高阶导数和高阶微分泰勒公式
微积分常用公式及运算法则
微积分常用公式及运算法则1.调和级数：调和级数为H(n)=1+1/2+1/3+...+1/n，其中n为正整数。
它是发散级数，在计算机科学和数学中都有重要应用。
2.多项式级数：多项式级数为f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...。
其中a0、a1、a2是常数系数，x是变量。
多项式级数可以直接求和，也可以使用其他方法进行求和。
3.幂级数：幂级数为f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+c3(x-a)^3+...。
其中c0、c1、c2是常数系数，a是常数。
幂级数可以表示为基于常数系数和常数a的级数。
4.泰勒级数：在微积分中，泰勒级数是一种用函数的高阶导数来逼近函数的方法。
泰勒级数可以将函数表示为一个无限级数。
5.泰勒公式：泰勒公式是泰勒级数的具体表达形式。
泰勒公式可以将函数在其中一点的值表示为该点的函数值和函数的各阶导数值的线性组合。
6.均值定理：均值定理是微积分中的重要定理，它指出在其中一区间上，连续函数的平均变化率等于该区间内其中一点的瞬时变化率。
7.拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
8.柯西中值定理：柯西中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
9.极值点：极值点是函数在其中一区间内的最大值点或最小值点。
极值点可以使用导数的符号和戴布尔不等式来判断。
10.弧长：弧长是曲线上的一段长度。
计算曲线的弧长可以使用微积分的方法，如积分的方法。
11.曲率：曲率是表示曲线弯曲程度的一个数值。
曲率可以使用导数和二阶导数计算。
12.方向角：方向角是表示曲线在其中一点的切线方向的角度。
方向角可以使用导数计算。
泰勒公式表示
泰勒公式表示泰勒公式是数学中的一个重要公式，用于近似计算函数在某一点附近的值。
它是由英国数学家布鲁克·泰勒在18世纪提出的，被广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
泰勒公式的形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)表示函数在点x处的值，而f(a)则表示函数在点a处的值。
f'(a)、f''(a)等表示函数在点a处的一阶、二阶导数等。
而(x-a)表示x与a之间的差值。
泰勒公式的核心思想是将一个函数在某一点附近的值，通过一系列无穷项的级数求和来逼近。
这个级数求和中的每一项都是函数在该点处的导数与差值的乘积，且每一项的系数是逐渐减小的。
当级数的项数足够多时，泰勒公式可以非常精确地近似计算出函数在给定点的值。
泰勒公式的应用非常广泛。
在物理学中，它常被用于近似计算复杂函数的数值解，例如在天体力学中用于计算行星的轨道。
在工程学中，泰勒公式经常用于建立数学模型，从而进行优化设计或进行系统分析。
在计算机科学中，泰勒公式被用于图形学、计算机视觉等领域，用于实现图像处理、模拟和变形等算法。
虽然泰勒公式在近似计算中非常有用，但也有其局限性。
首先，它只能在某一点附近进行近似计算，对于远离该点的值的计算不太准确。
此外，泰勒公式对函数的光滑性要求较高，对于不光滑或不可导的函数，泰勒公式的近似计算将失效。
为了提高泰勒公式的近似计算精度，可以增加级数求和的项数。
当项数足够多时，泰勒公式的近似值将趋近于函数的真实值。
此外，还可以通过使用更高阶的导数来提高近似精度。
然而，随着项数的增加和导数的阶数的增加，计算的复杂度也会相应增加。
总结起来，泰勒公式是一种非常有用的近似计算方法，可以在数学、物理、工程、计算机科学等领域中广泛应用。
通过使用泰勒公式，我们可以在给定点附近精确地计算函数的值，从而实现更加准确和高效的数值计算。
泰勒展开与泰勒公式的原理及应用
泰勒展开与泰勒公式的原理及应用在数学领域中，泰勒展开和泰勒公式是非常重要的概念。
它们不仅仅是数学的基本理论，还有广泛的应用，涉及到数学、物理、工程等各个领域。
本文将对泰勒展开和泰勒公式的原理和应用进行详细的讲解。
一、泰勒展开的原理泰勒展开是将一个函数在某点进行展开，使得该函数在该点处的函数值等于其展开式中前几项的和。
具体来说，泰勒展开的原理是利用函数的导数来逼近函数的值。
泰勒展开公式如下：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+…$其中，$f(x)$表示要展开的函数，$a$表示展开点，$f'(a)$表示$f(x)$在$a$点的一阶导数，$f''(a)$表示二阶导数，$f'''(a)$表示三阶导数，$…$表示高阶导数。
展开式总共有无限项，即展开式中包含了函数的所有导数。
如果只取展开式中的前$n$项，则可以得到如下式子：$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$这就是泰勒展开的$n$阶近似公式。
二、泰勒公式的原理泰勒公式是将一个函数在某个区间内进行展开，使得该函数在这个区间内的函数值可以用展开式中的前几项来近似表示。
具体来说，泰勒公式的原理是通过多项式逼近原函数。
泰勒公式与泰勒展开的区别在于，泰勒公式是在一个区间内进行展开，而泰勒展开一般是在某一点进行展开。
泰勒公式可以表示为：$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$其中，$f(x)$表示要展开的函数，$n$表示要展开的级数，$x_0$表示展开的中心点，$R_n(x)$表示余项，表示展开式与原函数之间的误差。
多元函数泰勒公式
的一阶偏导数为仍存在偏导数则称它们为函数的二阶偏导数连续都在点例如对三元函数u说明
4 泰勒公式与极值
高阶导数 中值定理和泰勒公式
问题
一、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的一阶偏导数为 fx ( x, y) , f y ( x, y) 仍存在偏导数，则称它们为函数 z f ( x, y) 的二阶
其中记号
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
表示 hf x ( x0 , y0 ) kf y ( x0 , y0 ),
2
h k x y
f ( x0 , y0 )
表示 h2 f x x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
f xy ( x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1
F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x0 ) (x0 x)
( y0 x) ( y0 ) ( y0 3y)y
内为一常数.
