等差数列知识点总结
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结引言等差数列是数学中常见的一个概念，它在数值模式的分析和问题解决中起到了重要的作用。
本文将对等差数列的定义、通项公式、前n项和求解等相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和应用等差数列。
一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
它由首项 a1和公差 d 决定，可以表示为a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, …，其中 a1 是首项，d 是公差。
二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以用来求解数列中任意一项的值。
设首项为 a1，公差为d，第 n 项的值为 an，则等差数列的通项公式可以表示为 an = a1 + (n - 1) * d。
三、等差数列的前 n 项和等差数列的前 n 项和是指数列中前 n 项的和。
根据等差数列的特点，可以通过求平均值的方式快速计算出前 n 项和的值。
设首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为Sn，则等差数列的前 n 项和公式可以表示为 Sn = n * (a1 + an) / 2。
四、等差数列的性质总结1.等差数列的公差是相邻两项之间的固定差值，可以用来判断一个数列是否是等差数列。
2.等差数列的第 n 项可以通过通项公式求解，也可以通过逐项相加得到。
3.等差数列的前 n 项和公式可以通过求平均值的方式快速计算，可以简化问题求解的过程。
4.等差数列的性质可以应用于一些实际问题，如数值模式的预测和分析等。
五、等差数列的求解示例示例 1已知等差数列的首项 a1 = 3，公差 d = 5，求该等差数列的前 10 项和。
根据前 n 项和公式，代入已知的数值进行计算：Sn = 10 * (3 + a10) / 2= 10 * (3 + (3 + (10 - 1) * 5)) / 2= 10 * (3 + 3 + 45) / 2= 10 * 51 / 2= 255所以该等差数列的前 10 项和为 255。
示例 2已知等差数列的首项 a1 = 2，公差 d = -4，且第 5 项的值为 -18，求该等差数列的第 n 项。
等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结
等差数列是数学里最基本的概念之一，是定义数轴上元素排列方式的基础。
一个等差数列是从第二项开始，后一项减去前一项的差都是固定值的数列，称为等差数列。
等差数列的特点是可以求出中间的项，预测后面的项，计算等差数列的和等。
第一，等差数列的定义。
等差数列，也称等差级数，是由一系列等差的数构成的数列，也就是前面两项的差相同，且为有限数，叫做等差数列。
第二，等差数列的特点。
等差数列的特点是，前一项与下一项的差是一个固定的值，也就是等差数列的公差，从而可以从其中推测出等差数列中的其他数。
第三，等差数列的公式。
等差数列的通用公式为：Sn = a1 + (n - 1) d,其中，a1表示等差数列的第一项，d表示等差数列的公差，n 表示等差数列的项数，Sn表示等差数列中第n项的值。
第四，等差数列的求和计算。
等差数列的求和计算有两种方法，一种是利用求和公式，一种是利用构造法来求和。
求和公式是：Sn = a1 + a2 + a3 + + an = n(a1 + an) / 2。
构造法是把等差数列分成两半，把两半数列的首项和末项相乘，得到的积叫做构造法的和。
第五，等差数列的应用。
等差数列广泛应用于数学、计算机、统计学和其他学科，如时间序列分析、有限项计算、数列递推、方程定义等，这些都可以利用等差数列的特性加以计算。
综上所述，等差数列是数学里最基本的概念之一，包括定义、特
点、公式、求和计算、应用等。
它在数学、计算机、统计学和其他学科有着广泛的应用，是这些学科里重要的基础概念，也是几乎所有数学计算研究的基础。
等差数列知识点总结归纳
等差数列知识点总结归纳等差数列，顾名思义，是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
它是数学中一种重要的基本数列，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际问题中也有很多的应用。
本文将为您总结归纳一些等差数列的重要知识点。
一、等差数列的定义与性质1. 等差数列的定义：设数列a₁, a₂, a₃, ..., an, ...，如果它的公差d 是一个常数，即对于任意的正整数n，有an+1 - an = d，那么我们称这个数列为等差数列。
2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么等差数列的第n项an可以表示为an = a₁ + (n-1)d。
3. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和Sn可以表示为Sn = (a₁ + an)n/2，其中an为等差数列的第n 项。
二、等差数列的常见问题1. 求等差数列的公差：根据等差数列的定义，可以通过求相邻两项的差来确定等差数列的公差。
2. 求等差数列的前n项和：使用前n项和公式，带入相应的数值进行计算即可。
3. 求等差数列的第n项：使用通项公式，将n带入公式中即可求得等差数列的第n项。
4. 求等差数列中满足特定条件的项数：将通项公式中的an与给定的值进行比较，解方程可以求得满足条件的项数。
三、等差数列的应用场景等差数列在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些用途的例子：1. 资金的等额递增或等额递减：在金融领域中，等差数列可以用来描述资金的等额递增或等额递减情况，比如按固定金额逐月还贷款。
2. 数学建模问题：在一些数学建模问题中，等差数列可以用来描述数量的变化规律，例如人口增长问题、物品价格变化问题等。
3. 科学实验中的数据分析：在科学实验中，往往需要对一系列数据进行分析，若这些数据满足等差数列的规律，就可以使用等差数列的知识进行处理和预测。
四、等差数列与数学思维培养研究等差数列的性质，可以促进我们培养一些重要的数学思维，比如：1. 归纳推理能力：通过观察等差数列的规律，总结归纳出等差数列的通项公式和前n项和公式。
等差数列的知识点总结
等差数列的知识点总结一、概念等差数列是由一系列按照相同的公差递增或递减的数字所组成的数列。
如果一个数列 a1, a2, a3, ... , an 满足a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - a(n-1)那么这个数列就是等差数列，其中 a1 为首项，a2 - a1 为公差。
例如，3, 6, 9, 12, 15 就是一个等差数列，其中首项为3，公差为3。
二、性质1. 通项公式等差数列的第 n 项 a_n 可以用通项公式表示为a_n = a1 + (n-1)d其中 a1 为首项，d 为公差。
2. 数列求和等差数列的前 n 项和 Sn 可以用求和公式表示为Sn = n/2 * (a1 + an)或Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)其中 a1 为首项，d 为公差，an 为第 n 项。
3. 任意三项对于等差数列中的任意三项 a_i, a_j, a_k（i < j < k），有2a_j = a_i + a_k这个性质可以用来解决很多等差数列的问题。
4. 求和公式的推导为了理解等差数列求和公式的推导，我们来考虑一个等差数列的和 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n。
如果我们将这个数列反向写，即 S_n = a_n + a_(n-1) + ... + a_1，那么两个数列相加得到的和是2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_(n-1)) + ... + (a_n + a_1)由于等差数列中任意三项的性质，我们知道其中每一对括号内的和都是相等的，所以有2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + ... + (a_1 + a_n) = n * (a_1 + a_n)从而得到了等差数列求和公式。
三、应用等差数列在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
在数学中，等差数列的求和公式可以用来解决许多数学问题，比如计算前 n 项的和。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中重要的概念之一，也是初等数学中最基础的数列形式。
在这篇文章中，我们将对等差数列的定义、性质以及常见问题进行总结。
让我们一起来探索等差数列的奥秘吧！一、等差数列的定义等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。
简单来说，如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
通常用字母 "a" 表示首项，字母 "d" 表示公差，递推公式可以写作：an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示数列中的第 n 项。
