2019年人教A版选修2-3高二数学 1.3.1二项式定理优质课教案

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36750_《二项式定理》教案1(人教A版选修2-3)

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1.3二项式定理学习目标:1理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用; 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题;3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质,提高分析问题和解决问题的能力 学习重点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习难点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:1.二项式定理及其特例: (1)01()()nnnr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈,(2)1(1)1nr rn n n x C x C x x +=+++++.2.二项展开式的通项公式:1rn rr r n T C ab -+=3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r 的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课:1 二项式系数表(杨辉三角)()n a b +展开式的二项式系数,当n 依次取1,2,3…时,二项式系数表,表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2.二项式系数的性质:()n a b +展开式的二项式系数是0n C ,1n C ,2n C ,…,n n C .rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ,例当6n =时,其图象是7个孤立的点(如图)(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵mn mn n C C -=).直线2nr=是图象的对称轴. (2)增减性与最大值.∵1(1)(2)(1)1!kk nn n n n n k n k C C k k----+-+==⋅, ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定,1112n k n k k -++>⇔<, 当12n k +<时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值;当n 是偶数时,中间一项2n n C 取得最大值;当n 是奇数时,中间两项12n nC -,12n nC+取得最大值.(3)各二项式系数和: ∵1(1)1nr r n n n x C x C x x +=+++++,令1x =,则0122nr nn n n n n C C C C C =++++++三、讲解范例:例1.在()na b +的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明:在展开式01()()nnnr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中,令1,1a b ==-,则0123(11)(1)n n nnn n n n C C C C C -=-+-++-,即02130()()n n n n C C C C =++-++,∴0213n n n n C C C C ++=++,即在()na b +的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 说明:由性质(3)及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2.已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++,求:(1)127a a a +++;(2)1357a a a a +++;(3)017||||||a a a +++.解:(1)当1x =时,77(12)(12)1x -=-=-,展开式右边为∴0127a a a a ++++1=-,当0x =时,01a =,∴127112a a a +++=--=-,(2)令1x =,0127a a a a ++++1=-①令1x =-,7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=②①-②得:713572()13a a a a +++=--,∴1357a a a a +++=7132+-.(3)由展开式知:1357,,,a a a a 均为负,0248,,,a a a a 均为正, ∴由(2)中①+②得:702462()13a a a a +++=-+,∴70246132a a a a -++++=,∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解:)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++)(=xx x )1()1(11+-+,∴原式中3x 实为这分子中的4x ,则所求系数为711C 例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中,求x 的系数 解:∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x 的项为x 5C 15=,在(2+x)5展开式中,常数项为25=32,含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅, ∴此展开式中x 的系数为240 例5.已知n2)x 2x (-的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为14;3,求展开式的常数项解:依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒=∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项,又2r 510r 10r r 2r10r 101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-, .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180四、课堂练习:(1)()2025x y -的展开式中二项式系数的和为,各项系数的和为,二项式系数最大的项为第项;(2)1)nx的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则第四项为. (3)0n C +12n C +24n C ++2n n n C 729=,则123nn n n n C C C C ++++=()A .63 B.64 C.31 D.32(4)已知:5025001250(2)a a x a x a x =++++,求:2202501349()()a a a a a a +++-+++的值答案:(1)202,203,11; (2)展开式中只有第六项的二项式系数最大,∴10n =,3734101()T C x==;(3)A .五、小结:1.性质1是组合数公式rn rn nC C -=的再现,性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性,性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和;2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:求60.998的近似值,使误差小于0.001.解:66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-,展开式中第三项为2260.0020.00006C =,小于0.001,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,∴6611660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=, 一般地当a 较小时(1)1na na +≈+。

高中数学人教A版选修(2-3)1.3.1《二项式定理》教案

高中数学人教A版选修(2-3)1.3.1《二项式定理》教案

§1.3.1二项式定理教学目标:知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型:新授课 课时安排:3课时 内容分析:二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等.通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成.二项式定理本身是教学重点,因为它是后面一切结果的基础.通项公式,杨辉三角,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点.二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为,证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法.在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以使他们能在再创造的氛围中学习.教学过程:一、复习引入:⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++;⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式, 即展开式应有下面形式的各项:4a ,3a b ,22a b ,3ab ,4b ,展开式各项的系数:上面4个括号中,每个都不取b 的情况有1种,即04C 种,4a 的系数是04C ;恰有1个取b 的情况有14C 种,3a b 的系数是14C ,恰有2个取b 的情况有24C 种,22a b 的系数是24C ,恰有3个取b 的情况有34C 种,3ab 的系数是34C ,有4都取b 的情况有44C 种,4b 的系数是44C ,∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++.二、讲解新课:二项式定理:01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式,即展开式应有下面形式的各项:n a ,n a b ,…,n r r a b -,…,n b ,⑵展开式各项的系数:每个都不取b 的情况有1种,即0n C 种,n a 的系数是0n C ; 恰有1个取b 的情况有1n C 种,n a b 的系数是1n C ,……, 恰有r 个取b 的情况有r n C 种,n rr ab -的系数是r n C ,……,有n 都取b 的情况有n n C 种,nb 的系数是nn C ,∴01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈,这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫()na b +的二项展开式,⑶它有1n +项,各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数,⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项,用1r T +表示,即通项1r n r rr n T C a b -+=.⑸二项式定理中,设1,a b x ==,则1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++三、讲解范例:例1.展开41(1)x+.解一: 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x+=++++23446411x x x x =++++.解二:4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++.例2.展开6.解:6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+.例3.求12()x a +的展开式中的倒数第4项解:12()x a +的展开式中共13项,它的倒数第4项是第10项,9129933939911212220T C x a C x a x a -+===.例4.求(1)6(23)a b +,(2)6(32)b a +的展开式中的第3项.解:(1)24242216(2)(3)2160T C a b a b +==, (2)24242216(3)(2)4860T C b a b a +==.点评:6(23)a b +,6(32)b a +的展开后结果相同,但展开式中的第r 项不相同例5.(1)求9(3x+的展开式常数项; (2)求9(3x +的展开式的中间两项 解:∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅, ∴(1)当390,62r r -==时展开式是常数项,即常数项为637932268T C =⋅=; (2)9(3x +的展开式共10项,它的中间两项分别是第5项、第6项,489912593423T C xx--=⋅=,15951092693T C x --=⋅=例6.(1)求7(12)x +的展开式的第4项的系数;(2)求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解:7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==,∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280. (2)∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-, ∴923r -=,3r =,∴3x 的系数339(1)84C -=-,3x 的二项式系数3984C =.例7.求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开解:(法一)42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅,显然,上式中只有第四项中含x 的项,∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C(法二):42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=.例8.已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36,求展开式中含2x 项的系数最小值分析:展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式,由展开式中含x 项的系数为36,可得3642=+n m ,从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解:()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=,即218m n +=,()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-, ∵218m n +=, ∴182m n =-,∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+,∴当378n =时,t 取最小值,但*n N ∈, ∴ 5n =时,t 即2x 项的系数最小,最小值为272,此时5,8n m ==.例9.已知n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项 解:由题意:1221121()22n n C C ⋅=+⋅,即0892=+-n n ,∴8(1n n ==舍去)∴818(rr rr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项,则04316=-r,即0316=-r , ∵r Z ∈,这不可能,∴展开式中没有常数项; ②若1+r T 是有理项,当且仅当4316r-为整数, ∴08,r r Z ≤≤∈,∴ 0,4,8r =,即 展开式中有三项有理项,分别是:41x T =,x T 8355=,292561-=x T例10.求60.998的近似值,使误差小于0.001.解:66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-,展开式中第三项为2260.0020.00006C =,小于0.001,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=,一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习:1.求()623a b +的展开式的第3项.2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数,并求第4项的系数.5.用二项式定理展开:(1)5(a +;(2)5(2. 6.化简:(1)55)x 1()x 1(-++;(2)4212142121)x3x 2()x3x 2(----+7.()5lg xx x +展开式中的第3项为610,求x .8.求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案:1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+== 2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n r rr r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =,第4项的系数3372280C =5. (1)552(510105a a a a a b =++; (2)52315(2328x x x x =+-. 6. (1)552(1(122010x x +=++;(2)1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,x x ⇒==8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 :二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公式的特点六、课后作业: P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计(略)八、教学反思:(a+b) n=这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做 (a+b)n的 ,其中rn C (r=0,1,2,……,n )叫做 , 叫做二项展开式的通项,它是展开式的第 项,展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式,并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

