2019-2020学年高中数学课时分层作业17平面图形的面积简单几何体的体积
2019-2020学年苏教版必修二 空间几何体的表面积与体积 课时作业
1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(B)A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(方法1：割补法由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B. (方法2：估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.2．(2018·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(C)A.13＋23πB.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×(22)3＝13＋26π.故选C. 3．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为(B)A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3由等边△ABC 的面积为93可得34AB2＝93， 所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3. 设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D-ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3. 4．(2018·长沙市一中二模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为(A)A ．8＋82＋4 6B ．8＋82＋2 6C ．2＋22＋ 6 D.12＋22＋64将三视图还原为空间几何体，如图，四面体D-ABC.因为S △ABC ＝12×2×4＝4， S △BCD ＝12×2×4＝4， S △DAC ＝12×43×22＝46， S △ABD ＝12×42×4＝8 2. 所以四面体的表面积为S ＝S △ABC ＋S △BCD ＋S △DAC ＋S △ABD ＝8＋82＋4 6.5．(2018·山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 2＋π2.该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，所以V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2. 6．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为__402π__．如图，因为SA 与底面成45°角，所以△SAO 为等腰直角三角形．设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r.在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，所以sin ∠ASB ＝158， 所以S △SAB ＝12SA·SB·sin ∠ASB ＝12(2r)2·158＝515， 解得r ＝210，所以SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45，所以S 圆锥侧＝πr·l ＝π×210×45＝402π.7．如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台．(1)求这个奖杯的体积(π取3.14)；(2)求这个奖杯的底座的侧面积．(1)球的体积V 球＝43πr3＝36π， 圆柱的体积V 圆柱＝Sh1＝64π，正四棱台的体积是V 正四棱台＝13h2(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝336， 所以此几何体的体积是V ＝36π＋64π＋336＝100π＋336＝650(cm3)．(2)因为底座是正四棱台，所以它的斜高是h′＝－＋42＝5，所以它的侧面积是 S 侧＝4×12×(6＋12)×5＝180 (cm2)．8．(2018·惠州9月月考)若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为(A)A ．3B ．2 2C ．2 3D ．3 3此四棱锥为正四棱锥，设此四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则13a2h ＝9，则a2＝27h，再设其外接球的半径为R ，则在△COE 中，R2＝(h －R)2＋(22a)2， 所以R ＝h2＋12a22h ＝h 2＋a24h ＝h 2＋274h2. 设f(h)＝h 2＋274h2，则f′(h)＝12－272h3， 令f′(h)＝0，解得h ＝3，分析可知f(h)在h ＝3时有最小值，故选A.9．(2018·浙江卷)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 12.在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，所以AC ＝ 22＋22－－12＝2 3. 设CD ＝x ，则AD ＝23－x ，所以PD ＝23－x ，所以VP-BCD ＝13S △BCD·h≤13×12BC·CDsin 30°·PD ＝16×2x×12×(23－x) ＝16x(23－x)≤16(x ＋23－x 2)2 ＝16×(232)2＝12， 当且仅当x ＝23－x ，即x ＝3时取“＝”，此时PD ＝3，BD ＝1，PB ＝2，满足题意．10．(2018·全国卷Ⅰ选择题改编)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，求所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值．如图，连接OD ，交BC 于点G ，由题意，知OD ⊥BC ，OG ＝36BC. 设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ， 三棱锥的高h ＝DG2－OG2＝25－10x ＋x2－x2＝25－10x ，S △ABC ＝12×23x×3x ＝33x2， 则三棱锥的体积 V ＝13S △ABC·h ＝3x2·25－10x ＝3·25x4－10x5. 令f(x)＝25x4－10x5，x ∈(0，52)， 则f′(x)＝100x3－50x4.令f′(x)＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x ∈(2，52)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 故当x ＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤3×80＝415.所以三棱锥体积的最大值为415 cm3.。
8.3简单几何体的表面积和体积说课稿2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修二
《简单几何体的表面积与体积》说课稿各位老师，大家好：今天我说课的内容是《简单几何体的表面积与体积》。
本节位于必修课程主题三几何与代数对应立体几何初步这一单元。
本节之前从形的角度认识了空间几何体，接下来将从度量的角度进一步认识空间几何体。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学分析、教学评价等六方面加以分析和说明。
一、说教材分析。
1. 内容结构：2.内容分析：本节主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法，是在前面学习了基本立体图形的分类、概念、结构特征、平面表示的基础上，从度量的角度进一步认识简单几何体．也是研究生产、生活中更复杂形状的物体的表面积和体积的基础。
本节内容包括棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．3.育人价值：在实际教学过程中，在对简单几何体的表面积与体积公式的了解与使用公式解决简单的实际问题过程中，提高学生逻辑推理、数学运算、直观想象等素养和空间想象等能力，让学生体会数学来源于生活，激发学习激情。
二、说学情分析。
1.学生在小学、初中阶段已经学习了正方体、长方体、圆柱的表面积和体积以及圆锥体积的计算方法．2.通过之前的学习，学生已经熟悉一些平面图形和空间几何体的互化的思想，尤其是空间几何问题向平面问题的转化。
3.学习圆的面积公式时“分割、近似替代、求和、取极限”这种思想已有体现，现在需要学生进一步体会这种重要思想方法。
三、说教学目标。
目标：1）.掌握简单几何体的表面积和体积公式，并能利用这些公式解决简单的实际问题； 简单几何体的表面积和体积 柱体、椎体、台体的表面积和体积 球的表面积和体积（第三课时） 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积（第二课时） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(第一课时) 球的体积球的表面积2）.柱体、锥体、台体、球的体积公式的推导过程，掌握探究过程中的类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法，并尝试使用这些数学思想方法进行数学学习．目标分析：（1）学生能结合基本立体图形的结构特征掌握简单几何体的表面积和体积公式；能从联系的角度认识柱体、锥体、台体的体积公式的联系。
高中数学 4.3.13.2 平面图形的面积 简单几何体的体积课时作业 北师大版选修22
§3 定积分的简单应用3．1 平面图形的面积3．2 简单几何体的体积 课时目标 进一步理解定积分的概念和性质，能用定积分求简单的平面曲线围成图形的面积；了解定积分在旋转体体积方面的应用．1．平面图形的面积表示一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则________________________．2．旋转体的体积旋转体可以看作由连续曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积为V ＝ʃb a π[f (x )]2d x .一、选择题1．将由y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π，y ＝0所围图形的面积写成定积分形式为( )A ．ʃπ0cos x d xB ．ʃπ20cos x d x ＋|ʃππ2cos x d x | C ．ʃπ02sin x d x D ．ʃπ02|cos x |d x2．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围图形的面积为( ) A.154 B.174 C.12ln2 D ．2ln2 3．由曲线y ＝x 3、直线x ＝－2、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A ．ʃ2－2x 3d xB ．|ʃ2－2x 3d x |C ．ʃ2－2|x 3|d xD ．ʃ20x 3d x ＋ʃ0－2x 3d x4．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A ．ʃ20(x 2－1)d xB ．|ʃ20(x 2－1)d x |C ．ʃ20|x 2－1|d xD ．ʃ10(x 2－1)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x5．由y ＝x 2，x ＝0和y ＝1所围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积可以表示为( )A ．V ＝πʃ10(y )2d y ＝π2B ．V ＝πʃ10[12－(x 2)2]d x ＝45π C ．V ＝πʃ10(x 2)2d y ＝π5D ．V ＝πʃ10(12－x 2)d x ＝45π 6．由y ＝e －x ，x ＝0，x ＝1围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( )A.π2(1－e －2)B.π2C.π2(1－e)D.π2e －2 二、填空题7．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________．8．直线x ＝k 平分由y ＝x 2，y ＝0，x ＝1所围图形的面积，则k 的值为________．9．曲线y ＝2x，直线x ＝2，x ＝3与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积是________．三、解答题10．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的图形的面积．11.求由曲线y ＝4x －x 2和直线y ＝x 所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．能力提升12．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.71213．在曲线y ＝x 2 (x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.求切点A 的坐标以及切线方程．1．明确利用定积分求平面图形面积的步骤，会将曲线围成的曲边梯形的面积表示成定积分的形式，并能求出面积．求解时一般先画出草图，确定积分变量，求交点确定积分上、下限，再利用定积分求得面积．特别地要注意，当所围成的图形在x 轴下方时，求面积需对积分取绝对值．2．对求体积的有关问题，要结合函数的形式写清对应的定积分，然后求出所对应的体积．答 案知识梳理1．S ＝ʃb a f (x )d x －ʃb a g (x )d x作业设计1．B [定积分可正，可负，但不论图形在x 轴上方还是在x 轴下方面积都是正数，故选B.]2．D [所求面积ʃ2121x d x ＝ln x |212＝ln 2－ln 12＝2ln 2.] 3．C 4.C 5.B6．A [V ＝πʃ10(e－x )2d x ＝πʃ10e－2x d x ＝－π2e －2x |10＝π2(1－e －2)．] 7.193解析由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4y ＝5x ，得x ＝1或x ＝4.所求面积为S ＝ʃ10(x 2＋4－5x )d x ＋ʃ41(5x －x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x |41＝193. 8. 342解析 作平面图形，如右图所示．由题意，得ʃk 0x 2d x ＝12ʃ10x 2d x 即13x 3|k 0＝16x 3|10. ∴13k 3＝16，k ＝342. 