圆锥表面点的投影的作法
机械制图-求作基本体表面点的投影
a
b
求作基本体表面点的投影
2.求作棱锥表面点的投影
M
(N)
D
分析： 棱锥表面上点的投影可在平面上
作辅助线进行求解。
s
sm (n)m na d bc a(c)
b
a
s n c
d
m
b
求作基本体表面点的投影
3.求作圆柱表面点的投影
分析： 圆柱表面上点的投影，在投影面
为圆的投影中，其表面上点的投影都 在该圆上 。
3.如果点所在的面为一般位置平面或者曲面，需要做辅助线或辅助 平面求解。
4.判断点在各个投影面的可见性。
求作基本体表面点的投影
1.求作棱柱表面点的投影
分析： 1.棱柱表面都处于特殊位置，其表
面上的点可利用平面的积聚性求得； 2.点的可见性的判断，面可见，则
点可见，反之不可见。
A (B)
a (b) b
O
A
O1
1′ 3′
a
2′
4′
1(2)
a
3(4)
1″ 3″
a
2″ 4″
求作基本体表面点的投影
4.求作圆锥表面点的投影
分析： 1. 圆锥面三个投影都没有积聚性，
因此圆锥表面上点的投影就不能直接 求得，要采用作辅助素线或辅助圆法 进行求解。
2. 注意在画圆时，半径是从中心线 到轮廓素线，而不是从中心线到点。
s
●
k
(n)
b′ d′
n s● b k d
(N) K●
●
●s
如何在圆锥面上作 直线？
●(n) k b″
过锥顶作一条 素线。
圆的半径？
求作基本体表面点的投影
辅助圆法求圆锥表面点的投影
2. 曲面立体表面的截交线 ⑴ 圆柱 由于圆柱表面的投影具有积聚性，圆柱面在与轴线垂 直的投影面上有积聚性，端面在与轴线平行的投影面 上有积聚性，故可直接用积聚性求圆柱表面的截交线。 根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，所得到的截
1.2.3切割体的投影
用平面切割立体，则该切割面称为截平面，截平面与 立体表面的交线称为截交线，由截交线所围成的平面 称为截断面，如图1-16所示。
棱柱表面是由平面围成的，棱线为平行于轴线的直线， 故截平面与平面立体表面相交，所得截交线的形状是 平面多边形，截平面与棱线的交点为多边形的顶点， 多边形的边是平面立体表面与截平面的交线。
分类 立体图 三视图 截交线形状
截平面垂直 于轴线
圆
截平面倾斜 于轴线 （θ＞α）
椭圆
图1-16 截平面与截交线
由于立体的形状各不相同，以及截平面和立体的相对
位置不同，所以截交线的形状也各不相同。但截交线 都具有以下两个基本通性： ⑴ 公有性 截交线是截平面与立体表面的共有线，截交 线上的点是截平面与立体表面的共有点。 ⑵ 封闭性 由于立体表面是封闭的，所以截交线是封闭 的平面直线（或曲线），截断面是封闭的平面图形。 1. 平面立体的截交线 ⑴ 棱柱
⑵ 棱锥 棱锥的表面由平面所围成，棱线为直线，故截平面与 棱锥相交，所得到的截交线的形状是平面多边形，棱 线与截平面的交点是多边形的顶点，多边形的边是棱
锥表面与截平面的交线，如图1-16所示。 综上所述，求平面立体被切割后的投影主要是求截交 线的投影，而求截交线的实质就是求两平面的交线， 可以根据截交线的共有性和封闭性，利用棱线法，将 线的投影转化为点的投影，具体步骤如下： ① 空间及投影分析。首先，分析截平面与切割体的相 对位置，以便确定截交线的形状；其次，分析截平面 与投影面的相对位置，以便确定截交线的投影特性。 ② 画出截交线的投影。求出截平面与被截棱线的交点， 并判断可见性，然后依次连接各顶点成多边形。 ③ 完善各轮廓投影。
圆锥的投影和平面切割方法
圆锥的投影和平面切割方法圆锥是一种常见的几何形体，具有独特的特点和性质。
在几何学中，研究圆锥的投影和平面切割方法具有重要的理论和实际应用价值。
本文将探讨圆锥的投影和平面切割方法，并介绍相关的概念和定理。
一、圆锥的投影方法1. 平行投影在平行投影中，光线是平行于某一特定方向的。