最新整理高二数学教案(新人教A版选修2-3)二项式定理教案.docx

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最新整理高二数学教案(新人教A版选修2-3)二项
式定理教案
1.3二项式定理
学习目标:
1 掌握二项式定理和二项式系数的性质。

2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习重点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习难点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.二项式定理及其特例:
(1),
(2) .
2.二项展开式的通项公式:
3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4 二项式系数表(杨辉三角)
展开式的二项式系数,当依次取…时,二项式系数表,表中每行两端都是,除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5.二项式系数的性质:
展开式的二项式系数是,,,…,.可以看成以为自变量的函数,定义域是,例当时,其图象是个孤立的点(如图)
(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵).
直线是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值:当是偶数时,中间一项取得最大值;当是奇数时,中间两项,取得最大值.
(3)各二项式系数和:
∵,
令,则
二、讲解范例:
例1.设,
当时,求的值
解:令得:

∴,
点评:对于,令即可得各项系数的和的值;令即,可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例2.求证:.
证(法一)倒序相加:设①
又∵②
∵,∴,
由①+②得:,
∴,即.。

高二数学,人教A版选修2-3,二项式定理 课件

高二数学,人教A版选修2-3,二项式定理 课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式.
3.能解决与二项式定理有关的简单问题.
[ 问题 1] [提示1]
我们在初中学习了 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,试用 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b
1.在(x- 3)10的展开式中,x6的系数是( A.-27C6 10 C.-9C6 10 B.27C6 10 D.9C6 10
)
4 4 6 解析: x6的系数为C4 · ( - 3) = 9· C = 9· C 10 10 10.
答案: D
2.二项式 x-
1 8 的展开式中的第6项为( x 1 B.28x2 1 D.56x2
方法二:
x- 2
1
1 4 2x-14 4 = = (2 x - 1) 2 2 x 16x x
1 =16x2(16x4-32x3+24x2-8x+1) 3 1 1 =x -2x+2-2x+16x2.
2
[规律方法]
熟记二项式(a+b)n的展开式,是解决此类问
对二项展开式的几点认识 (1)二项展开式的特点 ①项数:n+1项; ②指数:字母a,b的指数和为n,字母a的指数由n递减到 0,同时,字母b的指数由0递增到n; ③二项式系数:下标为n,上标由0递增到n. (2)易错点
r n r r ①通项Tr+1=Cn a b 指的是第r+1项,不是第r项;

②某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念.
5 2
(2)方法一: 3
1 4 x+ x
1 1 3 2 2 1 2 3 4 x) · +C4(3 x) +C4(3 x)· + C 4 x x x

高中数学人教A版选修2-3教学案1.3.1 二项式定理 Word版含解析

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..二项式定理预习课本~,思考并完成以下问题.二项式定理是什么?.通项公式又是什么?.二项式定理有何结构特征,二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗?二项式定理[点睛]应用通项公式要注意四点()+是展开式中的第+项,而不是第项;()公式中,的指数和为,且,不能随便颠倒位置;()要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题;()对二项式(-)展开式的通项公式要特别注意符号问题..判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)()(+)展开式中共有项.( )()二项式(+)与(+)展开式中第+项相同.( )()-是(+)展开式中的第项.( )答案:()×()×()×.的展开式中含项的二项式系数为( )..-.-.答案:.展开式中的常数项为( )..-.-.答案:.(+)的展开式的第项的系数为,第三项的二项式系数为.答案:!错误二项式定理的应用[典例] ()求的展开式;()化简:(-)+(-)+(-)+(-)+(-).[解]()法一:=()+()·+()·+··+·=++++.法二:==(++++)=++++.()原式=(-)+(-)+(-)+(-)+(-)+(-)-=[(-)+]-=-.运用二项式定理的解题策略()正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(-)的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.()逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.[活学活用].化简(+)-(+)+(+)-(+)+的结果为( )..(-)。

人教A版高中数学选修2-3第一章《二项式定理》教学设计

人教A版高中数学选修2-3第一章《二项式定理》教学设计
难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律
教法:启发式教学
教具学具:多媒体、学案
课型:新授课
学情分析:这一节课面对的是高二年级的学生,这一学段的学生已经初步具备了多项式运算、计数原理、组合等相关知识储备,能够在教师的引导下理解并掌握本节课的内容,但在动手操作和合作学习等方面,有待进一步加强。
(1)为什么每一项都是 的形式?
(2)为什么含 的项的系数是 ?
=_____________________
(1)展开式中有_____项
(2)各项的次数都等于二项式的指数___
(3)字母 指数的变化规律
_____________________________
(4. 的展开式的第六项的系数是________,第六项的二项式系数是________,常数项是________.
3.在 的展开式中 的系数为________.
教师及时关注学生的完成情况
表扬完成速度快正确率高的同学
投影参考答案后,学生在小组内完成互批互改
当堂检测既能使学生巩固本节课所学的基础知识,又能使教师及时了解学生的掌握情况
教师提出问题
(1)你能快速说出 的结果吗?
(2) 呢?
呢?
教师由此引出课题,板书题目
引导学生详细写出用多项式乘法法则得到 展开式的过程
提醒学生:
(1)借助两个计数原理分析展开式中的项数
(2)联系组合知识,以取b为例
鼓励学生积极踊跃发言,针对学生 的思路做出分析和讲解
教师借助多媒体动画演示全过程后,引导学生完成填一填的内容
课后作业
必做题:《同步练习册》 离散型随机变量的均值 对点练
拓展作业:查阅相关资料,了解杨辉三角

《二项式定理》教案10(人教A版选修2-3)

《二项式定理》教案10(人教A版选修2-3)

高中数学《二项式定理》教学设计【教学设计思想】教学设计思想现代教学的核心是“以学生的发展为本”,注重学生的学习状态和情感体验,注重教学过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥,强调尊重学生人格和个性,鼓励发现、探究与质疑,鼓励培养学生的创新精神和实践能力.二项式定理这部分内容比较枯燥,如何发挥学生的主体作用,使学生自己探究学习知识、建构知识网络,是本节课教学设计的核心.我采用启发探究式教学方式:一是从实际应用问题引入课题。

这里体现了新课程的数学应用意识的理念,使学生体会到数学不仅是为了学数学,还可以学以致用,用来解决现实生活的问题.二是从特殊到一般。

面对一般问题,学生会想到从特殊情况入手,让学生自己探究n=1,2,3,4,…时二项展开式的规律,观察发现二项式定理的基本内容.三是采用小组合作、探究的方式。

小组内的同学共同归纳二项式定理的内容,由特殊推广到一般.四是教师的启发与学生的探究恰当结合。

本节课的难点在于确定二项展开式中,每一项的二项式系数,对于平行班的学生,真正能独立归纳出来,有一定的困难,教师在此时的引导启发,就显得尤为重要.本节课,学生通过对n=1,2,3,4,…时二项展开式的观察,归纳、猜想到n为任意正整数时的二项式定理内容,并真正理解二项式系数的意义。

这样设计的目的是为了让学生参与知识的发生、发展、深化的过程,学习体会应用“观察、归纳、猜想、证明”的科学思维方法的过程,提高数学修养.本节课对二项式定理特点及规律的总结和归纳,有利于学生对二项式定理的识记,同时还可以使学生体验数学公式的对称美、和谐美.学生情况分析学生为平行班学生,有一定的数学基础.学生理解组合及组合数的概念,掌握了多项式乘法的运算法则,有一定的归纳猜想能力,能顺利完成课时计划内容.学生有过探究、交流的课堂教学的尝试.教学流程框图实际问题,引入课题合作探究,发现规律成果交流,教师引导推广一般,内容呈现定理应用,初步体验归纳小结,巩固提高教学诊断分析在本节内容的学习中,学生容易了解的内容是二项展开式的项数、指数和系数的规律,即项数:1n 项;指数:字母a ,b 的指数和为n ,字母a 的指数由n 递减至0,同时,字母b 的指数由0递增至n ;二项式系数:下标为n ,上标由0递增至n ;容易产生误解的内容是:通项rrn r nrbaC T 1指的是第r+1项;通项的二项式系数是r nC ,与该项的系数是不同的概念(在第二课时会进行探讨)。

人教版高中数学选修2-3教案:1.3.1二项式定理

人教版高中数学选修2-3教案:1.3.1二项式定理

§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法,识记二项展开式的有关特征,能对二项式定理进行简单应用;2.通过对二项式定理内容的研究,体验特殊到一般的发现规律,一般到特殊指导实践的认识事物过程。

