2016年秋季新版浙教版九年级上学期1.1、二次函数课件17
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浙教版初中数学《二次函数》教学课件(共24张PPT)
二 一常 次 次数 项 项项
y=ax2+bx+c 二次函数的一般式
二一 次次 项项 系系 数数
分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数
项。 函数表达式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
y=x2+1
1
0
1
y=－2x2
－2
0
0
y=－3x2+7x－12
－3
7
－12
y==2－x(21－x2x+)2x
这个二次函数的表达式。
解：把x=2，y=3；x=－2，y=2；x=4，y=2代入函数式y=ax²+bx+c
4a 2b c 3 得方程组 4a 2b c 2
16a 4b c 2
解方程组，得
∴这个二次函数的解析式为 y 1 x2 1 x 3
84
当x=1.5cm时，y=2.5 cm2 当x=1cm时，y=3.125 cm2
x(cm) 0.25 0.5
1
1.5 1.75
y(cm2) 3.125 2.5
2
2.5 3.125
1、某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增 长率为x。求该工厂2月份的产值y关于x的函数关系式
为 y 200(1 x) 。
变式1：已知函数 y xk 2 3k 2 kx 1 是二次函
数，则k的值为 0或3 。
k2－3k+2=2 变式2：已知函数 y (k 3)xk 2 3k 2 kx 1 是二
次函数，则k的值为 0 。
k2－3k+2=2且k－3≠0
已知二次函数y=ax²+4x+c，当x=－2时，函数值为 －1，当x=1时，函数值为 5，求这个二次函数的解析式。
y=ax2+bx+c 二次函数的一般式
二一 次次 项项 系系 数数
分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数
项。 函数表达式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
y=x2+1
1
0
1
y=－2x2
－2
0
0
y=－3x2+7x－12
－3
7
－12
y==2－x(21－x2x+)2x
这个二次函数的表达式。
解：把x=2，y=3；x=－2，y=2；x=4，y=2代入函数式y=ax²+bx+c
4a 2b c 3 得方程组 4a 2b c 2
16a 4b c 2
解方程组，得
∴这个二次函数的解析式为 y 1 x2 1 x 3
84
当x=1.5cm时，y=2.5 cm2 当x=1cm时，y=3.125 cm2
x(cm) 0.25 0.5
1
1.5 1.75
y(cm2) 3.125 2.5
2
2.5 3.125
1、某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增 长率为x。求该工厂2月份的产值y关于x的函数关系式
为 y 200(1 x) 。
变式1：已知函数 y xk 2 3k 2 kx 1 是二次函
数，则k的值为 0或3 。
k2－3k+2=2 变式2：已知函数 y (k 3)xk 2 3k 2 kx 1 是二
次函数，则k的值为 0 。
k2－3k+2=2且k－3≠0
已知二次函数y=ax²+4x+c，当x=－2时，函数值为 －1，当x=1时，函数值为 5，求这个二次函数的解析式。
九年级数学上册 第一章 二次函数 1.4 二次函数的应用(第1课时)b课件 (新版)浙教版
.
∵
a
π 2
7
0, b
6, c
0,
新教课学讲目 解
标
答：当窗户半圆的半径约为0.35m，窗框矩形部分的另一边 长约为1.23m时，窗户的透光面积最大，最大值约为 1.05m2.
新教课学讲目 解
标
二次函数求实际问题中的最值问题的解答
1、求出函数表达式和自变量的取值范围 2、通过配方或利用公式求最大值或最小值
注意：求出的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变 量的取值范围内。
新教课学讲目 解
标
现在我们来解决课前想一想
用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多 少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形窗框的面积为y,由题意得，
学教以学致目 用
标
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6，今在四边上分别选取E 、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何 设计，可使花园面积最大？
草图（如图所示）．
巩教固学提目升
标
7、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,
制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于
多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面 积是多少?
