第九章二阶线性常微分方程级数解法
二阶阶微分方程的解法及应用课件
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
第九章 常微方程数值解法
第8章 序
许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动， 许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间 技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析， 技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振 动，工程问题中的电路分析等，都可归结为常微分方程的 工程问题中的电路分析等， 初值问题。 初值问题。 所谓初值问题， 所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始 点为已知的一类问题，一般形式为： 点为已知的一类问题，一般形式为：
⇒ y n +1 = y n −1 + 2hf ( xn , y n )
第9章 常微分方程数值解法
(8 - 4)
8-10
Euler公式的推导（ Euler公式的推导（续5） 公式的推导
上对y )=f 四、利用数值积分公式：在[xn,xn+1]上对y′(x)=f (x,y(x)) 积分 利用数值积分公式：
x0 < x1 < L < xn < L
（i=1,2,…,n）构造插值函数作为近似函数。上述离散点 i=1,2,…,n）构造插值函数作为近似函数。 相 邻两点间的距离h 称为步长， 邻两点间的距离hi=xi-1-xi 称为步长，若hi 都相等为一定数 h, 则称为定步长，否则为变步长。( x, y ( x)) 则称为定步长，否则为变步长。 a≤ x≤b y ′( x) = f 本章重点讨论如下 y (a ) = y0 一阶微分方程： 一阶微分方程： 在此基础上介绍一阶微分方程组与 8-5 第9章 常微分方程数值解法 高阶微分方程的数值解法。 高阶微分方程的数值解法。
⇒ yn +1 = yn + hf ( xn , yn ) + E ( xn , h) ⇒ yn +1 = yn + hf ( xn , yn )
微分方程的级数解法
微分方程的级数解法微分方程是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
在微分方程的解法中，级数解法是一种常见且有效的方法。
本文将介绍微分方程的级数解法，并通过具体的例子来说明其应用。
一、级数解法的基本思想级数解法是通过将微分方程的解表示为级数形式，然后利用级数的性质来求解微分方程。
其基本思想是将未知函数表示为幂级数的形式，然后将其代入微分方程中，通过比较系数的方法确定级数的各项。
二、级数解法的步骤级数解法的步骤可以概括为以下几个方面：1. 假设未知函数的级数解形式，通常选择幂级数形式，如y(x)=∑(n=0)^(∞)a_n(x-x_0)^n。
2. 将级数解代入微分方程中，得到方程的各项。
3. 比较方程两边各项的系数，得到递推关系式。
4. 解递推关系式，确定级数解中的各项系数。
5. 根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间。
三、例子：求解二阶常系数线性齐次微分方程考虑一个二阶常系数线性齐次微分方程：y''(x)+ay'(x)+by(x)=0，其中a、b为常数。
假设未知函数的级数解形式为y(x)=∑(n=0)^(∞) a_nx^n。
将级数解代入微分方程中，得到：∑(n=0)^(∞) a_n(n(n-1)x^(n-2)+anx^(n-1)+bx^n)=0。
比较方程两边各项的系数，得到递推关系式：a_0=0，a_1=0，(n(n-1)a_n+a(n+1)a_(n+1)+ba_n)=0。
解递推关系式，确定级数解中的各项系数：由a_0=0可知，a_n=0(n≥0)。
根据递推关系式，可得：a_2=-ba_0/(2(2-1))=-b/2，a_3=-ba_1/(3(3-1))=0，a_4=-ba_2/(4(4-1))=b^2/(2*4)，...根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间：根据级数解的收敛性定理，级数解的有效区间至少包含级数展开点x=0。
因此，级数解的有效区间为整个实数集。
数值分析第九章常微分方程数值解法
松弛法
通过迭代更新函数值并逐步放松约束 条件来逼近解，适用于刚性和非刚性 问题。
利用线性组合迭代函数值来逼近解， 具有更高的收敛速度和稳定性。
03
数值解法的稳定性分析
数值解法的稳定性定义
数值解法的稳定性是指当微分方程的初值有微小的扰动时， 其数值解的近似值的变化情况。如果数值解在微小扰动下变 化较小，则称该数值方法是稳定的。