【教学重难点】教学重点:二项式定理的内容及归纳过程;教学难点:在二项式展开的过程中,发现各项及各项系数的规律。

【教学过程】一、设置情景,引入课题引入:二项式定理研究的是(a+b)n的展开式。

如(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=?,(a+b)4=?,那么(a+b)n的展开式是什么呢?二、引导探究,发现规律1、多项式乘法的再认识问题1:(a1+ b1)(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项?2、(a+b)3展开式的再认识问题2:将上式中,若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么?合作探究1:合并同类项后,为什么a2b的系数是3?教师引导:可以发现a2b是从(a+b)(a+b)(a+b)这三个括号中的任意两个中选a,剩下的一个括号中选b;利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次,所以a2b的系数是3。

问题3:(a+b)4的展开式又是什么呢?可以对(a+b)4按a或按b进行分类:(1)四个括号中全都取a,得:C44a4(2)四个括号中有3个取a,剩下的1个取b,得:C34a3· C11b(3)四个括号中有2个取a,剩下的2个取b,得:C24a2· C22b2(4)四个括号中有1个取a,剩下的3个取b,得:C14a· C33b3(5)四个括号中全都取b,得:C44b4小结:对于展开式,只要按一个字母分类就可以了,可以按a分类,也可以按b分类,再如:(1)不取b:C04a4;(2)取1个b:C14a3b;(3)取2个b:C24a2b2;(4)取3个b:C34a b3;(5)取4个b:C44b4,然后将上面各式相加得到展开式。

人教A版选修2-3教案:1.3.1二项式定理(含反思)

人教A版选修2-3教案:1.3.1二项式定理(含反思)

§1.3.1二项式定理教学目标:知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型:新授课课时安排:3课时内容分析:二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等.通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成.二项式定理本身是教学重点,因为它是后面一切结果的基础.通项公式,杨辉三角,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点.二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为,证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法.在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以使他们能在再创造的氛围中学习.教学过程:一、复习引入:⑴;⑵⑶的各项都是次式,即展开式应有下面形式的各项:,,,,,展开式各项的系数:上面个括号中,每个都不取的情况有种,即种,的系数是;恰有个取的情况有种,的系数是,恰有个取的情况有种,的系数是,恰有个取的情况有种,的系数是,有都取的情况有种,的系数是,∴.二、讲解新课:二项式定理:⑴的展开式的各项都是次式,即展开式应有下面形式的各项:,,…,,…,,⑵展开式各项的系数:每个都不取的情况有种,即种,的系数是;恰有个取的情况有种,的系数是,……,恰有个取的情况有种,的系数是,……,有都取的情况有种,的系数是,∴,这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫的二项展开式,⑶它有项,各项的系数叫二项式系数,⑷叫二项展开式的通项,用表示,即通项.⑸二项式定理中,设,则三、讲解范例:例1.展开.解一:.解二:.例2.展开.解:.例3.求的展开式中的倒数第项解:的展开式中共项,它的倒数第项是第项,.例4.求(1),(2)的展开式中的第项.解:(1),(2).点评:,的展开后结果相同,但展开式中的第项不相同例5.(1)求的展开式常数项;(2)求的展开式的中间两项解:∵,∴(1)当时展开式是常数项,即常数项为;(2)的展开式共项,它的中间两项分别是第项、第项,,例6.(1)求的展开式的第4项的系数;(2)求的展开式中的系数及二项式系数解:的展开式的第四项是,∴的展开式的第四项的系数是.(2)∵的展开式的通项是,∴,,∴的系数,的二项式系数.例7.求的展开式中的系数分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开解:(法一),显然,上式中只有第四项中含的项,∴展开式中含的项的系数是(法二):∴展开式中含的项的系数是.例8.已知的展开式中含项的系数为,求展开式中含项的系数最小值分析:展开式中含项的系数是关于的关系式,由展开式中含项的系数为,可得,从而转化为关于或的二次函数求解解:展开式中含的项为∴,即,展开式中含的项的系数为,∵,∴,∴,∴当时,取最小值,但,∴时,即项的系数最小,最小值为,此时.例9.已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项解:由题意:,即,∴舍去)∴①若是常数项,则,即,∵,这不可能,∴展开式中没有常数项;②若是有理项,当且仅当为整数,∴,∴,即展开式中有三项有理项,分别是:,,例10.求的近似值,使误差小于.解:,展开式中第三项为,小于,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,∴,一般地当较小时四、课堂练习:1.求的展开式的第3项.2.求的展开式的第3项.3.写出的展开式的第r+1项.4.求的展开式的第4项的二项式系数,并求第4项的系数.5.用二项式定理展开:(1);(2).6.化简:(1);(2)7.展开式中的第项为,求.8.求展开式的中间项答案:1.2.3.4.展开式的第4项的二项式系数,第4项的系数5.(1);(2).6.(1);(2)7.展开式中的第项为8.展开式的中间项为五、小结:二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公式的特点六、课后作业:P36 习题1.3A组1. 2. 3.4七、板书设计(略)八、教学反思:(a+b)n =这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做 (a+b)n的,其中(r=0,1,2,……,n)叫做,叫做二项展开式的通项,它是展开式的第项,展开式共有个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式,并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

2019人教版高中数学选修2-3课件:1.3.1 二项式定理

2019人教版高中数学选修2-3课件:1.3.1 二项式定理
2x 项为常数项. (1)求 n; (2)求含 x2 项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.
解:(1)通项公式为 Tk+1=Cknxn-3 k·(-12)kx -3k=Cnk(-12)kxn-32k, 因为第 6 项为常数项,所以 k=5 时,
n-2×5 3 =0,即 n=10.
备课素材
[例] 已知在(3 x- 1 )n 的展开式中第 6 3
第一章
计数原理
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
三维目标
1.知识与技能 (1)能用计数原理证明二项式定理. (2)掌握二项式定理及二项展开式的通项公式. (3)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 2.过程与方法 能解决二项展开式有关的简单问题. 3.情感、态度与价值观 教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结论,而且可 以启发我们发现一般性问题的解决方法.
[导入] (1)在(a+2b)4的展开式中第3项、第3项的系数、第3项的二项式系数各是什么? (2)在(1-x)5的展开式中,怎样求含x3项的系数?
考点类析
考点类析
考点类析
[小结] 利用二项展开式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关 于二项式定理的一类典型题型.常见的有求二项展开式中的第k项、常数项、 含某字母的r次方的项等,通常解法就是根据通项公式确定Tk+1中k的值或取 值范围以满足题设的条件.
数为
(用数字作答).
[答案] (2)C (3)-20
备课素材
求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项公式 Tk+1=Cknan-kbk 的特点,一般需要建 立方程求 k,再将 k 的值代回通项求解,注意 k 的取值范围(k=0,1,2,…,n).

