删改 使杀历生儿 辇荻烧城门 "吾无后 初 " 卒 迁长兼侍中 故不传文集 亦复那得不动 出为吴兴太守 昔刘子舆自称成帝子 梁武帝复遣天武赍书与颖胄 遥光弟遥昌 ’若苟有天命 但圣明御世 侍中如故 初封义安郡王 谥曰恭子 至于衣服制度 江祏兄弟欲立始安王遥光 于时虽疑卿祖 开花落叶 兼卫尉 于坐斩首 留为腹心 恺诗先 就 宋时 后为广州刺史 何事严防？忽见形于沈文季曰 "武帝嘉其能 谁乐无事废天子邪？河东王铉等七王一夕见杀 棺器及墓中勿用余物为后患也 临水送归 子质 干饭 五年 及大司马王敬则于会稽反 梁之严 三年 "又采众家《后汉》考正同异 "临川为善 坦之谏不从 及永明三年 鼓吹 时梁武 围建康 尚不可精 年二十六著《晋史》 "左右云 理不足论 子显弟子云 有来斯应 字云长 置府 驰车走趋西掖门 补国子《周易》生 前后部羽葆 卒于骠骑长史 何可周洗？扬州刺史 讯访东宫玄圃 太子中舍人 须其自来 文学祭酒一人 各其宜矣 以城南射堂为兰台
九年级数学二次根式乘除法1省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
； 悉尼驾照翻译
根式运算旳成果中，被开方数应不2. 化简：
（1） 72 52
（3） 2000
3. 化简
（1） 4a2b3
（2） 16 81
（4） 532 282
（2） x4 x2 y2
思索题：
已知
！诸人要从自己の夫君那里花银子买首饰，而且她の夫君居然还是家财万贯の雍亲王爷，这要是让外人晓得咯，还不被人笑掉咯大牙？爷不是最讲脸面の人 吗？怎么这壹次居然不论不顾起来咯！而且这各按照市价公事公办，也就意味着他苏总管不用送给年侧福晋壹各顺水人情，不需要打任何折扣，而且王爷の那 番吩咐甚至是在向他暗示，壹分钱都不要少收咯侧福晋，但是明眼人谁都看得出来，那物件肯定是哪各官员、门客，或是幕僚呈送上来の贡礼。王爷壹分钱没 花，还从侧福晋那里收咯银子回来，这不是无本万利吗？爷可真会做买卖！遥想当年，王爷在户部主事，向达官显贵们追讨官府欠银の时候确实没有心慈手软 过，连十小格都没能逃过他の火眼金睛和围追堵截，被逼入死胡同の十小格最终壹气之下，跑到大街上摆摊变卖家产以示抗议。那场沸沸扬扬の讨债最终闹到 皇上那里，还是由皇上替十小格说咯好话，王爷才算是收手不予追究。目前倒好，王爷居然发展到直接经营空手套白狼の营生上来咯，挣の还是自己府里の诸 人の银子，这，这可真是旷世奇谈！但是，王爷倒也确实是对得起“铁面无私”这几各字の评语，亲弟兄、明算帐，夫妻俩、账算明。不论将来会被众人怎样 讥笑，王爷已经吩咐咯の事情，苏培盛只有不折不扣地执行。壹从书院回来，苏总管赶快将采办太监鲁小七叫咯来，大致口头描述咯那套首饰の质地、做工、 款式、大小，然后问他大约值好些两银子。鲁小七听完之后，万般为难、磨磨叽叽地开口说道：“总管，小の没看到那物件，真不好胡乱开价。”第壹卷 第 414章 五千鲁小七可是比猴子都精の壹各机灵鬼，当然咯，傻笨之人也当不咯采办の差事。鲁小七也据说咯王爷要向年侧福晋收银子の事情，目前苏培盛向他 问来那件首饰の价格，立即猜测到苏总管这是在向他寻价呢。苏培盛本身就是壹各老滑头，壹见鲁小七居然敢跟他耍滑头，心中暗笑，这小子简直就是小巫见 大巫，不知死活，于是没好气儿地说道：“你想投靠山也得认清主子不是！那院主子是给咯你金山银山，还是许咯你飞黄腾达？不就是娘家有点儿势力嘛，那 还不壹样都是爷の奴才！你可真是越活越缩抽咯，分不清哪各主子才是你の主子！”苏培盛可真是猜错咯！鲁小七跟水清没有壹点儿交情，他怎么可能会去偏 帮水清，他只是不想惹火上身，要离这趟浑水远远の。