讲义_直线与圆的位置关系
第2章 2.3.3 直线与圆的位置关系-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义
2.3.3直线与圆的位置关系学习目标核心素养1．理解直线与圆的三种位置关系．(重点) 2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(重点)3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(难点)1．通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象逻辑推理的数学核心素养．2．通过解决直线与圆位置关系的综合问题，培养数学运算的核心素养．早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程．你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系．你发现了吗？直线与圆的位置关系的判定(直线Ax＋By＋C＝0，AB≠0，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0)位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d＜r d＝r d＞r判定方法代数法：由⎩⎨⎧Ax＋By＋C＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0图形1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( ) (2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切． ( )[答案] (1)√ (2)√2．(教材P 110练习A ①改编)直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法判断B [圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，又圆x 2＋y 2＝1的半径为1，∴d ＝r ，故直线与圆相切．]3．直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)没有公共点，则a 的取值范围是 ． 0＜a ＜2－1 [由题意得圆心(0，a )到直线x ＋y －1＝0的距离大于半径a ，即|a －1|2＞a ，解得－2－1＜a ＜2－1，又a ＞0，∴0＜a ＜2－1．]4．直线3x ＋y －23＝0，截圆x 2＋y 2＝4所得的弦长是 ． 2 [圆心到直线3x ＋y －23＝0的距离d ＝|－23|3＋1＝3．所以弦长l ＝2R 2－d 2＝24－3＝2．]直线与圆位置关系的判定【例1】 只有一个公共点？没有公共点？[思路探究] 可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断．[解] 法一：由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2 ①y ＝x ＋b ②得2x 2＋2bx ＋b 2－2＝0，③方程③的根的判别式Δ＝(2b )2－4×2(b 2－2)＝－4(b ＋2)(b －2)． (1)当－2＜b ＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点． (2)当b ＝2或b ＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点．(3)当b ＜－2或b ＞2时，Δ＜0方程组没有实数解，直线与圆没有公共点．法二：圆的半径r ＝2，圆心O (0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ＝|b |2． 当d ＜r ，即－2＜b ＜2时，圆与直线相交，有两个公共点．当d ＝r ，|b |＝2，即b ＝2或b ＝－2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点． 当d ＞r ，|b |＞2，即b ＜－2或b ＞2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点．直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[跟进训练]1．已知圆的方程x 2＋(y －1)2＝2，直线y ＝x －b ，当b 为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，无公共点？[解] 法一：由⎩⎨⎧y ＝x －b ，x 2＋(y －1)2＝2得2x 2－2(1＋b )x ＋b 2＋2b －1＝0，① 其判别式Δ＝4(1＋b )2－8(b 2＋2b －1)＝－4(b ＋3)(b －1)，当－3＜b ＜1时，Δ＞0，方程①有两个不等实根，直线与圆有两个公共点； 当b ＝－3或1时，Δ＝0，方程①有两个相等实根，直线与圆有一个公共点； 当b ＜－3或b ＞1时，Δ＜0，方程①无实数根，直线与圆无公共点． 法二：圆心(0,1)到直线y ＝x －b 距离d ＝|1＋b |2，圆半径r ＝2． 当d ＜r ，即－3＜b ＜1时，直线与圆相交，有两个公共点； 当d ＝r ，即b ＝－3或1时，直线与圆相切，有一个公共点； 当d ＞r ，即b ＜－3或b ＞1时，直线与圆相离，无公共点．直线与圆相切的有关问题【例2】 [思路探究] 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程． [解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1， 所以点A 在圆外．(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径，半径为1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1，所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－158． 所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)， 即15x ＋8y －36＝0． (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4． 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4．过一点的圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系得切线的斜率为－1k ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x ＝x 0或y ＝y 0．(2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程联立，消去y 后得到关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求出k ，可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．[跟进训练]2．过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，求该直线的方程． [解] 圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式(x ＋2)2＋y 2＝1，圆心C (－2,0)，设过原点的直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径． 即|－2k |k 2＋1＝1，∴3k 2＝1， k 2＝13，解得k ＝±33． ∵切点在第三象限，∴k ＞0， ∴所求直线方程为y ＝33x ．直线截圆所得弦长问题[探究问题]1．已知直线l 与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2求弦长．2．若直线与圆相交、圆的半径为r 、圆心到直线的距离为d ，如何求弦长？[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l ＝2r 2－d 2．【例3】 直线l 经过点P (5,5)并且与圆C ：x 2＋y 2＝25相交截得的弦长为45，求l 的方程．[思路探究] 设出点斜式方程，利用交点坐标法或利用r 、弦心距及弦长的一半构成直角三角形可求．[解] 据题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)，与圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，法一：联立方程组⎩⎨⎧y －5＝k (x －5)，x 2＋y 2＝25.消去y ，得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0． 由Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)·25k (k －2)>0， 解得k ＞0．又x 1＋x 2＝－10k (1－k )k 2＋1，x 1x 2＝25k (k －2)k 2＋1，由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1 ＝45．两边平方，整理得2k 2－5k ＋2＝0，解得k ＝12或k ＝2符合题意． 故直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．法二：如图所示，|OH |是圆心到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的一半．在Rt △AHO 中，|OA |＝5， |AH |＝12|AB |＝12×45＝25， 则|OH |＝|OA |2－|AH |2＝5． ∴|5(1－k )|k 2＋1＝5， 解得k ＝12或k ＝2．∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．(变条件)直线l 经过点P (2，－1)且被圆C ：x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l 方程．[解] 圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝25，圆心C (3,1)．因为|CP |＝(3－2)2＋(1＋1)2＝5＜5，所以点P 在圆内．当CP ⊥l 时，弦长最短．又k CP ＝1＋13－2＝2．所以k l ＝－12，所以直线l 的方程为y ＋1＝－12(x －2)，即x ＋2y ＝0．直线与圆相交时弦长的两种求法(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，则|AB |＝2r 2－d 2．图1 图2(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在且不为0)．1．如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法． 提醒：能用几何法，尽量不用代数法．(3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可．2．利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点(1)代入消元过程中消x 还是消y 取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x －ay ＋1＝0，则应将其化为x ＝ay －1，然后代入消x ．(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 B [圆心到直线的距离d ＝112＋(－1)2＝22＜1． 又∵直线y ＝x ＋1不过圆心(0,0)．∴直线与圆相交但不过圆心．]2．设直线l 过点P (－2,0)，且与圆x 2＋y 2＝1相切，则l 的斜率是( ) A ．±1 B ．±12 C ．±33 D ．±3 C [设l ：y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0． 又l 与圆相切，∴|2k |1＋k2＝1．∴k ＝±33．] 3．直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为 ．4 [圆的标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1,2)到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝|1＋2×2－5＋5|12＋22＝1，所以弦长为25－1＝4．]4．若直线x ＋y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝2相离，则m 的取值范围是 ． m ＜－2或m ＞2 [因为直线x ＋y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝2相离，所以|－m |12＋12＞2，解得m ＜－2或m ＞2．]5．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，求直线l 的方程．[解] 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ．设直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．又圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离 d ＝|2k －1－2|1＋k 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22．解得k ＝1或k ＝177．所以直线l 的方程为y ＋2＝x ＋1或y ＋2＝177(x ＋1)，即x －y －1＝0或17x －7y ＋3＝0．。
直线与圆的位置关系知识点及习题
精心整理直线和圆的位置关系1、直线与圆的位置关系（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞d<r；直线l与⊙O相切＜====＞d=r；直线l与⊙O相离＜====＞d>r；2、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
如右图中，OD垂直于切线。
4、切线长定理（1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
（3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。
(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
基础训练1．填表：直线与圆的图形公共点公共点圆心到直线的距离直线的位置关系个数名称d与圆的半径r的名称关系相交相切相离2．若直线a与⊙O交于A，B两点，O到直线a•的距离为6，•AB=•16，•则⊙O•的半径为_____．3．在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C为圆心，分别以5，52，8为半径作图，那么直线AB与圆的位置关系分别是______，_______，_______．4．⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．内含5．下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③B．①②C．②③D．③6．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB 的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相切7．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切？8．如图，⊙O的半径为3cm，弦AC=42cm，AB=4cm，若以O为圆心，•再作一个圆与AC相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与AB的位置关系如何？◆提高训练9．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M 与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．10．如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以A为圆心，3cm•长为半径的圆与直线BC的位置关系是_______．11．如图，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，2长为半径的圆与直线AC，EF，CD的位置关系分别是什么？12．已知⊙O 的半径为5cm ，点O 到直线L 的距离OP 为7cm ，如图所示．（1）怎样平移直线L ，才能使L 与⊙O 相切？（2）要使直线L 与⊙O 相交，应把直线L 向上平移多少cm ？13．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C 为圆心，r 为半径作圆，•那么:（1）当直线AB 与⊙C 相切时，求r 的取值范围；（2）当直线AB 与⊙C 相离时，求r 的取值范围；（314．在南部沿海某气象站A 测得一热带风暴从A 的南偏东30•°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，•若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B 是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．九年级下册直线和圆的位置关系练习题一、选择题：1．