贵州省南白中学2018届高三上学期第一次月考理数试题Word版含答案

遵义市南白中学2017-2018-1高三第一次联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}120A x x x =-+<，103x B x x 禳+镲=<睚-镲铪，则A B = ( )A ．()2,1-B ．()2,3-C ．()1,3-D ．()1,1- 2.复数311ii++等于( ) A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 3.sin15sin 75°°的值为( ) A ．12 B．14D4.命题0:p x R $?，200220x x ++?，则p Ø为( )A ．x R "?，2220x x ++>B ．x R "?，2220x x ++? C.x R $?，2220x x ++> D ．x R $?，2220x x ++? 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若632a a =，则115S S =( ) A ．115B ．522 C.1110 D ．2256.20世纪30年代为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 为被测地震的最大振幅，0A 是标准地震振幅，5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？( )A ．10倍B ．20倍 C.50倍 D ．100倍 7.一算法的程序框图如图所示，若输出的12y =，则输入的x 最大值为( )A ．1-B ．1 C.2 D ．08.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，请找出D 点的位置，计算AD AB ×的值为( )A ．10B ．11 C.12 D ．13 9.点集(){},0,0x y x e y e W =＃＃，()(){},,,xA x y y e x y =澄W ，在点集W 中任取一个元素a ，则a A Î的概率为( )A ．1e B ．21eC.1e e - D ．221e e -10.某实心几何体是用棱长为1cm 的正方体无缝粘合而成，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．250cmB ．261cm C.284cm D ．286cm 11.函数()1x bf x a e =++(,a b R Î)是奇函数，且图象经过点1ln 3,2骣琪琪桫，则函数()f x 的值域为( )A ．()1,1-B ．()2,2- C.()3,3- D ．()4,4-12.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于两点,P Q ，若3cos 5PAQ =∠，则椭圆C 的离心率e 为( )A ．12BD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知sin cos 2sin cos a aa a-=+，则tan a = ．14.实数,x y 满足条件2000x y x y y ì+-?ïï-?íï³ïî，则2z x y =-的最大值为 ．15.9ax x骣琪+琪桫展开式中3x 的系数为84-，则展开式中的系数和为 ．16.已知函数()()1*n n f x x x n N +=-?，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为n b ，则数列{}n b 的前n 项和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC △中，内角,,A B C 的对边,,a b c 成公差为2的等差数列，120C =°. (1)求a ；(2)求AB 边上的高CD 的长.18.某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，对20名学生进行问卷计分调查(满分100分)，得到如图所示的茎叶图：(1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男女生打分的分散程度；(2)从打分在80分以上的同学随机抽3人，求被抽到的女生人数X 的分布列和数学期望. 19.如图AB ，CD 是圆柱的上、下底面圆的直径，ABCD 是边长为2的正方形，E 是底面圆周上不同于,A B 两点的一点，1AE =.(1)求证：BE ^平面DAE ； (2)求二面角C DB E --的余弦值.20.过抛物线2:4C y x =的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于两点,A B . (1)若8AB =，求直线l 的方程；(2)若点A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 恒过定点，并求出该定点的坐标. 21.已知函数()()ln 10f x kx x k =-->.(1)若函数()f x 有且只有一个零点，求实数k 的值；(2)证明：当*n N Î时，()1111ln 123n n++++>+….22.曲线C 的参数方程为2cos sin x y jj ì=ïí=ïî(j 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4pr q 骣琪+琪桫(1)写出C 的直角坐标方程，并且用00cos sin x x t y y t aa ì=+ïí=+ïî(a 为直线的倾斜角，t 为参数)的形式写出直线l 的一个参数方程；(2)l 与C 是否相交，若相交求出两交点的距离，若不相交，请说明理由. 23.已知函数()2f x x x =++. (1)解不等式()6f x ³的解集M ；(2)记(1)中集合M 中元素最小值为m ，若,a b R +Î，且a b m +=，求1111a b 骣骣琪琪++琪琪桫桫的最小值.遵义市南白中学2017-2018-1高三第一次联考理科数学参考答案一、选择题1-5:BCCAD 6-10:DBBBD 11、12：AA二、填空题13.3- 14.4 15.0 16.12n n +´三、解答题17.解：(1)由题意得2b a =+，4c a =+.由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=得()()()22224cos12022a a a a a ++-+=+°，即260a a --=，∴3a =或2a =-(舍去)，∴3a =.