二、等差数列的性质1. 公差 (d)：等差数列中相邻两项之间的差称为公差。
任意两项之差为公差的倍数。
2. 首项 (a1)：等差数列中第一项称为首项。
3. 通项公式：等差数列的通项公式用来计算数列中第 n 项的值。
通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
4. 项数 (n)：数列中项的个数称为项数。
5. 数列和公式：等差数列的前 n 项和可以通过数列的首项、末项以及项数来计算得出。
数列和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、等差数列的常见问题1. 求和问题：给定一个等差数列，如何计算前 n 项的和？使用数列和公式 Sn = (n/2)(a1 + an) 可以得到结果。
2. 求特定项问题：在一个等差数列中，找到第 n 项的值。
可以利用通项公式 an = a1 + (n-1)d 来计算。
3. 求公差问题：已知一个等差数列的首项和任意两个相邻项之间的差，怎样求出公差？公差可以通过任意两项之差来求得。
4. 推理问题：已知一个等差数列中的几个项，如何判断一个数是否属于这个数列？当且仅当这个数与该等差数列中的任意两个相邻项之差相等时，该数属于该等差数列。
四、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域。
在数学中，等差数列是数学研究的基础，也是其他数列的基础形式之一。
在物理学中，等差数列用来描述匀速直线运动的位移变化。
(完整版)等差数列知识点总结
(完整版)等差数列知识点总结1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。
2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。
3. 等差数列的前 n 项和公式设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。
4. 判断数列是否为等差数列- 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。
- 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。
5. 求等差数列的公差设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。
6. 求等差数列的项数设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。
7. 求等差数列的首项设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。
8. 求等差数列的末项设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。
9. 等差数列的性质- 等差数列的任意三项成等差数列。
- 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。
- 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。
10. 应用场景等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括：- 数学题中的数列问题，如求和、推导等。
- 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。
- 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。
- 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。
以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。
等差数列知识点总结与题型归纳讲义
10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)①通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )⇒当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数．②通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(3)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．①若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．②当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2――→a n ＝a 1＋(n －1)dS n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋a 1－d2n ⇒当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(2)若{a n }是等差数列，则S nn 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{a n}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝11．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝12，3a2＝a5，∴2a1+5d＝12，3（a1+d）＝a1+4d，联立解得a1＝1，d＝2，∴a6＝a1+5d＝11故答案为：112．（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴3×(31+3×22p=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴1+3+1+4=2461+6×52=48，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{a n}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．12【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a10＝12，∴2a1+13d＝12，∴3a7+a9＝4a1+26d＝2（2a1+13d）＝24．故选：B．2．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−1311的值为（）A．17B．16C．15D．14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12＝（a4+a12）+（a6+a10）+a8＝5a8＝120，解得a8＝24．a9−1311=a1+8d−1+103=23a1+143d=23（a1+7d）=23a8＝16故选：B．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝10，S4＝36，则公差d为2．【解答】解：∵a3＝10，S4＝36，∴a1+2d＝10，4a1+4×32d＝36，解得d＝2．故答案为：2．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：（1）数列{a n}是递增数列；（2）数列{na n}是递增数列；（3）数列{}是递减数列；（4）数列{a n+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，∴数列{a n}是递增数列，故（1）正确；B=B2+(1−p，当n＜K12时，数列{na n}不是递增数列，故（2）错误；=+1−，当a1﹣d≤0时，数列{}不是递减数列，故（3）错误；a n+3nd＝4nd+a1﹣d，数列{a n+3nd}是递增数列，故（4）正确．∴真命题个数有2个．故选：C．2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n﹣2D．=1，=12，≥2【解答】解：∵S n＝n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而当n＝1时也满足，∴a n＝2n﹣1．故选：B．3．在数列{a n}中，若a n＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3【解答】解：令a n＝5n﹣16≤0，解得n≤3+15．则此数列前n项和的最小值为S3=3×(−11+15−16)2=−18．故选：C．题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（S6﹣9）＝9+72﹣S6，求得S6＝33，故选：B．2．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，1=−11，1010−88=2，则S11＝（）A．﹣11B．11C．10D．﹣10【解答】解：=B1+oK1)2，得=1+(K1)2，由1010−88=2，得1+10−12−(1+8−12)=2，d＝2，1111=1+(11−1)2=−11+5×2=−1，∴S11＝﹣11，故选：A．3．