xx
y
课教堂学小目结
标
运用二次函数求实际问题中的最值问题，一般的步骤：
①把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）；
②求出函数表达式和自变量的取值范围；
③通过配方变形或利用公式求它的最值（在自变量的取值范围 内）；
（或利用函数图象找最值）
浙教版九年级上册数学课件%3A第1章 二次函数 复习课 (共31张PPT)
类型之五 二次函数的实际应用 例5 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件 40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的 售价每涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星期少卖 10件．设每件涨价x元(x为非负整数)，每星期销售量为y 件．(1)求y与x的函数表达式及自变量x的取值范围；(2)如 何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大？每星 期的最大利润是多少？ 【解析】 利用总利润＝件数×每件利润，建立二次 函数关系式，再利用二次函数性质解决问题．
已知二次函数y＝x2－bx＋1(－1≤b≤1)，当b从－1逐 渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变 动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是
A．先往左上方移动，再往左下方移动 B．先往左下方移动，再往左上方移动 C．先往右上方移动，再往右下方移动 D．先往右下方移动，再往右上方移动
(1)求抛物线的函数表达式； (2)若过点C的直线y＝kx＋b与抛物线相交于点E(4， m)，求△CBE的面积．
图1－1
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2－4，
将C(0，5)代入y＝a(x－3)2－4得a＝1，
抛物线的函数表达式为y＝(x－3)2－4； (2)∵抛物线 y＝(x－3)2－4 过点 E(4，m)，∴m＝1－4＝－3， ∴E(4，－3)， ∵E(4，－3)，C(0，5)， ∴4bk＝＋5b＝－3，
＝－10x－522＋1 562.5(0≤x≤5) ∵a＝－10＜0， ∴当 x＝2.5 时，W 有最大值 1 562.5. ∵0≤x≤5 且 x 为整数， ∴当 x＝2 时，40＋x＝42，y＝150－10x＝130， W＝1 560 元．
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为
浙教版数学九年级上册第1章《1.2 二次函数的图象(3)》课件
（3）顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
y
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
（4）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点.
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点.
例题探究
【例1】求抛物线 y 1 x2 3x 5 的对称轴和顶点坐标.
2
2
解： a 1 , b 3, c 5 ,
复习回顾
【复习2】填空. 若把二次函数 y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的图象先向左平移 2 个单 位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数 y＝－1(x＋1)2－1 的图 象，则 a＝___－__12_____，m＝___－__1_____，k＝_2___－__5____.
新知探究
【探究1】你能求出抛物线 y 2x2 4x 5 的顶点坐标和对称轴吗？
【例4】将函数y＝ax2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向上平 移3个单位后得到的表达式为y＝2x2－x＋3，求a＋b＋c的值．
解：∵二次函数
y＝2x 2－x ＋3
可化为
y＝2
x－1 4
2＋23， 8
∴由题意可得原二次函数的表达式为 y＝2 x－14＋2 2＋23－3， 8
整理得 y＝2x2＋7x＋6，
∴a＝2，b＝7，c＝6.
∴a＋b＋c＝2＋7＋6＝15.
学以致用
【1】将抛物线y＝x2－4x＋5先向上平移3个单位，再向左平移2个单
位后得到的抛物线的顶点坐标是( A )
A．(0，4) B．(5，－1) C．(4，4) D．(－1，－1)
学以致用
【2】一次函数 y＝ax＋b 和反比例函数 y＝c在同一平面直角坐标系中的 x
新浙教版九年级上册初中数学 1-1 二次函数 教学课件
(1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的整式 (2) a,b,c为常数，且 a≠0. (3)等式右边的最高次数为2 ，可以没有一次项和常数项，
但不能没有二次项 . (4) 自变量x的取值范围是 任意实数
新课讲解
知识点2 二次函数的应用
典例分析
例
不一定是，缺少 a≠0的条件
不是，等号右 边是分式
不是，x的最 高次数是3
不是，化简后 为一次函数
新课讲解
新课讲解
练一练
y m 3 xm2 7 2.
（1）m取什么值时，此函数是一次函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（1）由一次函数的定义可知，
m2 7 1，
m
3
0，
（2）由二次函数的定义可知，
m2 7 2,
解得m=3.
新课导入
情境导入
你观察过公园的拱桥吗？篮球入框，公园里的喷泉，雨后的彩 虹都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？
新课讲解
知识点1 二次函数的定义
合作探究
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多 种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵 树,平均每棵树就会少结5个橙子.
m 3 0,
课堂小结
定义
二次函数
一般形式
右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0.
特殊形式
当堂小练
1.用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，场地面积 S（m²）与矩形一边长 a（m）之间的关系是什么？ 是函数关系吗？是哪一种函数？
解：S=a（60 -a）=a（30-a）=30a-a²=-a²+30a .
但不能没有二次项 . (4) 自变量x的取值范围是 任意实数
新课讲解
知识点2 二次函数的应用
典例分析
例
不一定是，缺少 a≠0的条件
不是，等号右 边是分式
不是，x的最 高次数是3
不是，化简后 为一次函数
新课讲解
新课讲解
练一练
y m 3 xm2 7 2.
（1）m取什么值时，此函数是一次函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（1）由一次函数的定义可知，
m2 7 1，
m
3
0，
（2）由二次函数的定义可知，
m2 7 2,
解得m=3.
新课导入
情境导入
你观察过公园的拱桥吗？篮球入框，公园里的喷泉，雨后的彩 虹都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？
新课讲解
知识点1 二次函数的定义
合作探究
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多 种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵 树,平均每棵树就会少结5个橙子.
m 3 0,
课堂小结
定义
二次函数
一般形式
右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0.