更高的精度和稳定性。
数值逼近法
泰勒级数法
将微分方程的解展开为泰勒级数，通过截断级数来逼 近解。
多项式逼近法
利用多项式来逼近微分方程的解，通过选取合适的基 函数和系数来提高逼近精度。
样条插值法
利用样条函数来逼近微分方程的解，具有更好的光滑 性和连续性。
迭代法
雅可比迭代法
通过迭代更新函数值来逼近微分方程 的解，具有简单易行的优点。
初值和边界条件的处理
根据实际问题，合理设定初值和边界 条件，以获得更准确的数值解。
收敛性和误差分析
对数值解进行收敛性和误差分析，评 估解的精度和稳定性。
数值解法的应用案例分析
人口增长模型
通过数值解法求解人口增长模型，预测未来人口数量，为政策制 定提供依据。
化学反应动力学
利用数值解法研究化学反应的动力学过程，模拟反应过程和结果。
数值分析第九章常微分方 程数值解法
• 引言 • 常微分方程数值解法的基本思想 • 数值解法的稳定性分析 • 数值解法的收敛性和误差分析 • 数值解法的实现和应用案例
01
引言
常微分方程的应用背景
自然科学
描述物理、化学、生物等自然 现象的变化规律。
工程领域
控制系统设计、航天器轨道计 算等。
文学研究一二阶线性微分方程解的结构课件
Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .
又因为 y = Y + y*， y = Y + y*，所以 y + p(x)y + q(x)y
= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两 个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无 关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所 以 方 程 的 通 解 为
y C1e x C2e3 x .
例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有
重根 r = 2. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为
求得
y （C1 C2 x)e2x ,
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是 ④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即
二阶线性常微分方程的级数解法
◼ 指标方程有重根：这时必有：ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2
由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程必定有一个解可写成 ：
ζ
ζ
2 - a1
因为这时对应于 ：P(ζ) =
- a2 - a3 ζ + ⋯,
b2 b3 Q(ζ) = + + ⋯
在 ζ = 0 ，ζ P(ζ) 和 ζ2 Q(ζ) 均解析 。
ζ
ζ2 ζ
☺ 例： (1.7) 式的超几何方程 ： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0
正则奇点：在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，但 (z - z0) p(z) 和 (z - z0)2 q(z) 都解析。 非正则奇点：在 z0 点，连 (z - z0) p(z) 或 (z - z0)2 q(z) 也不解析。
◼ 无穷远点的判断：方程做自变量变换 z = 1 / ζ，则方程 (1.9) 化为
1
1
若 p 和 q 不具有 (1. 11) 形式，ζ = 0 (z = ∞) 就是微分方程的奇点 。
ζ
ζ
1
1
若 p 和 q 具有以下形式 ，则 ζ = 0 是 (1.10) 的正则奇点 ，对应地 ，z = ∞ 是 (1.9) 的正则奇点 。
ζ
ζ
1
1
p = a1 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q = b2 ζ2 + b3 ζ3 + ⋯,
通常人们并不需要在整个复平面内求解方程更感兴趣的是求解某点z0邻域的解邻域可大可小因此若要在某点z0的邻域求解微分方程系数函数pz和qz在z0的性质就显得特别重要为此做以下定义
二阶线性常微分方程的幂级数解法
二阶线性常微分方程的幕级数解法二阶线性常微分方程的幕级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幕级数来表示 一个函数。