(2)解法1由(1)知3,5,7a b c ===，由三角形的面积公式得： 11sin 22ab C c CD =?，∴35sin 27ab C CD c 创== 即AB边上的高CD =解法2：由(1)知3,5,7a b c ===，由正弦定理得377sin sin sin120A C ==°，即sin A 在Rt ACD △中，sin 5CD AC A ==?，即AB边上的高CD =18.解：(1)男生打的平均分为：()1555362657170737486816910+++++++++=， 由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散；(2)因为打分在80分以上的有3女2男，∴X 的可能取值为1，2，3， ()1232353110C C P X C ===，()213235325C C P X C ===，()3032351310C C P X C ===， ∴X 的分布列为：()3319123105105E X =???. 19.证明：(1)由圆柱的性质知：DA ^平面ABE ，又BE Ì平面ABE ，∴BE DA ^， 又AB 是底面圆的直径，E 是底面圆周上不同于,A B 两点的一点，∴BEAE ^， 又DA AE A = ，,DA AE Ì平面DAE ，∴BE ^平面DAE .(2)解法1：过E 作EF AB ^，垂足为F ，由圆柱性质知平面ABCD ^平面ABE ，∴EF ^平面ABCD ，又过F 作FH DB ^，垂足为H，连接EH ， 则EHF ∠即为所求的二面角的平面角的补角，2AB AD ==，1AE =易知DE BE BD =∴AE BE EF AB ´=， 由(1)知BE DE ^，∴DE BE EH DB 创==，∴sinEF EHF EH ==∠cos EHF ∠，∴所求二面角的余弦值为-解法2：过A 在平面AEB 作Ax AB ^，建立如图所示的空间直角坐标系，∵2AB AD ==，1AE =，∴BE 1,02E 桫，()0,0,2D ，()0,2,0B ，∴1,22ED =--桫，()0,2,2BD =- ，平面CDB 的法向量()11,0,0n ，设平面EBD 的法向量为()2222,,n x y z = ，2200n ED n BD ì?ïíï?î，即222221202220y x y z ìï--+=ïíï-+=ïî，取)2n = .∴121212cos ,n n n n n n ´<>=-20.解：(1)F 的坐标为()1,0，设l 的方程为()1y k x =-代入抛物线24y x =得()2222240k x k x k -++=，由题意知0k ¹，且()()222222441610k k k k 轾-+-?+>犏臌，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴212224k x x k++=，121x x =， 由抛物线的定义知2228AB x x =++=，∴22246k k+=，∴21k =，即1k =?，∴直线l 的方程为()1y x =?. 直线BD 的斜率为212122212121444BD y y y y k x x y y y y ++===---， ∴直线BD 的方程为()11214y y x x y y +=--，即()221211144y y y y y y x x -+-=-，∵24y x =，121x x =，∴()212121616y y x x ==， 即124y y =-(因为12,y y 异号)，∴BD 的方程为()()12410x y y y ++-=，恒过()1,0-. 21.解：(1)方法1：()ln 1f x kx x =--，()()11'0,0kx f x k x k x x-=-=>>， 1x k =时，()'0f x =，10x k <<时，()'0f x <；1x k>时，()'0f x >； ∴()f x 在10,k 骣琪琪桫上单调递减，在1,k 骣琪+?琪桫上单调递增， ∴()min 1ln f x f k k 骣琪==琪桫，∵()f x 有且只有一个零点，故ln 0k =，∴1k =.方法2：由题意知方程ln 10kx x --=仅有一实根，由ln 10kx x --=得()ln 10x k x x+=>， 令()ln 1x g x x +=，()()2ln '0x g x x x -=>，1x =时，()'0g x =；01x <<时，()'0g x >；1x >时，()'0g x <，∴()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+?上单调递减，∴()()max 11g x g ==，所以要使()f x 仅有一个零点，则1k =.方法3：函数()f x 有且只有一个零点即为直线y kx =与曲线ln 1y x =+相切，设切点为()00,x y ，由ln 1y x =+得1'y x =，∴000001ln 1k x y kx y x ì=ïïïï=íï=+ïïïî，∴001k x y ===，所以实数k 的值为1.(2)由(1)知ln 10x x --?，即1ln x x -?当且仅当1x =时取等号， ∵*n N Î，令1n x n +=得，11ln n n n+>， ()1112311ln ln ln ln 12312n n n n +++++>+++=+……， 即()1111ln 123n n++++>+….22.解：(1)C 的直角坐标方程为2214x y +=，由cos 4p r q 骣琪+琪桫20x y --=，直线l 的倾斜角为4p ， 过点()2,0，故直线l的一个参数方程为2x y ìï=ïíïïïî(t 为参数). (2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程得：250t +=，10t =，2t =-，显然l 与C 有两个交点,A B 且12AB t t =-. 23.解：(1)()6f x ³，即为26x x ++?， ∴226x x x ì?ïí--?ïî或226x x x ì>-ïí++?ïî即2x ³，∴{}2M x x =?.(2)由(1)知2m =，即2a b +=，且,a b R +Î， ∴11111122a ba ba b a b 骣骣骣骣++琪琪琪琪++=++琪琪琪琪桫桫桫桫335353422222424b a b a a b a b 骣骣骣琪琪琪++=++?创琪琪琪桫桫桫. 当且仅当1a b ==时，1111a b 骣骣琪琪++琪琪桫桫取得最小值4.。