特殊形式
当堂小练
1.用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，场地面积 S（m²）与矩形一边长 a（m）之间的关系是什么？ 是函数关系吗？是哪一种函数？
解：S=a（60 -a）=a（30-a）=30a-a²=-a²+30a .
浙教版九年级(上)1.1二次函数
=-x2+58x-112
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征? 经化简后都具y=ax² +bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
我们把形如y=ax² +bx+c (其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做 二次函数(quadratic funcion) ,
称：a为二次项系数， b为一次项系数，
九年级 上 册 课程标准浙教版实验教科书
合作学习:
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中 的两个变量 y 与 X 之间的关系· (1)圆的面积 y ( cm )与圆的半径 x ( Cm )
2
y =πx2
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年 后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定 期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元; y = 2(1+x)2
c为常数项，
例如，
1、二次函数 y=-x2+58x-112 的 二次项系数为 a=-1 ， 一次项系数为 b=58 ， 常数项 c=-112 。 2、二次涵数y=πx2的 二次项系 a=π , 一次项系数 b=0 ， 常数项 c=0 。
做一做:
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2 1 ( 2) y 2 x (3) y 2 x 2 x 1 (4) y x (1 x ) (5) y ( x 1) 2 ( x 1)(x 1)
D X H 2–X G X C
2–X
2–X A X E 2–X
F X
B
试一试:
3. 用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如
图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y, 求：
(1)写出y关于x的函数关系式. (2)当x=3时,矩形的面积为多少?
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征? 经化简后都具y=ax² +bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
我们把形如y=ax² +bx+c (其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做 二次函数(quadratic funcion) ,
称：a为二次项系数， b为一次项系数，
九年级 上 册 课程标准浙教版实验教科书
合作学习:
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中 的两个变量 y 与 X 之间的关系· (1)圆的面积 y ( cm )与圆的半径 x ( Cm )
2
y =πx2
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年 后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定 期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元; y = 2(1+x)2
c为常数项，
例如，
1、二次函数 y=-x2+58x-112 的 二次项系数为 a=-1 ， 一次项系数为 b=58 ， 常数项 c=-112 。 2、二次涵数y=πx2的 二次项系 a=π , 一次项系数 b=0 ， 常数项 c=0 。
做一做:
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2 1 ( 2) y 2 x (3) y 2 x 2 x 1 (4) y x (1 x ) (5) y ( x 1) 2 ( x 1)(x 1)
D X H 2–X G X C
2–X
2–X A X E 2–X
F X
B
试一试:
3. 用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如
图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y, 求：
(1)写出y关于x的函数关系式. (2)当x=3时,矩形的面积为多少?
浙教版九年级上册 1.1 二次函数 课件(共24张PPT)
y = 2(1+x)2
(3)一个温室 连同外围通道的矩形平面图如图,
周长为120m , 设一条边长为 x (m), 种植面积
为 y (m2)。
1
1
1
y = (60-x-4)(x-2)
种植用地
x外围通道
3
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2
=2x2+4x+2 3.y= (60-x-4)(x-2) =-x2+58x-112
(2) y 1 不是
x2
(3) y x(1 x) 是
(4) y (x 1)2 x 2 不是
(5)y=3x-1 不是
先化简后判断
请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数 的例子 （1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
展示才智
例如：圆的面积 y (cm2 )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
注意:当二次函数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.
下列函数中,哪些是二次函数? 若是，请说出该 函数的二次项系数、一次项系数、常数项
(1) y x2 是
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
经化简后都具有y=aHale Waihona Puke ²+bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, a≠0 )
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0 )的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项,
自变量x的取值范围
(3)一个温室 连同外围通道的矩形平面图如图,
周长为120m , 设一条边长为 x (m), 种植面积
为 y (m2)。
1
1
1
y = (60-x-4)(x-2)
种植用地
x外围通道
3
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2
=2x2+4x+2 3.y= (60-x-4)(x-2) =-x2+58x-112
(2) y 1 不是
x2
(3) y x(1 x) 是
(4) y (x 1)2 x 2 不是
(5)y=3x-1 不是
先化简后判断
请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数 的例子 （1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
展示才智
例如：圆的面积 y (cm2 )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
注意:当二次函数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.
