启航考研概率(王式安)讲义及笔记
考研数学概率论备考重点公式与解题思路整理
考研数学概率论备考重点公式与解题思路整理概率论是考研数学中的一大重点，掌握好概率论的基本公式和解题思路对于备考考研数学非常重要。
本文将对考研数学概率论的备考重点公式和解题思路进行整理，帮助考生更好地备考概率论。
一、基本概率公式1.1 事件的概率公式对于一个随机试验，其所有样本点组成的样本空间为S，一个事件A是样本空间S的一个子集。
那么，事件A发生的概率P(A)定义为： P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A包含的样本点的个数，n(S)表示样本空间S 中所有样本点的个数。
1.2 事件的互斥与独立若两个事件A和B满足以下条件之一，则称事件A和事件B是互斥的：- 事件A和事件B不可能同时发生，即A∩B = ∅- 事件A和事件B的概率相加等于1，即P(A∪B) = P(A) + P(B)若两个事件A和B满足以下条件之一，则称事件A和事件B是独立的：- 事件A和事件B发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A∩B) = P(A) * P(B)二、常用的概率公式2.1 全概率公式对于一组互斥事件A₁，A₂，...，An，且它们的并集为样本空间S，那么对于任意一个事件B，可以得到全概率公式：P(B) = P(A₁) * P(B|A₁) + P(A₂) * P(B|A₂) + ... + P(An) * P(B|An)其中，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B|Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B发生的概率。
2.2 贝叶斯公式对于一组互斥事件A₁，A₂，...，An，且它们的并集为样本空间S，那么对于任意一个事件B，可以得到贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(Ai) * P(B|Ai) / (P(A₁) * P(B|A₁) + P(A₂) *P(B|A₂) + ... + P(An) * P(B|An))其中，P(Ai|B)表示在事件B发生的条件下事件Ai发生的概率。
概率统计知识点总结考研
概率统计知识点总结考研概率统计是数学的一个分支，它研究的是随机现象的规律性和数量关系，因此在现代世界中具有非常重要的地位。
在考研数学中，概率统计是一个重要的知识点，涉及到的内容非常丰富，包括概率基本概念与分类、条件概率、独立性、期望与方差、离散型随机变量、连续型随机变量、常用分布、大数定律和中心极限定理、参数估计与假设检验等等。
本文将就以上内容进行总结，以便广大考研学子能够更好地掌握概率统计知识。
一、概率基本概念与分类1.1 概率的基本概念概率是描述事物出现的可能性的一种数值。
在现实生活中，随机现象是普遍存在的，其结果的确定是不可预测的，因此需要用概率来描述随机现象的规律性。
概率的计算公式为P(A)=N(A)/N(S)，其中P(A)为事件A发生的概率，N(A)为事件A发生的次数，N(S)为随机试验的次数。
概率的性质包括非负性、规范性、可列可加性和互斥事件概率的加法规则等。
1.2 概率的分类根据随机试验的结果空间和概率分布的不同，概率可分为等可能概率、经典概率、几何概率、条件概率和伯努利概率等。
每种概率都具有其特定的应用场景和计算方法。
二、条件概率、独立性2.1 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
其计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)。
条件概率的计算方法在实际问题中具有重要的应用价值，如生病的概率、考试的概率等。
2.2 独立性两个事件A与B独立，是指事件A的发生与B的发生互相独立，不影响彼此。
可用P(AB)=P(A)P(B)来计算两个事件的独立性。
在实际问题中，独立事件具有较强的应用性，如掷硬币、抛骰子等。
三、期望与方差3.1 期望期望是随机变量取值的平均数，它是描述一个随机变量平均水平的数值，也被称为均值。
离散型随机变量的期望计算公式为E(X)=∑X*P(X)，连续型随机变量的期望计算公式为E(X)=∫xf(x)dx。
3.2 方差方差是随机变量取值与其期望之差的平方的数学期望，用以描述随机变量取值的离散程度。
考研数学三必背知识点：概率论与数理统计
概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、 随机事件及其概率运算律名称 表达式交换律A B B A +=+ BA AB =结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()(分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+德摩根律B A B A =+ B A AB +=2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+条件概率公式 )()()(A P AB P A B P =乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P =全概率公式∑==ni iiA B P A P B P 1)()()(贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞==1)()()()()(i ijj j j A B P A P A B P A P B A P伯努力概型公式 n k p p C k P k n kk n n ,1,0,)1()(=-=-两件事件相互独立相应公式)()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ；1)()(=+A B P A B P二、随机变量及其分布1、分布函数性质)()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤<2、 散型随机变量分布名称 分布律0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k二项分布),(p n Bn k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-泊松分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ几何分布)(p G,2,1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k超几何分布),,(n M N H),min(,,1,,)(M n l l k C C C k X P nNkn MN k M +===--3..