当光线与圆锥相交时，会得到一种特殊的投影形状。
根据光线相对于圆锥的方向和位置不同，可以得到不同种类的平行投影，如正投影、斜投影等。
2. 中心投影在中心投影中，光线是从一个特定的中心点发出，穿过圆锥上的任意一点，然后投影到一个平面上。
中心投影通常更接近于人眼的观察方式，因此在绘图和设计中较为常用。
3. 透视投影透视投影是模拟人眼观察物体时的视角效果。
在透视投影中，光线是从观察者的位置发出，穿过圆锥某一点，然后投影到一个平面上。
透视投影能够更真实地表现物体的远近和深度感。
二、圆锥的平面切割方法1. 水平切割水平切割是指将圆锥沿着与其底面平行的平面进行切割。
水平切割的结果是一个与圆锥的底面平行的截面，截面为圆形。
2. 垂直切割垂直切割是指将圆锥沿着垂直于其底面的平面进行切割。
垂直切割的结果是一个与圆锥的侧面平行的截面，截面为椭圆形。
3. 斜切割斜切割是指将圆锥沿着与其底面既非水平也非垂直的平面进行切割。
斜切割的结果是一个既不是圆形也不是椭圆形的截面，呈现出各种不规则形状。
三、圆锥投影和平面切割的应用1. 工程绘图在工程绘图中，圆锥的投影和平面切割方法被广泛应用。
通过合理选择投影方法，可以准确地表达物体在不同方向和角度下的形态和结构。
2. 计算机图形学在计算机图形学中，圆锥的投影和平面切割方法也具有重要的应用价值。
通过计算机模拟和算法计算，可以生成各种具有真实感和细节的圆锥图形。
3. 建筑设计在建筑设计中，圆锥的投影和平面切割方法可以用于绘制立体模型和展示建筑物的形状和体积。
通过合理应用平面切割，可以更好地呈现建筑物的结构和空间感。
圆锥表面点的投影的作法
《圆锥表面上点的投影作法》
圆锥体分析
1、圆锥体的形成 2、圆锥体的投影 3、垂直于轴线的截面都是圆 （即纬圆）
动画演示
本节课主题
圆锥表面上点的投影作法
a’
A
a'
a"
a
s
方法一：辅助素线法
辅助素线
a'
b'
a" b"
A
s b a
方法一： 辅助线法
1、分析点在圆锥面上的位置 A点在左前锥面上 2、作辅助素线――必过锥顶 3、应用投影规律，求点的投影 注意点：判别点的投影可见性
方法二：辅助面（纬圆）法
辅助纬圆
a'
a"A a Nhomakorabea方法二：辅助面（纬圆）法
1、分析点在圆锥面上的位置。 A点在左前锥面上 2、作辅助纬圆 ――与轴线垂直 3、应用投影规律求点的投影（纬圆上求点） 注意点：判别点的投影可见性
学生练习：求点A的投影
总结归纳（比较两种方法）
方法一：辅助线法 1、分析点在表面上的位 置 2、作辅助线（必过锥顶） 3、应用投影规律求点的 投影 （辅助线上求点） 方法二：辅助面法 1、分析点在表面上的位 置 2、作辅助面（垂直轴线） 3、应用投影规律求点的 投影 （辅助面上求点）
圆锥及圆锥上点的投影
a'
a"
a
(a) 圆锥面上一点
a
(b) 投影图
课堂总结 圆锥面上点的投影规律
圆锥体三视 图的绘制
圆锥体三视 图的投影特 征
圆锥面上 点的投影
圆锥及圆锥上点的 投影
今天我们将学到什么新知识呢？ 1 圆锥的组成 2 圆锥的投影 3 圆锥投影的画法 4 圆锥上点的投影
1
圆锥的形成
底面
❖ 圆锥的形成
圆锥面
一条母线SA 绕轴线001旋转而成
2 圆锥体的投影分析
圆锥三视图的投影特点
特点：
1、在垂直圆锥轴线的投 影面（如H面）上投影， 图形为与其底面全等的圆 形。 2、其余两投影面的投影 为全等的等腰三角形。
3
圆锥投影的画法
作圆锥的三视图时： 1、应先画圆的中心线和圆锥轴线各投影 2、再从投影为圆的视图画起 3、按圆锥的高度确定锥顶，逐步画出其他视图。
时刻牢记：长对正、高平齐、宽相等
最左素线
最右素线
最前 素线
最前素线
(a) 立体图
(b) 投影图
返回
4
圆锥面上点的投影
●圆锥面上特殊位置点的投影 （圆锥底面上的点）
方法：积聚法
●圆锥面上一般位置点的投影 （圆锥面上的点）