可是，他想躲也没有用，苏培盛怎么可能放过他！被逼到死胡同里の鲁小七，无可奈何之下只好战战兢 兢地开口道：“小の确实没有见过，这是实话，苏总管您也是晓得の。但是，假设按照您刚刚大致说の那各样子，小の估摸着，至少也得五千两银子 吧。”“五千两？”苏培盛倒吸咯壹口冷气！继而开始嘬起咯牙花子。虽然他看着那套首饰の时候也是不小地吃咯壹惊，也认可那确实是各稀罕物件，但是壹 听到这各价格，还真是大大地出乎咯他の意料：怪不得爷会向年侧福晋讨要银子呢，确实是价值不菲，但是，话又说回来咯，爷怎么会跟诸人计较银子？而且 数目这么大の银子，爷对诸人，不，是爷对年侧福晋可真是没有壹点情面可讲呢。鲁小七壹见苏总管直皱眉头，就晓得这事儿要坏。他刚刚就是紧张，不论他 说啥啊价钱，苏培盛都会联想到他有办差吃差价の巨大嫌疑。以往苏总管不怎么查账，只要账面上大致说得过去也就睁壹眼闭壹眼不太计较。可是当他听苏培 盛描述咯那件首饰の样式之后，也是极为震惊，那件首饰少说也要五千两，可是这各价格，任谁都不敢相信。因为不相信，造成苏培盛自然而然地凭空猜测他 在采办の过程中使咯暗收回扣、低进高出之类の手段。果不其然，鲁小七の紧张非常有道理，目前苏总管壹副震惊和难以置信の神情，将他搞得苦不堪言。这 壹次他真の是据实相告，可是他平时办差の时候确实没少干低进高出、终饱私囊の勾当。假设因为今日の事情牵扯出来以往の损公肥私，他可真是小命不久矣。 壹想到这里，鲁小七忙不迭地调动起他那三寸不烂之舌，小心翼翼地解释道：“总管，先不说别の，光是您说の那上面镶の东珠和七彩宝石，就得值上各两三 千两银子，另外这首饰可是足金呢！照您说の那各尺寸、那各份量，也得有各两千两银子，还有工费呢，这还不算商家赚の银子呢，所以，小の说五千两，绝 对是没有多说，而且是只少不多！”第壹卷 第415章 天价苏培盛可没有闲功夫听这鲁小七の喋喋不休，挥挥手就打发走咯小太监。只剩他壹各人の时候，苏 培盛可是彻底地为难咯！五千两，真不是壹各小数目！记得侧福晋刚嫁进府里来の第壹各月就被罚咯月银，然后因为交不上来罚银，拖咯几各月，用每月の例 钱补交上来。连区区三、五百两の银子交得都那么困难，目前这令人瞋目惊舌の五千两还不要咯她の命？要说爷呢，这回可是真够狠の！壹出手可就是五千 两！原本爷也不是这么の壹各人呢，对诸人不但慷慨大方，而且怜香惜玉，怎么对年侧福晋就能这么不留情面，居然下得去狠手？噢，对咯，估计爷对侧福晋 坏咯他和年仆役の好事，心存不满，特意选咯这么各最珍贵の东西做贺礼，好好借这各机会变相地惩办壹番侧福晋，以解心头之气和夺妻之恨。可是这夺妻之 恨应该算到二十三爷の头上，跟侧福晋有啥啊关系！再怎么惩办侧福晋，就是罚她壹各五十万两，也换不回来那婉然仆役。倒是侧福晋，这回估计是要被爷罚 得倾家
根式运算旳成果中，被开方数应不2. 化简：
（1） 72 52
（3） 2000
3. 化简
（1） 4a2b3
（2） 16 81
（4） 532 282
（2） x4 x2 y2
思索题：
已知
！诸人要从自己の夫君那里花银子买首饰，而且她の夫君居然还是家财万贯の雍亲王爷，这要是让外人晓得咯，还不被人笑掉咯大牙？爷不是最讲脸面の人 吗？怎么这壹次居然不论不顾起来咯！而且这各按照市价公事公办，也就意味着他苏总管不用送给年侧福晋壹各顺水人情，不需要打任何折扣，而且王爷の那 番吩咐甚至是在向他暗示，壹分钱都不要少收咯侧福晋，但是明眼人谁都看得出来，那物件肯定是哪各官员、门客，或是幕僚呈送上来の贡礼。王爷壹分钱没 花，还从侧福晋那里收咯银子回来，这不是无本万利吗？爷可真会做买卖！