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弹性力学 第2讲 平面问题基本理论(1) PPT课件

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弹性力学 第二章 平面问题的基本理论 ppt课件

弹性力学 第二章 平面问题的基本理论 ppt课件
4
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
5
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征 无限长的柱形体， 横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束 作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方 向变化； ♢ 体力 作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度 方向变化；
6
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、 约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
12
·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
13
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
20
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2

弹性力学-2-平面问题的基本理论

弹性力学-2-平面问题的基本理论

2015-1-16
4 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位
移共15个未知函数，且均为 f (x, y, z)。
弹性力学平面问题共有应力、应变和位
移8个未知函数，且均为f (x, y,)。
2015-1-16
5 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
什么条件下 空间问题可简化为平面问题
px n l l
py n m m
又由于：
px xl xy m p y xyl y m
32 弹性力学
2015-1-16
2.2 平面问题中一点的应力状态 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0， 求此斜面上的主应力σ和应力主方向α 从而可得
2015-1-16 25 弹性力学
2.2 平面问题中一点的应力状态 应力是与作用面有关的。σx，σy和τxy作为 基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的 应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过 此点的任意斜面上的应力p。斜面上的应力p可 以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切 向分解为正应力σn和切应力τn（右图）。
z , zx , zy 0
2015-1-16 10 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
因此，此类问题的未知量只剩下Oxy面内 的三个应力分量： x , y , xy
所以此类问题称为平面应力问题。 由于板很薄，等厚度，外力和约束沿z 方向不变，因此应力也沿厚度z方向均匀分 布，应力x，y和xy只是坐标x, y的函数。
取如图所示的微分三角板或三棱柱
PAB，当平面AB无限接近于P点时， 该平面上的应力即为所求。

弹性力学（第二章平面问题的基本理论）

弹性力学（第二章平面问题的基本理论）
弹性力学
学
大 第二章 平面问题的基本理论
安伟
长 任 授课教师： 任 伟
2013年3月
弹性力学
学
大 内容提要
安 伟 1、平面应力问题与平面应变问题
2、平衡微分方程
长 任 3、平面问题中一点的应力状态
弹性力学
学 2—1 平面应力问题与平面应变问题
大 任 何 一 个 实 际 的 弹 性 力 学 问 题 都 是 空 间 问
长 y
任dx
τ yx
+∂τ yxdy ∂y
σy
+∂σ ydy ∂y
(σ x
+
∂σ x
∂x
dx)
dy
×1
−σ xdy ×1
+(τ yx
+
∂τ yx
∂y
dy)
dx
×1
−τ yxdx ×1
+
fxdxdy ×1 =
0
弹性力学
2—2 平衡微分方程
∑ 学 Fx = 0
大 ( σ x
+
∂σ x
∂x
dx)
dy
×1
−σ xdy ×1+( τ yx
+
∂τ yx
∂y
dy)dx ×1
−τ yxdx ×1
+
fxdxdy ×1 =
0
∂σ x
安 伟 ∂x
+
∂τ yx

0
长 任 ∂τxy ∂x
+
∂σ y
∂y
+
fy
=
0
弹性力学
学2—2 平衡微分方程
∂ σx + ∂ τ yx + f = 0

弹性力学 第二章平面问题的基本理论

弹性力学 第二章平面问题的基本理论

体位移。
如果各点(或部分点）间的相对距离发生 变化，则物体发生了变形。这种变形一方面 表现在微线段长度的变化；另一方面表现在 微线段间夹角的变化。因此，物体变形程度 用形变分量（ε，γ）来描述。
0
A
B
0'
A'
B'
二、 几何方程
几何方程——描述任一点的微分线段 上形变分量与位移分量之间的关系。
P点的形变分量与位移分量的关系？
cos(900 1 ) cos1
m1 l1
由(a)式得：
tan1
1 x xy
设 σ2与 x 轴的夹角为α2
（b）
ta n 2
s i n 2 cos2
cos(900 2 ) cos2
m2 l2
由(a)式得：ta n 2
xy 2
y
tan1
1 x xy
ta n 2
xy 2 y
由式： σ1 +σ2 = σy +σx
作用的等厚度薄板，若板边上只受x、y方向的面力或约束且不
沿厚度变化时，其状态接近平面应力状态还是应变状态？
解：由于板面上处处受法向约束，故
z 0, z 0
不受切向面力作用，则
zx 0, zy 0,
故该薄板不属于平面应力状态。
ox y
0z y
zx 0, zy 0,
可见，其应变分量只有εx ，εy ，γxy 存在，且仅为x、y的函 数，所以其状态接近平面应变状态。
n l 1 l 2 ( 2 1 )
l 2 l 4 ( 2 1 )
1 4
(1 2
l2
)2
(
2
1
)
n
1 4

弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论

弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论
第二讲 平面问题的基本理论
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程

平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程

弹性力学第二章平面问题的基本理论

弹性力学第二章平面问题的基本理论

圣维南定理
总结词
圣维南定理是弹性力学中的一个重要定理，它表明在弹性体的局部区域，改变内力的分布不会影响该 区域以外的应力分布。
详细描述
圣维南定理指出，在一个弹性体上施加一个集中力或分布力，只会影响该力作用点附近的应力分布， 而不会影响远离作用点的应力分布。这个定理在解决弹性力学问题时非常重要，因为它可以帮助我们 忽略某些局部细节，从而简化问题。
04
弹性力学的基本方程
平衡方程
平衡方程描述了弹性体在受力作用下的平衡状态，其数学表达式为：$frac{partial sigma_{xx}}{partial x} + frac{partial sigma_{xy}}{partial y} = 0$，其中 $sigma_{xx}$和$sigma_{xy}$分别为应力分量。
几何方程反映了物体在变形过程中满足连续性和均匀性的条 件，是解决弹性力学问题的重要基础。
本构方程
本构方程描述了应力与应变之间的关系，其数学表达式为： $sigma_{xx} = lambdaepsilon_{xx} + 2muepsilon_{xx}$， 其中$lambda$和$mu$分别为拉梅常数，$epsilon_{xx}$为 应变分量。
平面应变问题的应用场景
1 2 3
土木工程
在桥梁、建筑等土木工程结构中，常常需要考虑 平面应变问题，以分析结构的稳定性、承载能力 和抗震性能。
机械工程
在机械零件和设备的设计中，如板、壳等结构， 也需要考虑平面应变问题，以确保其在使用过程 中的安全性和稳定性。
地球科学
在地质工程、地震工程等领域，平面应变问题也 是重要的研究内容，用于分析地壳的应力分布、 地震波传播等。
弹性力学第二章平面问题的 基本理论

弹性力学第二章.ppt

弹性力学第二章.ppt

定义 位移边界条件
§2－6 边界条件
边界条件 －－表示在边界上位移与约 束，或应力与面力之间的关系。
位移边界条件 －－设在su部分边界
上给定位移分量 u (s) 和 v(s) ,则有
(u)s u(s), (v)s v(s), （在 su上)。（2-14）
第二章 平面应力问题和平面应变问题
位移边界条件的说明：
第二章 平面应力问题和平面应变问题
斜面应力
(3)求主应力
设某一斜面为主面，则只有 σn σ, τn 0, 由此建立方程，求出:
σmax x y
σ min
2
tan 1

σ σ
1
2
xy
.

x

2
y
2


2 xy
,
(2-6)
第二章 平面应力问题和平面应变问题
平行xy面，柱体非常长；
故任何z 面（截面）均为对称面。
w 0, 只有u,v; （平面位移问题）
w 0 εz 0,

τzx, τzy 0 zx, zy 0,
只有 x , y , xy .
（平面应变问题）
第二章 平面应力问题和平面应变问题
平面应变
（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿
故其物理方程为：
x


