题型七综合实践题-2021年中考数学第二轮重难题型突破(原卷版)

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2021年中考数学二轮复习综合练习题(有答案)

2021中考数学二轮复习综合练习题时间：100分钟满分：120分一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 1. 下列各数中，比3大比4小的无理数是（） A.3.14B.103C.√12D.√172. 某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（） A.0.36×106B.3.6×105C.3.6×106D.36×1053. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）4. 已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（） A.平均数是4B.众数是3C.中位数是5D.方差是3.25. 下列计算正确的是（） A.7ab −5a =2b B.(a +1a)2=a 2+1a 2C.(−3a 2b)2=6a 4b 2D.3a 2b ÷b =3a 26. 已知关于x 的一元二次方程x 2+bx −1=0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根D.实数根的个数与实数b 的取值有关7. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =−32x +3与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，C 是线段AB 上一点．过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，CE ⊥y 轴，垂足为E ，S △BEC :S △CDA =4:1，若双曲线y =kx (x >0)经过点C ，则k 的值为( )A.43B.34 C.25 D.528. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为BC 中点，AC ＝6，BD ＝8．则线段OH 的长为（）A.125B.52C.3D.59. 如图，在△ABC 中，BC =120，高AD =60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（）A.15B.20C.25D.3010. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝x 2−2x −3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt △OAB 向右上方平移，得到Rt △O ′A ′B ′，且点O ′，A ′落在抛物线的对称轴上，点B ′落在抛物线上，则直线A ′B ′的表达式为（） A.y ＝xB.y ＝x +1C.y ＝x +D.y ＝x +2二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分） 11. 使得代数式√x−3有意义的x 的取值范围是________．12. 计算：(1+a1−a )÷1a 2−a =________．13. 某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是________．14. 若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为________．15. 如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC= 3√3，则下列结论：①F 是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=92CE；④S阴影=√32．其中正确结论的序号是________．三、解答题（本题共计 8 小题，共计75分）16. （9分）先化简，(x2+4x+4x2−4−x−2)÷x+2x−2，然后从−2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．17.(9分) 对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试．根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成，，，四组，绘制了如下统计图表：“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表（1）求得________，________；（2）这次测试成绩的中位数落在________组；（3）求本次全部测试成绩的平均数．18.(9分) 已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90∘，AB=√2，点D位于边BC的中点上，点E 在AB上，点F在AC上，∠EDF=45∘．（1）求证：∠DFC=∠EDB；（2）求证：CF⋅BE=1；（3）当BE=1时，求△FCD的面积．19.(9分) 如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F．(1)求证：AE=BF；(2)若点E恰好是AD的中点，AB=2，求BD的值．20.(9分) 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．(1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？(3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？21.(9分) 如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y = mx(m≠0)的图象交于二、四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−2, 3)，点B的坐标为(4, n)．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.(10分) 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若OF⊥BD于点F，且OF=2，BD=4√3，求图中阴影部分的面积．23.(11分) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=−23x+4分别与x轴、y轴相交于点B，C，经过点B，C的抛物线y=−23x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．(1)求出抛物线表达式，并求出点A坐标．(2)已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；(3)点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A，P，Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1.【答案】C【解答】3=√9，4=√16，A、3.14是有理数，故此选项不合题意；B、103是有理数，故此选项不符合题意；C、√12是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；D、√17比4大的无理数，故此选项不合题意；2.【答案】B【解答】解：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．则360000=3.6×105，故选B.3.【答案】A【解答】解：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形.把一个图形绕着某一点旋转180∘，如果它能够与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.A，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；D，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选A.4.【答案】C【解答】解：平均数：15(2+3+5+3+7)=4，中位数是3，众数是3，方差：15[(2−4)2+(3−4)2+(5−4)2+(3−4)2+(7−4)2]=3.2．故选C.5.【答案】D【解答】解：7ab与−5a不是同类项，不能合并，因此选项A不正确；根据完全平方公式可得(a+1a)2=a2+1a+2，因此选项B不正确；(−3a2b)2=9a4b2，因此选项C不正确；3a2b÷b=3a2，因此选项D正确.故选D.6.【答案】A【解答】解：∵ Δ=b2−4×(−1)=b2+4>0，∵ 方程有两个不相等的实数根．故选A.7.【答案】A【解答】解：∵ 直线y=−32x+3与x轴，y轴分别交于点A和点B，∵ A(2, 0)，B(0, 3)，即OA=2，OB=3.∵ S△BEC:S△CDA=4:1，且△BEC∽△CDA，∵ ECDA=BECD=21.设EC=a=OD，CD=b=OE，则AD=12a，BE=2b，∵ OA=2=a+12a，解得a=43，OB=3=3b，解得b=1，∵ k=ab=43.故选A.8.【答案】B【解答】∵ 四边形ABCD为菱形，∵ AC⊥BD，OB＝OD=12BD＝4，OC＝OA=12AC＝3，在Rt△BOC中，BC=2+42=5，∵ H为BC中点，∵ OH=12BC=52．9.【答案】B【解答】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x，∵ 四边形EFGH是正方形，∵ ∠HEF=∠EHG=90∘，EF // BC，∵ △AEF∼△ABC.∵ AD是△ABC的高，∵ ∠HDN=90∘，∵ 四边形EHDN是矩形，∵ DN=EH=x.∵ △AEF∼△ABC，∵ ANAD =EFBC，∵ 60−x60=x120，解得：x=40，∵ AN=60−x=60−40=20．故选B.10.【答案】B【解答】如图，∵ 抛物线y＝x2−2x−3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，令y＝0，解得x＝−1或3，令x＝0，求得y＝−3，∵ B(3, 0)，A(0, −3)，∵ 抛物线y＝x2−2x−3的对称轴为直线x＝-＝1，∵ A′的横坐标为1，设A′(1, n)，则B′(4, n+3)，∵ 点B′落在抛物线上，∵ n+3＝16−8−3，解得n＝2，∵ A′(1, 2)，B′(4, 5)，设直线A′B′的表达式为y＝kx+b，∵ ，解得∵ 直线A′B′的表达式为y＝x+1，二、填空题11.【答案】x>3【解答】解：∵ 代数式√x−3有意义，∵ x−3>0，∵ x>3，∵ x的取值范围是x>3，故答案为：x>3．12.【答案】−a【解答】解：原式=1−a+a1−a⋅a(a−1)=11−a⋅a(a−1)=−a．故答案为：−a.13.【答案】13【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，所以抽到同一类书籍的概率为39=13.故答案为：13.14.【答案】40【解答】去分母，得：x+2−a＝3(x−1)，解得：x＝，∵ 分式方程的解为非负数，∵ ≥0，且≠1，解得a≤5且a≠3，解不等式-≥−，得：y≤0，解不等式2(y−a)<0，得：y<a，∵ 不等式组的解集为y≤0，∵ a>0，∵ 0<a≤5，则整数a的值为1、2、4、5，∵ 符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5＝40，15.【答案】①②④【解答】①∵ AF是AB翻折而来，∵ AF=AB=6，∵ AD=BC=3√3，∵DF=√AF2−AD2=3，∵ F是CD中点；∵ ①正确；②连接OP，∵ ⊙O与AD相切于点P，∵ OP⊥AD，∵ AD⊥DC，∵ OP // CD，∵ AOAF =OPDF，设OP=OF=x，则x3=6−x6，解得：x=2，∵ ②正确；③∵ Rt△ADF中，AF=6，DF=3，∵ ∠DAF=30∘，∠AFD=60∘，∵ ∠EAF=∠EAB=30∘，∵ AE=2EF；∵ ∠AFE=90∘，∵ ∠EFC=90∘−∠AFD=30∘，∵ EF=2EC，∵ AE=4CE，∵ ③错误；④连接OG，作OH⊥FG，∵ ∠AFD=60∘，OF=OG，∵ △OFG为等边△；同理△OPG为等边△；∵ ∠POG=∠FOG=60∘，OH=√32OG=√3，S扇形OPG=S扇形OGF，∵ S阴影=(S矩形OPDH−S扇形OPG−S△OGH)+(S扇形OGF−S△OFG)=S矩形OPDH−32S△OFG=2×√3−32(12×2×√3)=√32．∵ ④正确；三、解答题16.【答案】解：原式=[(x+2)2(x+2)(x−2)−(x+2)]⋅x−2x+2=(x+2x−2−x2−4x−2)⋅x−2x+2=−x2+x+6⋅x−2=−(x+2)(x−3)⋅x−2=−(x−3)=−x+3，∵ x≠±2，∵ 可取x=1，则原式=−1+3=2．17.【答案】（1）解：：被调查的学生总人数为72÷36%=200（人），m=200−(38+72+60)=30n=38200×100%=19%故答案是：30，19%（2）共有200个数据，其中第100，101个数据均落在B组，…这次测试成绩的中位数落在B组；故答案是；B；（3）2581+543+5100+2796200=80.1（分），答：本次全部测试成绩的平均数是80.1分．18.【答案】（1）证明：∵ ∠EDF=45∘，∵ ∠EDB+∠FDC=135∘，∵ ∠B=∠C=45∘，∵ ∠DFC+∠FDC=135∘，∵ ∠BDE=∠DFC；（2）证明：∵ ∠B=∠C，∠BED=∠FDC，∵ △BDE∽△CFD，∵ BDFC =BECD，∵ CF⋅BE=BD⋅CD=1，（3）解：∵ △ABC是等腰直角三角形，∠A=90∘，AB=√2，∵ BC=2，∵ 点D位于边BC的中点上，∵ BD=DC=BE=1，∠B=∠C=45∘，∵ ∠BDE=67.5∘，∠EDF=45∘，∵ ∠FDC=∠DFC=67.5∘，CF=CD=1，∵ DC边上的高是√22，∵ S△CDF=12×1×√22=√24．19.【答案】(1)证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∵ AB=BC，AD // BC，∵ ∠A=∠CBF.∵ BE⊥AD，CF⊥AB，∵ ∠AEB=∠BFC=90∘，∵ △AEB≅△BFC(AAS)，∵ AE=BF；(2)解：∵ E是AD的中点，且BE⊥AD，∵ 直线BE为AD的垂直平分线，∵ BD=AB=2.20.【答案】解：(1)设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b (k≠0)，将点(30,100)，(40,80)代入一次函数表达式得：{100=30k+b,80=40k+b,解得：{k=−2,b=160,故函数的表达式为：y=−2x+160.(2)由题意得：(x−30)(−2x+160)=800，整理得：x2−110x+2800=0，解得：x1=40，x2=70，∵ 销售单价不低于成本价，且不高于50元，∵ x2=70不合题意，舍去.答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元.(3)由题意得：w=(x−30)(−2x+160)=−2(x−55)2+1250，∵ −2≤0，抛物线开口向下，∵ 当x<55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∵ 当x=50时，w有最大值，此时w=1200，故销售单价定为50元时，销售该商品每天的利润最大，最大利润1200元.21.【答案】解：(1)将点A的坐标代入y = mx(m≠0)，得：m=−2×3=−6，则反比例函数的表达式为：y=−6x，将点B的坐标代入上式并解得：n=−32，故点B(4, − 32)，将点A，B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b,得：{−2k+b=3，4k+b=−32，解得：{k=−34，b=32，故一次函数的表达式为y=−34x + 32．(2)在y=−34x + 32中，令y=0，则x=2，故点C(2, 0)，①当∠APC为直角时，则点P(−2, 0)；②当∠P(P′)AC为直角时，由点A、C的坐标知，PC=4，AP=3，则AC=5，cos∠ACP = PCAC = 45 = ACCP′ = 5CP′，解得：CP′ = 254，则OP′ = 254 − 2 = 174，故点P的坐标为(−2, 0)或( − 174, 0)．22.【答案】(1)证明：连接OD，∵ BC是⊙O的切线，∵ ∠ABC=90∘.∵ CD=CB，∵ ∠CBD=∠CDB.∵ OB=OD，∵ ∠OBD=∠ODB，∵ ∠ODC=∠ABC=90∘，即OD⊥CD.∵ 点D在⊙O上，∵ CD为⊙O的切线；(2)解：∵ OF⊥BD，∵ BF=12BD=2√3，OB=√OF2+BF2=√22+(2√3)2=4，∵ OF=12OB，∵ ∠OBF=30∘，∵ ∠BOF=60∘，∵ ∠BOD=2∠BOF=120∘，∵ S阴影=S扇形OBD−S△BOD=120π×42360−12×4√3×2=16π3−4√3．23.【答案】解：(1)由已知可求B(6,0)，C(0,4)，将点B(6,0)，C(0,4)代入y=−23x2+bx+c中，则有{0=−23×36+6b+c，c=4，解得{b=103，c=4，∵ y=−23x2+103x+4，令y=0，则−23x2+103x+4=0，解得x=−1或x=6，∵ A(−1,0).(2)∵ 点D在抛物线上，且横坐标为3，∵ D(3,8)，过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F，∵ E(0,8)，F(6,8)，∵ S△BCD=S梯形ECBF−S△CDE−S△BFD=12(EC+BF)×OB−12×EC×ED−12×DF×BF=12×(4+8)×6−12×4×3−12×3×8=36−6−12=18.(3)设P(m,−23m2+103m+4)，∵ PQ垂直于x轴，∵ Q(m,0)，且∠PQO=90∘.∵ ∠COB=90∘，∵ 以点A，P，Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：①△PAQ∼△CBO时，PABC=AQBO=PQCO，∵ 1+m6=−23m2+103m+44，解得m=5或m=−1.∵ 点P在直线BC上方的抛物线上，∵ 0≤m ≤6， ∵ m =5， ∵ P(5,4)；②△PAQ ∼△BCO 时，PA BC=PQ BO =AQ CO， ∵−23m 2+103m+46=1+m 4，解得m =−1或m =154.∵ 点P 在直线BC 上方的抛物线上， ∵ 0≤m ≤6， ∵ m =154，∵ P(154,578).综上所述：P(5, 4)或P(154,578)时，以点A ，P ，Q 为顶点的三角形与△BOC 相似．。

一元二次方程应用(7个考点七大题型)(原卷版)-九年级数学上册《重难点题型-高分突破》(人教版)

专题 1.4一元二次方程应用（7个考点七大题型）【题型1变化率问题】【题型2传播问题】【题型3树枝分叉问题】【题型4单循环和双循环问题】【题型4销售利润与一次函数综合问题】【题型5销售利润每每问题】【题型6几何图形问题】【题型7几何中动点问题】1．（2023•渝中区校级模拟）我校初三某班第一次体育模拟测试平均分为43.2分，经过专业的体育指导和训练后，在之后的第二次和第三次体育模拟测试中，班级平均分稳步提升，第三次体育模拟测试平均分达到46.7分，设该班每次测试班级平均分较上次的增长率相同，均为x，则可列方程为（）A．43.2（1+x）＝46.7B．46.7（1﹣x）＝43.2C．43.2（1+x）2＝46.7D．46.7（1﹣x）2＝43.2 2．（2023•重庆模拟）某社区为改善环境，加大对绿化的投入，4月对绿化投入25万元，计划6月绿化投入49万元，5月、6月绿化投入的月平均增长率相同．设这两月绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（）A．25（1+x）2＝49B．25（1+x）+25（1+2x）＝49C．25（1+x）+25（1+x）2＝49D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝493．（2023春•萨尔图区校级期中）某校图书馆六月份借出图书100本，计划七、八月份一共借出图书480本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（）A．100（1+x）2＝480B．100（1+x）+100（1+x）2＝480C．100（1﹣x）2＝480D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝4804．（2023•渝中区校级二模）随这疫情消退我国经济强势崛起，2023年某外贸企业二月份的销售额为3亿元，四月份的销售额为6.75亿元．设该企业二月到四月销售额平均月增长率为x，根据题意，可列出的方程是（）A．3（1+x）＝6.75B．3（x+1）2＝6.75C．3+3（1+x）2＝6.75D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝6.755．（2023•长沙一模）长沙已成为国内游客最喜欢的旅游目的地城市之一，调查显示，长沙在2021年五一假期，共接待游客200万人次，在2023年五一假期，共接待游客288万人次．（1）求长沙2021至2023五一假期接待游客人次的平均增长率；（2）茶颜悦色已经成为外地游客在长沙的打卡地，其中幽兰拿铁和声声乌龙是游客最爱的两款产品，已知幽兰拿铁的单价比声声乌龙贵2元，某导游花费216元购买幽兰拿铁的杯数是96元购声声乌龙的两倍，求幽兰拿铁的单价．6．（2023•南海区一模）富强村2020年的人均收入为3.6万元，2022年的人均收入为4.356万元．（1）求富强村人均收入的年平均增长率；（2）如果该村人均收入的年平均长率不变，请估计今年富强村的人均收入为多少万元．7．（2023•澄城县一模）随着环保意识日益深入，我国新能源汽车的生产技术也不断提升．市场上某款新能源汽车1月份的售价为25万元/辆，3月份下降到20.25万元/辆，求该款汽车售价的月平均下降率．8．（2023•兴庆区校级一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，可到方程为（）A．1+2x＝81B．1+x2＝81C．1+x+x2＝81D．（1+x）2＝81 9．（2022秋•齐河县期末）新冠病毒传染性极强，如果有1人患病，经过两轮传染后有361人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列方程正确的是（）A．（1+x）2＝361B．x2＝361C．1+x+x2＝361D．x（1+x）＝361 10．（2022秋•方城县期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染x个人，经过两轮传染后共有169人感染，若不加以控制，第三轮传染后感染人数为（）A．338B．256C．2197D．2028 11．（2023春•诸暨市月考）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是人．12．（2023春•金安区校级月考）去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．（1）每轮传染中平均每头患病猪传染了几头健康猪？（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的猪会不会超过500头？13．（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？14．（2022秋•天河区校级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？15．（2022秋•大连期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？16．（2023•虎林市校级一模）某种植物的主干长出若干为数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出小分支的个数是（）A．6B．4C．3D．5 17．（2023•黑龙江一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57个，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（）A．8个B．7个C．6个D．5个18．（2022秋•青川县期末）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7 19．（2022秋•武昌区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出个小分支．20．（2022秋•澄海区期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？21．（2022秋•滨海新区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，每个枝干长出多少小分支？若设每个枝干长出x个小分支．（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表：①主干的数目为；②从主干中长出的枝干的数目为；（用含x的式子表示）③又从上述枝干中长出的小分支的数目为；（用含x的式子表示）（Ⅱ）完成问题的求解．22．（2023•东莞市二模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．7B．8C．9D．10 23．（2023•闽清县校级模拟）某乒乓球比赛的每两队之间都进行1场比赛，共要比赛28场，设共有x支球队参加该比赛，则符合题意的方程是（）A．x2＝28B．x2＝28×2C．D．x（x﹣1）＝28×2 24．（2022秋•南华县期末）某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．9 25．（2023•博罗县一模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有参赛队伍（）A．8支B．9支C．10支D．11支26．（2022秋•集贤县期末）在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（）A．x（x+1）＝21B．x（x+1）＝21C．x（x﹣1）＝21D．x（x﹣1）＝2127．（2023春•拱墅区校级期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（）A．x（x+1）＝182B．x（x﹣1）＝182C．D．28．（2022秋•大丰区期末）为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是（）A．B．x（x﹣1）＝4C．x（x+1）＝28D．29．（2023•四川模拟）命题人“魔力”去参加同学聚会，每两个人相互赠送礼品，他发现共送礼40件，若设有x人参加聚会，根据题意可列方程为（）A．B．x（x﹣1）＝40C．D．x（x+1）＝40 30．（2023春•安徽月考）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为人．31．（2022秋•公安县月考）在一次同学聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了380份礼物，则参加聚会的同学的人数是．32．（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？33．（2023•中山市校级模拟）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？34．（2023•杨浦区三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），部分对应值如表：每件售价x（元）91113每天的销售量y（件）1059585（1）求y与x的函数解析式；（2）如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？35．（2022秋•云梦县期中）某景区新开发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于52元，并且为整数；销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如表所示：销售单价x（元/件）…354045……908070…每天销售数量y（件）（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）若要使每天销售所得利润不低于1200元，请直接写出销售单价x的所有可能取值．36．（2022秋•铁西区期中）某商场销售一种市场需求较大的健身器材，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总费用（不含进货费用）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间存在着一次函数关系y＝kx+b，且x＝60时，y＝5；x＝80，y＝4．（1）求出y与x的解析式；（2）若商场希望该种产品一年的销售利润为55万元，请你为商场定一个销售单价．37．（2023•南海区校级模拟）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如表所示的一次函数关系．…20.52426.526…售价x（元/千克）销售量y（千克）…39322728…（1）某天这种水果的售价为25元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？38．（2023•泸县校级一模）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？39．（2023春•嵊州市校级期中）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？40．（2023春•庐阳区校级期中）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．（1）求该公司销售A产品每次的增长率；（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？41．（2023春•宁波期中）某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定价50元时，每天可售出100个．临近五一，商家决定开启大促，经市场调研发现，销售单价每下降2元，每天销量增加20个，设每个商品降价x元．（1）求每天销量y（个）关于x（元）的函数关系式；（2）求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利1760元；（3）请说明：商家每天的获利是否能达到3000元？42．（2022秋•代县期末）某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．（1）求该商店11，12两个月的月均增长率；（2）调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．43．（2021秋•铁西区校级月考）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？44．（2023春•瓯海区期中）某商场在去年底以每件120元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利10400元？45．（2023春•涡阳县期中）如图，长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，现在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖的长方体盒子，则x的值为（）A．2B．7C．2或7D．3或646．（2023春•襄州区校级月考）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？47．（2022秋•从化区期末）某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙AB长度不限），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场CD边的长为xm，矩形面积为ym2．（1）矩形面积y＝（用含x的代数式表示）；（2）当矩形动物场面积为48m2时，求CD边的长．（3）能否围成面积为60m2矩形动物场？说明理由．48．（2021秋•集贤县期末）如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，且互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的总面积为570平方米，问：道路宽为多少米？49．（2023春•苍南县期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；（2）求出网红打卡点的面积．50．（2023•政和县模拟）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为米（用含x的代数式表示）；（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．51．（2022秋•石狮市期末）为全面落实劳动教育，某校在如图所示的两面成直角的围墙角落（墙足够长），用总长为28米的篱笆围成一个长方形苗圃OABC．设AB＝x米，BC＝y米．（1）求苗圃OABC的面积；（用含x的代数式表示）（2）若苗圃OABC的面积为192平方米，现要在苗圃OABC的对角线上修一条小道AC，求小道AC的长．52．（2023•播州区一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为x 米，剩余部分为绿化．（1）道路①的面积为20x平方米；道路②的面积为20x平方米（都用含x的代数式表示）；（2）如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为x米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．53．（2022秋•昆都仑区期末）如图，一农户准备围建一个矩形猪舍，其中一边靠墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，已知墙长为12m，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？54．（2022秋•江门期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．55．（2023春•蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P 从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B 开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代数式表示）；（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023春•和平区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B 移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B 点时点Q随之停止运动．（1）AP＝，BP＝，CQ＝，DQ＝（用含t的代数式表示）；（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．57．（2022秋•江门校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC 向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停＝28cm2？若存在，请求出t的值；止．问：是否存在这样的时刻，使S△DPQ若不存在，请说明理由．58．（2022秋•市北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C 出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，（0≤t≤5）求：（1）当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？（2）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（3）当t为多少秒时，？59．（2022春•泗水县期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动．（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？。