9.23π解析 V ＝ʃ32π·(2x )2d x ＝－4πx |32＝23π. 10. 解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3， 解得x ＝0或x ＝3.∴S ＝ʃ30(x ＋3)d x －ʃ30(x 2－2x ＋3)d x＝ʃ30[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝ʃ30(－x 2＋3x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2|30＝92. ∴所围成的图形的面积为92. 11．解 由y ＝4x －x 2得顶点P (2,4)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －x 2y ＝x ，得交点Q (3,3)，O (0,0)． 如图所示又由上图知V ＝π·ʃ30y 2d y ＋πʃ43(2＋4－y )2d y －πʃ40(2－4－y )2d y ＝π·13y 3|30＋π⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y －834－y 32＋4y －12y 2|43－π⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y ＋834－y 32＋4y －12y 2|40 ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫273＋4＋283＋4－72－16＋162＝272π. 12．A [由题可知y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为ʃ10(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10 ＝13－14＝112.] 13．解 由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，可得切线与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.画出草图，可得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 20与x 轴所围图形如图所示． 故S ＝S 1＋S 2＝ʃx 020x 2d x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0x 02x 2d x －x 0x 022x 0x －x 20d x ＝13x 3|x 020＋13x 3|x 0x 02－(x 0x 2－x 20x )|x 0x 02＝x 3012＝112， 解得x 0＝1，所以切点坐标为A (1,1)，所求切线方程为y ＝2x －1.。
北师大数学选修22课时分层作业1 平面图形的面积 简单几何体的体积 含解析
课时分层作业(十七)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若y ＝f (x )与y ＝g(x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( )A.⎠⎛a b[f (x )－g(x )]d x B.⎠⎛a b [g(x )－f (x )]d x C.⎠⎛a b |f (x )－g(x )|d x D.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b [f (x )－g (x )]dx C [当f (x )>g (x )时， 所求面积为⎠⎛a b[f (x )－g(x )]d x ；当f (x )≤g(x )时，所求面积为⎠⎛ab [g(x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab|f (x )－g(x )|d x .]2．由抛物线y ＝x 2介于(0,0)点及(2,4)点之间的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( )A.45π B.165π C.85πD.325πD [V ＝π⎠⎛02(x 2)2d x ＝π5x 5⎪⎪⎪20＝325π.]3．如图，阴影部分的面积是( )A ．23B ．2－ 3C ．323D ．353C [S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2| 1－3＝323.]4．由xy ＝4，x ＝1，x ＝4，y ＝0围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是( )A ．6πB ．12πC ．24πD ．3πB [因为xy ＝4，所以y ＝4x ， V ＝π⎠⎛14y 2d x ＝π⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2d x＝16π⎠⎛14x －2d x ＝－16πx －1⎪⎪⎪41＝－16π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝12π.]5．如图所示，平面直角坐标系xOy 中，阴影部分是由抛物线y ＝x 2及线段OA 围成的封闭图形，现在在△OAB 内随机的取一点P ，则P 点恰好落在阴影内的概率为( )A.23B.43C.49D.29D [由题得直线OA 的方程为y ＝2x ，所以图中阴影部分的面积为⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 32|0＝4－83＝43. S △AB O ＝12×3×4＝6.所以P 点恰好落在阴影内的概率为436＝29.] 二、填空题6．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．⎠⎛01(x －x 3)d x [画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1．因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x .]7．由曲线y ＝e x2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的图形绕着x 轴旋转一周形成的几何体的体积是________．π(e －1) [体积V ＝π⎠⎛01e x d x ＝π(e －1)．]8．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________．163 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2，得其交点坐标为(4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x ⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163.]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值．[解] 由题图知方程f (x )＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x 1＝x 2＝0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44＋ax 33|－a 0＝a 412，所以a ＝±3.又－a >0⇒a <0，得a ＝－3.10．设两抛物线y ＝－x 2＋2x ，y ＝x 2所围成的图形为M ，求： (1)M 的面积；(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． [解] 如图，M 为图中阴影部分．(1)图中M 的面积为 ⎠⎛01[(－x 2＋2x )－x 2]d x ＝⎠⎛01(－2x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 3＋x 2⎪⎪⎪1＝13. (2)M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为π⎠⎛01[(－x 2＋2x )2－(x 2)2]d x ＝π⎠⎛01(－4x 3＋4x 2)d x＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 4＋43x 3⎪⎪⎪1＝π3.[能力提升练]1．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623C [∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1．如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图像和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分)，即S ＝4－2⎠⎛02x24d x ＝4－2·x 312| 20＝4－43＝83.] 2．已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝axB ．y ＝±axC ．y ＝－axD ．y ＝－5axA [显然，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax ，得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2)，所以图形面积S ＝∫2a ＋k[kx －(x 2－2ax )]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k 0 ＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33 ＝(2a ＋k )36.又因为S ＝92a 3，所以(2a ＋k )36＝92a 3，解得k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax .故选A .]3．一个半径为1的球可以看成是由曲线y ＝1－x 2与x 轴所围成区域(半圆)绕x 轴旋转一周得到的，则球的体积为________．4．由x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0，y ＝cos x 四条曲线所围成的封闭图形的面积为________．3 [根据余弦函数的对称性可得，直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为2∫π30cos x d x ＝2sin x |π30＝ 3.]5．已知曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C 围成的图形的面积．[解] 设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，由于y ′＝6x 2－6x －2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧6x 20－6x 0－2＝y 0x 0－12，y 0＝2x 30－3x 20－2x 0＋1，解得x 0＝0，于是切线l 的斜率k ＝－2， 方程为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋1．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，y ＝－2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故切线l 与曲线C 围成图形的面积为即所求面积为2732.。
高中数学同步学案 平面图形的面积 简单几何体的体积
§3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积学 习 目 标核 心 素 养1．会用定积分求平面图形的面积．(重点) 2．会用定积分求简单几何体的体积．(难点) 3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法．(重点、难点)1．借助定积分求平面图形的面积和几何体的体积,提升学生的直观想象和数学运算的核心素养. 2．通过建立实际问题的模型,培养了学生的数学建模的核心素养.1．当x∈[a ,b]时,若f(x)>0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b),y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛a bf(x)dx.2．当x∈[a ,b]时,若f(x)<0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b),y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛a bf(x)dx.3．当x∈[a ,b]时,若f(x)>g(x)>0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b)和曲线y ＝f(x),y ＝g(x)围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛a b[f(x)－g(x)]dx.(如图)4．旋转体可看作由连续曲线y ＝f(x),直线x ＝a,x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的几何体,该几何体的体积为V ＝⎠⎛abπ[f(x)]2dx.1．由y ＝x 2,x ＝1和y ＝0所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( ) A.π6 B.π4 C.π5D.4π5 C [V ＝π⎠⎛01y 2dx ＝π⎠⎛01(x 2)2dx ＝π5x 5⎪⎪⎪1＝π5.] 2．直线y ＝x,x ＝1及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( ) A ．πB ．π3C ．13D ．1B [V ＝⎠⎛01πx 2dx ＝π3x 3|10＝π3.]3．由y ＝x 2,y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.14[图形如图所示,S ＝⎠⎛01x 2dx －⎠⎛0114x 2dx＝⎠⎛0134x 2dx＝14x 3⎪⎪⎪1＝14.]利用定积分求平面图形的面积【例1】 (1)求由直线y ＝x ＋3,曲线y ＝x 2－6x ＋13所围图形的面积S ； (2)求由曲线y ＝x 2,直线y ＝2x 和y ＝x 围成的图形的面积．思路探究：(1)作出两函数的图像,并求其交点坐标．确定积分区间,利用定积分求面积S.(2)求出三条曲线的不同的交点横坐标,将积分区间细化,分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和,注意在每个区间上被积函数均是由上减下．