高中数学选修2-3精品教案4:1.3.1 二项式定理教学设计

高中数学选修2-3精品教案4:1.3.1 二项式定理教学设计

1.3.1 二项式定理教材分析《二项式定理》是多项式运算的推广.在多项式的运算中,把二项式展开成单项式之和的形式,即二项式定理有着非常重要的地位,它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙,只是在中学阶段还没有显示的机会.将本小节内容安排在计数原理之后来学习,一方面是因为二项式定理的证明要用到计数原理,可以把它作为计数原理的一个应用,另一方面也为学习随机变量及其分布做准备.另外,由于二项式系数是一些特殊的组合数,由二项式定理可导出一些组合数的恒等式,这对深化组合数的性质有很大好处.总之,二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识.二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程,其基本思想是“先猜后证”.与以往教科书比较,猜想不是通过对n取1、2、3、4的展开式的形式特征的分析而归纳得出,而是直接应用两个计数原理对(a+b)2展开式的项的特征进行分析.这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础,而且也是为证明猜想提供了基本思路.知识与技能1.能用计数原理证明二项式定理;2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.过程与方法1.运用归纳的方法,经历多项式的展开由2到n的过程;2.引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理.情感、态度与价值观1.培养学生的归纳思想、化归思想,培养探究、研讨、综合自学应用能力;2.培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力;3.培养学生的自主探究意识、合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨.培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力.重点难点教学重点:用计数原理分析(a+b)2的展开式,得到二项式定理.教学难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.教学过程引入新课提出问题1:我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式,请同学们回顾:(1)两个计数原理的内容是什么?(2)排列的定义与排列数公式是什么?(3)组合的定义与组合数公式是什么?活动设计:学生先独立回忆,必要时可以看书,也可以求助同学.活动结果:(板书)(1)分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法;分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.(2)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.A m n=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!. (3)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.C m n=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!.设计意图:复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识,让学生回顾认知基础,形成认知环境,为二项式定理的引入打下基础.提出问题2:如何利用两个计数原理得到(a+b)1,(a+b)2,(a+b)3的展开式?活动设计:教师提出问题,引导学生关注展开的两个步骤:(1)用乘法法则展开;(2)合并同类项.学生先独立思考,允许小组合作.活动成果:(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3设计意图:引导学生将(a+b)2与(a+b)3的展开式与两个计数原理联系起来,教师提醒学生,用计数原理分析展开式的项数,应当分析项中的字母是如何选取的,并引导学生分析同类项的个数,得到展开式的系数.提出问题3:(1)以a2b2项为例,有几种情况相乘均可得到a2b2项?这里的字母a,b各来自哪个括号?(2)既然以上字母a,b分别来自4个不同的括号,a2b2项的系数你能用组合数来表示吗?(3)你能将问题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗?活动设计:学生自由发言.活动成果:有4个括号,每个括号中有两个字母,一个是a、一个是b.每个括号只能取一个字母,任取两个a、两个b,然后相乘.设计意图:帮助学生找到求出展开式系数的基本方法.提出问题4:请用类比的方法,求出二项展开式中的其他各项系数,并将式子:(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=()a4+()a3b+()a2b2+()ab3+()b4括号中的系数全部用组合数的形式进行填写.活动设计:先让学生独立思考,然后小组交流,教师巡视指导,并注意与学生交流.活动成果:展开式各项的系数:上面4个括号中,每个都不取b的情况有1种,即C04种,a4的系数是C04;恰有1个取b的情况有C14种,a3b的系数是C14,恰有2个取b的情况有C24种,a2b2的系数是C24,恰有3个取b的情况有C34种,ab3的系数是C34,有4个都取b的情况有C44种,b4的系数是C44,∴(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34a3b+C44b4.设计意图:巩固已有的思想方法,建立猜想与证明二项式定理的认知基础与理论依据.提出问题5:根据以上展开式,你能猜想一下(a+b)n的展开式是什么吗?活动设计:学生独立思考,自由发言,可以小组讨论.活动成果:学生可能猜出正确的展开式,但是不一定按照正确的顺序写出来,也不一定了解其中的规律,我们应该将问题进一步具体化,学生可能更容易发现新知.设计意图:通过学生对(a+b)n展开式的猜想,提高学生的归纳问题的能力,使学生体会新知,发现新知,理解新知,在获得新知的过程中体会数学的乐趣,从而提高学生学习数学的兴趣.提出问题6:请同学们根据猜想完成下式,并对所给答案给出说明:(a+b)n=(_)a n+(_)a n-1b+(_)a n-2b2+…+(_)a n-r b r+…+(_)b n(n∈N*)活动设计:先由学生独立完成,然后组织全班讨论,在讨论过程中要明确每一项的形式及其相应的个数,学生之间可以相互求助、辩论.活动成果:(1)(a+b)n的展开式的各项都是n次式,即展开式应有下面形式的各项:a n,a n-1b,…,a n-rb r,…,b n.(2)展开式各项的系数:每个都不取b的情况有1种,即C0n种,a n的系数是C0n;恰有1个取b 的情况有C 1n 种,a n -1b 的系数是C 1n ,…,恰有r 个取b 的情况有C r n 种,a n -r b r 的系数是C r n ,…,有n 个都取b 的情况有C n n 种,b n 的系数是C n n ,∴(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n b +…+C r n a n -r b r +…+C n n b n (n ∈N ), 这个公式叫二项式定理,右边的多项式叫(a +b )n 的二项展开式.呈现二项式定理——(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +C 2n a n -2b 2+…+C r n a n -r b r +…+C n n b n (n ∈N ) 设计意图:得出二项式定理,体会二项式定理的形成过程,理解二项式定理是由两个计数原理以及组合数公式得到的.由于这是本大节的起始课,按照学习从问题开始、从学生的原有知识结构开始,通过这样的原则与模式进行设计,而且这种意识要贯穿于整个课堂教学的始终,使学生从整体上把握本节要研究的主要问题、主要脉络是什么样的,这样就会使学生清楚本节的学习目标和路线图,是学有目标,研有方向,胸怀全局,先见森林再见树木的学习,其学习效果是不言而喻的.提出问题7:二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么?活动设计:学生自由发言,教师根据前面总结证明的二项展开式进行引导.活动成果:(1)它有n +1项,各项的系数C k n (k =0,1,…n )叫二项式系数;(2)各项的次数都等于二项式的次数n .设计意图:加深对二项式定理、二项展开式等概念、公式的理解.提出问题8:二项式定理展开式的结构特征是什么?哪一项最具有代表性?活动设计:学生自由发言,可以相互讨论,教师进行引导.活动成果:(板书)(1)字母a 按降幂排列,次数由n 递减到0,字母b 按升幂排列,次数由0递增到n ;(2)C k n a n -k b k 叫二项展开式的通项,用T k +1表示,即通项T k +1=C k n a n -k b k ; (3)字母a ,b 可以是数,式子或其他.设计意图:由此,学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念,这是本课的重点.运用新知例1.展开(1+1x)4.解法一:(1+1x )4=1+C 14(1x )+C 24(1x )2+C 34(1x )3+(1x )4=1+4x +6x 2+4x 3+1x 4. 解法二:(1+1x )4=(1x )4(x +1)4=(1x )4[x 4+C 14x 3+C 24x 2+C 34x +1]=1+4x +6x 2+4x 3+1x 4. 点评:比较复杂的二项式,有时先化简,再展开会更方便.巩固练习1.求(2x -1x)6的展开式. 解:先将原式化简,再展开,得(2x -1x )6=(2x -1x)6=1x 3(2x -1)6=1x 3[(2x )6-C 16(2x )5+C 26(2x )4-C 36(2x )3+C 46(2x )2- C 56(2x )1+C 66]=64x 3-192x 2+240x -160+60x -12x 2+1x 3. 2.求(1+2x )7的展开式的第4项的二项式系数、项的系数.解:(1+2x )7的展开式的第4项是T 3+1=C 37×17-3×(2x )3=C 37×23×x 3=35×8x 3=280x 3. 所以展开式的第4项的二项式系数是35,系数是280.点评:①要注意展开式的第r +1项,对应于二项式系数C r n ;②要注意一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念.有时相等,有时不相等,它们之间没什么必然的联系. 例2 求(x -1x)9的展开式中x 3的系数. 解:(x -1x)9的展开式的通项是 C r 9x 9-r (-1x)r =(-1)r C r 9x 9-2r . 根据题意,得9-2r =3,r =3.因此,x 3的系数是(-1)3C 39=-84.巩固练习1.(1+2x )7的展开式的第几项的二项式系数等于35?解:C 37=C 47=35,所以第4项与第5项的二项式系数等于35. 2.(x -1x)9的展开式中,含有x 6项吗?若有,系数为多少?含有x 5项吗?若有,系数为多少? 请将你所能想到的所有答案都一一列举出来.解:根据通项(-1)r C r 9x 9-2r ,当9-2r =6时,r 无整数解;当9-2r =5时,解得r =2,所以系数为36.所以展开式中,不含x 6项,含有x 5项,系数为36.设计意图:两个题的设计不仅是为了训练学生根据解题需要能熟练地将一个二项式展开,而且可以培养学生的发散性思维能力,并且可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性.题型的新颖性、开放性更是不言而喻,学生的兴趣会更浓,思维也会更积极.达标检测1.求(2a +3b )6的展开式中的第3项.解:T 2+1=C 26(2a )4(3b )2=2 160a 4b 2;2.求(3b +2a )6的展开式中的第3项的系数.2.解:T 2+1=C 26(3b )4(2a )2=4 860b 4a 2.所以,(3b +2a )6的展开式中的第3项的系数为4 860.3.求(1+2i)5的展开式.解:因为a =1,b =2i ,n =5,由二项式定理,得(1+2i)5=C 05+C 152i +C 25(2i)2+C 35(2i)3+C 45(2i)4+C 55(2i)5=1+10i -40-80i +80+32i=41-38i课堂小结1.知识收获:二项式定理;二项式定理的表达式以及展开式的通项、二项式系数与系数的概念.2.方法收获:正确区别“项的系数”和“二项式系数”.3.思维收获:类比思想、化归—归纳—猜想—证明思想.补充练习基础练习1.已知(1+x )n 的展开式中,x 3的系数是x 的系数的7倍,求n 的值.解:依题意C 3n =7C 1n ,即n (n -1)(n -2)6=7n , 由于n ∈N ,整理得n 2-3n -40=0,解得n =8.2.已知(ax +1)7(a ≠0)的展开式中,x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项,求a 的值.解:依题意C 57a 2+C 37a 4=2C 47a 3.由于a ≠0,整理得5a 2-10a +3=0,解得a =1±105.3.计算:(a+1)5-(a-1)5.解:(a+1)5-(a-1)5=[(a)5+C15(a)4+C25(a)3+C35(a)2+C45a+1]-[(a)5-C15(a)4+C25(a)3-C35(a)2+C45a-1]=2[C15(a)4+C35(a)2+2]=10a2+20a+4.·32+1=10n.4.求证:32n+C1n·32n-2+C2n·32n-4+…+C n-1n·32+1=32n+证明:右边=10n=(9+1)n=(32+1)n=32n+C1n·32(n-1)+C2n·32(n-2)+…+C n-1nC1n·32n-2+C2n·32n-4+…+C n-1·32+1=左边,故原式得证.n设计说明二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”,在教学中,采用“问题——探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段.让学生体会研究问题的方式方法,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式,让学生体验定理的发现和创造历程.本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.在教学中,设置了对多项式乘法的再认识,引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征,为后面二项展开式的推导作铺垫.再以(a+b)4为对象进行探究,引导学生用计数原理进行再思考,分析各项以及项的个数,这也为推导(a+b)n的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有“法”可依.总之,本节课遵循学生的认识规律,由特殊到一般,由感性到理性.重视学生的参与过程,问题引导,师生互动.重在培养学生观察问题,发现问题,归纳推理问题的能力,从而形成自主探究的学习习惯.备课资料二项式定理的妙用在数学中,有许多美妙的命名和定理.二项式定理就是其中之一.首先,看一看我们的二项式定理:(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+C2n a n-2b2+…+C r n a n-r b r+…+C n n b n(n∈N*).这个公式所表示的定理就是二项式定理.T r+1=C r n a n-r b r叫做二项展开式的通项公式,在这里r+1才是项数,第一个位置的a按降幂排列,次数由n次降到0次,第二个位置的b按升幂排列,次数由0次升到n次,a、b可以是任意实数,也可以是任意式子,能深刻理解二项式定理的结构特征、通项公式,就有许多美妙的用处.其次,谈谈二项式定理的妙用:1)若在二项式定理中,令a =1、b =1,就能得到C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n ,即各二项式系数之和等于2n ,也是含n 个元素的集合的所有子集有2n 个,其中非空子集、真子集都有(2n -1)个,非空真子集有(2n -2)个.2)若令a =1、b =-1,则可得C 0n -C 1n +C 2n -C 3n +…+(-1)n C n n =(1-1)n =0,即C 0n +C 2n+…=C 1n +C 3n +…=2n -1,也就是在(a +b )n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和且等于2n -1.3)在二项式定理中,若令a =1、b =x ,则得到公式(1+x )n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C r n xr +…+C n n x n ,其有鲜明的形式特征,可快速准确地展开类似的二项式. 4)充分利用二项式的通项公式可以求出我们所要的任意一项.5)在二项式定理中,若令未知数的系数等于1,就可以得到二项展开式中各项系数之和. f (x )=(px +q )n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ,则有a 0+a 1+a 2+……+a n=f (1),a 0-a 1+a 2-a 3+……+(-1)n a n =f (-1),a 0+a 2+a 4+……=12[f (1)+f (-1)],a 1+a 3+a 5+……=12[f (1)-f (-1)]. 6)用二项式定理可以很好地解决整除问题.例如①求证32n +2-8n -9能被64整除.②求证5151-1能被7整除等.7)在二项式系数表中,淋漓尽致地体现了组合数的两个重要性质:①C r n =C n -r n ,②C r n +1=C r -1n +C r n . 8)在二项式定理中,使用递推法,即T r ,T r +1,T r +2系数间的关系可以解决系数最值问题.9)利用二项式定理可以解决近似计算问题.10)理解透彻二项式定理的结构关系,能应用它求解、证明许多式子.例如:1+2C 1n +4C 2n +…+2n -1C n -1n +2n C n n=3n ; 2n -C 1n 2n -1+C 2n 2n -2+…+(-1)n -1C n -1n 2+(-1)n =1; C 1n +2C 2n +4C 3n +…+2n -1C n n =? 在(2-x )n 中若x n 项的系数为a n (n =2,3,4,…)则22a 2+23a 3+24a 4+ (2)a n=? …总之,巧妙地应用二项式定理可以解决许多有趣实用的问题.希望大家都能喜欢数学,学习数学,应用数学.。