类型三其他探究题-2021年中考数学第二轮重难题型突破(原卷版)

类型三其他探究题（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）例2、请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PC 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．例3、如图1，已知∠ABC=90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F.（1）如图2，当BP=BA 时，∠EBF= °，猜想∠QFC= °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=32，设BP=x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．例4、如图，将OA= 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M 、N 以每秒１个单位的速度分别从点A 、C同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ．（1）点B 的坐标为；用含t 的式子表示点P 的坐标为；（2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的13？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．例5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC 上的动点(不与点B 、点C 重合)，连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 逆时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ.(1)如图①，当点P 在线段BC 上时，请直接写出线段BQ 与CP 的数量关系；(2)如图②，当点P 在CB 延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点P 在BC 延长线上时，若∠BPO ＝45°，AC ＝6，请直接写出BQ 的长．图1 AC B EQ FP。

2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类(含解析)

综合探究类1．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E 与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF= ．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．【解析】（1）如图所示：△ABC ≌△DEF ，其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==， ∴90C F FAC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBF 是矩形，AB=4∴，∴AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ；（2）如图所示：△ABC ≌△DEF ，其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==， ∴//BC EF ，∴四边形ECBF 是平行四边形，点E 与AB 的中点重合，∴CE=BE ，∴CBE △是等边三角形，∴EC=BC ，∴四边形ECBF 是菱形，∴CF 与EB 互相垂直且平分，∴OC EC ==∴CF =，故答案为：菱形，（3）证明：如图所示：∵90,3060C A ABC ∠=︒∠=︒∴∠=︒ ∵//,DE BC DEF ABC ≌ ∴60DEB DEF ABC ∠=∠=∠=︒ ∴60AEF ∠=︒∵24,2AB BC AE ==∴= ∵2EF BC AE EF ==∴= ∴AEF ∆为等边三角形 ∴60FAE ABC ∠=︒=∠ ∴//BC AF ∵AE EF BC ==∴四边形ACBF 为平行四边形 ∵90C ∠=︒∴四边形ACBF 为矩形．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，B ，C 为格点，D 为小正方形边的中点.（1）AC的长等于_________；+取得最小值时，请在如图所示（2）点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，当PD PQ的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PD，PQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（不要求证明）.【解析】解：（1）由图可得：5=，故答案为：5；（2）如图，BC与网格线相交，得点P；取格点E，F，连接EF，与网格线相交，得点G，取格点M，N，连接MN，与网格线相交，得点H，连接GH，与AC相交，得点Q.连接PD，PQ.线段PD，PQ即为所求.如图，延长DP，交网格线于点T，连接AB，GH与DP交于点S，由计算可得：，，AC=5，∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∴tan∠ACB=2，∵tan∠BCT=PT：TC=2，∴∠ACB=∠BCT，即BC平分∠ACT，根据画图可知：GH∥BC，∴∠ACB=∠CQH，∠BCT=∠GHC，∵∠BCT=∠BCA，∴∠CQH=∠GHC，∴CQ=CH，由题意可得：BS=CH，∴BS=CQ，又∵BP=CP，∠PBS=∠PCQ，∴△BPS≌△CPQ，∴∠PSB=∠PHC=90°，即PQ⊥AC，∴PD+PQ的最小值即为PD+PT，∴所画图形符合要求.3．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．【解析】（1）解：如图3所示，图形的面积表示为：2222122a b ab a b ab ++⨯=++，图形的面积也可表示：22122c ab c ab +⨯=+， ∴a 2b 2ab c 2ab ，∴a2b2c 2（2）解：如图4所示，大正方形的面积表示为：a b2，大正方形的面积也可以表示为：221422c ab c ab +⨯=+，∴22a b c ab+=+，()2∴a2b22ab c22ab，∴a2b2c2；4．综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．（问题发现）（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是，∠DCB的度数，∠ECD的度数是．②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．（类比探究）（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．【解析】解：（1）①1459055∠=∠︒︒︒=﹣=，ACE DCB==﹣；∠∠-∠︒︒=︒ECD BCE BCD905535②结论：ACE DCB=；∠+∠︒ACB ECD∠=∠，180证明：∵90∠=∠-∠=∠-︒DCB ACB ACD ACB∠=∠-∠=∠-︒，90ACE ACB BCE ACB∴ACE DCB∠=∠∵9090180∠=∠+∠-∠=︒+︒-∠=︒-∠ACB ACD BCE ECD ECD ECD∴180=ACB ECD∠+∠︒（2）结论：当ACD与BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．理由：∵90∠=∠=︒，ACD ECB∴ACD DCE ECB DCE∠+∠=∠+∠，∴ACE DCB∠=∠，∵90∠=∠=︒，ACD ECB∴180=，∠+∠︒ACD ECB∵360=，ACD ECD ECB ACB∠+∠+∠+∠︒∴180ACB ECD=，∠+∠︒∴ACE DCB∠+∠︒=．ACB ECD∠=∠，180∴上述②中发现的结论依然成立．故答案为：（1）①55°，55°，35°；②∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°；（2）当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立，理由详见解析5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究：=.(1)如图②，当点Q在DC上时，求证：PQ PB(2)如图③，当点Q在DC延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.【解析】(1)证明：过点P作//BCMN，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．∴NP=NC=MB∵∠BPQ=90°∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ，∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，在△QNP和△BMP中，∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ=BP．(2)成立.过点P作PN AB⊥于N,PN交CD于点M在正方形ABCD中//AB CD,45∠=ACD∴90∠=∠=∠=PMQ PNB CBN∴CBNM是矩形，∴CM BN=，∴CMP∆是等腰直角三角形，∴PM CM BN ==，∵90PBN BPN ∠+∠=，90BPN MPQ ∠+∠=∴MPQ PBN ∠=∠，在PMQ ∆和BNP ∆中，90MPQ PBN PNB PMQ BN PM ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴()PMQ BNP AAS ∆≅∆， ∴BP QP =；6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值．【解析】（1）解：∵ABCD 是平行四边形， ∴'////AD BC EA ，'//AE DA ∴四边形'AEA D 是平行四边形∵矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处 ∴'AED A ED ≌ ∴'AE A E = ∵90A ∠=∴四边形AEA D '的形状是正方形故最后答案为：四边形AEA D '的形状是正方形；（2）MC ME '=理由如下：如图，连接EC '，由（1）知：AD AE = ∵四边形ABCD 是矩形， ∴90AD BC EAC B '=∠=∠=︒，由折叠知：B C BC B B '''=∠=∠， ∴90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒，又EC C E ''=， ∴Rt EC A Rt C EB '''≌ ∴C EA EC B '''∠=∠ ∴MC ME '=（3）∵Rt EC A Rt C EB '''≌，∴AC B E ''= 由折叠知：B E BE '=，∴AC BE '= ∵2(cm)4(cm)AC DC ''==， ∴()2428cm AB CD ==++=设cm DF x =，则()8cm FC FC x '==-在Rt DC F '中，由勾股定理得：2224(8)x x +=- 解得：3x =，即()3cm DF =如图，延长BA FC '，交于点G ，则AC G DC F ''∠=∠ ∴3tan tan 4AG DF AC G DC F AC DC ''∠=∠==='' ∴3(cm)2AG = ∴3156(cm)22EG =+= ∵//DF EG ，∴DNF ENG ∽ ∴152::3:25DN EN DF EG === 7．综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．【解析】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15°；（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA 'T 是平行四边形，又∵AA '⊥ST ，∴边形SATA '是菱形；（4）∵折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A '处， ∴AT ＝A 'T ，在Rt△A 'TB 中，A 'T ＞BT ， ∴AT ＞10﹣AT ， ∴AT ＞5， ∵点T 在AB 上，∴当点T 与点B 重合时，AT 有最大值为10， ∴5＜AT ≤10，∴正确的数值为7，9，故答案为：7，9． 8．综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，ACD 和BCE 是两个等边三角形纸片，其中，52AC cm BC cm ==,．解决问题（1）勤奋小组将ACD 和BCE 按图1所示的方式摆放(点,,A C B 在同一条直线上) ，连接,AE BD ．发现AE DB =，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE 绕着点C 逆时针方向旋转，当点E 恰好落在CD 边上时，求ABC 的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题： “将BCE 沿CD 方向平移acm 得到''',B C E 连接''AB B C ,，当'AB C △恰好是以'AB 为斜边的直角三角形时，求a 的值．请你直接写出a 的值．【解析】（1）∵ACD 和BCE 是两个等边三角形， ∴AC=CD，BC=CE ，∠ACD=∠ECB=60°， ∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE, 即∠ACE=∠DCB， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=BD；（2）由题意得∠ACD=∠ECB=60°，过点B 作BF⊥AC，交AC 的延长线于F ，∴∠BCF=180°-∠ACD -∠ECB=60°，∠F=90°， ∴∠CBF=30°， ∴CF=12BC=1cm ，=cm ，∴11522ABCSAC BF =⋅=⨯；（3）由题意得∠ACD=E C B '''∠=60°， ∵∠ACB '=90°， ∴30C CB ''∠=,∵C CB C B C E C B '''''''∠+∠=∠, ∴30C B C ''∠=, ∴C C C B '''==2cm ， ∴a=2.9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板，并填上标号；（3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．【解析】（1）如下图（2）如下图（3）如下图10．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB与弦CD交于点F；②如图3，弦AB与弦CD不相交：③如图4，点B与点C重合．【解析】解：（1）连接OC、OD，如图：∵AD BD⊥∴AB是直径∴1===OC OD CD∴OCD是等边三角形∴60∠=︒COD∴30∠=︒DBE∴60∠=︒E（2）①结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OD、OC、AC，如图：∵1===OD OC CD∴OCD为等边三角形∴60∠=︒COD∴30DAC∠=︒∴30∠=︒EBD∵90∠=︒ADB∴903060E∠=︒-︒=︒②结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OC、OD，如图：∵AD BD⊥∴AB是直径∴1===OC OD CD∴OCD是等边三角形∴60∠=︒COD∴30∠=︒DBE∴903060∠=︒-︒=︒BED③结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：如图：∵当点B与点C重合时，则直线BE与O只有一个公共点∴EB恰为O的切线∴90∠=︒ABE∵90CD=，2∠=︒，1ADBAD=∴30A∠=︒∴60∠=︒．E故答案是：（1）60∠=︒（2）①结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，E依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．11．综合与实践：折纸中的数学问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．这时同学们很快证得：△AEF是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．操作发现(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD 按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF 恰好是等边三角形，求矩形ABCD 的长、宽之比是多少？实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，如图③，使B 点落在AD 边上的B ′处；沿B ′G 折叠，使D 点落在D ′处，且B ′D ′过F 点．试探究四边形EFGB ′是什么特殊四边形？(3)再探究：在图③中连接BB ′，试判断并证明△BB ′G的形状．【解析】解：（1）矩形ABCD证明：设BE a =，AEF ∆等边三角形，60EAF ∴∠=︒，四边形ABCD 为矩形，90BAD ABE ∴∠=∠=︒，30BAE BAD EAF ∠=∠-∠=︒．在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=︒，30BAE ∠=︒，BE a =，2sin BEAE a BAE ∴==∠，tan BEAB BAE ==∠，AE EC =，3BC BE EC a ∴=+=，∴BCAB ．（2）四边形B EFG '是平行四边形．证明：四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，B EF BFE ∴∠'=∠，EB F GFB ∠'=∠'，DB G FGB ∠'=∠'．由翻折的特性可知：BFE B FE ∠=∠'，DB G FB G ∠'=∠'，B EF B FE ∴∠'=∠'，FB G FGB ∠'=∠'，又EB F GFB ∠'=∠'，B FE FB G ∴∠'=∠'，//EF B G ∴'，又//B E FG '，∴四边形B EFG '是平行四边形．（3）△BB G '为直角三角形．证明：连接BB '交EF 于点M ，如图所示．//AD BC ，EB B FBB ∴∠'=∠'，BF B F ='，FBB FB B ∴∠'=∠'，EB B FB B ∴∠'=∠'．B EF B FE ∠'=∠'，∴△B EF '为等腰三角形，B M EF ∴'⊥，90∴∠=︒．BMFEF B G'，//∴∠'=∠=︒，90BB G BMF∴△BB G'为直角三角形．12．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是cm．【解析】解：操作发现：（1）如图1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，∵△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，∴C'D＝BD，∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠ADC'＝∠BAD，∴AB∥C'D，∴四边形BDC'E是平行四边形，∵BD＝C'D，∴四边形BEC'D是菱形，故答案为：菱形；（2）如图3，四边形MNDD'是矩形，理由如下：∵BD＝CD，∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'∴△MDB'≌△NDC'（ASA）∴MD'＝ND，∵△ACD 沿DB 方向平移，∴MD '∥DN ，∴四边形MNDD '是平行四边形，∵∠BD 'M ＝90°，∴四边形MNDD '是矩形；（3）由图形（1）可得AB ＝10cm ，BD ＝8cm ， ∴AD6cm ，∵四边形MNDD '为正方形，∴D 'M ∥DN ，D 'M ＝D 'D ＝acm ，∴△BD 'M ∽△BDA ， ∴BD MD BD AD''=， ∴886a a -=， ∴a ＝247；（4）如图5，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，∵DP ＝DQ ，∴∠DQP ＝∠DPQ ，QG ＝PG ，又∵∠A ＝∠PDQ ，∴△DQP ∽△AQD ，∴∠ADQ ＝∠DPQ ，2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类（含解析）∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝6，∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，∴△DGA∽△BDA，∴AG AD AD AB=，∴6 610 AG=，∴AG＝185，∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣185＝125，∴PG＝QG＝125，∴AP＝AG﹣PG＝185﹣125＝65，故答案为：65．。

