积分型拟Kantorovich算子在Ba空间的逼近阶
一类新型Kantorovich算子在Orlicz空间内的逼近逆定理
设 Ｄ一 ［ ，］ 用 Ｃ表示 与 ｆ， 无关 的常数 ， 在 Ｏ１ ， 都 但 不 同处 表示 不 同 的数 值． 本文得 到 如下 结果 ．
定 理 １ 设 ｆ ｏ ， ＥＬ ） 则
本 文在 此基 础 上 ，利 用 带 权 光 滑 模 和 Ｋ＿ 函 讨论 泛
Ｋ （ ） Ｏｒ ｃ 空 间 Ｌ ［ ，］ 厂， 在 ｌｚ ｉ 磊 Ｏ １ 内的逼 近逆 问题 ．
ａ１ｊ ［（］ ｝ ｛ Ｊ ｄ ～ Ｄ ＋ Ｍ ） ， ，
式 中
在可积 函数 空 间 内是 不 能 作 为 逼 近 工具 的． 了讨 为 论 可积 函数 空 间 内的 逼 近 问题 ， 献 ［ ］ 造 了 与 文 ２构 Ｂ 厂 ） （ ， 对应 的新型 Ｋａ ｔｒ ｖｃ ｎｏｏ ｉ ｈ算子 ：
Ｋ （ 一 ∑ （ Ｉｆ）， 厂 ） ， （ｄ ） ｔｔ ｎ ＋ ２
并 得到 了 Ｋ （ ） Ｏｒ ｃ 间 Ｌ Ｏ １ 内 的逼 厂， 在 ｌ ｚ空 ｉ ［ ， ］ 近阶 的估计 ：
Ｋ （ ， Ｍ— ｉ ｆ—ｇ 。 。 ｌ ） 厂 ￡ ） ｎ ｌ Ｍ＋￡ｌ ， ｌ Ｍ
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第２ 卷 第２ ９ 期
Ｖｏ１ ２ ． ９ Ｎｏ． ２
宁夏 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮｉｇ ｉ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ Ｎａ ｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ Ｅｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ ｎ ｘａ ｉ ｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ） ｉ
０ ０ １ ； ２ 内蒙 古 师 范 大学 数 学科 学 学 院 ， １０ ８ ． 内蒙 古 呼 和 浩 特 ０ ０２ ） １０ ２
（． １ 内蒙 古 农 业 大 学 理 学 院 ， 蒙 古 呼 和 浩 特 内
Stancu-Kantorovich算子在Orlicz空间的逼近阶
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第 ６期
杨少卿等：Ｓａｃ— ａｔ ｏ ｉ 算子在 Ｏ・ ｚ ｔ ｕＫ ｎ ｒｖ ｈ ｎ ｏ ｃ ｌｃ 空间的逼近阶 ｌ ｉ
１９ ２９
对 ∈ ［， （） 厂 ＋ｚ 所 ｇ ＝［（ ， 厂 ） 于厂 ｏ 令ｇ ＝ Ｉ ｚ １ 】 １ （ ｚ 以 ） ／ ＋ 一 （ ］ （ ’ ） ，
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１９ ２８
西南 民族 大学学报 ・ 自然科 学版
第３ ３卷
Ｗ 厂， － ｕ （ 厅 厂 ｗ（，ｆ ｓｐｆ ＋ （ 厅 ２ （Ｉ． ｉ ， ｓｐｆ ） （ ２ ， ＝ｕ （＋）厂 ） ｓ Ｉ （） ＋一 ） ．） 厂￣ ， 一一 ） Ｍ
（
定 理２ 设 （ 满足△ 一 ， 则 ・ ） 条件 ｆ∈ 对于充 的 分大 有：
Ｉ；ｆ ｆ∞ Ｊ・＾ －： ｃｆ（ ，一 Ｍ－ － 厂 厂 －厂 ＋， 厂
３ 若 干 引理
５± １ 经 短 间早 计 畀 得 ： Ｉ呈
ｆ Ｃ ＿ Ｉ
圳 ２ 赤 ＋ ； ｘ ）
ｉ 川辱 ） ｉ ｔ ） ） ｛ ｋ 叫 ＋ ＋ ｌ
（［） 见３． ］
Ｏ ｔ Ｉ ≠ ’ ＜ ｉ ＿ － ． 一
）≤Ｉ ）２ Ｉ ）ｍ
所 Ｉ， ｃ上证 中用 ． （ 以 ．述明利了 ＪＩ － ｃ ）
Ｉ１ ｌｌ ｏ１ ｓ ￣， ｌ ｃ
引 ３ 可 的 ｒ 空 具 （．ｐ 质 即 于 ∈ 。 ，）ｓ ＝（ 有 理 分 ０ｉ 问 有 ．性 ， 对 － 【， （＝ｕ １ｆ “ ｌ ｃ ｚ ） Ｊ 厂 ． ｐ ． ） １ 】 Ｊ ， 厂
； 串 七 一一 ； 【
，
关键词： ｔｎ ｕ Ｋａｔｒｖｃ Ｓａ ｃ － ｎｏｏ ｉｈ算子： ｒｃ Ｏ ｌ ｚ空间： ｉ 逼近 中图分类号： ２ １ ０ ４． ５ 文献标识码： Ａ
一类Kantorovich型算子逼近阶的另一种估计
２１ ００年 ３月
闽பைடு நூலகம்江学 院学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ Ｏ ＮＪＡＮＧ ＵＮＩ ＲＳＴＹ Ｆ ＭＩ Ｉ ＶＥ Ｉ
Ｖｏ ． １ Ｎ ． １３ ｏ ２
Ｍａ ．２ １ ｒ ００
一
类 Ｋ ｎ ｒｖ ｈ型算 逼 近 阶 的另 一 种 估 计 ａｔ ｏｉ ｏ ｃ 子
计式也具有相应 的精 确度 ．
关键词 ：Ｂｅ ｎ —ｕ ｅ． ａｎ算子 ；局部有界 函数 ； ｌｍａｎＢ ｙ ｒＨ ｈ ｉ 逼近 阶；估计 式 中图分类号 ：Ｏ ２ １４ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：１０ ０ ９～７２ （０ ０ ０ ８ １ ２ １ ）２—０ ２ ０ ０ ７— ４
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｂ ｅｍａ ｎ Ｂ ｔｅ— ｈ ｐ ｒｔｒ ；Ｌ ｃ ｌ ｏ ｎ ｅ ｕ ｃｉｎ；ｒｔ ｆ ｏ ｖ ｒｅ ｃ ｌｉ ｎ — ｕｚ ｒＨａ ｎ ｏ ｅａｏｓ ｏ ａｌ ｂ ｕ ｄ ｄ ｆｎ ｔ ｙ ｏ ａｅｏ ｎ ｅｇ ｎ ｅ；ｅ ｆ ｔ ｅ ｃ ｓ ｍａｉ ｉ ｖ
其中 Ｅ，，＝［ ， ， ０ ＋∞） ｎ∈Ⅳ ， 是属于 ， 上的实 函数．
在该文章中， 作者证明了， 对 ＥＣ［］（ ， 区间， 上连续有界函数空间）当 一 ∞时 ， 一 ． ，