方法：辅助线法（素线法） 辅助面法（纬圆法）
圆锥底面上点的投影
S
s'
s39;'
b s A a
(1) 求圆锥面上点的方法—素线法
M
B m
b
(a) 圆锥面上一点
m' b'
a" b"
m b
(b) 投影图
(2) 求圆锥面上点的方法—纬圆法
A
《圆锥表面上点的投影》教学设计
《圆锥表面上点的投影》教学设计石家庄市裕华区职教中心杜辉平【教材分析】：本课内容使用的教材是全国中等职业技术学校机械类通用教材《机械制图》（第五版）。
由中国劳动社会保障出版社出版。
《圆锥表面点的投影》是第三章第一节中的内容。
点不仅是线、面和立体上最基本的组成元素，而且点的投影特性是线、面投影的画法和分析其投影特性的基础。
圆锥表面上点的投影的求法不仅适用于圆锥，还适用于圆台，球体，圆环等曲面体。
圆锥表面点的投影在机械制图中占有很重要的地位，它是最能培养学生空间想象力和作图能力的一部分。
可以这样说，几何体表面点投影学好了，制图也就入门了，表面点没有学好，制图也就没有入门，其重要性可想而之了。
【教学对象分析】本节课的教学对象是09级机电5班的学生，我同时担任该班班主任，对学生各方面情况了解的更多些。
【教材处理】前面已经学习了平面立体和圆柱的表面点的作法，学生对几何体的方位熟悉，对特殊位置点有了一定的认识，对完成圆锥表面点的投影有一定的帮助，但空间想象力较差，分析问题，解决问题的能力较差。
圆锥表面上点的投影分为两节课完成，本节主要学习圆锥表面上特殊点和辅助素线法求一般位置点。
我对教材的例题，练习做了补充和修改。
在教学过程中尽量用浅显易懂的语言加以叙述，以便于学生的理解掌握。
由浅入深，以引导，启发学生为主，通过学生亲自动手动脑及分组讨论，总结一些窍门，突出重点，突破难点。
【教学目标】：根据本节教材内容和教学大纲的要求，结合学生实际知识水平和理解能力，确定本节课教学目标为：1、知识目标：（1）掌握圆锥的三视图（2）掌握圆锥面上的特殊点的投影作法（3）理解圆锥表面上一般位置点的投影作法――辅助素线法2、能力目标：（1）培养学生观察能力，通过由特殊点到一般点层层深入地学习，认识圆锥表面点的投影。
(2)规范作图。
逐步提高分析和解决问题的能力，以及空间想象能力和空间思维能力。
3、情感目标：（1）培养学生的观察力、分析力和空间想象力，提高学生的审美情趣；（2）发展学生的创新思维；（3）激发学习兴趣，提高自信心，在学习知识同时，渗入德育教育。
基本几何体圆锥的投影
在H面以s为中心，以2、3为 直径画圆，根据长对正求出点m
2
s m
3
根据高平齐、宽相等求出m”
第二章 投 影 基 础
第三节 基本几何体圆锥的投影
举例：常见的圆锥型物体
回转体的投影
第二节
几何体的投影--- 回转体的投影
圆锥体
学习目标：
理解圆锥面的形成和圆锥体的组成; 熟练绘制圆锥体的三视图；
掌握圆锥体表面点的投影作图方法；
一、圆锥面的形成和圆锥体的组成
圆锥面是一母线绕与它相交的轴线旋转而成。 圆锥体的表面是由圆锥面和底面圆组成。
轴线
轮廓素线
二、圆锥体的三视图
1、三视图分析
Z
在与轴线垂直的投影面
上投影为圆（没有积聚性）。
V W
X Y
圆锥的三面投影图
2、作图步骤
（1） 先绘出圆锥的对称 线、回转轴线。
（2）在水平投影面上绘出圆
锥底圆，正面投影和侧面投影
积聚为直线。 (3) 作出锥顶的正面投影和侧
面投影并画出最左、最右和最前、 最后轮廓素线。 Z
V
W
圆锥的投影
X Y
在与轴线垂直的投影面
上投影为圆（没有积聚性）。
V
Z
其余两面投影为底圆的 积聚投影和圆锥面转向素 线的投影，投影形状为等 腰三角形。
X
W
Y
圆锥的三面投影图
三、圆锥表面上点的投影
底面圆 上的点
积聚性
转向素线上的点
圆锥上点 圆锥面 上的点
三等关系
一般位置上的点
例：已知圆锥表面上点M的V面投影m′，求其余两面投影。
s’Leabharlann s”m’m”连接S’ m’并延长到与底面投影 相交于点1’。
