数字积分法

A(Xe,Ye)
V Vy
X=Xe Y=Ye
O
Vx
X
确定K的取值：
根据每次增量ΔX、ΔY不大于1，以保证每次分配的进给 脉冲不超过1，即需满足：
ΔX=K Xe≤1
ΔY=K Ye≤1
其中Xe、Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。 假定寄存器有n位，则Xe、Ye的最大允许值为2n– 1。若 取K=1/2 、n 则必定满足：
器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位二
进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。
Y
6
A( 2 , 6 )
5 4
3
2
1
O 12
X
插补计算过程如下：
累加 次数 (Δt）
X积分器
Y积分器 终点
JVx JRx
溢出 ΔX
JVy
JRy
溢出 计数器 ΔY JE
0 010 000 110 000
3 101 111 011 001 1 4 101 100 1 011 100
110 JRx有进位， ΔX溢出
101 JRy有进位， ΔY溢出
100
ΔX溢出
5 101 001 1 011 111
011
6 101 110 011 010 1 010
ΔX溢出 ΔY溢出
7 101 011 1 011 101
J Ry(累加器)
ΔY Y轴溢出脉冲
+百度文库
J Vy(K Ye)(被积函数寄存器)
设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有： m
X= ∑ (K Xe)Δt =KmXe =Xe i=1
m
Y= ∑ (K Ye)Δt = KmYe = Ye i=1 Y
由该式可知：mK = 1,即
m= 1/K 这样，经过m次累加后，X、 Y坐标分别到达终点，而溢出 脉冲总数即为：
ΔX=VxΔt
Y
ΔY=VyΔt
若动点沿OA匀速移动， V、
Vx、Vy均为常数，则有：
V
=
Vx
Vy =
=K
OA Xe Ye
成立。
O
A(Xe,Ye)
V Vy
Vx
X
因而可以得到坐标微小位移增量为：
ΔX=VxΔt=KXeΔt
ΔY=VyΔt =KYeΔt 所以，可以把动点从原点
走向终点的过程看作X、Y Y 坐标每经过一个单位时间
二、数字积分法插补
数字积分法又称数字微分分析器（Digital Differential Analyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补，具有运算 速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输 入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲 线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系 统中得到广泛的应用。
间隔以K Xe、 K Ye进行累加 的过程，则可得直线积分插补
近似表达式为： m
X= ∑ (K Xe)Δt i=1
m
Y= ∑ (K Ye)Δt i=1
V Vy
O Vx
A(Xe,Ye) X
由此可以得到直线插补的数字积分插补器：
J Vx(K Xe)(被积函数寄存器)
+
X轴溢出脉冲
ΔX
Δt
J Rx(累加器)
101 +）001
110
101 +）110 ① 011
101 +） 011 ① 000
经过23 = 8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以 积分值等于5。
(二)数字积分直线插补
如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，东电 沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐 标移动的微小增量为：
（一）数字积分的基本原理
如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表
示为：S=∫ 0f(t)dt t
Y
若将0～t的时间划分成时间
间隔为Δt的有限区间，当Δt
Y=f(t)
足够小时，可得公式：
S=∫
tf0(t)dt
=
n-1 ∑ Yi Δt
i=0
Yo
即积分运算可用一系列微小
O
矩形面积累加求和来近似。
Y
3
A( 5 , 3 )
2 1
O 1 2 34 5
X
插补计算过程如下
累加 次数 (Δt）
X积分器
Y积分器 终点
JVx JRx
溢出 ΔX
JVy
JRy
溢出 计数器 ΔY JE
0 101 000 011 000
000
备注 初始状态
1 101 101 011 011
111 第一次累加
2 101 010 1 011 110
000
备注 初始状态
1 010 010 110 110
111 第一次累加
2 010 100 110 100 1 110 JRy有进位， ΔY溢出
3 010 110
110 010 1 101 JRy有进位， ΔY溢出
4 010 000 1 110 000 1 100 ΔX,ΔY同时溢出
被积函数寄存器
存放Y值
Δt +
ΔY 累加器（余数寄存器）
被积函数寄存器与累加器相加的计算方法：
例：被积函数寄存器与累加器均为3位寄存器，被积函数 为5，求累加过程。
101
101
101
101
+）000 +）101 +）010 +）111
101 ① 010
111 ① 100
101 +） 100
① 001
001
ΔX溢出
ΔX,ΔY同时溢出
8 101 000 1 011 000 1 000 JE=0，插补结束
加工轨迹如下：
Y
3
A( 5 , 3 )
2 1
O 1 2 34 5
X
作业：
插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为
A ( 2 , 6 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存
K Xe = 2n– 1 / 2n <1
n
n
K Ye = 2 – 1 / 2 <1
由此可定，动点从原点到达终点的累加次数为： m = 1 / K = 2n
例：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为
A ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存 器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位二 进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。
Δt
tT
若Δt取最小基本单位“1”，则上式可简化为：
n-1 S=∑ Yi (累加求和公式或矩形公式）
i=0
这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现，
被积函数寄存器
存放Y值
Δt +
ΔY 累加器（余数寄存器）
若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下：
被积函数寄存器用以存放Y值，每当Δt 出现一次，被积函 数寄存器中的Y值就与累加器中的数值相加一次，并将 累加结果存于累加器中，如果累加器的容量为一个单 位面积，则在累加过程中，每超过一个单位面积，累 加器就有溢出。当累加次数达到累加器的容量时，所 产生的溢出总数就是要求的总面积，即积分值。