续型随机变量分布名称密度函数 分布函数均匀分布),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(指数分布)(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ 正态分布),(2σμN+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπ ⎰∞---=xt t ex F d21)(222)(σμσπ标准正态分布)1,0(N+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ⎰∞---=xt t ex F d21)(222)(σμσπ三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 ∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j i2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布 +∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质(1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y C o v Y X C o v =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X a b C o v d bY c aX Cov =++8、常见数学分布的期望和方差分布 数学期望方差0-1分布),1(p B p)1(p p - 二行分布),(p n B np)1(p np -泊松分布)(λP λλ几何分布)(p G p1 21pp -超几何分布),,(n M N H N M n1)1(---N mN N M N M n均匀分布),(b a U 2b a + 12)(2a b - 正态分布),(2σμN μ2σ指数分布)(λEλ1 21λ五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<-2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E nX n11)(11(1)若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有： ⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b Xa P nk knk k-Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X nX 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。
考研概率统计必须掌握核心知识点
考研概率统计必须掌握核心知识点●离散分布●二项分布●E(X)=np●D(X)=np(1-p)●泊松分布●E(X)=\lambda●D(X)=\lambda●几何分布●E(X)=\frac{1}{p}●D(X)=\frac{1-p}{p^2}●超几何分布●E(X)=\frac{nM}{N}●连续分布●均匀分布●E(X)=\cfrac{b+a}{2}●D(X)=\cfrac{(b-a)^2}{12}●指数分布●E(X)=\cfrac{1}{\lambda}●D(X)=\cfrac{1}{\lambda ^2}●正态分布●E(X)=\mu●D(X)=\sigma ^2●二维●联合分布函数●边缘分布函数●条件分布函数●随机变量函数分布●公式法（绝对单调）●分布函数法●数字特征●期望的性质●E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx 绝对收敛●E(c)=c●E(cX)=cE(X)●E(X+Y)=E(X)+E(Y)●若XY独立，E(XY)=E(X)E(Y)●方差的性质●D(X)=E(X^2)-E^2(X)●D(c)=0●D(cX)=c^2D(X)●D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abCov(X,Y)●若XY独立，D(XY)=D(X)D(Y)+D(X)E^2(Y)+D(Y)E^2(X) \geqslantD(X)D(Y)●若 D(X) 存在，D(X)=E[(X-E^2(X))^2] \leqslant E((X-c)^2)●协方差●Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)●Cov(X,X)=D(X)●Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)●Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)●XY独立时，协方差=0●Cov(X,c)=0●相关系数●\rho _{x,y} =\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}●\rho _{x,y}=0 \iff Cov(X,Y)=0 ，XY不相关●规范性：| \rho _{x,y} | =1的充要条件为存在线性关系●Y=aX+b 且 a>0 ， \rho _{x,y} =1●Y=aX+b 且 a<0 ， \rho _{x,y} =-1●独立与不相关●XY独立，则一定不相关：反之，不成立●XY的联合分布是二维正态分布，XY独立的充要条件是XY不相关●XY都服从0-1分布，XY独立的充要条件是XY不相关●XY不相关 \iff Cov(X,Y)=0 \iff E(XY)=E(X)E(Y) \iff D(X\pmY)=D(X)+D(Y)●大数定律●切比雪夫不等式●P\{ | X - \mu |\geqslant \epsilon \} \leqslant\ \frac{\sigma ^2}{\epsilon^2}●P\{ | X - \mu | < \epsilon \} \leqslant\ 1-\frac{\sigma ^2}{\epsilon ^2}●伯努利大数定律n_A是n重伯努力实验中A事件的发生次数，P(A)=p●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ | \frac{n_A}{n}-p| < \epsilon \} =1●切比雪夫大数定律独立，存在期望和方差，且方差有界●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ | \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}X_k-\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}E(X_k)| < \epsilon \} =1●辛勤大数定律独立且同分布，期望存在E(X_i)=\mu●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ | \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}X_k-\mu| < \epsilon \} =1●中心极限定律●列维-林德伯格中心极限定理独立，同分布，期望方差存在●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sqrt{n} \sigma} \leqslant x \} = \phi(x)●棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为其极限分布定理）Y_n \sim B(n,p)●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ \frac{Y_n-np}{\sqrt{npq} } \leqslant x \} =\phi(x)●抽样分布●卡方分布●\chi^2 = X_1^2+X_2^2+……+X_n^2服从自由度为n●可加性：●\chi_1^2 \sim \chi^2(n_1)，\chi_2^2 \sim \chi^2(n_2)，相互独立●\chi_1^2 + \chi_2^2 \sim \chi^2(n_1+n_2)●E(\chi^2)=n，D(\chi^2)=2n●t分布●X \sim N(0,1) ，Y\sim\chi^2(n)，独立●t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}服从自由度为n的t分布●X \sim t(n)，f(x) 为偶函数●X \sim t(n) ，n充分大时，X近似服从N(0,1)●X \sim t(n)，E(X)=0，D(X)=\frac{n}{n-2}●F分布●U\sim\chi^2(m),V\sim\chi^2(n)且UV独立●F=\frac{U/m}{V/n} ，F \sim F(m,n)●X \sim F(m,n) ，\frac{1}{X} \sim F(n,m)●X\sim t(n)， X^2 \sim F(1,n)●●参数估计●点估计●矩估计法●E(X)=\overline{X}●最大似然估\sum\limits_{i=1}^{n}●写似然函数L( \theta ) = \prod\limits _{i=1}^{n}f(x_i;\theta)●取对数●求导●最大似然估计量用大写，最大似然估计值用小写●无偏性 E(\hat{\theta})= \theta●有效性 D(\theta_1)<D(\theta_2)●一致性 \lim\limits_{n \to \infty} P\{ | \hat{\theta}-\theta | \leqslant\epsilon \} = 1●区间估计●\mu构造统计量●\sigma^2 未知，Z=\cfrac {\overline{X}-\mu}{\sigma/ \sqrt{n}} \simN(0,1）●\sigma^2已知，Z=\cfrac {\overline{X}-\mu}{S/ \sqrt{n}} \sim t(n-1)@\sigma^@Z=\cfrac {\overline{X}-\mu}{S/ \sqrt{n}} \sim t(n-1)●\sigma^2构造统计量●\mu未知，\cfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)●\mu已知，\cfrac{1}{\sigma^2} \sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\sim \chi^2(n)●置信区间●假设检验●过程●提出假设H_0和备择假设H_1●构建检验统计量●写出拒绝域●双边检验●单边检验●判断●= 必须在H_0中●双正态总体均值之差的检验●\sigma_1^2,\sigma_2^2已知●Z=\cfrac{ \overline{X} -\overline{Y} }{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)●未知，但相等●t=\cfrac{ \overline{X} - \overline{Y} }{S_W\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2)●S_W=\sqrt{\cfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}。
考研概率强化讲义(全题目)资料
考研概率与数理统计第一章 随机事件和概率第一节 基本概念例题例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。
例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。
若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A ． 315个B ． 316个C ． 317个D ． 318个例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。
例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。
数学考研复习资料概率论重点公式整理
数学考研复习资料概率论重点公式整理概率论是数学考研中的重要考点之一，掌握概率论的基本概念和公式对于考生来说至关重要。