基本几何体圆锥的投影
根据高平齐、宽相等求出m”
Z
根据高平齐、宽相等求的1”
一、圆锥面的形成和圆锥体的组成
在与轴线垂直的投影面 三、圆锥表面上点的投影
熟练绘制圆锥体的三视图；
上投影为圆（没有积聚性）。 三、圆锥表面上点的投影
点，连接s” 1”，再根据高平齐求得m”点。
V
第二节 几何体的投影--- 回转体的投影
根据高平齐、宽相等求的1” 点，连接s” 1”，再根据高平齐 求得m”点。
例：已知圆锥表面上点M的V面投影m′，求其余两面投影。
s’
s”
m’ 2’
3’
2
s3
m
过m’点作一与轴线垂直的直线，
m”
与最左、最右素线交于点2’和3’
在H面以s为中心，以2、3为 直径画圆，根据长对正求出点m
根据高平齐、宽相等求出m”
第三节 基本几何体圆锥的投影
圆锥面是一母线绕与它相交的轴线旋转而成。
在与轴线垂直的投影面上投影为圆（没有积聚性）。
圆锥的三面投影图
W
Y
2、作图步骤 （1） 先绘出圆锥的对称
线、回转轴线。
（2）在水平投影面上绘出圆 锥底圆，正面投影和侧面投影 积聚为直线。
(3) 作出锥顶的正面投影和侧 面投影并画出最左、最右和最前、 最后轮廓素线。
轴线轮廓素线二圆锥体的三视图1三视图分析在与轴线垂直的投影面圆锥的三面投影图2作图步骤先绘出圆锥的对称线回转轴线
第二章 投 影 基 础
第三节 基本几何体圆锥的投影
举例：常见的圆锥型物体
回转体的投影
第二节 几何体的投影--- 回转体的投影
圆锥体
学习目标：
理解圆锥面的形成和圆锥体的组成; 熟练绘制圆锥体的三视图； 掌握圆锥体表面点的投影作图方法；
圆锥的投影、截交线及轴侧图
辅助素线法：截交线上任一点M，可看成是圆锥面上某一素线SI与截平面P的交点。因M点在素线SI上，故点M的三面投影分别在该素线的同面投影上。
特殊点
Ⅰ
P
S
Ⅰ
c''
a''
b''
a
b
c'
b'
a'
特殊点
c
一般点
由点连线
整理加深
5.利用辅助平面法(纬圆法)求截交线
a''
b''
c
a
b
c'
b'
a'
c''
特殊点
辅助圆定点
b''
c
a
b
c'
b'
a'
d''
a''
c''
d'
一般点
描深图线
d
例1:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线的空间形状？
截交线的投影特性？
★找特殊点
投 影 图
PV
PV
PV
PV
PV
(3).圆锥截交线的求法 （求共有点的方法） 素线法 纬圆法
作图步骤: 1). 投影分析 2).求特殊位置点：转向轮廓线上的点，分界点 3). 求一般位置点 4). 光滑连接各点 5). 判断可见性 6). 整理轮廓线
4.辅助素线法求截交线
P
兰勃特等角圆锥投影投影原理
兰勃特等角圆锥投影投影原理兰勃特等角圆锥投影是地图制图中常用的一种投影方法，它是一种等角投影，即在投影过程中保持了地球表面上各点之间的角度不变。
这种投影方法的原理是以一个圆锥体将地球包裹起来，然后将圆锥体展开成一个平面，最后在平面上投影出地球表面的各个点。
兰勃特等角圆锥投影的投影原理可以简要概括为以下几个步骤：1. 构建圆锥体：首先，需要将一个圆锥体放置在地球的某个位置上，使得圆锥体的顶点与地球的中心重合，并且圆锥体的轴与地球的自转轴平行。
圆锥体的底面与地球的赤道平行，圆锥体的母线与地球的经线相交。
2. 展开圆锥体：将圆锥体展开成一个平面，这个平面就是地图的投影面。
在展开的过程中，圆锥体的母线会成为投影面上的直线，圆锥体上的经线和纬线会成为投影面上的曲线。
3. 投影地球表面：在投影面上，根据地球表面上各点与圆锥体的交点，确定地球表面上各点的投影位置。
由于兰勃特等角圆锥投影是等角投影，所以投影过程中保持了地球表面上各点之间的角度不变，这样可以使得地图上的角度与实际地球表面上的角度相对应。
兰勃特等角圆锥投影具有以下特点：1. 角度保持：兰勃特等角圆锥投影是等角投影，即保持了地球表面上各点之间的角度不变。