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知=2r1，则77等于（）A．1321B．214C．1327D．827【解答】解：∵=2r1，∴77=2727=132(1+13)132(1+13)=1313=132×13+1=1327，故选：C．题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．8B．9C．10D．16【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选：A．2．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n为何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}中S10＝S15，∴S15﹣S10＝a11+a12+a13+a14+a15＝5a13＝0，∴a13＝0，∴数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，∴当n＝12或13时，S n取得最大值，又公差d=13−113−1=−53，∴S12＝12×20+12×112（−53）＝130∴S n的最大值为1303．（2014·江西）在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，−78）．【解答】解：∵S n＝7n+oK1)2，当且仅当n＝8时S n取得最大值，∴7＜8 9＜8，即49+21＜56+2863+36＜56+28，解得：＞−1＜−78，综上：d的取值范围为（﹣1，−78）．题型六.证明等差数列1．已知数列{a n}满足1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，数列{b n}满足=1−1(∈∗)．（1）求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项．【解答】解：（1）由1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，得a n+1＝2−1（n∈N•）b n+1﹣b n=1r1−1−1−1=12−1−1−1−1=1…（4分）又b1=−52，所以{b n}是以−52为首项，1为公差的等差数列…（6分）（2）因为b n＝b1+（n﹣1）＝n−72，所以a n=1+1=22K7+1．…（9分）1≤n≤3时数列{a n}单调递减且a n＜1，n≥4时数列{a n}单调递减且a n＞1所以数列{a n}的最大项为a4＝3，最小项为a3＝﹣1．…（14分）2．已知数列{a n}中，a2＝1，前n项和为S n，且S n=o−1)2．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n＝1，则a1＝S1=1(1−1)2=0（2）由=o−1)2，即=B2，①得r1=(r1)r12．②②﹣①，得（n﹣1）a n+1＝na n．③于是，na n+2＝（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n＝2na n+1，即a n+2+a n＝2a n+1又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n＝n﹣1课后作业.等差数列1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36B．24C．16D．8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=92（a1+a9）＝72，∴a1+a9＝16，由等差数列的性质可知，a1+a9＝2a5，∴a5＝8，∴a1+a5+a9＝24．故选：B．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S8＝4a3，a7＝﹣2，则81+28=41+81+6=−2，解得a1＝10，d＝﹣2，∴a10＝a1+9d＝﹣8．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0B．当且仅当n＝7时，S n取得最大值C．S4＝S9D．满足S n＞0的n的最大值为12【解答】解：∵2a5+a11＝0，∴2a1+8d+a1+10d＝0，∴a1＝﹣6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴{a n}为递减数列，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，由a n≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，∴a8＜0，当n＝6或7时，S n取得最大值，故A正确，B错误；∵S4＝4a1+6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S9＝9a1+36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，∴S4＝S9，故C正确；∴S n＝na1+oK1)2=2（n2﹣13n）＞0，解得0＜n＜13，∴满足S n＞0的n的最大值为12，故D正确．故选：B．4．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大；当S n＞0时n的最大值为15．【解答】解：∵a7+a8+a9＝3a8＞0，a7+a10＝a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴n＝8时，{a n}的前n项和最大；∵S15=15(1+15)2=15a8＞0，S16=16(1+16)2=8（a8+a9）＜0，∴当S n＞0时n的最大值为15．故答案为：8；15．5．在数列{a n}中，a2＝8，a5＝2，且2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）A．210B．10C．50D．90【解答】解：∵2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），即2a n+1＝a n+2+a n（n∈N*），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，则a1+d＝8，a1+4d＝2，联立解得a1＝10，d＝﹣2，∴a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．令a n≥0，解得n≤6．S n=o10+12−2p2=11n﹣n2．∴|a1|+|a2|+…+|a10|＝a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10＝2S6﹣S10＝2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）＝50．故选：C．6．已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=18（a n+2）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=12a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．【解答】解：（1）∵S n=18（a n+2）2，∴当n＝1时，1=18(1+2)2，化为(1−2)2=0，解得a1＝2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=18（a n+2）2−18(K1+2)2，化为（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n﹣1）＝0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝4．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）b n=12a n﹣30=12(4−2)−30=2n﹣31．由b n≤0，解得≤312，因此前15项的和最小．又数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前15项和T15=15(−29+2×15−31)2=−225．∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．。
等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结等差数列是数学中常见的一种数列形式，具有重要的应用价值。
本文将针对等差数列的定义、通项公式、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中后一项与前一项之差始终相等的一种特殊数列。
用常数d表示公差，那么等差数列可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d,a₁+3d, ...二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指通过已知的首项和公差，计算数列中第n项的公式。
假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an =a₁ + (n-1)d三、等差数列的求和公式等差数列求和公式是指通过已知的首项、末项和项数，计算数列所有项之和的公式。