若∠OAB=30°，OA=10cm ，则以O 为圆心，6cm 为半径的圆与射线AB 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定2．Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C 为圆心作⊙C 和AB 相切，则⊙C 的半径长为（）A ．8B ．4C ．9．6D ．4．83．⊙O 内最长弦长为m ，直线l 与⊙O 相离，设点O 到l 的距离为d ，则d 与m 的关系是（）A ．d =mB ．d ＞mC ．d ＞2mD ．d ＜2m 4．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 5．菱形对角线的交点为O ，以O 为圆心，以O 到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 6．⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 为63，以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定7．下列四边形中一定有内切圆的是（）A ．直角梯形B ．等腰梯形C ．矩形D ．菱形8．已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（）A ．三条中线交点B ．三条高的交点C ．三条角平分线交点D ．三条边的垂直平分线的交点9．给出下列命题：①任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、证明题1．如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：CD是⊙O的切线．2．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）当圆心O与C重合时，⊙O与AB的位置关系怎样？（2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时？⊙C与AB相切？4．如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？5．设直线ι到⊙O的圆心的距离为d，半径为R，并使x2－2d x＋R=0，试由关于x的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O的位置关系．6．如图，AB是⊙O直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E．（1）由这些条件，你能得出哪些结论？（要求：不准标其他字母，找结论过程中所连的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形．（要求：写出6个结论即可，其他要求同（1））7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是多少？8．如图，有一块锐角三角形木板，现在要把它截成半圆形板块（圆心在BC上），问怎样截取才能使截出的半圆形面积最大？（要求说明理由）9．如图，直线ι1、ι2、ι3表示相互交叉的公路．现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？答案:一.1-5ADCBB;6-9CDDB二.1.提示:连结OC,证△AOC与△BOC全等2.作垂直证半径,弦心距相等3.①垂直三角形的高,用面积方法求;②△AOE∽△ABC即可4.用角平分线定理证明EF=EA=EB即可5.做三角形的内切圆6.①DE与⊙O相切,AB=BC,DE2+CE2=CD2,∠C+∠CDE=90°②BC是⊙O的切线,有DE=1/2AB等.7.R=2.4或3<R≤48.∠A角平分线与BC的交点为圆心O,O到AC的距离为半径做圆9.4。
直线与圆的位置关系(复习讲义)01(教师版)
直线与圆的位置关系（复习讲义）01 重点突破知识点一直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：直线与相离直线与相切直线与相交性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．知识点三三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心和外心的区别：外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：【考查题型】考查题型一判断直线与圆的位置关系【典例1】已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定变式1-1．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（）A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相离C．与x轴相离，与y轴相切D．与x轴相离，与y轴相离变式1-2．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定变式1-3在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，以点B为圆心，5cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线和⊙B的位置关系（）A．相切B．相交C．相离D．都有可能考查题型二已知直线和圆的位置关系求半径的取值【典例2】直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是( )rA．r<3 B．r=3 C．r>3 D．3变式2-1．若点B(a ，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a 的取值范围为( )A ．a<－1B ．a ＞3C ．－1 <a < 3D ．a ≥－1且0a ≠考查题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离【典例3】已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，那么点O 到直线l 的距离是( )A ．2.5B ．3C ．5D ．10变式3-1．圆O 的半径为5，若直线与该圆相离，则圆心O 到该直线的距离可能是（ ）A ．2.5BC ．5D ．6变式3-2．设⊙O 的直径为m,直线L 与⊙O 相离,点O 到直线L 的距离为d,则d 与m 的关系是( )A ．d=mB ．d>mC ．d>2mD ．d<2m 变式3-3．O 的圆心到直线a 的距离为3cm ，O 的半径为1cm ，将直线a 向垂直于a 的方向平移，使a 与O相切，则平移的距离是（ ） A ．1cmB ．2cmC ．4cmD ．2cm 或4cm 考查题型四 切线定理【典例4】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°变式4-1．如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O 的半径为4，6BC =，则PA 的长为（ ）A ．4B ．C ．3D ．2.5变式4-2．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为5，CD=8，则弦AC 的长为（ ）A ．10B ．8C ．D ．变式4-3．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上,且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于( )A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°变式4-4．如图，BM 与O 相切于点B ，若140MBA ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70考查题型五 证明某条直线是圆的切线【典例5】如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上(异于点A ，B)，AD ⊥CD ．(1)若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的长；(2)若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．变式5-1．如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O 交⊙O 于点C ，∠A ＝∠B ＝30°，连接BD ．求证：BD 是⊙O 的切线．变式5-2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，∠CAD=∠ABC ．判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．