在本文中，将对数学考研概率论部分的重点公式进行整理，以便考生能够更好地复习和应对考试。
请注意，以下公式仅供参考，考生在复习过程中应结合教材和习题进行深入理解和练习。
一、基本概念在进一步讨论公式之前，首先了解一些概率论中的基本概念是必要的。
1. 事件与样本空间事件是指随机试验中可以观察到的结果，样本空间是指随机试验中所有可能结果的集合。
2. 概率的定义概率是对一个事件发生的可能性的度量，通常用一个介于0和1之间的实数表示。
3. 事件的互斥与独立互斥事件是指两个事件不能同时发生，独立事件是指两个事件的发生与否互不影响。
二、概率公式了解了基本概念后，我们来看一些重要的概率公式。
1. 加法定理加法定理用于计算两个事件的并的概率。
如果事件A和事件B是两个事件，那么它们的并的概率可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)2. 乘法定理乘法定理用于计算两个事件的交的概率。
如果事件A和事件B是两个事件，那么它们的交的概率可以表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件的概率。
如果事件A可以被划分为有限个互斥事件B₁、B₂、...，那么事件A的概率可以表示为：P(A) =P(A∩B₁) + P(A∩B₂) + ...4. 贝叶斯定理贝叶斯定理用于计算已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
如果事件A和事件B是两个事件，那么在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为：P(A|B) = (P(B|A)×P(A)) / P(B)三、重要概率分布公式除了上述基本的概率公式外，还需要掌握一些重要的概率分布公式，以便解决具体的问题。
1. 二项分布二项分布用于描述重复进行n次伯努利试验，且每次试验的结果只有两种可能的情况下，成功的次数的概率分布。
09年启航考研概率（王式安）讲义及笔记
1
第一章
第一章 随机事件与概率
1
第一章
2
第一章
3
第一章
4
第一章
5
第一章
6
第一章
7
第一章
8
第一章
9
第二章
第二章 随机变量及其分布
10
第二章
11
第二章
12
第二章
13
第二章
14
第二章
15
第二章
16
第二章
17
第二章
18
第二章
19
第二章
20
第二章
21
第三章
第三章 多维随机变量的分布
22
第三章
23
第三章
24
第三章
25
第三章
26
第三章
27
第三章
28
第三章
29
第三章
30
第三章
31
第四章
第四章 随机变量的数字特征
32
第四章
33
第四章
34
第四章
35
第四章
36
第四章
37
第四章
38
第四章
39
第四章
40
第四章
41
第四章
42
第五章
第五章 大数定律和中心极限定理
王式安概率论与数理统计讲义
不宁唯是整理
第一章 随机事件与概率.................................................................................1 第二章 随机变量及其分布...........................................................................10 第三章 多维随机变量的分布.......................................................................22 第四章 随机变量的数字特征.......................................................................32 第五章 大数定律和中心极限定理 ...............................................................43
教育与心理统计学 第三章 概率分布考研笔记-精品
第三章概率分布第一节概率一.概率的定义定义：又称或然率、几率，是表明随机事件出现可能性的客观指标。
在心理与教育研究中，大部分现象属于随机现象，随机现象中出现的各种可能结果称为随机事件，简称为事件。
在大量重复N次实验中，当N无限增大时，事件A发生的频率n/N稳定在一个确定的常数附近，我们就用这个数来表示事件发生的概率，记作P(A)O P(A)=lim(九/N) N _____________________________________________________注：概率的统计定义与频率是密切相关的。
若试验满足以下条件：①每次试验中某一事件发生的可能性不变；②试验能大量重复，且每次试验相互独立。
此时，事件A发生的概率就是事件A发生的频率的稳定值。
二.概率统计的特点在研究或试验之前，事件的成功或失败是无法知道的，故要算它成功或失败的概率，只有借助试验结果来估计其概率。
三、先验概率(即古典概率)先验概率的定义：也称古典概率，在特殊情况下直接计算的比值，是真实的概率而不是估计值。
例如投掷硬币。
若实验由n个有限的基本事件组成，且每次试验中每个基本事件出现是等可能的，有利事件A发生的次数为m,即事件的概率为：P(A)=m/n o要求试验满足以下两个条件：①每次试验中所可能出现的结果的个数是有限的。
这些结果叫做基本事件。
②每次试验中每一个基本事件的出现是等可能的，即每个基本事件发生的概率相等。
注意：当进行多次观测时，按观测结果计算的概率(后验概率)基本接近先验概率。
先验概率的特点：在事先就已经知道有关事件出现的事实，在试验或研究之前，我们就能决定事件发生的概率(直接计算的比值，是真实的概率而不是估计值，例如投掷硬币)。
四.后验概率(或统计概率)后验概率，又称统计概率，是指在对随机事件进行n次观测时，其中某一事件A出现的次数m与观测次数n的比值。
因为这种概率是由事件A出现的次数决定的,因此称为后验概率。
五、概率的基本性质1概率的如薪T(一级)(1)概率的共同性质:①必然事件发生的概率为L即P(O)=lo(概率等于1的事件并不能被断定为必然事件X②不可能事件的概率为0。
2016王式安概率论冲刺班讲义
1 { ) } } 例9 ( 设随机变量 X, 1 4 Y 的概率分布相同 , X 的概率分布为P { X =0 P X =1 = , = 3
1, 若 X >0, ì ï ï ( ) [ , ] , 例1 0 0 0 设随机变量 X ~ U -1 2 随机变量Y = í 0, 若 X = 0, ï î-1, 若 X <0, 则方差 D Y= .
