立体几何三视图问题分类解答

三视图问题分类解答
例1、概念问题
1、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是．（填序号）
①正方体④正四棱锥
③三棱台
②圆锥
2、如图，折线ABC表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝，请把它的三视图补充完整．
俯视图
左视图
正视图
C
B
A
3 、已知某个几何体的三视图如下图所示，试根据图中所标出的尺寸（单位：㎝），可得这个几何体的体积是．
10
10
20
20
20
20
正视图左视图俯视图
4、已知某个几何体的三视图如下图所示，试根据图中所标出的尺寸（单位：㎝），可得这个几何体的面积是．
2
2
2
2
33
俯视图
正视图左视图
5、用小立方体搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如下图所示，则它最多需要个小立方块．
6、 如图，,E F 分别为正方体的面11ADD A ,面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的6个面上的射影(即正投影)可能是下图中的 ．(要求：把可能的图的序号都填上)
A
B
C
D
F
C 1
B 1
A 1
D 1
E
①
④
③
②
例2、图形判定问题
1、一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ D ）
A ．球
B ．三棱锥
C ．正方体
D ．圆柱
2、某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ D ）
3、用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( C )． A ．圆柱 B ．圆锥
C ．球体
D ．圆柱、圆锥、球体的组合体
4、如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中真命题的序号是________．
5、某几何体的正视图如左图所示，则该几何体的俯视图不可能的是(
C )
6、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，则相应的侧视图可以为（ D ）
7、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）
A
B
C
D
第6题图
8、下图是某几何体的直观图，其三视图正确的是（）
A B
C D
答案：A
9、一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为
①长方形；②正方形；③圆；④椭圆. 其中正确的是
（A）①②（B）②③
（C）③④（D）①④
答案：B
例3、三视图和几何体的体积相结合的问题
1、下图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1与3的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积等于
（A ）π63 （B ）π33 （C ）π
33
4 （D ）π21
答案：A
2、一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于
A ．3
B ．23
C ．33
D ．63
答案：A
解析：由题意得，根据三视图的规则得，棱锥以俯视图为底面，以侧视图的高为高， 由于侧视图是以2为边长的等边三角形，所以3h =，
结合三视图中的数据，底面积为1
(12)232
S =⨯+⨯=， 所以几何体的体积为11
33333
V Sh =
=⨯⨯=，故选A 。

3、设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9
122
π+ Ｄ．9182
π+
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体， 其体积3439+332=18322
V ππ=
⨯⨯+（）。

答案：D 4、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于(B)
特点：四棱锥
5、如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( B )
A.433π
B.63
6π
C.12π
D.33π
6、下图所示为一几何体的三视图，那么这个几何体的体积为________．
答案：
8
23π+ 特点：长方体+半个圆柱
例4、三视图和几何体的表面积相结合
1、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____38_________。

2、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直 角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为( D )
A ．61
B ．
2
3
C ．3324+
D ．332
2+
3、一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形.
则该几何体的表面积为( A ) A ．88 B ．98 C ．108 D ．
158
4、一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ C ）
（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+817 (D) 80
【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2， 下底为4，高为4，两底面积和为()1
2244242
⨯
+⨯=，四个侧面的面积为 ()
44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+.故选C. 5、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( D ) A.3 B.2 C.23 D.6
6、如图，一个空间几何体的主视图、左视图都是边长为1且一个内角为60°的菱形，俯视图是圆，那么这个几何体的表面积为 （ A ）
A ．π
B ．π2
C ．π3
D ．π4 答案：A
例5、综合问题
1.如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的 直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是 BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三 角形，有关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积。

(Ⅱ)若N 是BC 的中点，求证：//AN 平面CME ； (Ⅲ)求证：平面BDE ⊥平面BCD .
解：(Ⅰ)由题意可知：四棱锥ACDE B -中， 平面ABC ⊥平面ACDE ，AC AB ⊥
所以，⊥AB 平面ACDE 又4,2====CD AE AB AC ， 则四棱锥ACDE B -的体积为：422
2)24(3131=⨯⨯+⨯=⋅=
AB S V ACDE (Ⅱ)连接MN ，则,//,//CD AE CD MN
又CD AE MN 2
1
=
=，所以四边形ANME 为平行四边形，EM AN //∴⊄AN 平面CME ,⊂EM 平面CME , 所以，//AN 平面CME ；
(Ⅲ)AB AC = ,N 是BC 的中点,BC AN ⊥ 又平面⊥ABC 平面BCD ⊥∴AN 平面BCD 由(Ⅱ)知：EM AN // ⊥∴EM 平面BCD 又⊂EM 平面BDE
所以，平面BDE ⊥平面BCD .
2.已知四棱锥P ABCD -的三视图如右图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.E 是侧棱PC 上的动点．（Ⅰ）求证：BD AE ⊥（Ⅱ）若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若五点,,,,A B C D P 在同一球面上，求该球的体积.
(1)证明：由已知,PC BC PC DC PC ABCD ⊥⊥⇒⊥面
BD ABCD BD PC ⊂⇒⊥面,又因为BD AC ⊥
A
4
2
2
2
侧视图
俯视图
直观图
M
D
E
B
A
C N
,,.BD PAC AE PAC BD AE ∴⊥⊂∴⊥面又面
(2)连AC 交BD 于点O ，连PO ，由(1)知BD PAC ⊥面，BED PAC ⇒⊥面面，
E EH PO H ⊥过点作于，则EH PBD ⊥面，EBH ∴∠为BE 与平面PBD 所成的角.
13EH =,2,BE =则1
23sin .62
EBH ∠==
(3)解：以正方形ABCD 为底面，PC 为高补成长方体，此时对角线PA 的长为球的直径，
21146R PA ∴==++=,34
63
V R π球＝＝.
3.已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S
解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面 的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD 。

(1) ()1
864643
V =
⨯⨯⨯= (2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC 是全等的等腰三角形, 且BC 边上的高为
2
2184422h ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭, 另两个侧面V AB. VCD 也是全等的等腰三角形,
AB 边上的高为2
2
26452h ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
∴112(64285)4024222S =⨯⨯+⨯⨯=+。