1 E
σx σ y
y


1 E
σy
σx

xy

21
E

xy
(2 12)
第二章 平面应力问题和平面应变问题
定义
对平面应变问题，由于 zy 0, zx 0

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z

E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x

弹性力学平面问题教学课件

弹性力学平面问题教学课件
弹性力学平面问题教学课件
contents
目录
• 弹性力学基础 • 平面问题的基本概念 • 弹性力学平面问题的解析方法 • 弹性力学平面问题的数值解法 • 弹性力学平面问题的实例分析
01
弹性力学基础
弹性力学简介
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下变形和内力的规律的科学 。
弹性力学的发展历程
有限差分法的优点在于简单 直观，适用于规则区域的问
题，且精度可调。
有限差分法的步骤包括建立离 散化的网格、选择合适的差分 格式、建立差分方程、求解离
散化的方程等。
边界元法
边界元法是一种将弹性力学问题转化为边界积分方程，然后通过离散化的 方式求解该边界积分方程的数值方法。
边界元法的优点在于精度高，适用于规则区域的问题，且对于复杂边界条 件处理能力强。
1. 初始化解的近似值。
在此添加您的文本16字
2. 根据迭代公式计算新的近似值。
在此添加您的文本16字
3. 检查收敛性，如果满足收敛条件则停止迭代，否则返 回步骤2。
在此添加您的文本16字
特点：简单易行，但收敛速度较慢，需要多次迭代才能得 到较为精确的结果。
牛顿-拉夫森法
• 概念：牛顿-拉夫森法是一种基于牛顿定理 的迭代方法，通过构造迭代公式来逼近真 实解。
从17世纪的材料力学到20世纪的有限元方法，弹性力学在理论和 实践方面都取得了重要进展。
弹性力学的重要性
在工程领域，弹性力学是解决复杂结构问题的基础，对于保证工程 安全和优化设计具有重要意义。
弹性力学的基本假设
01
02
03
连续性假设
假设物体由无数微小的单 元组成，每个单元之间没 有间隙。

弹性力学讲义-第2章-(1-6)(2008)-p

弹性力学讲义-第2章-(1-6)(2008)-p

xy
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
平面应变问题
几何形状—柱形体
很长
面力、体力--在柱面上受有平
行于横截面而且不沿长度变化
内在因素和外来作用都不 沿长度变化。
如挡土墙, 涵洞或隧道, 压力圆柱管,辊轴
第二章
平面问题的基本理论(2-1)
问题简化
平面问题 [特殊形状 + 特殊外力（约束）]
平面应力问题
• 简化分析和计算！ • 精确度足够！
平面应变问题
第二章
平面问题的基本理论(2-1)
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
t/2
t/2
几何形状—等厚度薄板 外 面力 体力 力—
平行于板面并且 不沿厚度变化
例如深梁,以及平板 坝的平板支墩等
只剩平行于x y面的三个应力分量:
x , y , xy
第二章
平面问题的基本理论(2-1)
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
u , v, w
x, y, z zx zy 0, xy
平面应力问题——只有平面应力分量存
y ， xy yx，且仅为x，y 的函数的弹 在 x ，
zy yz 0 zx xz 0
x , y , xy , z
因此，只剩下平行于x y 面的三个形变分量！
平面应变问题 柱形体 很长
第二章
平面问题的基本理论(2-1)
任一横截面都可以看作是对称面
第二章
平面问题的基本理论(2-1)
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑:
静力学方面、几何学方面和物理学方面。

《弹性力学》第二章平面问题的基本理论

《弹性力学》第二章平面问题的基本理论

平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。

弹性力学 平面问题基本理论2(1)

弹性力学 平面问题基本理论2(1)


u x
y

v y

xy

u y

v x
（ Geometrical
Equations for a
plane problem ）
Plane stress problem
Plane strain problem
x

1 E
x
y
y

1 E
y
x
讨论： 主应力、应力主向、最大（最小）正应力、最 大（最小）剪应力
1、主应力(principal stress)：任意斜面上的剪应 力为零时，该斜面上只有正应力，称为主应力。
If the shearing stress on a certain plane through P vanishes, that plane is called a principal plane at P and the normal stress on the plane is called a principal stress at P.
STRESS AT A POINT. PRINCIPAL STRESSES
When the stress components x， y，xy at a certain point P are known, we can compute the stress acting on any plane passing through this point, parallel to the z axis but inclined to the x and y axes.
yx
A
XN
N
N
YN s
N
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x
y
由 Fy 0 :
y xy Y 0
y
x
o
x
y
yx
y xy
x
C
Y

yx

yx y
dy
X

x

x x
dx

xy

xy x
dx

y

y y
dy
上式含三个未知量 x , y , xy yx ，只有两个 方程，是超静定问题。
x
y
y
(等厚薄板 t 很小）
• 受力：
平行于板面，沿厚度均布。
• 特点：
x 边界 z t 2 (自由面)：
( z )z t 0 2
( zy )z t 0 2
( zx )z t 0 2
3
内部： 认为： z zx zy 0 （条件：t 很小）
x
dx