在泰勒公式(1) 中, 如果取 x0 0, y0 0 , 则(1)式成为n阶麦克劳林公式.
f ( x, y) f (0,0) x y f (0,0) x y
1 x
y
2
f (0,0)
1 x
y
n
f (0,0)
2! x y
n! x y
n1
1 x y f (x,y),
(n 1)! x y
(0 1) (5)
例 6 求函数 f ( x, y) ln(1 x y) 的三阶麦
高阶导数与泰勒公式
高阶导数与泰勒公式首先，我们来介绍高阶导数的概念。
对于函数y=f(x)，它的导数即表示函数曲线在其中一点的变化率。
一阶导数表示曲线的斜率，即切线的斜率；二阶导数表示曲线的曲率，即切线的斜率的变化率。
以此类推，高阶导数表示曲线的其中一种性质的变化率。
高阶导数的计算可以通过多次对函数进行求导得到。
设函数y=f(x)，那么它的一阶导数$f'(x)$可以表示为：$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$同样地，二阶导数$f''(x)$可以表示为：$f''(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f'(x+h) - f'(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)}{h^2}$以此类推，我们可以计算出函数的任意高阶导数。
高阶导数的应用非常广泛。
在数学中，高阶导数被用于研究函数的性质，比如凹凸性、极值点等。
在物理学中，高阶导数可以用于描述物体的运动和力学性质。
在工程学中，高阶导数可以用于优化问题的求解，比如最速降落问题等。
接下来，我们来介绍泰勒公式。
泰勒公式是一种将函数在其中一点附近展开成无穷级数的方法，它可以用于近似计算函数的值或研究函数的性质。
设函数y=f(x)，在其中一点a处有$f(a)$、$f'(a)$、$f''(a)$等高阶导数。
那么函数在点a附近的泰勒公式展开可以表示为：$f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2}{2!}f''(a) +\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a) + ...$其中，$(x-a)$表示函数在点a处的偏移量，$(x-a)^n$表示函数在点a处的$n$阶偏移量。
通常情况下，我们只考虑泰勒公式展开的有限项，即到其中一项为止。
考研泰勒公式大全
考研泰勒公式大全泰勒公式是指对于可导函数在一些点附近进行近似展开的一种方法，泰勒公式包括一阶泰勒公式、二阶泰勒公式、高阶泰勒公式等。
下面将详细介绍泰勒公式的各种形式以及应用。
1.一阶泰勒公式：一阶泰勒公式也称为线性近似公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)其中，f(x)表示可导函数在点x处的函数值，f(a)表示可导函数在点a处的函数值，f'(a)表示可导函数在点a处的导数的值。
一阶泰勒公式的应用：一阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的直线近似，特别是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过一阶泰勒公式进行近似计算。
同时，一阶泰勒公式也可以用来求函数在一些点处的导数值。
2.二阶泰勒公式：二阶泰勒公式也称为二次近似公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)^2/2!*f''(a)其中，f(x)表示可导函数在点x处的函数值，f(a)表示可导函数在点a处的函数值，f'(a)表示可导函数在点a处的导数的值，f''(a)表示可导函数在点a处的二阶导数的值。
二阶泰勒公式的应用：二阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的二次近似，尤其是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过二阶泰勒公式进行近似计算。
二阶泰勒公式还可以用来求函数在一些点处的导数值和二阶导数值。
3.高阶泰勒公式：高阶泰勒公式是指泰勒公式的更一般形式，其表达式为：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2!*f''(a)+...+(x-a)^n/n!*f^n(a)其中，n为正整数，f^n(a)表示可导函数在点a处的n阶导数，n!表示n的阶乘。
高阶泰勒公式的应用：高阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的更高阶近似，特别是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过高阶泰勒公式进行近似计算。
高阶泰勒公式还可以用来求函数在一些点处的导数值和各阶导数值。
求高阶导数的方法
求高阶导数的方法求高阶导数是微积分中的一个重要内容，它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍几种求高阶导数的方法。
一、使用公式法求高阶导数对于一个函数f(x)，它的n阶导数可以使用公式法求解。
具体来说，我们可以使用以下公式：f^(n)(x) = [f^(n-1)(x)]'其中，f^(n)(x)表示f(x)的n阶导数，f^(n-1)(x)表示f(x)的(n-1)阶导数，'表示求导符号。
通过这个公式，我们可以递归地求出f(x)的任意阶导数。
二、使用泰勒公式求高阶导数泰勒公式是一种将一个函数表示为无限阶导数的和的公式。
具体来说，对于一个函数f(x)，它在x=a处的泰勒展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)^n/n! + ...其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，f^(n)(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数。
通过这个公式，我们可以求出f(x)的任意阶导数。
三、使用微分方程求高阶导数微分方程是描述自然现象中变化规律的数学工具。
对于一个函数f(x)，它的n阶导数可以表示为一个微分方程的解。
具体来说，我们可以将f(x)的n阶导数表示为：f^(n)(x) = g(x, f(x), f'(x), ..., f^(n-1)(x))其中，g(x, f(x), f'(x), ..., f^(n-1)(x))是一个关于x和f(x)及其前n-1阶导数的函数。
通过求解这个微分方程，我们可以得到f(x)的n阶导数。
求高阶导数有多种方法，包括使用公式法、泰勒公式和微分方程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法来求解高阶导数。
考研高阶导数公式
考研高阶导数公式
摘要：
1.考研高阶导数公式的概述
2.高阶导数的求解方法
3.实例解析
4.总结
正文：
【1.考研高阶导数公式的概述】
在考研数学中，导数公式是非常重要的一部分，尤其是高阶导数公式。
高阶导数指的是函数的导数的导数，即函数的二阶导数、三阶导数等。
求解高阶导数公式对于理解函数的性质和解决实际问题有着重要的意义。
【2.高阶导数的求解方法】
求解高阶导数公式的方法主要有以下几种：
（1）莱布尼兹公式：莱布尼兹公式是求解高阶导数的基本公式，可以用来求解任意阶数的导数。
（2）求导法则：根据导数的求导法则，可以求解一些常见的高阶导数。
（3）泰勒公式：泰勒公式可以用来求解函数的任意阶导数。
【3.实例解析】
以函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 为例，我们可以求解其二阶导数和三阶导数。
（1）二阶导数：根据莱布尼兹公式，可以得到f"(x) = 3x^2 + 4x - 3，再次对f"(x) 求导，即可得到f""(x) = 6x + 4。
（2）三阶导数：对f""(x) 求导，可以得到f"""(x) = 6。
【4.总结】
高阶导数公式在考研数学中占据重要地位，理解高阶导数的求解方法，能够帮助我们更好地理解函数的性质和解决实际问题。
高阶偏导数与高阶全微分
2 f2 y2 f11 4xyf12 4x2 f22 ,
2z xy
f1
y
f11
u y
f
22
v y
2
x
fy[ xf11 2 yf12 ] 2x[ xf21 2 yf22]
f1 xyf11 2( x2 y2 ) f12 4xyf22 .