假设首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(a₁+an)四、等差数列的性质1. 等差数列的任意三项成一等差数列。
2. 等差数列的任意两项之和与中间项的和相等。
3. 等差数列的任意相邻两项之和相等。
4. 等差数列的对称性：数列中的相等距离的项之和相等。
五、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域，以下是一些常见的应用场景：1. 金融贷款：假设每月还款金额等差递增，可利用等差数列求得贷款总额和还款期限。
2. 平均速度问题：假设行程中速度等差减小，可利用等差数列求得平均速度。
3. 等差数列的和与平均数关系：等差数列的和即为等差数列所有项的平均数乘以项数。
4. 数列排序问题：对于给定的一组数据，若满足等差关系，可通过等差数列的求和公式快速求得该数列的和。
六、等差数列的扩展1. 差数列：每一项与其后一项之差构成的数列。
2. 等差中项：等差数列中，若某项的前后两项之和为定值，该项称为等差数列的中项。
总结：本文对等差数列的定义、通项公式、求和公式进行了详细介绍，并归纳了其性质和应用场景。
了解等差数列的相关知识，对于解决实际问题及培养数学思维能力都具有重要的帮助。
希望读者通过本文的阅读，对等差数列有更深入的理解。
知识点归纳总结等差数列
知识点归纳总结1．等差数列2. 等比数列【例题精讲】【1】在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该列前11项和=11S （ ）A.58B.88C.143D.176答案：B【2】已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为（ ）A.21-B.23-C.21 D.23 答案：B【3】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且3184=S S ,则=168S S （ ） A.81B.31 C.91 D.103 答案：C【4】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2211=S ,则2113a a +等于（ ）A.2B.4C.8D.16答案：C【5】已知等差数列}{n a 中，8,242==a a ，若13-=n a n b ，则2013b 等于（ ）A.2011B.2012C.2013D.2014答案：D【6】已知}{n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，以n S 表示}{n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D.18答案：B【7】已知}{n a 为等差数列，若167-<a a ，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使0>n S 的n 的最大值为 答案：11【8】设n S 是公差为)0(≠d d 的无穷等差数列}{n a 的前n 项和，则下列命题错误的是（ ）A.若0<d ，则数列}{n S 有最大项B.若数列}{n S 有最大项，则0<dC.若数列}{n S 是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D.若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则有数列}{n S 是递增数列答案：C【10】公比为q 的等比数列}{n a 的各项为正数，且7log ,1610122==a a a q ，则公比=q 答案：2【11】设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若20103,201032011201220122013+=+=S a S a ，则公比=q （ ）A.4B.41或C.2D.21或答案：A【12】在等比数列}{n a 中，已知24,21,64a a 成等比数列且6453=⋅a a ，则}{n a 的前8项和为 . 答案：85255或【13】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ）A.2B.37 C.38D.3答案：B【14】已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ）A.1631 B.51631或 C.5815或 D.815 答案：A【15】公比不为1的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且321,,3a a a --成等差数列，若11=a ，则=4S （ ） A.20- B.0C.7D.40答案：A【16】各项都是正数的等比数列}{n a ，若132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值是（ ） A.215+ B.215-C.251- D.215+或215- 答案：B【17】已知正项等比数列}{n a 满足12011201220134,2a a a a a a n m =⋅+=且，则)11(6nm +的最小值为 . 答案：4递推数列：数列}{n a 的任一项n a 与它前一项1-n a （或它的前几项）间关系用一个公式表示.专题：数列通项公式及求和一. 常规数列的通项与求和方法：定义法（利用等差数列、等比数列的通项与求和公式来求）1. 等差数列：<1>通项公式：*1(1)(),,n m a a n d a n m d n m N =+-=+-∈<2>求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 2. 等比数列：<1>通项公式：11,0n n mn m a a q a q q --=⋅=⋅≠<2>求和公式：11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩3. 一些常见的数列求和公式222221(1)(21)1236nk n n n k n =++=++++=∑2333331(1)1232nk n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑【例1】已知等差数列{}n a 满足466,10a a ==. （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设等比数列{}n b 各项均为正数，其前n 项和n T ，若3232,7,n a b T T =+=求.【例2】已知{}n a 是等比数列，12,a =且134,1,a a a +成等差数列. （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 若2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .二． 非常规数列的通项公式常用通项公式的求法有四种：求法1：累加法适用于1()n n a a f n +=+型.特点：递推公式关于相邻两项的关系且系数、幂数都相同.【例3】已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.【例4】已知数列{}n a 满足*11221,2,,2n n n a a a a a n N +++===∈ （1） 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； （2） 求{}n a 通项公式.求法2：累乘法适用于1()n n a a f n +=⋅型特点：递推公式是关于相邻两项商的关系，且商()f n 是可求数列.【例6】已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a .求法3：公式法现象：题目中出现n a 与n S 的关系式. 解决：利用1n n n a S S -=-求解.【例7】已知数列{}n a 满足：*1()n n S a n N =-∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.求n a .【同类演练】例15第一问求法4：构造法类型1：构造等比数列凡是出现关于后项和前项的一次递推形式的现象都可以构造等比. 现象1：1,(,)n n a pa q p q +=+为常数【例8】已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式.【同类演练】例18第一问现象2：1(,nn n a pa q p q +=+为常数)【例9】已知数列{}n a 中，111511,()632n n n a a a ++==+，求n a .【同类演练】例17第一问现象3：1(),n n a pa f n p +=+为常数【例10】已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式.现象4：21,(,)n n n a pa qa p q ++=+为常数【例11】已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求n a .类型2：构造等差数列题目中出现后项与前项分式递推形式可以构造等差. 解决办法：取倒数【例12】已知在数列{}n a 中*111,()21nn n a a a n N a +==∈+.