2017-2018学年苏教版高中数学必修四全册教案

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高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1.3平行截割定理学案新人教B版选修4-1(2021学年)

2017－２０18学年高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理１.1．3 平行截割定理学案新人教B版选修4-1编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2０17-2018学年高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理 1.1．３平行截割定理学案新人教B版选修4-１)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.1。

3 平行截割定理错误!［读教材·填要点]1.平行截割定理(1)定理的内容:三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例.(２）符号语言表示：如图,若l1∥ｌ2∥l3,则错误!=错误!。

２．平行截割定理的推论(1）推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）,所得的对应线段成比例．（2)符号语言表示:如图,若l1∥l2∥l3,则错误!＝错误!=错误!。

［小问题·大思维]1．在平行截割定理中，被截的两条直线m,n应满足什么条件？提示:被截取的两条直线m、n可以平行，也可以相交,但它们必须与已知的平行直线a、b、c都相交．２．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”,是否仍然成立?提示:仍然成立.错误!利用定理证明“比例式”[例１］已知：如图,l1∥ｌ2∥ｌ3,＼f（ＡB，BC）=错误!。

求证：＼f（ＤE,DＦ）＝错误!。

［思路点拨］本题考查平行截割定理及比例的基本性质.解答本题需要利用定理证得错误!=错误!，然后利用比例的有关性质求出错误!即可.［精解详析] ∵ｌ1∥ｌ2∥ｌ3,∴ＡBBC＝错误!=错误!.∴错误!＝错误!,错误!=错误!,即错误!＝错误!,∴错误!=错误!。

2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例2.7.1点到直线的距离公式课件北师大版必修4

��
; 反之,若直线的斜率 k=
��
��
, 则向量a=(m,n)一定
1
2
【做一做2-1】直线2x-y-1=0的一个法向量是( ) A.(2,-1) B.(2,1) C.(-1,2) D.(1,2) 答案:A 【做一做2-2】已知直线l经过点A(1,-2),且直线l的一个法向量 n=(2,3),则点B(2,3)到直线l的距离是 .
∴所求直线的斜率为 5.
1
题型一
题型二
题型三
又所求直线过点 A(2, -1), ∴所求直线方程为 y-(-1)= 5 (�� − 2), 即 x-5y-7=0. (2)(方法一)设所求直线上任意一点 P(x, y). 由题意, 知��⊥a, 即��· a=0. ∵ �� = (�� − 2, �� + 1),a=(5,1),
2.7.1
点到直线的距离公式
1.理解直线的法向量的意义. 2.掌握点到直线的距离公式的向量证明方法. 3.会求直线的方向向量、法向量及点到直线的距离.
1
2
1. 点到直线的距离公式若 M(x0 , y0 )是平面上一定点, 它到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=
|��0 + ��0 +�� | ��2 +��2
解析:(方法一)设直线方程为 y-2=k (x-1), 由点到直线的距离公式有 d=
|��-2|
2
,
�� +1
所以 d2 (k 2 +1)=(k-2)2. 所以(d2 -1)k 2 +4k+d2 -4=0, 此方程有解, 故 Δ≥0,解得 d≤ 5, 当距离为 5时最大, 此时 k=− 2 , 所以直线方程为 x+2y-5=0.

