第五章 弯曲应力
第5章 弯曲应力
bh3 Iz 12
弯曲应力
惯性矩计算
弯曲强度
提高抗弯能力
塑性弯曲
弯曲剪应力
小结
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结束
例5-5 一T字形截面铸铁梁，已知P=3.5kN, a=0.5m, 截面尺寸及搁置方式如 图示，材料的抗拉强度b=320MPa, 抗压强度C=750MPa,取安全系数n=4, 试校核梁的强度。 解：（1）作弯矩图，求最大弯矩 梁的弯矩图如图所示，最大弯矩 为
2 I
（3）求整个截面对中性轴的惯性矩
将两矩形对z轴的惯性矩相加，得
I z I zI I zII 84 52 136cm4
弯曲应力 惯性矩计算 弯曲强度 提高抗弯能力 塑性弯曲 弯曲剪应力 小结 返回上页 结束
第 3 节 横梁弯曲时的正应力
M max ymax max Iz
• （1）矩形截面
I P 2dA ( y 2 z 2 )dA y 2dA z 2dA I z I y
A A A A
y 2 2 I z y dA h y bdy b 2 3 A
h 2
h 3 2 h 2
bh3 12
I P 2I z 2I y
每个横截面上的最大正应力
都等于材料的许用应力值，称为
hb3 Iy 12
（2）圆形与圆环截面 D 4 2 I p dA 32 A
弯曲应力 惯性矩计算 弯曲强度 提高抗弯能力
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
材料力学-第五章-弯曲应力
弯曲正应力强度条件的应用：
max
M max WZ
1、强度校核
M max
WZ
2、梁的截面尺寸设计
M max
WZ
3、确定许可载荷
Mmax WZ
例1 已知：F=10KN，a=1.2m F
3F
F
b
[σ]=10MPa，h/b=2
试：选择梁的截面尺寸。 解： 由对称性，可得：
故： b 121.6mm h 2b 243.2mm
选取截面为： 125 250 mm 2
例2 已知：l=1.2m[σ]=170MPa，
18号工字钢，不计自重。
F
A
求：F的最大许可值。
解： 作弯矩图，由图可得：
M
| M |max Fl 1.2F N m
查附录A表4，
Wz 185103 mm3 1.85104
的变形：
变形前： bb oo d x
变形后： oo d d x
b'b' ( y)d
bb的线应变为
( y)d d d
即： y
由实验观察，横截面变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直，γ=0
2、物理关系
由假设（2）知，各纵向纤维
（3）矩形横截面上宽下窄。
二、两个假设
（1）平面假设
（2）单向受力假设： 纵向纤维间互不挤压， 即单向拉压。
Fa
D
B
z y
z y
三、理论分析
从以下三方面来分析：
1、变形几何关系
中性层：梁中纤维即不 伸长也不缩短的那层。
中性轴：中性层与横截 面的交线。
第5章 弯曲应力分析
中
来的横截面仍为平面,只是绕中
z性
性轴转动,且距中性轴等高处变
轴
形相等。
⑶ 几何方程
y(对称轴)
纵向纤维AB的纵向线应变
O
（
（（
A1B1 AB A1B1（ O1O2
AB
O1O2
(ρ y)dθ ρdθ y
ρdθ
ρ
ac
d
O1
O2 O1 O2 x
A
y B
A1
B1
bd y
— 纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
中性层是梁内一层既不 伸长也不缩短,不受拉应力和 压应力的纤维层。中性层与 横截面的交线为中性轴。
Northeastern University
纵向对称面 中 性 轴
中性层
ac
bd
M ac
M
bd
PAG 6
§5-2 纯弯曲时的正应力
Northeastern University
⑵ 平面假设:梁弯曲变形后,原
Aρ
z
σdA
x
σdA
y
E y2dA
ρA
Iz
y2dA
A
—
横截面对中性轴的惯性矩
EIz M 中性层的曲率 1 M z
ρ
ρ E—Iz 梁的弯曲刚度
PAG 12
§5-2 纯弯曲时的正应力
Northeastern University
等直梁纯弯曲时横截 面上任一点的正应力
σ Ey M z y
y
yC
x dA
a r
bC y
xC
x
典型应用：求组合截面的惯性矩
Ix ( Ii )x ( Ixci ai2 Ai )
材料力学第五章 弯曲应力-正式
4.静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
Mz
z
内力与外力相平衡可得
O
y
dA
x σdA
FN
FN A dFN AσdA 0
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσ dA 0 （2）
dFN σ d A
d M y z dA
29
S * y1dA
* z A
z
h/2
y
FS S FS h ( y2 ) I zb 2 I z 4
* z
b h 2 y1bdy1 ( y ) 2 4
2
2
y1
y A1
O B1 A
x
d y1
m1
B
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
明，当
l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。 横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、
离中性轴最远处：
σ max
M max ymax M max Iz W Iz W ymax
17
其中，抗弯截面系数为:
二、强度条件
x
m
n dx
m’
z
m
y
n x
B
z x
B1 A B y
h
O
A1 B1 A
FN1
ḿ
FN2
m’
y
m
第五章弯曲应力
★
的材料（例铸铁），宜采用截面不对称于中性轴。
z
z
2.变截面梁与等强度梁