（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 若13521211,(1)(1)(1)(1)n n n nP b b b b b a -=+=++++，求证：n P >三． 非常规数列的求和常用的求和方法一般有四种： 方法1：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的拆项公式有：（1）111)1(1+-=+n n n n ；（2）1111()()n n k k n n k =-++（3）)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n（4（5）!)!1(!n n n n -+=⋅ （6）11log log log n n n na a a a ++=- 、【例13】（2011新课标）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和【例14】等差数列{}n a 中211a =，32624a a a =+-，其前n 项和为n S .（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足111n n b S +=-，其前n 项和为n T ，求证：*3()4n T n N <∈.【例15】已知数列{}n a 的前n 项和*1,1,(1)()n n n S a S na n n n N ==--∈. （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前前n 项和为n T .方法2：错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和.即{}{}1122,,.n n n n n a b a b a b a b S +++等差等比求的和 解题步骤：（1）1122n n n S a b a b a b =+++，将式子两边同时乘以{}n b 的公比q ，得到n qS .（2）用n n qS S -（3）利用等比数列求和公式求解.【例16】（2011辽宁理）已知等差数列{}n a 满足2680,10a a a =+=-.（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 求数列1{}2nn a -的前n 项和.【例17】已知数列{}n a 满足*1112,2()2n n n a a a n N +==-∈（1） 求证：数列{}2nn a 是等差数列；（2） 求数列{}n a 的前n 项和n S .【例18】已知数列{}n a 的前n 项和2*4()n S n n n N =+∈，数列{}n b 满足111,21n n b b b +==+.（1） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2） 设(3)(1)4n n n a b c -+=，求数列{}n c 的前n 项和n T ..方法3：分组求和法适用于可以将数列适当拆开，分为几个等差，等比或常见的数列，先分别求和，然后在合并，形如：{},{}{}n n n n a b a b +其中为等差数列，为等比数列【例19】已知数列等差数列{}n a 满足：5269,14a a a =+=.（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ..方法4：倒序相加法如果一个数列{}n a ，与首末位置等“距离”的两项和相等，那么这个数列可以采用倒序来求和.一般使用于组合数列与等差数列求和.【例20】已知a xy =lg ，n n n n n y y x y x x S lg lg lg lg 221++++=-- （0>x 、0>y ）求n S已知递增等比数列}{n a ，公比为q ，满足28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项.（1） 求数列}{n a 的通项公式；（2） 若n n n n n b b b b S a a b ++++== 32121,log ，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值.已知数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且13a =，11b =，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =（1）求n a ，n b ；（2）求证：1211134+++<n S S S在数列}{n a 中，n n n n a n a a 21)11(,111+++==+ （1）设na b n n =，求数列}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n a 的前n 项和nS已知数列}{n a 的前n 项和 ,3,2,1,4232=+⋅-=n a S n n n ．(1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设n T 为数列}4{-n S 的前n 项和，求⋅n T。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中常见且重要的一个概念。
在数列中，如果相邻的两项之间的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列有很多应用，例如在数学、物理、工程等领域中都能见到它的身影。
本文将对等差数列的定义、常见知识点以及一些定理进行总结。
1. 等差数列的定义等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差都相等的数列。
设数列A的公差为d，首项为a₁，则数列A的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ为数列A的第n项，n为项数。
2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式是指数列前n项的和。
设数列A的首项为a₁，公差为d，数列的前n项和为Sn，那么有如下公式：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，n为项数，aₙ为数列A的第n项。
3. 等差数列的性质(1) 通项公式的推导：设数列A的首项为a₁，公差为d，根据等差数列的定义，可以得到递推公式：aₙ = aₙ₋₁ + d。
通过数学归纳法可以证明等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1) * d。
(2) 首项与末项求和：等差数列的首项与末项之和等于所有项之和的一半，即a₁ + aₙ = Sn/2。
(3) 任意三项求和：对于等差数列中的任意三项aᵢ、aₙ、aₙ，其和满足如下关系：aᵢ + aₙ + aₙ = 3a〈(i+j+k)/3〉，其中，a〈(i+j+k)/3〉表示等差数列中下标为⌈(i+j+k)/3⌉的项。
(4) 项数与公差求和：对于等差数列，项数与公差的乘积等于数列中所有项的和与项数之积减去首项，即n * d = Sn - a₁。
4. 等差数列的常见定理(1) 等差中项定理：在等差数列中，任意三项构成的两个连续子列之和相等。
即对于等差数列中的任意三项aᵢ、aₙ、aₙ，有aᵢ + aₙ =2a〈(i+j)/2〉。
(2) 等差数列的均值定理：等差数列的任意k项的和与这k项的平均值之积等于这k项中间项的平方，即aᵢ + aᵢ₊₁ + ... + aₙ = (j-i+1)a〈(i+j)/2〉。
完整版等差数列知识点总结
完整版等差数列知识点总结等差数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对等差数列的定义、通项公式、前n项和等差数列的性质等知识点进行全面总结。
一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中相邻两项之差都相等的数列。
数列中的每一项我们称之为等差数列的项，其中第一项通常用a1表示，等差用d表示。
例如，数列2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中a1=2，d=3。
二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指根据等差数列的首项和公差，求出任意一项的求值公式。
通项公式的推导有多种方法，这里我们介绍其中一种常用的方法。
设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d根据这个公式，我们可以轻松地求得等差数列中任意一项的值。
三、等差数列前n项和公式在等差数列中，求前n项和也是一个常见的问题。
我们可以通过求和公式来解决这个问题。
设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，前n项和用Sn表示，则前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)利用前n项和公式，我们可以方便地求得等差数列的前n项和。
四、等差数列的性质等差数列具有一些特点和性质，我们在解题过程中可以利用它们来简化计算。
1. 通项差是公差的倍数：an - an-1 = d这个性质意味着等差数列中，相邻两项之差都是公差的倍数。