[解] (1)作出直线y ＝x ＋3,曲线y ＝x 2－6x ＋13的草图,所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－6x ＋13，y ＝x ＋3，得交点坐标为(2,5)和(5,8)．因此,所求图形的面积S ＝⎠⎛25(x ＋3)dx －⎠⎛25(x 2－6x ＋13)dx ＝⎠⎛25(－x 2＋7x －10)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋72x 2－10x ⎪⎪⎪52＝92. (2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 解出O,A,B 三点的横坐标分别是0,1,2．故所求的面积S ＝⎠⎛01(2x －x)dx ＋⎠⎛12(2x －x 2)dx＝x 22⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x 33⎪⎪⎪21＝12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝76. 法二：由于点D 的横坐标也是2, 故S ＝⎠⎛02(2x －x)dx －⎠⎛12(x 2－x)dx＝x 22⎪⎪⎪2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪21＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12＝76.法三：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2′＝y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24′＝y －y2.故所求的面积为S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 2dy ＋⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 2dy＝14y 2⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24⎪⎪⎪41＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8－14×16－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－14＝76.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤1．画出图形；2．确定图形范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限； 3．确定被积函数,特别要注意分清被积函数图像上、下位置； 4．写出平面图形面积的定积分表达式；5．运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积．1．由抛物线y ＝x 2－x,直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( ) A ．53 B ．1 C ．52D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22B [由图可知,所求面积S ＝⎠⎛-10(x 2－x)dx ＋⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎪⎪⎪－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪1＝56＋16＝1．]求简单几何体的体积【例2】 求由曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．思路探究：所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到,再利用定积分求解即可． [解] 曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形如图阴影部分所示．设所求旋转体的体积为V,根据图像可以看出V 等于曲线y ＝2x,直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝12x 2,直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．V 1＝⎠⎛02π(2x)2dx ＝2π⎠⎛02xdx ＝2π·12x 2|20＝4π,V 2＝⎠⎛02π⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22dx ＝π4⎠⎛02x 4dx ＝π4×15x 5|20＝8π5,所以V ＝V 1－V 2＝4π－8π5＝12π5.定积分求几何体体积的方法1．两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差,即V ＝π⎠⎛abf 2(x)dx －π⎠⎛a b g 2(x )dx,而不能写成V ＝π⎠⎛ab[f(x)－g(x)]2dx.2．求简单旋转体的体积时,首先要画出平面图形,分析旋转体的形状,再利用体积的定积分表达式V ＝π⎠⎛ab f 2(x )dx 求解．2．设平面图形由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的曲线y ＝sin x 及直线y ＝12,x＝π2围成,求此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．[解] 先画草图．设f(x)＝sin x,x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,g(x)＝12. 则f(x)与g(x)的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12. V ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122dx＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 2－14dx ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12cos 2x dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －14sin 2x ⎪⎪⎪⎪π2π6＝π212＋38π.定积分的综合应用[探究问题]1．设a ＞0,若曲线y ＝x 与直线x ＝a,y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2,试求a 的值． [提示] 由已知得S ＝⎠⎛axdx ＝23x 32| a 0＝23a 32＝a 2,所以a 12＝23,所以a ＝49.2．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c>0)围成图形的面积是23,试求c 的值．[提示] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝cx 3，得x ＝0或x ＝1c.∵0<x<1c时,x 2>cx 3,∴S＝⎠⎜⎛01c (x 2－cx 3)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14cx 4⎪⎪⎪⎪1c＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18,∴c＝12.【例3】 在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112,试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．思路探究：设出切点坐标,写出切线方程,利用定积分可列方程,解方程求得切点坐标,进一步求出切线方程．[解] 设切点A(x 0,x 20),切线斜率为k ＝2x 0, ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 令y ＝0,得x ＝x 02,如图,.∴112x 30＝112,x 0＝1．∴切点A 的坐标为(1,1),切线方程为y ＝2x －1．定积分求面积的易错点1．本例中求面积S 时,易错误地写成S ＝⎠⎛0x0[x 2－(2x 0x －x 20)]dx.错误原因是没能分割好图形．2．关于导数与积分的综合题,要充分利用导数的几何意义,求切线的斜率或方程,利用定积分的几何意义求面积,进而解决问题．3．如图,设点P 在曲线y ＝x 2上,从原点向A(2,4)移动,如果直线OP,曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1,S 2．(1)当S 1＝S 2时,求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时,求点P 的坐标和最小值．[解] (1)设点P 的横坐标为t(0<t<2),则P 点的坐标为(t,t 2), 直线OP 的方程为y ＝tx.S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)dx ＝16t 3,S 2＝⎠⎛t 2(x 2－tx)dx ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2,所以t ＝43,点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.(2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83,S′＝t 2－2, 令S′＝0得t 2－2＝0.因为0<t<2,所以t ＝2,当0<t<2时,S′<0；2<t<2时,S′>0. 所以,当t ＝2时,S 1＋S 2有最小值83－423,此时点P 的坐标为(2,2)．1．求定积分和利用定积分计算平面图形的面积是两个不同的概念,定积分是一个和式的极限,它可正、可负、可为零,而平面图形的面积在一定意义下总为正,特别是当曲线有一部分在x 轴下方时,计算平面图形的面积易出错．2．求解简单平面图形的面积,可直接运用定积分的几何意义．先确定积分上、下限,一般为两交点的横坐标(或纵坐标),再确定被积函数,一般是上方曲线与下方曲线对应函数的差．这样求平面图形的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)曲线y ＝sin x,x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎜⎛π23π2sin xdx.( )(2)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2,y ＝0围成的图形的面积为⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12(2－x)dx.(3)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形的面积为⎠⎛-22(4－x 2)dx.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( )A.⎠⎛acf(x)dxB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf (x )dx C.⎠⎛a bf(x)dx ＋⎠⎛bcf(x)dxD.⎠⎛bcf(x)dx －⎠⎛abf(x)dxD [∵x∈[a ,b]时,f(x)<0,x∈[b ,c]时,f(x)>0, ∴阴影部分的面积 S ＝⎠⎛b cf(x)dx －⎠⎛abf(x)dx.]3．由y ＝x 2,y ＝x 所围成的图形绕y 轴旋转所得到的旋转体的体积V ＝________.π6 [V ＝π⎠⎛01(y －y 2)dy ＝π6.] 4．计算由曲线y 2＝x,y ＝x 2所围图形的面积S.[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1．因此,所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD ＝⎠⎛1xdx －⎠⎛01x 2dx ＝23x 32⎪⎪⎪1－13x 3⎪⎪⎪1＝23－13＝13.。
2019高中数学 课时分层作业17 向量数乘运算及其几何意义 新人教A版必修4
课时分层作业(十七) 向量数乘运算及其几何意义(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题 1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋8b －a －2b 等于( )A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －bB [原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(－3a ＋6b ) ＝－a ＋2b ＝2b －a .]2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )【导学号：84352203】①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④B [①正确．②正确．③错误．由m a ＝m b 得m (a －b )＝0当m ＝0时也成立，推不出a ＝b .④错误．由m a ＝n a 得(m －n )a ＝0当a ＝0时也成立，推不出m ＝n .]3．若5AB →＋3CD →＝0，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形D ．等腰梯形D [由5AB →＋3CD →＝0知，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，故此四边形为梯形，又|AD →|＝|BC →|，所以梯形ABCD 为等腰梯形．]4．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( )【导学号：84352204】①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①②B ．①③C ．②D ．③④A [对于①，可解得a ＝27e ，b ＝－87e ，故a 与b 共线；对于②由于λ≠μ.故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0则由λa －μb ＝0得a ＝μλb ，故a 与b 共线；对于③，当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线；对于④，梯形中没有条件AB ∥CD ，可能AC ∥BD ，故a 与b 不一定共线．]5．