[精品]新人教版选修2-3高二数学1.3 3 二项式定理及应用优质课教案

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教案 二项式定理及应用 教目标:1掌握二项式定理和性质以及推导过程。

2利用二项式定理求二项展开式中的项的系数及相关问题。

3使生能把握数问题中的整体与局部的关系,掌握分析与综合,特殊和一般的数思想。

教重点;二项展开式中项的系数的计算。

教过程:一、 复习引入:1n b a )(+的展开式,项数,通项;[]2二项式系数的四个性质。

二、 例题1. 二项式定理及二项式系数性质的简单应用:例1 (1)1821- 除以9的余数是_____________________(2)432)1()1(4)1(6)1(41-+-+-+-+x x x x =_______________A 4)1(-xB 4xC 4)1(+xD 4)2(-x (3)已知7292.......42121=++++n n n n nC C C 则=+++n n n nC C C ........21____________________ (4)n a a )(+如果展开式中奇数项的系数和为512,则这个展开式的第8项是( ) A a a C 579 B a a C 6310 C 6810a C D a a C 7411(5)若5050105032.....)1(.......)1()1(x a x a a x x x +++=++++++则2a 等于( )A 502B 492C 351CD 350C小结1(1)注意二项式定理的正逆运用;(2)注意二项式系数的四个性质的运用。

2. 二项展开式中项的系数计算:[]例2 (1)523)12(x x -展开式中常数项等于_____________ (2)在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为( ) A .160 B .240 C .360 D .800(3)已知,........)21(7722107x a x a x a a x ++++=-求:721....a a a +++[]小结2 (1)局部问题抓通项;[](2)整体系数赋值法。