2. 对称性：an = a1 + (n-1)d，an+k = a1 + (n+k-1)d根据等差数列的通项公式，我们可以发现等差数列具有对称性。
一个等差数列中的第k项和倒数第k项之和等于第一项与最后一项之和。
3. 求和公式与项数有关：Sn = (n/2)(a1 + an)求和公式中的项数n对和值Sn有影响，这个公式可以帮助我们快速计算一个等差数列的前n项和。
五、等差数列的应用领域等差数列在数学中有广泛的应用，它们不仅仅出现在数学题目中，还出现在其他许多领域。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中的任意两个相邻的项之间的差值相等，这个相等的差值就称为等差数列的公差。
如果一个数列满足这个条件，那么它就是等差数列。
等差数列通常用字母a表示首项，用d表示公差，那么等差数列的一般形式为：a，a+d，a+2d，a+3d，……，a+nd。
在等差数列中，第n项可以用通项公式来表示，通项公式的一般形式为：an = a + (n-1)d。
其中，an表示等差数列的第n项。
通过通项公式，我们就可以计算出等差数列中任意一项的值。
二、等差数列的性质1. 等差数列的性质非常特殊，其中最重要的性质是每一个相邻项之间的差值都相等，这个差值就是等差数列的公差。
这个性质对于理解等差数列非常重要，通过这个性质，我们能够确定等差数列的公差，从而得知数列中任意一项的值。
2. 等差数列的首项和公差决定了整个数列的特征，因此在解题中需要对首项和公差进行准确的把握。
3. 等差数列是数学中非常常见的一种数列，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、化学、经济学等领域也有着重要的作用。
因此掌握等差数列的性质对于学生来说是非常重要的。
三、等差数列的常用公式1. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式是解决等差数列问题的重要公式，它可以用来计算等差数列的前n项和。
等差数列的前n项和公式的一般形式为：Sn = (a1+an) * n / 2。
2. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是解决等差数列问题的另一个重要公式，它可以用来计算等差数列中任意一项的值。
等差数列的通项公式的一般形式为：an = a + (n-1)d。
通过通项公式，我们可以方便地计算出等差数列中第n项的值。
3. 等差数列的公式变形在解题过程中，有时候需要对等差数列的公式进行变形，比如把通项公式化简为递推公式等。
对于掌握等差数列的解题技巧非常重要。
四、等差数列的解题技巧1. 掌握等差数列的通项公式和前n项和公式是解题的基础，因此要熟练掌握这两个公式的应用。
完整版)等差数列知识点总结
完整版)等差数列知识点总结等差数列是一种数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
可以用递推公式表示为an - an-1 = d（d为常数）（n≥2）。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d = dn + a1 - d（首项为a1，公差为d，末项为an）。
另外，等差数列还有等差中项，即an - am / (n-m)。
如果a、A、b成等差数列，那么A 叫做a与b的等差中项，即A = (a+b) / 2 或 2A = a + b。
等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an) / 2 = n / 2 (2a1 + (n-1)d) = (2a1 + (n-1)d)n / 2.等差数列的证明方法有定义法、等差中项法、通项公式法和前n项和公式法。
等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为a-3d，a-d，a+d，a+3d…（公差为2d）。
等差数列的性质有：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d = dn + a1 - d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn = n(a1 + an) / 2 = n / 2 (2a1 + (n-1)d) = (2a1 + (n-1)d)n / 2是关于n的二次函数且常数项为a1.的通项公式和第一项。
根据已知条件，可以列出以下方程组：a1d a2110d33解得：d3，a18所以，{an的通项公式为an83(n1)，第一项为a18.2.若等差数列{an的前6项依次为2，5，8，11，14，17，求该数列的通项公式和第100项。
总结等差数列知识点归纳
总结等差数列知识点归纳等差数列是数学中常见且重要的概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
通过对等差数列的学习和理解，我们可以更好地掌握数列的性质和特点，进一步深入研究数学问题。
下面将总结等差数列的知识点，归纳为以下几个方面。
一、等差数列的定义和性质1. 等差数列的定义：等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的差都相等。
2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d。
3. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则等差数列的前n项和公式为：Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2。
二、求等差数列的项数和公差1. 已知首项和末项求项数：设等差数列的首项为a₁，末项为aₙ，项数为n，则项数n可由公式n=(aₙ-a₁)/d+1求得。
2. 已知首项和项数求末项：设等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，则末项aₙ可由公式aₙ=a₁+(n-1)d求得。
3. 已知首项和公差求项数：设等差数列的首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则项数n可由公式n=(aₙ-a₁)/d+1求得。
4. 已知首项和末项求公差：设等差数列的首项为a₁，末项为aₙ，公差为d，则公差d可由公式d=(aₙ-a₁)/(n-1)求得。
三、常见问题实例分析1. 求等差数列的和：根据前n项和的公式Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2，即可求得等差数列的前n项和。
2. 求等差数列中某一项的值：根据等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，将对应的n值代入，即可求得所需项的值。
3. 求等差数列中第一次出现满足某条件的项数：根据等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，代入满足条件的项的值，解方程即可求得。
四、应用领域实例展示1. 数学中的应用：等差数列广泛应用于数学中的数列求和、方程求解、数值推测等问题，帮助我们更好地理解和解决数学难题。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结一、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
例如：数列 2，4，6，8，10就是一个公差为 2 的等差数列。
二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 an 表示第 n 项的值，a1 表示首项，n 表示项数，d 表示公差。
通项公式的推导：第 2 项：a2 ＝ a1 ＋ d第 3 项：a3 ＝ a2 ＋ d ＝（a1 ＋ d) ＋ d ＝ a1 ＋ 2d第 4 项：a4 ＝ a3 ＋ d ＝（a1 ＋ 2d) ＋ d ＝ a1 ＋ 3d第 n 项：an ＝ a1 ＋（n 1)d通过通项公式，我们可以根据首项、公差和项数求出任意一项的值。
三、等差数列的性质1、若 m，n，p，q ∈ N+ ，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am ＋ an ＝ ap ＋ aq 。
例如：在等差数列中，若 a3 ＋ a8 ＝ 10 ，a5 ＋ a6 也等于 10 。
2、若数列{an}是等差数列，公差为 d ，则 ak，ak ＋ m，ak ＋ 2m，（k，m ∈ N+ ）仍为等差数列，且公差为 md 。
3、若数列{an}是等差数列，Sn 表示前 n 项和，则 Sk，S2k Sk，S3k S2k ，仍为等差数列。
4、若数列{an}，｛bn}均为等差数列，公差分别为 d1 ，d2 ，则数列{pan ＋ qbn}（p，q 为常数）仍为等差数列，且公差为 pd1 ＋ qd2 。
四、等差数列的前 n 项和公式等差数列的前 n 项和公式为：Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 或 Sn ＝ na1 ＋n(n 1)d ／ 2 。