如图2231，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( )图2231A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → D [EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →.]二、填空题6．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. －13 [由题意可以设a ＋λb ＝λ1(－b ＋3a )＝3λ1a －λ1b ， 因为a 与b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1＝3λ1，λ＝－λ1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝13，λ＝－13.]7．若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________.(用OA →，OB →表示)【导学号：84352205】(1－t )OA →＋tOB → [AP →＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)，OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.]8．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|＝________.2 [∵OA →－3OB →＋2OC →＝0，∴OB →－OA →＝2(OC →－OB →)，∴AB →＝2BC →， ∴|AB →||BC →|＝2.] 三、解答题9．如图2232，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.【导学号：84352206】图2232[解]∵AC ＝BA ，∴A 是BC 的中点，∴OA →＝12(OB →＋OC →)，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . ∴DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .10．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．[解] 设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线，∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2. 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λDB →， ∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ，k ＝4λ，∴k ＝－8，∴存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线．[冲A 挑战练]1．设a ，b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |C [a |a |，b |b |分别表示a ，b 的单位向量．对于A ，当a ＝－b 时，a |a |≠b|b |；对于B ，当a ∥b 时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |；对于C ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b|b |；对于D ，当a ∥b 且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |.综上所述，使a |a |＝b|b |成立的条件是a ＝2b ，选C.]2．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )【导学号：84352207】A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上D [因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PC →＝AB →＋BP →＝AP →， 所以2AP →＋PA →＋PC →＝3AP →， 所以(AP →＋PA →)＋(AP →＋PC →)＝3AP →， 即AC →＝3AP →，所以点P 在AC 边上，且为AC 的三等分点．] 3．如图2233所示，给出下列结论：图2233①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .其中正确结论的序号是________．①③ [设PQ →＝x ，PT →＝y ，则a ＝13x ＋13y ，b ＝13x －13y ，解得x ＝32a ＋32b ，y ＝32a －32b .即PQ →＝32a ＋32b ，PT →＝32a －32b ，PS →＝13x ＋23y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋32b ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －32b ＝32a －12b ， PR →＝23x ＋13y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋32b ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －32b ＝32a ＋12b . 故①③正确，②④错误．]4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为________．3 [∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.]5．如图2234，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB →＝a ，AC →＝b .图2234(1)用a ，b 分别表示向量AE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线.【导学号：84352208】[解] (1)∵AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，∴AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，∵AF →＝12AC →＝12b ，∴BF →＝AF →－AB →＝－a ＋12b .(2)证明：由(1)知BF →＝－a ＋12b ，BE →＝－23a ＋13b ＝23⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ，∴BE →＝23BF →.∴BE →与BF →共线．又BE ，BF 有公共点B ，∴B ，E ，F 三点共线．。
2020学年高中数学课时分层作业17基本不等式的证明(含解析)苏教版必修5(2021-2022学年)
课时分层作业(十七） 基本不等式的证明(建议用时：6０分钟)[基础达标练]一、选择题1．设ｔ=a +2ｂ,s =a ＋b 2+1，则t 与s 的大小关系是( ）A ．s ≥tＢ．s >ｔC ．ｓ≤ｔ ﻩＤ.s 〈tＡ [∵b 2＋1≥２b ，∴a ＋2ｂ≤a +b 2+1.］2.下列不等式中正确的是( ）A.a ＋错误!≥4 ﻩB ．a 2＋b 2≥4ａｂC 。
错误!未定义书签。
≥错误! ﻩD ．x 2+错误!≥2错误!D ［ａ＜0，则a +错误!未定义书签。
≥４不成立，故A 错; ａ＝1,b =1，ａ2＋ｂ2＜4ab ,故B 错；ａ＝4,b =16,则错误!未定义书签。
<错误!未定义书签。
,故C 错；由基本不等式可知D 项正确．]3．已知a >0，b >0,则下列不等式中错误的是( )A.ab ≤错误!未定义书签。
2 ﻩB.ab ≤a 2＋b ２2C 。
错误!未定义书签。
≥错误!未定义书签。
D 。
错误!≤错误!未定义书签。
2D [由基本不等式知A 、C 正确,由重要不等式知B 正确，由错误!未定义书签。
≥ab 得,a ｂ≤错误!未定义书签。
2，∴错误!≥错误!２，故选D.］4．若a >ｂ>0，则下列不等式成立的是( ）A ．a ＞b ＞错误!未定义书签。
＞a ｂB ．a ＞错误!未定义书签。
>＼ｒ(a ｂ）＞bＣ．a >错误!未定义书签。
＞b >错误!未定义书签。
D.a >错误!未定义书签。
>错误!>bﻬB ［ａ＝错误!>错误!未定义书签。
＞错误!>错误!未定义书签。
＝ｂ，因此只有B 项正确.]5．若a ＞0,b ＞０,且a +ｂ＝4,则下列不等式恒成立的是( ）Ａ.错误!＞错误!未定义书签。
ﻩB 。
错误!+错误!未定义书签。
≤１C 。
错误!未定义书签。
≥2 Ｄ。
错误!未定义书签。
≤错误!D ［由ａ+ｂ=4，得错误!未定义书签。
2019_2020学年高中数学课时分层作业17均值不等式含解析新人教B版必修520191021233
课时分层作业(十七) 均值不等式(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一A [正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，∴4＝a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立．又4＝cd ≤⎝⎛⎭⎪⎫c ＋d 22，∴c ＋d ≥4，当且仅当c ＝d ＝2时，等号成立．综上，ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值都为2.] 2．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4B [∵x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝8，当且仅当x ＝2时，取“＝”，∴log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3.] 3．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则xyz的最大值为( ) A ．1 B ．3 C ． 3 D ．4A [xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立．] 4．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16D ．不存在B [直线AB 的方程为x ＋2y ＝3，因为点P 在直线AB 的方程x ＋2y ＝3上，2x>0,4y>0，所以2x＋4y＝2x＋22y≥22x ·22y ＝22x ＋2y＝223＝4 2.]5．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin xC ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81C [A 选项中当x <0时，y <0，不符合题意，B 选项中令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，y ＝t ＋4t，最小值为－5.C 选项，y ＝e x ＋4e x ，e x>0，所以y ≥24＝4.当且仅当e x＝4e x ，即x ＝ln 2时等号成立，D 选项中，当0<x <1时，y <0，不符合题意．] 二、填空题6．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6A ．其中恒成立的是________．(填序号)①②③ [由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立； 由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立；当a ＝3时，a2＋9＝6a ，故④不能恒成立．]7．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．12 [由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．]8．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．1 760 [设水池的造价为y 元，长方体底面的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4xm ．那么y ＝120·4＋2·80·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2·4x＝480＋320⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．] 三、解答题9．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．[解] (1)∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.法二：因为x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0，所以xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，所以xy ≥8xy ，所以xy ≥8，xy ≥64.当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立，所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[能力提升练]1．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a >0，b >0，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，G ，H 的大小关系是( )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤AA [因为a >0，b >0，所以a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b 且f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤G ≤H .] 2．若lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，则xy 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1，因为 x >0，y >0，所以 3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， 所以 3xy －2xy －1≥0， 即 3(xy )2－2xy －1≥0， 所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0， 所以xy ≥1，所以 xy ≥1， 当且仅当 x ＝y ＝1 时，等号成立，所以 xy 的最小值为1.]3．