中考数学复习《综合实践题》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《综合实践题》经典题型及测试题（含答案）题型解读此类题考查形式多样，但都与实际问题结合，且解决实际问题时一般会用到前面的结论，解题时要多结合前面的问题，大胆猜想．综合性较强，入手简单，但要得满分较难，此类题型是今后中考命题的方向，应引起重视．1.如图①，△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D. (1)求证：BC AB ＝EFDE；(2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB 或AC)的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝∠A的对边（底边）∠A的邻边（腰）＝BCAB .如T(60°)＝1.①理解巩固：T(90°)＝________，T (120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是________；②学以致用：如图②，圆锥的母线长为9，底面直径PQ ＝8，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．(参考数据：T(160°)≈1.97，T (80°)≈1.29，T (40°)≈0.68)2. (1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；(2)如图②，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；(3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长(结果保留根号)．3.问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论．【类比引申】如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足__________关系时，仍有EF＝BE＋FD.【探究应用】如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且A E⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F 之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)4.理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.图① 设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝ 3.tan D ＝tan 15°＝12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－ 3. 思路二利用科普书上的和．(．差．)．角正切公式．．．．．：tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 假设α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan 15°＝tan (60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝3－11＋3＝2－ 3.思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …请解决下列问题(上述思路仅供参考)． (1)类比：求出tan 75°的值；(2)应用：如图②，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为30米，在地平面上有一点A ，则得A 、C 两点间距离为60米，从A 测得电视塔的视角(∠CAD)为45°，求这座电视塔CD 的高度；(3)拓展：如图③，直线y ＝12x －1与双曲线y ＝4x 交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，将直线AB 绕点C 旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，请说明理由．图②图③备用图5.【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1.【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k ，再加上常数b”的运算，有什么规律？【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程：也可用图象描述：如图①，在x 轴上表示出x 1，先在直线y ＝kx ＋b 上确定点(x 1，y 1)，再在直线y ＝x 上确定纵坐标为y 1的点(x 2，y 1)，然后在x 轴上确定对应的数x 2，…，依次类推．【解决问题】研究输入实数x 1时，随着运算次数n 的不断增加，运算结果x n 怎样变化． (1)若k ＝2，b ＝－4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究； (2)若k>1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k ＝－23，b ＝2，已在x 轴上表示出x 1(如图②所示)，请在x 轴上表示x 2，x 3，x 4，并写出研究结论；②若输入实数x 1时，运算结果x n 互不相等，且越来越接近常数m ，直接写出k 的取值范围及m 的值(用含k ，b 的代数式表示)．6.问题提出(1)如图①，已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝5米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．1. (1)证明：∵AB＝AC，DE＝DF，∴ABDE＝ACDF，又∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，∴BC EF ＝ABDE ，∴BC AB ＝EF DE. (2)解：①2，3，0<T (α)<2.【解法提示】①如解图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°， ∴设AB ＝AC ＝x ，由勾股定理得BC ＝2x ， ∴T(90°)＝BC AB ＝2x x＝2；第1题解图①第1题解图②如解图②，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ，过点A 作AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝60°，BD ＝12BC ，设AD ＝y ，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝60°， ∴BD ＝AD·tan 60°＝3y ，AB ＝2AD ＝2y ， ∴BC ＝2BD ＝23y ， ∴T(120°)＝23y2y＝3； ∵∠A<180°，当∠A ＝180°时，此时AB ＝AC ＝12BC 即T(A)＝BC AB ＝BC 12BC ＝2，∵要构成三角形，∴T(A)<2， ∵T(A)＞0，∴0<T (α)<2.第1题解图②如解图，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，∵圆锥的底面圆周长＝圆锥展开图扇形的弧长，即2πr ＝n πl180，∴rl＝n360，∵r＝4，l＝9，∴n＝160.∵T(80°)≈1.29，∴蚂蚁爬行的最短距离＝T(80°)×l≈1.29×9≈11.6.2. 解：(1)作图如解图①，第2题解图①证明：∵△ABD和△ACE为等边三角形，则AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(2)BE＝CD.理由如下：∵四边形ABFD和四边形ACGE为正方形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(3)如解图②，以AB为边，作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，第2题解图②则AD＝AB＝100米，∠ABD＝45°，∴BD＝100 2 米，连接CD，则由(2)可得，BE＝CD，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝90°，在Rt△DBC中，BC＝100米，BD＝100 2 米，由勾股定理得CD＝1002＋（1002）2＝100 3 米，则BE＝CD＝100 3 米．3. 【发现证明】证明：如解图①，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则AB与AD重合，第3题解图①∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，BE ＝GD ， AE ＝AG ，∴∠GAF ＝∠DAF ＋∠GAD ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°，在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即G 、D 、F 在一条直线上， ∵∠EAF ＝45°，在△EAF 和△GAF 中，AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ， ∴△EAF ≌△GAF(SAS )， ∴EF ＝GF ，∴EF ＝FG ＝FD ＋DG ＝FD ＋BE. 【类比引申】∠EAF ＝12∠BAD.【解法提示】如解图②，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ， ∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°， ∴∠D ＝∠ABM ，在△ABM 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABM ＝∠D BM ＝DF，第3题解图②∴△ABM ≌△ADF(SAS )，∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ， ∵∠BAD ＝2∠EAF ， ∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠EAB ＋∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ，在△FAE 和△MAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠FAE ＝∠MAE AF ＝AM， ∴△FAE ≌△MAE(SAS )， ∴EF ＝EM ，又∵EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ， ∴EF ＝BE ＋DF.【探究应用】解：如解图③，连接AF ，延长BA 、CD 交于点O ， ∵∠BAD ＝150°，∠ADC ＝120°， ∴∠OAD ＝30°，∠ODA ＝60°， ∴△OAD 是直角三角形． ∵AD ＝80，∴AO ＝403，OD ＝40，∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403， ∴AO ＝OF ，第3题解图③∴∠OAF ＝45°， ∵∠OAD ＝30°， ∴∠DAF ＝15°， ∵∠EAD ＝90°，∴∠EAF ＝∠EAD －∠DAF ＝75°＝12∠BAD ，又∠B ＋∠ADC ＝180°，由(2)知EF ＝BE ＋DF.∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ＝150°－90°＝60°＝∠B ， ∴△ABE 为等边三角形， ∴BE ＝AB ＝80，∴EF ＝BE ＋DF ＝80＋40(3－1)≈109(米)． 4. 解：(1)如解图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.第4题解图①设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝3，tan ∠DAC ＝tan 75°＝DC AC ＝BD ＋BC AC ＝2＋31＝2＋ 3.【一题多解】tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°·tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝2＋ 3.第4题解图②(2)如解图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝602－302＝303， sin ∠BAC ＝BC AC ＝3060＝12，即∠BAC ＝30°，∵∠DAC ＝45°，∴∠DAB ＝45°＋30°＝75°.在Rt △ABD 中，tan ∠DAB ＝DBAB ＝2＋3，∴DB ＝AB·tan ∠DAB ＝303·(2＋3)＝603＋90， ∴DC ＝DB －BC ＝603＋90－30＝ 603＋60.(米)答：这座电视塔CD 的高度为(603＋60)米.第4题解图③(3)直线AB 能与双曲线相交，点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)，理由如下：若直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P 1、P 2，如解图③，过点C 作CD ∥x 轴，过点P 1作P 1E ⊥CD 于点E ，过点A 作AF ⊥CD 于点F.解方程组⎩⎨⎧y ＝12x －1y ＝4x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2， ∴点A(4，1)，点B(－2，－2)．对于y ＝12x －1，当x ＝0时，y ＝－1，则C(0，－1)，OC ＝1，∴CF ＝4，AF ＝1－(－1)＝2， ∴tan ∠ACF ＝AF CF ＝24＝12， ∴tan ∠P 1CE ＝tan (∠ACP 1＋∠ACF)＝tan (45°＋∠ACF)＝tan 45°＋tan ∠ACF 1－tan 45°·tan ∠ACF＝1＋121－12＝3，即P 1ECE ＝3.设点P 的坐标为(a ，b)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4b ＋1a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝3， ∴点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)；(ii )若直线AB 绕点C 顺时针旋转45°后，与x 轴相交于点G ，如解图④. 由(i )可知∠ACP ＝45°，P(43，3)，则CP ⊥CG .过点P 作PH ⊥y 轴于H ，则∠GOC ＝∠CHP ＝90°，∠GCO ＝90°－∠HCP ＝∠CPH ，第4题解图④∴△GOC ∽△CHP ， ∴GO CH ＝OCHP. ∵CH ＝3－(－1)＝4，PH ＝43，OC ＝1，∴GO 4＝143＝34， ∴GO ＝3，G(－3，0)．设直线CG 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝－1，∴直线CG 的解析式为y ＝－13x －1.联立⎩⎨⎧y ＝－13x －1y ＝4x，消去y ，得4x ＝－13x －1，整理得x 2＋3x ＋12＝0，∵b 2－4ac ＝32－4×1×12＝－39<0， ∴方程没有实数根，∴直线绕点C 顺时针旋转45°，与双曲线无交点．(综上所述，直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)．5. 解：(1)若k ＝2, b ＝－4，①x 1＝3时，x 2＝2×3－4＝2，x 3＝2×2－4＝0，x 4＝2×0－4＝－4，x 5＝2×(－4)－4＝－12； ②x 1＝4时，x 2＝2×4－4＝4，x 3＝2×4－4＝4，x 4＝2×4－4＝4，x 5＝2×4－4＝4； ③x 1＝5时，x 2＝2×5－4＝6，x 3＝2×6－4＝8，x 4＝2×8－4＝12，x 5＝2×12－4＝20，由上面的特殊值可得，y ＝2x －4与y ＝x 交点的横坐标为4，所以当输入的值x>4时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x ＝4时，x n 的值不变；当输入的值x<4时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．(2)当k>1时，y ＝kx ＋b 与y ＝x 的交点坐标横坐标为x ＝－bk －1，所以当输入的值x>－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x ＝－bk －1时，x n 的值不变；当输入的值x<－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．理由如下：直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝x 的交点坐标为(b 1－k ，b 1－k )，当x ＞b 1－k时，对于同一个x 的值，kx ＋b ＞x ，∴y 1＞x 1，∵y 1＝x 2，∴x 1＜x 2，同理x 2＜x 3＜…＜x n ，∴当x 1＞b1－k 时，随着运算次数n的增加，x n 越来越大，同理，当x 1＜b 1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 越来越小，当x ＝b1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 保持不变．(3)①画如解图，第5题解图结论：通过画图可得，x n 的值越来越靠近两个函数图象交点的横坐标即65；②|k|<1且k ≠0时，m ＝－bk －1.即－1＜k ＜1且k ≠0，【解法提示】两个函数图象的交点的横坐标满足kx ＋b ＝x ，解得x ＝－bk －1，且k ≠0，由(1)得|k|＜1.6. (1)【思路分析】要作对称图形，先要考虑对称的性质，即对应点关于对称轴对称，只需作出点B 关于直线AC 的对称点D ，连接AD ，CD 即可．第6题解图①解：如解图①，△ADC 即为所求作三角形．【作法提示】(1)过点B 作直线AC 的垂线，垂足为点O ；(2)在垂线上截取OD ＝OB ，连接AD ，CD ，则△ADC 即为所要求作的三角形．(2)【思路分析】四边形EFGH 的周长＝EF ＋FG ＋GH ＋HE ，由题意可知AF 和AE 的长均为定值，利用勾股定理可求得EF 的长为定值，所以要求四边形周长的最小值，只需令FG ＋GH ＋HE 最小即可，利用作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解，进而利用直角三角形三边关系求出线段和最小值．第6题解图②解：存在．理由如下：如解图②，作点E 关于CD 的对称点E′，作点F 关于BC 的对称点F′，连接E′F′，交BC 于点G ，交CD 于点H ，连接FG 、EH ，则F ′G ＝FG ，E ′H ＝EH ，所以此时四边形EFGH 的周长最小．这是因为：在BC 上任取一点G′，在CD 上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E ＝F′G′＋G′H′＋H ′E ′≥E ′F ′.由题意得：BF′＝BF ＝AF ＝2，DE ′＝DE ＝2，∠A ＝90°， ∴AF ′＝6，AE ′＝8.∴E ′F ′＝10，EF ＝2 5.∴四边形EFGH 周长的最小值为EF ＋FG ＋GH ＋HE ＝EF ＋E ′F ′＝25＋10.∴在BC、CD上分别存在满足条件的点G、H，使四边形EFGH的周长最小，最小值是25＋10.(3)【思路分析】要使四边形EFGH面积最大，因为E、F、G的位置确定，即△EFG的面积是固定的，只要求以EG为底边的△EGH最大面积即可，且∠EHG为45°，作△EFG关于EG的对称图形，以点F 的对称点O为圆心，作以EG为弦的圆，根据圆的基本性质，即EG的中垂线与圆的交点即为所求的点H′，然后再由对称的性质和勾股定理求解即可．解：能裁得．∵∠EFG＝∠A＝90°，∴∠2＋∠AFE＝∠1＋∠AFE＝90°，∴∠1＝∠2，∵EF＝FG＝5，∴△AEF≌△BFG(AAS)，∴AF＝BG，AE＝BF.设AF＝x，则AE＝BF＝3－x，∴x2＋(3－x)2＝(5)2解得x1＝1或x2＝2，∵AF＜BF，∴x2＝2舍去，∴AF＝BG＝1，AE＝BF＝2，∴DE＝4，CG＝5.如解图③，连接EG，作△EFG关于EG的对称图形△EOG，则四边形EFGO为正方形，∠EOG＝90°.以点O为圆心，OE长为半径作⊙O，则∠EHG＝45°的点H在⊙O上．连接FO，并延长交⊙O于点H，则点H在EG中垂线上．第6题解图③连接EH、GH，则∠EHG＝45°.此时，四边形EFGH就是想要裁得的四边形EFGH中面积最大的．连接CE，则CE＝CG＝DE2＋CD2＝5.∴点C在线段EG的中垂线上，连接HC，∴点F、O、H、C在一条直线上，又∵EG＝EF2＋FG2＝10，∴FO＝EG＝10.又∵CF＝BF2＋BC2＝210，∴OC＝10.又∵OH＝OE＝FG＝5，∴OH＜OC，∴点H 在矩形ABCD 的内部，∴可以在矩形板材ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH 部件，这个部件的面积即S 四边形EFGH＝12EG·FH ＝12×10×(10＋5)＝(5＋522)m 2. ∴所裁得的四边形部件EFGH 是符合条件的面积最大的部件，这个部件的面积为(5＋522) m 2.难点突破本题的难点在于第(3)问点H 位置的确定，题中已知点E 、F 、G 的位置，即解决本题的实质是求以EG 为底边的△EGH 的面积最大时点H 的位置，由于∠EHG ＝45°，想到作直角△EFG 关于EG 的对称图形，则以点F 的对称点为圆心、EG 为弦的圆在矩形ABCD 内的点H 满足题意，根据圆的基本性质，则点H 为EG 的中垂线与所作圆的交点．。

中考数学二轮复习重难题型突破类型三新解题方法型

中考数学二轮复习重难题型突破类型三新解题方法型中考数学二轮复习重难题型突破类型三新解题方法型类型三新解题方法型例1、求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．例如：求91与56的最大公约数解：91－56＝3556－35＝2121－1 4＝714 －7＝7所以，91与56的最大公约数是7.请用以上方法解决下列问题：(1)求108与45的最大公约数；(2)求三个数78、104、143的最大公约数．[解答]解：(1)108－45＝6345－18＝2727－18＝918－9＝9所以，108与45的最大公约数是9；(2)①先求104与78的最大公约数，104－78＝2678－26＝52所以，104与78的最大公约数是26；②再求26与143的最大公约数，143－26＝117117－26＝9191－26＝6565－26＝3939－26＝13所以，26与143的最大公约数是13.综上所述，78、104、143 的最大公约数是13.例2、数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．探究：求不等式|x－1|(1)探究|x－1|的几何意义[解答]如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x－1，由绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x－1|，可记为A′O＝|x－1|.将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1.因为AB＝A′O，所以AB＝|x－1|.因此，|x－1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.第2题图(2)求方程|x－1|＝2的解[解答]因为数轴上3和－1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，－1.(3)求不等式|x－1|因为|x－1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．请在图②的数轴上表示|x－1|[解答] 解：在数轴上表示如解图所示．第2题解图所以，不等式的|x－1|例3、古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图，以a2 和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝a2，则AD的长就是所求方程的解．(1)请用含字母a、b的代数式表示AD的长．(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．第3题图[解答]解：(1)∵∠C＝90°，BC＝a2，AC＝b，∴AB＝b2＋a24，∴AD＝b2＋a24－a2＝4b2＋a2－a2；(2)用求根公式求得：x1＝－4b2＋a2－a2；x2＝4b2＋a2－a2故A D的长就是方程的正根，遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．例4、请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二的解答．引例：设a，b，c为非负实数，求证：a2＋b2＋b2＋c2 ＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)，分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a＋b＋c的正方形来研究．解：如图①，设正方形的边长为a＋b＋c，则AB＝a2＋b2，BC＝b2＋c2，CD＝a2＋c2，显然AB＋BC＋CD≥AD，∴a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．探究一：已知两个正数x，y，满足x＋y＝12，求x2＋4＋y2＋9的最小值(图②仅供参考)；探究二：若a，b为正数，求以a2＋b2，4a2＋b2，a2＋4b2为边的三角形的面积．第4题图[解答]解：探究一：如解图①，构造矩形AECF，并设矩形的两边长分别为12，5，第4题解图①则x＋y＝12，AB＝x2＋4，BC＝y2＋9，显然AB＋BC≥AC，当A，B，C三点共线时，AB＋BC最小，即x2＋4＋y2＋9的最小值为AC，∵AC＝122＋52＝13，∴x2＋4＋y2＋9 的最小值为13；第4题解图②探究二：如解图②，设矩形ABCD的两边长分别为2a，2b，E，F分别为AB，AD的中点，则CF＝4a2＋b2，CE＝a2＋4b2，EF＝a2＋b2，设以a2＋b2，4a2＋b2，a2＋4b2为边的三角形的面积为S△CEF，∴S△CEF＝S矩形ABCD－S△C DF－S△AEF－S△BCE＝4ab－12×2a×b－12ab－12a×2b＝32ab，∴以a2＋b2，4a2＋b2，a2＋4b2为边的三角形的面积为32ab.。

中考数学 2021年中考数学二轮复习经典例题解析2 精品

中考数学 2021年中考数学二轮复习经典例题解析2 精品中考数学-2021年中考数学二轮复习经典例题解析2精品主题二方程和不等式●中考点击测试点分析：内容1。

方程的解，各种方程（组）的解方程及相关概念；2.一元线性方程及其求解与应用；二元二次方程及其解与应用3。

直接展平法，匹配法，公式法，因式分解法，角二元二次方程4。

可转化为一元二次方程和一元二次方程的分数阶方程的求解和应用5。

一元二次方程根的判别及应用。

不等式（群）和解集的相关概念，能够用数字轴7表示不等式（群）的解集。

不等式8的基本性质一元一阶不等式（群）的解及应用要求ⅰ ⅱ ⅱ ⅱ ⅰ ⅱ ⅱ 命题预测：方程式和方程式一直是中考命题的核心内容。

近年来，全国各地的高考成绩方程和方程的得分平均为25%分。

试卷中涉及的主要测试点是方程和方程的求解；一元二次方程根的判别及根与系数关系的简单应用；在求解方程和方程的应用问题时，有三类问题。

其中，多选问题是通过列出一元一阶方程来解决商品利润问题的主要问题；一元二次方程的解主要是多选问题和有解问题；根的判别式和根与系数的关系主要是选择题和解题，但难度一般较小；求解二元一阶方程的应用问题主要是求解问题，主要研究和解决工程、方案设计和娱乐政策问题。

结合2022至2022中的中学试题，不难看出课程改革领域的方程式（组）试题难度有所降低。

例如，应用根和系数之间的关系，课程改革领域几乎不再受到审查不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题．可以看出，在方程（系统）和不等式（系统）的话题中，命题趋势将是弱化纯粹知识的试题，更加注重数学知识在生活中的应用●难点透视例1：解方程：x24??2．x?1x?1x?1【考点要求】本题考查了分式方程的解法．【思路】去除分母，将分数阶方程转化为积分方程是求解分数阶方程的基本方法。