因此，自然想到，能否用慕级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程)「-小=0的通解解： 设 y = a 0+a l x + a 2x 2 + + +•••为方程的解，这里q(20,1,2,…”…)是待定常系数，将它对x 微分两次, 有 y =2-k/2 + 3・2a 3x + ・•・ + n{n 一 \)a n x^2 + (n + \)na n ^}x n ^ + ・・・ 将y, y 的表达式代入方程，并比较的同次基的系数，得到 —x<x<co 2-1«2 =0 > 3-2a 3 — q = 0、 4-3a 4 — q = 0, 5・4y —a 2 = 0,… 或一般的可推得伽= -------- - ------- ,2-3-5-6••…(3k — l)・3k 53・4・6・7••…3&・(3k + l)G = °其中5,①是任意的，因而代入设的解中可得:“■X X X y = 1 H ----- 1 ------------- -- ----------------------------------- ■・•] + "[ [x + --- F° 2-3 2-3-56 2-3-56・•••・⑶2-1)・3料 1 3-4 3・4・6・7 •…这个幕级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和(其中包括两个任 意常数5及①)便是所要求的通解。
X 1 ---------- + •…]•(3/7 + 1)例6求方程八2卩-4y = 0的满足初值条件7(0) = 0及严=1的解。
解设级数y =兔＞ + a}x + a2x2+ …+ a n x n+ … 为方程的解。
首先，利用初值条件，可以得到«() = 0 >因而y = x + a2x2 + + • • • + a n x n+•••y =\ + 2a2x + 3a3x2 + ・・・ + na n x n 1+ • •・y = 2a2 + 3-2a3x + • • • + n(n-i)ci ft x r 2+•••将y, y, y”的表达式带入原方程，合并x的各同次幕的项，并令各项系数等于零，得到2勺=0,® =1“ =0厂・・，4” =―"”亠…77-1因而I n 1 1 n 1a s =刁4 =°4 =- = —^8 =0,為=石,…最后得111 n如k伙-1)! k\ ~k对一切正整数斤成立。
二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数
接着对常见的变系数线性微分方程进行分类，介绍了如何用 幂级数解法和弗罗贝尼乌斯级数解法求解正则奇点的二阶常微分 方程。
最后对常见的施图姆-刘维尔型微分方程的特征值和特征函 数的性质作了系统的介绍。
sin 9 ))| = sin 2 9 - 2 cos9 = (1 - x2 ) - 2x
这样式(5.1-20)可以写成
(1- x2 ) - 2x + n(n + 1)-
y = 0 (5.1-21)
式(5.1-21)是常见的勒让德方程的一般形式， 称为连带勒让德方程。
17
5.1.2
令m = 0 ，得到
(2) 若p(x)和q(x)中至少有一个不满足(x _ x0 )p(x), (x _ x0 )2 q(x)在
x0点解析， 则x0称为方程(5.3-1)的本性奇点。在本性奇点附近， 方
x 程至少有一解在x0 有本性奇点，
而另一解可能是y =
w
an
(x
_
)n+p
x0
，
n=0
但它往往是发散的， 这种情况在数理方程中不多见， 这里不讨论它。
上式代入式(5.1-7)，得到
(5.1-8)
p p + R，， 2
R，+ 入p2
= - = O，， 山
RR
O
式中山为常数。上式是两个常微分方程，分别是
p2 + p + (入p2 - 山)R = 0
(5.1-9)
O，，+ 山O = 0
8
5.1.1
由于V(p,9)是单值函数，所以内(9)应满足周期性边界条件，因而有
二阶线性常微分方程的级数解法解析课件
fn
(s)
sPn
Qn
.
(n 1, 2,
)，由于a0 0，必有
f0 (s) s(s 1) sP0 Q0 0 上式为指标方程，其根s1和s2称为正则奇点的指标数.
从而得到方程的一个解w1(z) (z z0 )s1 ak (z z0 )k k 0
求第二个特解
1 s1 s2 整数包括零，则在所设解中取s s2，此时f0 (s2 ) 0，
由于J m
(x)
k 0
k
(1)k !(m
k
1)
( x )m2k，其中m为整数，当 2
k m时， m k 1为负数，函数的值为无穷大，因此对k
求和是从k
m开始，即J m
(x)
k m
k
(1)k !(m
k
1)
( x)m2k 2
令n k m，求和指标从k变到m，则有
Jm (x)
dz2 z dz
z2
在有限远处的奇点为z0 0，且z0 0 是方程的正则奇点.