例3 设由方程 x 2 y z e x yz 确定的隐函数 为 z z(x, y), 求 2z .
2
,
x 1 x 2 y z 1 x 2 y z
z x 2 y z 2 1
1
.
y 1 x 2 y z
1 x2y z
从而
2z xy
(1
2 2 z y x2y
z)2
2( x 2 y z) (1 x 2 y z)3
.
二、高阶全微分
考虑 z f (x, y) 的全微分 dz f x( x, y)dx f y( x, y)dy
xy 解 方程 x 2 y z ex yz 两边求全微分, 得
dx 2dy dz ex yz (dx dy dz)
因此
( x 2 y z)(dx dy dz)
dz x 2 y z 1dx x 2 y z 2dy 1 x2y z 1 x2y z
由此可得
z x 2 y z 1 1
[1
2x3 y ( xy)2
]2
d2z zxxdx2 2zxydxdy zyydy2
[1
1 ( xy)2
]2
[2
xy 3dx 2
2(1
x2
y2
)dxdy
2
x3
ydy
2
].
三、二元函数的泰勒公式
泰勒公式的推导过程
泰勒公式的推导过程泰勒公式的推导过程一. 引言泰勒公式是数学分析中常用的工具，用于近似表示函数在某一点附近的取值。
该公式由英国数学家布鲁克·泰勒于18世纪提出，被广泛应用于工程、物理学以及计算科学等领域。
本文将详细介绍泰勒公式的推导过程。
二. 函数的泰勒级数展开要推导泰勒公式，首先需要了解泰勒级数展开的概念。
给定一个无穷次可导的函数f(x)，在某一点a处，泰勒级数展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...三. 一阶泰勒公式根据泰勒级数展开，我们可以得到一阶泰勒公式。
令n = 1，那么泰勒级数展开可以化简为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)这便是一阶泰勒公式，它通过函数在某一点a处的值和导数值来近似表示函数在附近的取值。
四. 多项式逼近在实际应用中，我们通常采用多项式来逼近原函数。
考虑一个多项式P(x) = c₀ + c₁(x-a) + c₂(x-a)² + ... + cₙ(x-a)ⁿ，其中c₀、c₁、c₂...cₙ为常数。
五. 零阶泰勒公式零阶泰勒公式即是函数的常数逼近。
将上述多项式逼近代入一阶泰勒公式中，我们可以将零阶泰勒公式表示为：P(x) = f(a)这意味着零阶泰勒公式是通过函数在某一点a处的值来近似表示函数在附近的取值。
六. 一般形式的泰勒公式现在，我们来推导泰勒公式的一般形式。
将多项式逼近代入泰勒级数展开，我们可以得到：P(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)² + ... + \frac{fⁿ(a)}{n!}(x-a)ⁿ进一步化简，我们可以得到：P(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{fⁿᵏ(a)}{k!}(x-a)ᵏ这个公式便是泰勒公式的一般形式，它通过函数在某一点a处的值及其高阶导数值来近似表示函数在附近的取值。
高中数学：多元函数泰勒公式
2
上连续,在 D 的
所有内点可微, 则对 D 内任意两点 P ( a , b ),
证 引入函数 显然
( t ) f ( a h t , b kt ),
( 0 t 1).
( t ) C [0, 1], 在 (0, 1)
内可微 ,由中值定理
f ( a h , b k ) f ( h , k ) (1) (0 ) ( ).
F (x , y ) f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 y ) f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) ( x 0 )
( x0 x )
( y 0 x ) ( y 0 ) ( y 0 3 y ) y
(n)
1 2!
( 0 )
(n1)
(0)
1 ( n 1 )!
( ), ( 0 1 ).
将 ( 0 ) f ( x 0 , y 0 ) , (1 ) f ( x 0 h , y 0 k ) 及 上面求得的 ( t ) 直到 n 阶导数在 t 0 的值,以及
n 2
(1 )
其中
Rn k h ( n 1 )! x y 1
n1
f ( x 0 h , y 0 k ), (2)
( 0 1 ).
证毕
公 式 (1 ) 称 为 二 元 函 数 f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 的
( x x0 )
2 0
f
(n)
( x0 )
n!