高中数学选修2-3精品教案2:1.3.1 二项式定理教学设计

高中数学选修2-3精品教案2:1.3.1 二项式定理教学设计

1.3.1二项式定理教学目标:知识技能:理解二项式定理及其推导方法,识记二项展开式的有关特征,能对二项式定理进行简单应用.过程方法:通过教师指导下的探究活动,经历数学思维过程,熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法,养成合作的意识,获得学习和成功的体验.情感、态度和价值观:通过对二项式定理内容的研究,体验特殊到一般发现规律,一般到特殊指导实践的认识事物过程;通过对二项展开式结构特点的观察,体验数学公式的对称美、和谐美.教学重难点:重点:二项式定理的内容及应用难点:二项式定理的推导过程及内涵教学过程一、设置情境,引入课题问题某人投资10万元,有两种获利的可能供选择.一种是年利率12%,按单利计算,10年后收回本金和利息.另一种年利率10%,按每年复利一次计算,10年后收回本金和利息. 试问,哪一种投资更有利?分析:本金10万元,年利率12%,按单利计算,10年后的本利和是10×(1+12%×10)=22(万元)本金10万元,年利率10%,按每年复利一次计算,10年后的本利和是10%)101(10+⨯那么如何计算10%)101(+的值呢?能否在不借助计算器的情况下,快速、准确地求出其近似值呢?这就得研究形如n b a )(+的展开式.二、探索研究二项式定理的内容问题:n b a )(+的展开式有什么特点?你能将它展开吗?试一试.【学生分组探究】学生可能的探究方法1:由b C a C b a b a 11011)(+=+=+22212202222C C C 2)(b ab a b ab a b a ++=++=+33322321330332233C C C C 33)(b ab b a a b ab b a a b a +++=+++=+44433422243144044322344464)(b C ab C b a C b a C a C b ab b a b a a b a ++++=++++=+ ……学生可能通过具体的例子来展开说明,如:3223333)(b ab b a a b a +++=+或4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 学生归纳过程可能如下:以4)(b a +为例的展开式的分析过程: 4322344464))()()(()(b ab b a b a a b a b a b a b a b a ++++=++++=+容易看到,等号右边的积的展开式的每一项,是从每个括号里任取一个字母的乘积,因而各项都是4次式,即展开式应有下面形式的各项:432234,,,,b ab b a b a a .【学生可能归纳出来:(1)每一项中字母a ,b 的指数之间的关系(2)项的个数有1+n 项】 在上面4个括号中:每个都不取b 的情况有1种,即04C 种,所以4a 的系数是04C ;恰有1个取b 的情况下有14C 种,所以b a 3的系数是14C ;恰有2个取b 的情况下有24C 种,所以22b a 的系数是24C ;恰有3个取b 的情况下有34C 种,所以3ab 的系数是34C ;4个都取b 的情况下有44C 种,所以4b 的系数是44C ;因此44433422243144044C C C C C )(b ab b a b a a b a ++++=+.【归纳、猜想?)(=+n b a 】)N (C C C C C )(*222110∈++++++=+---n b b a b a b a a b a n nn r r n r n n n n n n n n教师根据情况进行指导和引导,尤其是各项二项式系数的确定,教师要从各项中a ,b 指数的含义如b a a 34,来引导,并要求学生说明怎么得到这些项?教师可以通过电脑演示各形式项的形成过程,将学生的思维过程展示.学生可能的探究方法2: )())()(()(b a b a b a b a b a n ++++=+ ,共n 个)(b a +,依据多项式乘法,直接写出各项.【学生成果展示,可通过具体实例:通过投影、板书或口述】问题:希望学生得到的规律(1)项数:1+n 项;(2)指数:字母a ,b 的指数和为n ,字母a 的指数由n 递减至0,同时,字母b 的指数由0递增至n ;(3)二项式系数是nn r n n n n C C C C C ,,,,,210(4)通项:r r n r n r b a C T -+=1 【板书(1),(2)】【规律(3)得到后,板书n r r n n n n b b a b a a b a +++++-- 1)(】【规律(4)得到后,补全二项式定理板书】教师引导中,可能用到的引导问题:(1)将nb a )(+展开,有多少项?(2)每一项中,字母a ,b 的指数有什么特点?(3)字母a ,b 的指数的含义是什么?是怎样得到的?(4)如何确定r r n b a -的系数?教师引导学生观察二项式定理,从以下几方面强调:(1)项数:1+n 项;(2)指数:字母a ,b 的指数和为n ,字母a 的指数由n 递减至0,同时,字母b 的指数由0递增至n ;(3)二项式系数:下标为n ,上标由0递增至n ;(4)通项:r r n r n r b a C T -+=1指的是第r+1项,该项的二项式系数是r n C (5)公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式,上面的定理是用不完全归纳法得到的,将来可以用数学归纳法进行严格证明.三、二项式定理的应用1.解决本节课开始提出的问题.解:1010)1.01(10%)101(10+=+)1.0C 1.0C 1(102210110 +⨯+⨯+=5.24≈ 由此可见,按年利率10%每年复利一次计算的要比年利率12%单利计算更有利,10年后多得利息2.5万元.备选例题2.展开4)21(x +解:404431342224131404044)2(1C )2(1C )2(1C )2(1C )2(1)21(x x x x x C x ++++=+ 43216322481x x x x ++++=思考1.第三项的系数是多少?思考2.第三项的二项式系数是多少?你能得到什么结论?【板书:.二项式系数与项的系数是两个不同概念.】思考3.若本例只求第三项的二项式系数,你还可以怎么处理?哪种方法更好?四、归纳小结1.学生的学习体会与感悟;2.教师强调:(1)主要探究方法:从特殊到一般再回到特殊的思想方法(2)从特殊情况入手,“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法,是人们发现事物规律的重要方法之一,要养成“大胆猜想,严谨论证”的良好习惯.(3)二项式定理每一项中字母a,b的指数和为n,a的指数从n递减至0同时b的指数由0递增至n,体现数学的对称美、和谐美.二项式系数还有哪些规律呢?希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现.五、作业P121 习题10.4 2,4,5。

高中数学 1.3.1二项式定理教学案 新人教a版选修2-3

高中数学 1.3.1二项式定理教学案  新人教a版选修2-3

§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法,识记二项展开式的有关特征,能对二项式定理进行简单应用;2.通过对二项式定理内容的研究,体验特殊到一般的发现规律,一般到特殊指导实践的认识事物过程。

【教学重难点】教学重点:二项式定理的内容及归纳过程;教学难点:在二项式展开的过程中,发现各项及各项系数的规律。

【教学过程】一、设置情景,引入课题引入:二项式定理研究的是(a+b)n的展开式。

如(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=?,(a+b)4=?,那么(a+b)n的展开式是什么呢?二、引导探究,发现规律1、多项式乘法的再认识问题1:(a1+ b1)(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项?2、(a+b)3展开式的再认识问题2:将上式中,若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么?合作探究1:合并同类项后,为什么a2b的系数是3?教师引导:可以发现a2b是从(a+b)(a+b)(a+b)这三个括号中的任意两个中选a,剩下的一个括号中选b;利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次,所以a2b的系数是3。

问题3:(a+b)4的展开式又是什么呢?可以对(a+b)4按a或按b进行分类:(1)四个括号中全都取a,得:C44a4(2)四个括号中有3个取a,剩下的1个取b,得:C34 a3· C11b(3)四个括号中有2个取a,剩下的2个取b,得:C24 a2· C22b2(4)四个括号中有1个取a,剩下的3个取b,得:C14 a· C33b3(5)四个括号中全都取b,得:C44b4小结:对于展开式,只要按一个字母分类就可以了,可以按a分类,也可以按b分类,再如:(1)不取b:C04 a4;(2)取1个b:C14a3b;(3)取2个b:C24a2b2;(4)取3个b:C34a b3;(5)取4个b:C44b4,然后将上面各式相加得到展开式。

人教版高中数学《二项式定理》教学设计(省级一等奖)

人教版高中数学《二项式定理》教学设计(省级一等奖)