5.2 方程常点邻域内的解
1.常点邻域内的级数解定理
若p(z)和q(z)在圆形域 | z z0 | R内单值解析，则常微分初值问题
d 2w
dz 2
p(z)
dw dz
q(z)w
0
w(z0 ) a0 , w(z0 ) a1
f0 (s2 k) 0，k 1, 2, 对任选a0 0可唯一确定另外一个解
w2 (z) (z z0 )s2 bk (z z0 )k，w1(z)和w2 (z)线性无关. k 0
2当s1 s2 n 整数，f0 (s2 ) 0，f0 (s2 n) 0，递推到第n步
令a0 a1 an1 0，an 0，可唯一确定ak (k n)，从而
第九章 二阶常微分方程的级数解法
∞
(k l )(k + l + 1) a , (3) (k + 1)(k + 2 ) k (l + 1)(l + 3) (l + 2k 1)( l )(2 l ) (2k 2 l ) a a2 k = 0 (2k )! (l + 2 )(l + 4 ) (l + 2k )(1 l )(3 l ) (2k 1 l ) a a2 k +1 = 1 (2k + 1)!
[(
)
]
9.2 二阶常微分方程的级数解法
二阶常微分方程的形式
W
''
(z ) + p (z )W ' + q (z )W (z ) = 0 .(1) W ( z 0 ) = c1 , W ' ( z 0 ) = c 2 .
当z0是p(z)与q(z)的解析点时, z0称为方程(1)的常点,若 z0为p(z)与q(z)的奇点时, z0称为方程(1)的奇点. (一)常点邻域上的级数解法 令:
W(z) = ∑ak (z z0 ) , p(z) = ∑pk (z z0 ) , q(z) = ∑qk (z z0 ) .(2)
k k k k=0 k=0 k=0
∞
∞
∞
代入(1)式可确定系数ak,得出方程的解.
例题1 在x0=0的邻域上用级数解法求解常微分方程
y '' + ω
∞ k
2
y = 0
得出 : Φ '' + λΦ = 0, (3) 对周期性的自然边界条件 : Φ( + 2πn ) = Φ( )(4) .
《数学物理方法》教学大纲
山东教育学院物理科学与技术系《数学物理方法》教学大纲一、课程概述1、《数学物理方法》是物理学专业本科的一门重要的基础课，它是前导课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》以及《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理学专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
在物理学专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。
2、本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶变换、数学物理方程、特殊函数等。
理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。
可以在后续的选修课中加以介绍。
3、本课程的内容为数学课程，注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。
但是，它与其它的数学课有所不同。
本课程内容有深广的物理背景，实用性强。
因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。
学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4、本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。
教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。
二、目的要求1、为了使学生能学好物理学专业的理论物理课程， 胜任中学物理教学及适应社会主义现代化建设的需要， 在本门课程中系统讲授复变函数和数学物理方程的基本理论和基本方法，并介绍数学物理中常用的几种特殊函数。
要求学生对规定的内容有一个总体了解。
掌握其中的基本概念，熟悉一些重要的理论及公式，并使所学到的知识在头脑中形成合理的结构。
2、大纲贯彻少而精的原则，着重让学生掌握最基本的理论知识和计算方法.在讲授过程中紧密联系物理实际， 但也注意保证数学概念的严格性和理论的系统性。
理工类专业课复习资料-数学物理方法总结(改)
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y ∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法由上式可知dv=2ydx+2xdy贝易得dv=d(2xy)则显然v=2xy+C不定积分法上面已有—=2y;丝=2xdx dy则第一式对y积分,x视为参数，有v=J2xy+(p(x)=2xy+(p(x)......................dv...上式对x求导有一=2y+^\x),而由C-R条件可知(p\x)=0,dx从而(p(x)=C.故v=2xy+C.f(z)=x2-y2+i(2x y+C)=z2+iC第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任意一分段光滑闭合闭合曲线1(也可以是B的边界)，有血/⑵也=0.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数，则山任)也+£由/(z)也=0.式中1为区域外边界线，诸l为区域内边界线，积分均沿边界线的正方向进行.即血力＞)也=力血/(z)d z.柯西公式f(a)=t^-也""dz2m z-an次求导后的柯西公式f(〃)(z)=£山声舄化2mi中(。
二阶常微分方程解存在的问题
二阶常微分方程解的存在问题分析摘要本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法——特征方程法及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。
接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。
另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法——拉普拉斯变换法。
最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它在科学研究、工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应用。