n1
( x x0 )
泰勒公式4种形式
泰勒公式4种形式泰勒公式是数学中一种重要的算法，它可以把函数的高阶导数表示为函数的低阶导数的级数展开。
它是由18世纪英国数学家威廉·泰勒提出的，被称为“泰勒公式”。
泰勒公式有四种形式，分别是中心差分法、前向差分法、后向差分法和梯形法。
中心差分法是用函数的中心差分来计算函数的高阶导数，其公式为：f^(n)(x)=1/(2h)^n*[f(x+h)-f(x-h)]+O(h^n)。
其中，h是函数值变化的步长，f(x)表示函数值，f^(n)(x)表示函数的n阶导数，O(h^n)表示一个忽略项，它随着h的增大而减小。
前向差分法是用函数的前向差分来计算函数的高阶导数，其公式为：f^(n)(x)=1/h^n*[f(x+nh)-f(x)]+O(h^n)。
其中，h是函数值变化的步长，f(x)表示函数值，f^(n)(x)表示函数的n阶导数，O(h^n)表示一个忽略项，它随着h的增大而减小。
后向差分法是用函数的后向差分来计算函数的高阶导数，其公式为：f^(n)(x)=1/h^n*[f(x)-f(x-nh)]+O(h^n)。
其中，h是函数值变化的步长，f(x)表示函数值，f^(n)(x)表示函数的n阶导数，O(h^n)表示一个忽略项，它随着h的增大而减小。
梯形法是用函数的梯形来计算函数的高阶导数，其公式为：f^(n)(x)=1/h^n*[f(x+nh)-f(x-nh)]+O(h^n)。
其中，h是函数值变化的步长，f(x)表示函数值，f^(n)(x)表示函数的n阶导数，O(h^n)表示一个忽略项，它随着h的增大而减小。
泰勒公式的运用非常广泛，在数学建模、物理学、科学计算、数值分析等领域都有着重要的作用。
它可以用来近似计算函数的高阶导数，也可以用来解决微积分中的积分问题。
由于泰勒公式的重要性，它已经成为计算机科学中最基本的一种算法。
同时，它也被广泛应用于科学研究和工程实践中，用来求解复杂的数学问题。
由此可见，泰勒公式在工程实践和科学研究中发挥着重要的作用。
泰勒公式的简单推论
泰勒公式的简单推论泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它描述了一个函数在某一点附近的邻域内的近似表达式。
具体地说，给定一个光滑函数$f(x)$ 以及一个实数 $a$，泰勒公式可以将 $f(x)$ 在点 $a$ 处展开为幂级数的形式。
泰勒公式的一般形式如下：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + cdots +frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + cdots$$其中，$f'(x)$ 表示 $f(x)$ 的一阶导数，$f''(x)$ 表示二阶导数，以此类推。
而 $f^{(n)}(x)$ 则表示 $f(x)$ 的第 $n$ 阶导数。
根据泰勒公式，我们可以推导出一些简单而有用的推论。
下面我们来看几个常用的推论：1. 近似计算：泰勒公式允许我们用一个多项式来近似表示一个函数。
当我们需要在某一点附近计算函数值时，可以使用泰勒公式展开为有限项的幂级数，并截断到合适的项数。
这样可以大大简化复杂函数的计算过程。
2. 导数的计算：泰勒公式中的每一项都是函数在某一点处的导数与 $(x-a)^n$ 的乘积。
因此，通过对泰勒公式进行求导，我们可以得到函数的各阶导数的计算公式。
这对于研究函数的性质和变化趋势非常有帮助。
3. 极值点和拐点：通过对泰勒公式进行分析，我们可以得到函数的极值点和拐点的一些性质。
例如，对于一个函数 $f(x)$，如果它在某一点 $a$ 处的一阶导数为零，并且二阶导数大于零，则该点为函数的极小值点。
如果二阶导数小于零，则该点为函数的极大值点。
而如果二阶导数为零，则需要进一步分析更高阶导数的符号来判断拐点的性质。
总之，泰勒公式是微积分中一个非常重要的工具，它在近似计算、导数计算以及研究函数性质等方面发挥着重要作用。
高阶导数和高阶微分泰勒公式
§2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。
一般地，函数)(x y y =的n 阶导数就是hx y h x y x yx yn n h n n )()(lim ])([)()1()1(0)1()(--→--+='= (0)()()y x y x =⎡⎤⎣⎦ 而n 阶微分就是n n n n n n n n x x y x x x y x x y y y d )(d ]d )([]d )(d[]d[d d )(1)(1)1(1-====--- (x 是自变量；x d 被看成与x 无关的有限量)因此，按照莱布尼茨的记法，函数)(x y y =的n 阶导数)()(x y n 也可记成nn x x y d )(d 或简记成 n n xyd d (注意．．n 的位置．．．) 这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到n 阶导数与n 阶微分的关系中.例33 因为指数函数e x 的导数(e )e x x '=，所以(e )(e )e x x x '''==. 依次类推，则有()()(e )e ,d (e )(e )d e d (1,2,)x n x n x x n n x n x x n ====L例34 对于函数x y sin =，则cos sin ,sin sin 2,222y x x y x x '⎡⎤πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''==+=+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L一般地，()sin 2n n y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()d d sin d 2n n n n n y y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭),2,1(Λ=n . 同理，对于函数cos y x =，有()cos 2n n y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()d d cos d 2n n n n n y y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭),2,1(Λ=n . 例35 对于函数ln(1)y x =+，则223112,,(1),1(1)(1)y y y x x x ''''''==-=-+++L 一般地，（n 阶导数）()1(1)!(1)(1,2,)(1)n n nn yn x --=-=+L（n 阶微分）()1(1)!d d (1)d (1,2,)(1)n n n n nnn y y x x n x --==-=+L 例36 设函数21()e (0),(0)0x f x x f -=≠=.证明：),2,1(0)0()(Λ==n f n .