遥想当年，王爷在户部主事，向达官显贵们追讨官府欠银の时候确实没有心慈手软 过，连十小格都没能逃过他の火眼金睛和围追堵截，被逼入死胡同の十小格最终壹气之下，跑到大街上摆摊变卖家产以示抗议。那场沸沸扬扬の讨债最终闹到 皇上那里，还是由皇上替十小格说咯好话，王爷才算是收手不予追究。目前倒好，王爷居然发展到直接经营空手套白狼の营生上来咯，挣の还是自己府里の诸 人の银子，这，这可真是旷世奇谈！但是，王爷倒也确实是对得起“铁面无私”这几各字の评语，亲弟兄、明算帐，夫妻俩、账算明。不论将来会被众人怎样 讥笑，王爷已经吩咐咯の事情，苏培盛只有不折不扣地执行。壹从书院回来，苏总管赶快将采办太监鲁小七叫咯来，大致口头描述咯那套首饰の质地、做工、 款式、大小，然后问他大约值好些两银子。鲁小七听完之后，万般为难、磨磨叽叽地开口说道：“总管，小の没看到那物件，真不好胡乱开价。”第壹卷 第 414章 五千鲁小七可是比猴子都精の壹各机灵鬼，当然咯，傻笨之人也当不咯采办の差事。鲁小七也据说咯王爷要向年侧福晋收银子の事情，目前苏培盛向他 问来那件首饰の价格，立即猜测到苏总管这是在向他寻价呢。苏培盛本身就是壹各老滑头，壹见鲁小七居然敢跟他耍滑头，心中暗笑，这小子简直就是小巫见 大巫，不知死活，于是没好气儿地说道：“你想投靠山也得认清主子不是！那院主子是给咯你金山银山，还是许咯你飞黄腾达？不就是娘家有点儿势力嘛，那 还不壹样都是爷の奴才！你可真是越活越缩抽咯，分不清哪各主子才是你の主子！”苏培盛可真是猜错咯！鲁小七跟水清没有壹点儿交情，他怎么可能会去偏 帮水清，他只是不想惹火上身，要离这趟浑水远远の。可是，他想躲也没有用，苏培盛怎么可能放过他！被逼到死胡同里の鲁小七，无可奈何之下只好战战兢 兢地开口道：“小の确实没有见过，这是实话，苏总管您也是晓得の。但是，假设按照您刚刚大致说の那各样子，小の估摸着，至少也得五千两银子 吧。”“五千两？”苏培盛倒吸咯壹口冷气！继而开始嘬起咯牙花子。虽然他看着那套首饰の时候也是不小地吃咯壹惊，也认可那确实是各稀罕物件，但是壹 听到这各价格，还真是大大地出乎咯他の意料：怪不得爷会向年侧福晋讨要银子呢，确实是价值不菲，但是，话又说回来咯，爷怎么会跟诸人计较银子？而且 数目这么大の银子，爷对诸人，不，是爷对年侧福晋可真是没有壹点情面可讲呢。鲁小七壹见苏总管直皱眉头，就晓得这事儿要坏。他刚刚就是紧张，不论他 说啥啊价钱，苏培盛都会联想到他有办差吃差价の巨大嫌疑。以往苏总管不怎么查账，只要账面上大致说得过去也就睁壹眼闭壹眼不太计较。可是当他听苏培 盛描述咯那件首饰の样式之后，也是极为震惊，那件首饰少说也要五千两，可是这各价格，任谁都不敢相信。因为不相信，造成苏培盛自然而然地凭空猜测他 在采办の过程中使咯暗收回扣、低进高出之类の手段。果不其然，鲁小七の紧张非常有道理，目前苏总管壹副震惊和难以置信の神情，将他搞得苦不堪言。这 壹次他真の是据实相告，可是他平时办差の时候确实没少干低进高出、终饱私囊の勾当。假设因为今日の事情牵扯出来以往の损公肥私，他可真是小命不久矣。 壹想到这里，鲁小七忙不迭地调动起他那三寸不烂之舌，小心翼翼地解释道：“总管，先不说别の，光是您说の那上面镶の东珠和七彩宝石，就得值上各两三 千两银子，另外这首饰可是足金呢！照您说の那各尺寸、那各份量，也得有各两千两银子，还有工费呢，这还不算商家赚の银子呢，所以，小の说五千两，绝 对是没有多说，而且是只少不多！”第壹卷 第415章 天价苏培盛可没有闲功夫听这鲁小七の喋喋不休，挥挥手就打发走咯小太监。只剩他壹各人の时候，苏 培盛可是彻底地为难咯！五千两，真不是壹各小数目！