§3.03 典型周期信号的傅里叶级数
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周期信号的分解-傅里叶级数
傅里叶级数的定义基于三角函数的正 交性，即不同频率的正弦波在时间上 相互独立，且在频率域上相互正交。
傅里叶级数的性质
唯一性
01
对于给定的周期信号，其傅里叶级数展开是唯一的，即不存在
不同的
傅里叶级数展开后的项数越多，其与原信号的误差越小，即收
敛于原信号。
能量守恒
END
THANKS
感谢观看
KEEP VIEW
WENKU DESIGN
WENKU DESIGN
WENKU
REPORTING
https://
图像特征提取
利用傅里叶级数分析图像的频率特性，可以提取图像的特征点、线条 等结构信息，用于图像识别和目标检测。
PART 05
傅里叶级数的限制和挑战
频域混叠问题
当信号的频率成分接近时，傅里 叶级数可能无法准确分辨这些频
率成分，导致频域混叠现象。
频域混叠可能导致信号失真，影 响信号处理和通信系统的性能。
傅里叶变换、小波变换等。这些方法在处理非周期信号、时频分析等方面具有 更好的性能，为信号处理领域的发展做出了重要贡献。
PART 06
傅里叶级数的发展前景
快速傅里叶变换（FFT）算法的发展
快速傅里叶变换（FFT）算法的出现，极大地提 高了傅里叶分析的效率，使其在信号处理、图 像处理、频谱分析等领域得到广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数可以设计各种类型的滤波器，用于提取或 抑制特定频率范围的信号。这在噪声消除、图像处理等领 域有重要应用。
数字信号处理
在数字信号处理中，傅里叶级数的离散形式（离散傅里叶 变换）用于分析数字信号的频域特性，实现信号的频域分 析和滤波等操作。
PART 02
傅里叶级数的性质
唯一性
01
对于给定的周期信号，其傅里叶级数展开是唯一的，即不存在
不同的
傅里叶级数展开后的项数越多，其与原信号的误差越小，即收
敛于原信号。
能量守恒
END
THANKS
感谢观看
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WENKU
REPORTING
https://
图像特征提取
利用傅里叶级数分析图像的频率特性，可以提取图像的特征点、线条 等结构信息，用于图像识别和目标检测。
PART 05
傅里叶级数的限制和挑战
频域混叠问题
当信号的频率成分接近时，傅里 叶级数可能无法准确分辨这些频
率成分，导致频域混叠现象。
频域混叠可能导致信号失真，影 响信号处理和通信系统的性能。
傅里叶变换、小波变换等。这些方法在处理非周期信号、时频分析等方面具有 更好的性能，为信号处理领域的发展做出了重要贡献。
PART 06
傅里叶级数的发展前景
快速傅里叶变换（FFT）算法的发展
快速傅里叶变换（FFT）算法的出现，极大地提 高了傅里叶分析的效率，使其在信号处理、图 像处理、频谱分析等领域得到广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数可以设计各种类型的滤波器，用于提取或 抑制特定频率范围的信号。这在噪声消除、图像处理等领 域有重要应用。
数字信号处理
在数字信号处理中，傅里叶级数的离散形式（离散傅里叶 变换）用于分析数字信号的频域特性，实现信号的频域分 析和滤波等操作。
PART 02
北京邮电大学信号与系统-3.03 典型周期信号的傅里叶级数
15~20,000Hz。
退出
0
3
t
退出
二. 频谱随参数的变化
设 f t 的脉冲高度E不变，脉冲宽度 不变，当周期 T1 取不同的值时，具体看频谱如何变化。
1 1 s , T1 s 20 4
1 1 s , T1 s 20 2 1 s , T1 1s 20
退出
第 8 页
1 1 1. 20 s, T1 4 s
退出
第
周期矩形脉冲信号的功率
1 T 2 2 P f ( t )dt F n 1 T 0 n 1 1 以 s, T1 s为例，取前5 次谐波 20 4 2 2 2 2 2 P5 n F 0 F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 1 8 T1
F ( n 1 )
第 9 页
E E n F n 1 Sa n 1 Sa T1 2 5 5
E
5
2
0 1
谱线在 1的整数倍上， n 1 0， 8， 16， n 1 2 第一个零点： ，即 n 1 40 2 40 40 第一个零点内谱线数 n 5，即五次谐波为 0。 1 8
退出
4.总结
幅度 2 T1 谱线间隔 1 T1
第 12 页
E 当T1 ，时， 1 0， 为无限小， T1 f t 由周期信号 非周期信号。
矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 离散性，谐波性，收敛性
1 对比波形： T1 s 4 1 T2 s 2 T3 1s