中考数学第二部分重难题型突破题型二情景应用题试题

题型二情景应用题类型一购买分配类问题针对演练1. (2012邵阳)2012年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划——“蛋奶工程”．该地农村小学每份营养餐的标准是质量为300克，蛋白质含量为8%，包括1盒牛奶、1包饼干和1个鸡蛋，已知牛奶的蛋白质含量为5%，饼干的蛋白质含量为%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，1个鸡蛋的质量为60克．(1)1个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？(2)每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？第1题图2. (2016绥化)某商场计划购进A、B两种商品，若购进A种商品20件和B种商品15件需380元；若购进A种商品15件和B种商品10件需280元．(1)求A、B两种商品的进价分别是多少元？(2)若购进A、B两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A种商品多少件？3. (2015佛山)某景点的门票价格如表：购票人数/人1～50 51～100 100以上每人门票价/元12 10 8某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．(1)两个班各有多少名学生？(2)团体购票与单独购票比较，两个班各节约了多少钱？4. (2016贵阳)为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，购买1个足球和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．(1)求足球和篮球的单价各是多少元？(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1550元，学校最多可以购买多少个足球？5. (2016凉山州)为了更好的保护美丽如画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A 、B 两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A 型污水处理设备12万元，每台B 型污水处理设备10万元．已知1台A 型污水处理设备和2台B 型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A 型污水处理设备和3台B 型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．(1)求A 、B 两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨；(2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？6. 某文化用品商店用1000元购进一批“晨光”套尺，很快销售一空；商店又用1500元购进第二批该款套尺，购进时单价是第一批的54倍，所购数量比第一批多100套.(1)求第一批套尺购进时单价是多少？(2)若商店以每套4元的价格将这两批套尺全部售出，可以盈利多少元？7. (2016长沙模拟)某商店购进A 、B 两种商品，B 商品每件的进价比A 商品每件的进价多1元，若50元购进A 商品的件数与60元购进B 商品的件数相同．(1)求A、B商品每件的进价分别是多少元？(2)若该商店购进A、B两种商品共140件，都标价10元出售，售出一部分后降价促销，以标价的8折售完剩余的商品，已知以10元售出的商品件数比购进A商品的件数少20件，若该商店此次购进A、B商品降价前后到销售完共获利不少于360元，求至少购进A商品多少件？8. (2016广安)某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售(每辆汽车按规定满载，并且只装一种水果)．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．甲乙丙每辆汽车能装的数量(吨) 4 2 3每吨水果可获利润(千元) 5 7 4(1)用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？(2)水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售(每种水果不少于一车)，设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？(结果用m表示)(3)在(2)问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？9. (2016德阳)某单位需采购一批商品，经考察购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需资金375元．(1)求甲、乙商品每件各多少元？(2)本次计划采购甲、乙两种商品共30件，计划资金不超过460元：①最多可采购甲商品多少件？②若要求购买乙商品数量不超过甲商品数量的45，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．10. (2016孝感)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A ，B 两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买A 种树木2棵，B 种树木5棵，共需600元；购买A 种树木3棵，B 种树木1棵，共需380元．(1)求A 种，B 种树木每棵各多少元？(2)因布局需要，购买A 种树木的数量不少于B 种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．类型二工程、行程问题针对演练1. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？2. (2017原创)某市进入汛期，部分路面积水比较严重，为了改善这一情况，市政公司决定将一段路的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工，如果甲、乙两工程队合作，需12天完成，如果甲工程队单独完成需20天．(1)乙工程队单独完成需几天？(2)如果甲工程队每施工一天需费用2万元，乙工程队每施工一天需费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，那么乙工程队至少要施工多少天？3. (2016邵阳模拟)某社区计划对面积为1800 m2的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲工程队比乙工程队少用4天．(1)求甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积；(2)当甲、乙两个工程队完成绿化任务时，甲工程队施工了10天，求乙工程队施工的天数．4. (2016襄阳)“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的13，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？5. (2016衡阳模拟)小强家距学校2000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘记带课本，此时离上课时间还有21分钟，于是他立刻步行回家取课本，随后小强爸爸骑电瓶车送他去学校，已知小强爸爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用20分钟，且小强爸爸骑电瓶车的平均速度是小强步行速度的5倍，小强到家取课本与小强爸爸启动电瓶车等共用4分钟．(1)求小强步行的平均速度与小强爸爸的骑车速度； (2)请你判断小强上学是否会迟到，并说明理由．6. 初夏五月，小明和同学们相约去森林公园游玩，从公园入口处到景点只有一条长15 km的观光道路，小明先从入口处出发匀速步行前往景点， h后，迟到的另3位同学在入口处搭乘小型观光车(限载客3人)匀速驶往景点，结果反而比小明早到45 min，已知小型观光车的速度是小明步行速度的4倍．(1)分别求出小型观光车和小明步行的速度．(2)当迟到的这3位同学到达公园入口时，小明离景点还有多少km?7. (2016永州模拟)某工厂生产一批产品，甲车间单独完成需要40天，如果乙车间先做10天，甲乙两车间再一起合作20天恰好生产完这批产品．(1)乙车间单独生产这批产品需要多少天？(2)如果甲车间的生产费用为每天6500元，乙车间的生产费用为每天4500元，有以下三种方案可供选择：方案一：由甲车间单独生产这批产品；方案二：由乙车间单独生产这批产品；方案三：甲乙车间同时合作生产这批产品．如从节约生产费用的角度考虑，工厂应选择哪个方案？请说明理由．8. 某高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，工程预算的施工费用为1000万元，若工程指挥部决定由甲、乙两队合作完成此项工程，在甲、乙两队工作效率不变的情况下，问拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？类型三增长率问题针对演练1. (2016毕节)为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入.2014年该县投入教育经费6000万元，2016年投入教育经费8640万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县将投入教育经费多少万元．2. 某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院“新国五条”出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？类型四函数图象问题针对演练1. (2016新疆)暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示．(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？(2)求线段AB对应的函数解析式；(3)小刚一家出发小时时离目的地多远？第1题图2. (2016大庆)由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少．已知原有蓄水量y1(万 m3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示．针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2(万m3)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其他因素)．(1)求原有蓄水量y1(万 m3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x＝20时的水库总蓄水量；(2)求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y(万 m3)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围)，若总蓄水量不多于900万 m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．第2题图3. (2016岳阳模拟)一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x 小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示．(1)根据图象，求出y1、y2关于x的函数关系式；(2)问两车同时出发后经过多少时间相遇，相遇时两车离甲地多少千米？第3题图4. (2016厦门)如图是药品研究所测得的某种新药在成人用药后，血液中药物浓度y(微克/毫升)随用药后的时间x(小时)变化的图象(图象由线段OA与部分双曲线AB组成)，并测得当y≥a时，该药物才具有疗效，若成人用药后4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时，药物仍然具有疗效，则成人用药后，血液中的药物浓度至少需要多长时间达到最大？第4题图5. 某县在实施“村村通”工程中，决定在A、B两村之间修一条公路，甲、乙两个工程队分别从A、B两村同时开始相向修路，施工期间，甲队改变了一次修路速度，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到公路修通，甲、乙两队各自所修公路的长度y(米)与修路时间x(天)之间的函数图象如图所示．(1)求甲队前8天所修公路的长度；(2)求甲队改变修路速度后y与x之间的函数关系式；(3)求这条公路的总长度．第5题图类型五利润最值问题针对演练1. (2016钦州)某水果商行计划购进A 、B 两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：类型价格进价(元/箱)售价(元/箱)A 60 70 B4055(1)若该商行进货款为1万元，则两种水果各购进多少箱？(2)若商行规定A 种水果进货箱数不低于B 种水果进货箱数的13，应怎样进货才能使这批水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？2. (2016邵阳模拟)某商场试销一款成本为60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%.经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元)符合一次函数y ＝kx ＋b ，且x ＝65时，y ＝55；x ＝75时，y ＝45.(1)求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；(2)若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？(3)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．3. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.(1)求平均每天销售量y (箱)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w (元)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？4. (2016黄冈)东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p (元/kg)与时间t (天)之间的函数关系式为p ＝130(124,)4148(2548,)2-⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩t t t t t t 为整数为整数≤≤≤≤，且其日销售量y (kg)与时间t (天)的关系如下表：时间t (天) 1 3 6 10 20 40 … 日销售量y (kg)1181141081008040…(1)已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？ (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1 kg 水果就捐赠n 元利润(n ＜9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．答案类型一购买分配类问题1. 解：(1)60×15%＝9(克)．答：1个鸡蛋中含蛋白质的质量为9克；(2)设每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为x 克和y 克，根据题意，得300605%12.5%3008%9+=-⎧⎨+=⨯-⎩x y x y ，解得200,40=⎧⎨=⎩x y 答：牛奶和饼干的质量分别为200克和40克．2. 解：(1)设A 种商品的进价为x 元，B 种商品的进价为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋15y ＝380 15x ＋10y ＝280，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16 y ＝4，答：A 种商品的进价为16元，B 种商品的进价为4元；(2)设购进A 种商品a 件，则购进B 种商品(100－a )件，根据题意，得 16a ＋4(100－a )≤900，解得a ≤4123.∵a 取正整数，∴a 的最大正整数解为41，答：最多能购进A 种商品41件．3. 解：(1)设七年级(1)班有x 人、七年级(2)班有y 人，当两班人数总和少于100人时，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋10y ＝111810（x ＋y ）＝816，解得错误!(不符合题意，舍去)；当两班人数总和多于100人时，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋10y ＝1118 8(x ＋y )＝816，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝49 y ＝53. 答：七年级(1)班有49人，七年级(2)班有53人．(2)七年级(1)班节约：(12－8)×49＝196元；七年级(2)班节约：(10－8)×53＝106元．答：七年级(1)班节约196元，七年级(2)班节约106元．4. 解：(1)设购买足球和篮球的单价分别为x 元和y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝159 x ＝2y －9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝103 y ＝56. 答：足球的单价是103元，篮球的单价是56元；(2)设学校购买足球z 个，则购买篮球(20－z )个，根据题意，得103z ＋56(20－z )≤1550，解得z ≤.答：学校最多可以购买9个足球．5. 解：(1)设每台A 型污水处理设备每周可以处理污水x 吨，每台B 型污水处理设备每周可以处理污水y 吨，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝640 2x ＋3y ＝1080，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝240 y ＝200，答：每台A 型污水处理设备每周可以处理污水240吨，每台B 型污水处理设备每周可以处理污水200吨；(2)设购买A 型污水处理设备a 台，则购买B 型污水处理设备(20－a )台，根据题意，得 12a ＋10(20－a )≤230，解得a ≤15.又∵240a ＋200(20－a )≥4500，解得a ≥， ∴≤a ≤15，由于a 是正整数，因此a 只有3个正整数解，分别是13，14，15. 所以共有如下三种购买方案：方案一：购A 型13台，B 型7台；方案二：购A 型14台，B 型6台；方案三：购A 型15台，B 型5台．方案一的费用：12×13＋10×7＝226(万元)；方案二的费用：12×14＋10×6＝228(万元)；方案三的费用：12×15＋10×5＝230(万元)．所以购买A 型污水处理设备13台，B 型污水处理设备7台时，所需费用最低，最低费用是226万元．6. 解：(1)设第一批套尺购进时单价是x 元，则第二批套尺购进时单价是54x 元．根据题意得150054x －1000x ＝100，即1200x －1000x＝100，解得x ＝2.经检验，x ＝2是所列方程的解，且符合题意．答：第一批套尺购进时的单价是2元；(2)(10002＋150054×2)×4－(1000＋1500)＝1900(元)．答：商店可以盈利1900元．7. 解：(1)设购进A 商品每件进价x 元，则B 商品每件进价(x ＋1)元，根据题意，得 50x＝60x ＋1，解得x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的解，且符合题意． ∴x ＋1＝5＋1＝6.答：A 商品每件进价是5元，B 商品每件进价是6元； (2)设购进A 商品a 件，根据题意，得(a －20)×10＋(140－a ＋20)××10－5a －6(140－a )≥360，解得a ≥40.答：至少购进A 商品40件．8. 解：(1)设装运乙、丙水果的汽车分别为x 辆、y 辆，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝8 2x ＋3y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2 y ＝6. 答：装运乙水果的汽车有2辆，装运丙水果的汽车有6辆； (2)设装运乙、丙两种水果的汽车分别为a 辆、b 辆，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋a ＋b ＝20 4m ＋2a ＋3b ＝72，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝m －12 b ＝32－2m .答：装运乙、丙两种水果的汽车分别为(m －12)辆、(32－2m )辆； (3)设获得的总利润为W 千元，则W ＝4×5m ＋2×7(m －12)＋3×4(32－2m )＝10m ＋216.∵⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥1 m －12≥1， 32－2m ≥1 ∴13≤m ≤， ∵m 为正整数， ∴m ＝13，14，15.在W ＝10m ＋216中，W 随m 的增大而增大， ∴当m ＝15时，W 最大＝366千元． ∴m －12＝3，32－2m ＝2.答：当运甲水果的车15辆，运乙水果的车3辆，运丙水果的车2辆时利润最大，最大利润为366千元．9. 解：(1)设甲商品每件x 元，乙商品每件y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 10x ＋15y ＝350 15x ＋10y ＝375，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝17 y ＝12，答：甲商品每件17元，乙商品每件12元； (2)设采购甲商品a 件，则采购乙商品(30－a )件． ①根据题意，得17a ＋12(30－a )≤460，解得a ≤20，答：甲商品最多采购20件； ②根据题意，得30－a ≤45a ，解得a ≥503，又∵503≤a ≤20，∴a ＝17，18，19，20.即甲，乙商品的采购方案有：甲17件，乙13件；甲18件，乙12件；甲19件，乙11件；甲20件，乙10件，设采购资金为w ，则w ＝17a ＋12(30－a )＝5a ＋360， ∵w 随a 增大而增大，∴当a ＝17时，采购资金最少，最少资金为5×17＋360＝445(元)．答：该单位购买这批商品最少要用445元．10. 解：(1)设A 种，B 种树木每棵分别为a 元，b 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋5b ＝600 3a ＋b ＝380，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝100b ＝80.答：A 种，B 种树木每棵分别为100元，80元；(2)设购买A 种树木为x 棵，则购买B 种树木为(100－x )棵，则x ≥3(100－x ) ， ∴x ≥75.设实际付款总金额为y 元，则y ＝[100x ＋80(100－x )]，即y ＝18x ＋7200， ∵18>0，∴y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝75时，y 最小．即当x ＝75，y 最小＝18×75＋7200＝8550(元)．∴当购买A 种树木75棵，B 种树木25棵时，所需费用最少，最少费用为8550元．类型二工程、行程问题1. 解：设甲工厂每天加工x 件产品，则乙工厂每天加工件产品，根据题意，得 1200x－错误!＝10，解得x ＝40，经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意． ∴＝60.答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品． 2. 解：(1)设乙工程队单独完成需x 天，由题意，得 12(1x ＋120)＝1，解得x ＝30，经检验，x ＝30是原方程的解，且符合题意．答：乙工程队单独完成需30天；(2)设甲工程队需要施工a 天，乙工程队需要施工b 天，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 20＋b 30＝1 2a ＋b ≤35，解得b ≥15，答：乙工程队至少要施工15天．3. 解：(1)设乙工程队每天能完成的绿化面积是x m 2，则甲工程队每天能完成的绿化面积是2x m 2.根据题意，得400x －4002x ＝4，解得x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意，则甲工程队每天能完成的绿化面积是50×2＝100 m 2.答：甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积分别是100 m 2、50 m 2； (2)(1800－100×10)÷50＝16(天)．答：乙工程队施工16天．4. 解：(1)由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为30÷13＝90(天)．设乙队单独施工，需要x 天才能完成该项工程，则 30＋1590＋15x ＝1，解得x ＝30，经检验，x ＝30是原方程的解，且符合题意．答：乙队单独施工需要30天才能完成该项工程； (2)设乙队施工y 天才能完成该项工程，则1－y 30≤3690，解得y ≥18.答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．5. 解：(1)设小强步行的平均速度为x 米/分钟，则小强爸爸骑电瓶车的平均速度为5x 米/分钟，由题意，得2000x －20005x ＝20，解得x ＝80，经检验，x ＝80是原方程的解，且符合题意，则5x ＝5×80＝400.答：小强步行的平均速度为80 米/分钟，小强爸爸骑电瓶车的平均速度为400 米/分钟； (2)会迟到．理由如下：由(1)得，小强走回家需要的时间为20002×80＝(分钟)，小强爸爸骑车到学校的时间为2000400＝5(分钟)，∵小强回家取完课本再到学校所用的时间为＋5＋4＝>21， ∴小强上学会迟到．6. 解：(1)设小刚步行的速度为x km/h ，则小型观光车的速度为4x km/h.由题意，得 15x ＝＋154x ＋4560，解得x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的根，且符合题意．则4x ＝4×5＝20，答：小型观光车的速度为20 km/h ，小明步行的速度为5 km/h ； (2)∵这3位同学迟到了 h ，∴小明离景点的距离为15－5×＝ km,答：当迟到的这3位同学到达公园入口时，小明离景点还有 km. 7. 解：(1)设乙车间单独生产这批产品需要x 天，则 10x ＋20(140＋1x)＝1，解得x ＝60，经检验，x ＝60是原分式方程的解，且符合题意．答：乙车间单独生产这批产品需要60天；(2)从节约生产费用的角度考虑，工厂应选择方案一，理由如下：方案一：6500×40＝260000(元)，方案二：4500×60＝270000(元)．方案三：设甲乙同时合作生产这批产品需要x 天，则 (140＋160) x ＝1，解得x ＝24， (6500＋4500)×24＝264000(元)．综上，方案一费用最低，故从节约生产费用的角度考虑，工厂应选择方案一． 8. 解：(1)设乙队单独完成这项工程需要x 天，则甲队单独完成这项工程需要23 x 天．根据题意，得202x 3＋60×(12x 3＋1x )＝1，解得x ＝180，经检验，x ＝180是原方程的根，且符合题意． ∴23 x ＝23×180＝120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要120天、180天； (2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天，根据题意，得y (1120＋1180)＝1，解得y ＝72，则需要施工费用72×＋＝1008(万元)． ∵1008>1000，∴拟安排预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．类型三增长率问题1. 解：(1)设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，得6000(1＋x)2＝8640，解得x1＝－(舍去)，x2＝＝20%.答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%；(2)2017年该县将投入教育经费为8640×(1＋＝10368(万元)．答：2017年该县将投入教育经费10368万元．2. 解：(1)设平均每次下调的百分率为x，依题意，得4000(1－x)2＝3240，解得x＝＝10%或x＝(不合题意，舍去)．答：平均每次下调的百分率为10%；(2)方案①：实际花费＝100×3240×98%＝317520(元)，方案②：实际花费＝100×3240－100×80＝316000(元)．∵317520>316000，∴方案②更优惠．类型四函数图象问题1. 解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4 h；(2)设AB 段对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)． ∵A (1，80)，B (3，320)在AB 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝80 3k ＋b ＝320，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝120 b ＝－40， ∴y ＝120x －40(1≤x ≤3)； (3)当x ＝时，y ＝120×－40＝260， 380－260＝120(km)．答：小刚一家出发小时时离目的地还有120 km. 2. 解：(1)设y 1与x 的函数关系式为y 1＝kx ＋b (k ≠0)， ∵函数y 1＝kx ＋b 的图象经过点(0，1200)和(60，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1200 60k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－20 b ＝1200， ∴y 1与x 的函数关系式为y 1＝－20x ＋1200，当x ＝20时，y 1＝－400＋1200＝800，即当x ＝20时的水库总蓄水量为800万m 3； (2)设y 2与x 的函数关系式为y 2＝mx ＋n (m ≠0)． ∵函数y 2＝mx ＋n 的图象经过点(20，0)和(60，1000)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 20m ＋n ＝0 60m ＋n ＝1000，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝25 n ＝－500， ∴y 2与x 的函数关系式为y 2＝25x －500， ∴总蓄水量y 与x 的函数关系式为 ①当0≤x ≤20时，y ＝y 1＝－20x ＋1200;②当20<x ≤60时，y ＝y 1＋y 2＝－20x ＋1200＋25x －500＝5x ＋700.综上，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －20x ＋1200（0≤x ≤20） 5x ＋700（20<x ≤60）.发生严重干旱时x 的取值范围是15≤x ≤40. 【解法提示】当0≤x ≤20时，令y ≤900，则－20x ＋1200≤900，解得x ≥15， ∴15≤x ≤20；当20＜x ≤60时，令y ≤900，则5x ＋700≤900，解得x ≤40， ∴20＜x ≤40，∴发生严重干旱时x 的取值范围是15≤x ≤40. 3. 解：(1)设y 1＝k 1x (k 1≠0)， ∵函数图象经过点(10，600)， ∴10k 1＝600，解得k 1＝60，∴y 1＝60x (0≤x ≤10)，设y 2＝kx ＋b (k ≠0)，∵函数图象经过点(0，600)，(6，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝600 6k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－100 b ＝600， ∴y 2＝－100x ＋600(0≤x ≤6)；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝60x y ＝－100x ＋600，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝154 y ＝225，故相遇时两车离甲地的距离是225千米．4. 解：如解图，设直线OA 的解析式为y ＝mx (m >0)，双曲线AB 的解析式为y ＝k x(k >0)，把点C (4，a )代入y ＝mx 中，得a ＝4m ， ∴m ＝a4， ∴直线OA 的解析式为y ＝a4 x .∴y D ＝y C ＝a ，将y D ＝a 代入y ＝k x ，得x D ＝k a，第4题解图 ∵用药后9小时药物仍然具有疗效， ∴x D ＝k a≥9， ∴k ≥9a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝a 4x y ＝kx，解得x 2＝4k a ，∴x 2A＝4k a ≥36，∴x A ≥6，∴药物浓度至少需要6小时才能达到最大．5. 解：(1)由图象可知前8天甲、乙两队修的公路一样长，乙队前8天所修公路的长度为84012×8＝560米．答：甲队前8天所修公路的长度为560米；(2)设甲队改变修路速度后y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将点(4，360)，(8，560)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 360＝4k ＋b 560＝8k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝50 b ＝160，故甲队改变修路速度后y 与x 之间的函数关系式为y ＝50x ＋160(4≤x ≤16)； (3)当x ＝16时，y ＝50×16＋160＝960，由图象可知乙队共修了840米， 960＋840＝1800(米)．答：这条公路的总长度为1800米．类型五利润最值问题1. 解：(1)设A 种水果购进x 箱，B 种水果购进y 箱，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝200 60x ＋40y ＝10000，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝100 y ＝100.。