1.引言1.1常微分方程的发展过程与研究途径二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。
这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。
在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。
因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。
牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。
他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。
用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。
17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。
20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。
1927－1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。
第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。
40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。
9. 二阶常微分方程级数解法
第九章二阶常微分方程级数解法•§9.1 特殊函数常微分方程•§9.2 常点邻域上的级数解法•§9.3 正则奇点邻域上的级数解法•§9.4 施图姆-刘维尔本征值问题•前面讨论的都是两个自变量的偏微分方程，涉及到的本征函数都是三角函数，除了圆形泊松问题外，大多是反射对称的问题；•从现在开始，我们要讨论三维的定解问题。
实际的边界问题可能具有其它对称性，比如球或柱对称边界，这时的本征函数采用三角函数就不方便了，我们将发现新的本征函数和本征值，并且用它们做级数展开来求解偏微分方程。
•本章主要讨论拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程等在球坐标系、柱坐标系满足的常微分方程及其定解。
我们依然采用分离变量法。
§9.2 常点邻域上的级数解法•前面我们通过分离变量法得到了一些特殊的二阶常微分方程，本节讨论这些方程在特定的边界条件下的定解问题。
•这些二阶常微分方程大多不能用通常的方法，比如直接积分的方法求解；•通常采用幂级数解法，即在某一选定的点的邻域上将待求的解表示成系数待定的级数，得到系数之间的递推关系，然后利用边界条件确定所有系数的值。
•级数求解问题的关键在于收敛性。
•考虑一般的复变函数w(z)的线性二阶常微分方程：w’’+p(z)w’+q(z)w=0, w(z 0)=C 0, w’(z 0)=C 1. 其中z 为复变数，z 0为选定的点。
•（一）方程的常点和奇点：在z 0邻域，如果p(z)和q(z)是解析的，则z 0称作方程的常点；如果p(z)和q(z)是奇异的，则z 0称作方程的奇点。
•（二）常点邻域上的级数解：如果线性二阶常微分方程的系数p(z)和q(z)在点z 0的邻域|z-z 0|<R 是解析函数，则方程在这个圆中存在满足初值条件的唯一解析解。
•因此可以把解表示成此邻域上的泰勒级数形式：•后面的任务就是确定这些级数解的系数a k ，通常会得到它们之间的一些递推关系。
3.0二阶线性常微分方程的幂级数解法
e rx [c′′ + (2r + p)c′ + (r 2 + pr + q)c] = 0.
是特征方程的重根， 所 以 有 r + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 e r x ≠ 0 ， 因此只要 c(x) 满足
−p 注意到 r = 2 2
c′′( x) = 0,
则 y2 = cerx就是 ④式的解， 为简便起见，取方程 c″(x) = 0 的一个解 c(x)= x，于是得到方程 ④且与 y1 = erx 线性无关的解 y2 = xerx. 因此，④式的通 解为
二阶常系数线性非齐次常微分方程的解法
1° 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x). 设二阶常系数线性非齐次常微分方程为 y″ + py′ + qy = Pn(x),
⑥
其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式。因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设 ⑥ 式的特解为 * k
考虑到 p，q 均为常数，我们可以猜想该方 程具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数。 将 y′ = rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 erx (r2 + pr + q) = 0 . 由于erx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 r2 + pr + q = 0， ⑤
y * = Bx k eαx
y *′ = Bkx k −1eα x + Bα x k eα x
y*′′ = Bk (k − 1) x k − 2 eα x + 2 Bα kx k −1eα x + Bα 2 x k eα x
第九章二阶线性常微分方程级数解法
于是轴对称情形下球坐标系中拉普拉斯方程的通解为：
u(r, )
l
(Cl r l
Dl r l 1
)
Pl
(cos )
Pl (cos ) 是l-阶勒让德多项式，它是l-阶勒让德方程在区间[-1,1] 内的有界解。
l-阶勒让德方程（特殊函数方程） ：
(1
x2
2 z 2
2 z 2
柱坐标系：
2 1 ( ) 1
2 2
2 2 z2
球坐标系：
2
1 r2
r
(r2
r
)
r2
1
sin
(sin
)
r2
1 sin2
2
2
球坐标系下拉普拉斯方程的分离变量：
球坐标系下拉普拉斯方程的形式为：
3
(3l（ ) 1l )(l 2)( l 4)
5！
1
a a a （5l）(l6)
7
76
5
(5l )(3l（) 1l )(l 2)( l 4)( l 6)
7！
1
………
a2k 1
（2(k2k11l）)((l2k2)k )
a2k 1
(2k 1l )（1l )(l 2)(l 2k ) (2k 1)！
下面我们以常点邻域内的幂级数解法为例, 简要介绍用幂级数 解法求解二阶线性常微分方程的具体作法.