前 n 项和公式的推导：Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋＋ an将通项公式 an ＝ a1 ＋（n 1)d 代入上式：Sn ＝ a1 ＋（a1 ＋ d) ＋（a1 ＋ 2d) ＋＋ a1 ＋（n 1)d将上式倒序相加：Sn ＝ a1 ＋（n 1)d ＋ a1 ＋（n 2)d ＋＋（a1 ＋ d) ＋ a12Sn ＝ 2a1 ＋（n 1)d ＋ 2a1 ＋（n 1)d ＋＋ 2a1 ＋（n 1)d（共 n 个）2Sn ＝ n2a1 ＋（n 1)dSn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2又因为 an ＝ a1 ＋（n 1)d ，所以 Sn ＝ na1 ＋ n(n 1)d ／ 2 。
等差数列知识点总结
例1：求等差数列首项为2，公差为3的前10项的和。
解析：根据列和公式Sn = (a1 + an) * n / 2，代入已知条件，得到Sn = (2 + (2 + 3*(10-1))) * 10 / 2 = 55。
例2：已知等差数列的首项为4，末项为49，公差为5，求该数列共有多少项。
解析：根据项数公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件，得到49 = 4 + (n-1)*5，解方程可得n = 10。
例3：已知等差数列的首项为-1，公差为2，求该数列的第15项的值。
解析：根据通项公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件，得到a15 = -1 + (15-1)*2 = 27。
通过以上例题解析，我们可以看到等差数列的定义、性质和应用方法。等差数列在数学中有着广泛的应用，例如在几何题、物理问题等方面。掌握等差数列的知识，对于理解数学的思维方式和解决实际问题都具有重要意义。
等差数列知识点总结
等差数列在数学中占据着重要的地位，它不仅是数学学科自身的基础概念，也在实际生活和其他学科中具有广泛应用。本文将总结等差数列的定义、性质和常见问题，并提供相关例题进行解析，帮助读者深入理解和掌握等差数列的知识。
一、等差数列的定义
等差数列是指数列中任意两项之间的差恒定的一种数列。它的一般形式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。
2.求项数：当已知等差数列的首项、末项和公差时，可以通过项数公式an = a1 + (n-1)d来计算项数。
3.求前n项和：对于已知等差数列的首项、末项和项数时，可以利用列和公式Sn = (a1 + an) * n / 2来求解前n项的和。
等差数列知识点总结2024
引言概述：等差数列是高中数学中常见的数列类型，它具有一定的规律性和特征。
在本文中，将详细阐述等差数列的定义、性质以及常见的求和公式和应用。
通过深入的探讨，希望读者能够更好地理解等差数列，并在解题过程中能够更加熟练和灵活地应用。
正文内容：一、等差数列的定义1. 等差数列的概念：等差数列是指由一项到另一项之间公差相等的数列。
2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
3. 等差数列的递推公式：等差数列的递推公式指的是通过前一项求得下一项的关系式，即aₙ₊₁ = aₙ + d。
二、等差数列的性质1. 等差数列的对称性：对于等差数列中的任意两项aₙ和aₙ，有aₙ + aₙ = aₙ₊ₙ。
2. 等差数列的性质：等差数列的任意三项aₙ、aₙ和aₙ，若满足aₙ - aₙ = aₙ - aₙ，则这三项成等差数列。
3. 等差数列的等差中项：等差数列的等差中项指的是等差数列中的两项之和等于中间的项，如aₙ + aₙ = 2aₙ。
4. 等差数列的等差数列和等比数列的关系：若等差数列的首项从1开始，公差为1，则得到的数列为等比数列。
5. 等差数列的性质推论：等差数列的前n项和Sn可以通过等差数列的首项a₁和末项aₙ求和公式得到，即Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)。
三、等差数列的求和公式1. 等差数列前n项和的通项公式：等差数列的前n项和Sn可以通过等差数列的首项a₁和公差d的关系得到，即Sn =(n/2)(2a₁ + (n-1)d)。
2. 等差数列的常用求和公式：常用的等差数列求和公式有等差数列的前n项和公式和等差数列的末项和首项差的公式。
3. 等差数列的前n项和与末项和的关系：等差数列的前n项和Sn等于首项和末项和之和，即Sn = a₁ + aₙ。
四、等差数列的应用1. 等差数列在数学问题中的运用：等差数列在数学问题中的应用非常广泛，如等差数列求和、等差数列求项、等差数列求公差等。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中常见且重要的概念，它在数学、物理、经济学等领域都有广泛应用。
了解等差数列的性质和运算规律对于理解数学问题和解题非常有帮助。
本文将对等差数列的定义、通项公式、求和公式以及常见问题进行总结。
一、等差数列的定义等差数列由一系列有规律的数构成，这些数之间的差值保持不变。
等差数列的全体数可以用以下表示形式来描述：an = a1 + (n - 1)d其中an表示等差数列的第n个数，a1表示等差数列的首项，d表示公差，n表示项数。
二、等差数列的性质1. 公差等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。
公差可以为正、零或负。
当公差为正时，数列递增；当公差为负时，数列递减。
2. 通项公式等差数列的通项公式用来表示数列中任意一项与首项之间的关系。
通项公式可表示为：an = a1 + (n - 1)d3. 前n项和等差数列前n项和表示数列的前n项之和，通常用Sn表示。
前n 项和公式可表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
三、等差数列的运算规律1. 求任意项的值根据通项公式，我们可以计算等差数列中任意一项的值。
已知首项a1、公差d和项数n，可以使用以下公式求得第n项的值：an = a1 + (n - 1)d2. 求前n项和已知首项a1、公差d和项数n，可以使用前n项和公式计算等差数列的前n项和Sn。
具体计算步骤如下：（1）求得第n项an的值；（2）代入前n项和公式，得到Sn的值。
3. 求公差如果已知等差数列的两个相邻项或任意两项的值，可以通过求差的方式计算出公差。
公式如下：d = an - an-1四、等差数列的常见问题1. 求等差数列的第n项的值已知首项a1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算等差数列的第n项的值。
具体计算步骤如下：an = a1 + (n - 1)d2. 求等差数列的前n项和已知首项a1、公差d和项数n，可以使用前n项和公式计算等差数列的前n项和Sn。
等差列数知识点总结
等差列数知识点总结一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中任意相邻两项的差都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则数列中的任意一项可以表示为an=a1+(n-1)d。
其中，an为数列中的第n项。
二、等差数列的性质1. 公差的性质：等差数列的任意两项之差都是公差d。
证明：假设等差数列的第m项和第n项分别为am和an，则am-an=(m-n)d。
根据等差数列的定义，可以得到m-n为正整数，所以am-an为d的整数倍，即am和an的差是公差d的倍数。
2. 等差数列的性质：等差数列的任意三项构成一个等差数列。
证明：设等差数列的首项为a1，公差为d。
那么等差数列中的任意三项分别是a1，a1+d，a1+2d。
这三项的差值分别是d，d，d，所以它们构成一个等差数列。
3. 等差数列的性质：等差数列中间项的平均值等于首项和末项的平均值。
证明：设等差数列的首项为a1，末项为an，中间一项为ak。
那么ak=(a1+an)/2，即中间一项的值等于首项和末项的平均值。
4. 等差数列的性质：等差数列的前n项和等于首项和末项的和乘以项数的一半。
证明：等差数列的前n项和为S_n=(a1+an)n/2。
5. 等差数列的性质：等差数列中，如果an是第m项，则它也是倒数第(m+1)项。
证明：设等差数列的首项为a1，公差为d，第m项为am。
根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可以得到倒数第(m+1)项为a(n-m)=a1+(n-m-1)d。
通过计算可以证明am=a(n-m)。
6. 等差数列的性质：对等差数列中的每一项进行等差放大后，得到的数列也是等差数列。
证明：设等差数列的首项为a1，公差为d。
对等差数列中的每一项进行等差放大后得到的数列为a1*d，(a1+d)*d，(a1+2d)*d。
根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可以得到等差数列的任意一项(an)*d=a1*d+(n-1)d*d，即等差数列中的每一项进行等差放大后得到的数列也是等差数列。