2017-2018学年高一数学教学案：第一章 §7 第1课时正切函数的定义正切函数的图像与性质

第1课时正切函数的定义正切函数的图像与性质[核心必知]1．正切函数(1)定义：如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，唯一确定比值b a .根据函数的定义，比值b a是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan_α，其中α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .(2)与正弦、余弦函数的关系：sin xcos x＝tan_x ．(3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．(4)正切值在各象限内的符号如图． 2．正切线单位圆与x 轴正半轴交于点A ，过点A 作x 轴的垂线AT ，与角α的终边或其反向延长线交于点T .则称线段AT 为角α的正切线．当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在．3续表[问题思考]1．你能描述正切曲线的特征吗？提示：正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心．2．正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？提示：不是．正切函数定义域是{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，正切曲线在每一个开区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的．3．函数y ＝|tan x |的周期是π2吗？提示：不是．y ＝|tan x |的周期仍为π.讲一讲1．已知tan α＝2，利用三角函数的定义求sin α和cos α. [尝试解答] 在α的终边上取一点P (a ，2a )且a ≠0，则有x ＝a ，y ＝2a ，r ＝a 2＋4a 2＝5|a |. ∵tan α＝2>0，∴α在第一象限或第三象限．当α在第一象限时，a >0，则r ＝5a . ∴sin α＝y r＝2a 5a＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55. 当α在第三象限时，a <0，则r ＝－5a . ∴sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.1．若P (x ，y )是角α终边上任一点，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，其中r ＝x 2＋y 2.2．当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论．练一练1．角α的终边经过点P (－b ，4)且cos α＝－35，求tan α的值．解：由已知可知点P 在第二象限，∴b ＞0. ∵cos α＝－35，∴－b b 2＋16＝－35，解得b ＝3，tan α＝－43.讲一讲2．画出函数y ＝|tan x |的图像，并根据图像写出使y ≤1的x 的集合． [尝试解答] ∵y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ， k π≤x ＜k π＋π2，（k ∈Z ），－tan x ， k π－π2＜x ＜k π，（k ∈Z ），画出其图像，如图所示实线部分．由图像可知x 的集合为{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }．1．三点两线画图法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等．练一练2．[多维思考] 根据讲2中函数y ＝|tan x |的图像，讨论该函数的性质．解：(1)定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }．(2)值域：[0，＋∞)．(3)周期性：是周期函数，最小正周期为π. (4)奇偶性：图像关于y 轴对称，函数是偶函数． (5)单调性：在每一个区间(－π2＋k π，k π](k ∈Z )上是减少的，在每一个区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增加的．(6)对称性：对称轴x ＝k π2，k ∈Z .讲一讲3．(1)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调区间．(2)比较tan 21π4与tan 17π5的大小．[尝试解答] (1)∵y ＝tan x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增加的，∴－π2＋k π＜12x －π4＜π2＋k π，k ∈Z .∴2k π－π2＜x ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，即函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛－π2＋2k π，⎭⎪⎫3π2＋2k π(k ∈Z )． (2)tan 21π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋5π＝tan π4， tan 17π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋2π5＝tan 2π5.又∵函数y ＝tan x 在(0，π2)内单调递增，而0<π4<2π5<π2，∴tan π4<tan 2π5，即tan 21π4<tan 17π5.1．正切函数在每一个单调区间内都是增加的，在整个定义域内不是增加的，另外正切函数不存在减区间．2．对于函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”思想，求得x 的范围即可．3．比较两个正切函数值的大小，要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内两角的正切值，再利用正切函数的单调性比较大小．练一练3．函数f (x )＝tan(2x －π3)的单调递增区间为________．解析：由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k ×π2－π12＜x ＜k ×π2＋512π(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间为(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )．答案：(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )求函数y ＝11－tan x 的定义域．[错解] 由1－tan x ≠0得tan x ≠1，解得x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }．[错因] 求函数的定义域不仅考虑使函数式有意义，还得考虑正切函数本身固有的x ≠k π＋π2，k ∈Z 这一条件．上面的解法只考虑了1－tan x ≠0，而没有考虑x ≠k π＋π2，k ∈Z ，因而是错误的．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－tan x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .1．函数y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A ∵y ＝tan(x ＋π)＝tan x . ∴此函数是奇函数．2．函数y ＝tan(x ＋π4)的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z解析：选 D 由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z .3．已知角α的终边上一点P (－2，1)，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12解析：选D tan α＝y x ＝1－2＝－12. 4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．解析：∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增加的， ∴0≤tan x ≤1. 答案：[0，1]5．比较大小：tan 2________tan 9. 解析：∵tan 9＝tan(－2π＋9)，而π2＜2＜－2π＋9＜π，且y ＝tan x 在(π2，π)内是增加的．∴tan 2＜tan(－2π＋9)，即tan 2＜tan 9. 答案：＜6．利用正切函数的图像作出y ＝tan x ＋|tan x |的图像，并判断此函数的周期性．解：∵当x ∈(k π－π2，k π]时，y ＝tan x ≤0，当x ∈(k π，k π＋π2)时，y ＝tan x ＞0，∴y ＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈（k π－π2，k π]，k ∈Z ，2tan x ，x ∈（k π，k π＋π2），∈Z .图像如图所示．由y ＝tan x ＋|tan x |的图像可知，它是周期函数，周期为π.一、选择题1．已知θ是第二象限角，则( ) A ．tan θ2＞0 B ．tan θ2＜0C ．tan θ2≤0D ．tan θ2的符号不确定解析：选A ∵θ是第二象限角， ∴θ2是第一或第三象限角， ∴tan θ2＞0.2．函数y ＝2tan(2x －π4)的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈Z1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z 解析：选B 由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 3．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．[－1，1] 解析：选C ∵－1≤sin x ≤1， ∴－π2<－1≤sin x ≤1<π2.∵y ＝tan x 在(－π2，π2)上是增加的．∴y ∈[－tan 1，tan 1]． 4．函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的( )解析：选C f (x )＝sin x|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，cos x >0－tan x ，cos x <0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π.二、填空题5．若tan x ≥－3，则x 的取值范围是________．解析：1作出y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图像，如图所示．令y ＝－3，得x ＝－π3，∴在(－π2，π2)中满足不等式tan x ≥－3的x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，π2. 由正切函数周期性，可知：原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )6．函数y ＝lg(tan x )的单调增区间是________．解析：函数y ＝lg(tan x )有意义，则tan x >0， ∴函数的增区间为(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 7．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上交点个数是________．解析：在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，tan x <sin x ，所以y ＝sin x 与y＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上只有一个交点(0，0)．答案：18．已知函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ，则函数的对称中心是________．解析：y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.∵y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0， ∴令12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .∴y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0，k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z ) 三、解答题9．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，f (－2π5)＝7，求f (2 012π5)．解：设g (x )＝a sin x ＋b tan x ，因为sin x 与tan x 都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即g (－x )＋g (x )＝0，故f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋1＋g (x )＋1＝2，又易得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫402π＋2π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＝－5. 10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1， 3 ]． ∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43；当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 .。