Ｂｅｍ ｎ—ｕｚｒＨ ｈ 子受 到许 多 逼 近论 专 家 的 注意 和 重 视 ， 于它 有许 多 后 续研 究 ， Ａｔ ｒ ｌｉａｎＢ ｔ — ａｎ算 ｅ 关 如 ｌｍａ ｏ ｅ和 Ｃ ｅｇＦ ， ｕ ｈｎ Ｇ ｏ和 Ｋ ｎ引， ｅｇ Ｐｒ ｕ 等 ． ａ Ｚｎ 和 ｉｏ ｉ 最 近 ， 文作 者 与 Ｚ ｎ 引 入 了一种 新型 的 Ｂｅｍ ｎ —ｕｚｒＨ ｈ 本 ｅｇＸＭ ｌｉａｎＢ ｔ — ａｎ算 子 的 Ｋ ｎｏｏｉ ｅ ａｔｒｖ ｈ型算 子 列 ， ｅ 定
一类推广的Bernstein-Kantorovich算子的点态逼近
一类推广的Bernstein-Kantorovich算子的点态逼近刘国芬【摘要】讨论Bernstein-Kantorovich 算子的一种推广形式的逼近性质，运用插项的方法证明了逼近正定理，并证明了逆定理，得到了逼近等价定理。
完善了算子在逼近性质方面的结果。
%We study the properties of approximation for a generalization of Bernstein-Kantorovich operators and prove the direct approximation theorem by the means of inserting term and the inverse theorem, namely the equivalence theorem. The results of the properties of approximation for this kind of operators are perfected.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】8页(P32-39)【关键词】Bernstein-Kantorovich型算子;光滑模;K-泛函;逼近正逆定理【作者】刘国芬【作者单位】河北师范大学数学与信息科学学院，河北石家庄 050024; 河北省计算数学与应用重点实验室，河北石家庄 050024【正文语种】中文【中图分类】O174.41对于f∈C[0,1],Bn(f,x)表示Bernstein-Kantorovich算子,定义[1]其中文献[2]中讨论了这类算子线性组合的逼近性质.而它的Sikkema-B´ezier变形为:这里,是B´ezier基算子,sn是一个自然数序列并且对于Sikkema算子[3]和B´ezier算子[4-7]许多学者都有一定的研究,对Bernstein-Sikkema-B´ezier算子的点态逼近性质进行了讨论[8],证明了其逼近的等价定理.本文将对Bernstein-Kantorovich的Sikkema-B´ezier变形算子的逼近性进行讨论,给出并证明该算子逼近的正逆定理和等价定理,其中主要结论叙述如下.定理1设则下面两个陈述是等价的:文中用到光滑模和K-泛函的等价性,它们的定义分别为:这里,其中a～b表示存在一个常数c>0,使得文中C表示与n和x都无关的常数,不同位置的数值可能是不一样的.为了证明定理1,需要几个引理.为了利用插项的方法,首先给出Bernstein-Kantorovich-B´ezier算子的逼近度,定义为引理2.1设证明由与光滑模之间的等价关系,对于固定的n,x和λ,可以选择适当的g=gn,x,λ,使得注意到|Bn,α(f)|≤α∥f∥,只需估计上式中的第二项.利用g(t)得到利用不等式,就有当−u≤2(0≤u≤1)时,和|.结合注意到0<Jn,k(x)≤1,再利用可推出[1]:利用(2.2)-(2.4)和(2.7)式,引理2.1得证.引理2.2下面关于Sn,1(f,x)的矩的估计:证明经过简单的计算就可得到Sn,1(1,x)=1,利用题设中的对于固定的x,只要取充分大的n,使得成立.于是(2.8)式得证.引理2.3设则有进一步,当f∈Wλ时,证明首先证明(2.9)式.这里利用1=Jn,0>Jn,1>···>Jn,n>0和当x∈注意到pn,n+1(x)=0,pn,−1(x)=0,结合,有由于=0,当x∈时,当x∈En时,δn(x)～φ(x),和于是当x∈En时,结合(2.11)和(2.12)式,证明了(2.9)式.下面证明(2.10)式. 由于Sn,α(1,x)=1,显然f(x)S′n,α(1,x)=0.当f∈Wλ时,有于是由(2.6)式,可得注意到pn,−1(x)=0,当时,这里对于K1,有(当x=0时,K1=0),另一方面,如果有|t−x|≤1,(1−x)n−1≤n1−n,K2≤C,于是K1+K2≤C.类似地,当x∈时,I2≤C.下面考虑I1,当x∈时,当x∈时,对于x∈En,δn(x)～φ(x),显然对于x∈En(2.14)式的推导过程也是适用的,I1≤C.于是当x∈En时,有由(2.15)和(2.16),(2.10)式成立.这样引理2.3得证.引理2.4当0时,不等式证明对于(2.17),利用H¨older不等式只需证明:借用(2.5)式的推导过程易得上面的不等式.结合(2.18)式成立.这一部分将对定理1进行证明.对于(1.2)⇒(1.1)式,由引理2.1,再由文献[1]中的(3.1.5)得到,于是(1.1)式成立.另一方面,利用引理2.3和引理2.4并借助文献[9]中定理1关于“⇒”的方法就可以证明(1.1)⇒(1.2)式,这里不再叙述细节.【相关文献】[1]Ditzian Z,Totik V.Moduli of Smoothness[M].New York:Springer-Verlag,1987.[2]程丽.Bernstein-Kantorovich算子线性组合同时逼近的正逆定理[J].纯粹数学与应用数学,2011,27(1):56-62.[3]Cao J D.A Generalization of the Bernstein polynomials[J].J.Math.Anal.andAppl.,1997,209:140-146.[4]Chang G Z.Generalized Bernstein-B´ezier polynomial[J]put.Math.,1983,1(4):322-327.