等截面梁：Wz = 常数，
等强度梁是一种变截面梁，即各截面上的最大正应力都相 等，且等于许用应力：
3. 梁的合理受力 ① 合理布置载荷
P
Wz = 常数，降低 P
（＋）
（＋）
P
（＋）
q＝P/l
（＋）
（＋）
② 合理布置支座位置
型钢的Iz 和Wz 可查型钢表。
B
y
(中性轴）
z
q=60kN/m
【例】简支梁如图所示，
A
B 试求：梁内的最大正应力。
3m
解：画弯矩图，求最大弯矩
120
180
z
y
M
Mmax
+
x
【例】 求图示梁的最大弯曲正应力，d = 60mm。
d
z
解：
(－)
【例】 求图示梁中央截面上的最大拉应力和 最大压应力以及 G点的正应力，梁由10号槽钢制成。
x
§5–2 对称弯曲正应力
M 纵向对称面
M 一、变形及基本假设
中性层 中性轴 横向线ab变形后仍为直
线，但相对于原来的位置
aa bb
旋转了一个角度；纵向线 弯成弧线(M>0，上缩下伸 ；M<0，上伸下缩)，横向
M
M 线与变形后的纵向线仍保
aa
b
b
持垂直。 平面假设
中性层和中性轴
由梁的变形规律，可知梁内必有一层纤维既不伸长也不缩短 ，此层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。 中性轴通过截面形心且垂直于外力作用平面。
M 6kN·m
材料力学第5章弯曲应力
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
第五章 弯曲应力
第五章弯曲应力§5-1 梁弯曲正应力§5-2 惯性矩计算§5-3 梁弯曲剪应力*§5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念*§5-6 提高梁抗弯能力的措施§5-1 梁弯曲正应力一、梁弯曲时横截面上的应力分布一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。
弯矩由分布于横截面上的法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。
MσdAτdA Q当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。
二、弯曲分类P P a aAC DB ACD +−BC D+P PPa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲（横力弯曲）。
CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。
此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。
三、纯弯曲实验1.准备A BC DE F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线，且AB ∥CD 、EF ∥GH。
在梁两端对梁施加纯弯矩M 。
A B C D E F G H M MA BC DE F G H 2.现象•变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动，仍为直线，但二者不再平行；仍与弧线垂直。
•纵向线EF 、GH 由直线变成曲线，且EF 变短，GH 变长；•曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化；•横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。
3.假定•梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度，且与变形后的轴线垂直。
——平截面假定。
•梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。
•中性层与横截面的交线叫中性轴。
梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。
中性层纵向对称面中性轴•梁的纵向纤维之间无挤压力作用，故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用——单向受力假设。
第五章弯曲应力
AI 20 60 1200mm2
y'I
20
60 2
50mm
AII 60 20 1200mm2
y'II
20 2
10mm
第五章弯曲应力
整个截面的形心C至z’轴 的距离为：
y'C
Ai yi A
1200 50 120010 30mm 1200 1200
(2) 求各组成部分对中性轴z的
惯性矩 设两矩形的形心轴
为z1和z2，它们对中性轴z的 距离分别为：
aI CCI 20mm, aII C性轴z的惯性矩分别为：
I zI
I z1I
a2 I
AI
20 603 12
202 1200
840103 mm4
I zII
I z2II
a2 II
AII
60 203 12
202 1200
520103 mm4
（3）求整个截面对中性轴的惯性矩为：
Iz IzI IzII 840103 520103 1360103 mm4
第五章弯曲应力
§5-3 梁弯曲时的强度计算
梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：
My
Iz
(5-3)
最大正应力位于最大弯矩所在截面上距中性轴最远的地方：
IZ1
A
y2 1
dA
IZ1
y a2dA
A
y2dA 2a ydA a2 dA
A
A
A
IZ1 Iz a2 A
同理：
I y1 I y 第b五2 章A弯曲应力
例5-2 已知一T字形截面，求其对中性轴Z的惯性矩
解：（1）确定形心和中性轴 的位置
第五章弯曲应力解析
•梁的长度比横截面度量尺寸大得多(长梁)，平截面假 定仅适应于长梁，若梁长度与横截面度量尺寸的比值 小于5，由弹性力学知，平截面假定就不适用. •平截面假定一般不适用于曲梁.