已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为________． 1 [因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1.]4．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a＋1b≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是________．(填序号) ①③④ [ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ≤a ＋b ＋a ＋b ＝4，故a＋b ≤2，②不正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2，故③正确；1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥12(2＋2)＝2，故④正确．]5．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N ＋)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ [解] (1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x ) ＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)．∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x (x ＋1)·16 ＝16(－2x 2＋23x －50)(x ∈N ＋)． (2)年平均利润为 y x ＝16⎝⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x. 又x ∈N ＋， ∴x ＋25x≥2x ·25x＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．。
2019-2020学年高中数学课时分层作业17向量数乘运算及其几何意义含
课时分层作业(十七)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －aD ．a －bB [原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(－3a ＋6b ) ＝－a ＋2b ＝2b －a .]2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④B [①正确．②正确．③错误．由m a ＝m b 得m (a －b )＝0，当m ＝0时也成立，推不出a ＝b .④错误．由m a ＝n a 得(m －n )a ＝0，当a ＝0时也成立，推不出m ＝n .]3．在四边形ABCD 中，若AB →＝3a ，CD →＝－5a ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形D ．非等腰梯形C [由条件可知AB →＝－35CD →，∴AB ∥CD ，又因为|AD →|＝|BC →|，所以四边形为等腰梯形．]4．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC →A [如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.]5．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( )①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④A [对于①，可解得a ＝27e ，b ＝－87e ，故a 与b 共线；对于②，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa －μb ＝0得a ＝μλb ，故a 与b 共线；对于③，当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线；对于④，梯形中没有条件AB ∥CD ，可能AC ∥BD ，故a 与b 不一定共线．]二、填空题6．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝ ． －13 [由题意可以设a ＋λb ＝λ1(－b ＋3a )＝3λ1a －λ1b ， 因为a 与b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1＝3λ1，λ＝－λ1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝13，λ＝－13.即λ＝－13.]7．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|＝ ．2 [∵OA →－3OB →＋2OC →＝0，∴OB →－OA →＝2(OC →－OB →)，∴AB →＝2BC →， ∴|AB →||BC →|＝2.] 8．已知在△ABC 中，点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝ ．3 [∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴MB →＋MC →＝－MA →， 又由AB →＋AC →＝mAM →得(MB →＋MC →)－2MA →＝mAM →， 即－3MA →＝mAM →＝－mMA →，所以m ＝3.] 三、解答题9．如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.[解] ∵AC ＝BA ，∴A 是BC 的中点，∴OA →＝12(OB →＋OC →)，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . ∴DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .10．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. 问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．[解] 设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线，∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2， 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λDB →， ∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ，k ＝4λ，∴k ＝－8， ∴存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线．[能力提升练]1．设a ，b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |C [a |a |，b |b |分别表示a ，b 的单位向量．对于A ，当a ＝－b 时，a |a |≠b|b |；对于B ，当a ∥b 时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |；对于C ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b|b |；对于D ，当a ∥b 且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |.综上所述，使a |a |＝b|b |成立的条件是a ＝2b ，选C.]2．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是 ．3 [AE →，AD →共线，则AE →＝kAD →(0≤k ≤1)，又B 是CD 的中点，则AD →＝2AB →－AC →，AE →＝2kAB →－kAC →，又AE →＝λAB →＋μAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴λ－μ＝3k ≤3，故最大值为3.]。
高中数学课时作业1.7简单几何体的面积和体积北师大版必修
课时作业11柱、锥、台的侧面展开与面积
，高为3，则该圆锥的表面积为
＋32＝
解析：由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱
，垂足为E，则DE＝4，
×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝＋22＝
＝92＋6
由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，如图所示，
，则该几何体的表面积
由三视图知该几何体是平行六面体，且底面是边长为
＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×3
2＝1
，各面均为等边三角形的四面体
的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何
SD⊥BC，交BC于点D
⎛⎫a3
画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示)。
2019-2020学年新人教A版必修二 简单的几何体结构、表面积和体积 课时作业
（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）15.已知圆台的上、下底面都是球的截面，若圆台的高为，上、下底面的半径分别为，，则球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。
【详解】设球半径为R，球心O到上表面距离为x，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式，解得，所以半径因而表面积【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。
（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）主视图左视图俯视图A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。
【详解】结合三视图，还原直观图，得到是一个四棱柱去掉了一个角，如图该几何体体积，故选C.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较大。
（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）8.已知正六棱锥的底面边长为，体积为，则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本道题先计算底面面积，进而得到该六棱锥的高，构造直角三角形ONC，结合勾股定理，建立关于球半径方程，计算，得到表面积，即可。
【详解】底面为正六边形，度数为，故每个角为，所以，，所以底面面积所以体积，解得结合题意可知，设球半径为R，则，对于三角形OCN，结合勾股定理，得到，所以面积为,故选A。
【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。
（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v，．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型．（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）10.已知四面体，，则该四面体外接球的半径为（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取直角三角形的斜边中点，点即的外心，球心在其正上方，作出球心后，利用余弦定理以及诱导公式列方程组，解方程求得外接球半径.【详解】设为的中点，由于三角形为直角三角形，故其外心为点，则球心在点的正上方，设球心为，作出图像如下图所示.其中，.由余弦定理得，.设外接球的半径为.在三角形中，由勾股定理得①.在三角形中，由余弦定理得②.在三角形中，由余弦定理可知，由于，则，所以，所以③.联立①②③可得.故选B.【点睛】本小题主要考查空间几何体的外接球半径的求法，考查利用余弦定理和勾股定理解三角形，属于中档题.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）15.三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积是________【答案】【解析】由题意可得，所以取AB中点O,则O是三棱锥S-ABC的外接球的球心，半径为1.所以S=填。
2019_2020学年高中数学课时分层作业7柱、锥、台和球的体积(含解析)新人教B版必修2