考查题型六 应用切线长定理求解【典例6】如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是( )A ．PA ＝PB B ．∠BPD ＝∠APDC ．AB ⊥PD D ．AB 平分PD变式6-1．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA ＝6，则△PCD 的周长为（ ）A ．8B ．6C ．12D ．10 变式6-2．如图，O 为ABC 的内切圆，10AC =，8AB =，9BC =，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为O 的切线，则CDE 的周长为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．8变式6-3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，若∠A=25°，，若使DC 切⊙O 于点C ，则∠D 等于( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°考查题型七 应用切线长定理求证【典例7】如图，△ABC 中，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ．（1）已知∠C ＝90°．①若BD ＝6，AD ＝4，则⊙O 的半径r 为 ，△ABC 的面积为 ；②若BD ＝m ，AD ＝n ，请用含m 、n 的代数式表示△ABC 的面积；（2）若2AC BC BD AD ⋅=⋅，试判断△ABC 的形状，并说明理由。
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——直线与圆、圆与圆的位置关系
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析 由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)， 所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |， 即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2， 解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析 法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三 易得直线l 过定点(1，1)， 把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22， 弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升 弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4， 所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三 圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0， 即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解 易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解 由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°， 所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四 圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2， 解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆， 所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解 圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析 由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163， 故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4； 令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。
直线与圆的位置关系.讲义学生版
板块 考试要求 A 级要求B 级要求C 级要求直线与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问题 切线长 了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题一、直线与圆的位置关系设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形定义性质及判定相离lOd r直线与圆没有公共点． d r >⇔直线l 与O ⊙相离相切 lOdr直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． d r =⇔直线l 与O ⊙相切相交lOd r直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．d r <⇔直线l 与O ⊙相交1. 切线的性质（1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB 过圆心，AB 过切点M ，则AB l ⊥． ②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB 过圆心，AB l ⊥，则AB 过切点M ． ③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l ⊥，AB 过切点M ，则AB 过圆心．知识点睛中考要求直线与圆的位置关系（1）l2.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．l3.切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2.多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3.直角三角形内切圆的半径与三边的关系cbac baO FEDCAC BACBA设a、b、c分别为ABC△中A∠、B∠、C∠的对边，面积为S，则内切圆半径为srp=，其中()12p a b c=++．若90C∠=︒，则()12r a b c=+-．一、直线与圆位置关系的确定【例1】 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP x =，则x 的取值范围是 A ．0≤x 2 B ．2-x 2C ．－1≤x ≤1 D ．x 2PBOA【例2】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，给出下列三个结论： ①以点C 为圆心，3 cm长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个【巩固】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12cm AC =，16cm BC =，以点C 为圆心，r 为半径的圆和AB 有怎样的位置关系？为什么？⑴ 9cm r =；⑵10cm r =；⑶9.6cm r =．DCBA【例3】 如下左图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C =︒∠，且AB AD BC >+，AB 是O 的直径，则直线CD 与O 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定OBA【巩固】如图，BC 是半圆O 的直径，点D 是半圆上的一点，过点D 作O 的切线AD ，BA DA ⊥，10BC =，4AD =，那么直线CE 与以点O 为圆心，52为半径的圆的位置关系是 ．例题精讲二、切线的性质及判定【例4】已知：O为BAC⊙⊥于D，以O为圆心．以OD为半径作圆O．求证：O ∠平分线上一点，OD AB与AC相切．【巩固】如图，ABC⊙与腰AB相切于点D，求证AC ∆为等腰三角形，AB AC=，O是底边BC的中点，O与O⊙相切．【例5】已知：如图，ABC∠=∠．求证：AD是O的∆内接于O，AD是过A的一条射线，且B CAD切线．【巩固】已知：如图，AB是O∠．求⊙上一点，MN过C点，AD MN⊙的直径，C为O⊥于D，AC平分DAB 证：MN为O⊙的切线．【例6】如下图所示，以Rt ABC∥交AB于E，⑴∆的直角边BC为直径作半圆O，交斜边于D，OE AC 求证：DE是O⊙的切线；【巩固】如下图所示，以Rt ABC∥交AB于E，求∆的直角边BC为直径作半圆O，交斜边于D，OE AC 证：DE是O⊙的切线．【例7】如图，已知OA是O⊙的半径，B是OA中点，BC OA=．