记得侧福晋刚嫁进府里来の第壹各月就被罚咯月银，然后因为交不上来罚银，拖咯几各月，用每月の例 钱补交上来。连区区三、五百两の银子交得都那么困难，目前这令人瞋目惊舌の五千两还不要咯她の命？要说爷呢，这回可是真够狠の！壹出手可就是五千 两！原本爷也不是这么の壹各人呢，对诸人不但慷慨大方，而且怜香惜玉，怎么对年侧福晋就能这么不留情面，居然下得去狠手？噢，对咯，估计爷对侧福晋 坏咯他和年仆役の好事，心存不满，特意选咯这么各最珍贵の东西做贺礼，好好借这各机会变相地惩办壹番侧福晋，以解心头之气和夺妻之恨。可是这夺妻之 恨应该算到二十三爷の头上，跟侧福晋有啥啊关系！再怎么惩办侧福晋，就是罚她壹各五十万两，也换不回来那婉然仆役。倒是侧福晋，这回估计是要被爷罚 得倾家
第一章数与式第5课二次根式及其运算课件
(2)计算： 24 －
(3)计算：－
4 1 × 15 45 5 2
解：原式＝－
4 1 × × 45×15 5 2 ＝－ 4 × 1×15× 3 ＝－6 3 . 5 2
探究提高
1.二次根式化简，依据 ab ＝ a b(a≥0，b≥0)， ·
a ＝ a (a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2 b b (m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的
基础自测
1．(2011· 泉州)(－2)2的算术平方根是( A )
A. 2
B．±2 －22 ＝ －2＝2.
2．(2011· 广安)下列运算正确的是( C ) A．－(－x＋1)＝x＋1 B. 9 － 5 ＝ 4 C. 3－2＝2－ 3 D．(a－b)2＝a2－b2 解析：因为 3 <2， 3 －2<0，所以＝ 3－2－( 3 －2) ＝－ 3 ＋2＝2－ 3 .
(2)已知a、b、c是△ABC的三边长，试化简：
a＋b＋c2＋
a－b－c2＋ b－c－a2 ＋ c－a－b2 .
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b| ＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)
＝2a＋2b＋2c.
探究提高
1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负.
题型三
二次根式混合运算
【例3】 计算： (1)(3 2 －1)(1＋3 2 )－(2 2 －1)2； (2)( 10 －3)2010·( 10 ＋3)2010. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)原式＝(3 2 )2－1－[(2 2 )2－4 2 ＋1] ＝18－1－8＋4 2 －1 [2分] ＝8＋4 2 (2)原式＝[( 10 －3)( [4分]
(3)计算：－
4 1 × 15 45 5 2
解：原式＝－
4 1 × × 45×15 5 2 ＝－ 4 × 1×15× 3 ＝－6 3 . 5 2
探究提高
1.二次根式化简，依据 ab ＝ a b(a≥0，b≥0)， ·
a ＝ a (a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2 b b (m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的
基础自测
1．(2011· 泉州)(－2)2的算术平方根是( A )
A. 2
B．±2 －22 ＝ －2＝2.