xy

xy
x
dx

y

y
y
dy
由 Mc 0

xy
dy
1
dx 2

(
xy

xy
x
dx)
dy
1
dx 2

yxdx
1
dy 2

(
yx

yx
y
dy)
dx
1
dy 2

0
9
整理得： xy yx
由 Fx 0 :
x yx X 0
得： X N l x m xy
YN
B
同理由 Fy 0 得：
PB=lds PA=mds
PAB lds mds / 2
YN m y l xy
13
2. 斜面正应力(Normal)、剪应力(Shearing)：
y
yx
P
A
xy
X
x
Y
N
XNN
YN
sin(2 ) y
2cos(2 ) xy
tan( 2 ) 2 xy tan( 2 ) x y
sin(2 )
2 xy
x y ) 2 2 xy 2
cos(2 )
x y
x y )2 2 xy 2
AB=ds PB=lds PA=mds
PAB lds mds / 2
(令ds 0, AB P)
12
1. 斜面应力沿坐标方向投影：（XN，YN）
y yx
由 Fx 0
P
xy
X
AXLeabharlann N dsx lds

yx mds

X
lds
mds 2

0
x
Y
N
XNN
上式同样适用平面应变问题，因为 z 对平衡 没有影响。
10
§2-3 平面问题中一点的应力状态
z x
y
P
A
B
厚度=1
11
o
x y
讨论：已知一点P 的 x , y , xy ，求
yx
过P点任一斜面的应力。
y
P
xy
A X
几何描述：
x
Y
N
N
N
B
厚度=1


cos(N,x)=l , cos(N,y)=m
第二章 平面问题基本理论
• 平面应力问题和平面应变问题 • 平衡方程 • 几何方程 • 物理方程 • 边界条件和圣维南原理 • 求解弹性力学平面问题的方法
1
梁的弯曲问题
孔口应力集中问题
q
q
3q
q
2
§2-1 平面应力问题和平面应变问题
1.平面应力问题
y P
t/2 t/2
z
zy 0
x
zx 0 z 0
• 特点：
o x
沿oz轴位移：w＝0 ； 只
有沿x、y方向有位移(与z
无关)。
zx zy 0
(无限长） y
由切应力互相定理： xz yz 0
•平面应变问题待求量： x , y , xy yx（但 z 0 ）
6
7
§2-2 平衡微分方程
讨论：平面问题应力分量和体力分量之间的平衡关系
由切应力互等定理：
y P
t/2 t/2
zx xz 0， zy yz 0
x
zy 0 zx 0
z 0
z
x x
• 平面应力问题待求量：
y
y
x , y , xy yx （x,y的函数）
4
5
2.平面应变问题
z
对称面
• 受力：
与横截面平行，沿长度 （oz轴）不变。
1,2


x
2

y



x
2

y
2


2 xy
1 2 x y
16
主应力方向：
o
x
yx y
2
y
1
2 x
1与x轴的夹角1：
tg1

1 xy
x
2
1
xy
1
2与x轴的夹角 2 ：
tg 2

xy 2
o
x y
yx
y xy x
X
C
dy
Y
dx
厚度=1
由Taylor级数可知应力x 由于 坐标改变dx：

x(x

dx)


x

x
x
dx

1 2!
2 x
x 2
dx2




（略去二阶及以上的高阶微量）
8
o
x y
yx
y xy
x
C
Y

yx

yx
y
dy
X

x

x
B
X N l x m xy YN m y l xy
N lX N mY N l 2 x m2 y 2lm xy
N lYN mX N lm( y x ) ( l 2 m2 ) xy
∴由 x , y , xy N , N
y
1 2 x y
2 y 1 x
tg1 tg2 1
1与 2相互垂直
17
4 . 最大切应力：
14
3．主应力(Principal stresses)：
主应力: 切应力为零时的正应力
y
是主应力，该面称应力主面
yx
(principal plane)，其法线方向叫
P
xy
A X
应力主向(principal direction)。
x
Y

B
X

N
YN N
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy

sin(2 )
2
(
y

x)

cos(2 )
xy
tan( 2 ) 2 xy
cos

l,
cos

m
N
l 2 x
x y m 2 y 2lm xy

1

cos(2 )
2
x

1

cos(2 )
2
y

sin(2 )
xy
d N d
sin(2 ) x
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