证 一方面，函数)(x f 在点0是连续的，因为2211001lim ()lim e lim 0(0)e u x x ux x u f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭-→→→∞=======另一方面，22221132300226lim ()lim e lim lim 3lim e 2e e u x x u u u x x u u u u u u f x x u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-→→→∞→∞→∞⎛⎫∞∞⎛⎫⎛⎫⎪'=⋅======= ⎪ ⎪⎪∞∞⎝⎭⎝⎭⎝⎭213lim02eu u u →∞==)0(f '= [点0的导数等于点0近旁导数的极限]因此，一阶导数)(x f '在点0是连续的. 一般地，当0≠x 时，2211364246()e ,()e ,x x f x f x xxx --⎛⎫'''==- ⎪⎝⎭L L容易看出，对于任何正整数n ，21()1()en x f x P x -⎛⎫= ⎪⎝⎭[其中)(u P 为关于u 的多项式] 且根据洛必达法则，(※) 2221()0()()lim ()lim ()e limlim 0e (e )u x n u u u x u u u P u P u f x P u ⎛⎫= ⎪⎝⎭-→→∞→∞→∞'∞⎛⎫======== ⎪∞'⎝⎭L L 于是，因为一阶导数)(x f '在点0是连续的，根据式(※)，所以0)(lim )0(0=''=''→x f f x 且)(x f ''在点0也是连续的.依次类推(或用数学归纳法)，可得()()0(0)lim ()0n n x f f x →==2.泰勒公式 一个n 次多项式230123()()()()()n n P x b b x a b x a b x a b x a =+-+-+-++-L中，它的系数(0,1,2,,)k b k n =L 与()P x 有什么关系呢？显然，0()b P a =；又因为21123()2()3()()n n P x b b x a b x a nb x a -'=+-+-++-L 223()232()(1)()n n P x b b x a n n b x a -''=+⋅-++--L33()32(1)(2)()n n P x b n n n b x a -'''=⋅++---LM()()(1)(2)321n n P x n n n b =--⋅⋅⋅L所以，1()b P a '=， 2()2!P a b ''=， 3()3!P a b '''=，L ， ()()!n n P a b n =因此，()23()()()()()()()()()()1!2!3!!n n P a P a P a P a P x P a x a x a x a x a n ''''''=+-+-+-++-L⑴带皮亚诺余项的泰勒公式 对于一般的函数()f x ，若它在某点a 有一阶导数()f a '(即可微分)，根据定义，则有()()()()f a x f a f a x o x '+∆-=∆+∆即()x x a ∆=-()()()()[()]f x f a f a x a o x a '=+-+-若函数()f x 在点a 有二阶导数()f a ''，令2()()(,)()()()()1!2!f a f a R a x f x f a x a x a '''⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦则有222()()()()()()(,)01!2!lim lim ()()0x a x a f a f a f x f a x a x a R a x x a x a →→'''⎡⎤-+-+-⎢⎥⎛⎫⎣⎦= ⎪--⎝⎭ [()()]()()01()()limlim ()02()02x a x a f x f a f a x a f x f a f a x a x a →→''''''----⎛⎫⎡⎤''==-= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦即2(,)[()]R a x o x a =-. 因此，22()()()()()()[()]1!2!f a f a f x f a x a x a o x a '''=+-+-+- 一般地，用相同的方法可以证明下面的结论(请你完成它的证明).泰勒定理1 若函数)(x f 在点a 有n 阶导数()()n f a ，则函数)(x f 在点a 有展开式()2()()()()()()()()[()]1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a o x a n '''=+-+-++-+-L与上面多项式的情形不同，这里多出最后的“余项”[()]n o x a -，称它为皮亚诺(G.Peano)余项.上面的展开式就称为函数()f x 在点a 带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式.需要指出，习惯上把函数()f x 在点0的泰勒公式()(0)(0)()(0)()1!!n nn f f f x f x x o x n '=++++L称为麦克劳林(Maclaurin)公式（*）.特别，根据例33、例34和例35中的高阶导数公式，则有23e 1()2!3!!nxn x x x x o x n =++++++L ，3521121sin (1)()3!5!(21)!n n n x x x x x o x n ---=-+-+-+-L ，2422cos 1(1)()2!4!(2)!nn n x x x x o x n =-+-+-+L ， 231ln(1)(1)()23nn n x x x x x o x n-+=-+-+-+L . ⑵带拉格朗日余项的泰勒公式 假若函数)(x f 在含点a 的某区间内有一阶导数()f x '，根（*）《微积分学教程》([俄]菲赫金哥尔茨著)中说, 这是没有根据的。
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式
y2z2fyy(x,y)y fy, y2zxfyx(x,y)x fy 称为 z = f (x, y)的二阶偏导数.
称fxy(x,y),fyx(x,y)为二阶混合 . 偏导
类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数.
如, 若x2z2可偏,则 导记
令 x 0 , y 0 .因 f x ,f y y 在 x ( x 0 ,y 0 ) 连 ,有 , 续
fx (y x 0 ,y 0 ) fy (x x 0 ,y 0 )
注
1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏 导的情形. 同时可推广到二元以上的函数情形.
即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即 求混合偏导与求导顺序无关).
A = ' (x0 +1x) x [ f x ( x 0 1 x , y 0 y ) f x ( x 0 1 x , y 0 ) x , ] 其,0中 11.
A [ f x ( x 0 1 x , y 0 y ) f x ( x 0 1 x , y 0 ) x ]
本题 :由 u x也 x2 a 可 ,y 积 (以 分 x为积 ),分 得u1x3axy c(y).
3 从u 而 y a x c (y ). 与 u y x y b six 比 n 较 a 1 ,b 可 0 . 得
例3. 设 w f(x y z,x)yf, zC 2 ,求 2 w .