2017-2018学年高中数学北师大版四教学案：第二章§3第1课时数乘向量含答案

第1课时数乘向量［核心必知]1．数乘向量(1)定义:一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向分别为：①长度:|λa|＝|λ||a|;②方向:当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0,方向任意．（2）几何意义：λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ〉0）或反方向(λ〈0）上伸长(|λ|>1）或压缩(｜λ｜〈1)为原来的|λ|倍．(3)运算律设a，b为向量,λ，μ为实数．①结合律：λ（μa）＝(λμ)a；②第一分配律:（λ＋μ）a＝λa＋μa；③第二分配律:λ（a＋b）＝λa＋λb．2．向量的线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算（或线性组合）．3．向量共线定理判定定理a是一个非零向量,若存在一个实数λ，使得b ＝λa,则向量b与非零向量a共线性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa[问题思考]1．数乘向量是数量还是向量?提示:数乘向量仍是一个向量，它既有大小又有方向，且与原向量共线．2．当λ＝0时,λa＝0，那么当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0，对吗?提示:正确．3．向量共线定量为什么规定a是非零向量？提示：是为了保证λ的存在性与唯一性．若a＝b＝0时，实数λ仍然存在,但λ是任意实数,不唯一；若a＝0，b≠0时,则不存在实数λ，使b＝λa.讲一讲1．已知a、b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由．（1）2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的两倍；(2)－2a与5a的方向相反,且－2a的模是5a的模的错误!倍；（3）－错误!a与错误!a是一对相反向量；（4）a－b与－(b－a)是一对相反向量．［尝试解答] （1）正确,∵2〉0,∴2a与a的方向相同,且｜2a｜＝2|a｜；(2）正确，∵－2〈0，5>0，∴－2a与5a的方向相反，又错误!＝错误!＝错误!,∴|－2a|＝错误!×｜5a｜；(3）正确，因为｜－12a｜＝错误!｜a|＝|错误!a|，且－错误!a与a反向，错误!a与a同向；（4）错误,∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a）是相等向量,而不是相反向量．理解数乘向量要抓住两点:一是大小，二是方向．设λ,μ∈R，a≠0若λμ<0，则λa与μa的方向相反，若λμ〉0，则λa与μa的方向相同；若λμ＝0，则λa，μa至少有一个为0;当λμ≠0时，错误!＝错误!。

2017-2018学年高中数学北师大版四教学案：第一章§3弧度制含答案

［核心必知］1．度量角的单位制（1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2）弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角,它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制,叫作弧度制．2．角度与弧度的互化（1）角度制与弧度制的互化（换算)180°＝π_rad;1°＝错误!rad＝0.017 45 rad；1 rad＝错误!＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r,弧长为l，α为其圆心角，则［问题思考]1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？提示：相同．在公式｜α|＝错误!中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？提示：不是同一个角.2°是角度制,2是弧度制,2 rad约为115°。

3．390°可以写成360°＋错误!吗?提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．讲一讲1．（1）把112°30′化为弧度；（2)－错误!rad化为度．［尝试解答］(1）∵1°＝错误!rad，∴112°30′＝112。

5°＝112.5×π180rad＝错误!rad.（2）∵1 rad＝错误!°，∴－错误!rad＝－错误!×错误!°＝－75°.1．将角度制化为弧度制,当角度制中含有“分”“秒"单位时，应先将它们统一转化为“度”,再利用1°＝错误!rad化为弧度便可．2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式,如无特殊要求，不必把π写成小数．练一练1．将下列角度与弧度互化．(1）20°；（2)错误!；（3）8 rad解:（1)20°＝20×错误!＝错误!，(2)错误!＝错误!×180°＝165°。

2017-2018学年人教版高中数学必修一全册教案【湖南用】

2017-2018学年人教版高中数学必修1全册教案课题：第一章第一节第一课时§1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标： l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重难点1、教学重点：集合的含义与表示方法.2、教学难点：表示法的恰当选择. 三.教学准备1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪. 四. 教学过程(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面8个实例： (1)数组1、3、5、7； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形； (5)太平洋的鱼；(6)衡钢中学的所有学生； (7)方程2560x x -+=的所有实数根； (8)不等式30x ->的所有解；2．教师组织学生讨论：这8个实例的共同特征是什么? 3.每个学生进行思索，并进行归纳总结，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示.(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流；（3）高个子的人；（4）小于2004的数；（5）和2004非常接近的数. 让学生充分发表自己的见解.3. 举一反三:让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4. 让学生完成教材第5页练习第1题.5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A 组第1题. （四）例题分析1.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题： (1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法、描述法和图示法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚四种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。

2017-2018高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.3.2圆内接四边形的性质与判定新人教B选修4-1(1)

证明比例线段或比例式通常利用三角形相似来解决，而证明三角形相似，常利用圆内接四边形的性质寻找角之间的关系．
3．试证明：在圆内接四边形 ABCD 中， AC·BD＝AD·BC＋AB·CD.
证明：如图，在 AC 上取点 E，使∠ADE＝∠1. 又∠3＝∠4，∴△ADE∽△BDC.
∴AADE＝BBDC，
(1)求证：FB＝FC； (2)求证：FB2＝FA·FD； (3)若 AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝ 6 cm，求 AD 的长．
解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC， ∴∠EAD＝∠DAC. ∵四边形 AFBC 内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC. ∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB. ∴FB＝FC. (2)证明：∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC， ∠AFB＝∠BFD， ∴△FBA∽△FDB.∴FFDB＝FFAB，∴FB2＝FA·FD.
[精解详析] (1)连接 AE，AF，AC，AD，则∠BDA＝∠AEC，∠ACB＝∠AFD. 又∵∠DBA＝∠CBA，∴ AD＝ AE . ∴AD＝AE，∴△ACE≌△AFD. 故 CE＝DF. (2)由(1)∠BDA＝∠AEC，∠ACB＝∠AFD，又∵DF＝CE，∴△ACE≌△AFD， ∴AD＝AE，∴∠DBA＝∠CBA.
相切，切点为 A，∠MAB＝35°，则∠D＝
()
A．35° C．125°
B．90° D．150°
解析：连接 BD，则∠MAB＝∠ADB＝35°，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°，所以∠D＝∠ADB＋∠BDC＝125°.
答பைடு நூலகம்：C
2．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠DCE＝
50°，则∠BOD 等于