[5]Liu Z X.Approximation of continuous by the generalized Bernstein-B´ezier polynomials[J].Approx.Theory Appl.,1986,4(2):105-130.[6]Zeng X M,Piriou A.On the rate of convergence of two Bernstein-B´ezier type operators for bounded variation functions[J].J.Approx.Theory,1998,95:369-387.[7]Guo S S,Qi Q L,Liu G F.The central approximation theorem for Baskakov-B´ezier operators[J].J.Approx Theory,2007,147:112-124.[8]刘国芬.Bernstein-Sikkema-B´ezier算子的点态逼近[J].数学的实践与认识,2013,43(1):199-204.[9]Guo S S,Liu L X,Qi Q L.Pointwise estimate for linear combinations of Bernstein-Kantorovich operators[J]. J.Math.Anal.Appl.,2002,265:135-147.。
Bernstein-Kantorovich算子在Orlicz空间内的逼近
１ ａ ｏ ＞ 口 广１ Ｊ －１
Ｉ ｌ ｎ （ ＋ Ｉ Ｍ（ｕｚ ）ｚ ． ｆＩ Ｍ：ｉｆ １ ａ （）ｄ ） ２ ‘
摘
要 ： 造 了 一类 新 型 的 Ｂ ｒｓｅ － ａ ｔｒｖｅ 子 ， 过 Ｋ一 泛 函 与 光 滑 模 的等 价 性 ， 究 该 算 子 在 构 ｅｎ ｔｉ Ｋ ｎｏｏｉ ｎ ｈ算 通 研
Ｏｒｅ 空 间 内 的逼 近 问 题 ， 到 了逼 近 阶 的两 种 估 计 ． ｌｚ ｉ 得
关 键 词 ：Ｋ ｎｏｏ ｉｈ型 的算 子 ；Ｏｒｃ 空 间 ； 近 ａ ｔｒｖｃ ｌｚ ｉ 逼 中 图分 类 号 ：Ｏ １４ ４ ７ ． １ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文章 编 号 ：１０ — ７ ５２ １） ６ Ｏ ６一 ４ ０ １ ８ ３ （Ｏ ＯＯ 一 ５ ９ Ｏ
・
５Ｏ ・ ７
内 蒙古 师 范 大学 学 报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
第３ Байду номын сангаас卷
兵 中 Ｗ Ｌ １ １ ） （一 ，Ｊ 吖为 Ｌ Ｌ １ １ 一 ， Ｊ的 Ｓ ｂ ｌｖ至 Ｉ 即 ｏ ｏｅ 司，
Ｗ ［ １ １ ） （一 ，］ Ｍ一（ ∈ Ｌ矗： 厂 厂Ｈ ∈ Ａｃ［ １ １ ， ∽ ∈ Ｌ磊 一 １ １ ） 一 ，］ ｆ ［ ，］ ． 为方 便起见 ， 本文 总假定 Ｃ为一个 正常数 且在 不同处 可 以表示不 同的值．
文 中用 Ｍ（ ）和 Ｎ（ 表示互 余 的 Ｎ 函数 ， 于 Ｎ 函数 的定 义可参 考 文献 Ｅ ］ 由 Ｎ 函数 Ｍ （ ） “ ） 关 ２． 生成 的
一种推广的Baskakov-Kantorovich算子在Orlicz空间内的逼近性质
１ ９ ５ ７年 Ｂ ａ ｓ ｋ ａ ｋ ｏ ｖ 在文献 ［ ６ ］ 中首次提 出 Ｂ ａ ｓ ｋ ａ ｋ ｏ ｖ 算子 ： ： ｃ Ｅ ｏ ， ∞］ － － ， ｃ ［ ０ ， Ａ ］ ，
Ｖｏ １ ． ３６ Ｎｏ． ４
Ｊ ｕ １ ． ２ ０ １ ５
一
种推广的 Ｂ ａ ｓ ｋ ａ ｋ ｏ ｖ—Ｋ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ ｏ ｖ ｉ ｃ ｈ算 子在 Ｏ ｒ ｌ ｉ ｃ ｚ 空 间 内 的 逼 近 性 质
张思丽 ， 吴嘎 日迪
（ 内蒙古师范大学数 学科学学院 ， 呼和浩特 ０ １ ０ ０ ２ ２ ）
中图分类号 ： ０ １ ７ ４ ． ４ １ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ９—３ ５ ７ ５ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ４— ０ １ ６ ０— ４ ０
ＳＯＭ Ｅ ＰＲＯＰＥＲＴｌ Ｅ Ｓ ＯＦ ＡＰＰＲＯＸｌ ＭＡＴｌ ＯＮ Ｆ ＯＲ ＧＥ ＮＥＲＡＬ ｌ ＺＥＤ
ｏ ｎ ｅ ａ ｎ ｄ ｔ ｗｏ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ｉ ｎ Ｏ ｒ ｌ ｉ ｃ ｚ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ． Ｕｎ ｄ ｅ ｒ ｔ ｈ ｅ ｍｏ ｄ ｕ ｌ ｅ ｓ ｏ ｆ ｓ ｍｏ ｏ ｔ ｈ ｎ ｅ ｓ ｓ， ｔ ｈ ｅ ｇ ｒ ｅ ａ ｔ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｈａ ｒ ｄ ｙ—Ｌ ｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｗ ｏ ｏ ｄ ，ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｘ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｎ
一类Kantorovich型算子在Lp空间的逼近
足 理 １的 证 明 首 先 把
（ ｚ） 成 奇 异 积 分 ， 写
Ｐ （ （ｌ￡￡ ｆ （ ＋ ）ｋ ） ＋ ｄ
（ ） 舢￡ 一
Ｌ （ ，）一 Ｉ （， ｆ ｔｄ， ， ｔ （ ｔ Ｋ ） ）
Ｋ （ ￡可测 ， ， ） 若
１Ｉｌ （， ｌｔ ） ≤Ｍ， ∈［， ， ｅ， Ｋ ）ｄ 口６ ａ ＿ ］Ｉ Ｉｌ （， ｌｘ Ｍ， ｔ 口６， ｅ， ≤ Ｋ ）ｄ ∈［， ａ ＿ ］．
一
为 （ 的 Ｂ ｍｓ ｉ 项式 ， 中 Ｐ （ ） ） ｅ ｔ ｎ多 ｅ 其 一