x z
lx i0fm (x x ,y y x )f(x ,y y )
lx i0m f(x x, yx )f(x,y)
lilm i1 m 1 f(x x ,y y ) f(x ,y y )
y 0 x 0 y x
考研常用八大泰勒公式
考研常用八大泰勒公式泰勒公式是微积分中非常常用的工具，它可以帮助我们近似计算函数在某一点的值。
具体来说，泰勒公式可以将一个光滑函数表示为无穷级数的形式，通过截取其中有限项来进行计算。
有许多版本的泰勒公式，但在考研中常用的有以下八大泰勒公式。
它们分别是：常数项近似、线性近似、二次公式近似、三次公式近似、四次公式近似、五次公式近似、六次公式近似和七次公式近似。
首先是常数项近似，这是泰勒公式中最简单的形式。
它表示一个函数在某一点附近的值可以近似为函数在该点的值，也就是函数的常数项。
举个例子，如果我们要计算 sin(x) 在 x=0 附近的值，常数项近似告诉我们可以用 0 来近似计算。
接下来是线性近似，它在常数项近似的基础上增加了一阶导数的项。
这样近似计算的结果更加精确。
以 f(x)=sin(x) 为例，线性近似公式告诉我们可以用 x 来近似计算函数在 x=0 附近的值，即f(x)≈x。
在二次公式近似中，我们考虑了除了常数项和一阶导数项之外的二阶导数项。
这进一步提高了近似的准确性。
例如，在计算f(x)=sin(x) 在 x=0 附近的值时，二次公式近似告诉我们可以用 x-x^3/6 来近似计算。
类似地，三次公式近似引入了三阶导数项，四次公式近似引入了四阶导数项，以此类推。
每一次增加的导数项将增加近似计算的精度。
比如，四次公式近似给出了f(x)≈x-x^3/6+x^5/120。
最后两个公式是五次公式近似和六次公式近似。
它们在之前公式的基础上再增加了五阶导数和六阶导数的项。
这些高阶导数项使得近似结果的精度更高，特别是在函数曲率较大的地方。
七次公式近似又增加了七阶导数。
通过使用这八大泰勒公式，我们可以在考研中更准确地进行计算和近似。
它们为我们提供了一种逼近函数值的工具，特别是在无法直接计算函数值的情况下。
例如，当计算某一函数值的导数过于繁琐或无法获得解析解时，我们可以通过泰勒公式来进行近似计算。
需要注意的是，泰勒公式的应用需要考虑近似的范围。
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§2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。
一般地，函数)(x y y =的n 阶导数就是hx y h x y x yx yn n h n n )()(lim ])([)()1()1(0)1()(--→--+='= (0)()()y x y x =⎡⎤⎣⎦ 而n 阶微分就是n n n n n n n n x x y x x x y x x y y y d )(d ]d )([]d )(d[]d[d d )(1)(1)1(1-====--- (x 是自变量；x d 被看成与x 无关的有限量)因此，按照莱布尼茨的记法，函数)(x y y =的n 阶导数)()(x y n 也可记成nn x x y d )(d 或简记成 n n xyd d (注意．．n 的位置．．．) 这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到n 阶导数与n 阶微分的关系中.例33 因为指数函数e x 的导数(e )e x x '=，所以(e )(e )e x x x '''==. 依次类推，则有()()(e )e ,d (e )(e )d e d (1,2,)x n x n x x n n x n x x n ====L例34 对于函数x y sin =，则cos sin ,sin sin 2,222y x x y x x '⎡⎤πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''==+=+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L一般地，()sin 2n n y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()d d sin d 2n n n n n y y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭),2,1(Λ=n . 同理，对于函数cos y x =，有()cos 2n n y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()d d cos d 2n n n n n y y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭),2,1(Λ=n . 例35 对于函数ln(1)y x =+，则223112,,(1),1(1)(1)y y y x x x ''''''==-=-+++L 一般地，（n 阶导数）()1(1)!(1)(1,2,)(1)n n nn yn x --=-=+L（n 阶微分）()1(1)!d d (1)d (1,2,)(1)n n n n nnn y y x x n x --==-=+L 例36 设函数21()e (0),(0)0x f x x f -=≠=.证明：),2,1(0)0()(Λ==n f n .证 一方面，函数)(x f 在点0是连续的，因为2211001lim ()lim e lim 0(0)e u x x ux x u f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭-→→→∞=======另一方面，22221132300226lim ()lim e lim lim 3lim e 2e e u x x u u u x x u u u u u u f x x u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-→→→∞→∞→∞⎛⎫∞∞⎛⎫⎛⎫⎪'=⋅======= ⎪ ⎪⎪∞∞⎝⎭⎝⎭⎝⎭213lim02eu u u →∞==)0(f '= [点0的导数等于点0近旁导数的极限]因此，一阶导数)(x f '在点0是连续的. 一般地，当0≠x 时，2211364246()e ,()e ,x x f x f x xxx --⎛⎫'''==- ⎪⎝⎭L L容易看出，对于任何正整数n ，21()1()en x f x P x -⎛⎫= ⎪⎝⎭[其中)(u P 为关于u 的多项式] 且根据洛必达法则，(※) 2221()0()()lim ()lim ()e limlim 0e (e )u x n u u u x u u u P u P u f x P u ⎛⎫= ⎪⎝⎭-→→∞→∞→∞'∞⎛⎫======== ⎪∞'⎝⎭L L 于是，因为一阶导数)(x f '在点0是连续的，根据式(※)，所以0)(lim )0(0=''=''→x f f x 且)(x f ''在点0也是连续的.依次类推(或用数学归纳法)，可得()()0(0)lim ()0n n x f f x →==2.泰勒公式 一个n 次多项式230123()()()()()n n P x b b x a b x a b x a b x a =+-+-+-++-L中，它的系数(0,1,2,,)k b k n =L 与()P x 有什么关系呢？显然，0()b P a =；又因为21123()2()3()()n n P x b b x a b x a nb x a -'=+-+-++-L 223()232()(1)()n n P x b b x a n n b x a -''=+⋅-++--L33()32(1)(2)()n n P x b n n n b x a -'''=⋅++---LM()()(1)(2)321n n P x n n n b =--⋅⋅⋅L所以，1()b P a '=， 2()2!P a b ''=， 3()3!P a b '''=，L ， ()()!n n P a b n =因此，()23()()()()()()()()()()1!2!3!!n n P a P a P a P a P x P a x a x a x a x a n ''''''=+-+-+-++-L⑴带皮亚诺余项的泰勒公式 对于一般的函数()f x ，若它在某点a 有一阶导数()f a '(即可微分)，根据定义，则有()()()()f a x f a f a x o x '+∆-=∆+∆即()x x a ∆=-()()()()[()]f x f a f a x a o x a '=+-+-若函数()f x 在点a 有二阶导数()f a ''，令2()()(,)()()()()1!2!f a f a R a x f x f a x a x a '''⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦则有222()()()()()()(,)01!2!lim lim ()()0x a x a f a f a f x f a x a x a R a x x a x a →→'''⎡⎤-+-+-⎢⎥⎛⎫⎣⎦= ⎪--⎝⎭ [()()]()()01()()limlim ()02()02x a x a f x f a f a x a f x f a f a x a x a →→''''''----⎛⎫⎡⎤''==-= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦即2(,)[()]R a x o x a =-. 