下列函数中,哪些是二次函数? 若是，请说出该 函数的二次项系数、一次项系数、常数项
(1) y x2 是
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
经化简后都具有y=aHale Waihona Puke ²+bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, a≠0 )
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0 )的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项,
自变量x的取值范围
新浙教版九年级数学上册《二次函数》课件
1．1 二次函数
1．(3 分)下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y＝2x＋1 B．y＝x2 C．y＝3x2＋1 D．y＝x12＋1
2．(3 分)二次函数 y＝3x2－2x－4 的二次项系数与常数项的和是 ( B )
A．1 B．－1 C．7 D．－6
3．(3 分)自由落体公式 h＝12gt2(g 为常量)中，h 与 t 之间的关系是 ( C )
解：依题意得aa－＋bb－－cc＝＝－－42，，解得ab＝＝11，，此函数的解析式为 4a＋2b－c＝2， c＝4.
y＝x2＋x－4.
17．(8分)已知函数y＝(m2＋m)xm2－2m＋2. (1)当此函数是二次函数时，求m的值； (2)当此函数是一次函数时，求m的值．
解：(1)依题意得mm22－ ＋2mm≠＋02，＝2，解得 m＝2，即 m＝2 时，此函数是二次函数 (2)依题意得mm22－ ＋2mm≠＋02，＝1，解得 m＝1，即 m＝1 时，此函数是一次函数．
解：(1)y＝21(20－2t)2＝2t2－40t＋200(0≤t≤10) (2)当 t＝1 时，y＝21×(20－2×1)2＝162 cm2； 当 t＝2 时，y＝12×(20－2×2)2＝128 cm2.
19．(12分)某超市经销一种成本为每件40元的商品，经市场调查 分析：如果按定价每件50元销售，一周能售出500件；销售单价每 涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50)，一周的 销售量为y件．
解：依题意得212＋－12bb＋＋c＝c＝－－1322，，解得bc＝＝－8，6.
12．(10分)矩形的周长为16 cm，它的一边长为x(cm)，面积为 y(cm2)，求：
(1)y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)当x＝3时矩形的面积． 解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x(0＜x＜8) (2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2
1．(3 分)下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y＝2x＋1 B．y＝x2 C．y＝3x2＋1 D．y＝x12＋1
2．(3 分)二次函数 y＝3x2－2x－4 的二次项系数与常数项的和是 ( B )
A．1 B．－1 C．7 D．－6
3．(3 分)自由落体公式 h＝12gt2(g 为常量)中，h 与 t 之间的关系是 ( C )
解：依题意得aa－＋bb－－cc＝＝－－42，，解得ab＝＝11，，此函数的解析式为 4a＋2b－c＝2， c＝4.
y＝x2＋x－4.
17．(8分)已知函数y＝(m2＋m)xm2－2m＋2. (1)当此函数是二次函数时，求m的值； (2)当此函数是一次函数时，求m的值．
解：(1)依题意得mm22－ ＋2mm≠＋02，＝2，解得 m＝2，即 m＝2 时，此函数是二次函数 (2)依题意得mm22－ ＋2mm≠＋02，＝1，解得 m＝1，即 m＝1 时，此函数是一次函数．
解：(1)y＝21(20－2t)2＝2t2－40t＋200(0≤t≤10) (2)当 t＝1 时，y＝21×(20－2×1)2＝162 cm2； 当 t＝2 时，y＝12×(20－2×2)2＝128 cm2.
19．(12分)某超市经销一种成本为每件40元的商品，经市场调查 分析：如果按定价每件50元销售，一周能售出500件；销售单价每 涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50)，一周的 销售量为y件．
解：依题意得212＋－12bb＋＋c＝c＝－－1322，，解得bc＝＝－8，6.
12．(10分)矩形的周长为16 cm，它的一边长为x(cm)，面积为 y(cm2)，求：
(1)y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)当x＝3时矩形的面积． 解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x(0＜x＜8) (2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2
浙教版数学九年级上册第1章二次函数复习课件(共16张ppt)
4.在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2
不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移
2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解
析式是 ( )
A．y＝2(x－2)2 + 2
C．y＝2(x－2)2－2
B．y＝2(x + 2)2－2
D．y＝2(x + 2)2 + 2
典型例题
例1.二次函数的图象经过A(1,0) B(3,0) C(2,-1)三点, (1)求这个函数的解析式. (2)求函数与直线 y=2x+1 的交点坐标 .