这使得地图上的角度可以准确反映地球表面上的角度，有利于进行角度测量和方向判断。
2. 面积变形：由于圆锥体的展开过程中，圆锥体上的经线和纬线会变成投影面上的曲线，所以在兰勃特等角圆锥投影中，地图的面积会有一定的变形。
一般情况下，离圆锥体顶点越远的地区，面积变形越大。
3. 方向保持：兰勃特等角圆锥投影在赤道附近的方向变形较小，而在赤道附近以外的地区，方向变形较大。
这是由于圆锥体的展开过程中，赤道附近的经线和纬线与投影面的直线夹角较小，而赤道附近以外的经线和纬线与投影面的夹角较大。
兰勃特等角圆锥投影常被用于制作地图，特别是用于制作小范围地图，如国家或地区的地图。
由于兰勃特等角圆锥投影能够保持角度不变，使得地图上的角度可以准确反映地球表面上的角度，因此适用于需要进行角度测量和方向判断的地图制作。
《圆锥面上点的投影作法》教学教案
基本几何体第三节截交线第四章轴测图一、轴侧图的基本知识1轴侧图的形成：轴侧投影面：承载轴侧图的投影面轴侧轴：空间直角坐标轴在轴侧投影面上的投影轴间角：两轴侧轴之间的夹角轴向伸缩系数：轴侧轴上单位长度与空间直角坐标轴上对应单位长度的比值。
OX、OY、OZ的轴向伸缩系数分别用p1、q1、r1来表示。
图1 轴侧图的形成2轴侧图的种类按照投影方向与轴侧投影面的夹角不同分类：正等侧图：轴侧投影方向与轴侧投影面垂直时投影所得到的轴侧图斜轴侧图：轴侧投影方向与轴侧投影面倾斜时投影所得到的轴侧图按照轴向伸缩系数的不同分类：正（或斜）等侧轴侧图：p1=q1=r1，简称正（或斜）等侧图正（或斜）二等侧轴侧图：p1= r1≠q1，简称正（或斜）二侧图正（或斜）三侧轴侧图：p1≠q1≠r1，简称正（或斜）三侧图3轴侧图的基本性质：物体上互相平行的线段，在轴侧图中仍互相平行；物体上平行于坐标轴的线段，在轴侧图中仍平行于相应的轴侧轴，且同一轴向所有线段的轴向伸缩系数相同。
物体上不平行于坐标轴的线段，可以用坐标法确定其两个端点然后连线画出。
物体上不平行于轴侧投影面的平面图形，在轴侧图中变成原形的类似型。
二、正等侧图1、正等轴测图（简称正等测），即它们的轴向伸缩系数p=q=r。
而当p=q=r时，三坐标轴与轴测投影面夹角相等。
如图2所示，p=q=r=0.82,∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=∠X1O1Z1=120°图2 正等轴测投影图的轴间角和轴向伸缩系数图3 正等轴测投影的轴测轴的画法2平面立体正等侧图的画法(1) 坐标法坐标法是根据物体表面上各点的坐标，画出各点的轴测图，然后依次连接各点，即得该物体的轴测图。
【例4-1】用坐标法作长方体的正等测图，如图4-4所示。
（a）已知条件和标注坐标（b）画出长方体底面的轴测图（c）立长方体的高度（d）连接各点加深图线(2) 切割法【例4-2】画出图4-5（a）所示形体的正等轴测图。
圆锥表面点的投影
13
（一） 复习
知识铺垫
14
15
一、让学生们拿出在课前预习 环节分组做好圆锥在课堂上假装不小心将一
滴墨水弄到了模型上。
16
§3.2.2 圆锥表面点的投影
s'
m'
Z
s "
呈新
A
现课
O X
s
YH
YW
启发学生从生活的点滴 中发现问题、思考问题、
2
说课内容
KE选CH用EN教GN材RIRONG
《机械制图》
高等教育出版社
主编: 王幼龙
第三章 正投影法与三视图 第二节 基本几合体
二、圆锥表面点的投影
3
教材分析
《机械制图》是一门既有理论，又有实 践的重要技术基础课。本节教材中所谈 到的圆锥面上点的投影作法需要前面所 学三面投影的知识为基础。也为学习识
Y
俯视图任务四和左视图任务五上
作为拓展课内堂容展。示
X
Y
s' Z s"
O
s
Y
m
Y
23
（四） 能力拓展
任务解析
问题一：该已知点不在主视图上能否做辅助线? 问题二：辅助线怎么做?