（ 一 １
Ｉ Ｉｆ ） ｌ 一（Ｉ ｆ ｌ ｌ ，
定 义 Ｋ 泛 函 和积分 光 滑模分 别 为
） ． 一 关于 Ｂ ｍｓ ｉ ｅ ｔ ｎ多项式的逼近性质 已经有 许多研 ｅ 究成果。 讨论对 空 间的逼 近时 ， 们对 Ｂ ｒｓ ｉ 在 人 ｅｎｔ ｎ ｅ 多项式作了如下变形 （ 即著名的 Ｋ ｎｏｏｉ ａ ｔｒｖ ｈ算子） ｃ ：
Ｉ（一ｌ （ ） ∈ ， ｆ≤ ， Ｎ Ｐ） ｌ ： 去
式 中 Ｍ 不依 赖 于 的常 数． 是 本 文 出现 的常数 Ｍ 在不 同的 地方取 值 不 同。
１ 引 理
引 理 １ ］ 设 ｆ ｐ １ ， ［ ｅＬ （ ≥ ）
Ｐ（ 一 ， ）
式 中 （ 是 通常意义 下 的连续 模． ，） 文献 ［ ｌ 论 了 ｅ讨 （ ） 不连续 函数 的逼近 ， 给 出了逼 近 阶的估 ， 对 并 计。 但至今 尚未 见到该算子 的任何 积分 型变形 算子 在 Ｌ 空 间逼 近 的结 果． 讨 论 Ｌ 在 空 间 的逼 近 时 ， 自然 考虑 （ 的如 下 Ｋａｔｒｖｃ ，） ｎｏｏ ｉ ｈ变形 ：
Stancu - Kantorovich算子的L3M逼近阶X
Stancu-K antorovich算子的L3M逼近阶Ξ伍火熊(湖南郴州师范高等专科学校数学系,湖南郴州423000)摘 要:在Orlicz空间L3M中研究了Stancu-K antorovich算子的有界性及其逼近问题,得到逼近阶的两种估计。
关键词:Stancu-K antorovich算子;Orlicz空间;逼近中图分类号:O174141 文献标识码:A, 文章编号:1005-1287(2000)03-0034-05 1 引言有关N函数及Orlicz空间的概念见[1]。
设M(u)为N函数,L3M[0,1]为由M(u)而成的[0,1]上的Orlicz空间。
N函数被称为满足Δ2条件(简记作M(u)∈Δ2)是指:存在常数K,u>0使u0≥0时,M(2u)≤K M(u)。
由文[2]知M(u)∈Δ2时,L3M[0,1]是可分的。
对于f(x)∈L3M[0,1]和t>0,我们定义f(x)的∧阶,二阶积分光滑模分别为: ω1(f,t)M=sup0≤h≤t‖f(x+h)-f(x)‖M, ω2(f,t)M=sup0≤h≤t‖f(x+h)+f(x-h)-2f(x)‖M1所谓Stancu-K antorovich算子是指: Kn1s(f,x)=Σnk=0q n,k,s(x)(n+1)∫I k f(u)d u其中x∈[0,1],Ik=[kn+1,k+1n+1],0≤s<n2是整数,q n,k,s(X)=(n-sk)x k(1-x)n-s-k+1, 0≤k<s;(n-sk)x k(1-x)n-s-k+1+(n-sk-s)x k-s+1(1-x)n-k, s≤k≤n-s;(n-sk)x k-s+1(1+x)n-k, n-s<k≤n1当s=0与s=1时,便是熟知的Bernstein-K antorovich算子,对于此特殊情形,盛在文[3] 43第21卷第3期2000年5月湘潭师范学院学报Journal of X iangtan Normal UniversityVol121No13May12000Ξ收稿日期:1999-11-03作者简介:伍火熊(1964-),男,湖南永兴人,硕士,副教授.中讨论了它在Orlicz 空间中的逼近问题,获得了有关逼近正定理与饱和性定理。
推广的Stancu—Kantorovich型算子在Orlicz空间的逼近阶
・
收 稿 日期 －０ ７—１ — ６ ＇ ０ ２ １ ０
作 者 简 介 ： 少 卿 （９１ ， ， 南 内 乡 人 ， 大 学数 学 计 算 机 学 院 ２０ 基 础 数 学 研 究生 ， 究方 向 ： 杨 １ 一）男 河 ８ 宁夏 ０５级 研 函数 逼 近 论 ． Fra bibliotek维普资讯
Ｃ ， ＝ ｎ ｓ） （ 厂，
Ｋ，， ： ：厂） ， （
厂 （
）， ） 中Ｓ为 自 数 ， 当 Ｐ（， ｛ 一 然 列 然 ｎ 其 ｎ Ｉ ， ｝ 显
（ （ ） （： ，） ） （ｆ 篁 （ ） ）
ｓ ＝ １ （ ＝ １２ …）时 ， 厂， ）＝ Ｂ （ ， ． ｎ ，， Ｃ （ ｓ， 厂 ）
２ ４
绍兴文理学院学报 （ 自然 科 学 ）
第 ２ ７卷
ｓ ｋ ｕ ， 称 Ｊ 函数 （ ） 足 △， 件 ． Ｍ（ ） 则 ７ 、 ｒ ｕ 满 条 表示 在 区间 ［ ， ］ ０ １ 上有 Ｊ ７ ｖ函数 Ｍ（ ）生成 的 Ｏ ｌ ｚ 间 ． 于 厂∈ ・ ｒｃ 空 ｉ 对
ｌ ｒ１ Ｉ
１ 引 言 及 预 备 知 识
设 ｆ∈ Ｃ ｏ ］ｆ的 Ｂ ｒｓ ｉ 项式 为 ： 。 ， Ｃ１ ｅｎｔ ｎ多 ｅ
加） ｋ ＝
＝０
）告， ） （ １ ． 厂 ）中 （ 其 ＝ 一 一
ｋ＋ｌ
令
）＝
＋１ ）
…
这 就是 著名 的 Ｋ ｎｏｏ ｉ ａ ｔｒｖ ｈ算 子 ． Ｓａ ｃ ｃ 而 ｔ ｕ—Ｋ ｎｏｏ ｉ ｎ ａ ｔｒｖ ｈ算 子是 指 ： ｃ
本文 构造 与 Ｃ （ ， ， 相 应 的 Ｓａ ｃ ｆ ） ｔｎ ｕ—Ｋ ｎｏｏｉ ａ ｔ ｖｃ ｒ ｈ型算 子 ：
一类Kantorovich型算子列的逼近度估计
．
Ｘ［ Ｅ，
ｆ的二阶 Ｓ ｋ ｖ ｔ ｌ 平均定义为 ｅｏ
Ｊ ＇ ，
厂 ）‘ ＋ｓ ２ ＝ ｈ 嘉ｈ ｔｄ ）ｔ ｄ．
则 ＾ Ｏ １ ，且根据文献［有 ∈Ｃ ［ ，］ ８ ］
在此基础上得到了关于局部有界函数的逼近阶估计，给出了 作用于连续函数的收敛定理和关于可 微函数的逼近度估计．
文献［ 研究了 对连续函数的收敛性得到了对于连续函数厂（） 有 ｍ （ ｆ ） （） 同时 ２ ］ ， ｉ ／（ ， ＝ ， ）
收稿 日 ：２１— — 期 ０００ ２ ９６ 基金项 目： 福建省 自 然科学基金计划资助项 目 （００００２ ２１Ｊ １１）
行估计，并将 结果推 广到无穷 区间，本文拓展 了文献【Ｉ ２的工作 ． 关键词：光滑模 ；Ｓｅ ｌｖ平均 ；Ｂ ＨＫ 算子 ；逼近度 ｔｋｏ Ｂ
中图分类号： Ｏ１ ４ ７ 文献标识码 ： Ａ