2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第1章章末小结知识整合与阶段检测缺答案

［对应学生用书P24］一、两个计数原理的应用1．分类计数原理首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类；其次,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．分别属于不同类的两种方法是不同的方法．2．分步计数原理首先根据问题的特点确定一个分步的标准．其次分步时要注意,完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．二、排列与组合概念及公式1．定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素,若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．即排列和顺序有关，组合与顺序无关．2．排列数公式（1)A错误!＝n(n－1）(n－2）…（n－m＋1），规定A错误!＝1。

当m＝n时，A错误!＝n（n－1)（n－2）·…·3·2·1。

（2)A错误!＝错误!，其中A错误!＝n！，0！＝1.三、排列与组合的应用1．在求解排列与组合应用问题时,应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；（3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;（4）列出式子计算并作答．2．处理排列组合的综合性问题,一般思想方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练注意积累分类和分步的基本技能．3．解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略；(2）合理分类和准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4）正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；（6)不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；(8）分排问题直排处理的策略;(9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10)构造模型的策略．四、二项式定理及二项式系数的性质1．二项式定理公式（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n，其中各项的系数C错误!（r＝0，1，2,…，n)称为二项式系数，第r＋1项C r，n a n－r b r称为通项．［说明］(1)二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关,而后者还与a,b的取值有关．（2)运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方程求出r，再求所需的项（或项的系数)．2．二项式系数的性质(1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,体现了组合数性质C错误!＝C错误!.（2)增减性与最大值：当r<错误!时，二项式系数C错误!逐渐增大；当r>错误!时，二项式系数C错误!逐渐减小．当n是偶数时，展开式中间一项T错误!＋1的二项式系数C错误!n 最大；当n是奇数时,展开式中间两项T错误!与T错误!＋1的二项式系数C错误!n,C错误!n相等且最大．(3)各项的二项式系数之和等于2n，即C0n＋C错误!＋C错误!＋…＋C n，n＝2n;奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋….［说明] 与二项展开式各项系数的和或差有关的问题，一般采用赋值法求解．错误!(时间120分钟，满分160分）一、填空题(本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把正确答案填在题中横线上)1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次班会，则不同的选法种数为________．解析：由题意可得不同的选法为C17＝7种．答案：72．(湖南高考改编）错误!5的展开式中x2y3的系数是________．解析:由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C错误!错误!2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20.答案：－203．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是________．解析：设男学生有x人，则女学生有(8－x)人，则C错误!C错误!A错误!＝90，即x(x－1)(8－x）＝30＝2×3×5，所以x＝3，8－x＝5。

2017_2018学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4_2

ax＋by＝m 2．方程组写成矩阵形式为 AZ＝B，其中 A＝ cx＋dy＝n a b x m c d ，称为系数矩阵， Z ＝， B ＝，当 ________ A 可逆时，方 _______ y n
∴3x2－54≠0. ∴ x≠ ± 3 2. 故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠± 3 2}.
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[ 例 3]
3x－2y＝1，－x＋4y＝3.
分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组
[思路点拨]
Dx Dy 求出相应行列式的值，利用 x＝ D ，y＝ D 求
0 . 1
－1 解：(1)二阶行列式 1
1 ＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵 1
1 －2 可逆，逆矩阵为 1 2
1 2 . 1 2
1 (2)二阶行列式 0 a (3)二阶行列式 0
1 a ＝ 1 ≠ 0 ，所以矩阵可逆，逆矩阵为 1 0
a b b 与它的行列式 det( A ) ＝ c d 的意义是 d
不同的．矩阵 A 不是一个数，而是 4 个数按顺序排列成的一个数表，行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．
a (2) c
b ＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积 d
ax＋by＝0 4．对于方程组 cx＋dy＝0
，令
a D＝ c
b ，当 D＝0 时， d
非零解．此方程组有_______
5．二阶矩阵＝
a A＝ c
b －1 det( A ) ≠ 0 可逆的充要条件是 __________ 且 A d

【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页附答案)

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．解析周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．答案红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间．答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________．解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．答案一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．答案 C【探究2】写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．【探究4】已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________．答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确．答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数．答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上．答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限．解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度．【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________．答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一角度与弧度的互化【例1】将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【训练1】将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析－23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错．答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

2017-2018学年高中数学苏教版3教学案：第2章2.22.2.3茎叶图含解析

2．2。

3茎叶图预习课本P60～61，思考并完成以下问题1．怎样制作茎叶图？2．用茎叶图刻画数据有哪些优缺点?错误!1．茎叶图的制作步骤（1）将数据分为“茎”“叶”两部分．若数据是两位数，一般将两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶．(2）将所有的茎按大小顺序（一般是由小到大的顺序)自上而下排成一列，茎相同的共用一个茎，即剔除重复的数字，再画上一条竖线作为分界线，区分茎和叶．(3)将各个数据的“叶”按一定顺序在分界线的另一侧对应茎处同行列出．2．茎叶图刻画数据的优缺点优(1）所有的信息都可以从茎叶图中得点到．（2）茎叶图便于记录和表示．缺点当样本数据很多时，茎叶图的效果就不是很好了。