§5-2 纯弯曲时的正应力
同圆轴扭转的应力公式推导过程一样，从变形几何关系、 物理关系和静力学关系三方面考虑.
M σdA
FS τdA
当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素， 切应力则是次要因素.
➢二、弯曲分类
梁AC、BD段的横截面上既有剪 A 力又有弯矩，称为剪切弯曲.
aP
C P
Pa
D
B
CD段梁的横截面上只有弯矩 而无剪力，称为纯弯曲.
+
A
C
D −B
此处仅研究纯弯曲时梁横截面 上正应力与弯矩的关系.
FN=0
M
FN
AdA
A
E
ydA
E
A
ydA
0
zM
Ox
y
σdA
y
因 E 0 故 ydA 0
A
由中值定理知
A ydA yC .A S z
—横截面图形对z 轴的静矩.
故 yC .A 0 yC 0 —横截面图形形心坐标.
即横截面形心在z轴上，故中性轴必通过横截面形心.
My=0
M
M y
第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 惯性矩计算 §5-4 剪切弯曲时的正应力 §5-5 弯曲切应力 §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 纯弯曲
➢一、梁弯曲时横截面上的应力分布
一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时 有弯矩和剪力两个内力.弯矩由分布于横截面上的 法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组 成，故横截面上同时存在正应力和切应力.
材料力学第五章弯曲应力-正应力
1dA
y
m’ m
n
式中：S z *
A
*
y1dA
为面积A*对中性轴的静矩.
FN1 FN 2
M * Sz Iz M dM * Sz Iz
' '
z
y A1 x
dFS bdx
由平衡方程
FN1
dFS’
A
B1 B FN2
Fx 0
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题5-2
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
d1 160mm d2 130mm, a 0.267m,b 0.16m, F 62.5kN, 材料的许用应力 60MPa .
分析（1）
max
max
M
M
max
max
M max ymax M max IZ WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz
M
max
WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
z1 52 z
解：
（1）求截面形心
yc 80 20 10 120 20 80 52 mm 80 20 120 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
y
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
第五章弯曲应力
变形前 变形后
ab= dx= o1o2 = ρdθ a'b' = (ρ + y)dθ
弯曲应力/ 弯曲应力/纯弯曲时的正应力
所以纵向纤维ab的应变为 所以纵向纤维 的应变为: 的应变为
∆ ab ( ρ + y)dθ − ρdθ yd θ y = = ε= = ρdθ dx ab ρ
轴向变形规律： 轴向变形规律： 轴向变形程度的大小与到中性层的距离成正 离中性轴越远，变形越大。 比，离中性轴越远，变形越大。
一.纯弯曲正应力的分布规律 1.纯弯曲变形几何关系 1.纯弯曲变形几何关系
m
o1
o
ρ
a´ a´ b´ ´
n
o2
dx
变形后 y b
a m
n
y——任意纵向纤维至中性层的距离 任意纵向纤维至中性层的距离 任意纵向纤维至 的曲率半径， 曲率中心， ρ——中性层o1o2的曲率半径， o——曲率中心， 中性层 曲率中心 纵向纤维ab: 纵向纤维
材料力学
弯曲应力/ 弯曲应力/纯弯曲
现象二： 现象二：
M M
M
纵向纤维间距离不变 说明横截面上没有切应力。 说明横截面上没有切应力。
材料力学
弯曲应力/ 弯曲应力/纯弯曲
现象三： 现象三：
M M
M
横截面变形后仍保持为平面， 横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于 变形后的轴线，此即弯曲的平面假设。 变形后的轴线，此即弯曲的平面假设。
-F
时，横截面上既有弯矩又 有剪力（ 有剪力（ M ≠ 0, Fs ≠ 0 ）。
(+) M-图 图
材料力学
弯曲应力/ 弯曲应力/纯弯曲
二. 纯弯曲实验观察 对 比 弯 曲 前 后 梁 的 变 化
第5章 弯曲应力
等截面梁： max
M max W
(5.6)
2、计算问题类型
•强度校核
•截面设计（选择）
•确定许可载荷
3、计算步骤
•确定危险截面及其弯矩值。 （一般由弯矩图判断确定）
•确定危险点。（由正应力分布规律判断确定）
•对危险点进行强度条件计算。 • 结论
解：1）计算简图
2）作弯矩图
M B y2 IZ
(4103 N m)(120 20 52) 103 m
763(102 m)4
46.2106 Pa c
4）梁满足正应力强度条件。
第5章 弯曲应力
课程小结（十四）
课程小结（十四）
1.弯曲按内力性质分类：纯弯曲，横力弯曲。