Ｏｎ ｔ ｔ ｆＣｏ ｅ ｇ ｎｃ ｆａ Ｋｉ ｄ ｏ ａ ｏ ｏ ｉ ｈ Ｏｐｅ ａ ｏ ｓ ｈｅＲａ ｅｏ ｎｖ ｒ ｅ ｅｏ ｎ ｆ Ｋ ｎｔ ｒ ｖ ｃ ｒ ｔ ｒ
作者简介： 陈玲菊０９６ ，女，福建省福安市人， ７－ ） 讲师．
漳州师范学院学报 （ 自然科学版 ）
进一步得到关于二阶可微函数的逼近度估计．
２ 相关概念及结论
令 ］（ ｛ 尸。 叫 ，Ｄ ＝ ） ＝ 。
Ｉ∈１ ｝ （ ｌ 厂 ） ｍ （ Ｐ＝佃 ）
佃） ．
Ｘ 的连续模 ． 上
又设厂∈Ｃ ａ６（ ，］ ［，］［ ６上的连续函数） 口 ，对０ ＜６ ，令 ＜ｈ 一
十 ） ‘ 口 ＋ ∈［一 ， 一／ 十 ） （） ’ （ ｈ ］
一类新型Stancu-Kantorovich算子在Bα空间的逼近
（ ～（ ｚ ”ｓ 志 见 ： ） 一＜ ≤ 二 一
当 ｓ ： １时
（ｆ ｚ）即 为 通 常 的 Ｓ ａ ｃ卜 ｎ ， ｔｎ １ Ｋａ —
则称 ｆＥＢ （ ， Ｇ） 定义 为 厂在 。ｆＩ 一 的 ｆａ Ｊ 厂 ｌａ ≤ １ （ ）ａ间 ｛ ：（ ，／ ） ｌｌ Ｇ Ｂ ｉ 空 ｎ ） Ｂ
＋
Ｉ
Ｂ 空 间的 Ｓ ｂ ｌｖ 间为 ｏ ｏｅ 空
（ 一 厂
＂
∑ ‰ ｚ 厂刚 （） （ ，
０ …
“
Ｕ ＝ ｛ ｇ∈ Ｂ ，］ ｇ 绝对 连续 ， ０ １ ： ｇ ∈ Ｂ ，］ ｇ Ｏ １ ， ∈ Ｂ ［ ，］ ． 。Ｏ １）
引 进 Ｐ ｅｒ 加 权 Ｋ 泛 函 ： ｅｔｅ
，，
孙 渭 滨
（ 宁夏 大 学 数 学计 算机 学 院 ， 夏 银 川 ７ ０ ２ ） 宁 ５０ １
摘 要 ： 造 了一 类新 型 Ｓａ ｃ— ｎｏｏ ｉ 构 ｔｎ ｕＫａｔｒｖ ｈ算 子 ， ｃ 讨论 了该 算子 在 Ｂ 空 间 的逼 近 问题 ， 到 了逼 近 的 正 定 理 得
ｒ
２０ 年 １ 月 ０８ ２
Ｄｅ ．２ ８ ｃ ００
厂
口
文 章 编 号 ：２ ３ ２ ２ （ ０ ８ ０ — ３ ２０ ０ ５ — ３ ８ ２ ０ ） ４０ ０ —４
一
∑一
ｎ
一
类新型 Ｓａ ｃ— ａ ｔｒｖｃ 子在 Ｂ 空问的逼近 ｔｎ ｕＫ ｎｏｏ ｉ ｈ算 口
ｍ
第２ 卷 第 ４ ９ 期
Ｖｏ ． ９ Ｎｏ ４ １２ ．
宁 夏 大 学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｘａ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｆＮｉ ｇ ｉ ｉ ｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ Ｅ ｉｉ ） ｙ Ｓ ｏ
一类推广的Sikkema—Kantorovich算子在Orlicz空间内的逼近
Ｖｏ １ ． ４ ２ Ｎｏ ． ２
Ｍａ ｒ ．２ Ｏ１ ３
一
类 推广 的 Ｓ ｉ ｋ ｋ ｅ ｍａ — — Ｋａ ｎ ｔ ｏ ｒ ｏ ｖ ｉ ｃ ｈ 算 子 在 Ｏｒ ｌ ｉ ｃ ｚ空 间 内的逼 近
牛彤 彤 ，吴 嘎 日迪
（ 内 蒙 古 师 范 大 学 数 学科 学 学 院 ， 内蒙古 呼和浩特 ０ １ ０ ０ ２ ２ ）
．
（ － 厂 ， ￡ ） Ｍ— ｓ ｕ ｐ ｌ Ｉ 厂（ ・ ＋＾ ） 一－ 厂 （ ・ ） Ｉ Ｉ Ｍ； （ 厂 ， ≠ ） Ｍ— ｓ ｕ ｐ ｌ ｌ 厂（ ・ ＋＾ ） ＋ （ ・ 一 ） 一２ ｆ （ ・ ） Ｉ Ｉ Ｍ ．
ｃ （ 厂 ， ） 一 （ ＋ ａ ＋ １ ） ｌ ａ ｎ ＋ ｌ ｆ （ ｔ ） ｄ ｔ
¨ Ｈ＋ １
在 Ｏｒ ｌ ｉ ｃ ｚ 空 间 内 的逼 近 问 题 ， 文献 ［ ２ ］中 给 出 了推 广 的 Ｓ ｉ ｋ ｋ ｅ ｍａ — Ｋａ ｎ ｔ ｏ ｒ ｏ ｖ ｉ ｃ ｈ算 子 ， 并 研 究 了 该 算 子 的
摘
要： 利 用 光 滑模 和 Ｋ一 泛函等工 具 ， 讨论 了推广 的 Ｓ ｉ ｋ ｋ ｅ ｍａ — Ｋ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ ｏ ｖ ｉ ｃ ｈ算 子 在 Ｏｒ ｌ ｉ ｅ ｚ 空 间 中 的 逼 近 问
题， 得 到 了逼 近 阶 的两 种 估 计 ．
关键词 ： Ｓ ｉ ｋ ｋ ｅ ｍａ － Ｋａ ｎ ｔ ｏ ｒ ｏ ｖ ｉ ｃ ｈ算 子 ；Ｏｒ ｌ ｉ ｃ ｚ 空 间 ；逼 近 中图 分 类 号 ： ０ １ ７ ４ ． ４ １ 文献 标 志码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ １ — ８ ７ ３ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ １ ２ ７ — ０ ５
Bernstein-Kantorovich算子线性组合同时逼近的等价定理
Ｚｈ ｊ ｎ ｉｅ ｓｔ （ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ） ０ ０， ７ ５ ： ９ — ４ ６ ｅｉ ｇ Ｕｎｖ ｒ ｉ Ｓ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ，２ １ ３ （ ） ４ ３ ａ ｙ ｉ ９
Ａｂｓｒ ｃ ：Ｔ ｈ ｑｕ ｖ ｌ ｎ ｈ ｏｒ ｍ ｓ ａ ｅ ｇ ｖ ｎ ｏ ｉ ｕｌａｎ ｏｕ ｐｐｒ ｉ ａ ｉ ｏｒｔ ｏ ｂｉ ｔｏ ｒ ｔ ｉ — ｎ— ｔａ ｔ ｅ ｅ ｉ ａ ｅ ｔｔ ｅ ｅ ｒ ｉ ｅ ｎ ｓｍ ｔ ｅ ｓ ａ ｏｘｍ ｔｏｎ ｆ ｈｅ ｃ ｍ ｎａ ｉ ｎｓｏｆＢｅ ｎｓｅ ｎ Ｋａ
ｒ阶 Ｄ ｔｉｎＴ ｔ ｉ ａ — ｏ ｉ 滑 模 定 义 为 ｚ ｋ光
１ 引 言 及 结 果
设 ∈ ｃ ｏ １ ， ｅｎ ｔｉ— ｎｏｏ ｉｈ算 子 定 ［ ，］ Ｂ ｒ ｓｅｎＫａ ｔｒ ｖｃ
义 为
ｎ ±
（ ，） ｓ ｐ 厂 一 ｕ
Ｏ ＾ ｆ － （／ ） ｐ （ Ｅ ［ ，］ ＜ ≤ － ｒ ２ ＾ ＾ ） Ｏ １ ａ
ｉ ｌ ｏ ｉ ｅｓ ｉａｔ ｄ Ｓ ａ ｓ ｎｖ ｔｇ ｅ ．