错误!1．下列关于茎叶图的叙述正确的是________．①将数据按位数进行比较,将大小基本不变或变化不大的作为一个主杆（茎)，将变化大的位数作为分枝(叶），列在主杆的后面；②茎叶图只可以分析单组数据，不能对两组数据进行比较；③茎叶图不能表示三位数以上的数据；④画图时茎要按照从小到大的顺序从下向上列出，共茎的叶可以随意同行列出;⑤对于重复的数据，只算一个．答案：①2.下面茎叶图中所记录的原始数据有____个．答案:63．数据101，123,125,143,150，151，152，153的茎叶图中,茎应取________．答案：10,12,14，15制作茎叶图［典例］某中学高二(2)班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩情况如下:甲的得分：95,81,75,89，71,65，76，88，94，110，107；乙的得分：83,86,93，99，88，103，98,114，98,79，101。

画出两人数学成绩的茎叶图，请根据茎叶图对两人的成绩进行比较．［解］用中间的数字表示两位同学得分的十位数字和百位数字，两边的数字分别表示两人每场数学考试成绩的个位数字．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图：从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，集中在90多分；甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称，集中在80多分．因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好．画茎叶图应注意的事项(1)将每个数据分为茎(高位）和叶（低位）两部分．一般来说数据是两位数的，十位数字为“茎"，个位数字为“叶”；如果是小数,通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶"．解题时要根据数据特点合理选择茎和叶．(2)将表示茎的数字按大小顺序由上到下排成一列．（3)将表示叶的数字写在茎的左、右两边，因此会随样本的改变而改变．［活学活用]1．某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况如下：14，15,15,20，23,23，34，36,38，45，45,50。

2017-2018学年高中数学第一章直线、多边形、圆 1 第二课时平行线分线段成比例定理北师大版选修4-1

．
解析：过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M，
∵点 E 是 BD 的中点，
∴在△BDM 中，BF＝FM.
∵点 D 是 AC 的中点，
∴在△CAF 中，CM＝MF.
∴BFFC＝FMB＋FMC＝12. 答案：12
三、解答题 9．已知线段 OA⊥OB，点 C 为 OB 中点，D 为线
段 OA 上一点．连接 AC，BD 交于点 P.如图，当 OA＝OB，且 D 为 OA 中点时，求APCP的值．解：过 D 作 DE∥CO 交 AC 于 E，因为 D 为 OA 中点，所以 AE＝CE＝12AC，DCOE＝12，因为点 C 为 OB 中点，所以 BC＝CO，DBCE＝12，
对于 C，根据平行线分线段成比例定理得，此结论正确；
对于 D，由平行四边形性质知，正确．
答案：B
4．如图，在△ABC 中，AE∶EB＝1∶3，BD∶
DC＝2∶1，AD 与 CE 相交于 F，则FECF＋
FADF的值为
A．12
B．1
C．32
D．2
()
解析：过点 D 作 DG∥AB 交 EC 于 G，则DBEG＝CBDC＝CEGC＝13，而BAEE＝13，即ABEE＝DBEG.∴AE＝DG. ∴AF＝DF，EF＝FG＝CG. ∴FECF＋FADF＝2EEFF＋AAFF＝12＋1＝32. 答案：C
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 上一
点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F，则
下列结论中错误的是
()
A．∠AEF＝∠DEC
B．FA∶CD＝AE∶BC
C．FA∶AB＝FE∶EC
D．AB＝DC
解析：对于 A，根据对顶角相等，此结论正确；

2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦课件新人教B版必修4

=
1 2
+
1-
3 2
sin x+
3 2
-
3+
3 2
cos x=0.
(2)原式=sin[(��+��)+��s]i-n2��c��os(��+��)sin�� =sin(��+��)coss��i��n-c��o�� s(��+��)sin�� =sin[(s��in+��)-��] = ssiinn��.
��
+
π 3
=
.
答案:4-130 3
4.sin(��+30°co)s-s��in(��-30°)=
.
解析:sin(��+30°co)s-s��in(��-30°) =sin��cos30°+cos��sin30°co-s(s��in��cos30°-cos��sin30°) =2cos��c��ossin��30°=2sin 30°=1.
3.1.2 两角和与差的正弦
课标阐释
思维脉络
1.掌握两角和与差的正弦公式. 2.能运用两角和与差的正弦公式化简、求值、证明.
两角和与差的正弦公式
【问题思考】
1.(1)计算sin 15°的值.
(2)试用sin α,cos α,sin β,cos β表示sin(α+β)和sin(α-β).
提示:(1)sin 15°=cos 75°=cos(45°+30°)=

苏教版高中数学必修四全册课件优秀课件(任意角等33个)29

练习1已知
3 π c o s π α co s α =- α ,π求 4 5 2
的值.
3 π 解: ∵ c o s=- ,π 5 2
∴
π π π c o s ( ) c o sc o s + s i ns i n 4 4 4
5 2 5 1 2 3 c o s , , π, s in π 1 3 1 3 2 cos( ) cos cos sin sin 4 5 3 12 ( )( ) ( )( ) 5 13 5 13 20 36 65 65 56 65
OA OB cos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)
例1.利用差角余弦公式求co s1 5 的值
o s 1 5 c o s4 5 3 0 分析: c
c o s 1 5 c o s6 4 5 0
√2
cos15°=cos（45°-30°) = cos45°cos30°+sin45°sin30°
A
y
1
α -β B β 1 x
α
-1 o
cos cos sin sin
∴
-1
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
当α-β是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ∈[0，2π），使cosθ=cos(α-β) 若θ ∈[0，π ]，则 OA OB cos cos( ) 若θ∈[π,2π)，则2π -θ∈[0，π ]，且
√2 √3
1
2
2
2 2
√6 + √2 4
3 π 5 3 已知 s i n , π , c o s , π , π , 例2、 , 5 2 1 3 2 求 c o s ( ) 的值 .