二、常点邻域上的级数解法：
定理: 如果方程 w'' (z) p(z)w' (z) q(z)w(z) 0
北京大学数学物理方法经典课件第九章——二阶常微分方程
分离空间坐标变量
连带Legendre方程、Bessel方程
16
m 阶 Bessel 方程
x y '' xy ' x m
2 2
2
y0
2
l 阶连带 Legendre 方程
d y dy m 1 x dx 2 2 x dx l l 1 1 x 2 y 0
r2 RY
常数
1 2 R 1 Y 1 2Y (r ) (sin ) l ( l 1) 2 2 R r r Y sin Y sin
1 Y 1 2Y (sin ) 2 l ( l 1)Y 0 2 sin sin
2 2
5
d 2 R dR l ( l 1) R 0 2 dt dt
因式分解
d d dt l 1 dt l R 0
解为：
D R(r ) Cr l 1 r
l
式中：C和D为积分常数.
球函数方程，令
Y ( )( )
l-阶勒让德方程 u 是轴对称的，对φ的转动不改变 u 。
d 2 d (1 x 2 ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
m0
d d sin sin l (l 1)sin 2 m2 0 d d 0, 有限值
1 u 1 2 u u ( ) 2 ( )0 2 z z
令 u( , , z) R( )( ) Z ( z)
d 2 R Z dR RZ d 2 d 2Z Z 2 R 2 0 2 2 d d d dz
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Pl (cos ) 是l-阶勒让德多项式，它是l-阶勒让德方程在区间[-1,1] 内的有界解。
l-阶勒让德方程（特殊函数方程） ：
(1x2)d d 2 2x2 .xd d xl(l 1 ) 0
二、二阶齐次、线性、变系数常微分方程常点邻域内的级数解 法（以勒让德方程为例）
二阶齐次线性变系数常微分方程的标准形式为：
【求解过程：先作坐标变换 ret, t lnr,
dRdRdt 1dR, dr dt dr r dt
dd2rR2 r12
dd2tR 2 r12
dR dt
原方程变为： dd2tR2 ddRt l(l1)R0 其解为：
R ( t) C e lt D e ( l 1 ) t C r l D r ( l 1 ) 】
球坐标系： 2 r 1 2 r(r2 r) r2s 1 in (s in ) r2s i1 n 2 2 2 .
球坐标系下拉普拉斯方程的分离变量：
球坐标系下拉普拉斯方程的形式为：
r 1 2 r(r2 u r) r2s 1i n(s iu ) n r2s12 in 2 u 2 0
.
一、 曲线坐标系中的分离变量： 以球坐标系下的拉普拉斯方程为例
z
r
x
(x, y, z)
z
y
z
r
(x, y,z)
z
y
x
球极坐标
边界：r,,
.
z
r
h
(x, y,z)
z
柱坐标： , z,
y
x
拉普拉斯方程： 2u 0
拉普拉斯算子: 2
直角坐标系： 2 x22 z22 z22
柱坐标系： 21()1222z22
.
球函数方程： s1 in (si Y n)s1 i2n 2 Y 2l(l 1 )Y0
球函数方程的分离变量： 再令 Y(,) () ()
s in d d (sid d n)s i2nd d 2 2 l(l 1 ) 0 si n d d (sin d d ) l(l 1 )sin 2 1d d 2 2
分离变量： u (r,,)R (r)Y (,)
r Y 2 r(r2 R r) r2s Ri n(s iY ) n r2s R 2 in 2 Y 2 0
R 1 r(r 2 R r) Y s 1i n (s Y i)n Y s1 2 i n 2 Y 2 l(l 1 )
l 0 ,1 ,2 ,. . . ; m 0 , 1 , 2 ,. . . , l
.