以问题为出发点，鼓励学生积极参与、积 极思考，发挥学生的主体作用。
24
（四） 能力拓展
合作完成
教师：走下讲台，巡视
对C层同学给予帮助； 组对内B层成同员学取给长予补鼓短励，；共 同提高对。A层同学给予肯定。
着重演示、讲解。
教师： 演 示 点 拨 解决关键问题
学生： 观察 掌握 理解
X 1'
O
s
1m
Y
常用地图投影之圆锥投影
常用地图投影之圆锥投影基本概念定义设想用一个圆锥套在地球椭球体上,而把地球椭球上经纬网投影到圆锥面上,然后沿着某一条母线(经线)将圆锥面切开而展成平面,就得到圆锥投影。
圆锥面和地球椭球体相切称为切圆锥投影,圆锥面和地球椭球相割时称为割圆锥投影。
分类按圆锥面与地球椭球体的相对位置分 :正轴圆锥投影圆锥轴与地球椭球体的旋转轴相一致；横轴圆锥投影圆锥轴与地球椭球体的长轴相一致；斜轴圆锥投影圆锥轴既不和椭球体的旋转轴重合，也不与它的长轴相重合。
按变形性质分等角圆锥投影正轴等角圆锥投影也称为Lambert正形投影。
等面积圆锥投影正轴等面积割圆锥投影也称为Albers投影。
任意投影特例是等距离投影。
正轴圆锥的基本公式极坐标公式为：ρ=f(ϕ)δ=α⋅λ其中δ表示两条经线夹角在平面上的投影。
α表示δ与λ的比值，小于1λ表示地球椭球体上两经线的夹角。
直角坐标公式为:x=ρs−ρcosδy=ρsinδ其中ρs表示制图区域最低纬线的投影半径在该投影中,经纬线投影后呈正交，故a、b就是是m、n, 即经纬线方向就是主方向。
正等角圆锥投影基本公式：根据等角条件 a=b或 m=n，得：dρ/(Mdϕ)=αρ/rdρ/ρ=αMdϕ/(Ncosϕ)将M，N 公式带入上式，并取积分可得：ρ=K/UαK,α称为投影常数U=tg(450+ϕ/2)/tge(450+ψ/2)sinψ=esinϕ当ϕ=00时，K=ρ，故K的几何意义是赤道的投影半径正等角圆锥投影的一般公式如下：δ=α⋅λρ=K/UαU=tg(450+ϕ/2)/tge(450+ψ/2)sinψ=esinϕe=((a2−b2)/a2)1/2x=ρs−ρcosδy=ρsinδm=n=αρ/r=αK/(rUα)p=m2=n2=(αK/(rUα))2ω=0投影常数α,K的确定方法1.单标准纬线正等角圆锥投影:指定制图区域中某一条纬线无长度变形。
2.双标准纬线正等角圆锥投影:指定制图区域中两条纬线无长度变形。
辅助圆法求圆锥表面点的投影
截平面垂直 于轴线
圆
截平面倾斜 于轴线 （θ＞α）
椭圆
三视图
截交线形状
矩形
圆
椭圆
（2） 圆球
从空间形状来看，球体被任何平面切割，截交线都是 圆，但由于截平面的相对位置不同，其截交线的投影 可能是直线、圆或椭圆。
已知圆锥面上有一点M的正面投影m＇，求m、m＇＇，
有两种作辅助线的方法： ⑴ 辅助线法 连接锥顶S和点M并延长，与底面交点为A。如图1-13所 示，在三投影面体系中，连接s＇m＇并延长与底边的 交点为a＇，过a＇向下作垂线与底圆有两个交点，由 于a＇可见，所以与前半个圆的交点为A点的水平投影a， 然后连接sa，m在直线sa上，过m＇向下作垂线，与sa 的交点即为M点的水平投影m，再根据点的投影规律求 出m＇＇，且m＇＇可见。
图1-16 截平面与截交线
由于立体的形状各不相同，以及截平面和立体的相对
位置不同，所以截交线的形状也各不相同。但截交线 都具有以下两个基本通性： ⑴ 公有性 截交线是截平面与立体表面的共有线，截交 线上的点是截平面与立体表面的共有点。 ⑵ 封闭性 由于立体表面是封闭的，所以截交线是封闭 的平面直线（或曲线），截断面是封闭的平面图形。 1. 平面立体的截交线 ⑴ 棱柱
图1-13 用辅助线法求圆锥表面点的投影
3 圆球 圆球可以看成是由一母线圆绕其直径旋转而成。