退出
第
4.抽样信号(Sampling
退出
0
3
t
退出
二. 频谱随参数的变化
设 f t 的脉冲高度E不变，脉冲宽度 不变，当周期 T1 取不同的值时，具体看频谱如何变化。
1 1 s , T1 s 20 4
1 1 s , T1 s 20 2 1 s , T1 1s 20
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第 8 页
1 1 1. 20 s, T1 4 s
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第
周期矩形脉冲信号的功率
1 T 2 2 P f ( t )dt F n 1 T 0 n 1 1 以 s, T1 s为例，取前5 次谐波 20 4 2 2 2 2 2 P5 n F 0 F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 1 8 T1
F ( n 1 )
第 9 页
E E n F n 1 Sa n 1 Sa T1 2 5 5
E
5
2
0 1
谱线在 1的整数倍上， n 1 0， 8， 16， n 1 2 第一个零点： ，即 n 1 40 2 40 40 第一个零点内谱线数 n 5，即五次谐波为 0。 1 8
退出
4.总结
幅度 2 T1 谱线间隔 1 T1
第 12 页
E 当T1 ，时， 1 0， 为无限小， T1 f t 由周期信号 非周期信号。
矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 离散性，谐波性，收敛性
1 对比波形： T1 s 4 1 T2 s 2 T3 1s
退出
第
4.抽样信号(Sampling
(完整版)周期信号傅里叶级数
C e dt T0 n0
j(nk )0t
n =
由{en (t)}的正交性得：
T0
0
e
dt j(nk )0t
T0
[n k]
T0 n=k 0 n不等于k
Ck
1 T
T
2 T
fT (t)e jk 0t dt
2
2. 指数形式傅立叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
f (t)
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0tdt
(n = 1,2 )
纯余弦形式傅立叶级数
其中
f（t）
a0 2
n1
An
co（ s n0t
）
n
An an2 bn2
n
arctg
bn an
a0 2
称为信号的直流分量，
An cos(n0+ n)称为信号的n次谐波分量。
例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展 开式。
Cn e jn0t
jn 2 t
Cn e T
n =
n =
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。
其中
Cn
1 T
T
2 T
fT (t)e jn0t dt
（傅立叶系数）
2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量
n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量
若 f (t)为实函数，则有 Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
1
f (t) C0
Cne jn0t
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
信号与系统第三章
语音信号 音乐信号 频率大约为 300~3400Hz， 50~15,000Hz，
语音信号0~6MHz 频率大约为 300~3400Hz ， ， 电视信号 ; 电视伴音 30~10kHz
例：试计算图示信号在频谱第一个零点以内各分 量的功率所占总功率的百分比。 1
f (t )
0.1 0.1
1
t
解：1）先求信号的总功率：
4、周期半波余弦信号
f (t ) = E + p E = p E 4 4 [cos(w1t ) + cos(2w1t ) cos(4w1t ) + ...] 2 3p 15p 2E ¥ 1 np cos( ) cos(nw1t ) å 2 p n= 1 (n - 1) 2
T1
T1 0 2
f (t )
2π （4)第一个零点坐标： τ
（5）Fn是复函数（此处为实函数），幅度 / 相位
Fn > 0，相位为 0，Fn < 0, 相位为 π。
双边谱
E T1
单边谱
2 4
Fn
1 21
2 E T1 E T1
cn
n
4
121 2
4
2
2 4
w1 2w1
第一个零点在n = 5,即在第一个过零点内包含五个谐波
其功率和为:
P5 n = F0 + 2å Fn
2 n= 1 5 2