Ｋ ｅ ｏ ｄｓ：ｓｍ ｕｌａ ｏｕｓａ ｙＷ ｒ ｉ ｔｎ ｐｐｒ ｉ ａ ｉ ｏｘ ｍ ｔｏｎ； ｍ ｏ ｄｕｌ ｏ ｍ ｏ ｈｎｅ ｓ； Ｂｅ ｎ ｔ ｉ — ａ ｏ ｏ ｃ ｐｅ ａ ｏｒ ｉ ｆｓ ｏｔ ｓ ｒ ｓ ｅ ｎ Ｋ ｎｔ ｒ ｖｉｈ ｏ ｒ ｔ ｓ
ＣＨＥＮＧ ｉ（ ｐａ ｔ ｎ ｆ Ｍ ａ ｈ ｍａ ｉｓ Ｌ Ｄｅ ｒｍｅ ｔ ｔｅ ｔｃ ，Ｌｉｈ ｉＵｎ ｖ ｒｉｙ，Ｌｉｈ ｉ３ ３ ０ ，Ｚ ｅ ｉｎ ｏ ｉ ｃ ｏ ｓ ｕ ｉｅ ｓｔ ｓ ｕ ２ ０ ０ ｈ ｊａ ｇＰｒ ｖｎ ｅ，Ｃｈ ｎ ） ｉａ
Ｅｑｕ ｖ ｅ ｈ ｏ ｅ ｓ ｏ ｓ ｍ ｕ ｔ ｎｅ ｕ ａ ｒ ｘ ｍ ａ ｉ ｎ ｏ ｂ ｎ ｉ ｎｓ ｏ ｒ ｔ ｉ － ｉ ａｌ ｎｔ ｔ ｅ ｒ ｍ ｎ ｉ ｌａ ｏ ｓ ｐｐ ｏ ｉ ｔｏ ｂｙ ｃ ｍ ｉ ａｔｏ ｆ Ｂｅ ｎｓ ｅ ｎ Ｋａｎｔ ｒ ｖ ｃ ｏ ｒ ｔ ｒ ｏ ｏ ｉ ｈ ｐｅ ａ ｏ ｓ Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｏｒａ ｆ
多元Kantorovich算子在Orlicz空间中的逼近逆定理
’
或与此等 价地 有
ＩＩ一 厂
Ｉ ｌ —ｉ 厂ｌ 。ｎ
Ｉ （ ） Ｉ Ｊ ｚ（ｄ ）ｚｚ 厂
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内蒙古工业大学学报 第ｚ ６卷 第 １期
Ｊ ＯＵ ＲＮＡＬ ＯＦ Ｉ ＮＮＥＲ ＯＮＧＯＬＩ Ｍ Ａ Ｕ ＮＩ Ｅ Ｉ Ｖ ＲＳ ＴＹ ０Ｆ ＴＥＣＨＮ０Ｌ０ＧＹ
Ｖｏ ． ｉ １ ２ｆ Ｎｏ １ ２ ０ ０ ７
．
文 章 编 号 ：０ １ １ ７２ ０ ） １０ ０ 一５ ｉ０ —５ ６ （０ ７ ０～ ０ ５Ｏ
理．
关 键 词 ： ｒｃ 空间； ｎ００ ｉ 算子； Ｏ ｌｚ ｉ Ｋａｔｒｖ ｈ ｃ 逼近
中图分 类号 ：７．１ 文 献标 识码 ： １４４ Ａ
１ 弓 言和 结 果 Ｊ
－ Ｋｎ ｒｉ 算 为Ｋ（， 一∑ ） ＋１ ”， ） ： ａｏ ｖｈ 子 ￣ ｔｏｃ ，） ， （ ）： （ ｄ （ ｎ ｌ
．
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６
内蒙古工业大学学报
Ｚ ０ 矩 ０７
我 们 先 引进 记 号 ： Ｘ） 毋（ 一体（ 一＾ｚ（－Ｘ） １ Ｘ） 、 ｆ１ ／ ，
， ｊＸ） 、ｚｚ ， ＜ ＿ ； 一Ｄ“ 访（ 一＾ ’ｊ１ ／ 『 Ｄ ：
蠢， 盯Ｄ Ｄ １ ； 一 ： ， ｌ Ｄ ； 示 内 ． （） １ ；一 ， ｊ ≤ Ｄ 一 ， ＜ Ｄ Ｄ（＝ Ｄ ＤＤ… 表 的 部 用 ・ ０ Ｄ ｋ 『 ） ２ 和
多元 Ｋ ｎｏｏ ｉ ａ ｔｒｖ ｈ算子在 Ｏ ｌ ｚ ｃ ｒｃ 空间中的 ｉ
Kantorovich型Shepard算子在Orlicz空间内的逼近性质
作 为一 种正 线性 插值 算子 ， ｈ ｐ ｒ 算 子 已经被应 用 于径 向基 逼近 、 Ｓ ｅ ａｄ 图像 处理 等领 域 ， 因此 Ｓ ｅ ａｄ 子 ｈ ｐｒ 算
受 到人 们 的广 泛重 视 ， 它 的研究 也不 断深 入 ． 了讨 论 在 Ｌ ［ ，］ 积 函数 空 间的逼 近性 质 ， 对 卜 为 口６ 可 文献 ［ ］ １
定理 ２ 设 厂ｚ （ ）∈ Ｌ Ｏ １ ， Ｉ （ ， ） 厂 ・ ≤ Ｃ（ ， Ｍ 其 中 ： ［ ，］ 则 『 Ｌ 厂 ・ 一 （） Ｏ 厂 ｅ） ．
￡ 一 一 ｌ ｇ ， ．一 ２， ｏ ＝ 【
Ｉ， ｎ － ｉ
＞， ２
第 ４ 卷 ０
数 （） 可 由 １还
Ｉ ｌ ｎ （ ＋ ｌ ａｚｚ ）ｘ “Ｍ—ｉｆ １ （）ｄ ） Ｉ Ｍ（ ｚ 计算， 并且存在ａ ０满足 Ｉ ｐａＩ（） ）ｄ ＞ ， Ｎ（ （ ｚ Ｉ）ｘ一１使得 ，
（） ２
ＩＩ （＋ｆ （ （ ） ） －Ｍ Ｉ一 １ 。 ｄ ． Ｍ ） ｚ
第 ４ Ｏ卷 第 ３期
２１ ０ １年 ５月
内蒙 古 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＩ ｎ ｒＭｏ ｇ ｌ ｒ ａ Ｕｎｖ ｒｉ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏ ｒ ａ ｎ ｅ ｎ ｏｉ Ｎｏ ｍ ｌ ｏ ａ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｙ ｉ
Ｉ
Ｉ
Ｉ ｆ — ｓｐ Ｉ 甜ｚ 口ｚ ｄ ｆ ＩＩ Ｍ ｕ （）（）ｘ Ｉ
，
（） １
ｒ１
的可测函数全体｛ （ ） ， 中ｐ ｖＮ） ｌ ｖｘ ）ｘ是 （ ） 于 Ｎ（） “ｚ ）其 （， 一 Ｎ（（ ）ｄ 关 ｖ 的模． 由文献 ［］可知 ， ｒｃ 范 ２ Ｏ ｌｚ ｉ
积分型拟Kantorovich算子在Bα空间的逼近
厂 ）（ １ ∑Ｃ 『 ， ＝ ＋∑（ Ｊ ， ） （ …
．
）ｐ（ ｄ ） ｕ ）
其 Ｉ ，等 且 了 ０的 性 敛及 性． 中 蒜 讨其 ，有、性近 论 ［ 界 收 逼 质 ｌ 】 中
Ｂ 间 是 由我 国 学者 丁 夏 畦 引进 的一种 十 分重 要 的 函数 空 间 ．设Ｂ ＝
ｕ ａ ｃｅ ｃ ｒｌ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ Ｓ ｉｉ ｏ
ｌ ｉ
Ｎ。 ２０ ２ ｖ ０
’ ｕ 厶ｕｕ厶
文 章 编 号 ： １ ０ －８ ３２ ０ ）４０ ３ ．４ ０ ３２ ４ （０ ２０ ．４ ９０
积 分 型 拟Ｋａｔｒｖｃ 算 子 在Ｂ 空 间 的 逼 近 ｎｏｏ ｉ ｈ
， …
广… 一 Ｅｅ ｅ空 ｝ ｍｅｓ 类 是 ｂｕ ｇ
间， ｌ １ …． ＝ ， ． 是 Ｐ ＞（ ， ２ ） ， ， ， 非负实 …） 数列，厂 ） 义在欧氏 内 界闭 （ 为定 空间 ｄ 有 集Ｇห้องสมุดไป่ตู้上的 测函 可
数・若对／∈ ，存在实数 ０使ｌ ，＝ Ｉ三 ∞ 则称ｆ Ｂ（ ， ｎ ， （ ∑口 ＜， ｆ） ） 且定义 ｅ Ｇ