æ æ 1 ö2 ö )设ξ, , ç0 ç ÷ ÷ 的 随 机 变 量, 例3 ( 是两个相互独立且 均 服 从 正 态 分 布 则随机变量 9 6 N η è è 2ø ø )= . | | ξ-η| 的数学期望 E( ξ-η|
)设两个随机变量 X, 例4 ( 且都服从均值为 0, 方差为 1 的正态分布 , 则随机 9 8 Y 相互独立 , 2 )= 变量 |X -Y | 的方差 D( . |X -Y |
例7
1, 如果考生不知道正确解法就瞎猜 , 试求 : 4 ( Ⅰ )该考生答对此选择题的概率 . ( 而不是瞎猜的概率 . Ⅱ )当考生答对了 ,
某一选择题有 4 个选项 , 已知考生知道正确解法的概率为 2 , 考生因粗心犯错的概率为 3
㊃3㊃
主要考点 : 离散型和连续型随机变量 , 分布函数 , 分布律 , 概率密度 , 常见分布 , 随机变量函数 1. 的分布 , 随机变量独立 . 典型例题分析 2. ] , ( }= 例 1 设随机变量 X 与Y 相互独立 , 且均服从 U [ 则 P{ 0, 3 m i n X, Y)<1 .
b 0. 1
( D) a = 0. 1 b = 0. 4.
㊃4㊃
2 0 1 6 冲刺讲义 )袋中有一个红球 , 例5 ( 两个黑球 , 三个白 球 , 现 有 放 回 地 从 袋 中 取 两 次, 每 次 取 一 个 球, 0 9 以 X, 黑球与白球的个数 . Y, Z 分别表示两次取球所取得的红球 , ( Ⅱ )求二维随机变量 ( X, Y)的概率分布 .
对话海文名师王式安教授
对话海文名师王式安教授——原命题组组长谈09数学概率论复习完美攻略主持人：今天我们非常荣幸的请到了海文考研名师—王式安教授。
王式安教授在1987至2001年担任全国研究生入学考试数学命题组组长，教育部考试中心资深顾问专家，长期主持研究生入学考试数学。
原北京理工大学研究生院院长、应用数学系系主任，教授，享受国务院特殊津贴的数学专家。
美国哥伦比亚、南佛罗里达、纽约等大学的客座教授。
王老师是2004年中央电视台唯一采访的考研辅导名师！首先，请王教授为我们分析一下近年数学试卷的题型及其特点。
王式安：在硕士研究生入学考试的数学统考试卷中，尽管概率统计和线性代数所占分数比例完全相同（数一均为20分；数三、数四都是25分）。
但是概率论与数理统计部分得分一般均低于线性代数部分，更远远低于它在数学试卷中占的比例。
这一方面是因为大多数考生在复习和答卷时，把概率论与数理统计放在最后，常因时间紧迫，思虑不周而造成准备不充分，进而导致答卷失误。
还有些数一的考生根据几年以前的试题分析，认为数一的概率论与数理统计的考题比数三和数四的容易，但是他们忽略了近两、三年来，这一情况已经发生了改变，比如今年概率论与数理统计的两个大题，数一的得分率远远低于数三和数四的得分率；再一方面就是概率论与数理统计自身的特点，使一部分考生在复习时难得要领，与微积分和线性代数相比，概率论与数理统计所研究的不是确定性现象，而是随机现象。
因此，在学习方法上，它不但要求学生善于运用形式逻辑，而且必须掌握较强的直观分析技巧，这也就使得考生在复习和解题时感到困难。
从近几年的硕士研究生入学数学考试阅卷结果也可以看出，这部分试题得分率普遍较低，出于对这类题目的畏惧，有些考生甚至完全放弃这部分试题。
接下来，我帮助大家简单地分析一下概率论与数理统计的试题特点：从历年的考题来看，概率论与数理统计这部分内容考查单一知识点比较少，即使是填空题和选择题。
大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力，考生要能够灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。
王式安考研概率讲义
概率统计第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。
了解：样本空间的概念理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算会计古典概率和几何型概率。
算：§ 1 随机事件与样本空间一、随机试验：E（1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果——样本点所有样本点全体——样本空间三、随机事件样本空间的子集——随机事件A B C 样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。