5 9 入得 : a 1, 顶点P ( , ) 2 4 5 2 9 (2)平移前的抛物线为 : y (x ) 2 4 5 向左平移只要超过 个单位,向上平移 2 9 超过 个单位即可 . 4
典型例题：例3
已知二次函数
y x 2 ax a 2 。
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。 （2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为 13时，求 出此二次函数的解析式。 （3）在（2）中的二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象 上是否存在点P，使得△PAB的面积为 3 13 ，若存在求出P点坐 标，若不存在请说明理由。 2
例6:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分
别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知
点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线
相交于点D。(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关 于x的函数关系式； (2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC 解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等 ∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时
浙教版数学九年级上册1.3二次函数的性质ppt课件(共19张ppt)
x
y=2x2－4x－6
4 8 y=－ x2－ x－6 9 3
问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？
你还能发现：
这些函数是否存在最大值或 最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c （a≠0）中的那一个系数决定的吗？
y
6 4 2 0 -4 -2
y=2x2－4x－6
a
x
2 4
y=－0.5x2－2x－1.5
方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的
解是否存在有关。
归纳与探究 那么，进一步推想方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)解的存 b2 －4ac的正负性有关。 在性又与什么有关呢？
故而： ①当b2 －4ac ＞0 时，抛物线与x轴有 ②当b2 －4ac ③当b2 －4ac
两个
交点； 交点；
＝0 时，抛物线与x轴只有 一个 ＜0 时，抛物线与x轴 没有
交点。
1、抛物线与x轴的交点的个数：
⑴ y=2X２-X-1
2个
⑵ y=4X2+4X+1
1个
⑶ y=3X2+2X+5
0个
b2- 4ac﹥0
b2- 4ac=0
b2- 4ac<0
2、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（ D ）
（A）0个
（B）1个
（C）2个
（D）3个
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则
y
a__0，b__0，c__0
b - 4ac___0
2
o
x
2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（ D ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
二次函数图象 浙教版九年级数学上册课件(共16张PPT)
第1章 二次函数
1.2 第1课时 二次函数y=ax²的图象
(1)一次函数的图象是什么？ 一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？ 列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？ 主要工具是函数的图象
铅球推出以后沿着怎样的一 条曲线运动?你能用二次函数的 表达式来描述这条曲线吗?
二次函数 y = x2的图象是一条关于y 轴对称，过坐标原点并向上伸展的 曲线，像这样的曲线叫做抛物线.
抛物线与它的对称轴的交点叫 做抛物线的顶点。例如，抛物 线y = x2的顶点是坐标原点
y 10
9
8 7
y=
6
x2
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
对于二次函数y=ax2(a ≠0)，是否都有类似的图象呢？ 下面我们在同一直角坐标系中画二次函数y=2x2与y=-2x2 的图象.
（2）对称轴是 y轴 ，开口 向上 .
（3）顶点坐标是 (0,0) ，顶点是抛物线上的 最低点 . 抛物线在x轴的 上 方（除顶点外）.
思维拓展 已知 y =(m+1)xm2+m 是二次函数,且其图象开口向上, 求m的值和函数解析式
m+1>0 ①
解: 依题意有:
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1 ∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
画法
描点法
以对称轴为中 心对称取点
二次函数 y=ax2的图象
图象
抛物线
轴 对 称 图 形 对称轴为y轴
a>0,开口向上
开口方向
1.2 第1课时 二次函数y=ax²的图象
(1)一次函数的图象是什么？ 一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？ 列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？ 主要工具是函数的图象
铅球推出以后沿着怎样的一 条曲线运动?你能用二次函数的 表达式来描述这条曲线吗?
二次函数 y = x2的图象是一条关于y 轴对称，过坐标原点并向上伸展的 曲线，像这样的曲线叫做抛物线.
抛物线与它的对称轴的交点叫 做抛物线的顶点。例如，抛物 线y = x2的顶点是坐标原点
y 10
9
8 7
y=
6
x2
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
对于二次函数y=ax2(a ≠0)，是否都有类似的图象呢？ 下面我们在同一直角坐标系中画二次函数y=2x2与y=-2x2 的图象.
（2）对称轴是 y轴 ，开口 向上 .
（3）顶点坐标是 (0,0) ，顶点是抛物线上的 最低点 . 抛物线在x轴的 上 方（除顶点外）.