求⊥，P是OA延长线上一点，且PA AC 证：PC是O⊙的切线．【巩固】如图，AB是O∠=∠．求⊥于D．P在BA延长线上，且PCA ACD ⊙的直径，C点在圆上，CD AB证：PC是O⊙的切线．BP【例8】 如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长．【例9】 如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．【例10】 如图，O ⊙是Rt ABC ∆的外接圆，90ABC ∠=︒，点P 是圆外一点，PA 切O ⊙于点A ，且PA PB =． （1）求证：PB 是O ⊙的切线．（2）已知1PA BC ==，求O ⊙的半径．【例11】 如图，AB 为O ⊙的直径，D 是BC 的中点，DE AC ⊥交AC 的延长线于E ，O ⊙的切线BF 交AD的延长线于点F ．（1）求证：DE 是O ⊙的切线；（2）若3DE =，O ⊙的半径为5，求BF 的长．FAB【例12】 已知，如图在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为半径的圆O 与AD AC 、分别交于点E F 、，ACB DCE ∠=∠．（1）判断直线CE 与O ⊙的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan 22ACB BC ∠==，求O ⊙的半径．【巩固】如图，已知O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心、OA 长为半径的O ⊙与BC 相切于M ，与AB 、AD 分别相交于E 、F ． （1）求证：CD 与O ⊙相切．（2）若正方形ABCD 的边长为1，求O ⊙的半径．【例13】 已知：在O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE AC ⊥于点E ，过点C 作直线FC ，使FCA AOE ∠=∠，交AB 的延长线于点D ．（1）求证：FD 是O 的切线；（2）设OC 与BE 相交于点G ，若2OG =，求O 半径的长； （3）在（2）的条件下，当3OE =时，求图中阴影部分的面积．【例14】 如图，AB BC =，以AB 为直径的O ⊙交AC 于点D ，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 是O ⊙的切线；（2）作DG AB ⊥交O ⊙于G ，垂足为F ，若308A AB ∠=︒=，，求弦DG 的长．【巩固】如图，在ABC ∆中，AB BC =，以AB 为直径的O ⊙与AC 交于点D ，过D 作DF BC ⊥，交AB 的延长线于E ，垂足为F ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；（2）当58AB AC ==，时，求cos E的值．【例15】 如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．EB【巩固】如图，AC 为O ⊙的直径，B 是O ⊙外一点，AB 交O ⊙于E 点，过E 点作O ⊙的切线，交BC 于D 点，DE DC =，作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点． （1）求证：BC 是O ⊙的切线； （2）EM MF =．D CB A【巩固】如图，AB 是O ⊙的的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦DF AB⊥于点G ．（1）求证：点E 是BD 的中点； （2）求证：CD 是O ⊙的切线；（3）若4sin 5BAD ∠=，O ⊙的半径为5，求DF 的长．【例16】 如图，AB 是O 的直径，30BAC ∠=︒，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且ECF E ∠=∠．（1）证明CF 是O 的切线；（2）设O 的半径为1，且AC CE =，求MO 的长．OE F N AM BC【巩固】如图，A 是以BC 为直径的O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作O 的切线，与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．（1）求证：BF EF =；（2）求证：PA 是O 的切线；（3）若FG BF =，且O 的半径长为32，求BD 和FG 的长度．G PF E OD CBA1. 已知60ABC ∠=︒，点O 在ABC ∠的平分线上，5cm OB =，以O 为圆心3cm 为半径作圆，则O 与BC 的位置关系是________．2.如图，半径为3cm 的O ⊙切直线AC 于B ，3cm 3AB BC ==，，则AOC ∠的度数是 ．课后作业3.如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．E B4.已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．5.如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠． （1）求证：AE 是O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．6.如图，等腰三角形ABC 中，10AC BC ==，12AB =．以BC 为直径作O ⊙交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O ⊙的切线； （2）求sin E ∠的值．E C7.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点∠．B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB⑴试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；⑵试判断线段AC AD BC、、之间的数量关系，并说明理由；⑶若8cm10cm，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．AB BC==。
高中 平面解析几何直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点+例题
辅导讲义――直线和圆、圆与圆的位置关系圆的切线方程设法：（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为200r y y x x =+.（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的圆的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--. （3）过圆222r y x =+外一点),(00y x P 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为200r y y x x =+.（4）过圆222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--.[例]经过点M （2，-1）作圆522=+y x 的切线，则切线方程为_________________. 2x-y-5=0[巩固] 过点P （3，1）作曲线C ：0222=-+x y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为____________. 2x+y-3=01．若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置 关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2 的关系d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|< d < r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|两圆的公共点个数0个 1个 2个 1个 0个2．两圆的共切线：（1）当两圆内含时，没有公切线； （2）当两圆内切时有一条公切线； （3）当两圆相交时，有两条外公切线；知识模块4圆与圆的位置关系 精典例题透析知识模块3切线及弦所在直线的方程设法∴切线方程为2x ＋y ±52＝0； ③∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.[巩固] (2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为 (x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋(y －3)2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.