如果一次试验结果，某一基本事件出现——发生，出现如果组成事件A的基本事件出现一一A发生，A出现——必然事件——不可能事件§2 事件间的关系与运算．事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立•事件间的运算:并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图三•事件的文字叙述与符号表示例2从一批产品中每次一件抽取三次，用A(i 1,2,3)表示事件: “第i次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件:(1) AA2U A2A3U A1A3 ；(3)人肽血；再用A,A2,A表示下列事件:(5)都取到正品；(7)只有一件次品；(2) A i A2 A3 ；(4)A A2AL AX^U；(6)至少有一件次品；(8)取到次品不多于一件。
§ 3概率、条件概率、事件独立性、五大公式一. 公理化定义，A,P(1)P(A) 0(2)P( ) 1⑶ P(A 少2 U…P(A) P(A2)…P(A n)・’・A i A j ,i j二. 性质(1)P( ) 0(2)P(A J A U…U AnU…)P(A) P(A2)…P(A n)…AA j ,i j(3)P(A) 1 P(A)(4)A B, P(A) P(B)(5)0 P(A) 1三. 条件概率与事件独立性(1) P(A) 0,P(B A) ¥(譽，事件A发生条件下事件B发生的条件概率；(2) P(AB) P(A)P(B),事件A,B 独立，A, B独立寸A,B独立寸A,B独立寸A,B独立；P(A) 0 时，A,B 独立卫P(B A) P(B)；⑶ P (A ，A i 2, |||A k)P(A i 1)P(A 2)|||P(A k)1 i 1i2 ||| i k n相互独立两两独立。
考研概率论知识点梳理
考研概率论知识点梳理概率论是一门研究随机现象的数学分支，广泛应用于各个领域。
对于考研生而言，掌握概率论知识点是非常重要的。
本文将梳理考研概率论的一些核心知识点，帮助考研生系统地了解和掌握概率论的基础知识。
1. 概率与随机事件概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，是在满足一定的条件下，对可能出现的事件进行衡量的方式。
随机事件是指在某一试验中，能够发生或者不发生的现象或结果。
2. 概率的性质概率具有以下几个基本性质：- 非负性：概率值始终大于等于零。
- 规范性：样本空间中的所有事件的概率之和为1。
- 可列可加性：对于互斥事件，它们的概率之和等于它们的并集事件的概率。
3. 古典概型古典概型是指在一定条件下，所有随机现象的可能结果都是等可能的。
例如投掷一个均匀的六面骰子，六个面朝上的概率都是1/6。
4. 条件概率条件概率是指事件A在已知事件B发生的条件下发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5. 独立事件如果事件A的发生与事件B的发生是相互独立的，即事件A的发生不会对事件B的发生产生影响，那么称事件A与事件B是独立事件。
独立事件的概率计算公式为P(A∩B) = P(A) * P(B)。
6. 事件的运算事件的运算包括并、交、差、对立等几个基本运算方法。
并集表示事件A或者事件B发生的情况，记作A∪B；交集表示事件A和事件B同时发生的情况，记作A∩B；差集表示事件A发生而事件B不发生的情况，记作A-B；对立事件表示事件A不发生的情况，记作A的补事件。
7. 随机变量随机变量是对随机事件结果的数量化表示。
它可以是离散型随机变量，也可以是连续型随机变量。
离散型随机变量取有限或可数个数值，而连续型随机变量则可以取任意值。
8. 概率函数和密度函数对于离散型随机变量，我们使用概率函数来描述其概率分布情况；对于连续型随机变量，我们使用密度函数来描述其概率分布情况。
2024考研数学概率论重要考点总结
2024考研数学概率论重要考点总结2024考研数学考试中的概率论部分是一个非常重要的考点，对于考生来说，掌握好概率论的相关知识点是非常关键的。
下面是2024考研数学概率论重要考点的总结，希望能够帮助到考生。
一、概率基本概念：1. 随机试验、样本空间、随机事件；2. 古典概型、几何概型、随机变量概型；3. 定义域、值域、事件域；4. 频率与概率的关系。
二、概率公理与概率的性质：1. 概率公理；2. 概率的性质（非负性、规范性、可列可加性）；3. 条件概率、乘法公式；4. 全概率公式、贝叶斯公式。
三、随机变量的概念：1. 随机变量的定义；2. 离散型随机变量与连续型随机变量；3. 离散型随机变量的概率分布律、累积分布函数；4. 连续型随机变量的概率密度函数、累积分布函数；5. 随机变量的数学期望、方差、标准差。
四、常见概率分布：1. 二项分布；2. 泊松分布；3. 均匀分布；4. 正态分布。
五、多维随机变量与联合分布：1. 二维随机变量的联合分布律、联合分布函数；2. 边缘分布；3. 条件分布。