因此，22()()()()()()[()]1!2!f a f a f x f a x a x a o x a '''=+-+-+- 一般地，用相同的方法可以证明下面的结论(请你完成它的证明).泰勒定理1 若函数)(x f 在点a 有n 阶导数()()n f a ，则函数)(x f 在点a 有展开式()2()()()()()()()()[()]1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a o x a n '''=+-+-++-+-L与上面多项式的情形不同，这里多出最后的“余项”[()]n o x a -，称它为皮亚诺(G.Peano)余项.上面的展开式就称为函数()f x 在点a 带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式.需要指出，习惯上把函数()f x 在点0的泰勒公式()(0)(0)()(0)()1!!n nn f f f x f x x o x n '=++++L称为麦克劳林(Maclaurin)公式（*）.特别，根据例33、例34和例35中的高阶导数公式，则有23e 1()2!3!!nxn x x x x o x n =++++++L ，3521121sin (1)()3!5!(21)!n n n x x x x x o x n ---=-+-+-+-L ，2422cos 1(1)()2!4!(2)!nn n x x x x o x n =-+-+-+L ， 231ln(1)(1)()23nn n x x x x x o x n-+=-+-+-+L . ⑵带拉格朗日余项的泰勒公式 假若函数)(x f 在含点a 的某区间内有一阶导数()f x '，根（*）《微积分学教程》([俄]菲赫金哥尔茨著)中说, 这是没有根据的。
据微分中值定理，当x ∆足够小时，则有()()()(01)f a x f a f a x x θθ'+∆-=+∆∆<<（拉格朗日公式）或()x x a ∆=-()()[()]()(01)f x f a f a x a x a θθ'=++--<<一般情形下，有下面的结论.泰勒定理2 若函数)(x f 在点a 及其近旁有)1(+n 阶导数)()1(x fn +，则在点a 及其近旁有()2()()()()()()()()(,)1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a R a x n '''=+-+-++-+L其中余项(1)1[()](,)()(01)(1)!n n n f a x a R a x x a n θθ+++-=-<<+称为拉格朗日余项，而称上面的展开式为带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式.特别，当0=n 时，泰勒公式()()[()]()(01)f x f a f a x a x a θθ'=++--<<就是拉格朗日公式.证 为书写简单起见，以下记h x a =-，并考虑等式()21()()()()()1!2!!n nn f a f a f a f x f a h h h C h n +'''=+++++L （※）其中C 为待定数(当,,a h n 确定后，它是常数).作辅助函数()21()()()()()()()()()()1!2!!n n n f a f a f a g t f a th f a th th th C th n +'''⎡⎤=+-+++++⎢⎥⎣⎦L )10(≤≤t它在区间]1,0[上满足罗尔定理的条件，所以有1t )10(1<<t 使0)(1='t g ；而()211()()()()()(1)1!(1)!n n nn n f a f a g t f a th h f a h th t h C n t h n -+''⎡⎤'''=+-+++++⎢⎥-⎣⎦L所以0)0(='g .因此，)(t g '在区间],0[1t 上满足罗尔定理的条件，所以又有2t )0(12t t <<使0)(2=''t g .依次类推，就会有n t )10(11<<<<<-t t t n n Λ使0)()(=n n t g，而()()()1()()()(1)!n n n n n n g t f a th h f a h C n th +=+-++⎡⎤⎣⎦且0)0()(=n g .最后，函数)()(t g n 在区间],0[n t 上满足罗尔定理的条件，所以有),0(1n n t t ∈+使0)(1)1(=++n n t g ，即0!)1()()(111)1(1)1(=+-+=++++++n n n n n n h n C h h t a ft g .因此，)10(!)1()(!)1()()1(1)1(<<++=++=+++θθn h a fn h t a fC n n n把它代入式(※)，则得()(1)21()()()()()()1!2!!(1)!n n n n f a f a f a f a h f x f a h h h h n n ++'''+=++++++L θ因为其中h x a =-，所以它就是泰勒公式()2()()()()()()()()(,)1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a R a x n '''=+-+-++-+L其中余项(1)1[()](,)()(01)(1)!n n n f a x a R a x x a n θθ+++-=-<<+需要指出，习惯上也把函数在点0的泰勒公式nn x n f x f f x f !)0(!1)0()0()()(++'+=Λ+)(x R n称为麦克劳林公式.其中余项=)(x R n (1)1()(01)(1)!n n f x x n θθ++<<+ (拉格朗日余项)总结：令h x a =-，则()2()()()()()()1!2!!n nn f a f a f a f a h f a h h h o h n '''+=+++++L和()(1)21()()()()()()1!2!!(1)!n n n n f a f a f a f a h f a h f a h h h h n n θ++'''++=++++++L都称为泰勒公式，但有下面的不同处：第一，前者只假设()f x 在点a 有n 阶导数，并且推广了()()()()f a h f a f a h o h '+=++；后者要假设()f x 在含点a 的某个区间内有(1)n +阶导数，并且推广了拉格朗日公式()()()(01)f a h f a f a h h θθ'+=++<<第二，前者的余项只给出极限形式，不能估计近似公式()2()()()()()1!2!!n nf a f a f a f a h f a h h h n '''+≈++++L （泰勒多项式）的误差，而后者的余项给出的是有限形式，能够用来估计上述近似公式的误差，即()2()()()()()1!2!!n n f a f a f a f a h f a h h h n '''⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦L (1)1()(1)!n n f a h h n θ+++=+ 譬如，近似计算函数()f x 在点a 近旁的函数值)(h a f +时，可由给出的精确度ε和h x a =-的变化范围(||)h δ≤，根据上面的估计式，确定多项式的次数n ；或者根据次数n 和h 的变化范围，确定一个近似公式的精确度ε.例37 设()e x f x =. 因为()(e )e (1,2,)x n x n ==L ，所以()(0)1(0,1,2,)n f n ==L .