题型三：直线与圆相交的问题[例]已知直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8，求k 的值．设直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为AB ，其中点为C ，则△OCB 为直角三角形．因为圆的半径为|OB |＝5，半弦长为|AB |2＝|BC |＝4，所以圆心到直线kx －y ＋6＝0的距离为3，由点到直线的距离公式得6k 2＋1＝3，解之得k ＝±3.[巩固] 求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长．如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)，所以OM ＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝3，所以AB ＝2AM ＝2OA 2－OM 2＝222－(3)2＝2.圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.3．若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切，则ab 的最大值为___________. 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R )．化为：(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1，∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切，∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.4．(2013·山东)过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为____________.解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2， ∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5．已知直线y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当b ＝1＋k 2时，OA →·OB →等于___________.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入x 2＋y 2＝1得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，故x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－11＋k 2， 从而·＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－1－2k 2b 21＋k 2＋b 2＝2b 21＋k 2－1＝1. 6．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是______________．由y ＝3－4x －x 2，得(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)．∴曲线y ＝3－4x －x 2是半圆，如图中实线所示．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，|2－3＋b |2＝2.∴b ＝1±2 2. 由图可知b ＝1－2 2.∴b 的取值范围是[]1－22，3.7．(2014·上海)已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →＋AO→＝0，则m 的取值范围为________．曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得＋＝0，（1）求矩形ABCD 的外接圆的方程；（2）已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程．(1)∵l AB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ，点(－1,1)在边AD 所在的直线上，∴AD 所在直线的方程是y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，得A (0，－2)． ∴|AP |＝4＋4＝22， ∴矩形ABCD 的外接圆的方程是(x －2)2＋y 2＝8.(2)直线l 的方程可化为k (－2x ＋y ＋4)＋x ＋y －5＝0，l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3,2)的直线系，即l 恒过定点Q (3,2)，由(3－2)2＋22＝5<8知点Q 在圆P 内，∴l 与圆P 恒相交．设l 与圆P 的交点为M ，N ，则|MN |＝28－d 2(d 为P 到l 的距离)，设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ |·sin θ＝5sin θ，当θ＝90°时，d 最大，|MN |最短．此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－12， 故l 的方程为y －2＝－12(x －3)，即x ＋2y －7＝0.11．若直线l ：y ＝kx ＋1 (k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是_________. 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交． 12．设曲线C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线上的点到直线l 的距离为71010的点的个数为____________.B解析 由(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，得圆心坐标为(2，－1)，半径r ＝3，圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋(－3)2＝710＝71010. 能力提升训练要使曲线上的点到直线l 的距离为71010， 此时对应的点在直径上，故有两个点．13．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于____________.∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时， △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)． 14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43. 故k 的最大值是43. 15．(2014·重庆)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以(|a ＋a －2|a 2＋1)2＋12＝22，解得a ＝4±15.。
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
第九章 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
变式训练 2 已知点 A(1，a)，圆 x2＋y2＝4. (1)若过点 A 的圆的切线只有一条，求 a 的值及切线方程； (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求 a 的 值及切线方程．
解 (1)由于过点 A 的圆的切线只有一条，则点 A 在圆上，故 12＋a2＝4，∴a＝± 3.
(2)解 设直线与圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点， 则直线 l 被圆 C 截得的弦长
AB＝ 1＋k2|x1－x2|
＝2 8－14＋k＋k211k2＝2
11－41k＋＋k32 ，
令 t＝41k＋＋k32，则 tk2－4k＋(t－3)＝0，
当 t＝0 时，k＝－34，当 t≠0 时，因为 k∈R，
∴d＝
22r，即|m5|＝
2 2·
5，
解得 m＝±522.
故当 m＝±522时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．
探究提高
(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用 直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来 判断直线与圆的位置关系； (2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法； (3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜率 k1·k2＝－1.