课时分层作业(七) 柱、锥、台和球的体积(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.已知高为3的三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1ABC 的体积为( )A ．14B ．12C ．36D ．34 D [V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.]2．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径为( ) A ．32 B ．33 C ．232 D. 2 A [设大球的半径为r ，则43π×13×2＝43πr 3，∴r ＝32.]3．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A ．23B ．76C ．45D ．56D [如图，去掉的一个棱锥的体积是13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12×12×12＝148，剩余几何体的体积是1－8×148＝56.] 4．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为( )A ．4＋33πB ．32＋833πC ．32＋33πD ．4＋333πA [由三视图可知，该几何体是一个圆锥与一个球的组合体．圆锥的底面半径与球的半径均为1，圆锥的高为22－1＝3，∴该几何体的体积V ＝13π×12×3＋43π×13＝4＋33π.]5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )A ．1∶2∶ 3B ．6∶23∶ 3C ．6∶23∶3D ．3∶23∶6C [设Rt△ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，求得斜边上的高CD ＝32，旋转所得几何体的体积分别为V 1＝13π(3)2×1＝π，V 2＝13π×12×3＝33π，V 3＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×2＝12π.V 1∶V 2∶V 3＝1∶33∶12＝6∶23∶3.]二、填空题6．一个长方体的三个面的面积分别是 2， 3， 6，则这个长方体的体积为________．6 [设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎨⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘可知(abc )2＝6，所以长方体的体积V ＝abc ＝ 6.]7．已知三棱锥S ABC 的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________．1623 [如图，在三棱锥S ABC 中，作高SO ，连接AO 并延长AO 交BC 于点D ，则AO ＝32×4×23＝433.在Rt△SAO 中，SO ＝42－⎝⎛⎭⎪⎫4332＝463，所以V ＝13×463×34×42＝1623.]8．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.4 [设球的半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，得6r ·πr 2＝8πr 2＋3×43πr 3，解得r ＝4.]三、解答题9．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．[解] 因为V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×43＝1283π(cm 3)，V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×42×10＝1603π(cm 3)， 因为V 半球<V 圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．10.如图，圆台高为3，轴截面中母线AA 1与底面直径AB 的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．[解] 设圆台上、下底面半径分别为r ，R .∵A 1D ＝3，∠A 1AB ＝60°，∴AD ＝A 1Dtan 60°＝3，∴R －r ＝3，BD ＝A 1D ·tan 60°＝33， ∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝3，h ＝3，∴V 圆台＝13π(R 2＋Rr ＋r 2)h ＝13π×[(23)2＋23×3＋(3)2]×3＝21π.[等级过关练]1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A ．4π3 B ．2π3 C.3π2 D.π6A [由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.]2．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是( )A ．54B ．54πC ．58D ．58πA [设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.]3．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A —DED 1的体积为________．16 [V 三棱锥A －DED 1＝V 三棱锥E －DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.]4．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________.32a [设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h ， 圆柱形容器内的液体体积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22h .根据题意，有13πR 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22h ，解得R ＝32a .再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a＝h a，所以h ＝32a .] 5．若E ，F 是三棱柱ABC A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A BEFC 的体积．[解] 如图所示， 连接AB 1，AC 1. ∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积． 又四棱锥A BEFC 的高与四棱锥A B 1EFC 1的高相等， ∴V A BEFC ＝V A B 1EFC 1＝12V A BB 1C 1C，又VA A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，VABC A 1B 1C 1＝S △A 1B 1C 1·h ＝m ， ∴VA A 1B 1C 1＝m3，∴VA BB 1C 1C＝VABC A 1B 1C 1－VA A 1B 1C 1＝23m ，∴V A BEFC ＝12×23m ＝m3.即四棱锥A BEFC 的体积是m3.。
2019-2020学年高中数学课时分层作业10空间几何体的表面积含解析苏教版必修
课时分层作业(十)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列有四个结论，其中正确的是( )A．各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥B．三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥C．底面是正三角形的棱锥是正三棱锥D．顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥D[A不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；B缺少第一个条件；C缺少第二个条件；而D可推出以上两个条件，故正确．] 2．棱长为3的正方体的表面积为( )A．27 B．64C．54 D．36C[正方体共6个面，且每个面都是边长为3的正方形，表面积为6×32＝54.]3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6C．5 D．3A[设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A．4πB．3πC．2πD．πC[所得几何体为圆柱，底面半径和高都是1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.] 5．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )A．1∶2 B．1∶ 3C．1∶ 5 D.3∶2C[设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝5r.∴S侧＝πrl＝5πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶ 5.]二、填空题6．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________．20＋203 [由题意可知S 侧＝2×5×4×sin 60°＋5×4＝20＋20 3.]7．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．4 [∵l ＝R ＋r2，∴S 侧＝π(R ＋r )l ＝2πl 2＝32π，∴l ＝4.]8．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为153，则正三棱台的侧面积S 1与底面积之和S 2的大小关系为__________．S 1>S 2 [斜高h ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1532＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤36×（4－2）2＝2， S 1＝12×(3×2＋3×4)×2＝92，S 2＝34×22＋34×42＝53， ∴S 1>S 2.] 三、解答题9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm 2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．[解] 法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm.即A ′O ′＝x cm ，AO ＝3x cm(O ′，O 分别为上、下底面圆心)，过A ′作AB 的垂线，垂足为点D .在Rt △AA ′D 中，∠AA ′D ＝45°，AD ＝AO －A ′O ′＝2x cm ，所以A ′D ＝AD ＝2x cm ，又S 轴截面＝12(A ′B ′＋AB )·A ′D ＝12×(2x ＋6x )×2x ＝392(cm 2)，所以x ＝7.综上，圆台的高OO ′＝14 cm ，母线长AA ′＝2OO ′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别为7 cm 和21 cm.法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA ′，BB ′交OO ′的延长线于点S (O ′，O 分别为上、下底面圆心)．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x cm ，又SO ′＝A ′O ′＝x cm ，所以OO ′＝2x cm. 又S 轴截面＝12×(2x ＋6x )×2x ＝392(cm 2)，所以x ＝7.综上，圆台的高OO ′＝14 cm ，母线长AA ′＝2OO ′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别为7 cm ，21 cm.10.如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O ′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO ′和较小的棱锥PO ′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥PO 的侧棱为12 cm ，小棱锥底面边长为4 cm ，求截得棱台的侧面积和全面积．[解] (1)设正六棱锥的底面边长为a ，侧棱长为b ，则截面的边长为a2，∴S 大棱锥侧＝12c 1h 1＝12×6a ×b 2－a 24＝3ab 2－a 24，S 小棱锥侧＝12c 2h 2＝12×3a ×12b 2－a 24＝34a b 2－a 24，S 棱台侧＝12(c 1＋c 2)(h 1－h 2)＝12(6a ＋3a )×12b 2－a 24＝94ab 2－a 24，∴S 大棱锥侧∶S 小棱锥侧∶S 棱台侧＝4∶1∶3. (2)S 侧＝12(c 1＋c 2)(h 1－h 2)＝1442(cm 2)，S 上＝6×12×4×4×sin 60°＝243(cm 2)， S 下＝6×12×8×8×sin 60°＝963(cm 2)，∴S 全＝S 侧＋S 上＋S 下 ＝1442＋1203(cm 2)．[等级过关练]1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C.2倍D ．2倍D [由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝2.] 2．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为( )A ．22B ．20C ．10D ．11A [所求长方体的表面积S ＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.]3．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，则四边形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周所成几何体的表面积为________．24π＋122π [如图所示，过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，将四边形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周得到的几何体是由直角梯形ADCE 旋转得到的圆台与△CBE 旋转得到的圆锥拼接而成的组合体．由已知条件计算可得CE ＝4，AE ＝2，BE ＝3，BC ＝5， ∴S 表＝π·AD 2＋π(CE ＋AD )·CD ＋π·CE ·BC ＝4π＋π·(4＋2)×22＋π×4×5 ＝24π＋122π.]4．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥，三棱锥，三棱柱的高分别为h 1，h 2，h ，则h 1∶h 2∶h ＝__________．3∶2∶2 [由题意可把三棱锥A 1ABC 与四棱锥A 1BCC 1B 1拼成如图所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1.不妨设棱长均为1，则三棱锥与三棱柱的高均为63. 而四棱锥A 1BCC 1B 1的高为22，则h 1∶h 2∶h ＝22∶63∶63＝3∶2∶2.] 5．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 m 铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01 m 2)．[解] 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r8＝1.2－2r ，所以塑料片面积S＝πr 2＋2πr ·(1.2－2r )＝－3πr 2＋2.4πr ＝－3π(r 2－0.8r )＝－3π(r －0.4)2＋0.48π.所以当r ＝0.4时，S 有最大值0.48π，约为1.51平方米．。
2019-2020学年高中数学课时分层作业11空间几何体的体积含解析苏教版必修