苏教版必修4高中数学第3章《三角恒等变换》本章知识整合

【金版学案】2017-2018学年高中数学第3章三角恒等变换本章知识整合苏教版必修4网络构建求值题三角函数的求值主要有两类题型，给角求值与给值求值．给角求值一般是利用和、差、倍角公式进行变换，使其出现特殊角，若为非特殊角，则应变为可消去或约分的情况，从而求出其值．给值求值一般应先化简所求的式子，弄清实际所求，或变化已知的式子，寻找已知与所求的联系，再求值．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，求cos(α＋β)．分析：由已知条件要求cos(α＋β)，应注意到角之间的关系，α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，可应用两角差的余弦公式求得．解析：由已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π得－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，－π4，∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45. 由β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513.由⎝⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝α＋β，得 cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β²sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513³35＋1213³⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365.◎规律总结：给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．变式训练1．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，求tan α²tan β 的值．解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15，②①＋②得cos αcos β＝415，②－①得sin αsin β＝－115，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.求sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值．解析：方法一原式＝12(1－cos 40°)＋12(1＋cos 160°)＋32²(sin 100°－sin 60°)＝1＋12(cos 160°－cos 40°)＋32sin 100°－34＝14－sin 100°sin 60°＋32sin 100° ＝14. 方法二原式＝sin 220°＋cos 2(60°＋20°)＋3sin 20°²cos(60°＋20°) ＝sin 220°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 20°－32sin 20°2＋3sin 20°²⎝ ⎛12cos 20°⎭⎪⎫－32sin 20° ＝14sin 220°＋14cos 220° ＝14. 方法三令M ＝sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°，则其对偶式N ＝cos 220°＋sin 280°＋3cos 20°sin 80°.因为M ＋N ＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋3²(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin 80°)＝2＋3sin 100°，①M －N ＝(sin 220°－cos 220°)＋(cos 280°－sin 280°)＋3(s in 20°cos 80°－cos20°sin 80°)＝－cos 40°＋cos 160°－3sin 60° ＝－2sin 100°sin 60°－32＝－3sin 100°－32， ②所以①＋②得2M ＝12，M ＝14，即sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值为14.◎规律总结：“给角求值”问题，一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要认真观察，综合三角公式转化为特殊角并且清除非特殊角的三角函数而得解．变式训练2．求3tan 12°－3sin 12°²（4cos 212°－2）的值．解析：原式＝3tan 12°－32sin 12°cos 24°＝（3tan 12°－3）²2cos 12°2sin 12°²cos 12°²2cos 24°＝23sin 12°－6cos 12°sin 48°＝43（sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°）sin 48°＝－43sin 48°sin 48°＝－4 3.一元二次方程mx 2＋(2m －3)x ＋(m －2)＝0的两根为tan α，tan β.求tan(α＋β)的最小值．解析：∵mx 2＋(2m －3)x ＋m －2＝0有两根tan α，tan β，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －3）2－4m （m －2）≥0，m ≠0. 解得m ≤94且m ≠0.由一元二次方程的根与系数的关系得tan α＋tan β＝3－2m m ，tan α²tan β＝m －2m.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3－2mm 1－m －2m＝3－2m 2＝32－m ≥32－94＝－34.故tan(α＋β)的最小值为－34.◎规律总结：数学问题解决的过程实质上是一个等价转化的过程，这一点务必引起高度重视．特别是综合题，条件的使用顺序和转化，以及知识之间的联系，在平时的训练中都要认真体会和总结．变式训练3．如下图，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．解析：本题的实质是已知tan α＝13，tan β＝12，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求α＋β.可通过求tan(α＋β)及(α＋β)的范围来求得α＋β. 由图可知：tan α＝13，tan β＝12且α，β均为锐角．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α²tan β＝13＋121－13³12＝1.而α＋β∈(0，π)，在(0，π)上正切值等于1的角只有π4，∴α＋β＝π4.规律总结：已知三角函数值求角，分三步进行：①先求角α＋β的某一三角函数值；②确定角所在范围(或区间)；③求角的值．化简三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角，统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果要求：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．化简：tan 70°cos 10°²(3tan 20°－1)．分析：先化切为弦，再利用特殊角的特殊值进行转换．解析：tan 70°cos 10°²(3tan 20°－1) ＝sin 70°cos 70°²cos 10°²⎝⎛⎭⎪⎫3²sin 20°cos 20°－1 ＝3cos 10°－cos 10°²sin 70°cos 70°＝3cos 10°－cos 10°cos 20°2sin 10°cos 10°＝3sin 20°－cos 20°2sin 10°＝sin 20°cos 30°－cos 20°sin 30°sin 10°＝sin （20°－30°）sin 10°＝－1.◎规律总结：在三角变换中，有时根据需要，可以将一特殊值还原成某一三角函数值，如：12＝sin π6＝cos π3；1＝tan π4＝sin π2＝2cos π4＝sin 2α＋cos 2α等，如果我们在解题时巧妙地加以运用，往往会出奇制胜．证明题三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，采取化繁为简，左右归一，变更命题等方法，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．条件恒等式的证明则要认真观察、比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径，常用代入法、消去法、两头凑法等．证明：tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x .证明：左边＝sin 32x cos 32x －sinx 2cosx 2＝sin 32x ²cos x 2－cos 32x ²sinx2cos 32x ²cosx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x 212⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x 2＝2sin xcos 2x ＋cos x＝右边．即等式成立．方法技巧：证明三角恒等式，一般是从左证右，从右证左，或是两边分头化简得同一结果．同时要注意“切割化弦”、“化异为同”基本原则的应用．变式训练4．已知tan(α＋β)＝2tan β. 求证：3sin α＝sin(α＋2β)．证明：由已知tan(α＋β)＝2tan β可得 sin （α＋β）cos （α＋β）＝2sin βcos β.∴sin(α＋β)cos β＝2cos(α＋β)sin β. 而sin(α＋2β) ＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β ＝2cos(α＋β)sin β＋cos(α＋β)sin β ＝3cos(α＋β)²sin β. 又sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝cos(α＋β) sin β， ∴3sin α＝sin(α＋2β)．与向量、三角形有关的综合问题设函数f (x )＝a²b ，其中向量a ＝(2cos x ，1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R.(1)若f (x )＝1－3且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求x ； (2)若函数y ＝2sin 2x 的图象按向量c ＝(m ，n )⎝ ⎛⎭⎪⎫|m |<π2平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m ，n 的值．分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力．解析：(1)依题设，f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1－3，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤56π.∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)函数y ＝2sin 2x 的图象按向量c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin[2(x －m )]＋n 的图象，即函数y ＝f (x )的图象．由(1)得f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋1，∵|m |<π2，∴m ＝－π12，n ＝1.◎规律总结：涉及三角函数性质的问题时，常通过三角变换将函数式f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，进而研究相关问题，一定要加强这种训练．向量与三角函数知识的交汇是近几年高考命题的热点，要充分体会向量的工具性作用．变式训练5．已知向量a ＝(3cos x ，2cos x )，b ＝(2sin x ，cos x )，定义函数f (x )＝a ²b . (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调增区间．解析：(1)f (x )＝a ²b ＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得：k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15.(1)求证：tan A ＝2tan B ； (2)设AB ＝3，求AB 边上的高．分析：本题要求能灵活运用两角和与差的有关三角函数公式来求证、求解，且对解三角形也有一定考查．(1)证明：∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25，cos A sin B ＝15⇒tan Atan B ＝2. ∴tan A ＝2tan B .(2)解析：∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34.将tan A ＝2tan B 代入上式并得 2tan 2B －4tan B －1＝0，解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62.∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6. 设AB 边上的高为CD .则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD2＋6.由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.所以AB 边上的高等于2＋ 6.◎规律总结：在三角函数的应用问题中，要根据问题的特点，恰当选择使用两角和(差)、倍角公式．同时，要注意数形结合、方程(组)、等价转化等数学思想的运用．变式训练6．已知角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →²ON →＝－15.(1)求tan 2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解析：(1)∵OM →²ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15，①两边平方得：2sin A cos A ＝－2425.②∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，由①，②解得： sin A ＝35，cos A ＝－45.∴tan A ＝－34，∴tan 2A ＝－247.(2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝cos A －3sin Acos A ＋sin A＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3³⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝13.。