2、工程中横力弯曲正应力计算
•对L/h＜4的深梁，一般采用弹性力学方法计算。
•对L/h＞4的细长梁，近似使用
My
Iz
（工程中的梁一般为细长梁，此公式的计算误差在工程允
许范围内）
第5章 弯曲应力 5.3 横力弯曲时的正应力
3、横截面最大弯曲正应力
max
My m aΒιβλιοθήκη x IzM WW Iz 称为抗弯截面系数。
0.11) 2
3.42kN m
M3
23.6 (0.2
0.11) 2
25.3
0.11 2
4.64kN
m
第5章 弯曲应力 5.3 横力弯曲时的正应力
4）危险点为各截面的上下缘。 5）强度条件计算
截面1—1：
1max
M1 W1
4.72103 N m
(95103 m)3
32
56106 Pa
截面2—2： 2max
材料力学第5章弯曲应力
欢迎来到材料力学第5章弯曲应力的世界！在本章中，我们将深入探讨什么是 弯曲应力，并研究其在不同形状截面中的计算方法和应用。
弯曲应力的定义和概念
什么是弯曲应力？
弯曲应力是物体受到外力作用时，在横截面上产生的力分布状态。
应变张量与应力张量
了解应变张量和应力张量的关系是理解弯曲应力的基础。
应力-应变曲线与弯曲应力
探索材料的应力-应变曲线与弯曲应力之间的关系。
弯曲应力在工程中的应用
建筑结构
了解弯曲应力在建筑结构中的应 用，如桥梁和楼梯等。
机械设计
探索弯曲应力在机械设计中的重 要性，如机械零件和工具。
航空航天工程
了解弯曲应力在航空航天工程中 的关键应用，如飞机和火箭。
梯形截面
探索梯形截面的弯曲应力计算方法。
弯曲应力的影响因素
1 外力
外力的大小和方向将直接影响到物体的弯曲应力。
2 截面形状
不同形状的截面将对弯曲应力的分布产生影响。
3 材料的力学性质
材料的弯曲应力极限和应力-应变关系是必须考虑的因素。
材料的弯曲应力极限
如何确定材料的弯曲应力极限
了解如何通过实验和模拟来确定材料的弯曲应力极限。
材料力学中的弯曲应力方程
一般弯曲应力方程
通过一般弯曲应力方程，我们可以计算出材料在弯曲时 的应力。
悬臂梁的弯曲应力
悬臂梁的弯曲应力方程与一般情况下的方程有所不同， 的弯曲应力计算方法
1
圆形截面
2
了解计算圆形截面的弯曲应力的公式和步骤。
3
矩形截面
学习如何计算矩形截面的弯曲应力。
材料力学 第5章 弯曲应力
材料力学
（三）静力学关系
FN x
dA 0
A
Mz A (dA) y M
1 Mz
EI z
由(2)(3)两式可得
… …(3)
x
M y Iz
z x
y
EIz ——抗弯刚度
...... (4)
材料力学
（四）最大正应力
… …(5)
z x
Wz
Iz ymax
——抗弯截面系数
y
z
D
z b
实心圆截面
Pa
92.6MPa
④全梁最大正应力
max
M max Wz
67.5103 6.48 104
Pa
104
.2MPa
材料力学
5.4 弯曲切应力
一、 矩形截面梁横截面上的切应力
x dx 图a
M(x) Fs(x)
Fs(x) y
x 图b
dx M(x)+d M(x)
z
t1
x
b FN1
t
y FN2 图c
1、两点假设： ①切应力与剪力平行； ②距中性轴等距离处，切应力 相等。 2、研究方法：分离体平衡。
60
103 (60 10 3 ) 5.832 10 5
Pa
61.7MPa
材料力学
1 q=60kN/m
A
B
1m
2m
1
180 30
12 z
120 y
qL2
M
8
+
M1 Mmax
x
③1-1截面上的最大正应力
Wz
Iz y
Iz h2
6.48 10 4 m3
1max
最新第五章--弯曲应力
第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。
(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2) 正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为maxmax zMy I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。
横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5lh≥时，误差2%≤。
Ⅴ、梁的正应力强度条件拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。
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第五章 弯曲应力
第一节 引言
第二节 纯弯曲时梁横截面上的正应力 第三节 梁的正应力强度条件
第四节 梁横截面上的切应力、梁的切应力强度条件 第五节 梁的合理设计 第一节 引言
梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称为弯曲正应力与弯曲切应力。
第二节 纯弯曲时梁横截面上的正应力 I 、试验与假设
中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。
中性轴：横截面与中性层的交线。
II 、弯曲正应力一般公式
σ
⇔M τ
⇔S F M
S
F
S
τ
5.横截面上正应力的画法：
6.公式适用范围：
①线弹性范围—正应力小于比例极限sp ； ②精确适用于纯弯曲梁；
③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式的误差不大，但公式中的M 应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。