课题:§1.3.1二项式定理(人教A 版高中课标教材数学选修2-3)《二项式定理》教学设计一、教学内容解析《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容,它是初中学习的多项式乘法的继续.在计数原理之后学习二项式定理,一方面是因为它的证明要用到计数原理,可以把它作为计数原理的一个应用,另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具,同时也是后面的数学期望等内容的基础知识,二项式定理起着承上启下的作用.另外,由于二项式系数是一些特殊的组合数,利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识.总之,二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识.二、教学目标设置新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习,形成正确价值观的过程.新课标要求:用计数原理分析2()a b +,3()+a b ,4()+a b 的展开式,归纳类比得到二项式定理,并能用计数原理证明.掌握二项展开式的通项公式,解决简单问题;学会讨论二项式系数性质的方法.根据新课标的理念及本节课的教学要求,制定了如下教学目标:1.学生在二项式定理的发现推导过程中,掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点,并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题.2.学生经历二项式定理的探究过程,体验“从特殊到一般发现规律,从一般到特殊指导实践”的思想方法,获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力.3.通过二项展开式的探究,培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神,感受合作探究的乐趣,感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美.结合数学史,激发学生爱国热情和民族自豪感.三、学情分析1.有利因素授课对象是高二的学生,具有一般的归纳推理能力,思维较活跃,初步具备了用联系的观点分析问题的能力.学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识,对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助.2.不利因素本节内容思维量较大,对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求,学生学习起来有一定难度.在数学学习过程中,大部分学生习惯于重视定理、公式的结论,而不重视其形成过程.四、教法策略分析遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则,采用“启发式教学法”,学生主要采用“探究式学习法”, 并利用多媒体辅助教学.本课以问题的提出、问题的解决为主线,始终在学生知识的“最近发展区”设置问题,倡导学生主动参与,通过不断探究、发现,在师生互动、生生互动中,完成二项式定理的探究,让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程.五、教学过程引入:通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题.提出问题:2()+=a b ? 3()+=a b ? 4()+=a b ?那么9()?a b +=……n b a )(+的展开式是什么?【设计意图】学生的学习遵循“历史发生原理”,把二项式定理发现的历史融入新课导入,既能引起学生的兴趣,符合新课程理念,还能提升课堂品味.创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣,为学生提供良好的学习环境.数学的来源,一是来自数学外部现实社会的发展需要;二是来自数学内部的矛盾,即数学本身发展的需要.这个问题将“多项式展开有哪些项”包含其中,为后面的研究做好铺垫.(二)体验感知 探究归纳1.归纳特点总结规律.【设计意图】由特殊到一般的归纳总结,离不开大量特殊实例的观察.只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析,才能得到接近一般性规律的结论.也只有对得出各种结论进行整合,才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点,即项的结构和项的系数,才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析.2.项的结构特点.(学生叙述展开过程中各项是如何形成的.如果学生的叙述中没有说明从每个因式中取一个字母相乘得到展开式的项,老师提出预备问题:展开式的各项是由同一个因式中的字母相乘得到的吗?) 师:根据多项式乘法法则,()na b +的展开式就是从每个因式中任取一项相乘得到展开式的项. 【设计意图】多项式乘法法则是展开式的运算基础,同时也为用组合数表示系数创设情境.而学生对于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅.通过教师强调多项式乘法法则,让学生思维建立旧知识与新知识联系,为下面系数的确定做好铺垫.3.项的系数特点.本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析.该问题的提出,符合学生的思维发展规律,能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握,突出体现本节课的思维方法.(三)知识建构 形成定理)()(*110N n b Cb a C b a C a C b a n n n k kn k n n n n n n ∈+++++=+-- —— 二项式定理证明:n b a )(+是n 个)(b a +相乘,每个)(b a +在相乘时,有两种选择,选a 或选b ,由分步计数原理可知展开式共有n 2项(包括同类项),其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式,对于每一项k k n b a -,它是由k 个)(b a +选了b ,n -k 个)(b a +选了a 得到的,它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个b 的组合数k n C ,将它们合并同类项,就得二项展开式,这就是二项式定理.二项式定理的公式特征:①展开式中每一项的次数都是n ;②展开式共1n +项;③按照字母a 降幂排列,次数由n 递减到0,字母b 升幂排列,次数由0递增到n ;④k n k k n C a b -是展开式的第1k +项; k n k k n C a b -叫二项展开式的通项,用1k T +表示.⑤各项的系数(0,1,)k n C k n = 叫二项式系数.【设计意图】先由学生独立完成,然后组织讨论.完成有特殊到一般的归纳过程,训练学生的类比、联想、归纳的探究能力.在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数.(四)巩固新知 提升能力【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项,区分二项式系数和系数,培养学生的运算能力.设计题目考察学生的学习情况,各个题目设计的比较有梯度,逐渐加大难度,符合学生的认知水平.(五)回顾反思 归纳总结知识方面:二项式定理,通项,二项式系数;思想方法:从特殊到一般;观察——归纳——类比——猜想——证明.【设计意图】小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力,可以使学生加深对本节课的认识,掌握基本数学思维方法.(六)课下作业 思维延伸一、P 36: 1~3二、1.求12(3的展开式的中间一项; 2.求x -101(1)2展开式中含x51的项的系数. 思维延伸: 探究()5a b c ++的展开式中22a b c 的系数.【设计意图】通过课下作业使学生深入理解知识,培养学生的创新精神、增强主动探究的意识和能力.六、板书设计教学设计说明高中数学的学科价值在于以下三个方面:传递初等数学知识;进行逻辑推理训练;培养学科精神.数学学习的关键在于理解,重视知识的形成过程,而不是死板的公式应用.新课标指出:学生的学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式.因此,课堂教学中应该是“用教材”,而不是“教教材”,教师要敢于放手,营造宽松的教学氛围,关注学生的主体参与、师生互动、生生互动,着重培养学生研究数学的意识和发展数学的能力,提升学生提出问题、研究问题的能力,竭尽全力培养学生探索创新的意识.在这过程中,要努力把表现的机会让给学生,让学生在直接体验中构建自己的知识体系.本节课堂教学中,遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则,采用“启发式教学法”,分为:创设情境、探究归纳、知识建构、巩固新知、归纳总结五个阶段.努力使学生有足够的思维活动体验,教师根据学生的思维特征和认知规律,在学生数学学习经验的基础上去设置问题.例如本节中,由特殊到一般的数学思维方法,需要对特殊情形进行观察归纳.要想提高归纳的准确性,就需要较多的实例进行观察.特别是“组合知识的运用”,当n 较小时,学生意识不到用组合的知识解释项的系数.只有当n 较大时,各项系数的确定才能凸显出组合知识的优势.因此,在题目设置时,准备了2()+a b ,3()+a b ,4()+a b 三个展开式让学生观察归纳,否则关于“组合知识的运用”就成了教师的告知.问题解决是数学教育的核心,课堂教学中,在学生原有认知的基础上,设置“好”的问题串是非常重要的,因为教师对问题设置如何,直接决定了学生的思维方向和思维深度,教学中以问题为主线,由问题驱动,激发学生探究结论的欲望,使学生的思维始终处于“提出问题、解决问题”的状态中.本节课在“多项式乘法法则”“组合知识的运用”两个方面,学生无法自主完成思维方法的提升,教师通过设置恰当的问题引导学生分析思维过程,为学生在理论层面总结提升.在探究的环节,教师的作用是“激活”而不是“告知”,要把隐藏在学生思想深处的思维方法引导出来.教师作为学生数学探究活动的设计者、活动实施的调控者,直接影响和决定了学生的学习热情及课堂效果.本节课中,课遵循学生的认识规律,由特殊到一般,由感性到理性.重视学生的参与过程,问题引导,师生互动.重在培养学生观察问题,发现问题,归纳推理问题的能力.学生能学到很多数学经验:在二项展开式探究过程中,运用组合理解算理、利用数列知识理解通项、运用赋值法得到相关结论等,渗透数学学习的策略与方法,在组织学生数学探究中,积极动手、动脑,实现思维建构、不断积累数学经验,从而形成自主探究的学习习惯,达到理想的教育教学效果.点评《二项式定理》作为一节命题课,更应该重视学生数学素养的培养,良好思维品质的生成.何磊老师深读课标和教材,清晰制定了具体可测的教学目标,深刻挖掘了二项式定理的数学本质;结合学生的认知基础和心理特点,设计了层层递进数学问题;以学生为主体,给学生足够的思考空间和辨析研讨的机会,激发了学生深层次的思考;何老师数学功底扎实,教学功底雄厚,教学有张有弛,当学生需要帮助时,给学生隐性的帮助,在关键时刻又有恰当和明确的概括提升.其教学特色主要体现在:1.突出核心内容,深挖数学本质作为计数原理的应用,提示我们这是挖掘二项式定理数学本质的根源.但在大量的课堂观察中发现,很多老师规避这一教学难点,仅从外在形式上分析和记忆.导致学生在用二项式定理解决问题时,难以有效的迁移.何老师则是充分理解教材和学生的基础上,充分地运用计数原理分步、分类的教学思想,有效的化解了这一重点和难点.2.目标明确具体,问题层层递进高效率的课堂,必须有具体可测的教学目标和具体可操作的数学问题.何老师的这节课主要围绕a b展开式中项的形式和项的系数,展开问题驱动,使学生始终围绕这一核心展开思考,使学生的()n思维始终处于不断的“提出问题、解决问题”的状态中,认知结构和解决问题的能力在潜移默化中得以提升.3.关注学生主体,激发深层思考学生探究意识强烈,学习积极性高.何老师在这节课所设计的问题以及围绕这些问题所进行的铺垫,为学生的数学探究活动营造了浓郁的学习环境和气氛,通过让学生口述、板书、交流讨论等形式使学生成为课堂学习的主人,激发了学生深层次的思考,从而深化对知识的理解.4.高效驾驭课堂,适时概括引领作为课堂的设计者和组织者,既要重视学生的主体,也不能忽视教师的概括引领.何老师的教学设计高观点,教学展开低起点,教学概括明确适时.尤其是数学思想方法渗透到位.何老师十分重视数学思想方法的渗透,以问题为载体,通过观察、归纳、类比、猜想、证明,教给学生运用数学思想方法分析、解决问题的思维策略,使数学思想方法的运用植入学生数学思维体系.思维的升华从有价值的思考开始,学生良好的思维品质的培养,需要教师高水平的预设和高水平的驾驭生成.我觉得何老师很好的诠释了二项式定理,并带学生较好的领悟了二项式定理的本质,是一节好课.。

《二项式定理》教案7(新人教A版选修2-3)

《二项式定理》教案7(新人教A版选修2-3)