课时分层作业(十一)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3B ．60 cm 3C ．64 cm 3D ．125 cm 3B [长方体即为四棱柱，体积为底面积×高，3×4×5＝60 cm 3.] 2．若球的过球心的圆面圆周长是C ，则这个球的表面积是( ) A.C 24πB.C 22πC.C 2πD ．2πC 2C [过球心的圆面圆的半径长就是球的半径长，设半径为r ，则2πr ＝C ，r ＝C2π，球的表面积为4πr 2＝4π·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2π2＝C2π.]3．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1ADC 的体积是( )A.16B.13C.12D ．1A [三棱锥D 1ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16.]4．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3 B.2π3 C.3π2D.π6A [由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.]5．一个正四棱台形油槽可以装煤油190 L ，假如它的上、下底边长分别等于60 cm 和40 cm ，它的深度是( )A ．19 cmB ．25 cmC ．60 cmD ．75 cmD [设深度为h ，则V ＝h3(402＋40×60＋602)，即190 000＝h3×7 600，所以h ＝75.]二、填空题6．将一铜球放入底面半径为16 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高了9 cm ，则这个铜球的半径为__________cm.12 [设铜球的半径为R cm ，则有43πR 3＝π×162×9，解得R ＝12.]7．若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此正三棱锥的体积为__________． 16 [设此正三棱锥的高为h ，则h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×22＝1，所以h 2＝13，h ＝33，故此三棱锥的体积V ＝13×34×(2)2×33＝16.]8．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．7 [设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7.] 三、解答题9．如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，如果AB ＝AC ＝13，BB 1＝BC ＝6，E ，F 为侧棱AA 1上的两点，且EF ＝3，求多面体BB 1C 1CEF 的体积．[解] 在△ABC 中，BC 边上的高h ＝（13）2－32＝2，V 柱＝12BC ·h ·BB 1＝12×6×2×6＝36，∴V E ABC ＋VF A 1B 1C 1＝16V 柱＝6，故VBB 1C 1CEF ＝36－6＝30.10．如图所示，A 为直线y ＝33x 上的一点，AB ⊥x 轴于点B ，半圆的圆心O ′在x 轴的正半轴上，且半圆与AB ，AO 相切，已知△ABO 绕x 轴旋转一周形成的几何体的体积为93π，求阴影部分旋转成的几何体的体积．[解] 阴影部分绕x 轴旋转一周所得几何体是圆锥挖去一个内切球．其体积为V ＝V 圆锥－V 球．设A 点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，13xy 2π＝93π，解得⎩⎨⎧x ＝33，y ＝3.于是∠AOB ＝30°，从而OO ′＝2R ， 3R ＝x ＝33，R ＝ 3.∴V ＝93π－43πR 3＝93π－43π(3)3＝53π.[等级过关练]1．如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E 是AB 的中点，D 是AA 1的中点，则三棱锥D B 1C 1E 的体积与三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶6C [设C 1到平面A 1B 的距离为h ，由已知得，S △DB 1E ＝38AB ·A 1A ，所以V 三棱锥D B 1C 1E＝13S △DB 1Eh ＝13×38·AB ·A 1A ·h ＝18AB ·A 1A ·h ＝14VABC A 1B 1C 1，即V 三棱锥D B 1C 1E ∶VABC A 1B 1C 1＝1∶4.]2．一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为2 cm ，则该球的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3B [设球心为O ，截面圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1垂直于截面圆O 1，如图所示． 在Rt △OO 1A 中，O 1A ＝ 5 cm ，OO 1＝2 cm ， ∴球的半径R ＝OA ＝22＋（5）2＝3(cm)， ∴球的体积V ＝43×π×33＝36π(cm 3)．]3．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12 [设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋（3）2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.]4．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为________． 4πRr [法一：如图，作DE ⊥BC 于点E .设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr .法二：如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连结OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高．由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .]5．如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． [解] (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确.。
2019-2020学年高中数学课时分层作业17向量的数乘含解析苏教版必修58
课时分层作业(十七) 向量的数乘(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知λ∈R ，则下列说法正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a |D ．|λa |>0C [当λ<0时，A 式不成立；当λ＝0或a ＝0时，D 式不成立；又|λa |∈R ，而|λ|a 是数乘向量，故B 式不成立．]2．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN →＝( ) A.14(b －a ) B.12(b －a ) C.14(a －b ) D.12(a －b ) A [MN →＝MC →＋CN →＝MC →－NC →＝12AD →－14AC →＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )．]3．已知向量a ，b 且P 1P 2→＝a ＋2b ，P 2P 3→＝－5a ＋6b ，P 3P 4→＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．P 1，P 2，P 3 B ．P 1，P 3，P 4 C ．P 2，P 3，P 4D ．P 1，P 2，P 4D [∵P 2P 4→＝P 2P 3→＋P 3P 4→＝2a ＋4b ＝2P 1P 2→，∴P 1，P 2，P 4三点共线．]4．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2(k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝( )A ．－14B.14 C.12D.34C [∵m 与n 共线，∴存在实数λ，使得m ＝λn ， ∴－e 1＋k e 2＝λ(e 2－2e 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－2λ，k ＝λ，∴λ＝12，k ＝12.]5．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为( )A ．－12B ．－14C.14D.12D [DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.]二、填空题6．若O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则BO →＝________.(用e 1，e 2表示)32e 2－e 1 [∵AD →＝BC →，∴BD →＝AD →－AB →＝3e 2－2e 1. 又∵BD →＝2BO →，∴BO →＝32e 2－e 1.]7.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )＝________. 2b －a [13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝2b －a .]8．若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →.－25 [∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线，且AC →与AB →同向，∵|AC →||AB →|＝57(如图)，∴|BC →||AC →|＝25，又BC →与AC →反向，∴BC →＝－25AC →.] 三、解答题9．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形．[证明] 如图所示．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．10．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →(λ∈R ，λ≠0且λ≠1)． (1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的取值范围． [解] (1)证明：∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →， ∴OM →＝λOB →＋OA →－λOA →， OM →－OA →＝λOB →－λOA →，∴AM →＝λAB →(λ∈R ，λ≠0，且λ≠1)． 又AM →与AB →有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线． (2)由(1)知AM →＝λAB →，若点B 在线段AM 上，则AM →与AB →同向， ∴|AM →|>|AB →|>0，∴λ>1.[等级过关练]1．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 A [∵e 1，e 2不共线， ∴向量a ，b 不为0. 又∵a ，b 共线，∴存在实数λ，使a ＝λb ，即2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝2，λ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1.]2．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，M 是△ABC 的重心． 取BC 的中点D ，则AB →＋AC →＝2AD →.又M 是△ABC 的重心，∴AM →＝2MD →，∴AD →＝32AM →，∴AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝3.]3．若AB →＝5e ，CD →＝－7e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________． 等腰梯形 [∵AB →＝5e ，CD →＝－7e ，∴CD →＝－75AB →，∴AB →与CD →平行且方向相反，易知|CD →|＞|AB →|. 又∵|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是等腰梯形．]4．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m ＝________，n ＝________. 13 23 [AD →－AB →＝2AC →－2AD →，∴3AD →＝AB →＋2AC →，∴AD →＝13AB →＋23AC →.]5．如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求λ的值．[解] (1)由A 是BC 的中点，则有OA →＝12(OB →＋OC →)，从而OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD →＝23OB →，从而DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a－53b . (2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC →＝μDC →，又EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －53b ， 又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。
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课时分层作业(十七)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若y ＝f (x )与y ＝g(x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，
x ＝b 所围成的平面区域的面积为( )
A.⎠⎛a b
[f (x )－g(x )]d x
B.⎠⎛a b
[g(x )－f (x )]d x C.⎠⎛a
b
|f (x )－g(x )|d x
D.⎪⎪⎪
⎪⎠⎛a b
[f (x )－g (x )]dx C [当f (x )>g (x )时，
所求面积为⎠⎛a
b
[f (x )－g(x )]d x ；
当f (x )≤g(x )时，
所求面积为⎠⎛a
b
[g(x )－f (x )]d x .