因此，函数x e 的麦克劳林公式为21e 1e (01)2!!(1)!n n xxx x x x n n θθ+=+++++<<+L由此得近似公式2e 12!!nxx x x n ≈++++L问：当1||≤x 时，取多么大的n ，才能使这个近似公式的精确度4101≤ε. 解 当1||≤x 时，1e 3()e (1)!(1)!(1)!n x n x R x n n n θ+=≤≤+++ 经过试算，只要取7=n ，近似公式!7!21e 72x x x x++++≈Λ (1||≤x )的误差不超过4110，因为 487101403203!83!8e e !8)(<=≤≤=x x x R θ例38 函数ln(1)y x =+的n 阶导数为()1(1)!(1)(1,2,)(1)n n nn y n x --=-=+L ，()1(0)(1)(1)!(1,2,)n n y n n -=--=L 所以，函数)1ln(x +的麦克劳林公式为)()1(32)1ln(132x R nx x x x x n nn +-+-+-=+-Λ 其中余项的拉格朗日形式为1111)1(11)1()1)(1()1()!1()()(+++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+=n n n n n n n n x x n x x n x n x f x R θθθ(01)θ<<取9,1==n x ，则有近似公式9181312112ln +--+-≈Λ 而误差109111(1)10110R θ⎛⎫=< ⎪+⎝⎭ 习 题1.求)(n y：其中⑴n n x x a x x a x x a a y )()()(0202010-++-+-+=Λ；⑵μ)1(x y +=(μ为常数)； ⑶xa y =；⑷x y =； ⑸x x y +-=11(提示：112-+=xy )；⑹1(1)y x x =-(提示：111y x x =+-)； ⑺2312+-=x x y ；⑻x y 2sin =(提示：22cos 1x y -=)； ⑼bxa bx a y -+=ln .答案：⑴n a n !；⑵n x n -++---μμμμμ)1)(1()2)(1(Λ；⑶n x a a )(ln ；⑷1211111222nn x -⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ；⑸1)1(!)1(2++-n n x n ；⑹)1()1()1(!)1(!n n n x n x n +-+--+-； ⑺(1)(1)!(1)(2)(1)n n n n x x -+-+----⎡⎤⎣⎦；⑻12cos 22n n x -π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； ⑼1222(1)!()(1)()()n n n nn n b a a bx a bx x a b x b --⎛⎫⎡++--⎤< ⎪⎣⎦-⎝⎭. 2.将多项式23()1352P x x x x =++-表示成(1)x +的正整指数幂的多项式.提示：选取1a =-. 答案：23()513(1)22(1)12(1)P x x x x =-+++-+. 3.设()P x 为n 次多项式.证明：a 是()P x 的(1)k k n ≤≤重根的充分必要条件为(1)()()()0k P a P a P a -'====L4.求极限2230e e 2e 2e lim (e 1)x x x x x x x x →+-+- 提示：23e 1()2!3!!n xn x x x x o x n =++++++L . 答案：16. 5.求极限 230112lim 1ln 2x x xx x →+⎛⎫+- ⎪-⎝⎭. 答案：1112. 提示：首先作恒等变换122ln ln ln 1ln 122212xx x x x x ++⎛⎫⎛⎫==+-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-(2)x < 然后注意23311ln 1()222232x x x x o x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 23311ln 1()222232x x x x o x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6.若函数()f x 在点a 有直到(2)n n ≥阶的导数，且(1)()()()()0,()0n n f a f a f a f a -'''====≠L证明：⑴当n 为偶数且()()0n f a <时，()f a 是极大值； ⑵当n 为偶数且()()0n f a >时，()f a 是极小值；⑶当n 为奇数时，a 不是函数()f x 的极值点，而a 是函数()f x 的拐点.【注】函数21e ,0()0,0x x f x x -⎧⎪≠=⎨=⎪⎩在点0x =取到极小值(0)0f =(也是最小值)，而()(0)0(1,2,)n f n ==L .这说明题中的条件是函数取到极值的充分条件，不是必要条件！7.设函数()f x 在区间[,]a b 上有二阶导数()f x ''，且()()0f a f b ''==.证明：至少存在一点(,)c a b ∈，使24()()()()f c f b f a b a ''≥--提示：取区间[,]a b 的中点()2a b +，根据带拉格朗日余项的泰勒公式，则①2211()()()()222222a b a b f c a b f c b a f f a f a a a ''''+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②2222()()()()222222a b a b f c a b f c a b f f b f b b b ''''+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.设函数)(x f 在区间),0(+∞内有二阶导数)(x f ''.若)2,1,0()(lub)(0=+∞<=+∞<<n x fn x n β证明：20214βββ≤.提示：根据带拉格朗日的泰勒公式，对于任意正数t ，2()()()()(01)2t f x t f x f x t f x t θθ'''+=+++<<从而对任意正数t ，有022()2tf x t ββ'≤+9.设函数)(x f 在区间[0,2]上有二阶导数.证明：若()1,()1(02)f x f x x ''≤≤≤≤则()2(02)f x x '≤≤≤.【注】结论()2(02)f x x '≤≤≤是最好的估计式，因为有例子21()1(02)2f x x x =-≤≤ 说明不能再改进了.10.设函数)(x f 在点a 近旁有)2(+n 阶连续导数，且0)()2(≠+a f n ，而泰勒公式中的拉格朗日余项为(1)1[()](,)()(01)(1)!n n n f a x a R a x x a n θθ+++-=-<<+其中(,,)a n x θθ=.证明：1lim 2x an θ→=+.提示：因为函数)(x f 在点a 近旁有)2(+n 阶连续导数，所以(1)11()(,)()(,)(1)!n n n n f a R a x x a R a x n +++=-++其中(2)2111[()](,)()(01)(2)!n n n f a x a R a x x a n θθ++++-=-<<+11.证明莱布尼茨公式：若函数()u u x =和()v v x =都有n 阶导数，则它们的乘积uv 也有n 阶导数，而且n 阶导数为()()()()C i nn i n i i n i uv u v =-==∑(其中(0)(0)!,,C !()!i n n v v u u i n i ===-)而n 阶微分为()d ()()d C dd i nn n ni n ii ni uv uv x u v =-===⋅∑ (其中00d ,d u u v v ==)提示：根据v u v u v u '+'=')(v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u ''+''+''=''+''+''+''=''+'=''2)()()()( v u v u v u v u v u v u v u v u '''+'''+'''+'''='''+''+''='''33)2()( 我们看出，右端各项的系数就是牛顿二项式公式302203333)(b a ab b a b a b a +++=+中各项的系数。