人教B版2019高中数学必修二学案：1.1.4 投影与直观图_含答案

1.1.4 投影与直观图
[学习目标] 1.了解中心投影与平行投影.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.3.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.
[知识链接]
1.三角形的面积S ＝1
2ah (其中a 为底边长，h 为底边上的高).
2.梯形的面积S ＝1
2(a ＋b )h (其中a 、b 为两底长，h 为高).
[预习导引] 1.平行投影
已知图形F ，直线l 与平面α相交.过F 上任意一点M 作直线MM ′平行于l ，交平面α于点M ′，则点M ′叫做点M 在平面α内关于直线l 的平行投影(或象).如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线l 的平行投影构成图形F ′，则F ′叫做图形F 在α内关于直线l 的平行投影. 2.平行投影的性质
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质： (1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段； (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； (4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比. 3.中心投影
一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影.
4.水平放置的平面图形的直观图的画法
(1)表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.
(2)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段，平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.
(3)对于图形中与x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线，再借助于所作的平行线确定端点在直观图中的位置.
要点一 中心投影与平行投影 例1 下列说法：
①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；
②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线； ③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D
解析 平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.故3种说法都正确.
规律方法 1.考察一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断.
2.平行投影需注意图形、投射线、投射面之间的位置关系，位置发生改变，一般情况下投影也会改变.
3.中心投影与人的视觉效果一致，解题时可结合生活实际作出判断.
跟踪演练1 如图所示，这是圆桌正上方的灯泡(看做一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成的阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2 m ，桌面距离地面1 m ，若灯泡距离地面3 m ，则地面上阴影部分的面积为________(忽略桌脚).
答案 0.81π m 2
解析 设地面阴影圆的半径为x ，则有0.6x ＝23，∴x ＝0.9，∴阴影圆的面积为S ＝πx 2＝0.81π m 2.
要点二 画水平放置的平面图形的直观图 例2 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.
(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝1
2OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并
使C ′D ′＝CD .
(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图. 规律方法 1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行.
2.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.
跟踪演练2 用斜二测画法画如图所示边长为4 cm 的水平放置的正三角形的直观图.
解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴.
(2)画对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.
在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝OB ＝OC ＝2 cm ，在y ′轴上取O ′A ′＝1
2OA ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三
角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示. 要点三 由直观图还原平面图形
例3 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为( )
A.24
a 2 B.22a 2
C.a2
D.2a2
答案 B
解析
由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·22a＝22a2.
规律方法由直观图还原平面图形关键有两点：
(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段扩大为原来的2倍；
(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置.
跟踪演练3一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为()
A.2
B. 2
C.2 2
D.4
答案 D
解析如图，由斜二测画法原理知，
原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，
不一样的是两个梯形的高
原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的2倍
由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形O′A′B′C′面积的22倍，梯形O′A′B′C′的面积为2，所以原梯形的面积是4.
要点四空间几何体的直观图
例4画一个正五棱柱的直观图(尺寸自定)
解(1)画轴.画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示.
(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱.过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，
并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正五棱柱的高.
(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示.
规律方法 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.
2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变.”
跟踪演练4画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.
解画法：(1)画轴.
画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1).
(2)画底面.
以O为中心在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.
(3)画顶点：在z轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高.
(4)成图：顺次连接P A、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图(2).
1.一条直线在平面上的正投影是()
A.直线
B.点
C.线段
D.直线或点
答案 D
解析当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置关系时的正投影均为直线.
2.关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是()
A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图可能不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
答案 B
3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD 为( )
A.平行四边形
B.梯形
C.菱形
D.矩形
答案 D
解析 因为∠D ′A ′B ′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB ＝90°，又因四边形A ′B ′C ′D ′为平行四边形，所以原四边形ABCD 为矩形.
4.如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为________.
答案 10
解析 由四边形OPQR 的直观图可知原四边形是矩形，且OP ＝3，OR ＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.
5.如图所示的直观图△A ′O ′B ′，其平面图形的面积为________.
答案 6
解析 由直观图可知其对应的平面图形AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝3，OA ＝4，∴S △AOB ＝1
2
OA ·OB ＝6.
1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间的关系为
S 直S 原＝24
. 2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.。