O
P5 n
(0.2) 2
2(0.2) 2 [ Sa 2 (0.2 )
Sa 2 (0.4 )
频谱第一个零点以内各分量的功率占总功率90.3% 0.04 0.07 0.046 0.02 0.00438 0
语音信号0~6MHz 频率大约为 300~3400Hz ， ， 电视信号 ; 电视伴音 30~10kHz
例：试计算图示信号在频谱第一个零点以内各分 量的功率所占总功率的百分比。 1
f (t )
0.1 0.1
1
t
解：1）先求信号的总功率：
4、周期半波余弦信号
f (t ) = E + p E = p E 4 4 [cos(w1t ) + cos(2w1t ) cos(4w1t ) + ...] 2 3p 15p 2E ¥ 1 np cos( ) cos(nw1t ) å 2 p n= 1 (n - 1) 2
T1
T1 0 2
f (t )
2π （4)第一个零点坐标： τ
（5）Fn是复函数（此处为实函数），幅度 / 相位
Fn > 0，相位为 0，Fn < 0, 相位为 π。
双边谱
E T1
单边谱
2 4
Fn
1 21
2 E T1 E T1
cn
n
4
121 2
4
2
2 4
w1 2w1
第一个零点在n = 5,即在第一个过零点内包含五个谐波
其功率和为:
P5 n = F0 + 2å Fn
2 n= 1 5 2
O
P5 n
(0.2) 2
2(0.2) 2 [ Sa 2 (0.2 )
Sa 2 (0.4 )
频谱第一个零点以内各分量的功率占总功率90.3% 0.04 0.07 0.046 0.02 0.00438 0
33典型周期信号的傅里叶级数
X
88
4．总结
第第
页页
T1
谱
幅 度
线
间 1
隔 2π T1
说明
当T1 ， 时， 1 0，ET1为 无 限 小 ，
ft由 周 期 信 非 号周 期 信 号 。
矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 离散性、谐波性、收敛性。
X
99
二．频带宽度
第第 页页
1.问题提出
E F(n1) T1
2π
O 1 21
第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率） 由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。
X
1100
第第
周期矩形脉冲信号的功率 页页
PT 10 Tf2(t)d tn F n12
以 210 s,T11 4s为例， 5次 取 谐 前 波
P 5 n F 2 0 F 1 2 F 2 1 2 F 3 1 2 F 4 1 2
F 1 2 F 2 1 2 F 3 1 2 F 4 1 2
0.18E12
而总功率 二者比值
1 T1 f2(t)dt0.2E2
T1 0 P5n 90.5% P
X
法语：Merci（梅呵西）
E
T1
s
in
n
1
2
n
1
2
E
T1
San1
2
X
77
3．频谱及其特点 Fn1E T1 San12
第第 页页
图T 中 5
E F(n1)
T1
2π
O 1 21
(1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大 n0值 处在 ， E。 为
（ (53） )F 离当 F (散n n 谱1 0 )， n （是 谐1时 波复 相 性取 0 ）， 函 F 值 n 位 数 0 （,相 4（ )函 令 第为 数 一2此 位 个 π ） 。 零处 点 ， 为 ＝ /坐 为 相 2π标 幅 2π实 位 ：度 T1
信号与系统3.3典型信号的傅里叶级数
2
2
f (t) E[u(t ) u(t )]
2
2
把周期信号展成傅里叶级数
f t a0 ancosnω1t bnsinnω1t n1
其系数为
1
a0 T1
T1
2 -T1
2
F(t)dt
1 T1
2 - 2
Edt
Eτ T1
第3章 傅里叶变换
an
2 T1
T1
2 T1
f(t)cos(nω1t)dt
第3章 傅里叶变换
三、周期锯齿脉冲信号
周期锯齿脉冲信号如图3-9所示。
f (t)
E
2
T1
2
t
T1
0
2
E
2
图3-9 周期锯齿脉冲信号
显然它是奇函数，因而an=0，由式(3-4)可以求出傅里
叶级数的系数bn。这样，便可得到周期锯齿脉冲信号的傅 里叶级数为
第3章 傅里叶变换
f(t)
E π
sinω1t
2
2 T1
τ
2 τ
2
Ecos
n
2π T1
t
dt
谐波的幅度 按1/n规律收 敛
e nπ
sin
2nπ
2T1
sin
2nπ
2T1
2E nπ
sin
nπ
T1
2Eτ sin
nπ
T1
nπ
T1
T1
2Eτ T1
Sa
nπ
T1
Eτ1
π
Sa
nω1τ 2
第3章 傅里叶变换
由于f (t)是偶函数，有（2 3）可知 bn 0
规律收敛。
周期信号的傅里叶级数分析
n
2 2e j0t
2e j0t
4e
j
2
e
j