要点梳理
忆一忆知识要点
2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成 直角三角形计算． (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 AB＝ 1＋k2|xA－xB|＝ (1＋k2)[(xA＋xB)2－4xAxB]. 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
变式训练 1 已知直线 l：y＝kx＋1，圆 C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长．
直线与圆的位置关系 - 中档 - 讲义
直线与圆的位置关系知识讲解一、直线与圆的位置关系位置关系有三种：相交、相切、相离 判断直线与圆的位置关系：1）代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，求出其∆的值，然后比较判别式∆与0的大小关系， 若0∆<，则直线与圆相离 若0∆=，则直线与圆相切 若0∆>，则直线与圆相交2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：d r <⇔相交，d r =⇔相切，d r >⇔相离．二、计算直线被圆截得的弦长的常用方法1）几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．2）代数方法：运用韦达定理及弦长公式2221(1)[()4]A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．三、圆与圆的位置关系的判定判定：设2222221111122222:()()(0),:()()(0)C x a y b r r C x a y b r r -+-=>-+-=>e e ，则有：12121C C r r C >+⇔e 与2C e 外离 12121C C r r C =+⇔e 与2C e 外切 1212121r r C C r r C -<<+⇔e 与2C e 相交 1212121()C C r r r r C =-≠⇔e 与2C e 内切 12121C C r r C <-⇔e 与2C e 内含四、圆的切线方程问题1.求圆切线的方法a)过圆222x y r +=上一点00(,)x y 的切线方程为200x x y y r +=已知圆的方程是222x y r +=，求经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程．解：当点M 不在坐标轴上时，设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为1k ， ∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴11k k =-，又∵010y k x =，∴00x k y =-，∴经过点M 的切线方程是0000()x y y x x y -=--， 整理得：220000x x y y x y +=+，又∵点00(,)M x y 在圆上，∴22200x y r +=， ∴所求的切线方程是200x x y y r +=．注：当点M 在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用． b)求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程：几何方法: 设切线方程为00(),y y k x x -=-即000.kx y kx y --+=由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，切线方程即可求出．代数方法：设切线方程为00(),y y k x x -=-即000.kx y kx y --+=代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0=V 求得k ，切线方程即可求出．2.圆的切线方程常见结论a)已知22222222123:,:()(),:0,O x y r O x a y b r O x y Dx Ey F +=-+-=++++=e e e 则以00(,)M x y 为切点的1O e 的切线方程200;xx yy r +=2O e 的切线方程200()()()(),x a x a y b y b r --+--=3O e 切线方程0000()()022D x xE y y xx yyF ++++++=b)已知圆的222x y r +=的切线斜率为k ，则圆的切线方程为y kx =±c)已知切线过圆外一点11(,)P x y ,可设切线方程为11(),y y k x x -=-利用相切条件确定斜率k ，此时必有两条切线，不能漏掉斜率不存在的那一条切线．d)切线段长公式：从圆外一点00(,)P x y 引圆222()()x a y b r -+-=的切线，则P 到切点的切线段长为d ；从圆外一点00(,)P x y 引圆22x y Dx Ey F ++++=的切线，则P 到切点的切线段长为d =五、圆系方程概念：具有某种共同性质的圆的集合，称为圆系．1）同心圆系2220000()(),,x x y y r x y -+-=为常数，r 为参数．2）圆心共线且半径相等圆系22200()(),x x y y r -+-=r 为常数，圆心00(,)x y 在直线0ax by c ++=上移动．3）过两已知圆22(,)0(1,2)i i i i f x y x y D x E y F i =++++==的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=即12(,)(,)0(1)f x y f x y λλ+=≠-． 当1λ=-时，方程变为121212()()0,D D x E E y F F -+-+-=表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心垂直的直线． 4）过直线与圆交点的圆系方程设直线:0l Ax By C ++=与圆22:0C x y Dx Ey F ++++=相交，则方程22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程．典型例题一．选择题（共8小题）1．（2016•新课标Ⅱ）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．2【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．2．（2006•安徽）直线x+y=1与圆x2+y2﹣2ay=0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（0，）【解答】解：把圆x2+y2﹣2ay=0（a＞0）化为标准方程为x2+（y﹣a）2=a2，所以圆心（0，a），半径r=a，由直线与圆没有公共点得到：圆心（0，a）到直线x+y=1的距离d=＞r=a，当a﹣1＞0即a＞1时，化简为a﹣1＞a，即a（1﹣）＞1，因为a＞0，无解；当a﹣1＜0即0＜a＜1时，化简为﹣a+1＞a，即（+1）a＜1，a＜=﹣1，所以a的范围是（0，﹣1）故选：A．3．（2016•山东）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．相离【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0），则圆心为（0，a），半径R=a，圆心到直线x+y=0的距离d=，∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，∴2=2=2=2，即=，即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2），半径R=2，圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，则MN==，∵R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜MN＜R+r，即两个圆相交．故选：B．4．（2014•北京）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．5．（2013•重庆）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．