综上，所求面积为⎠⎛a
b
|f (x )－g(x )|d x .]
2．由抛物线y ＝x 2
介于(0,0)点及(2,4)点之间的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( )
A.4
5π B.16
5π C.8
5
π D.
325
π D [V ＝π⎠⎛02
(x 2)2
d x ＝π5x 5⎪⎪
⎪
2
＝32
5
π.] 3．如图，阴影部分的面积是( )
A ．2 3
B ．2－ 3
C ．323
D ．353
C [S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x －13x 3－x 2| 1
－3＝323.]
4．由xy ＝4，x ＝1，x ＝4，y ＝0围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是( ) A ．6π B ．12π C ．24π
D ．3π
B [因为xy ＝4，所以y ＝4
x
， V ＝π⎠⎛14y 2
d x ＝π⎠⎛14
⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x 2
d x
＝16π⎠⎛14x －2
d x ＝－16πx －1⎪⎪⎪
4
1
＝－16π⎝ ⎛⎭
⎪⎫14－1＝12π.] 5．如图所示，平面直角坐标系xOy 中，阴影部分是由抛物线y ＝x 2
及线段OA 围成的封闭图形，现在在△OAB 内随机的取一点P ，则P 点恰好落在阴影内的概率为( )
A.23
B.4
3 C.49
D.29
D [由题得直线OA 的方程为y ＝2x ，
所以图中阴影部分的面积为⎠⎛02(2x －x 2
)d x ＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 2－13x 32|0
＝4－83＝43
.
S △AB O ＝12
×3×4＝6.
所以P 点恰好落在阴影内的概率为436＝2
9.]
二、填空题
6．由曲线y ＝x 与y ＝x 3
所围成的图形的面积可用定积分表示为________．
⎠⎛0
1
(x －x 3)d x [画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨
⎧
y ＝x ，
y ＝x 3
得交点的横坐标为x
＝0及x ＝1．因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛0
1
(x －x 3
)d x .]
7．由曲线y ＝e x
2
，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的图形绕着x 轴旋转一周形成的几何体的体积是________．
π(e －1) [体积V ＝π⎠⎛0
1e x
d x ＝π(
e －1)．]
8．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________．
16
3 [由⎩⎨⎧
y ＝x ，y ＝x －2，
得其交点坐标为(4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图
形的面积为⎠⎛04
[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛0
4
(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x ⎪⎪
⎪
4
＝23×8－1
2
×16＋2×4＝16
3
.]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx (a ，b ∈R )的图像如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为
27
4
，求a 的值．
[解] 由题图知方程f (x )＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x 1＝x 2＝0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )，有274
＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2
)]d x
＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 44＋ax 33|－a 0＝a 4
12，
所以a ＝±3.
又－a >0⇒a <0，得a ＝－3.
10．设两抛物线y ＝－x 2
＋2x ，y ＝x 2
所围成的图形为M ，求： (1)M 的面积；
(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． [解] 如图，M 为图中阴影部分．
(1)图中M 的面积为
⎠⎛0
1
[(－x 2＋2x )－x 2]d x
＝⎠⎛0
1
(－2x 2
＋2x )d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 3＋x 2⎪⎪⎪
1
＝1
3
. (2)M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 π⎠⎛0
1
[(－x 2
＋2x )2－(x 2)2
]d x
＝π⎠⎛0
1
(－4x 3
＋4x 2
)d x
＝π·⎝
⎛⎭⎪⎫－x 4
＋43x 3⎪⎪⎪
1
0＝π
3
. [能力提升练]
1．直线l 过抛物线C ：x 2
＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )
A.43 B ．2 C.83 D.162
3
C [
∵抛物线方程为x 2
＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1．如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14
x 2
的图像和x 轴正半轴及直线
x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分)，
即S ＝4－2⎠⎛
02
x 24d x ＝4－2·x 3
12| 2
0＝4－43＝83
.] 2．已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2
－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的
方程为( )
A ．y ＝ax
B ．y ＝±ax
C ．y ＝－ax
D ．y ＝－5ax
A [显然，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，y ＝x 2
－2ax ，得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2
)，
所以图形面积S ＝∫2a ＋k
[kx －(x 2
－2ax )]d x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 3
3| 2a ＋k 0
＝(k ＋2a )3
2－(2a ＋k )
3
3
＝(2a ＋k )36
.
又因为S ＝92a 3，所以(2a ＋k )3
6＝92
a 3
，
解得k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax .故选A .]
3．一个半径为1的球可以看成是由曲线y ＝1－x 2
与x 轴所围成区域(半圆)绕x 轴旋转一周得到的，则球的体积为________．
4．由x ＝－π3，x ＝π
3，y ＝0，y ＝cos x 四条曲线所围成的封闭图形的面积为________．
3 [根据余弦函数的对称性可得，直线x ＝－π3，x ＝π
3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成
的封闭图形的面积为2∫π30cos x d x ＝2sin x |π
3
0＝ 3.]
5．已知曲线C ：y ＝2x 3－3x 2
－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C
围成的图形的面积．
[解] 设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，由于y ′＝6x 2
－6x －2，
所以有⎩⎪⎨⎪⎧
6x 2
－6x 0
－2＝y
x 0
－1
2
，y 0
＝2x 30
－3x 20
－2x 0
＋1，
解得x 0＝0，于是切线l 的斜率k ＝－2，
方程为y ＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋1． 解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝2x 3
－3x 2
－2x ＋1，
y ＝－2x ＋1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝32，
y ＝－2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝1.
故切线l 与曲线C 围成图形的面积为
即所求面积为27
32.。