30t
4e
j
2
e
j
30t
j t
j
j ( 3 t )
j ( 3 t )
2 2e 4 2e 4 4e 4 2 4e 4 2
仿真 源码
连续时间信号与系统的频域分析
三、周期信号频谱的特点
f(t) E
-T -/2
/2 T
t
Fn
E T
0 0 20
信号与系统分析
周期信号的傅里叶级数分析 一、三角函数形式的傅里叶级数
若周期信号 的周期f为(t) 角频率 T 狄里赫利条件，即
，且0 满 2足T
（1）在一周期内，若有间断点存在，则间断点的数 目应为有限个。
（2）在一周期内，极大值和极小值的数目为有限个。
（3）在一周期内，信号绝对可积。即 为有限值。
指数型傅 里叶级数
n 为整数，Fn ( jn0 ) 为复傅里叶系数。其中
Fn
(
jn0
)
1 T
t0 T f (t)e jn0t dt
t0
连续时间信号与系统的频域分析
指数型傅里叶系数与三角形傅里叶系数的关系：
F0 a0 A0
Fn ( jn0 )
1 2
(an
jbn )
Fn
e jn
1
Fn
2
an2
二者共同组成信号的复频谱。（双边谱）
连续时间信号与系统的频域分析
单边谱的每条谱线代表一个分量的振幅，而双边谱是 将单边谱的每个频率分量一分为
二、对应到正、负频率处各为一半而得。即
An Fn Fn
典型周期信号的傅里叶级数
sin
ωτ
2
ωτ
2
sin
ωτ
2 =0
与横轴的交点由下式决定： 与横轴的交点由下式决定： 即：
ωτ
2
ωτ
2
= π ,2π ,3π L
2π 4π 6π
ω = ω0 =
τ τ τ
L
2mπ
τ
1 2 3 Q ω = 2π f ∴ f = f 0 = , , ...
τ τ τ
)
( f 0表示过零点的谐波频率
若这些频率恰好是基波频率的整数倍，则相应的谐波 为零。 ( f1表示基波频率)
Fn
1 25
8π
2
− 40π
40π
nω 0
周期信号的功率谱
三.
τ
T1
的比值改变时，对频谱结构的影响。 的比值改变时，对频谱结构的影响。
P105.图(3-11)和p106.图（3－12） 图 和 图 － ） 1.T不变， 变 不变， 不变 τ
aQ 1 . ↓ 则 n的 敛 度 慢 . , c 收 速 变 2τ . 不 ，变 变 T 时
b(ω ) Q = −ωT a (ω ) ω = ±∞ K ∴ a (ω ) = b(ω ) 2 [ ] +1 a (ω )
2 2
b(ω )
ω =0
1 K 2
a (ω )
1 2 2 K 2 a (ω ) + b (ω ) − Ka (ω ) = 0 [a(ω) − K] +b (ω) = ( ) 2 2
设
k f (t ) = e T
1 − t T
k − T1 t − 则 F ( jω ) = ∫ e e −∞T
k T 1 2 ( ) + ω T
典型周期信号的傅里叶级数
d
X(j)ejt
X(jk0)ej0t
x(t)21 X(j)ejtd1
0
2 T
k 0
0
于是,对非周期信号,有傅里叶变换对:
x(t)
1
2
X( j)ejtd 1
反
X( j)
x(t)e jtdt
2正
(e j t )
复 杂 信 号 ＝ 系 数 （ ） 基 本 信 号 （ ）
系 数 （ ） ＝ 复 杂 信 号 （ 与 ） 基 本 信 号 （ ）
F(j)ejtd
F( ) f(t)ejtdt
也是常用的形式
傅立叶变换的理解
周期信号的叶 指级 f数 T(t数 )型 Fn傅 ejn1t表 里明，
n
周期信号可限 以多 分个 解 n 频 1、 为 复率 无 振为 F幅 n的为 指
数分 ejn1t量 的离散和；
非周期信 傅号 里的 叶变 f(t)换 1
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
f(t)E T 1 2 T E 1n 1Sa(n 2 1 )cosn1t
F n1 2(anjn b )1 2anE T 1 S(n a 21 )
f(t)的指数形式的傅里叶级数为
f(t)E S(an 1 )ejn 1t
T1 n
2
2、频谱 c0
E T1
规律收. 敛
例1：试将图示周期矩形脉冲信号 展开为(1)三角型和(2)指数型傅里 叶级数。
T
f (t)
A
T
22
t
解(： 1) f (t)是偶函数，故只含 数有 项常 和余弦项。
T
a0T 1
2 T
f(t)d t 2 T
2AdtA
傅里叶变换的证明
cn
2
1 3
2
1 5 2
n
w1 3w1 5w1 w
w1 2w1 3w1 4w1 5w1 w
2
三:画 f (t ) 1 sin(w1t ) 2 cos(w1t ) cos(2w1t 4 ) 的频谱
f (t ) c0 cn cos(nw1t n )
n
F (nw )e
1
jnw1t
F (nw1 ) Fn 2: 计算傅里叶系数
F (nw1 ) Fn
t0 T1 1 T1 t 0
f (t )e jnw1t dt n ~ 整数
证明:把(4)(5)代入(10)即可.