思维拓展 已知 y =(m+1)xm2+m 是二次函数,且其图象开口向上, 求m的值和函数解析式
m+1>0 ①
解: 依题意有:
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1 ∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
画法
描点法
以对称轴为中 心对称取点
二次函数 y=ax2的图象
图象
抛物线
轴 对 称 图 形 对称轴为y轴
a>0,开口向上
开口方向
浙教版数学九年级上册《1.1 二次函数》教案
浙教版数学九年级上册《1.1 二次函数》教案一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.1 二次函数》是学生在学习了初中阶段函数知识的基础上，进一步研究二次函数的性质和图像。
本节内容主要包括二次函数的定义、一般式、顶点式和图像。
通过本节课的学习，使学生掌握二次函数的基本概念和性质，能够运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念和一次函数的知识，具备了一定的数学思维能力。
但二次函数相对较为复杂，需要学生能够灵活运用所学知识，进行推理和论证。
因此，在教学过程中，要注意引导学生通过观察、思考、动手操作等方式，自主探索二次函数的性质和图像。
三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般式和顶点式，能够绘制二次函数的图像，了解二次函数的性质。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等方法，探索二次函数的性质和图像，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的定义、一般式、顶点式和图像。
2.难点：二次函数的性质和图像的绘制。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，并通过实验、观察、推理等方式解决问题。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和教学素材。
2.准备黑板和粉笔，以便于板书和演示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如抛物线形的物体运动、抛物线形的建筑物的顶点等，引导学生提出二次函数的概念。
通过这些问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题。
2.呈现（15分钟）（1）介绍二次函数的定义：一般式为y=ax^2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数。
（2）介绍二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）为顶点坐标。
浙教版九年级上册1.2二次函数的图象(共19张PPT)
2．二次函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的图象及其特征 平移：一般地，函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的图象，可以由函 数y＝ax2的图象_向__右_(_当__m_<_0_)或__向__左__(当__m_>_0_)_平_移_____
______|_m_|个__单__位__，_再__向__上_(_当__k_>0_)_或__向_下__(_当_k_<_0_)_平_移__|k_|_个_单__位_____得到． 顶点：抛物线的顶点坐标为__(－__m_，__k_)_____．
1.2二次函数的图象（2)
新知导入
复习回顾
思考：二次函数y=ax²的图象及其特点？
二次函数y＝a(x-m)2的图象与二次函数y＝ax2的图象开口方 向、对称轴和顶点坐标是否相同? 那么 y＝a(x-m)2+k的图象呢？
合作学习 试一试：在同一坐标系中作出下列二次函数：
y 1 x2 2
y 1 x 22
解：(1)顶点(－1，－4)，开口向上，对称轴为直 线x＝－1； (2)y＝(x－1)2； (3)y＝(x＋1)2－ 4向右平移1个单位，再向上平移4个单位．
课堂总结
1．二次函数y＝a(x＋m)2(a≠0)型的图象及其特征 平移：(1)一般地，函数y＝a(x＋m)2(a≠0)的图象与函数 y＝ax2的图象只是位置不同，它可由y＝ax2的图象
对称轴：直线____x_＝__－_m____． 开口方向：抛物线y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的开口与抛物线y＝ ax2的开口___相__同___，当a>0，开口向上，当a<0，开口向下．
最大(小)值：当a>0时抛物线有最低点，当x＝－m时函数有最 小值k；当a<0时，抛物线有最高点，当x＝－m时函数有最大值k.
浙教版九年级上册数学 第一章 二次函数 单元全套课后习题重点练习课件
解：由题意可知：k2＋k＝2且k－1≠0，∴k＝－2. (2)写出该二次函数的表达式，并指出其二次项系 数、一次项系数和常数项．
当k＝－2时，函数表达式为y＝－3x2＋1，二次项 系数为－3，一次项系数为0，常数项为1.
12．某商店以每双42元的价格购进一种皮鞋，根据试 销得知这种皮鞋每天的销售量t(双)与每双的售价 x(元)之间可以看成一次函数关系t＝－4x＋204.请 写出每天的销售利润y(元)与每双的售价x(元)之间 的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
∴x＝1.当 x＝1 时，y＝x2＋x＋1＝1＋1＋1＝3.故选 C.
5．二次函数y＝2x2－bx＋c满足：当x＝1时，y＝0；
当x＝－2时，y＝－3，则b，c的值分别是( A )
A．－3，－5
B．－3，－4
C．3，4
D．3，－5
6．已知函数y＝x2＋2x＋m，当x＝1时，y的值为 －12，那么当x＝2时，y的值为( C ) A．－15 B．－11 C．－7 D．12
【解析】本题最终要求的是y与x之间的函数关系式， 即式子中不应该含有t，于是在运算过程中，应利 用t与x之间的关系式将t代换掉．
372x－8 568.因为每双进价为42元，所以x≥42. 而销售量t≥0，故－4x＋204≥0，即x≤51. 所以自变量x的取值范围为42≤x≤51.
A．y是关于x的二次函数 B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20 000
3．下列说法中，正确的是( B ) A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数 B．在圆的面积公式 S＝πr2 中，S 是关于 r 的二 次函数 C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
当k＝－2时，函数表达式为y＝－3x2＋1，二次项 系数为－3，一次项系数为0，常数项为1.
12．某商店以每双42元的价格购进一种皮鞋，根据试 销得知这种皮鞋每天的销售量t(双)与每双的售价 x(元)之间可以看成一次函数关系t＝－4x＋204.请 写出每天的销售利润y(元)与每双的售价x(元)之间 的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
∴x＝1.当 x＝1 时，y＝x2＋x＋1＝1＋1＋1＝3.故选 C.