六、独立性与随机变量的函数的分布：1. 独立性的概念；2. 独立随机变量的数学期望、方差；3. 独立连续型随机变量的函数的分布；4. 独立离散型随机变量的函数的分布。
七、大数定律与中心极限定理：1. 大数定律的概念与几种形式；2. 切比雪夫不等式；3. 中心极限定理的概念；4. 利用中心极限定理进行概率近似计算。
八、随机过程：1. 随机过程的概念；2. 马尔可夫性；3. 随机过程的平稳性。
九、统计量与抽样分布：1. 统计量的概念；2. 抽样分布与大样本正态分布近似；3. 正态总体均值与方差的推断。
以上就是2024考研数学概率论部分的重要考点总结，希望对考生有所帮助。
考生要多进行习题的练习和考点的整理与总结，提高自己的概率论水平，为考试做好准备。
祝考生取得好成绩！。
王式安概率论必背积分公式 -回复
王式安概率论必背积分公式 -回复王式安概率论必背积分公式在概率论领域中具有重要的作用，它能够帮助我们更好地理解和分析各种概率事件的发生概率。
在本文中，我们将深入探讨王式安概率论必背积分公式的相关知识，并结合具体的例子来解释其应用。
通过阅读本文，读者将能够全面理解和掌握这一重要的概念。
1. 王式安概率论必背积分公式的定义王式安概率论必背积分公式是概率论中的重要公式之一，它用于计算随机变量的概率分布函数。
具体表达式如下：[ P(X x) = _{-}^{x} f(u) du ]其中，( X ) 表示随机变量，( x ) 表示特定的取值，( f(u) ) 表示随机变量的概率密度函数。
2. 理解王式安概率论必背积分公式王式安概率论必背积分公式通过积分的方式来计算随机变量小于等于某一特定取值的概率。
这样的公式能够帮助我们更好地理解随机变量的分布规律，并能够应用在诸如连续型随机变量的概率计算中。
举个简单的例子来说明，假设有一个连续型随机变量X，其概率密度函数为( f(x) = 3x^2, 0 <= x <= 1 )。
那么，当我们想要计算随机变量X小于等于0.5的概率时，可以利用王式安概率论必背积分公式进行计算。
具体来说，就是将概率密度函数带入积分公式，进行积分计算即可得到结果。
3. 王式安概率论必背积分公式的应用王式安概率论必背积分公式在概率论领域中有着广泛的应用，特别是在连续型随机变量分布函数的计算中。
通过这一公式，我们可以更准确地计算各种随机变量的概率分布，从而更好地理解和分析概率事件的发生规律。
除了在理论研究中的应用外，王式安概率论必背积分公式也在实际问题的建模和求解中发挥着重要作用。
比如在金融领域中，利用概率密度函数和分布函数来描述资产价格的波动，从而进行风险管理和投资决策。
4. 个人观点和总结王式安概率论必背积分公式作为概率论中的重要工具，对于我们理解和分析各种随机事件的发生概率具有重要意义。
2025考研概率论重点知识总结
2025考研概率论重点知识总结概率论是考研数学中的重要组成部分，对于考生来说，掌握好概率论的重点知识至关重要。
以下是对 2025 考研概率论重点知识的详细总结。
一、随机事件与概率1、随机事件及其运算随机事件的定义：在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
事件的关系：包含、相等、互斥、对立。
事件的运算：并、交、差。
2、概率的定义与性质概率的古典定义：若某试验的样本空间中样本点总数为 n，事件 A 包含的样本点个数为 m，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n。
概率的公理化定义：满足非负性、规范性、可列可加性。
概率的性质：包括0 ≤ P(A) ≤ 1、P(Ω) ＝ 1、P(∅）＝ 0、P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) P(AB) 等。
3、条件概率与乘法公式条件概率的定义：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)，其中 P(A) ＞ 0。
乘法公式：P(AB) ＝ P(A)P(B|A) ＝ P(B)P(A|B)。
4、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式：设 B1, B2,， Bn 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bi) ＞ 0 （i ＝ 1, 2,， n)，则对任意事件 A 有 P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi)。
贝叶斯公式：在全概率公式的基础上，已知事件 A 已经发生，求事件 Bi 发生的概率，即 P(Bi|A) ＝ P(Bi)P(A|Bi) ／ΣP(Bj)P(A|Bj)。