收稿 日期 ： ２ ０ ．３１ ０ ２０ ．８ 作 者 简 介 ： 刘 国 军 （９ ８） 男 ， 宁 夏 大 学 数 学 与 电算 工程 系 硕 士研 究 生 １ ７ －，
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西南民族 学院学报 ・ 自然科学版
第 ２ 卷 ８
对 Ｂ ［】 ＞ ， 于 ｅ ，和ｆ ０ 定义厂 ） 一阶连 和二阶 模分 ０ １ 的 续模 连续 别为
刘 国 军
（ 宁夏 大学数 学与 电算 工程 系，银川 ７ ０ ２ ） ５０ １
摘 要： 【讨 积 型 Ｋ ｔ。ｃ 子 【 中 逼 ， 究 分型 Ｋｎ ｒ ｉ 算 Ｋ：） 子 Ｂ ［】 丈 论了 分 拟 ．。 ｖｈ 在ｃＩ 的 近阶 研 积 拟 ａ。 Ｖｈ 子 （ 算 在 ，空 】 蚰 ｒ ｉ算 ０ ｌ Ｉ ｔ。 ｃ ０ １
积分型Kantorovich不等式注记
下 ，给 出积 分 型 的 Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ不 等 式 左 边 部 分 的 一 个 加 细 ．另 外 ，在 ， 为 正 的 单 调 增 加 函 数 的 情 况 下 ，给 出 Ｋａｎ－
ｔｏｒｏｖｉｃｈ不 等 式 右 边 部 分 的 一 个 加 细．
关 键 词 积 分 型 Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｅｈ不等 式 ；凸 函数 ；单 调 增 加 函 数
Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｓ ｇｉｖｅｎ．Ａ ｒｅｆｉｎｅｍ ｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｌｅｆｔ—ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎｅｑｕａｌ—
ｉｔｙ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｆ ｉｓ ｂｏｔｈ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｃｏｎｖｅｘ ａｎｄ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｃｏｎｃａｖｅ．Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ，ａ ｒｅ— ｆｉｎｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ—－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｗｈｅｎ ｆ ｉｓ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ａｎｄ ｍｏｎｏ——
Ｅ２３分 别利 用 Ｃａｕｃｈｙ－Ｓｃｈｗａｒｚ不 等式 、辅 助 函数 、定 积分 性 质 和 二 重 积 分 性 质 给 出 四 种 证 明 方 法 ．式 （１）右 边 部 分 的证 明可 见 文 ［３］．２００６年 ，乔 希 民 给 出式 （１）右边部 分 的推 广［４ ］．
若 ｆ，１Ｉｆ 均 为 ［口，６］上 正 值 的 凸 函 数 ，则 由 Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｈａｄａｍａｒｄ不等 式［６ ］有
调 增加 函 数 时 的情 形．一 个 自然 的想 法 就 是 ，如 果
证 明 对 任意 ｃ∈ ［口，ｂ７，由定 积分 对 积分 区
(p,q)-Bernstein-Schurer-Kantorovich算子的逼近性质
(p,q)-Bernstein-Schurer-Kantorovich算子的逼近性质胡晓敏;查星星;王徐炜【摘要】介绍了(p,q)-Bernstein-Schurer-Kantorovich算子,得到该算子的一些基本性质.验证了该算子的一致收敛性,并且利用连续性模、K泛函等工具来估计其逼近速度,从而进一步推广(p,q)-Bernstein-Kantorovich算子的一些结论.【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2018(038)003【总页数】5页(P88-92)【关键词】(p,q)-Bernstein-Schurer-Kantorovich算子;连续模;Lipschitz函数;K 泛函【作者】胡晓敏;查星星;王徐炜【作者单位】杭州电子科技大学数学研究所 ,浙江杭州310018;杭州电子科技大学数学研究所 ,浙江杭州310018;杭州电子科技大学数学研究所 ,浙江杭州310018【正文语种】中文0 引言算子逼近是逼近论中的一个重要组成部分，其中Bernstein算子又是算子逼近的重要分支.1912年，由Bernstein首次提出Bernstein多项式来逼近区间[0,1]上的连续函数.1965年，文献[1]推广了Bernstein算子，构造出Schurer算子，并研究了该算子的逼近性质.随着q微积分的发展，q型算子开始被大量学者关注。
2007年，文献[2]研究了q-Bernstein-Kantorovich算子；2011年，文献[3]构造出q-Bernstein-Schurer算子，并介绍其逼近性质；2015年，文献[4]构造一个新型的q-Bernstein-Schurer-Kantorovich算子并研究了其相关的逼近问题。
现今，(p,q)微分学渐渐走进行逼近论，M.Mursaleen首次提出(p,q)-Bernstein 算子,于是(p,q)型算子被大批学者青睐。
2016年，T.Acar等[5]介绍了两元(p,q)-Bernstein-Kantorovich算子及其各项逼近性质。