2024年中考数学综合与实践：圆、二次函数有关重难点题型

综合与实践、圆、二次函数有关重难点题型题型一综合与实践1.综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动，并提出如下问题：如题2-1图，将等腰Rt△ABC的直角边AC与等腰Rt△ADC的斜边AC 重合，∠BAC=∠ADC=90°,试判断线段BC 与CD之间的数量关系，并加以证明.(1)数学思考：请你解答老师提出的问题；(2)猜想证明：如题2-2图，点 E 是线段AD上的一个动点(不与A，D重合)，连接CE，过点 E作EF⊥CE,分别交AB,AC于F,G两点,连接FC,试判断△CEF的形状，并说明理由.2.综合与实践【阅读理解】如题1-1图，在△ABC中，AM是BC边上的高线，由勾股定理得AM²=AB²−BM²,AM²= AC²−CM²,故AB²−BM²=AC²−CM².【知识迁移】如题1-2 图,在矩形ABCD中,当点P在矩形ABCD内任意位置时,连接AP,BP,CP,DP.求证: AP²+ CP²=BP²+DP².【探索发现】如题1-3 图，若点 P在矩形ABCD 的外部时，上述结论是否仍然成立?请加以判断，并说明理由.【尝试应用】如题1-4图，在△ABC中, AB=3,AC=4,Q为平面内一点，且AQ=1,∠BQC=90°,求 BC 的最大值.3.如题1-1图,正方形ABCD的边AB上有一点E,连接DE.(1)若AD=3AE,则sin∠ADE= ;(2)如题1-2图，将边 CB绕点 C顺时针旋转，旋转角为α，使得点 B 的对应点 F 落在DE上(点F不与点D 重合),连接BF,求∠BFE的度数;(3)如题1-3图,在(2)的条件下,若E为AB的中点,DF=n,正方形ABCD的面积为S,求S关于n的函数关系式.4.小颖在学习了摩擦力的相关知识后，准备在水平面上探究滑动摩擦力与压力之间的关系，探究步骤如下：第一步：如题3-1图，在一水平放置的木板上放置一个质量为1kg的木块(压力大小=重力大小)，用弹簧测力计沿水平方向拉动木块，使木块做匀速直线运动(滑动摩擦力的大小可以由弹簧测力计读出)；第二步：在木块上增加质量不同的砝码，使木块做匀速直线运动；当在木块上增加质量不同的砝码后，设弹簧测力计所拉物体的质量为m(kg)，弹簧测力计的示数为F(N)，通过多次测量，得到如下数据：(1)把表中的图的坐标系中，描点，连线，画出弹簧测力计拉力F关于物体质量m的图象；(2)观察所画的图象，猜测F和m之间的函数关系，求出函数表达式；(3)小颖将水平拉动木块实验变成在斜面拉动木块实验，如题3-3图，用弹簧测力计拉着木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动.经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力 F(N)是高度h(m)的一次函数.当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N，高度h每增加0.1m，弹簧测力计的读数增加0.8N，若弹簧测力计的最大量程是8N，求装置高度h的取值范围.5.综合与实践某数学实验小组在学习了电阻的知识后，计划通过实验探究铂电阻在0∼100°C范围内的温度特性，具体过程如下：【知识背景】电阻温度计是根据导体电阻随温度而变化的规律来测量温度的温度计，铂电阻温度计是最精确的温度计.【实验过程】如题2-1图，将电阻温度计接入电路，开始使导体温度升温，控制温度在( 0°C−100°C范围内，每升温20°C记录一次指示仪表输出的电阻值(单位：Ω)，实验完毕后，关闭所有电源.【收集数据】记录的数据如下表：(1)如题2-2图，建立平面直角坐标系，横轴表示温度( (°C),纵轴表示电阻值(Ω)，描出以上表中的数据为坐标的各点，并进行连线；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，若在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出解析式，若不在同一条直线上，请说明理由；(3)当温度为50°C时，求铂电阻的电阻值.题型二圆的综合题1. 如题1图, △ABC内接于⊙O,AB是⊙O 的直径,分别过点 C 作⊙O 的切线，过点 O作AB的垂线，两线相交于点 D.(1)求证: ∠D=2∠A;(2)请用无刻度的直尺和圆规过点O 作AC 的垂线交AC 于点 E(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下,若AB=8,CD=3,求OE的长.2. 如题2图, △ABC内接于⊙O,延长BA至点D,连接DC,使DB=DC,过点A作AE⊥AB交DC于点E,连接B E,BE 与AC相交于点F，且满足∠ADE=2∠EAC.(1)求证:CA=CB;(2)若AD:AB=1:4,求tan∠ABC的值；的值.(3)在(2)的条件下,求AFFC3.如题1-1图, △ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,CD是∠ACB的平分线,交⊙O 于点D,连接OD,交AB于点E.(1)求证:OD∥AC;,求直线AF与⊙O的位关系.(2)如题1-2图,延长OD至点 F,连接AF,使得AF=BC,且tanB=12在△ABC中,AB=AC,点O是AB边上一动点,以点O为圆心,OB长为半径作圆,交BC于点 D.过点 D作DE⊥AC,垂足为E.(1)如题2-1图,若点O为AB的中点,求证:BD=CD;(2)如题2-2图,当点O为AB 上任意一点时,求证:DE 与⊙O 相切;(3)如题2-3图,若⊙O与AC相切于点F,且⊙O的半径为3,CE=1,求AF的长.如题4图,四边形ABCE内接于⊙O, AB=AC,CE⊥BC,，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点 D.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若DE=2,AE平分∠CAD,求⊙O的半径；(3)新考法探究线段数量关系若( CE=m,DE=n,⊙O的直径为d，探究m，n与d的数量关系，并说明理由.题型三二次函数综合题1. 已知抛物线y₁=ax²−4ax+c经过点(3,−2),与x轴交于点A(x₁,0),B两点.(1)若抛物线过点(−1,2),求抛物线的解析式；(2)若−1<x₁<0,点P(5,n)(n⟩0))在该抛物线上，求a的取值范围；(3)若抛物线y₁向上平移两个单位长度后得到抛物线y₂，抛物y₁与直线y₁=kx+b(k≠0)交于点(x₁,0)(x₁<2),且函数y=y₁+y₁的图象与x轴仅有一个交点.求证：k=2a.2.如题2图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²+bx+c交x轴于A,B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式；(2)N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′,若△ABC的面积被 NN'分为1∶2的两部分，求点N 的坐标；(3)将抛物线向左平移m(m⟩0))个单位长度，与原抛物线的交点为点 D,连接 AD,BD,AC 与 BD 相交于点 E,若△ADE与△BCE的面积差为1，求m的值.3.已知抛物线y=25x2+bx+c的顶点坐标为(−2,185),与x轴交于点A,B(点A在点 B左侧),与y轴交于点C.(1)求b,c的值;(2)点M(-4，2)，N是抛物线上两点，若点N到对称轴的距离等于点M到对称轴距离的2倍，求点 N的坐标；(3)若点 P是第二象限内抛物线上一点，连接PB交AC于点D,求PDBD的最大值.x−3与x轴，y轴交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，M是射线4.如题2图,直线y=34BA上一动点，过点 M作MN∥y轴交抛物线于点 N.(1)求抛物线的解析式；(2)当M在线段BA上时,连接AN,BN,若S∆ABN=S∆ABO,求此时点M的坐标；(3)新考法与点的运动结合点M从点 B 出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，MB=MN?请直接写出所有符合条件的t值.5.如题3图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx−2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(0)，与y 轴交于点 C，点P为直线BC下方抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PE⊥x轴于点 E，连接OP，是否存在点 P 使得. ∠OPE=∠ABC?若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；(3) 将抛物线沿着x轴翻折，点P 的对应点为P′,连接P'B,求△P′CB面积的最大值及此时点 P的坐标.。

第二章整式的加减(知识归纳+题型突破)(原卷版)

第二章整式的加减（知识归纳+题型突破）1.了解代数式的概念及书写要求，理解单项式、多项式、整式的概念及各自的次数、项数、常数项等；2.理解同类项，合并同类项，对多项式进行化简及求值；3.理解并掌握整式加减在实际问题中的应用．一、列代数式及书写要求代数式：用运算符号把字母和数字连接而成的式子就叫代数式.代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，就可以得到代数式的值.代数式的书写要求：①字母与数字相乘，或字母与字母相乘，乘号不用“×”，而是“g ”，或略去不写.因“×”与“x”易混淆.②字母与数字相乘，一般数字在前，系数带分数的，一般写成假分数.因312x 易混淆为3×12×x.③系数是1时，一般省略不写.○4多项式后面带单位，多项式须用括号括起来.代数式的书写规范问题【解题技巧】代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.根据要求列代数式【解题技巧】解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.二、单项式的概念单项式：数或字母的积.（单独的一个数或一个字母也是单项式）.例：5x ；100；x ；10ab 等注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式.例：4x不是单项式.单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数.例：28xy p的系数为8p.单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和.例： 22xy p 的次数为3次.三、多项式的有关概念多项式：几个单项式的和.注：和，即减单项式，实际是加该单项式的相反数.例如： 32x 3y ﹣45y 2+ 12xy 可以视作： 32x 3y+（﹣45y 2）+ 12xy ．项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式.常数项：不含字母的项.多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n 次，就叫做n 次式）.四、整式的概念整式：单项式与多项式统称为整式.注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）利用整式的相关概念求字母的取值①利用单项式的系数与次数求值解题技巧：此类题型有2点需要注意：①题干会告知单项式的次数，利用系数关系可以列写一个等式；②还需注意，单项式的系数不为0②利用多项式的次数及特定的系数求值解题技巧：此类题型有3点需要注意：①题干会告知次数，则多项式的最高次数项的次数等于该值；②注意最高次数项的系数不能为0；③题干还会告知项数，往往利用项数也能确定一些等式（不等式）.五、合并同类项同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）例:5abc2：与3abc23abc 与3abc判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同合并同类项：将多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变.利用同类项的概念求值解题技巧：（1）若告知某两个单项式为同类项，则这两个单项式的对应字母的次数相同；（2）若告知某个整式经过一系列变化后，结果为某个单项式，则该整式中与该单项式不是同类项的系数必为0.六、去（添）括号法则括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变括号前是“-”，去括号后，括号内的符号全部要变号.括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数.解题技巧：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，在去中括号，最后去大括号.可依据简易程度，选择合适顺序.七、整式的加减（合并同类项）整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：①将同类项找出，并置与一起；②合并同类项.解题技巧：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项.（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算.合并同类项要完全、彻底，不能漏项.整式“缺项”及与字母取值无关的问题解题技巧：（1）若题干告知整式不含某次项，则说明该次项前面的系数为0.（2）因为与字母取值无关，说明包含该字母前面的系数为0.即先化简整式，另包含该字母的的式子前面的系数为0即可.八．数字类规律①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为(1)n -或1(1)n --或1(1)n +-②数字规律：数字规律需要视题目而确定○3字母规律：通常字母规律是呈指数变换，长表示为：n a 等形式九. 算式类规律算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律.常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n 个数的立方和、连续n 个数的平方和、阶乘等.十.图形类规律通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力.题型一列代数式【典例1】（2023秋·全国·七年级专题练习）一个两位数，个位上数字为5，设十位上数字为x ，则这个两位数表示为．巩固训练题型二代数式书写要求题型三已知字母的值，求代数式的值a__________；(1)=(2)求222-+的值；a b ab题型四已知式子的值，求代数式的值题型五程序流程图与代数式求值巩固训练1.（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图是一个运算程序示意图，若开始输入2.（2022秋·安徽铜陵·七年级统考期末）按如图所示的程序计算，若开始输入()1100x x x+>，如果“是”则得到输出的结果，如果为．题型六单项式的概念及系数、次数题型七多项式的概念及项数、系数、次数、常数题型八整式的概念及分类题型九同类项的识别及依据同类项求字母的值题型十多项式的化简及化简求值巩固训练。