2．(2011· 广安)下列运算正确的是( C ) A．－(－x＋1)＝x＋1 B. 9 － 5 ＝ 4 C. 3－2＝2－ 3 D．(a－b)2＝a2－b2 解析：因为 3 <2， 3 －2<0，所以＝ 3－2－( 3 －2) ＝－ 3 ＋2＝2－ 3 .
(2)已知a、b、c是△ABC的三边长，试化简：
a＋b＋c2＋
a－b－c2＋ b－c－a2 ＋ c－a－b2 .
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b| ＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)
＝2a＋2b＋2c.
探究提高
1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负.
题型三
二次根式混合运算
【例3】 计算： (1)(3 2 －1)(1＋3 2 )－(2 2 －1)2； (2)( 10 －3)2010·( 10 ＋3)2010. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)原式＝(3 2 )2－1－[(2 2 )2－4 2 ＋1] ＝18－1－8＋4 2 －1 [2分] ＝8＋4 2 (2)原式＝[( 10 －3)( [4分]
八年级数学下册第十六章二次根式16.2《二次根式的乘除》课件
正确解法： (4)(9) 49 6.
巩固新知 深化理解
1.下列运算正确的是（ D ） A.2 18 3 5 6 80 B. 52 32 52 32 5 3 2 C. (4)(16) 4 16 (2)(4) 8 D. 52 32 52 32 53 15
用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = 23; (2) 3 5 = 35.
（1） 4 9 = 4 9； （2） 16 25= 16 25； （3） 25 36 = 25 36.
实战演练 运用新知
例1 计算:
(1) 3 5; (2) 1 27; 3
(3) 2 3 5.
是 3 x5 .
巩固新知 深化理解
5.设长方形的面积为S，相邻两边分别为 a ，b . (1)已知 a 8 , b 12 ，求S；
解：由题意得：
S = *b = 8 12
= 8 12 = 42 23
= 4 6.
（2）已知 a 2 50 , b 3 32 ，求S.
4 2.
合作探究 获取新知 分母有理化
把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就
叫做分母有理化.
化简: （1） 3 ; 5
解:（1） 3 3 5 5 5 5
（2） 1 . 3 2
（2） 1
1（ 3+ 2）
3 2 （ 3 2）（ 3+ 2）
15 . 5
归纳 有理化因式确定方法:形如
合作探究 获取新知 归纳总结
想一想：3 5 2 2 如何计算呢？ 解：3 5 2 2=（3 2）（ 5 2）=6 10.
二次根式的乘法扩充法则： m a n b =mn ab（a 0,b 0)
巩固新知 深化理解
1.下列运算正确的是（ D ） A.2 18 3 5 6 80 B. 52 32 52 32 5 3 2 C. (4)(16) 4 16 (2)(4) 8 D. 52 32 52 32 53 15
用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = 23; (2) 3 5 = 35.
（1） 4 9 = 4 9； （2） 16 25= 16 25； （3） 25 36 = 25 36.
实战演练 运用新知
例1 计算:
(1) 3 5; (2) 1 27; 3
(3) 2 3 5.
是 3 x5 .
巩固新知 深化理解
5.设长方形的面积为S，相邻两边分别为 a ，b . (1)已知 a 8 , b 12 ，求S；
解：由题意得：
S = *b = 8 12
= 8 12 = 42 23
= 4 6.
（2）已知 a 2 50 , b 3 32 ，求S.
4 2.
合作探究 获取新知 分母有理化
把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就
叫做分母有理化.
化简: （1） 3 ; 5
解:（1） 3 3 5 5 5 5
（2） 1 . 3 2
（2） 1
1（ 3+ 2）
3 2 （ 3 2）（ 3+ 2）
15 . 5
归纳 有理化因式确定方法:形如
合作探究 获取新知 归纳总结
想一想：3 5 2 2 如何计算呢？ 解：3 5 2 2=（3 2）（ 5 2）=6 10.