轴对称情形下球坐标系中拉普拉斯方程的通解：
如果所研究的问题具有轴对称性（即u 是轴对称的，对φ的转动 不改变 u ），则 m0
于是轴对称情形下球坐标系中拉普拉斯方程的通解为：
u(r,)
l
(C lrl rD l l1)P l (cos )
第九章 二阶线性常微分方程的级数解法 斯特姆 — 刘维本征值问题 （教材第七章)
• 曲线坐标系中的分离变量：以球坐标系下拉普拉斯方 程为例
• 二阶线性常微分方程常点邻域内的幂级数解法：以勒
让德方程为例子
• 斯特姆 — 刘维本征值问题
.
应用分离变量法解数学物理偏微分方程时, 不可能总是采用直角 坐标系, 在很多情况下需要根据边界的形状选择适当的曲线坐标 系。如所研究的物理系统的边界为球面或柱面, 就需要采用球坐 标系或柱坐标系（统称曲线坐标系）。
然后将级数解代入原方程，再确定级数展开式中的待定系数。
根据系数 p(z) , q ( z ) 在点 z0 的邻域 zz0 R内的解析性质，数学上可以 证明在点 z0 的邻域内方程的级数解应该具有何种形式, 如是泰勒级数还是
罗朗级数。
.
方程的常点和奇点：
w ''( z ) p ( z ) w '( z ) q ( z ) w ( z ) 0
Байду номын сангаас令： xcos,
si n si x n s2 i n ( 1 x 2 )
x
x
x
方程的形式变为： d d[x 1 ( x2)d d . ]x [l(l 1 ) 1 m x 22] 0
l-阶缔合勒让德方程（特殊函数方程） ：
d[1 ( x2)d ] [l(l 1 )m 2 ] 0
在球坐标系或柱坐标系中利用分离变量法求解偏微分方程时， 经常会遇到二阶齐次、线性、变系数的常微分方程，如勒让德 方程、贝塞尔方程（特殊函数的常微分方程），等等。
变系数常微分方程的求解一般都是比较复杂的, 需要一些特殊的 方法才能对它们进行求解。 一个比较普遍的方法就是级数解法, 本章将对二阶齐次、线性、变系数常微分方程的级数解法作一 简要的介绍。
d(r2dR )l(l1)R0 dr dr
欧拉形方程
s1 in (si Y n)s1 i2n 2 Y 2l. (l 1 )Y0 球函数方程
径向函数所满足的方程为欧拉形方程：
d(r2dR)l(l1)R0, dr dr
r2dd2rR 2 2rddR rl(l1)R0
其解为：
R(r)Crl rDl1
dx dx
1 x2
l-阶缔合勒让德方程在区间[-1，1]内的有界解为缔合勒让德函 数，记为 P l m ( x )
结论：在球坐标系下拉普拉斯方程（ 2u 0 ）的通解为：
u ( r ,,) l 0m 0( C lr l r D l l 1 ) ( A m c o s m B m s in m ) P lm ( c o s)
得到两个常微分方程：
d 2
d 2
0
s id d n (s d d i ) n [l(l . 1 )s2 i n ] 0
解常微分方程：
d 2
d 2
0
自然周期边界条件： (2) ()
得其通解为： () A m cm o sB m sm in
m 2 m0,1,2,
再解常微分方程：
s ind(s ind ) [l(l 1 )s in 2 m 2 ] 0 dd
y （ ''x ) p ( x ) y '( x ) q ( x ) y ( x ) 0
对于复变函数：
w ''( z ) p ( z ) w '( z ) q ( z ) w ( z ) 0
级数解法： 假设我们要求解方程在某点 z 0 的邻域 zz0 R 内的解，
我们可以将解展开为 ( z z0 ) 的级数的形式，