数学史 第十讲

• ② 寻觅好的计算方法 • 这就是数值分析学科的直接任务。它本身又分为代数方程、 这就是数值分析学科的直接任务。它本身又分为代数方程、 常微分方程、 常微分方程、偏微分方程乃至不动点算法等若干数值方法 分支。 分支。它的主要任务是选择或构造抑或创造一种寻求方程 数值解（包括不动点）的适当方法， 数值解（包括不动点）的适当方法，并用数学分析工具考 察其可行性和有效性，亦即考察解的存在、唯一性， 察其可行性和有效性，亦即考察解的存在、唯一性，收敛 性以及收敛速度等。 性以及收敛速度等。在这方面经典的方法是递归法以及围 绕递归法得到的种种进展， 绕递归法得到的种种进展，此外主要是根据不同问题特性 提出的多种多样计算方法。 提出的多种多样计算方法。
第六章 数学之树 第十讲
2. 计算数学
• 计算数学也叫计量数学或数值数学，是作为继承初等数学处理数 计算数学也叫计量数学或数值数学， 值时的计算特点而直接发展起来，因而是个古老分支， 值时的计算特点而直接发展起来，因而是个古老分支，同时由于 它直接服务于实际应用，理应具有很强的生命力。但是直到20 它直接服务于实际应用，理应具有很强的生命力。但是直到20 世纪40年代以前，计算数学分支在数学中的地位却愈来愈弱， 40年代以前 世纪40年代以前，计算数学分支在数学中的地位却愈来愈弱， 其原因是以前的数学家不太重视计算数学， 其原因是以前的数学家不太重视计算数学，除了一些手工计算可 行方法的研究外，很少有人对那种“繁而不难” 行方法的研究外，很少有人对那种“繁而不难”的直接运算感兴 加上好多计算问题虽然在理论上可算， 趣，加上好多计算问题虽然在理论上可算，却实际上繁得根本不 可能手工实现。比如要判定一个即使比60 60位数还小的整数是否 可能手工实现。比如要判定一个即使比60位数还小的整数是否 素数，在没有现代化电子计算机的情况下，人们只得望洋兴叹。 素数，在没有现代化电子计算机的情况下，人们只得望洋兴叹。 • 历史上先后有过不少次发明计算器的思想、努力和成功。比如中 历史上先后有过不少次发明计算器的思想、努力和成功。 国的算盘（1436年 帕斯卡的加减哭、莱布尼兹的数字计算器、 国的算盘（1436年）帕斯卡的加减哭、莱布尼兹的数字计算器、 麦克思韦的求积仪等等，但真正的革命还是在20世纪30 20世纪30年代末 麦克思韦的求积仪等等，但真正的革命还是在20世纪30年代末 40年代初开始的 年代初开始的。 40年代初开始的。
(2) 计算机引起的数学革命
• 在前面谈到，计算机诞生的基础是数学，但正是计算机的 在前面谈到，计算机诞生的基础是数学， 发展又反回来促进了数学的发展，在这点上甚至可以说： 发展又反回来促进了数学的发展，在这点上甚至可以说： 计算机不仅带来了第二次工业革命， “计算机不仅带来了第二次工业革命，也带来了一次数学 革命” 其特征体现在以下两方面。 革命”，其特征体现在以下两方面。 • 1) 刺激了离散数学的迅猛发展 • 众所周知，离散数学在计算机问世之前还是数学中的“冷 众所周知，离散数学在计算机问世之前还是数学中的“ 如今不同了，由于计算机理论、方法、应用的需要， 门”，如今不同了，由于计算机理论、方法、应用的需要， 离散数学迅速活跃起来了，比如布尔代数、组合数学、 离散数学迅速活跃起来了，比如布尔代数、组合数学、差 分方法、递归论、数论、随机理论以及线性代数等等。 分方法、递归论、数论、随机理论以及线性代数等等。以 致人们认为，今后离散数学大有取代连续数学而占到主导 致人们认为， 地位的趋势，也有人预言下21世纪将是离散数学的世纪， 21世纪将是离散数学的世纪 地位的趋势，也有人预言下21世纪将是离散数学的世纪， 这些都与计算机科学的刺激分不开。 这些都与计算机科学的刺激分不开。
• 2）计算机科学的发展使应用数学得以新生 • 已经知道，过去由于无法计算而搁置的问题，如有限元工 已经知道，过去由于无法计算而搁置的问题， 程计算，样条函数法等，现在复苏了； 程计算，样条函数法等，现在复苏了；有了计算机才活跃 起来的分支，如图论、Kdv方程研究 混沌研究等， 方程研究、 起来的分支，如图论、Kdv方程研究、混沌研究等，不断 出现，在今天，应用数学这一过去被人看不起的行道， 出现，在今天，应用数学这一过去被人看不起的行道，不 仅受到了社会的欢迎，了得到了数学界的承认， 仅受到了社会的欢迎，了得到了数学界的承认，也有越来 越多的数学家投入应用数学了。 越多的数学家投入应用数学了。 • 已有的事实足以使我们相信，20世纪将是以计算机为特色 已有的事实足以使我们相信，20世纪将是以计算机为特色 的应用数学世纪。 的应用数学世纪。 • 对比50年前后的数学面貌，主要表现在离散数学与应用数 对比50年前后的数学面貌， 50年前后的数学面貌 学上的改观，不能不说是一场数学革命的结果。 学上的改观，不能不说是一场数学革命的结果。其动力正 来自计算机科学。 来自计算机科学。

(3) 计算机科学的理论焦点