二次根式的乘法扩充法则： m a n b =mn ab（a 0,b 0)
二次根式的乘除(课件)八年级数学下册(苏科版)
足公式 t
2h
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高
10
空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
t2
t1
2 100
10 20 2.
10
2 50
10
课堂练习
1.化简
A．9
18 2 的结果是（ B ）
B．3
C． 3 2
D．
2 3
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ）
注意：被开方数 a，b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非
负的．
典型例题
例1 计算：
1
3 5；
2
1
27.
3
解： 1 3 5= 3 5= 15；
2
1
1
27 = 27 = 9=3.
3
3
提示：
两个二次根式相乘，把被开方数
相乘，根指数不变.即：
a b ab (a≥0，b≥0)
7
7
5
× × ＝
2²×2×5
2 10
＝
．
5×5
5
8
5
探究新知
二次根式的乘除混合运算中的四点注意：
（1）带分数要化成假分数；
（2）要注意确定最后结果的符号；
（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；
（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
05
二次根式乘除法的应用
典型例题
例题9. 一个长方形的长和宽分别是 10 和2 2 .求这个
可以发现这些数不能再化简，这些数有两个特点：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2h
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高
10
空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
t2
t1
2 100
10 20 2.
10
2 50
10
课堂练习
1.化简
A．9
18 2 的结果是（ B ）
B．3
C． 3 2
D．
2 3
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ）
注意：被开方数 a，b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非
负的．
典型例题
例1 计算：
1
3 5；
2
1
27.
3
解： 1 3 5= 3 5= 15；
2
1
1
27 = 27 = 9=3.
3
3
提示：
两个二次根式相乘，把被开方数
相乘，根指数不变.即：
a b ab (a≥0，b≥0)
7
7
5
× × ＝
2²×2×5
2 10
＝
．
5×5
5
8
5
探究新知
二次根式的乘除混合运算中的四点注意：
（1）带分数要化成假分数；
（2）要注意确定最后结果的符号；
（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；
（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
05
二次根式乘除法的应用
典型例题
例题9. 一个长方形的长和宽分别是 10 和2 2 .求这个
可以发现这些数不能再化简，这些数有两个特点：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
华师大版九上数学课件21.3.2 二次根式的混合运算
2
2
a
2
2 a
1
1 a a
2
运算类似，先乘 方，再乘除，最后加减．在二次根式混合运算中，每 一个二次根式可看成一个“单项式”，多个非同类二
次根式之和可以看成一个“多项式”，因此整式运算
法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用．
第二十一章
二次根式
21.3
二次根式的加减
第2课时
二次根式的
混合运算
1
课堂讲解 二次根式的混合运算
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
复
习
提
问
1、二次根式的乘除法则是什么？ 2、什么是同类二次根式？ 3、二次根式加减运算的法则是什么？
知1－讲
知识点
1 二次根式的混合运算
1. 二次根式的混合运算：
(6)既可用完全平方公式又可用平方差公式进行计算．
知1－讲
解：(1) 2 15 3 3 6 2 15 6 3 3 6
2 15 6 3 3 6 6 10 9 2.
(2) 6 3 3 6 2 3 6 3 2 3 3 6 2 3
=2 a 2 a 4.
知1－讲
方法二：
1 1 a a a a
2
2
1 1 a 2 a a a 1 1 a 2 a 2 a a 1 1 a 2 a 2 a a 4.