5．二次函数y＝2x2－bx＋c满足：当x＝1时，y＝0；
当x＝－2时，y＝－3，则b，c的值分别是( A )
A．－3，－5
B．－3，－4
C．3，4
D．3，－5
6．已知函数y＝x2＋2x＋m，当x＝1时，y的值为 －12，那么当x＝2时，y的值为( C ) A．－15 B．－11 C．－7 D．12
【解析】本题最终要求的是y与x之间的函数关系式， 即式子中不应该含有t，于是在运算过程中，应利 用t与x之间的关系式将t代换掉．
372x－8 568.因为每双进价为42元，所以x≥42. 而销售量t≥0，故－4x＋204≥0，即x≤51. 所以自变量x的取值范围为42≤x≤51.
A．y是关于x的二次函数 B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20 000
3．下列说法中，正确的是( B ) A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数 B．在圆的面积公式 S＝πr2 中，S 是关于 r 的二 次函数 C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
第一章二次函数复习课件(浙教版)
一般式yax2 bxc
（
b 2a
4ac b2
，
）
4a
1、求下列函数的顶点坐标
1、y=(x-1)2
2、y=2x2+3
3、y=-2(x+1)2-3
4、y=3x2-6x-5
2、 已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标 （1，-2），求b，c的值
3、 已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标 在x轴上，求c的值
y 2x2 4x 5是由 平移 单位得到
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为 ____y_=_2_(_x_+_2_)_2-_3_=_2_x_2_+_8_x_+_5__
2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位, 再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式 为_y_=__- _3_(_x_-1_-_4_)_2+_2_+_3__=_-_3_x_2+_3_0_x_-_7_0__ 3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下 平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后 的解析式为___y_=_2_(x_+__1_)2_-_8__; 4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
二次函数y=ax2+bx+c
的图象和x轴交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0的根
有两个交点 有一个交点
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
一元二次方程
ax2+bx+c=0根的判别式 （b2-4ac） b2-4ac > 0
第1章 二次函数 浙教版九年级数学上册复习课件(共17张PPT)
（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示， 图象经过（1，0），从中你能得到哪些结论？
（2）m满足什么条件时方程ax2+bx+c=m，①有两个不 相等的实数根？②有两个相等的实数根？③没有实 数根？
y
4
-1
o
1
x
图1
• 若把图1的函数图象绕着顶点旋转180度，则能得
到函数的表达式是
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的 增大而减小 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的 增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而减小.
最值
得到y=2 x2 －4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝
.
3与.如分图别，经两过条点抛（物-2线,0）y,1（2,012）x且2 平1行、于y2y轴的12两x 2条1
平行线围成的阴影部分的面积为（ ） Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方 程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、二次函数的定义
如果函数 y k 1 xk2k2 kx 1 是关于x的二次函
数，则k＝
?
一般地， 如果y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)， 那么，y叫做x的二次函数。
2、二次函数的图像和性质(画两幅图)
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
二次函数课件1(浙教版九年级上)
课本26页，完成合作学习 请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个 变量 y 与 x 之间的关系：
(1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月 增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的 利润为y(万元)
y = 2(1+x)2
通过本堂课的学习 我认识到 …… 我体会到 ……
驶向成功 的彼岸
认识到： 1、二次函数的概念； 2、用待定系数法求二次函数的解析式； 3、用二次函数表示实际问题中的数量 关系，并求自变量取值范围。 体会到：
二次函数在生活中有着广泛的
应用，函数与方程密切相关
1、作业本（1）
2、课后作业《教与学》
你知根长16m的绳子，用它围成一个 矩形，怎样的围法，才使矩形的面积最大？
一边长 另一边长
1 7
2 6
3 5
4 4
5 3
6 2
7 1 7
矩形面积
7 12 15 16 15 12
解：设矩形的一边是x米，则另一边是（8-x）米 S=x(8-x) =-x2+8x
C
B
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是 一个矩形，周长为120m , 室内通道的尺寸如图,设一 条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。 1
y = (60-x-4)(x-2) =-x2+58x-112
1
1
x 2 0 由 ， 60 x 4 0
x
3
得 2<x<56
2、已知函数y=ax2+bx+3，当x=2时，函数值是3； 当x=-2时，函数值是2.求函数解析式。
浙教版九年级数学上册全册完整精品课件