《二项式定理》教案一、教学目标1.知识与技能:(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.(2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.2.过程与方法:通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式.3. 情感、态度与价值观:培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨.二、教学重点、难点重点:用计数原理分析3)(b a +的展开式,得到二项式定理.难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.三、教学过程(一)提出问题,引入课题引入:二项式定理研究的是n b a )(+的展开式,如:2222)(b ab a b a ++=+, ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么?【设计意图】把问题作为教学的出发点,直接引出课题.激发学生的求知欲,明确本课要解决的问题.(二)引导探究,发现规律1、多项式乘法的再认识.问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么?展开式有几项?每一项是怎样构成的? 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项?【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征,为后续学习作准备.2、3)(b a +展开式的再认识探究1:不运算3)(b a +,能否回答下列问题(请以两人为一小组进行讨论):(1) 合并同类项之前展开式有多少项?(2) 展开式中有哪些不同的项?(3) 各项的系数为多少?(4) 从上述三个问题,你能否得出3)(b a +的展开式?探究2:仿照上述过程,请你推导4)(b a +的展开式.【设计意图】通过几个问题的层层递进,引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考,分析各项的形式、项的个数,这也为推导nb a )(+的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有“法”可依. (三) 形成定理,说理证明探究3:仿照上述过程,请你推导n b a )(+的展开式.)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理证明:n b a )(+是n 个)(b a +相乘,每个)(b a +在相乘时,有两种选择,选a 或选b ,由分步计数原理可知展开式共有n 2项(包括同类项),其中每一项都是k k n b a-),1,0(n k =的形式,对于每一项k k n b a -,它是由k 个)(b a +选了b ,n -k 个)(b a +选了a 得到的,它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个b 的组合数k n C ,将它们合并同类项,就得二项展开式,这就是二项式定理.【设计意图】通过仿照3)(b a +、4)(b a +展开式的探究方法,由学生类比得出n b a )(+的展开式.二项式定理的证明采用“说理”的方法,从计数原理的角度对展开过程进行分析,概括出项的形式,用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数,从而得出用组合数表示的展开式.(四) 熟悉定理,简单应用二项式定理的公式特征:(由学生归纳,让学生熟悉公式)1. 项数:共有+n 1项.2. 次数:字母a 按降幂排列,次数由n 递减到0;字母b 按升幂排列,次数由0递增到n .各项的次数都等于n .3. 二项式系数: 依次为n n k n n n n C C C C C ,,,,,,210 ,这里),,1,0(n k C k n ⋅⋅⋅=称为二项式系数.4. 二项展开式的通项: 式中的k k n k n b aC -叫做二项展开式的通项. 用1+k T 表示. 即通项为展开式的第+k 1项: 1+k T =k k n k n b a C - 变一变 (1)n b a )(- (2)n x )1(+例. 求6)12(xx -的展开式. 思考1:展开式的第3项的系数是多少?思考2:展开式的第3项的二项式系数是多少?思考3:你能否直接求出展开式的第3项?【设计意图】熟悉二项展开式,培养学生的运算能力.(五) 课堂小结,课后作业小结(由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想)1. 公式: )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+--2. 思想方法:1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程. 作业巩固型作业:课本36页习题1.3 A 组 1、2、3思维拓展型作业:二项式系数nn k n n n n C C C C C ,,,,,,210 有何性质. 教案设计说明二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”,在教学中,采用“问题――探究”的教学模式, 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段.让学生体会研究问题的方式方法,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式,让学生体验定理的发现和创造历程.本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.在教学中,设置了对多项式乘法的再认识,引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征,为后面二项展开式的推导作铺垫.再以3)(b a +为对象进行探究,引导学生用计数原理进行再思考,分析各项以及项的个数,这也为推导n b a )( 的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有“法”可依.总之,本节课遵循学生的认识规律,由特殊到一般,由感性到理性.重视学生的参与过程,问题引导,师生互动.重在培养学生观察问题,发现问题,归纳推理问题的能力,从而形成自主探究的学习习惯.。

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§1.3.1二项式定理教学目标:知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型:新授课课时安排:3课时内容分析:二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等.通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成.二项式定理本身是教学重点,因为它是后面一切结果的基础.通项公式,杨辉三角,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点.二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为,证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法.在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以使他们能在再创造的氛围中学习.教学过程: 一、复习引入:⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++;⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式, 即展开式应有下面形式的各项:4a ,3a b ,22a b ,3ab ,4b ,展开式各项的系数:上面4个括号中,每个都不取b 的情况有1种,即04C 种,4a 的系数是04C ;恰有1个取b 的情况有14C 种,3a b 的系数是14C ,恰有2个取b 的情况有24C 种,22a b 的系数是24C ,恰有3个取b 的情况有34C 种,3ab 的系数是34C ,有4都取b 的情况有44C 种,4b 的系数是44C ,∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++.二、讲解新课:二项式定理:01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式,即展开式应有下面形式的各项:n a ,n a b ,…,n r r a b -,…,n b ,⑵展开式各项的系数:每个都不取b 的情况有1种,即0n C 种,n a 的系数是0n C ;恰有1个取b 的情况有1n C 种,n a b 的系数是1n C ,……,恰有r 个取b 的情况有r n C 种,n r r a b -的系数是r n C ,……, 有n 都取b 的情况有n n C 种,n b 的系数是n n C ,∴01()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈,这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫()n a b +的二项展开式,⑶它有1n +项,各项的系数(0,1,)r n C r n =叫二项式系数,⑷r n r r n C a b -叫二项展开式的通项,用1r T +表示,即通项1r n r r r n T C a b -+=.⑸二项式定理中,设1,a b x ==,则1(1)1n r r n n x C x C x x +=+++++三、讲解范例: 例1.展开41(1)x+.解一: 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x+=++++23446411x x x x =++++. 解二:4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++.例2.展开6.解:6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x=-+-+-+.例3.求12()x a +的展开式中的倒数第4项解:12()x a +的展开式中共13项,它的倒数第4项是第10项,9129933939911212220T C x a C x a x a -+===.例4.求(1)6(23)a b +,(2)6(32)b a +的展开式中的第3项.解:(1)24242216(2)(3)2160T C a b a b +==, (2)24242216(3)(2)4860T C b a b a +==.点评:6(23)a b +,6(32)b a +的展开后结果相同,但展开式中的第r 项不相同例5.(1)求9(3x +的展开式常数项; (2)求9(3x的展开式的中间两项 解:∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅,∴(1)当390,62r r -==时展开式是常数项,即常数项为637932268T C =⋅=; (2)9(3x 的展开式共10项,它的中间两项分别是第5项、第6项,489912593423T C xx--=⋅=,15951092693T C x --=⋅=例6.(1)求7(12)x +的展开式的第4项的系数;(2)求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解:7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==,∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280.(2)∵91()x x -的展开式的通项是9921991()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-, ∴923r -=,3r =,∴3x 的系数339(1)84C -=-,3x 的二项式系数3984C =.例7.求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,,也可以先把三项式分解成解:(法一)42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅,显然,上式中只有第四项中含x 的项,∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C(法二):42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅ ∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=.例8.已知()()n m x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36,求展开式中含2x 项的系数最小值分析:展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式,由展开式中含x 项的系数为36,可得3642=+n m ,从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解:()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=,即218m n +=,()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-, ∵218m n +=, ∴182m n =-,∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+,∴当378n =时,t 取最小值,但*n N ∈,∴ 5n =时,t 即2x 项的系数最小,最小值为272,此时5,8n m ==.例9.已知n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项解:由题意:1221121()22nn C C ⋅=+⋅,即0892=+-n n ,∴8(1n n ==舍去)∴818(rr rr T C -+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项,则04316=-r,即0316=-r , ∵r Z ∈,这不可能,∴展开式中没有常数项; ②若1+r T 是有理项,当且仅当4316r-为整数, ∴08,r r Z ≤≤∈,∴ 0,4,8r =,即 展开式中有三项有理项,分别是:41x T =,x T 8355=,292561-=x T例10.求60.998的近似值,使误差小于0.001.解:66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-,展开式中第三项为2260.0020.00006C =,小于0.001,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=,一般地当a 较小时(1)1n a na +≈+四、课堂练习:1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x +的展开式的第4项的二项式系数,并求第4项的系数.5.用二项式定理展开: (1)5(a ;(2)5. 6.化简:(1)55)x 1()x 1(-++;(2)4212142121)x 3x 2()x 3x 2(----+ 7.()5lg x x x +展开式中的第3项为610,求x .8.求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案:1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+==2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3. 2311(2rn rr n r rr r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =,第4项的系数3372280C =5. (1)552(510105a a a a a b =++; (2)515328x =+-. 6. (1)552(1(122010x x +=++; (2)1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg x x x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010x x C x x ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒== 8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 :二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公式的特点六、课后作业: P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4七、板书设计(略)八、教学反思:(a+b) n = 这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做 (a+b)n的 ,其中r n C (r=0,1,2,……,n )叫做 , 叫做二项展开式的通项,它是展开式的第 项,展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式,并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

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