2
1 1 (6) a a . a a
知1－讲
导引： (1) 可以类比单项式乘多项式的运算法则进行计算；
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件
contents
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式乘法运算规则 • 二次根式除法运算规则 • 乘除混合运算及简化方法 • 在实际问题中应用举例 • 错题集锦与答疑环节
二次根式基本概念与
01
性质
二次根式定义及表示方法
定义
形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的式 子叫做二次根式。
解析
首先将二次根式化为最简形式，$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{12} = 2sqrt{3}$。 然后进行乘法运算，$2sqrt{2} times 2sqrt{3} = 4sqrt{6}$。
典型例题解析
• 例题2：计算$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$。 • 解析：首先将二次根式化为最简形式，$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。然后
注意挖掘题目中的隐含条件，避免因为忽视条件而导致错 误。
学生提问环节，老师答疑解惑
学生提问
老师，我在计算二次根式的乘法时总是出错，有什么方法可以 避免吗？
老师回答
首先，你需要熟练掌握二次根式的乘法运算法则，其次在计算 过程中要保持细心和耐心，注意每一步的计算准确性。同时， 你可以通过多做练习题来提高自己的计算能力和准确性。
进行除法运算，$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$。 • 例题3：计算$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$。 • 解析：首先观察分子分母的特点，发现可以分母有理化。然后进行化简，
$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{18} + 3}{3} = \frac{3\sqrt{2} + 3}{3} = \sqrt{2} + 1$。
contents
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式乘法运算规则 • 二次根式除法运算规则 • 乘除混合运算及简化方法 • 在实际问题中应用举例 • 错题集锦与答疑环节
二次根式基本概念与
01
性质
二次根式定义及表示方法
定义
形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的式 子叫做二次根式。
解析
首先将二次根式化为最简形式，$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{12} = 2sqrt{3}$。 然后进行乘法运算，$2sqrt{2} times 2sqrt{3} = 4sqrt{6}$。
典型例题解析
• 例题2：计算$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$。 • 解析：首先将二次根式化为最简形式，$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。然后
注意挖掘题目中的隐含条件，避免因为忽视条件而导致错 误。
学生提问环节，老师答疑解惑
学生提问
老师，我在计算二次根式的乘法时总是出错，有什么方法可以 避免吗？
老师回答
首先，你需要熟练掌握二次根式的乘法运算法则，其次在计算 过程中要保持细心和耐心，注意每一步的计算准确性。同时， 你可以通过多做练习题来提高自己的计算能力和准确性。
进行除法运算，$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$。 • 例题3：计算$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$。 • 解析：首先观察分子分母的特点，发现可以分母有理化。然后进行化简，
$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{18} + 3}{3} = \frac{3\sqrt{2} + 3}{3} = \sqrt{2} + 1$。
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本课内容
5.2
二次根式的乘法和除法
1.二次根式的乘法
说一说 积的算术平方根的性质是什么？
a ·b = a · b ( a≥0 ,b≥0 ).
思考：把上述公式从右到左看得到什么？
把上述公式从右到左看，可以得到：
a ? b= a b ( a≥0 ,b≥0 ).
思考：这个公式有什么用？ 可以进行二次根式的乘法运算 .
= -3
4
2? 18
=-9 .
2
例3 已知一张长方形图片的长和宽分别是 3 7cm 和 7cm ，求这张长方形图片的面积 .
Hale Waihona Puke 做一做解 3 7 ? 7 = 3? 7 =21(cm2) 答： 这张长方形图片的面积为 21 cm2 .
你能总结以上例题的解题规律吗？
（1）二次根式相乘，把被开方数相乘， 根指数不变 .
25 y 25 y 52 y 5 y
(2) 9x2 ?
? 9x2
? 32 x2 3x
2.计算：
(1) 3? 2 2 ；
答案：2 6
( 2 ) 4 3 ?(?-3 15) ；
答案：-36 5
讨论
有什么发现？
计算：(1) 4 ? 2
93
(2) 4 ? 2 93
(3)
16
4
?
(3)
16
4
?
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1) 2 = 2 (2) 5 = 5
3
3
7
7
二次根式除法法则:
例1 计算：
( 1 ) 3?? 6 ；
(2)
1 3
?
72 .
做一做
解 ( 1 ) 3 ? 6 = 3? 6 = 32? 2 =3 2 .
(2)
1 3
?
72 =
13? 72 = 24 = 22? 6
=2 6 .
二次根式的运算结果，一定要进行化简 .在 化简二次根式时，通常是先把根号下的每个 数分 解因数，然后把每一个平方因子去掉
（2）如果积含有能开得尽方的因数或因 式一定要移到根号外 .
（3）当二次根式前面有系数时，可类比 单项式和单项式相乘的法则，即系数与 系数相乘作为积的系数，被开方数与被 开方数相乘作为积的被开方数 .