高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(第2课时)三角函数的诱导公式(五～六)课件苏教版必修4

∴cos α＝－13，
∴sinπ2＋α＝cos α＝－13.]
3．已知 sin α＝23，则 cosπ2－α＝ ________.
2 3
[cosπ2－α＝sin α＝23.]
4．若 sin α＝ 55，求sinπ2＋cαossi3nπ－72πα＋ α－1＋ cos3π＋αssinin525π2π＋－αα－ sin72π＋α的值．
诱导公式在三角形中的应用【例 3】在△ABC 中，sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C，试判断△ABC 的形状．思路点拨： sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C ―A―＋―B―＋―C＝―π→ 得B，C关系 ―→ △ABC的形状
[解] ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又∵sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C， ∴sinπ－22C＝sinπ－22B，
教师独具 1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用 (1)利用诱导公式解决化简求值问题． (2)利用诱导公式解决条件求值问题． (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧 π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＝π2－π4－α⇔π4＋α＋ π4－α＝π2，56π＋α－π3＋α＝π2等.
第1章三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式第2课时三角函数的诱导公式(五～六)
学习目标
核心素养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导诱导公式五、六．(难点) 通过学习本节内容提升学生的
2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱数学运算核心素养.

高中数学第一章直线、多边形、圆2.4切割线定理2.5相交弦定理学案北师大版选修4-1(2021学年)

２0１7-20１8学年高中数学第一章直线、多边形、圆2．4 切割线定理2.5 相交弦定理学案北师大版选修4-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（201７－2018学年高中数学第一章直线、多边形、圆 2.4 切割线定理 2.５相交弦定理学案北师大版选修４-1)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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２．4&2。

５切割线定理相交弦定理[对应学生用书P23]错误!1.切割线定理（1)文字语言:过圆外一点作圆的一条切线和一条割线,切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项.(2)符号语言:从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB,T是切点，则ＰT2=ＰA·PB.（３)图形语言：如图所示.推论:过圆外一点作圆的两条割线,在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积,等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理).2．相交弦定理（１)文字语言:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.（2)符号语言:⊙Ｏ的两条弦AＢ和CD相交于圆内的一点Ｐ，则PA·PB=PC·ＰD．(3）图形语言：如图所示.错误!1．由相交弦定理知,垂直于弦的直径平分弦.那么,直径被弦分成的两条线段与弦有何关系?提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项.２.如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PＡ·AB＝PC·CＤ？提示：只有ＰＡ＝PC时才有PA·PB＝PＣ·CＤ成立.[对应学生用书Ｐ２３］切割线定理的应用［例１] 如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A,B两点，AＢ是⊙O2的直径,过Ａ点作⊙O1的切线交⊙O2于点E,并与BＯ１的延长线交于点P。

