题型七 综合实践题-2021年中考数学第二轮重难题型突破(原卷版)

题型七综合实践题

已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG.

【深入探究】

(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；

(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；

【拓展应用】

(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．

第1题图

例2．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移△ADP，使点D 移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH.

【问题发现】

(1)如图①，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是________，位置关系是________；

【拓展探究】

(2)如图②，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；

【解决问题】

(3)若点P在线段DC的延长线上，且∠AHQ＝120°，正方形ABCD的边长为2，请直接写出DP的长度．

第2题图

例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.

(1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；

(2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝6，请直接写出BQ的长．

第3题图

例4．已知正方形ABCD ，点E 在直线AD 上(不与点A 、D 重合)，连接BE ，作EF ⊥BE ，且EF ＝BE ，过点F 作FG ⊥BC ，交直线BC 于点G .

(1)如图①，当点E 在边AD 上，点G 在边BC 的延长线上时，求证：AB ＋AE ＝BG ；

(2)如图②，当点E 在边DA 的延长线上，点G 在边BC 上时，FG 交AD 于点H ，试猜想AB 、AE 与BG 的关系，并加以证明；

(3)如图③，当点E 在边AD 的延长线上，点G 在边BC 上时，FG 交AD 于点N ，请直接写出线段AB 、AE 、BG 之间的数量关系，不需要证明．

图① 图② 图③

第4题图

例5．如图，△ABC 中，AB ＝BC ，BD ⊥AC 于点D ，∠F AC ＝12

∠ABC ，且∠F AC 在AC 下方，点P ，Q 分别是射线BD ，射线AF 上的动点，且点P 不与点B 重合，点Q 不与点A 重合，连接CQ ，过点P 作PE ⊥CQ 于点E ，连接DE .

(1)若∠ABC ＝60°，BP ＝AQ .

①如图①，当点P 在线段BD 上运动时，请直接写出线段DE 和线段AQ 的数量关系和位置关系；

②如图②，当点P 运动到线段BD 的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

(2)若∠ABC ＝2α≠60°，请直接写出当线段BP 和线段AQ 满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．

第5题图

例6．已知，△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，点P 是射线CB 上一点(点P 不与点B 、C 重合)，线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M .

(1)如图①，当AC ＝BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是________；

(2)如图②，当AC ＝BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)如图③，若AC BC ＝52

，点P 在线段CB 的延长线上，CM ＝2，AP ＝13，求△ABP 的面积．

第6题图

例7．如图，等边△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形．

(1)如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？

(2)如图②，当点M 在线段BC 上时，其他条件不变，(1)的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

(3)若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．

第7题图

例8．已知，在矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，点M 为AD 边的中点，连接BD ，点P 是对角线BD 上的动点，连接AP ，以点P 为顶点作∠EPF ＝90°，PE 交AB 边于点E ，PF 交AD 边于点F .

(1)发现问题

如图①，当点P 运动过程中∠PBA 与∠P AB 互余时，线段BE 、MF 与AB 的数量关系为__________；

(2)解决问题

如图②，当点P 运动过程中∠PBA 与∠P AB 相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，连接EF 并延长EF ，交直线BD 于点G ，若BE ∶AF ＝2∶3，EF ＝85，求DG 的长．

第8题图

例9．如图①，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △EDB 中，AC ＝BC ，DE ＝BD ，∠ACB ＝∠EDB ＝90°，P 为AE 的中点．

(1)观察猜想

连接PC 、PD ，则线段PC 与PD 的位置关系是________，数量关系是________；

(2)探究证明

如图②，当点E 在线段AB 上运动时，其他条件不变，作EF ⊥BC 于F ，连接PF ，试判断△PCF 的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸

在点E 的运动过程中，当△PCF 是等边三角形时，直接写出△ACB 与△EDB 的两直角边之比．

第9题图

例10．已知在△ABC 中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动(与A ，B 不重合)，点E 与点D 同时出发，由点C 沿BC 的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连接DE 交AC 于F ，点H 是线段AF 上一点．

(1)初步尝试

如图①，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且点D ，E 的运动速度相等，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，则GH 与

AH 的数量关系是________，GF 与FC 的数量关系是________，AC HF

的值是________； (2)类比探究

如图②，若在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ADH ＝∠A ＝30°，且点D ，E 的运动速度之比是3∶1，求AC HF

的值； (3)延伸拓展

如图③，若在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ADH ＝∠A ＝36°，记BC AB

＝m ，且点D ，E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示AC HF

.(直接写出结果，不必写出解答过程)