3 两种傅氏级数系数间的关系.
F0 a0 c0
t0 T1
t0
cos(nw m, n 1t ) sin(mw 1t )dt 0 所有
利用正交函数系性质推 导系数an , bn
3 满足狄利克雷条件:(充分条件) ①在一个周期内，若有间断点存在，间断点数目应该是有限个 ②在一个周期内,极大值和极小值数目应该是有限个 ③在一个周期内,信号绝对可积
t0 T1
t0
f (t ) dt
注:我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件. 4 三角函数形式的另一种表达形式.(同频率项加以合并)
f (t ) c0 cn cos(nw1t n )
n 1
2 2 cn an bn a n c n cos n b n arctana 都是nw1的函数 bn c n sin n
T
n2 f (t ) sin(nw1t )dt 0
周期信号的傅里叶级数分析共34页文档
பைடு நூலகம்
周期信号的傅里叶级数分析
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
信号与系统第三章-周期信号的傅里叶级数表示
B kjC kB kjC k
因此 Bk Bk
Ck Ck
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的实部关于 k 偶对称，虚部关于 k 奇对称。
将关系 Bk Bk , Ck Ck 代入，可得到
x (t) a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1 a 0 (B kjC k)ejk 0 t (B kjC k)ejk 0 t k 1 a02 B kcosk0tC ksink0t k1
本章内容：
Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 Ⅲ. 傅立叶级数的性质
3.0 引言 Introduction
• 时域分析方法的基础： 1) 信号在时域的分解。 2) LTI系统满足线性、时不变性。
❖ 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满 足两个要求： 1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
1
0
cos0t
1(ej0t 2
ej0t)表示为
1
1
2
2
0 0
0
因此，当把周期信号 x ( t ) 表示为傅里叶级数
x(t)
ak e jk0t
时，就可以将 x ( t ) 表示为
k
a
a 1
ห้องสมุดไป่ตู้
0
a1
a
a
3
2
a2 a3
0 0
这样绘出的图 称为频谱图
频谱图其实就是将 a k 随频率的分布表示出来，
利用系统的齐次性与叠加性
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
第三章周期信号的傅里叶级数表
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1
谱线为离散的（谐波性），在
k0
k
2
T0
时取值，
脉冲周期越大，谱线间隔 0 越小，越密；
各点频谱大小与脉宽 T1 成正比，与周期 T0 成反比；
频谱包络线形状：抽样函数，过零点为最大值为 2T1
T0
主要能量在第一过零点内，第一个零点坐标为:
k 1, kω0T1
k
k
ak
1 T
x(t)e jk0tdt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )tdt
T
28
29
解：方法一：直接利用公式进行求解
ak
1 T
x(t)e jk0t dt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )t dt
T
方法二：
x(t)
a k e jk0t
a e jk(2 T )t k
k
46
47
48
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
49
50
三 、吉伯斯（Gibbs）现象 满足Dirichlet条件的信号，其傅里叶级数
是如何收敛于 的x。t 特别当 具有xt间
7
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) 的 (LtT) I系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解：Q h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， h(t) (t T)
周期信号的傅里叶级数分析
29
cos(1t)
4
a1 T1
T1 2
0
f (t) cos(1t)dt
sin(1t)
b1
4 T1
T1 2
0
f (t) sin(1t)dt
cos(21t)
a2
2 T1
T1
2 T1
2
f (t) cos(21t)dt 0
sin(21t)
b2
2 T1
T1
2 T1
E
T1
2E
T1
n1
Sa(
n1
2
)
cos(n1t
)
23
二、周期锯齿脉冲信号
f
(t
)
E
(sin
1t
1 2
sin
21t
1 3
sin
31t
....)