中考数学重难题型突破之题型七综合实践题

题型七综合实践题例1．【问题情境】已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG.【深入探究】(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．第1题图例2．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移△ADP，使点D 移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH.【问题发现】(1)如图①，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是________，位置关系是________；【拓展探究】(2)如图②，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；【解决问题】(3)若点P在线段DC的延长线上，且∠AHQ＝120°，正方形ABCD的边长为2，请直接写出DP的长度．第2题图例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.(1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；(2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝6，请直接写出BQ的长．第3题图例4．已知正方形ABCD，点E在直线AD上(不与点A、D重合)，连接BE，作EF⊥BE，且EF＝BE，过点F作FG⊥BC，交直线BC于点G.(1)如图①，当点E在边AD上，点G在边BC的延长线上时，求证：AB＋AE＝BG；(2)如图②，当点E在边DA的延长线上，点G在边BC上时，FG交AD于点H，试猜想AB、AE与BG的关系，并加以证明；(3)如图③，当点E 在边AD 的延长线上，点G 在边BC 上时，FG 交AD 于点N ，请直接写出线段AB 、AE 、BG 之间的数量关系，不需要证明．图① 图② 图③第4题图例5．如图，△ABC 中，AB ＝BC ，BD ⊥AC 于点D ，∠F AC ＝12∠ABC ，且∠F AC 在AC 下方，点P ，Q 分别是射线BD ，射线AF 上的动点，且点P 不与点B 重合，点Q 不与点A 重合，连接CQ ，过点P 作PE ⊥CQ 于点E ，连接DE .(1)若∠ABC ＝60°，BP ＝AQ .①如图①，当点P 在线段BD 上运动时，请直接写出线段DE 和线段AQ 的数量关系和位置关系； ②如图②，当点P 运动到线段BD 的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；(2)若∠ABC ＝2α≠60°，请直接写出当线段BP 和线段AQ 满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．第5题图例6．已知，△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，点P 是射线CB 上一点(点P 不与点B 、C 重合)，线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M .(1)如图①，当AC ＝BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是________；(2)如图②，当AC ＝BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)如图③，若AC BC ＝52，点P 在线段CB 的延长线上，CM ＝2，AP ＝13，求△ABP 的面积．第6题图例7．如图，等边△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形．(1)如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？(2)如图②，当点M 在线段BC 上时，其他条件不变，(1)的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．第7题图例8．已知，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P是对角线BD上的动点，连接AP，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F.(1)发现问题如图①，当点P运动过程中∠PBA与∠P AB互余时，线段BE、MF与AB的数量关系为__________；(2)解决问题如图②，当点P运动过程中∠PBA与∠P AB相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若BE∶AF＝2∶3，EF＝85，求DG的长．第8题图例9．如图①，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB中，AC＝BC，DE＝BD，∠ACB＝∠EDB＝90°，P为AE的中点．(1)观察猜想连接PC、PD，则线段PC与PD的位置关系是________，数量关系是________；(2)探究证明如图②，当点E在线段AB上运动时，其他条件不变，作EF⊥BC于F，连接PF，试判断△PCF的形状，并说明理由；(3)拓展延伸在点E的运动过程中，当△PCF是等边三角形时，直接写出△ACB与△EDB的两直角边之比．第9题图例10．已知在△ABC 中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动(与A ，B 不重合)，点E 与点D 同时出发，由点C 沿BC 的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连接DE 交AC 于F ，点H 是线段AF 上一点．(1)初步尝试如图①，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且点D ，E 的运动速度相等，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，则GH 与AH 的数量关系是________，GF 与FC 的数量关系是________，ACHF的值是________；(2)类比探究如图②，若在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ADH ＝∠A ＝30°，且点D ，E 的运动速度之比是3∶1，求ACHF 的值；(3)延伸拓展如图③，若在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ADH ＝∠A ＝36°，记BCAB ＝m ，且点D ，E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示ACHF.(直接写出结果，不必写出解答过程)第10题图题型七综合实践题例1．【问题情境】已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG.【深入探究】(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．第1题图【答案】(1)证明：∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BCA＝∠ABC＝45°，∵FG⊥BC，∴∠FGC＝90°，∴∠GFC＝90°－∠GCF＝45°，∴∠GFC＝∠GCF，∴GC＝GF；(2)解：DG＝EG，DG⊥EG；证明：同(1)可证GC＝GF，∵∠DCE＝90°，∠BCA＝45°，∴∠DCG＝45°，∵∠GFC＝45°，∴∠DCG＝∠EFG，∵△CDE平移得到△ABF，∴CE＝AF，∴CE＋CF＝AF＋CF，即EF＝AC，∵AC＝CD，∴EF＝CD，∴△DCG≌△EFG(SAS)，∴DG＝EG，∠DGC＝∠EGF，∴∠DGC－∠EGC＝∠EGF－∠EGC，即∠DGE＝∠CGF＝90°，∴DG⊥EG；(3)解：∠CGE＝180°－α.例2．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移△ADP，使点D 移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH.【问题发现】(1)如图①，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是________，位置关系是________；【拓展探究】(2)如图②，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；【解决问题】(3)若点P在线段DC的延长线上，且∠AHQ＝120°，正方形ABCD的边长为2，请直接写出DP的长度．第2题图【答案】解：(1)AH＝PH，AH⊥PH；【解法提示】如解图①，连接HC，第2题解图①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，又∵QH⊥BD，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴HD ＝HQ ，∠HDP ＝∠HQC ＝45°，由平移的性质可知DP ＝CQ ，在△HDP 和△HQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC DP ＝QC ，∴△HDP ≌△HQC .∴HP ＝HC ，∠DHP ＝∠QHC .根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ，∠AHD ＝∠CHD ， ∴∠AHP ＝∠AHD ＋∠DHP ＝∠CHD ＋∠QHC ＝90°，即AH ⊥PH . ∴HA ＝HP ，AH ⊥PH . (2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：如解图②，连接HC ，第2题解图②∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°，又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴∠HDP ＝∠HQC ＝135°，HD ＝HQ ，由平移的性质可知DP ＝CQ ，在△HDP 和△HQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC PD ＝CQ ，∴△HDP ≌△HQC (SAS)， ∴HP ＝HC ，∠DHP ＝∠QHC ，根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ，∠AHD ＝∠CHD ， ∴∠AHP ＝∠AHD －∠DHP ＝∠CHD －∠CHQ ＝90°， ∴HA ＝HP ，AH ⊥PH ； (3)DP ＝2 3.【解法提示】由(1)知，AH ＝PH ，AH ⊥PH ， ∴∠HP A ＝45°，∵∠AHQ ＝120°，∴∠PHQ ＝120°－90°＝30°.∴∠PHD ＝∠QHD －∠PHQ ＝60°，∠AHB ＝∠CHB ＝∠AHP －∠PHD ＝30°， ∴∠CHP ＝∠CHB ＝∠AHB ＝30°， ∴∠CPH ＝180°－∠CHP 2＝75°，∴∠APD ＝∠CPH －∠APH ＝30°，在Rt △ADP 中，AD ＝2， ∴DP ＝2tan ∠APD＝2 3.例3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC 上的动点(不与点B 、点C 重合)，连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 逆时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ .(1)如图①，当点P 在线段BC 上时，请直接写出线段BQ 与CP 的数量关系；(2)如图②，当点P 在CB 延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； (3)如图③，当点P 在BC 延长线上时，若∠BPO ＝45°，AC ＝6，请直接写出BQ 的长．第3题图【答案】解：(1)CP ＝BQ;【解法提示】如解图①，连接OQ ，第3题解图①由旋转可知，PQ ＝OP ，∠OPQ ＝60°， ∴△POQ 是等边三角形，∴OP ＝OQ ，∠POQ ＝60°，在Rt △ABC 中，O 是AB 中点， ∴OC ＝OA ＝OB ，∴∠BOC ＝2∠A ＝60°＝∠POQ ， ∴∠COP ＝∠BOQ ，在△COP 和△BOQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OB ∠COP ＝∠BOQ ，OP ＝OQ∴△COP ≌△BOQ (SAS)， ∴CP ＝BQ ； (2)成立，理由如下：如解图②，连接OQ ，图②由旋转知PQ ＝OP ，∠OPQ ＝60°， ∴△POQ 是等边三角形， ∴OP ＝OQ ，∠POQ ＝60°， ∵在Rt △ABC 中，O 是AB 中点， ∴OC ＝OA ＝OB ，∴∠BOC ＝2∠A ＝60°＝∠POQ ，∴∠COP ＝∠BOQ ，在△COP 和△BOQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OB ∠COP ＝∠BOQ ，OP ＝OQ∴△COP ≌△BOQ (SAS)， ∴CP ＝BQ ； (3)BQ ＝6－22. 【解法提示】在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝6， ∴BC ＝AC ·tan A ＝2，如解图③，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，第3题解图③∴∠OHB ＝90°＝∠BCA ，∴OH ∥AC ， ∵O 是AB 中点，∴CH ＝12BC ＝22，OH ＝12AC ＝62，∵∠BPO ＝45°，∠OHP ＝90°， ∴∠BPO ＝∠POH ，∴PH ＝OH ＝62， ∴CP ＝PH －CH ＝62－22＝6－22，连接OQ ，同(1)的方法得，BQ ＝CP ＝6－22. 例4．已知正方形ABCD ，点E 在直线AD 上(不与点A 、D 重合)，连接BE ，作EF ⊥BE ，且EF ＝BE ，过点F 作FG ⊥BC ，交直线BC 于点G .(1)如图①，当点E 在边AD 上，点G 在边BC 的延长线上时，求证：AB ＋AE ＝BG ；(2)如图②，当点E 在边DA 的延长线上，点G 在边BC 上时，FG 交AD 于点H ，试猜想AB 、AE 与BG 的关系，并加以证明；(3)如图③，当点E 在边AD 的延长线上，点G 在边BC 上时，FG 交AD 于点N ，请直接写出线段AB 、AE 、BG 之间的数量关系，不需要证明．图① 图② 图③第4题图【答案】(1)证明：如解图，延长AD 交GF 的延长线于点M ， ∵四边形ABCD 是正方形，第4题解图∴∠A ＝90°，∠ABC ＝90°，又∵FG ⊥BC ，∴四边形ABGM 是矩形， ∴AM ＝BG ，∵∠A ＝90°，EF ⊥BE ，∠M ＝90°， ∴∠AEB ＝∠MFE ，在△ABE 和△MEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠M ∠AEB ＝∠MFE EB ＝EF ，∴△ABE ≌△MEF (AAS)， ∴AB ＝EM ，∵AM ＝AE ＋EM ＝AE ＋AB ， ∴AB ＋AE ＝BG ； (2)AB －AE ＝BG ；证明：∵∠FEH ＋∠BEA ＝90°， ∠BEA ＋∠ABE ＝90°， ∴∠FEH ＝∠ABE ，在△ABE 和△HEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠EHF ∠ABE ＝∠HEF BE ＝EF ，∴△ABE ≌△HEF (AAS)，∴EH ＝AB ，EH －AE ＝AB －AE ＝AH ， ∵四边形ABGH 是矩形， ∴AH ＝BG ，∴AB －AE ＝BG ； (3)AE ＝AB ＋BG .【解法提示】由(2)得△ABE ≌△NEF ， ∴NE ＝AB ，∵AN ＋NE ＝AN ＋AB ＝AE ，BG ＝AN ， ∴AE ＝AB ＋BG .例5．如图，△ABC 中，AB ＝BC ，BD ⊥AC 于点D ，∠F AC ＝12∠ABC ，且∠F AC 在AC 下方，点P ，Q 分别是射线BD ，射线AF 上的动点，且点P 不与点B 重合，点Q 不与点A 重合，连接CQ ，过点P 作PE ⊥CQ 于点E ，连接DE .(1)若∠ABC ＝60°，BP ＝AQ .①如图①，当点P 在线段BD 上运动时，请直接写出线段DE 和线段AQ 的数量关系和位置关系； ②如图②，当点P 运动到线段BD 的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；(2)若∠ABC ＝2α≠60°，请直接写出当线段BP 和线段AQ 满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．第5题图【答案】解：(1)①DE ＝12AQ ，DE ∥AQ ；②成立；【解法提示】如解图①，连接PC 、PQ ，第5题解图①∵BA ＝BC ，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ，∵BC ＝AC ，∠F AC ＝∠PBC ＝30°，AQ ＝BP ， ∴△AQC ≌△BPC (SAS)， ∴QC ＝PC ，∠ACQ ＝∠BCP ，∴∠ACQ ＋∠ACP ＝∠BCP ＋∠ACP ＝60°， ∴△PCQ 是等边三角形，又PE ⊥QC ，∴E 为QC 的中点，∵AB ＝BC ，BD ⊥AC ，∴D 为AC 的中点， ∴DE ＝12AQ ，DE ∥AQ ；②成立．理由如下：如解图②，连接PC 、PQ .第5题解图②∵BA ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ， ∵BC ＝AC ，∠F AC ＝∠PBC ＝30°，AQ ＝BP ， ∴△AQC ≌△BPC (SAS)， ∴QC ＝PC ，∠ACQ ＝∠BCP ， ∴∠PCQ ＝∠BCA ＝60°， ∴△PCQ 是等边三角形，又∵PE ⊥QC ，∴E 为QC 的中点， ∵AB ＝BC ，BD ⊥AC ，∴D 为AC 的中点， ∴DE ＝12AQ ，DE ∥AQ ；第5题解图③(2)如解图③，连接PC ，取PC 中点M ，连接MD 、ME ，设PE 与AC 交点为N ，∵∠PDC ＝90°， ∴MD ＝12PC ，同理ME ＝12PC ，即MP ＝MC ＝MD ＝ME ，∴P 、D 、E 、C 四点共圆，∴∠NCE ＝∠NPD ，∠EDC ＝∠NPC ， ∵DE ∥AQ ，∴∠QAC ＝∠EDC ，又∠QAC ＝∠PBC ， ∴∠NPC ＝∠PBC ，∵∠EPD ＋∠NPC ＝∠PBC ＋∠BCP ， ∴∠EPD ＝∠BCP ， ∴∠NCE ＝∠BCP .由∠NCE ＝∠BCP ，∠QAC ＝∠PBC ，得△QAC ∽△PBC ， ∴AQ BP ＝AC BC ＝2DC BC ＝2sin ∠DBC ＝2sin ∠ABC 2，即AQBP＝2sin α. 例6．已知，△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，点P 是射线CB 上一点(点P 不与点B 、C 重合)，线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M .(1)如图①，当AC ＝BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是________；(2)如图②，当AC ＝BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)如图③，若AC BC ＝52，点P 在线段CB 的延长线上，CM ＝2，AP ＝13，求△ABP 的面积．第6题图【答案】解：(1)PB ＝2CM ；【解法提示】如解图①，过点Q 作QD ⊥AC 于点D ，第6题解图①QE ⊥BC 交BC 的延长线于点E .∵AQ 是由AP 绕点A 顺时针旋转90°得到的， ∴AP ＝AQ ，且∠P AQ ＝90°，∴∠P AC ＋∠QAD ＝90°，又∠P AC ＋∠APC ＝90°， ∴∠QAD ＝∠APC ， ∴△ACP ≌△QDA (AAS)， ∴AC ＝QD ＝CE ，又∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC ＝BC ＝EC ，即点C 为BE 的中点， ∴CM ＝12QE ，即QE ＝2CM ，连接AE ，∵AC ＝CE ＝BC ， ∴△ABE 为等腰直角三角形， ∴AE ＝AB ，∵∠BAE ＝∠P AQ ＝90°，∴∠BAP ＝∠EAQ ，又∵AP ＝AQ ，∴△APB ≌△AQE (SAS)， ∴BP ＝QE ＝2CM ， ∴PB ＝2CM ；(2)(1)中的结论PB ＝2CM 仍然成立；证明：如解图②所示，过点Q 作QG ⊥BC 交BC 的延长线于点G ，过点A 作AF ⊥QG 交QG 的延长线于点F .第6题解图②∵AQ 是由AP 绕点A 顺时针旋转90°得到的， ∴AP ＝AQ ，且∠P AQ ＝90°，∴∠P AC ＋∠CAQ ＝90°，又∵∠QAF ＋∠CAQ ＝90°， ∴∠P AC ＝∠QAF ， ∴△P AC ≌△QAF (AAS)， ∴AC ＝AF ，∴四边形AFGC 为正方形，∴CG ＝AC ＝BC ，即C 为BG 的中点， ∴QG ＝2CM ，连接AG 可得，△ABG 为等腰直角三角形， ∴AB ＝AG ，∠P AB ＋∠BAQ ＝∠QAG ＋∠BAQ ＝90°， ∴∠P AB ＝∠QAG ， ∴△P AB ≌△QAG (SAS)， ∴PB ＝QG ＝2CM ， ∴PB ＝2CM ；(3) 如解图③所示，过点Q 作QH ⊥AC 交AC 的延长线于点H .第6题解图③由题知，AC BC ＝52，设AC ＝5a ，BC ＝2a ，由(2)知，△ACP ≌△QHA ，∴QH ＝AC ＝5a ，又∵△BCM ∽△QHM ， ∴BC QH ＝CM MH， ∴2a 5a ＝2MH，∴MH ＝5，又∵AP ＝AQ ＝13，∴在Rt △AHQ 中，根据勾股定理得：QH 2＋AH 2＝AQ 2， ∴(5a )2＋(5a ＋2＋5)2＝132，化简得：5a 2＋7a －12＝0，即(a －1)(5a ＋12)＝0，解得：a 1＝1，a 2＝－125(舍)，∴BC ＝2，AH ＝CP ＝12，AC ＝5， ∴BP ＝PC －BC ＝12－2＝10， ∴S △ABP ＝12BP ·AC ＝12×10×5＝25.例7．如图，等边△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形．(1)如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？(2)如图②，当点M 在线段BC 上时，其他条件不变，(1)的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．第7题图【答案】解：(1)EN ＝MF ；【解法提示】如解图①，连接DE 、DF ， ∵D 、E 、F 是等边△ABC 三边中点，∴△DEF 是等边三角形，∴DE ＝DF ，∠EDF ＝60°， ∵△DMN 为等边三角形，∴DM ＝DN ，∠MDN ＝60°， ∴∠MDF ＝∠NDE ＝60°＋∠NDF ， ∴△DMF ≌△DNE (SAS)，∴EN ＝MF .图① 图②第7题解图(2)成立．证明：如解图②，连接DE 、DF 和EF ， ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC . 又∵D ，E ，F 是三边的中点， ∴DE ，DF ，EF 为三角形的中位线， ∴DE ＝DF ＝EF ，∠FDE ＝60°.又∵∠MDF ＋∠FDN ＝60°， ∠NDE ＋∠FDN ＝60°， ∴∠MDF ＝∠NDE .在△DMF 和△DNE 中，⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝DE ，∠MDF ＝∠NDE ，DM ＝DN ，∴△DMF ≌△DNE (SAS)，∴EN ＝FM ； (3)画出图形如解图③，第7题解图③MF 与EN 相等的结论仍然成立(或EN ＝MF 成立)．【解法提示】如解图④，连接DE 、EF 、DF .第7题解图④∵D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，且△ABC 是等边三角形，∴△DEF 是等边三角形， ∴DE ＝DF ，∠EDF ＝60°. ∵△DMN 是等边三角形， ∴DM ＝DN ，∠MDN ＝60°，∴∠MDF ＋∠MDE ＝∠MDE ＋∠NDE ，∴∠MDF ＝∠NDE ， ∴△MDF ≌△NDE (SAS)， ∴MF ＝NE .例8．已知，在矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，点M 为AD 边的中点，连接BD ，点P 是对角线BD 上的动点，连接AP ，以点P 为顶点作∠EPF ＝90°，PE 交AB 边于点E ，PF 交AD 边于点F .(1)发现问题如图①，当点P 运动过程中∠PBA 与∠P AB 互余时，线段BE 、MF 与AB 的数量关系为__________； (2)解决问题如图②，当点P 运动过程中∠PBA 与∠P AB 相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，连接EF 并延长EF ，交直线BD 于点G ，若BE ∶AF ＝2∶3，EF ＝85，求DG 的长．第8题图【答案】解：(1)BE －12MF ＝12AB ；【解法提示】如解图①，取AB 的中点N ，连接PN 、PM .第8题解图①∵∠PBA 与∠P AB 互余， ∴∠PBA ＋∠P AB ＝90°， ∴∠APB ＝90°， ∴∠APD ＝90°，∵N 是AB 的中点，M 是AD 的中点，∴PN ＝BN ＝AN ＝12AB ，AM ＝DM ＝PM ＝12AD ，∴∠NAP ＝∠NP A ，∠MAP ＝∠MP A . ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，AD ＝BC . ∵BC ＝2AB ， ∴AD ＝2AB ， ∴AB AD ＝12，而∠NAP ＋∠MAP ＝∠BAD ＝90°， ∴∠NP A ＋∠MP A ＝90°，即∠NPM ＝90°. ∵∠EPF ＝90°， ∴∠NPM ＝∠EPF ，∴∠NPM －∠EPM ＝∠EPF －∠EPM ， ∴∠NPE ＝∠MPF .∵∠ABP ＋∠BAP ＝90°，∠BAP ＋∠DAP ＝90°， ∴∠ABP ＝∠DAP . ∵PN ＝BN ，AM ＝PM ，∴∠ABP ＝∠BPN ，∠DAP ＝∠MP A ， ∴∠ENP ＝∠FMP ， ∴△PNE ∽△PMF ， ∴NE MF ＝PN PM ＝12AB12AD ＝12. ∴NE ＝12MF ，∵BE －NE ＝BN ， ∴BE －12MF ＝BN ，又∵BN ＝12AB ，∴BE －12MF ＝12AB .(2)不成立；理由如下：如解图②，取AB 的中点N ，连接PN 、PM ，第8题解图②∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠PBA＝∠P AB，∴P A＝PB，∵N是AB的中点，∴PN⊥AB，∴∠ANP＝90°，∵∠P AB＋∠P AD＝90°，∠PBA＋∠PBC＝90°，∴∠P AD＝∠PBC，∴∠P AD＝∠PDA，∴P A＝PD.∵M是AD的中点，∴PM⊥AD，∴∠PMA＝90°，∴四边形PMAN是矩形，∴∠NPM＝90°，AN＝PM，PN＝AM.∵∠EPF＝90°，∴∠NPM＝∠EPF，∴∠NPM－∠EPM＝∠EPF－∠EPM，∴∠NPE＝∠MPF.∵∠PNE＝∠PMF＝90°，∴△PNE∽△PMF，∴NEMF＝PNPM＝12AD12AB.∵AD ＝2AB ， ∴NE ＝2MF . ∵BE －NE ＝BN ， ∴BE －2MF ＝BN ， ∵N 是AB 的中点， ∴BN ＝12AB ，∴BE －2MF ＝12AB ，故(1)中结论不成立；(4) 如解图③，延长CD 交FG 于点H ，设BE ＝2a ，则AF ＝3a .第8题解图③∵BE －2MF ＝12AB ，∴BE －2(AF －AM )＝12AB .∵AM ＝AB ，∴2a －2(3a －AB )＝12AB ，∴AB ＝83a ，∴AD ＝163a ，AE ＝23a ，FD ＝73a .∵AE 2＋AF 2＝EF 2， ∴(23a )2＋(3a )2＝(85)2，解得a 1＝3，a 2＝－3(舍去)．∴AE ＝2，BE ＝6，AF ＝9，DF ＝7，BD ＝8 5. ∵HD ∥AB ， ∴△AEF ∽△DHF ， ∴DH AE ＝DF AF ， ∴DH 2＝79，∴DH ＝149.∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，即HD ∥BE . ∴△GDH ∽△GBE ， ∴DG BG ＝DH BE， ∴DGDG ＋85＝1496， ∴DG ＝1455.例9．如图①，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △EDB 中，AC ＝BC ，DE ＝BD ，∠ACB ＝∠EDB ＝90°，P 为AE 的中点． (1)观察猜想连接PC 、PD ，则线段PC 与PD 的位置关系是________，数量关系是________； (2)探究证明如图②，当点E 在线段AB 上运动时，其他条件不变，作EF ⊥BC 于F ，连接PF ，试判断△PCF 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸在点E 的运动过程中，当△PCF 是等边三角形时，直接写出△ACB 与△EDB 的两直角边之比．第9题图【答案】解：(1)PC ⊥PD ，PC ＝PD ；【解法提示】如解图①，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点P 作PH ⊥BC 于H ，连接PF ，第9题解图①易得四边形EFBD 是正方形， ∴EF ＝ED ，∠DEB ＝∠FEB ＝45°，∴∠PEF ＝∠PED ＝135°，在△PEF 和△PED 中， ⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝ED ∠PEF ＝∠PED PE ＝PE， ∴△PEF ≌△PED (SAS)， ∴PF ＝PD ，∠EPF ＝∠EPD ， ∵AC ∥PH ∥EF ，点P 为AE 的中点， ∴点H 是FC 的中点， ∴CH ＝HF ，又PH ⊥BC ，∴PC ＝PF ，故△PCF 是等腰三角形，∴∠CPH ＝∠FPH ， ∴PC ＝PD ；∵∠HPB ＝∠HPF ＋∠EPF ＝45°，∴∠CPD ＝∠CPH ＋∠HPF ＋∠EPF ＋∠EPD ＝2(∠HPF ＋∠EPF )＝90°， ∴PC ⊥PD .(2)△PCF 为等腰三角形，理由如下：如解图②，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，第9题解图②则AC ∥PH ∥EF ， ∵P 为AE 的中点，∴点H 是FC 的中点，∴CH ＝HF ，又PH ⊥BC ， ∴PC ＝PF ，∴△PCF 为等腰三角形； (3)3＋2.【解法提示】如解图③，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，由(1)知，四边形BDEF 为正方形，设EF ＝BF ＝BD ＝x ，HF ＝y ，第9题解图③∵△PCF 是等边三角形， ∴PH ＝3y ， ∵PH ∥EF ， ∴△BEF ∽△BPH ， ∴EF PH ＝BF BH ，即x 3y ＝x x ＋y，解得y ＝3＋12x ， ∴BC ＝x ＋2y ＝(3＋2)x ， ∴BC BD ＝（3＋2）x x＝3＋2. ∴△ACB 与△EDB 的两直角边之比为3＋2.例10．已知在△ABC 中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动(与A ，B 不重合)，点E 与点D 同时出发，由点C 沿BC 的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连接DE 交AC 于F ，点H 是线段AF 上一点．(1)初步尝试如图①，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且点D ，E 的运动速度相等，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，则GH 与AH 的数量关系是________，GF 与FC 的数量关系是________，ACHF的值是________；(2)类比探究如图②，若在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ADH ＝∠A ＝30°，且点D ，E 的运动速度之比是3∶1，求ACHF 的值；(3)延伸拓展如图③，若在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ADH ＝∠A ＝36°，记BCAB ＝m ，且点D ，E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示ACHF.(直接写出结果，不必写出解答过程)第10题图【答案】解：(1)GH ＝AH ，GF ＝FC ，2；【解法提示】∵DG ∥BC ， ∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠ACB ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ADG ＝∠AGD ＝∠A ，∴△ADG 是等边三角形，∴GD ＝AD ＝CE ， ∵DH ⊥AC ，∴GH ＝AH ， ∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF ，∠DGF ＝∠ECF ，在△GDF 和△CEF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GDF ＝∠CEF GD ＝CE ∠DGF ＝∠ECF ， ∴△GDF ≌△CEF (ASA)， ∴GF ＝CF ，∴GH ＋GF ＝AH ＋CF ，即HF ＝12AC ，∴ACHF＝2. (2)如解图①，过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，第10题解图①则∠ADG ＝∠B ＝90°，∵∠A ＝∠ADH ＝30°，∴∠HGD ＝∠HDG ＝60°， ∴△DHG 是等边三角形， ∴AH ＝GH ＝GD ，AD ＝3GD ，根据题意得AD ＝3CE ，∴GD ＝CE ，∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF ，∠DGF ＝∠ECF ，在△GDF 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GDF ＝∠CEF GD ＝CE ∠DGF ＝∠ECF ，∴△GDF ≌△CEF (ASA)， ∴GF ＝CF ，∴GH ＋GF ＝AH ＋CF ，即HF ＝12AC ，∴ACHF ＝2；(3)AC HF ＝m ＋1m. 【解法提示】如解图②，过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，第10题解图②则∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠ACB ，AD ＝EC ， ∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ACB ＝∠B ＝∠ADG ＝∠AGD ＝72°， ∵∠ADH ＝∠A ＝36°，∴AH ＝DH ，∠DHG ＝72°＝∠AGD ， ∴DG ＝DH ＝AH ，∴△ADG ∽△ABC ，△ADG ∽△DGH ，∴△DGH ∽△ABC ，∴GH DG ＝BC AB ＝DG AD ＝m ，∴GHAH ＝m ，∵DG ∥BC ，∴△DFG ∽△EFC ，∴GF FC ＝DGCE，第 31 页共 31 页又∵CE ＝AD ，∴DG CE ＝DG AD ＝m ，∴GF FC ＝DG CE＝m ， ∴GH ＋GF AH ＋FC ＝HF AH ＋FC ＝m ，∴AH ＋FC HF ＝1m ， ∴AC HF ＝AH ＋FC ＋HF HF ＝1m ＋1＝m ＋1m.。

