3.2.3《直线的一般式方程》

注：对于直线方程的一般式，一般作如下 约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序 排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数 项一般不出现分数；无特别说明时，最好 将所求直线方程的结果写成一般式。
求直线的一般式方程 Ax By C 0(在A, B都不为零时)
的斜率和截距的方法：
A （1）直线的斜率 k＝－ B （2）直线在y轴上的截距b C C y 令x=0，解出 值，则 b B B (3) 直线与x轴的截距a 令y=0，解出 x C 值，则 a C A A
例3：设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1） y=2m-6根据下列条件确定m的值（1）l在x轴上的 截距是-3；（2）斜率是-1。 解：（1）由题意得
(2)由题意得
例3 已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0 和l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2， 求a的值.
M={(x，y)| Ax+By+C=0 }的几何意义如 何？
思考2:如何由直线的一般式方程 Ax+By+C=0，求直线的斜率及在两坐 标轴上的截距？
思考2：对于任意一个二元一次方程 Ax By C 0 （A，方程变为 y=- xB B C A 表示过点(0,- ),斜率为- 的直线 B B C （A 0) B=0 时,方程变为 x=A 表示垂直于x轴的一条直线
②上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？
? x+ ? y+ ? =0
y y1 k ( x x1 )
kx (1) y y1 kx1 0
kx (1) y b 0
( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0
2已知直线Ax+By+C=0 ①当B≠0时，斜率是多少？当B=0呢？
答：B≠0时，k= -A/B；B=0时，斜率不存在；
②系数取什么值时，方程表示通过原点的直 线？
答：C=0时，表示直线过原点。
思考：利用直线方程的一般式，求过点（0，3） 并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。
解：设直线为Ax+By+C=0， ∵直线过点（0，3）代入直线方程 得3B= -C， B= －C/3 又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B 由三角形面积为6得
2.当 A 0，B 0，C为任意实数 时，方程表示的直线与x轴垂直； 3.当 A 0，B 0，C 0时，方程表示的直线与x轴______ ； 重合 4.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直线与y轴重合 ； 5.当 C 0, A, B不同时为0 时，方程表示的直线过原点.
思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 （2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。 我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）叫做 直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是 一一对应。
知识探究（二）：一般式方程的变式探究
思考1:设A，B不同时为0，那么集合
Ax+By+C=0
㈡讲解新课： ①直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于x，y的一 次方程。
⑴直线和Y轴相交时：此时倾斜斜角α≠π/2，直线的斜 率k存在，直线可表示成y =k x+b（是否是二元一次方程？） ⑵直线和Y轴平行（包括重合）时：此时倾斜角α=π/2， 直线的斜率k不存在，不能用y =ｋｘ＋ｂ表示，可以表示 为 x - a=0,亦可看作y的系数为0的二元一次方程(x-a+0y=0) 。
例4 已知直线l1：x-ay-1=0和
l2:a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
巩固训练（二）
设直线l的方程为Ax+By+c=0（A，B不同时为 零） 根据下列各位置特征，写出A，B，C应满足的 关系： C=0 直线l过原点:____________ A+B+C=0 直线l过点(1,1):___________ A=0,B=0,C=0 直线l平行于 轴:___________ A=0,B=0,C=0 直线l平行于轴:____________
思考5:设直线l1、 l2的方程分别为 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 在什么条件下有l1⊥l2？
A1A2+B1B2=0
理论迁移
例1 已知直线经过点A（6，-4）， 4 斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方 3 程.
例2 把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的 斜率以及它在x轴与y轴上的截距， 并画出图形.
3· 2
8，9，10
结论：任何一条直线的方程都是关于ｘ，ｙ的二元一次方程。 ②任何关于x，y的一次方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零） 的图象是一条直线 ⑴B≠0时，方程化成 它表示为斜率为 k＝－ A B ,纵截距为

这是直线的斜截 式，
C B
的直线。
⑵B＝0时，由于A，B不同时为零所以A≠0，此时，Ax+By+ C=0可化为x= -C / A，它表示为与Y轴平行（当C=0时）或重合 （当C=0时）的直线。
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 a b
bx ay ( ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。
知识探究（三）：直线方程的一般式
思考1:直线的点斜式、斜截式、两 点式、截距式方程都是关于x，y的 方程，这些方程所属的类型是什么？ 思考2:二元一次方程的一般形式是 什么？
3
y x O
∴A=±C/4 ∴方程为
所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0
1、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A，B不同时为零）的两 方面含义：
(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 （2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线
2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。
布置作业：
3.2.3
直线的一般式方程
问题提出
1.直线方程有点斜式、斜截式、 两点式、截距式等基本形式，这些 方程的外在形式分别是什么?
(一)填空
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 已知条件
(x0,y0) , k k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)
标准方程
适用范围
y-y0=k(x-x0) 有斜率的直线 y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b
思考3:当A，B，C分别为何值时，直 线Ax+By+C=0平行于x轴？平行于y轴？ 与x轴重合？与y轴重合？过原点？
思考4:过点P(x0，y0)，且与直线l： Ax+By+C=0平行的直线方程如何？
探究：在方程 Ax By C 0 中，
1.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直线与x轴 平行 ；
有斜率的直线
不垂直于x,y轴 的直线
不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线
x轴上截距a y轴上截距b
（ 过点 x0 , y0） 与x轴垂直的直线可表示成 x x0，
（ 过点 x0 , y0） 与y轴垂直的直线可表示成 y y0。
2.从事物的个性与共性，对立与统一的观点看问题， 我们希望这些直线方程能统一为某个一般形式， 对此我们从理论上作些探究.