运筹学第1章

n
max （或 min）Z c j x j
j 1
n aij x j (或 ， )bi s.t. j 1 xij 0
i 1,，m j 1,, n
2.向量式
max （或 min）Z CX n （或 ， ）b Pj x j s.t. j 1 X 0
第二节
图解法
对模型中只含2个变量的线性 规划问题，可以通过在平面上作 图的方法求解。
一、图解法的步骤
1.等直线法
例 1： max z = 2x1 + 3x2 s.t. x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1，x2 0
1.建立平面直角坐标系； 2. 找出表示每个约束的半平面，所有半平面的交集是可行域（全体可行 解的集合）； 3. 画出目标函数的等值线 ； 4．向着目标函数的优化方向平移等值线，直至得到等值线与可行域的最后 交点，这种点就对应最优解。
数实现最大化或最小化，max或min。
三、线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn Z
a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 22 2 2n n 21 1 a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn ( , )b1 ( , )b2 ( , )bm 0
设：各时间间隔所派车辆数为xj j=1，2，…，6 则有： min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6
x1+x6≥4 x1+x2≥8
x2+x3≥ 10 x3+x4≥7 x4+x5≥12 x5+x6 ≥4 x1，x2，x3，x4，x5，x6 ≥0
第一章 线性规划问题及单纯形法

线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论
设 xj 分别代表采用切割方案1~8所需7.4 米的钢筋的数量。 若目标函数为使购买的7.4m钢筋最少，则有：
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 2 x1 x2 x3 x4 2 x2 x3 3x5 2 x6 x7 s.t. x1 x3 3x4 2 x6 3x7 4 x8 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 100 100 100 0
x2
例如：
max Z=x1+2x2 -x1-x2≥2 2x1+x2≤4 x1，x2 ≥0
0
x1
三、由图解法得到的启示
图解法虽只能用来求解只具有两个变量的线性规划问题，但它的解题
思路和几何上直观得到的一些概念判断，对下面要讲的单纯形法有很大启 示：
1．求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解；无穷多最优解；
x2
max z = 2x1+ 3x2 s.t. x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1，x2 0
4x1=16 x1+2x2=8 Q3 •Q2(4,2) Q1 4x2=12
Q4 3
0
2x1+3x2=0
4
x1
2.试算法
x2 4x1=16
最优解在顶点达到：
O点：X1=0, X2=0, Z=0 Q1: X1=4, X2=0, Z=8
单位产 品消耗 原料 原料名称
产品名称
甲
乙
可供利用的原料 数量（吨/日） 6 8
A B
产品售价 （千元/吨）
1 2 3
2 1 2
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 吨/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 吨/日。 求该厂产值最大的生产方案。
提出三个问题大家考虑： 1.问题的未知数是什么？ 2.以什么准则进行决策？ 设未知数 目标函数
Q4 3
x1+2x2=8 Q3 •Q2(4,2) Q1
4x2=12
14
X1=2, X2=3, Z=10 X1=0, X2=3, Z=6
0
4
x1
2x1+3x2=0
二、线性规划问题解的存在情况
1.存在唯一最优解
max z = 2x1+ 3x2 s.t. x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1，x2 0
3.约束条件是什么？
约束方程
这里生产方案指的是如何安排甲、乙产品的产量。显然，产量是未 知数。 ① 设：甲产品的产量为 x1 吨/日 乙产品的产量为 x2 吨/日
② 决策准则是产值最大，用 Z 代表产值，则有： Z=3x1+2x2
Z 是x1、x2 的函数，称为目标函数，目标是求极大值， 即：max Z= 3x1+2x2
第一章 线性规划问题及单纯形法


线性规划问题及其数学模型
图解法


单纯形法原理
单纯形法计算步骤

单纯形法的进一步讨论
第一节
线性规划问题及其数学模型
线性规划在经营管理中，常常用来解决 有限资源（人、财、物）的合理分配问题。 在经营管理中，几乎一切问题都与有限资源 的合理分配利用有关。线性规划为解决有限 资源的合理分配利用提供了一个有效的数学 工具。
C (c1, c2 ,, cn ); X ( x1, x2 ,, xn )T
a1 j a2 j Pj a mj b1 b b 2 b m 0 0 0 0
二、线性规划问题的共同特征 （模型的三要素）
⑴ 每一个问题都用一组决策变量(x1，x2，…，xn)表示某 一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般 这些变量取值都是非负的。 ⑵ 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等 式或线性不等式来表示。 ⑶ 都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数 （称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目标函
若目标函数为余料最少，则有：
min Z 0.1x1 0.3x2 0.9 x3 0 x4 1.1x5 0.2 x6 0.8 x7 1.4 x8 2 x1 x2 x3 x4 2 x2 x3 3x5 2 x6 x7 s.t. x1 x3 3x4 2 x6 3x7 4 x8 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 100 100 100 0
3.矩阵式
max （或min）Z CX （或 ， ）b AX s.t. X 0
X ( x1 , x2 , , xn )T ; C (c1 , c2 , , cn ); b (b1 , b2 , , bm )T ; a11 a21 A a m1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn
课堂练习：建立线性规划模型
某城市在一昼夜间市内交通需要车辆数如图，对车辆 的需求在昼夜间是变化的，车辆的工作制度是一天连续工 作8小时，派车时间在各时间间隔的端点，一旦派出，就连 续工作8小时。求保证需要的最小车辆数。
车辆数 12 8 4 4 8 12 10 7 4 时
0
4
8
12
16
20
24
间
派车时间在各时间间隔的端点，一旦派出，就连续工 作8小时。
一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问题的
一个重要步骤。
建立的线性规划数学模型是否真正的反映客观
实际，数学模型本身是否正确，都直接影响求解结
果，从而影响决策结果，所以，建立正确的线性规 划模型尤为重要。下面举例说明线性规划数学模型 的建立。
例1.（产品组合问题）
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
4x1=16 x1+2x2=8 Q3 •Q2(4,2) Q1 0
Q4 3
4x2=12
4
2x1+4x2=0
x1
3. 有无界解
可行域可伸展到无穷，由此目标函数值也可增大
至无穷。这种情况下问题的最优解无界。产生无界解 的原因是由于在建立实际问题的数学模型时遗漏了某 些必要的资源约束条件。
z
x2
例如：
max Z=2x1+2x2
2万m3 1.4万m3
3 3 3 3 3 3
2万m3 1.4万m3
设 x1、x2 分别为第一、第二化工厂每天处理的工业污水量。 约束条件： 第一化工厂到第二化工厂之间的污水含量要不大于 0.2% (2 - x1) / 500 0.002 流经第二化工厂后，河流中的污水含量仍不大于 0.2% [0.8(2 - x1) + (1.4- x2)] / 700 0.002 污水处理量限制 x1 2，x2 1.4，x1 0，x2 0 目标函数： 要求两厂用于处理工业污水的费用最小 min z = 1000 x1+800 x2
无界解；无可行解。（见下页图示所示） 2．若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集。
3．若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一(如果有无
穷多的话)一定是可行域的凸集的某个顶点。 4．解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算在顶点处的目标函数值。 比较周围相邻点的目标函数值是否比这个值大，如果为否，则该顶点就是 最优解的点或最优解的点之一，否则转到比这个点的目标函数值更大的另 一顶点，重复上述过程，一直到找出使目标函数值达到最大的顶点为止。