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第一讲 数列定义及其性质一、基本概念：1、通项公式：n a ；2、前n 项和：n S3、关系：1(2)n n n a S S n -=-≥ 二、性质：1、单调性：增数列：1n n a a ->；减数列：1n n a a -<；常数列：1n n a a -=2、最值：77878789+++(0)0,00,=0,0,n n a S a a S S S a a a ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪---⎧⎪⎨⎪><⎪⎪⎨⎪><⎪⎪⎪⎪⎩⎩最大值：减数列最小值：增数列最大值：若最大，则若或最大，则最小值:与上面相反3、前n 项积n T 有最大值： 三、几种常见数列： 1、-1,7,-13,192、7,77,777, 3、135248，，4、161149，，，5、2468,3153563，，★随堂训练：1、已知数列{}n a 通项公式是231n na n =+，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列2、已知数列{}n a 满足10a >，112n n a a +=，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列3、已知数列{}n a 通项公式是22n a n kn =++，若对任意*n N ∈，都有1n n a a +>成立，则实数k 的取值范围是（ ） 4、已知数列{}n a 通项公式是10,21n n n a T n +=+是数列{}n a 的前n 项积，即123n n T a a a a =，当n T 取到最大值是，n 的值为（ ）5、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值是（ ）等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －m )d ＝p .3．等差中项如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和y 的等差中项，则A ＝x ＋y2.4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd 2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．5．等差数列的前n 项和公式若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －12d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．最值问题在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，② ①＋②得：S n ＝n a 1＋a n2. 两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 ． 四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．基础训练：（公式的运用，定义的把握）1．已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=3，则公差d 的值为（ ） A ．B ． 1C ．D ． ﹣12．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+5，则此数列是（ ） A ． 以7为首项，公差为2的等差数列 B ． 以7为首项，公差为5的等差数列 C ． 以5为首项，公差为2的等差数列D ． 不是等差数列3．在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于（ ） A ． 23B ． 24C ． 25D ． 264．两个数1与5的等差中项是（ ） A ． 1B ． 3C ． 2D ．5．（2005•黑龙江）如果数列{a n }是等差数列，则（ ） A ． a 1+a 8＞a 4+a 5B ． a 1+a 8=a 4+a 5C ． a 1+a 8＜a 4+a 5D ． a 1a 8=a 4a 5考点1:等差数列的通项与前n 项和题型1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法 【例1】已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a对应练习：1、已知{}n a 为等差数列，q a p a n m ==,（k n m ,,互不相等），求k a .2、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.题型2：已知前n 项和n S 及其某项，求项数. 【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=求出1a 及d ，代入n S 可求项数n ； ⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出n a a +1，代入n S 可求项数n . 【例2】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n .4、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，100,7,141===n S a a ，则=n .题型3：求等差数列的前n 项和【解题思路】（1）利用n S 求出n a ，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题. （2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例3】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，212n n S n -=.（1） 321a a a ++； ⑵求10321a a a a ++++ ；⑶求n a a a a ++++ 321.练习：对应练习：5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10,10010010==S S ，求110S .考点2 ：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；2、中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列；3、通项公式法：b kn a n +=（b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列；4、项和公式法：Bn An S n +=2（B A ,是常数，0≠A ）⇔{}n a 是等差数列.【例4】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n nS b nn .求证：数列{}n b 是等差数列.对应练习：6、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n pna S n n ，.21a a = （1） 常数p 的值； （2） 证：数列{}n a 是等差数列.考点3 :等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例5】1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .对应练习：7、含12+n 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）.A n n 12+ .B n n 1+ .C n n 1- .D nn 21+ 8.设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a .考点4： 等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用n a 与n S 的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出n T 后，判断n T 的单调性.【例6】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S n 211212+=；数列{}n b 满足：113=b ， n n n b b b -=++122，其前9项和为.153⑴ 数列{}n a 、{}n b 的通项公式；⑵设n T 为数列{}n c 的前n 项和，)12)(112(6--=n n n b a c ，求使不等式57kT n >对+∈∀N n 都成立的最大正整数k 的值.课后练习：1.(2010广雅中学)设数列{}n a 是等差数列，且28a =-，155a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则A ．1011S S =B ．1011S S >C ．910S S =D ．910S S <2.在等差数列{}n a 中，1205=a ，则=+++8642a a a a .3.数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .4.已知等差数列{}n a 共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .5.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = .对应练习：9.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n .⑴数列{}n a 的通项公式；⑵ 数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k ka a 对任意不小于k 的正整数都成立若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由。