• 计算机理论的主要奋斗目标可归结为两条：提高计算效率 计算机理论的主要奋斗目标可归结为两条： 和提高智能模拟度，尽管从本质上说都表现为计算效率， 和提高智能模拟度，尽管从本质上说都表现为计算效率， 我们仍然从这两个方面来考察计算数学乃至整个数学在其 中的作用。 中的作用。 • 1) 计算效率的发展。 计算效率的发展。 • 如今计算机早已发展到第四代，其速度较之第一台计算机 如今计算机早已发展到第四代， 已提高了上亿倍， 已提高了上亿倍，它使得过去好多无法计算的问题现在可 以了，如四色问题的证明、飞行器的适时控制、 以了，如四色问题的证明、飞行器的适时控制、大型气象 预报等；过去耗资巨大的实验如风洞实验、船体放样、 预报等；过去耗资巨大的实验如风洞实验、船体放样、模 拟战斗等，现在可以用计算机局部或全部代替了。 拟战斗等，现在可以用计算机局部或全部代替了。
(1) 计算机的根基在数学
• 1) 第一台计算机之诞生，关键不在电子技术，而在于计算 第一台计算机之诞生，关键不在电子技术， 机原理。正是图灵等人于30年代中后期在数理逻辑基础上 机原理。正是图灵等人于30年代中后期在数理逻辑基础上 30 证明了“原则上存在一种万能机器， 证明了“原则上存在一种万能机器，通过有限多条指令来 摹仿任何别的专用机器” 摹仿任何别的专用机器”，使得基础数学的发展也成了电 子计算机诞生的基础，因而电子计算机的根基在数学。 子计算机诞生的基础，因而电子计算机的根基在数学。 • 2) 是著名数学家冯．诺伊曼第一个在数学基础理论上，考 是著名数学家冯．诺伊曼第一个在数学基础理论上， 虑到制造一种能将指令作为可变动的“程序” 虑到制造一种能将指令作为可变动的“程序”，储存起来 听候调用的电子仪器，并亲自参与技术制作， 听候调用的电子仪器，并亲自参与技术制作，才使得第一 台电子计算机问世，公认冯．诺伊曼思想是产生电子计算 台电子计算机问世，公认冯． 机的关键，并誉称冯．诺伊曼为“电子计算机之父” 机的关键，并誉称冯．诺伊曼为“电子计算机之父”。 冯．诺伊曼串连式运算原理几十年来一直是各代计算机的 基本原理，只有近年来才拓展出一种并行运算原理。 基本原理，只有近年来才拓展出一种并行运算原理。
• ③创造和发展随机计算方法 • 随机计算方法是新学科，它又可根据连续型计算对象和离 随机计算方法是新学科， 散型计算对象之不同而分作两个分支，前者是在1940 1940年由 散型计算对象之不同而分作两个分支，前者是在1940年由 蒙物卡洛提出的“蒙物卡洛法”基础上发展起来的分支， 蒙物卡洛提出的“蒙物卡洛法”基础上发展起来的分支， 其基本思想是：比如为求面积为S的区域内一子区域G 其基本思想是：比如为求面积为S的区域内一子区域G的面 只要随机向S投入n个点，若有k个点在G 积，只要随机向S投入n个点，若有k个点在G中，则G的 面积即近似等于k/n 这样便大大缩减了计算时间， k/n， 面积即近似等于k/n，这样便大大缩减了计算时间，提高 了计算效率；对于后者──离散型对象，这里仅须指出， ──离散型对象 了计算效率；对于后者──离散型对象，这里仅须指出， 它的随机计算方法是建立在抽象的代数结构， 它的随机计算方法是建立在抽象的代数结构，比如多项式 有限域、置换群等基础上的，就足见全豹了。 环、有限域、置换群等基础上的，就足见全豹了。
• ④计算复杂性的研究 • 计算复杂性是计算机科学又一理论分支，它是根据图灵机 计算复杂性是计算机科学又一理论分支， 思想创造的递归函数， 思想创造的递归函数，用以检验一个模型是否可算和一种 算法的好坏， 算法的好坏，目前主要考察的好坏标准是计算时间长度的 数量级。 数量级。 • 计算复杂性问题涉及到代数、数论、数理逻辑、优化理论、 计算复杂性问题涉及到代数、数论、数理逻辑、优化理论、 组合理论、拓扑学等等若干现代数学分支， 组合理论、拓扑学等等若干现代数学分支，问题是很艰深 目前正吸引着不少优秀数学家进入这一领土开发。 的，目前正吸引着不少优秀数学家进入这一领土开发。
• 但也不能不看到，随着时代的进步，计算机速度虽在提高， 但也不能不看到，随着时代的进步，计算机速度虽在提高， 可要求计算的问题也愈来愈复杂， 可要求计算的问题也愈来愈复杂，甚至有些问题的计算即 使高速计算机也无济于事，比如判别一个60 60位的整数是否 使高速计算机也无济于事，比如判别一个60位的整数是否 素数，如果仅靠计算机速度， 素数，如果仅靠计算机速度，即使每秒上亿次的计算机也 无能为力。 无能为力。 • 理论探讨表明，待处理数据每增加一倍，计算量将增加若 理论探讨表明，待处理数据每增加一倍， 干倍，而计算速度每提高一倍， 干倍，而计算速度每提高一倍，不能解决的问题中最多只 10%左右能得到解决 加上计算速度愈高、翻倍愈难， 左右能得到解决。 有10%左右能得到解决。加上计算速度愈高、翻倍愈难， 但愈往后，在提出的新问题中能计算的比例反而会愈少。 但愈往后，在提出的新问题中能计算的比例反而会愈少。 因此往后仅靠提高计算速度来满足实践需要是不可能的， 因此往后仅靠提高计算速度来满足实践需要是不可能的， 这一问题的出路就直接落在数学上，或说落在计算方法、 这一问题的出路就直接落在数学上，或说落在计算方法、 计算技巧上了。 计算技巧上了。