24
三、周期三角脉冲信号
f
(t)
E 2
4E
2
(cos1t
1 9
cos31t
1 25
c
os51t
.....)
a0 c0
an cn cosn bn cn sin n cn
tan n
bn an
n
arctan
bn an
an2 bn2
2
f (t) c0 cn cosn1t n n1
cn an2 bn2 幅度谱
n
arctan
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
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2 页
X
第
一．频谱结构
f (t )
E
3 页
τ 脉宽为
E 脉冲高度为
T1
t
− T1
−τ / 2
τ /2
T 周期为 1
1. 三角函数形式的谱系数 2. 指数函数形式的谱系数 3. 频谱特点
X
第
1．三角形式的谱系数
f (t )
4 页
− T1
−τ / 2
τ /2
T1
t
Q f (t ) 是个偶函数
∴bn = 0, 只有a0 , an
X
第
2．指数形式的谱系数
1 T1 2 F(nω1 ) = ∫−T1 f (t )e− jnω1t d t T1 2
− jnω1t
5 页
τ
2 −
1 τ2 E 1 − jnω1t = ∫−τ Ee dt = e− jnω1t T1 2 T1 − jnω1
τ
2
−E = jnω1T1
e − jnω1τ 2 − e jnω1τ 2
+ F (− ω1 ) + F(− 2ω1 ) + F − (3ω1 ) + F − (4ω1 )
= 0.181E 2 1 T1 2 f (t )dt = 0.2E2 而总功率 T1 ∫0 p5n 二者比值 = 90.5% p
X
第
2．频带宽度
在满足一定失真条件下， 在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 信号来表示，此频率范围称为频带宽度 频带宽度。 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 第一个零点作为信号的频带宽度 2π 1 Bω = 带宽与脉宽成反比。 或B f = ，带宽与脉宽成反比。 τ τ 1 对于一般周期信号， 对于一般周期信号，将幅度下降为10 F(nω1 ) max的 频率区间定义为频带宽度。 频率区间定义为频带宽度。
10 页
3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真
300~3400Hz， 语音信号 频率大约为 ， 50~15,000Hz， 音乐信号 ， 扩大器与扬声器 有效带宽约为 15~20,000Hz。 。
X
∞ 1 T 2 2 P = ∫ f (t )dt = ∑ F (nω1 ) T 0 n=−∞ 1 1 s,T1 = s为例，取前5 次谐波 为例， 以τ = 20 4
9 页
P5n = F (0) + F(ω1 ) + F(2ω1 ) + F(3ω1 ) + F(4ω1 )
2 2 2 2 2 2 2
2 2
T1
2π
Eτ 。 包络线形状： (1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在 n = 0处，为 T1 2π 4 第一个零点坐标： （ )第一个零点坐标： 离散谱（谐波性） (3)离散谱（谐波性） ωτ 2π τ 令 = π → ω＝ 当ω = nω1时取值 2 τ 5 是复函数（ ），幅度 （）F(nω1 )是复函数（此处为实函数），幅度/ 相位 X Fn > 0，相位为 0，Fn < 0相位为± π。
§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
北京邮电大学电子工程学院 2002.3
第
主要内容
本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析 主要讨论：频谱的特点，频谱结构， 主要讨论：频谱的特点，频谱结构， 频带宽度，能量分布。 频带宽度，能量分布。 其他信号，如周期锯齿脉冲信号 其他信号， 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号请自学。 周期全波余弦信号请自学。 信号
X
第
二．频带宽度
1.问题提出
Eτ
F(nω1 )
8 页
T1
2π
O ω1 2ω1
τ
ω
第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率） 第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率） 大部分能量 由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。 由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。 收敛性可知
X
第
周期矩形脉冲信号的功率
2E τ sin nω1 = nω1T1 2 τ sin nω1 Eτ 2 = Eτ Sa nω τ = 1 τ T1 T1 2 nω1 2
X
Eτ τ 3．频谱及其特点 F(nω1 ) = T Sa nω1 2 1
第 6 页
图中T = 5τபைடு நூலகம்
Eτ
F(nω1 )
O ω1 2ω1
τ
ω
第
4．总结
幅度 ↓ 2π T1 ↑⇒ 谱线间隔ω1 = ↓ T1
Eτ 为无限小， 当T1 → ∞，时， 1 → 0， 为无限小， ω T1
7 页
f (t )由周期信号→ 非周期信号。 由周期信号→非周期信号。 矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点 ： 离散性，谐波性， 离散性，谐波性，收敛性