圆球的三面投影均为与球直径相等的圆，分别是圆球 对三个投影面的转向轮廓线圆的投影，均无积聚性。 所以在圆球表面上取点，除特殊位置点可直接求出之 外，其余处于一般位置的点，需要作辅助圆来求，作 辅助圆的方法有三种：水平圆、正平圆和侧平圆。
兰勃特等角圆锥投影投影原理
兰勃特等角圆锥投影投影原理兰勃特等角圆锥投影是一种常用的地图投影方法，它是在球体表面上进行投影的一种方式。
这种投影方法以18世纪法国地理学家兰勃特的名字命名，因为他首先提出了这种投影方法。
兰勃特等角圆锥投影的原理是将地球表面切割成若干个等角圆锥面，然后将这些圆锥面展开成平面图。
在这种投影方法中，地球的每一个点都被投影到一个圆锥面上，然后再展开到平面上。
兰勃特等角圆锥投影的特点是保持了地图上的角度关系，即保持了地球上不同地区的角度大小。
这意味着在兰勃特等角圆锥投影地图上，两条经线交汇的角度与它们在地球上的角度相等。
这种投影方法可以用来制作世界地图或者区域地图，特别适合用于表示大范围的地理情况。
兰勃特等角圆锥投影的缺点是地图的形状会发生变形，特别是当投影的区域越大时，变形的程度就越大。
这是因为在等角圆锥投影中，地球表面的曲线被展开成平面时会有变形。
在投影的过程中，地球的纬线被拉成了平行线，而经线则变成了弧线。
这样，地球上的地区在投影地图上的形状就会发生变化。
为了减小变形，兰勃特等角圆锥投影通常会选择一个合适的投影中心和投影标准纬线。
投影中心是一个位于地图上的点，它是圆锥面的顶点。
而投影标准纬线则是一个经过投影中心的纬线，它的纬度值被选择为1:1的比例尺下的数值。
通过选择合适的投影中心和投影标准纬线，可以减小地图上的变形程度，使地图更加准确。
兰勃特等角圆锥投影是一种常用的地图投影方法。
它以等角圆锥面的方式将地球表面投影到平面上，保持了地图上的角度关系。
然而，由于投影过程中的变形问题，使用兰勃特等角圆锥投影制作的地图可能会存在一定的形状变化。
为了减小变形，可以选择合适的投影中心和投影标准纬线。
这种投影方法可以用于制作世界地图或者区域地图，能够准确地表示地球上不同地区的地理情况。
5.2.2圆锥面投影及面上取点、取线
m’
m’’
(n’)
(n’’)
n m
圆锥面投影及面上取点、取线
圆锥表面取线
5’ 4’
1’ 2’ 3’
5’’ 4’’
2’’ 结
1. 圆锥的投影特点； 2. 圆锥表面上取点、取线的作图方法。
——素线法、纬圆法
曲线曲面
圆锥面投影及面上取点、取线
目的和要求
掌握圆锥的投影特点和画法； 掌握圆锥表面上取点、取线的作图方法。
圆锥面投影及面上取点、取线
圆锥面是由直母线绕与它相交的轴线旋转而成。 圆锥面与垂直于轴的底平面围成一个正圆锥体。
圆锥面投影及面上取点、取线
圆锥的投影图画法
圆锥面投影及面上取点、取线
圆锥表面取点
《圆锥表面上点的投影》教学设计
《圆锥表面上点的投影》教学设计石家庄市裕华区职教中心杜辉平【教材分析】：本课内容使用的教材是全国中等职业技术学校机械类通用教材《机械制图》（第五版）。
由中国劳动社会保障出版社出版。
《圆锥表面点的投影》是第三章第一节中的内容。
点不仅是线、面和立体上最基本的组成元素，而且点的投影特性是线、面投影的画法和分析其投影特性的基础。
圆锥表面上点的投影的求法不仅适用于圆锥，还适用于圆台，球体，圆环等曲面体。
圆锥表面点的投影在机械制图中占有很重要的地位，它是最能培养学生空间想象力和作图能力的一部分。
可以这样说，几何体表面点投影学好了，制图也就入门了，表面点没有学好，制图也就没有入门，其重要性可想而之了。
【教学对象分析】本节课的教学对象是09级机电5班的学生，我同时担任该班班主任，对学生各方面情况了解的更多些。