σmax σmax
III 、三种典型截面对中性轴的惯性矩
1.矩形截面
2.实心圆截面
3.截面为外径D 、内径d(a=d/D)的空心圆:
例5-1 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN 作用。
试计算截面B--B 的最大弯曲
拉应力与最大弯曲压应力。
解： 1
．确定截面形心位置 选参考坐标系z ’oy 如图示，将截面分解为
2。
计算截面惯性矩
3 计算最大弯曲正应力 截面B —B 的弯矩为: 在截面B 的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：
第三节 梁的正应力强度条件
B
4
-6-66m 108.84105.081002.3×=×+×=−z I m
N 60004.0⋅=×=F M B
① 拉压强度相等材料：
②拉压强度不等材料： 根据强度条件可进行： 1、强度校核: 2、截面设计:
3、确定梁的许可荷载:
例5-2 已知16号工字钢Wz =141cm3，l =1.5m ，a =1m ，[s]=160MPa ，E =210GPa ，在梁的下边缘C 点沿轴向贴一应变片，测得C 点轴向线应变 ,求F 并校核梁正应力强度。
第四节 梁横截面上的切应力 切应力强度条件 一、矩形梁横截面上的切应力 1、公式推导：
.16
c c l l ][][max ,max ,σσσσ≤≤，][max σσ≤z W M ][max σ≤MPa 84Pa 10841040010210)1669=×=×××==−C C E εσ解：kN 4.47N 104.471014125.025.025.0)(36
=×=∴⎪⎩
⎪⎨⎧×====−=−F F W F W M F a l F M z z C C B C σQ ][MPa 126Pa 1012610141108.17m
kN 8.174
1
)266
3
max max max σσ<=×=××====−•z
W M FL M
例5-3 求图示矩形截面梁横截面上的切应力分布。
解：将
代入切应力公式
切应力t 呈图示的抛物线分布，在最边缘处为零
—平均切应力
二、工字形截面梁上的切应力
腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出： 式中：d 为腹板厚度
三、薄壁环形截面梁上的切应力
假设 ：
1、切应力沿壁厚无变化；
2、切应力方向与圆周相切
式中：A 为圆环截面面积
四、圆截面梁上的切应力 式中：A 为圆截面面积 对于等直杆，最大切应力的统一表达式为：
五、梁的切应力强度条件
与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：
1、强度校核，
2、截面设计，
3、确定梁的许可荷载 但通常用于校核。
特殊的：
1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；
2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；
3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。
需进行切应力强度计算。
例5-4 T 形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知[s]y=100MPa ，[s]L=50MPa ，[t]=40MPa ，yc=17.5mm ，Iz=18.2×104mm4。
求：1)C 左侧截面E 点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。
d I S F z z
s *
=τA F r r F b I S F s
s z z s 2223020*max =××==δδπδτδπ02r A =A F d d d F b I S F s y s z z s 34)64/(12/43*max ===πτ
第五节 梁的合理设计
一、合理配置梁的荷载和支座
二、合理选取截面形状
从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大抗弯截面系
数的截面。
在一般截面中，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比。
因此，当截面面积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。
面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形； 环形优于圆形。
同时应尽量使拉、压应力同时达到最大值。
三、合理设计梁的外形（等强度梁）
梁内不同横截面的弯矩不同。
按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均末得到充分利用。
因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁也相应设计成变截面的。
横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种理想的变截面梁。
但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际构件往往设计成近似等强的。
σmax。