中考数学第二轮中档题突破专项突破3反比例函数的综合题作业课件

2019/5/27
精选最新中小学教学课件thakyou!2019/5/27
精选最新中小学教学课件
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。

2024年中考数学二轮复习题型全通关专练—综合与实践(含答案)

2024年中考数学二轮复习题型全通关专练—综合与实践（含答案）初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力．考点讲解：跨章节的综合与实践，就是利用同板块的内容解决问题，但这些内容来自初中的不同年级的不同章节．【例1】（2023·宁夏·统考中考真题）1．综合与实践问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36︒的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现如图1，在ABC 中，36A ∠=︒，AB AC =．（1）操作发现：将ABC于点D，连接DE，DB （用含x的式子表示）（2）进一步探究发现：证明：512 BCAC-=底腰【变1】（2023·江苏盐城·统考中考真题）2．综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD试卷第2页，共16页考点讲解：跨板块的综合与实践，就是利用不同数学模块的内容综合解决问题，但这些板块都来自于初中所学的知识，是这些知识的综合应用．【问题解决】请你基于上述数据整理的信息解答下列问题：(1)这8周每周来访旅客的平均人数有______万人；(2)求平均每周到访该市只游玩一天的游客人数；(3)请你通过计算估计第9周来访的旅客量约是多少万人？（精确到0.1）【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为m x，BC为m y．由矩形地块面积为成是反比例函数8yx=的图象在第一象限内点的坐标；满足条件的(),x y可看成一次函数这两个条件的(),x y就可以看成两个函数图象交点的坐标．试卷第4页，共16页（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．【类比探究】（2）若6a =，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图说明理由．【问题延伸】当木栏总长为m a 时，小颖建立了一次函数是直线2y x =-通过平移得到的，在平移过程中，当过点比例函数()80y x x=>的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线2y x a =-+过点【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB 值范围．考点讲解：跨学科的综合与实践，就是利用数学知识和方法解决其它学科的问题，或者把数学与其它学科结合起来，共同解决实际问题．【例1】（2022·广西·统考中考真题）芒果树叶的长宽比荔枝树叶的长宽比【问题解决】试卷第6页，共16页【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：()0()m m l M a y +⋅=⋅+.其中秤盘质量0m 克，重物质量m 克，秤砣质量M 克，秤纽与秤盘的水平距离为l 厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a 厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y 厘米．【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定010m =，50M =，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．任务一：确定l 和a 的值．(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l ，a 的方程；(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l ，a 的方程；(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l 和a 的值．任务二：确定刻线的位置．(4)根据任务一，求y 关于m 的函数解析式；(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．（2023·广东·统考中考真题）7．综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：试卷第8页，共16页(1)直接写出纸板上ABC ∠与纸盒上111A B C ∠的大小关系；(2)证明（1）中你发现的结论．（2023·广西北海·统考二模）8．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点A ，B 是MON ∠的边OM 上的两个定点，C 是ON 边上的一个动点，当且仅当ABC 的外接圆与ON 边相切于点C 时，ACB ∠最大．人们称这一命题为米勒定理．(1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：MBN MAN ∠>∠．(2)【问题解决】如图3，已知点A ，B 的坐标分别是()0,1，()0,3，C 是x 轴正半轴上的一动点，当ABC 的外接圆⊙D 与x 轴相切于点C 时，ACB ∠最大．当ACB ∠最大时，求点C 的坐标．（2023·山东临沂·统考中考真题）9．综合与实践问题情境小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮试卷第10页，共16页（1）如图2，分别以BC 、CA 、AB 为边向外作的等腰直角三角形的面积为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 之间的数量关系是______．（2）如图3，分别以BC 、CA 、AB 为边向外作的等边三角形的面积为4S 、5S 、6S ，试猜想4S 、5S 、6S 之间的数量关系，并说明理由．实践应用（1）如图4，将图3中的BCD 绕点B 逆时针旋转一定角度至BGH ，ACE 绕点A 顺时针旋转一定角度至AMN ，GH 、MN 相交于点P ．求证：PHN PMFG S S = 四边形；（2）如图5，分别以图3中Rt ABC 的边BC 、CA 、AB 为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC 、CA 、AB 为直径的半圆柱的体积分别为1V 、2V 、3V ．若4AB =，柱体的高8h =，直接写出12V V +的值．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）11．综合与实践问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法．．．．．：将“矩”的直角尖端A 沿圆周移动，直到AB AC =，在圆上标记A ，B ，C 三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A ，B 点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D 点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A ，B ，C ，D 四点，连接AD ，BC 相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A ，B ，C ，D 四点，连接AD ，BC 相交于点O ，即O 为圆心．(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原．．我国古代几何作图确定圆心O ．如图3，点A ，B ，C 在O 上，AB AC ⊥，且AB AC =，请作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB 和AC 不相等，用三角板也可以确定圆心O ．如图4，点A ，B ，C 在O 上，AB AC ⊥，请作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图．．．．的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A ，B ，C 是O 上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．（2023·广西桂林·统考一模）12．综合与实践[问题情境]学习完《解直角三角形的应用》后，同学们对如何建立解直角三角形的模型测量物体的实际高度产生了浓厚的兴趣，数学老师决定开展一次主题为《测量学校旗杆高度》的数学实践活动，并为各小组准备了卷尺、测角仪等工具，要求各小组建立测高模型并测量学校旗杆的高度．[问题探究]第一小组的同学经过讨论，制定出了如下测量实施方案：第一步，建立测高模型，画出测量示意图（如图1），明确需要测量的数据和测量方法：试卷第12页，共16页(1)n 的值为；该小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是．(2)该测量模型中，若CD a AC b ==，，仰角为α，用含a b α，，的代数式表示旗杆高度为．[拓展应用](3)第二小组同学设计的是另外一种测量方案，他们画出的测量示意图如图2，测量时，固定测角仪的高度为1m ，先在点C 处测得旗杆顶端B 的仰角30α=︒，然后朝旗杆方向试卷第14页，共16页（3）方法迁移：用正方形纸片ABCD 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个n 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E 为正方形ABCD 边AB 上（不与端点重合）任意一点，连接CE ，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE 的周长与矩形GDCK 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．（2023·青海·统考中考真题）15．综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.(1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 BD ，2BA CA DA ===，圆心角120BAD ∠=︒.此时中心轨迹最高点是C （即 BD 的中点），转动一次前后中心的连线是BD （水平线），请在图2中计算C 到BD 的距离1d .(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 BD，2BA CA DA ===，圆心角90BAD ∠=︒.此时中心轨迹最高点是C （即 BD 的中点），转动一次前后中心的连线是BD （水平线），请在图4中计算C 到BD 的距离2d （结果保留根号）.(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 BD ，圆心角BAD ∠=______.此时中心轨迹最高点是C （即 BD 的中点），转动一次前后中心的连线是BD （水平线），在图6中计算C 到BD 的距离3d =______（结果保留根号）.(4)归纳推理：比较1d ，2d ，3d 大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d ______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.试卷第16页，共16页参考答案：答案第2页，共27页∵在菱形ABCD 中，BAD ∠=∴36,CAD ACD CD ∠=∠=︒=∴EDC DAC ACD ∠=∠+∠=∴EDC AEC ∠=∠，∴1CE CD ==，∴ACE △为黄金三角形，由折叠得：EF BD⊥，OB= BOF DOE∴∠=∠=︒，90四边形ABCD是矩形，∴∥，AD BC∴∠=∠，OBF ODEBMF BCD∴∠=∠，FBM DBC∠=∠，BFM BDC ∴△∽△，∴BM BFBC BD=，即3845BM=，答案第4页，共27页四边形ABCD 是矩形，OA OB ∴=，90OBA OBC ∠+∠=OAB OBA ∴∠=∠，设OAB OBA α∠=∠=，则90OBC α∠=︒-，答案第6页，共27页答案第8页，共27页（4）根据题意可得∶若要围出满足条件的矩形地块，内交点的存在问题，即方程()820x a a x -+=>有实数根，整理得：2280x ax -+=，∴()2Δ4280a =--⨯⨯≥，把()8,1代入2y x a =-+得：解得：17a =，∴817a ≤≤．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．5．(1)3.75，2.0(2)②(3)这片树叶更可能来自于荔枝，理由见解析答案第10页，共27页答案第12页，共27页设小正方形边长为1，则AC 22255AC BC AB +=+=Q ABC ∴ 为等腰直角三角形，∵1111111A C B C A C B ==⊥，【点睛】本题考查圆的基本性质，关系，垂径定理，圆的切线定理．9．(1)见解析(2)售价每涨价2元，日销售量少卖(3)①定价为每盆25元或每盆35够获得最大利润【分析】（1）按照从小到大的顺序进行排列即可；（2）根据表格数据，进行求解即可；（3）①设定价应为x元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；②设每天的利润为w，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可．答案第14页，共27页答案第16页，共27页作∠ABD=90°，BD与圆相交于∵∠CAB=∠ABD=90°，∴BC、AD是圆的直径，∴点O是圆的圆心．（2）解：如图所示，点O就是圆的圆心．答案第18页，共27页作∠ABD =90°，BD 与圆相交于D ，连接BC 、AD 相交于点O ，∵∠CAB =∠ABC =90°，∴BC 、AD 是圆的直径，∴点O 是圆的圆心．（3）解：如图所示，点O 就是圆的圆心．作AB 的垂直平分线DE ，作AC 的垂直平分线MN ，DE 交MN 于O ，∵DE 垂直平分AB ，∴DE 经过圆心，即圆心必在直线DE 上，∵MN 垂直平分AC ，∴MN 经过圆心，即圆心必在直线MN 上，∴DE 与MN 的交点O 是圆心．确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理的推论，尺规作线段垂直平分线，熟练掌握直角的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．12．(1)13.1；减小误差(2)tan b aα+答案第20页，共27页答案第22页，共27页设正方形的边长为2，根据折叠的性质，可得设DG x =，则2AG =-根据折叠，可得GH GD =理由如下，连接GE ，设正方形的边长为设DG x =，则4AG x=-根据折叠，可得GH GD =在Rt BEC △中，EC =答案第24页，共27页设DG x =，则1AG x=-根据折叠，可得GH GD =在Rt BEC △中，EC EB =∴211EH m =+-，在Rt ,Rt AEG GHE 中，2222,AG AE GE GH +=+2AB AD == ，AC 12BAC CAD ∴∠=∠=AB AD，AC⊥=∴∠=∠=ABD ADBsinAE AB ABD∴=⋅∠∴==-d CE AC AE∠=∴=，ABDAB BD∴ 是等边三角形，ABDBAD=∴∠︒，60在Rt ABE△中，=⋅∠=sinAE AB ABD答案第26页，共27页【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的定义，解直角三角形等知识，解决问题的关键是弄清数量间的关系．。

2024中考数学复习重难题型分类综合与实践 (含答案)