【教材处理】前面已经学习了平面立体和圆柱的表面点的作法，学生对几何体的方位熟悉，对特殊位置点有了一定的认识，对完成圆锥表面点的投影有一定的帮助，但空间想象力较差，分析问题，解决问题的能力较差。
圆锥表面上点的投影分为两节课完成，本节主要学习圆锥表面上特殊点和辅助素线法求一般位置点。
我对教材的例题，练习做了补充和修改。
在教学过程中尽量用浅显易懂的语言加以叙述，以便于学生的理解掌握。
由浅入深，以引导，启发学生为主，通过学生亲自动手动脑及分组讨论，总结一些窍门，突出重点，突破难点。
【教学目标】：根据本节教材内容和教学大纲的要求，结合学生实际知识水平和理解能力，确定本节课教学目标为：1、知识目标：（1）掌握圆锥的三视图（2）掌握圆锥面上的特殊点的投影作法（3）理解圆锥表面上一般位置点的投影作法――辅助素线法2、能力目标：（1）培养学生观察能力，通过由特殊点到一般点层层深入地学习，认识圆锥表面点的投影。
(2)规范作图。
逐步提高分析和解决问题的能力，以及空间想象能力和空间思维能力。
3、情感目标：（1）培养学生的观察力、分析力和空间想象力，提高学生的审美情趣；（2）发展学生的创新思维；（3）激发学习兴趣，提高自信心，在学习知识同时，渗入德育教育。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥体的形成
圆锥----由圆锥面、底面 围成 圆锥面---一直线绕与它 相交的轴线回转而成。 圆锥立体分析:当圆锥的 轴线是铅垂线时,底面为 水平面，圆锥面上的所 有素线都是通过锥顶的 直线。
圆锥体的组成及投影
转向轮 廓素线
圆锥的投影分析:
• 底面的水平投影反映实形 为一圆，正面投影和侧面 投影分别重影为一直线；
1、分析点在圆锥面上的位置 A点在左前锥面上 2、作辅助素线――必过锥顶 3、应用投影规律，求点的投影
注意点：判别点的投影可见性
方法二：辅助面;
A
Image
a
注意： 1、辅助面上求点 2、判断点的投影可见性
学生练习：求点B的投影
方法二：辅助面（纬圆）法
1、分析点在圆锥面上的位置。 A点在左前锥面上
a'
圆锥表面点的投影的作法
• 复习：如何求作
圆柱表面上点的
投影？
(m' )
要点：
1、分析表面上的点的
n'
位置。
2、应用投影规律求其
它两个投影。 3、 特点：圆柱各表 m
面均有积聚性。
n
m" (n")
圆锥体分析
a'
1、圆锥体的形成
2、圆锥体的组成及投影
3、圆锥面由辅助线组成
4、垂直于轴线的截面都是圆 （即纬圆）
• 圆锥面的水平投影为一圆， 正面投影和侧面投影分别 画出转向轮廓素线的投影。
No Image
圆锥体三视图
本节课主题
圆锥表面上点的投影作法
方法一：辅助素线法
辅助素线
No a"
b'
b"
A
Image
s
ba
注意： 1 、辅助线上求点 2 、判断点的投影可见性
学生练习：求点A的投影
方法一： 辅助线法
2、作辅助纬圆 ――与轴线垂直 3、应用投影规律求点的投影（纬圆上求点）
注意点：判别点的投影可见性
方法一： 辅助线法
方法二：辅助面（纬圆）法
总结归纳（比较两种方法）
方法一：辅助线法
方法二：辅助面法
1、分析点在表面上的位 置
2、作辅助线（必过锥顶）
3、应用投影规律求点的 投影
（辅助线上求点）
1、分析点在表面上的位 置
2、作辅助面（垂直轴线）
3、应用投影规律求点的 投影
（辅助面上求点）
学生达标练习： 已知圆锥面上点的一面投影，求其另两面投影。
知识强化
1、已知圆锥面上点的一 个投影，求其另外两个 投影。 （辅助线法 ）
2、已知圆锥面上点的一 个投影，求其另外两个 投影。 （辅助面法）
课后预习
课后观察各种球体可能出现的截割
——（夏天切西瓜）
No Image