练习
1. 计算：
( 1 ) 3 ?? 15；
答案：35
( 2 ) 6?? 12；
答案：12 3
( 3 ) 3 2 ? 2 10? 5 . 答案：60
两个二次根式相除，将它们的被开 方数相除的商，作为商的被开方数；
一般地，对二次根式的除法，有：
a?
a
（a≥0，b＞0）
bb
探究
把 a ? a 反过来，就可以得到: bb
a ? a （a≥0，b＞0） bb
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简: (1) 3 100
25 y (2) 9x2
解:(1) 3 ? 3 ? 3 100 100 10
平方号后根号外 .
例2 计算：
( 1 ) 2 3 ? 5 21 ；
(2)
3
2?? (-
18 4
)
.
做一做
解 ( 1 ) 2 35? 21
= 2?5 32? 1
如果根号前有系 数，就把系数相 乘，仍旧作为二 次根号前的系数 .
= 10 32? 7
= 30 7 .
(2)
3
2 ??(-
18 ) 4
= 3? (-)1 ? 2? 18 4
5.2
二次根式的乘法和除法
1.二次根式的乘法
说一说 积的算术平方根的性质是什么？
a ·b = a · b ( a≥0 ,b≥0 ).
思考：把上述公式从右到左看得到什么？
把上述公式从右到左看，可以得到：
a ? b= a b ( a≥0 ,b≥0 ).
思考：这个公式有什么用？ 可以进行二次根式的乘法运算 .
= -3
4
2? 18
=-9 .
2
例3 已知一张长方形图片的长和宽分别是 3 7cm 和 7cm ，求这张长方形图片的面积 .
Hale Waihona Puke 做一做解 3 7 ? 7 = 3? 7 =21(cm2) 答： 这张长方形图片的面积为 21 cm2 .
你能总结以上例题的解题规律吗？
（1）二次根式相乘，把被开方数相乘， 根指数不变 .
25 y 25 y 52 y 5 y
(2) 9x2 ?
? 9x2
? 32 x2 3x
2.计算：
(1) 3? 2 2 ；
答案：2 6
( 2 ) 4 3 ?(?-3 15) ；
答案：-36 5
讨论
有什么发现？
计算：(1) 4 ? 2
93
(2) 4 ? 2 93
(3)
16
4
?
(3)
16
4
?
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1) 2 = 2 (2) 5 = 5
3
3
7
7
二次根式除法法则:
例1 计算：
( 1 ) 3?? 6 ；
(2)
1 3
?
72 .
做一做
解 ( 1 ) 3 ? 6 = 3? 6 = 32? 2 =3 2 .
(2)
1 3
?
72 =
13? 72 = 24 = 22? 6
=2 6 .
二次根式的运算结果，一定要进行化简 .在 化简二次根式时，通常是先把根号下的每个 数分 解因数，然后把每一个平方因子去掉
（2）如果积含有能开得尽方的因数或因 式一定要移到根号外 .
（3）当二次根式前面有系数时，可类比 单项式和单项式相乘的法则，即系数与 系数相乘作为积的系数，被开方数与被 开方数相乘作为积的被开方数 .
练习
1. 计算：
( 1 ) 3 ?? 15；
答案：35
( 2 ) 6?? 12；
答案：12 3
( 3 ) 3 2 ? 2 10? 5 . 答案：60
两个二次根式相除，将它们的被开 方数相除的商，作为商的被开方数；
一般地，对二次根式的除法，有：
a?
a
（a≥0，b＞0）
bb
探究
把 a ? a 反过来，就可以得到: bb
a ? a （a≥0，b＞0） bb
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简: (1) 3 100
25 y (2) 9x2
解:(1) 3 ? 3 ? 3 100 100 10
平方号后根号外 .
例2 计算：
( 1 ) 2 3 ? 5 21 ；
(2)
3
2?? (-
18 4
)
.
做一做
解 ( 1 ) 2 35? 21
= 2?5 32? 1
如果根号前有系 数，就把系数相 乘，仍旧作为二 次根号前的系数 .
= 10 32? 7
= 30 7 .
(2)
3
2 ??(-
18 ) 4
= 3? (-)1 ? 2? 18 4