2024中考数学复习重难题型分类综合与实践类型一实践操作型试题1.综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.根据以上操作，当点M在EF上时，写出图①中一个30°的角：___________________________；(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.①如图②，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图③，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．第1题图2.数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E，F，G分别为边BC，AB，AD的中点，连接EF，DF，H为DF的中点，连接GH.将△BEF绕点B旋转，线段DF，GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB＝2，BC＝3，则GHCE＝________；(3)当AB＝m，BC＝n时，GHCE＝________；第2题图剪一剪、折一折：(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M，N分别在AC，BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C 的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为________．第2题图④类型二探究迁移型试题3.以下是华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．如图①，在正方形ABCD 中，CE ⊥DF .求证：CE ＝DF .证明：设CE 与DF 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠DCB ＝90°，BC ＝C D.∴∠BCE ＋∠DCE ＝90°.∵CE ⊥DF ，∴∠COD ＝90°.∴∠CDF ＋∠DCE ＝90°.∴∠CDF ＝∠BCE .∴△CBE ≌△DCF .∴CE ＝DF .第3题图①某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．【问题探究】如图②，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在线段AB ，BC ，CD ，DA 上，且EG ⊥FH .试猜想EG FH的值，并证明你的猜想；【知识迁移】如图③，在矩形ABCD 中，AB ＝m ，BC ＝n ，点E ，F ，G ，H 分别在线段AB ，BC ，CD ，DA 上，且EG ⊥FH ，则EG FH＝________；【拓展应用】如图④，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，且CE ⊥BF .求CE BF 的值．图②图③图④第3题图4.综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF(∠P ＝90°，∠F＝60°)的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2).操作发现(1)如图①，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为________；类比探究(2)若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N.①如图②，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图③，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积(结果保留根号)；拓展应用(3)若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH(设∠GOH＝α)，将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值(分别用含α的式子表示).(参考数据：sin15°＝6－24，cos15°＝6＋24，tan15°＝2－3)第4题图源自北师九上P25第4题类型三综合应用型试题5.某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P 与直径两端点A，B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC＝∠GON.请说明这两个角相等的理由；第5题图(2)实地测量如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH；(3≈1.73，结果精确到0.1米)(3)拓展探究公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E，F(E，F，H在同一直线上)，分别测得点P的仰角α，β，再测得E，F间的距离m，点O1，O2到地面的距离O1E，O2F均为1.5米．求PH(用α，β，m表示).图③图④第5题图源自北师九下P22活动课题6.问题提出(1)如图①，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为________；问题探究(2)如图②，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°.过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P 作直线l⊥BC，分别交AB，BC于点O，E，求四边形OECA的面积；问题解决(3)如图③，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝A C.工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP，BP，得△ABP.请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．第6题图源自人教七上P70第10题参考答案与解析1.解：(1)∠ABP 或∠PBM 或∠MBC 或∠BME ；(注：任意写出一个即可)【解法提示】由折叠性质可得，点E 是AB 的中点，AB ＝BM ，∠BEM ＝90°，∠ABP ＝∠PBM ，EF ∥BC ，在Rt △BEM 中，∵sin ∠BME ＝BE BM ＝12，∴∠BME ＝30°，∴∠MBC ＝∠BME ＝30°，∴∠ABM ＝60°，∴∠ABP ＝∠PBM ＝30°.(2)①15，15；【解法提示】由(1)可知，∠MBC ＝30°，∵BM ＝BA ＝BC ，∠BMQ ＝∠C ＝90°，BQ ＝BQ ，∴Rt △BMQ ≌Rt △BCQ (HL)，∴∠MBQ ＝∠CBQ ＝15°.②∠MBQ ＝∠CBQ ，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C ＝90°.由轴对称性质，得BM ＝AB ，∠BMP ＝∠A ＝90°.∴∠BMQ ＝∠C ＝90°，BM ＝BC .∵BQ 是公共边，∴Rt △MBQ ≌Rt △CBQ ，∴∠MBQ ＝∠CBQ ；(3)AP 的长为4011cm 或2413cm.【解法提示】①当点Q 在线段CF 上时，如解图①，DQ ＝5，∵BM ＝BA ＝BC ，∠BMQ ＝∠C ＝90°，BQ ＝BQ ，∴Rt △BMQ ≌Rt △BCQ ，∴MQ ＝CQ ＝4－1＝3，设AP ＝x ，则PD ＝8－x ，PQ ＝3＋x ，在Rt △PDQ 中，由勾股定理得(8－x )2＋52＝(3＋x )2，解得x ＝4011；②当点Q 在线段DF 上时，如解图②，DQ ＝3，∵△BMQ ≌△BCQ ，∴MQ ＝CQ ＝4＋1＝5，设AP ＝x ，则PD ＝8－x ，PQ ＝5＋x ，在Rt △PDQ 中，由勾股定理得(8－x )2＋32＝(5＋x )2，解得x ＝2413，综上所述，AP 的长为4011cm 或2413cm.第1题解图2.解：(1)猜想：GH ＝12CE ；证明：由题意可得BE ＝12BC ，BF ＝12AB ，∵AB ＝BC ，∴BE ＝BF .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠CBE ＝90°，∴△ABF ≌△CBE ，∴AF ＝CE ，∵G ，H 分别为AD ，DF 的中点，∴GH ＝12AF ，∴GH ＝12CE ；(2)13；【解法提示】如解图，连接AF ，∵点G ，H 分别为DA ，DF 的中点，∴GH ＝12AF .∵AB ＝2BF ，BC ＝2BE ，∴AB BF ＝BC BE ＝2，又∵∠ABF ＝∠CBE ＝90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF CE＝AB BC ＝23，又∵GH ＝12AF ，∴GH CE ＝13.(3)m 2n；【解法提示】如解图，连接AF ，∵点G ，H 分别为DA ，DF 的中点，∴GH ＝12AF .∵AB ＝2BF ，BC ＝2BE ，∴AB BF ＝BC BE ＝2，又∵∠ABF ＝∠CBE ＝90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF CE＝AB BC ＝m n ，又∵GH ＝12AF ，∴GH CE ＝m 2n .第2题解图(4)3135.【解法提示】由PM 平分∠APN 可得，∠APM ＝∠MPN ＝∠C ，∵∠A ＋∠C ＝90°，∴∠APM ＋∠A ＝90°，∴tan ∠APM ＝tan C ＝AB BC ＝23＝AM PM ，又∵AM ＋PM ＝AC ＝AB 2＋BC 2＝13，∴CM ＝PM ＝3135.3.解：【问题探究】猜想：EG FH ＝1，证明如下：如解图①，分别过点H ，E 作BC ，CD 的垂线，垂足分别为点M ，N ，∴∠HMF ＝∠ENG ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∴HM ＝EN ，HM ⊥EN ，∴∠1＋∠2＝90°，∵EG ⊥FH ，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△HMF 和△ENG 中，1＝∠3＝ENHMF ＝∠ENG，∴△HMF ≌△ENG (ASA)，∴FH ＝GE ，∴EG FH ＝1；第3题解图①【知识迁移】n m；【解法提示】如解图②，分别过点H ，E 作BC ，CD 的垂线，垂足分别为点P ，Q ，∴∠HPF ＝∠EQG ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴HP ＝AB ＝m ，EQ ＝BC ＝n ，HP ⊥EQ ，∴∠1＋∠2＝90°，∵EG ⊥FH ，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△EQG ∽△HPF ，∴EG FH ＝EQ HP＝n m .第3题解图②【拓展应用】如解图③，过点C 作CK ⊥AB 于点K ，设BF 与CE 交于点O ，∵CK ⊥AB ，∴∠CKE ＝90°，∴∠CEK ＋∠ECK ＝90°，∵CE ⊥BF ，∴∠BOE ＝90°，∴∠OEB ＋∠EBO ＝90°，∴∠ECK ＝∠EBO ，∵∠CKE ＝∠BAF ，∴△CKE ∽△BAF ，∴CE BF ＝CK BA，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴CE BF ＝CK BC ＝sin 60°＝32.第3题解图③4.解：(1)1，1，S ＝4S 1；【解法提示】如解图①，当OF 与OB 重合时，OE 经过点C ，此时重叠部分的面积为S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝1.如解图②，当OF 与BC 垂直时，易得OE ⊥CD ，设垂足分别为点M ，N ，∵点O 是正方形ABCD 的中心，∴易得四边形OMCN 是正方形，且BM ＝CM ＝12BC ＝1，∴S 四边形OMCN ＝1.如解图③，设OF ，OE 与AB ，BC 的交点分别为点M ，N ，连接OB ，OC ，∵点O 是正方形ABCD 的中心，∴OB ＝OC ，∠BOC ＝90°，∠OBM ＝∠OCN ＝45°，S △BOC ＝14S 正方形ABCD .∵∠MON ＝90°，∴∠MOB ＝∠NOC ，∴△OMB ≌△ONC ，∴S △OMB ＝S △ONC ，∴S 四边形OMBN ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，∴S ＝4S 1.第4题解图(2)①△OMN 是等边三角形．理由：如解图④，连接OB ，OC ，第4题解图④∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBC ＝∠OCB ＝45°，在△OBM 与△OCN 中，＝OCOBC ＝∠OCB ＝CN，∴△OBM ≌△OCN (SAS)，∴OM ＝ON .∵∠MON ＝60°，∴△OMN 是等边三角形；②如解图⑤，连接OC ，过点O 分别作OQ ⊥BC 于点Q ，作OR ⊥CD 于点R ，易得四边形OQCR 为正方形，且OQ ＝1.第4题解图⑤∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OCM ＝∠OCN ＝45°.在△OCM 与△OCN 中，CM ＝CN∠OCM ＝∠OCN OC ＝OC，∴△OCM ≌△OCN (SAS).∴∠COM ＝∠CON .∵∠MON ＝60°，∴∠COM ＝∠CON ＝30°.∴∠OMB ＝∠COM ＋∠OCB ＝30°＋45°＝75°，∠OND ＝∠CON ＋∠OCN ＝30°＋45°＝75°.∵在Rt △OMQ 中，OQ ＝1，∠MOQ ＝90°－∠OMQ ＝90°－75°＝15°，∴MQ ＝OQ ·tan ∠QOM ＝1×tan 15°＝2－3.∴S △OMQ ＝12OQ ·MQ ＝2－32.同理可得S △ONR ＝2－32.∴S 四边形OMCN ＝S 正方形OQCR －S △OMQ －S △ONR ＝1－2－32－2－32＝3－1；(3)S 2的最小值为tan α2，S 2的最大值为1－tan (45°－α2).【解法提示】如解图⑥，过点O 作OQ ⊥BC 于点Q ，连接OB ，OC ，当BM ＝CN 时，S 2取得最小值，在Rt △OMQ 中，MQ ＝OQ ·tanα2＝tan α2，∴MN ＝2MQ ＝2tan α2，∴S 2最小值＝S △OMN ＝12MN ·OQ ＝12×2tan α2×1＝tan α2.如解图⑦，当CM ＝CN 时，S 2取得最大值，过点O 作OQ ⊥BC ，垂足为Q ，连接OC ，由(2)②可知，此时∠MOQ ＝45°－α2，∴MQ ＝tan∠MOQ ·OQ ＝tan (45°－α2)·1＝tan (45°－α2)，∴MC ＝CQ －MQ ＝1－tan (45°－α2)，∴S △MCO ＝12MC ·OQ ＝12[1－tan (45°－α2)]·1＝12[1－tan (45°－α2)]，∵S △MCO ＝S △NCO ，∴S 2的最大值为2S △MCO ＝1－tan (45°－α2).第4题解图5.解：(1)理由：∵∠POC ＋∠CON ＝∠CON ＋∠GON ＝90°，∴∠POC ＝∠GON ；(2)由题意可得，KH ＝OQ ＝5，OK ＝QH ＝1.5，在Rt △POQ 中，tan ∠POQ ＝PQ OQ，∴PQ ＝OQ ·tan ∠POQ ＝5×tan 60°＝53，∴PH ＝PQ ＋QH ＝53＋1.5≈10.2米．∴树高PH 约为10.2米．(3)由题意可知，DH ＝O 2F ＝1.5，EF ＝O 1O 2＝m ，在Rt △PO 1D 中，tan α＝PD DO 1，得DO 1＝PD tan α，在Rt △PO 2D 中，tan β＝PD DO 2，得DO 2＝PD tan β，∵DO 2＝O 1O 2＋DO 1，∴DO 1＝DQ 2－O 1O 2＝PD tan β－O 1O 2＝PD tan α，∴PD ＝O 1O 2·tan α·tan βtan α－tan β＝m ·tan α·tan βtan α－tan β，∴PH ＝PD ＋DH ＝(m ·tan α·tan βtan α－tan β＋1.5)米．6.解：(1)75°；【解法提示】∵AP 是等边△ABC 的中线，∴∠PAC ＝12∠BAC ＝30°，又∵AP ＝AC ，∴∠APC ＝12(180°－∠PAC )＝75°.(2)如解图①，连接BP .第6题解图①∵AP ∥BC ，AP ＝BC ＝AC ，∴四边形ACBP 是菱形，∴BP ＝AC ＝6.∵∠ACB ＝120°，∴∠PBE ＝60°.∵l ⊥BC ，∴BE ＝BP ·cos 60°＝3，PE ＝BP ·sin 60°＝33，∴S △ABC ＝12BC ·PE ＝93.∵∠C ＝120°，CA ＝CB ，∴∠ABC ＝30°，∴OE ＝BE ·tan 30°＝3，∴S △OBE ＝12BE ·OE ＝332，∴S 四边形OECA ＝S △ABC －S △OBE ＝1532；【一题多解】如解图②，连接OC ，第6题解图②∵BC ＝AC ＝6，∠ACB ＝120°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝30°.∵AP ∥BC ，PE ⊥BC ，∴∠PAB ＝30°，∠EPA ＝90°，又∵AP ＝BC ＝AC ，AO ＝AO ，∴△PAO ≌△CAO ，∴∠OCA ＝∠OPA ＝90°，∴∠OCB ＝30°，∴OB ＝OC ，∴EC ＝3，OE ＝3，OC ＝23，∴S △EOC ＝12OE ·EC ＝332，S △AOC ＝12OC ·AC ＝63，∴S 四边形OECA ＝S △AOC ＋S △EOC ＝1532.(3)符合要求．证明：如解图③，过点P 作PQ ⊥AC 交AC 于点Q ，由作法可知，AP ＝AC ，第6题解图③∵CD ＝CA ，∠BAC ＝45°，∴∠ACD ＝90°，∵直线l 垂直平分DC ，∴PQ ＝EC ＝12CD ＝12AC ＝12AP ，∴∠PAQ ＝30°，∴∠BAP ＝∠BAC －∠PAQ ＝45°－30°＝15°，∴裁得的△ABP 型部件符合要求．【一题多解】解法一：符合要求．证明：由作法知AP ＝AC .∵CD ＝CA ，∠CAB ＝45°，∴∠ACD ＝90°.如解图④，以AC ，CD 为边，作正方形ACDF ，连接PF .∴AF ＝AC ＝AP ，∠CAF ＝90°.∵l 是CD 的垂直平分线，∴l 是AF 的垂直平分线．∴PF ＝PA ，∴△AFP 为等边三角形，∴∠FAP ＝60°，∴∠PAC ＝30°，∴∠BAP ＝15°.∴裁得的△ABP 型部件符合要求．第6题解图④解法二：符合要求．证明：如解图⑤，过点A 作AN ⊥EP 交EP 的延长线于点N ，EN 交AD 于点M ，由作法知CD ＝CA ＝AP ，∵∠BAC ＝45°，∴∠ACD ＝90°，又∵AN ⊥EP ，EP ⊥CD ，∴四边形ACEN 为矩形，∴AN ∥CE ，AN ＝CE ＝12CD ＝12AC ＝12AP ，∴∠DAN ＝∠ADC ＝45°，∠NAP ＝60°，∴∠BAP ＝∠NAP －∠DAN ＝60°－45°＝15°，∴裁得的△ABP 型部件符合要求．第6题解图⑤。

2021年中考数学二轮专题复习：问题解决拓展研究专项突破训练(附答案详解)

2021年中考数学二轮专题复习问题解决拓展研究专项突破训练（附答案详解）1．【新知理解】+的值最小.如图①，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP BP作法:作点A关于直线l的对称点A'，连接A B'交直线l于点P，则点P即为所求.【解决问题】如图②，AD是边长为6cm的等边三角形ABC的中线，点P、E分别在AD、AC上，+的最小值为cm;则PC PE【拓展研究】∠=∠.(保留作图痕迹，如图③，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使APB APD并对作图方法进行说明)2．综合与探究问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE，易知BD＝CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．（1）变式探究：如图2，若0°＜α＜90°，则BD＝CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）拓展延伸：若图1中的∠BAC＝120°，其余条件不变，请解答下列问题：从A，B两题中任选一题作答我选择题A．①在图1中，若AB＝10，求BC的长；②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系；B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．3．（1）【问题】如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =， 6AB =．当点A 位于__________时线段AC 的长取得最大值，且最大值为__________（用含a 、b 的式子表示）．（2）【应用】点A 为线段B 除外一动点，且3BC =， 1AB =．如图2所示，分别以AB 、AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD 、BE ．①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由．②直接写出线段BE 长的最大值．（3）【拓展】如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，AB 外一动点，且2PA =， PM PB =， 90BPM ∠=︒．请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．4．(1)观察猜想如图(1)，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,点D 是BC 的中点．以点D 为顶点作正方形DEFG ，使点A ，C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ，则线段BG 和AE 的数量关系是_____；将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.(3)解决问题若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．答案：1．（1）33；（2）作图.解：（1）【解决问题】如图②，作点E 关于AD 的对称点F ，连接PF ，则PE=PF ，当点F ，P ，C 在一条直线上时，PC+PE=PC+PF=CF （最短），当CF ⊥AB 时，CF 最短，此时BF=12AB=3（cm ）， ∴Rt △BCF 中，CF=2222=63=33BC BF --（cm ），∴PC+PE 的最小值为33cm ；（2）【拓展研究】方法1：如图③，作B 关于AC 的对称点E ，连接DE 并延长，交AC 于P ，点P 即为所求，连接BP ，则∠APB=∠APD ．方法2：如图④，作点D 关于AC 的对称点D'，连接D'B 并延长与AC 的交于点P ，点P 即为所求，连接DP ，则∠APB=∠APD ．2．（1）结论：BD＝CE．理由；（2）A：①BC＝10．②结论：CD＝AD+BD．理由；B：①BC＝AB．②结论：CD＝AD+BD．理由．解：（1）结论：BD＝CE．理由：如图2中，∵∠ABC＝∠DAE，∴∠DAB＝∠EAC，∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD＝EC．（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC，∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴BH＝AB•cos30°＝5，∴BC＝10．②结论：CD＝AD+BD．理由：如图3中，作AH⊥CD于H．∵△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，在Rt△ADH中，DH＝AD•cos30°＝AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．B：①如图1中，作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC，∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴BH ＝AB•cos30°＝AB ， ∴BC ＝2BH ＝AB ． ②结论：CD ＝AD+BD ．证明方法同A ②．3．（1）CB 延长线上， a b +；（2）①BE DC =；②4（3）322+； (22,2P :解：（1）当三点不共线时，三角形两边之和大于第三边，即AC a b <+；当A 在CB 延长线上时， AC a b =+；当A 在线段CB 上时， AC a b =-．故当A 在CB 延长线上时， AC 取得最大值，且为a b +．（2）①依题意得AD AB =， AC AE =，利用等边三角形每个角都是60︒和角的关系得CAD EAB ∠=∠，最后根据边角边定理证明CAD ≌EAB ，从而推出DC BE =．②因为DC BE =，所以线段DC 的最大值即BE 的最大值．根据三角形两边之和大于第三边，所以DC 最大时即B 、C 、D 三点共线，得到DC 的最大值为4BC DB BC AB +=+=，故BE 的最大值为4．（3）如图1，以点P 为圆心， PA 为半径作弧，交以点B 为圆心，AM 为半径作的弧于点N ，连接AN 、PN 、BN ，则NB AM =．在BNP 和MAP 中，{ BN MABP MP PN PA===，所以BNP ≌()MAP SSS ，所以BPN MPA ∠=∠，又因为90MPA APB ∠+∠=︒，所以90BPN APB ∠+∠=︒，即PA PN ⊥．由（1）可知，当点N 在BA 的延长线上时， NB 取得最大值，又因为NB AM =，所以此时AM 取得最大值．如图2，点N 在BA 的延长线上时，过点P 作PE x ⊥轴于点E ．在Rt APN 中，由勾股定理得AN ====所以3AM NB AN AB ==+=．因为PA PN =， 90APN ∠=︒，所以NPA 是等腰直角三角形，又因为PE AN ⊥，所以12PE AE AN === 又因为点()2,0A ，所以2OE OA AE =-=，所以点P坐标为(2．4．（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝解：（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝．即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．。

类型一新定义型-2021年中考数学第二轮重难题型突破(原卷版)

类型一新定义型（1）计算：F (243)，F (617);（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y (1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k ＝F (s )F (t ),当F (s )＋F (t )＝18时，求k 的最大值．例2、我们规定：形如()ax k y a b k k ab x b +=≠+、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当0a b ==时，“奇特函数”ax k y x b +=+就是反比例函数(0)k y k x =≠. （1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D 是OA 的中点，连结OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6ax k y x +=-的图象经过B ，E 两点.①求这个“奇特函数”的解析式；②把反比例函数3y x=的图象向右平移6个单位，再向上平移个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16103，请直接写出点P 的坐标．例3、定义[a ，b ，c ]为函数y ＝a x 2+bx c +的特征数，下面给出特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m ]的函数的一些结论：①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）； ②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32； ③当m ＜0时，函数在x ＞14时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有___________例4、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。

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题型七综合实践题
已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG.
【深入探究】
(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；
(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．
第1题图
例2．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移△ADP，使点D 移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH.
【问题发现】
(1)如图①，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是________，位置关系是________；
【拓展探究】
(2)如图②，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；
【解决问题】
(3)若点P在线段DC的延长线上，且∠AHQ＝120°，正方形ABCD的边长为2，请直接写出DP的长度．
第2题图
例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.
(1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；
(2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝6，请直接写出BQ的长．
第3题图
例4．已知正方形ABCD ，点E 在直线AD 上(不与点A 、D 重合)，连接BE ，作EF ⊥BE ，且EF ＝BE ，过点F 作FG ⊥BC ，交直线BC 于点G .
(1)如图①，当点E 在边AD 上，点G 在边BC 的延长线上时，求证：AB ＋AE ＝BG ；
(2)如图②，当点E 在边DA 的延长线上，点G 在边BC 上时，FG 交AD 于点H ，试猜想AB 、AE 与BG 的关系，并加以证明；
(3)如图③，当点E 在边AD 的延长线上，点G 在边BC 上时，FG 交AD 于点N ，请直接写出线段AB 、AE 、BG 之间的数量关系，不需要证明．
图① 图② 图③
第4题图
例5．如图，△ABC 中，AB ＝BC ，BD ⊥AC 于点D ，∠F AC ＝12
∠ABC ，且∠F AC 在AC 下方，点P ，Q 分别是射线BD ，射线AF 上的动点，且点P 不与点B 重合，点Q 不与点A 重合，连接CQ ，过点P 作PE ⊥CQ 于点E ，连接DE .
(1)若∠ABC ＝60°，BP ＝AQ .
①如图①，当点P 在线段BD 上运动时，请直接写出线段DE 和线段AQ 的数量关系和位置关系；
②如图②，当点P 运动到线段BD 的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；
(2)若∠ABC ＝2α≠60°，请直接写出当线段BP 和线段AQ 满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．
第5题图
例6．已知，△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，点P 是射线CB 上一点(点P 不与点B 、C 重合)，线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M .
(1)如图①，当AC ＝BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是________；
(2)如图②，当AC ＝BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)如图③，若AC BC ＝52
，点P 在线段CB 的延长线上，CM ＝2，AP ＝13，求△ABP 的面积．
第6题图
例7．如图，等边△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形．
(1)如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？
(2)如图②，当点M 在线段BC 上时，其他条件不变，(1)的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
(3)若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．
第7题图
例8．已知，在矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，点M 为AD 边的中点，连接BD ，点P 是对角线BD 上的动点，连接AP ，以点P 为顶点作∠EPF ＝90°，PE 交AB 边于点E ，PF 交AD 边于点F .
(1)发现问题
如图①，当点P 运动过程中∠PBA 与∠P AB 互余时，线段BE 、MF 与AB 的数量关系为__________；
(2)解决问题
如图②，当点P 运动过程中∠PBA 与∠P AB 相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸
在(2)的条件下，连接EF 并延长EF ，交直线BD 于点G ，若BE ∶AF ＝2∶3，EF ＝85，求DG 的长．
第8题图
例9．如图①，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △EDB 中，AC ＝BC ，DE ＝BD ，∠ACB ＝∠EDB ＝90°，P 为AE 的中点．
(1)观察猜想
连接PC 、PD ，则线段PC 与PD 的位置关系是________，数量关系是________；
(2)探究证明
如图②，当点E 在线段AB 上运动时，其他条件不变，作EF ⊥BC 于F ，连接PF ，试判断△PCF 的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
在点E 的运动过程中，当△PCF 是等边三角形时，直接写出△ACB 与△EDB 的两直角边之比．
第9题图
例10．已知在△ABC 中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动(与A ，B 不重合)，点E 与点D 同时出发，由点C 沿BC 的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连接DE 交AC 于F ，点H 是线段AF 上一点．
(1)初步尝试
如图①，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且点D ，E 的运动速度相等，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，则GH 与
AH 的数量关系是________，GF 与FC 的数量关系是________，AC HF
的值是________； (2)类比探究
如图②，若在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ADH ＝∠A ＝30°，且点D ，E 的运动速度之比是3∶1，求AC HF
的值； (3)延伸拓展
如图③，若在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ADH ＝∠A ＝36°，记BC AB
＝m ，且点D ，E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示AC HF
.(直接写出结果，不必写出解答过程)
第10题图。