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2017-2018学年苏教版高中数学必修四全册教案目录第一章三角函数 (1)第1课时 §1.1 任意角.................................................................................................. 1 第2课时 §1.2弧度制 .................................................................................................. 6 第3课时 §1.1 任意角的三角函数（1） .................................................................... 10 第4课时 §1.1 任意角的三角函数（2） .................................................................... 14 第5课时 §1.2.2 同角三角函数关系（1） ................................................................. 19 第6课时 §1.2.2 同角三角函数关系（2） ............................................................. 24 第7课时 §1.2.3 三角函数的诱导公式（1） ........................................................... 28 第8课时 §1.2.3 三角函数的诱导公式（2） ........................................................... 33 第9课时 §1.3.1 三角函数的周期性 ........................................................................ 38 第10课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（1） ...................................................... 43 第11课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（2） ...................................................... 50 第12课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（3） ...................................................... 56 第13课时 §1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象（1）........................................... 60 第14课时 §1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象（2）........................................... 66 第15课时 §1.3.4 三角函数的应用（1） ................................................................. 71 第16课时 §1.3.4 三角函数的应用（2） ................................................................. 76 第二章平面向量 (80)第1课时 §2.1 向量的概念及表示 ............................................................................. 80 第2课时 §2.2向量的加法 ......................................................................................... 85 第3课时 §2.2向量的减法 .. (90)第4课时§2.2向量的数乘 (93)第5课时§2.3.1平面向量基本定理 (97)第6课时§2.3.2向量的坐标表示（1） (100)第7课时§2.3.2向量的坐标表示（2） (105)第9课时§2.4向量的数量积（1） (109)第9课时§2.4向量的数量积（2） (114)第10课时§2.4向量的数量积（3） (119)第11课时§2.5向量的应用 (122)第三章三角恒等变换 (125)第1课时§3.1.1 两角和与差的余弦 (125)第2课时§3.1.2 两角和与差的正弦（1） (128)第3课时§3.1.2 两角和与差的正弦（2） (129)第4课时§3.1.3 两角和与差的正切 (130)第一章三角函数第1课时 §1.1 任意角【教学目标】一、知识与技能1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；象限角、坐标轴上的角的概念；终边相同角的表示方法．2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法．二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想，考虑问题要细致，说理要明确三、情感、态度与价值观：体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。

【教学重点难点】：（1）正角、负角、零角的定义；（2）终边相同的角的表示方法【教学过程】【问题情境】通过周期运动的实例引人三角函数．让学生对本章有一个初步印象．【学生活动】初中我们已给角下了定义．我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置的图形(先后用教具和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)．讲解新课： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角ααα一条射线OA绕着______________________，就形成角α．____ _叫做角α的始边，______叫做角α的终边，_____叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把_______________________叫做正角，把_______________________叫做负角，如并把这个角叫做零角.⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1 角有正负之分2 角可以任意大3 可以为零角2．“象限角及轴线角”建立平面直角坐标系,角的顶点重合于___________，角的始边重合于_______，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,称之为________）3．终边相同的角(1)在平面直角坐标系中作出30 , 390 ， 330 角⑴观察：390 ， 330 角，它们的终边都与________角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0 到360 的角与个周角的和： 390 =______+____360 330 =______+_____360 ⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：例题分析：例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在间的角写出来：（1）（2）（3）。

例3、写出终边在y 轴上的角的集合.引申1：写出所有轴上角的集合引申2：写出四个象限角平分线上角的集合例4、用集合的形式表示象限角)(Z k k ∈}{__________==ββS (1)120(2)640(3)95012'-︒︒-︒360~720-︒︒60︒21-︒36314︒'第一象限的角表示为______________________________ 第二象限的角表示为______________________________ 第三象限的角表示为______________________________ 第四象限的角表示为______________________________ 例5、已知是第二象限角，问是第几象限角？2 是第几象限角？分别加以说明。

练习：书P7例6、如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．区间角的表示：1、逆时针旋转 2、注意从小到大【小结】这节课我们将角的概念进行了推广，主要学习了正角、负角、零角、象限角的概念，以及终边相同角的表示方法．判断一个角是第几象限角，只要把角改写成．的形成，那么0在第几象限，角就是第几象限角．特殊位置及给定区域内的角的表示方法，角的集合的交、并运算，等分角所在象限问题．确定等分角所在象限，关键是看后面部分是否为360°的整数倍．若不是，则需对k 是进行讨论，2ααα)(36000Z k k ∈⋅+α000360α≤<αα想办法把它变为360°的整数倍．作业：书P10第2课时 §1.2弧度制【教学目标】一、知识与技能（1）理解1弧度的角、弧度制的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；（3）熟记特殊角的弧度数。

（4）掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。

二、过程与方法：（1）通过比较引入“弧度制”的概念；（2）通过小组活动，熟练进行角度和弧度的换算。

（3）培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力三、情感、态度与价值观：进一步加强对辩证统一思想的理解。

【教学重点】弧度的意义【教学难点】弧度与角度的换算【教学过程】一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

它的单位是rad 读作弧度如图： AOB=1rad AOC=2rad 周角=2 radol=r C 2ra 1ra r l=2o A A B平角= rad1．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2．角的弧度数的绝对值（为弧长，为半径）3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。