二、随机变量及其分布1、随机变量的概念定义：设随机试验的样本空间为Ω，对于Ω 中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X(ω)为随机变量。
2、离散型随机变量概率分布列：P(X ＝ xi) ＝ pi （i ＝ 1, 2,），且Σpi ＝ 1。
常见的离散型随机变量：0 1 分布、二项分布、泊松分布。
3、连续型随机变量概率密度函数：f(x)，满足f(x) ≥ 0 且∫f(x)dx ＝ 1。
考研数学《概率统计》讲义第四讲
多维随机变量之间存在一定的关 联程度，通过相关系数进行度量。
描述多维随机变量之间相关性的 矩阵，其中元素为各分量之间的 协方差。
04
数字特征与特征函数
数学期望定义及性质
数学期望的定义
对于离散型随机变量，数学期望是所有可能 取值与其对应概率的乘积之和；对于连续型 随机变量，数学期望是概率密度函数与自变 量的乘积在全体实数范围内的积分。
通过多维随机变量的联合分布，计算函数的期望和方 差。
变换后的多维随机变量分布
通过变换得到新的多维随机变量，并求其分布情况。
卷积公式
求解两个独立随机变量之和的分布情况。
独立性、相关性和协方差矩阵
01
独立性
多维随机变量中各个分量相互独 立，即一个分量的取值不影响其 他分量的取值。
相关性
02
03
协方差矩阵
考研数学《概率统计》讲义第 四讲
目
CONTENCT
录
• 概率空间与事件概率 • 一维随机变量及其分布 • 多维随机变量及其分布 • 数字特征与特征函数 • 大数定律与中心极限定理 • 参数估计与假设检验
01
概率空间与事件概率
概率空间定义及性质
概率空间定义
由样本空间、事件域和概率测度三部分构成，用于描述随机试验 所有可能结果及其概率的数学模型。
依概率收敛和依分布收敛
依概率收敛
设随机变量序列 {Xn} 和随机变量 X 分布在同一概率空间 上，如果对于任意正数 ε，都有 lim(n→∞) P(|Xn - X| ≥ ε) = 0 成立，则称 {Xn} 依概率收敛于 X。
依分布收敛
设随机变量序列 {Xn} 和随机变量 X 的分布函数分别为 Fn(x) 和 F(x)，如果对于 F(x) 的每一个连续点 x，都有 lim(n→∞) Fn(x) = F(x) 成立，则称 {Xn} 依分布收敛于 X。依分布收敛是描述随机变量序列分布函数收敛到某个 特定分布的一种弱收敛形式。
王式安概率论严选题勘误
王式安概率论严选题勘误王式安概率论严选题勘误1. 前言在概率论中，正确的题目选择对于学生的学习和理解至关重要。
然而，即使在严选题集这样的权威教辅中，偶尔也会存在错误和疏漏。
本文将对王式安概率论严选题集中发现的勘误进行全面评估，并提供一些个人观点和理解，以帮助读者更深入地理解这一主题。
2. 勘误内容在王式安概率论严选题集中，存在以下错误和疏漏：2.1 题目编号：001错误描述：题目中的概率计算公式有误。
勘误建议：正确的概率计算公式应为P(A) = (A发生的次数) / (总次数)。
请对应该题目进行相应修改。
2.2 题目编号：013错误描述：题目中的条件概率计算公式有误。
勘误建议：正确的条件概率计算公式应为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
请对应该题目进行相应修改。
2.3 题目编号：045错误描述：题目中的概率计算有误。
勘误建议：正确的概率计算应该是P(A) = (A发生的次数) / (总次数)。
请对应该题目进行相应修改。
2.4 题目编号：056错误描述：题目中的统计样本有误。
勘误建议：题目中给定的统计样本应该是一个随机样本，而不是一个完全样本。
请对应该题目进行相应修改。
3. 概念回顾在修正了以上勘误内容后，我们来回顾一下概率论中的一些重要概念。
3.1 概率的定义概率是用来描述事件发生可能性的数值。
在概率论中，我们使用概率来描述事件在随机试验中出现的可能性大小。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
3.2 条件概率条件概率是指在已知某个事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式是P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
通过条件概率，我们可以研究多个事件之间的关联性与依赖关系。
4. 个人观点和理解概率论是一门非常重要且实用的数学学科，它在现实生活中的应用非常广泛。
通过学习概率论，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生规律，从而做出合理的决策。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）
廈門大學（陳彬）。