浙教版九年级数学上册全册完整精品课件一、教学内容1. 第1章：二次函数1.1 二次函数的概念与图像1.2 二次函数的性质1.3 二次函数的解析式1.4 二次函数的应用2. 第2章：一元二次方程2.1 一元二次方程的概念与解法2.2 一元二次方程的根的判别式2.3 一元二次方程的根与系数的关系2.4 一元二次方程的应用3. 第3章：圆3.1 圆的基本概念与性质3.2 直线和圆的位置关系3.3 三角形的圆心角、弧、弦的关系3.4 圆的应用4. 第4章：统计与概率4.1 数据的收集与整理4.2 频数与频率4.3 概率的基本概念4.4 统计与概率的应用二、教学目标1. 理解并掌握二次函数、一元二次方程、圆的基本概念、性质和应用。
2. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学思维能力。
3. 学会使用统计与概率知识分析问题，培养数据分析能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二次函数的性质、一元二次方程的解法、圆的性质、统计与概率的计算。
2. 教学重点：二次函数的应用、一元二次方程的根的判别式、圆与直线的位置关系、数据的收集与整理。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：课本、练习本、圆规、三角板、计算器等。
五、教学过程1. 导入：通过实际问题引入二次函数、一元二次方程、圆等概念，激发学生学习兴趣。
2. 新课讲解：详细讲解各章节知识点，结合例题进行讲解。
3. 随堂练习：设计具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 课后作业：布置适量的作业，巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数的图像与性质2. 一元二次方程的解法与根的判别式3. 圆的基本性质与位置关系4. 统计与概率的计算方法七、作业设计1. 作业题目：画出二次函数y=x^22x3的图像，并求出其顶点坐标。
解一元二次方程x^23x+2=0，并说明其根的情况。
证明圆的直径所对的圆周角是直角。
收集某班学生的身高数据，计算平均身高和身高的方差。
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下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2
是
1 (2) y 2 不是 x (3) y 2 x 2 x 1 是 (4) y x (1 x ) 是 (5) y ( x 1) 2 ( x 1)(x 1) 不是
先化简后判断
(6)y=3x-1 不是
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量
2
｛
1 p q 4 4 2 p q 5
2
解得，p 12, q 15.
所求的二次函数是y x 12x 15
驶向胜利 的彼岸
这堂课，你学到了哪些新知识？
独立 作业 1、已知二次函数y=ax² +bx+3, 当x=2时,函数值为3, 当x= - 2时, 函数值为2, 求这个二次函数的解析试.
=-x2+58x-112
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征? 经化简后都具有y=ax² +bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, a≠0
)
你能说出这里自变量能取哪些值呢？
我们把形如y=ax² +bx+c(其中a,b,c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项,
的取值范围都是任意实数呢？ 2 例如：圆的面积 y (cm )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2 其中自变量x能取哪些值呢？
注意:当二次函 数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.
x0
例2: 如图，一张正方形纸板的边长为2cm,将它 剪去4个全等的直角三角形 (图中阴影部分 ) ， 设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形 EFGH的面积为 y(cm2)，求 : (l)求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围
2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的 一边为x,矩形的面积为y,求： (1)写出y关于x的函数关系式和自变 量的取值范围. (2)当x=3时,矩形的面积为多少?
x
二次函数y=(2x-1)2+2的二次项系 数是________,常数项是______.
2+1 k 当k=_______时,函数y=(k-1)x +3x
2.1.二次函数
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个 变量 y 与 x 之间的关系： (1)圆的面积 y ( cm )与圆的半径 x ( cm )
2
y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月 增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的 利润为y
y = 2(1+x)2 = 2x2+4x+2
(1)随着x的取值的增大，y的值有怎样的变化？ (2)当x为多少时，四边形EFGH的面积最小？
例2：已知二次函数y=x² +px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y x px q, 得：
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是 一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设 一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。
1
y = (60-x-4)(x-2) =-x2+58x-112
1
1
x
3
1.y
=πx2
2.y
= 2(1+x)2 =2x2+4x+2
3.y=
(60-x-4)(x-2)
(2)当x分别为0.25，0.5，1，1.5， 1.75 时 ，求对应的四边形EFGH的 面积y，并列表表示.
x 0.25 y 0.5 1 2 1.5 1.75
A X E D G X C
பைடு நூலகம்
X H
F X B
填表
x 0.25
y
25 8
0.5
5 2
1
2
1.5 1.75
5 2 25 8
请大家分析上表，分组讨论一下：
是二次函数
说出二次函数y=-x2+8x-1的一次 项系数，二次项系数，常数项
对于任意实数k,下列函数一定是二次函数的是(
)
A、y=(k-1)2x2 C、 y=(k2+1)x2
B、y= (k+1)2x2 D、 y=(k2-1)x2
正方形的边长是４，若边长增加x，则面积增加y， 则y关于x的函数关系式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿， 它是二次函数吗？
已知二次函数y= x2+bx+c，当x=０时，y=１， 当x=１时，y=3,你能求出二次函数的解析式吗？
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (3)y=3x3+2x2 (5)y= (2)y=3x2 (4)y=2x2-2x+1 (6)y=x2-x(1+x)