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ｌ ≤ ｃ ｓ ｑ 。 （ １） （ ，， ） ＾ ｌ
，
其中 ＝ｉ ｝ ｎ ， ｕ ｆ ｇ＝ｓＪ ． Ｉ
定理 ２ 在定理 １ 的条件下， ｆ ｘ ∈ Ｂ ［ ，］ 对 （） ａ０ １ 和充分大的 有
Ｉ ＿ ≤ （ （Ｉ ，１ ｒ Ｋ 卜 （ ｃ 咖） 川 ＋ ． ，） ）
证 明 ｉ 、ｉ ，ｉ ） ｉ） ｉ）即为文 ［ ］ ｉ １ 中的引理 ２ 而 ｉ 是 正线性算 子 Ｓｈ ａｚ 等式 的直接结 果 引理 １ ， ｖ） ｃｗ ｒ不 得
证．
引理 ２５ 在定理 １ ［ ］ 的条件下 ， ， ） 对 （ ∈Ｂ ［ ，］作 ， Ｉ 的 Ｈ ｒｙ ｉｌ ｏｄ ａ０ １ ， （ ） ｒ ａｄ－ ｔｅ ｏ 极大函数 Ｌ ｔｗ
空 间中的逼近 问题 ， 到 了关 于一 、 阶连 续模 的 两种 逼近阶 ． 得 二 关 键词 ： Ｋ ｎｏｏｌ 拟 ａ ｔｒｖｃ 子 ；ａ 间 ； 续模 ； ｈ算 Ｂ空 连 逼近 中闰分 类号 ： １４４ ０ ７ ．１ 文献标 识码 ： Ａ 文章编 号 ：００—１６ （０ ２０ — ０ ５ ５ １０ ５ ５２０ ）１ ０ ０ —０
， — １ ÷１’ 女 ［ ＋） （＋） －ｌ ｒ （ ， ’ Ｊ
＝
Ｐ＝： － （ 一 （
定 义 设 Ｂ ＝ ｊ
，
．
ｋ７＾ ！一） （ １
，…
．
关于这一算子在 Ｌ 空间与 Ｏ ｌｚ ｒｃ 空间中的逼近问题 ， ｉ 已作了大量工作【－ 本文在 ｍ ，］ ［ ］ ， Ｅ ｉ 空间中研 ０ 究了该算子列的逼近 问题 Ｂ ［，］ ａ０ １ 是由我国学者丁夏畦等引进的一种新的函数空间ｌ ． ３ 一
Ｖ０ ． ２ Ｎ０． １２ １ Ｍ ａ．ｏ ２ Ｔ２ ０
积分 型 拟 Ｋ ｎｏｏ ｉ ａ ｔｒｖｃ 子 在 Ｂ 空 间 的逼 近 阶 ｈ算 ａ
赵 坤
（ 郴州 师范高等专科学校 数学系 ， 湖南 郴州 ４３ ０ ） ２０ ０
摘
要 ： 助 Ｈａ — ｉ ｌ ｏ ｄ极 大函数 估计 ， 借 ＺｙＬｔ ｅ ｏ ｔｗ 以连续模 为工 具讨 论 了积 分 型 拟 Ｋ ｎｏｏ ｉ ａ ｔｒｖｃ ｈ算子 在 Ｂ ａ
收稿 日期 ： ． １—０ ０ ２０ ０ ５ ８
作者简介 ： 赵 坤（ ９２ ）男 ， １６ ， 瑶族 瑚 南郴州 人 ， 州师范专科学校 副教授 ． 郴 主要从事逼近论等 方面的研究
｛ห้องสมุดไป่ตู้鲑 ， 蕊 辅醚 替 缸 一 ．
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６・
２ 若 干 引理
引理 １ 对 于正 线性 算于 Ｋ 有
Ｉ Ｋ （１ ，） ， ） （ ＝１ １
ｌ） （ （￡ ）， ≤ ， ｉ Ｋ： （ 一 ） ｌ
Ｉ Ｉ ３ — ）≤ ， Ｉ （ （ ， Ｉ ）Ｋ ｔ
ｉ） （ ￡ ，） ［ （￡ ）， ） ｖＫ ｆ 一ｚ Ｉ ≤ Ｋ （ 一ｒ ］
・
河北大学学报 （ 自然科学版）
２ ０ 住 ０２
对 于 ， ）∈ Ｂ ［ ，］和 ｆ＞ ０ 定 义 ， ） （ ａ０ １ ， （ 的一 阶连续模 和 二 阶连续模 分别 为
ｍ１ ｒ ）＝ 。 ｕｐ ＿ｒ （， ｓ １（
．
ｈ）一厂 ）【 ａ （ 【 ， Ｂ
，
￣ （ ） ２ｆ， ｔ
０ ｓ ｆ（ ＝ ＵＨ Ｐ ＜
ｘ
＋
ｈ
ｆ ， （ Ｃ ａ １ ｏ 是 个 负 数 如 。 ∈ｚ， ｛ ∞， ０ ｎｌｆ＞１ｃ ＞ｏ则对于， ）－Ｂ［，： 一 非 实 列，果１ ∈ 且Ｐ ：ｉ Ｐｌ ， ｊ
＆
和充分 大 的 ， 有常数 Ｃ ＞ Ｏ 使得 ， ｌ （ ； ｌ ｔ 厂 Ｋ
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第２卷 ２
２０ ０ ２年
第１ 期
３月
河北大 学学报（ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｍｌ ｆ ｂｉ ｎｖ ｒｉ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｎ ｅ Ｕ ｉ ｓ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃｅ ｅＥ ｉｏ ） ｏ Ｈｅ ｅ ｔ ｎ ｉ
１ 主 要 结果
拟 Ｋ ｎｏｏ ｉ ａ ｔｒｒ ｈ算 于 是 指 ｃ
Ｋ （（，） ｎ １ ∑ｃ ，ｕｄ） （） ） ＝（ ＋ ） ， ∑（ ： Ｉ （） Ｐ ｕ吐
一
０
ｉ Ｉ
ｆ Ｈ—
ｉ
其 中
ｃ ＝
是以 为指数 的 Ｃ ｔｓ ｏｅ 数
ｃ 州 卜 ，
，
在本文 中 总假定 ｎ＞ ０ ｃ（ ， ， ） 示 仅 与 括 号 中的字母 有关 的常数 ， 为了方便起 ， 一常数符 ， 且 Ｊ 力使 ｌ 一吊戳付 在 本 文 中 总假定 ｎ ＞０ （ ｓ ｑ … 表示仅 与括 Ｉ 号 Ｃ在不 同处 可 以表 示不 同的正 数 ， 文 中的主要 结果是 ： 本 是一 串 Ｌ ｂｓｕ 类 ， １ｚ １２ … ） ＝ ｛ 【＆ ， ， ｅｅｇｅ Ｐ ＞ （ ： ，， ｍ Ⅱ ・２… ｄ ｔ 定理 １ 设 Ｂ ＝ ｐ ， ， ， Ｌ Ｌ … Ｌ
Ｌ ， Ｌ …
｝ 是一 串
‘
类 ，ｌ＞ １ ： １２ … ）口 ＝ ｛ ｌ口 ， ｎ， ｝ Ｐ （ ，， ， Ⅱ ，２ …，，…
是一 个非 负实数 列 ， 如果对 于 ｆ（ ）∈ ｎＬ 存在 实数 。＞ ０使 ｚ ，
ｌｆ 。 ＝∑ ｎ （，）
则称 ｆ ｘ）∈ Ｂ ， （ ａ且定 义
＜ｏ， ｏ
ｌ Ｂ ＝ ｉ Ｉ ：（ ， ） ｌ Ｉ ａ ｎ ｄ Ｉｆ ｄ ≤ ｝ 川 ｆ
为 ｆ（ 在 Ｂ 空 间 中的范数 ． ｘ） ａ
由文［ ］ Ｂ 空问在上述范数下成为 Ｂ ｎｈ ４知 ａ ａｃ 空间． 为方便起见 ， 只讨论 Ｂ ［，］ ａ １ 是由以 １ ０ 为周期的函数
构成 的函数 空问 的情形 对 于非 周期 情 形可按 Ｄｅ ｏ Ｖ ￣ 指 出 的方法 把 函数延拓 到 更大一 些 的 区间上 ， 后 然 利用 与周期情 形类 似 的方 法进 行讨 论 即可 ．