6．（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．7．（2015•商丘一模）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆的圆心坐标为（﹣1，2）半径为．圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a+2b+6=0，即a=b+3．点（a，b）与圆心的距离，，所以点（a，b）向圆C所作切线长：==≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，为4．故选：C．8．（2006•湖南）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，∴，∴，，∴，直线l的倾斜角的取值范围是，故选：B．二．填空题（共4小题）9．（2015•重庆）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为x+2y﹣5=0．【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为﹣==﹣，故切线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y﹣5=0．10．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：．11．（2016•新课标Ⅲ）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．12．（2016•新课标Ⅲ）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=4．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==3，∴|AB|=2=2，∵直线l：x﹣y+6=0∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．三．解答题（共3小题）13．（2015春•赣州期末）已知定点M（0，2），N（﹣2，0），直线l：kx﹣y﹣2k+2=0（k为常数）．（Ⅰ）若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；（Ⅱ）以M，N为直径的圆与直线l相交所得的弦长为2，求实数k的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l与MN平行时，k=1…（3分）直线l经过M，N的中点时，…（5分）（Ⅱ）以M，N为直径的圆，圆心C（﹣1，1），半径…（7分）因此圆心到直线的距离等于1，即…（8分）解得…（10分）14．（2015春•张家界期末）已知直线l1：ax﹣y﹣2=0经过圆C：（x﹣1）2+y2=1的圆心．（1）求a的值；（2）求经过圆心C且与直线l：x﹣4y+1=0平行的直线l2的方程．【解答】解：（1）将圆心（1，0）代入得直线l1，得a﹣2=0，…（4分）则a=2；…（5分）（2）设所求直线方程x﹣4y+λ=0，…（8分）∵C（1，0）点在直线x﹣4y+λ=0上，∴λ=﹣1，…（11分）故所求直线方程为：x﹣4y﹣1=0．…（12分）15．（2014秋•增城市期末）求过点A（2，﹣1），圆心在直线y=﹣2x上，且与直线x+y﹣1=0相切的圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，﹣2a），圆的方程为（x﹣a）2+（y+2a）2=r2（2分）则（6分）解得a=1，（10分）因此，所求得圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2（12分）。
直线与圆_圆与圆的位置关系
圆心距d （两点间距离公式）
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
比较d和r1，r2的 关系，下结论
知识拓展
1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径； （3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形； （4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补； （5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
三角形三边 中垂线的交 点
图形
A
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 部．
C
O B
内心： 三角形 内切圆 的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
O
1.到三边的距离 相等； 2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB C 3.内心一定在三角 形内部．
例题分析与巩固练习 见word文档
定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直 线必经过切点.
推论2：经过切点且垂直于切线的 直线必经过圆心. 图8-2-2
3、判定直线 与圆的位置关系的两种方法
直线 与圆的公共点 （1）根据定义，由________________
的个数来判断； 圆心到直线的距离d与半径r （2）根据性质，由_________________ 的关系来判断。 在实际应用中，常采用第二种方法判定。
直线与圆的位置关系
2．代数法（也叫公式法）：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
解方程组 消y后得关于x的一元二次方程，从而求
得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|＝ （此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式 ）
(其中x1，x2为两交点的横坐标．k为直线斜率)．
2 2 x y 4 例1 、已知直线 y= x+1 与圆
(1)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时
可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的
距离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不
存在,应填上.也可用判别式Δ=0求k的值.
(2)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用 圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切= 1 , 代入 kCP 点斜式方程可得. 也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过 该点的切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆 (x-a) 2+(y-b) 2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(xa)+(y0-b)(y-b)=r2.
一.直线与圆的位置关系 想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
（1）
（2）
（3）
二.直线与圆的位置关系 那么，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位 置关系？ 判断直线与圆的位置关系有两种方法： 方法一：代数法，判断直线l与圆C的方程组成的 方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共 点．有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数 解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相 离． 方法二：几何法，判断圆C的圆心到直线l的距离 d与圆的半径r的关系．如果d< r ，直线l与圆C相交；如 果d= r ，直线l与圆C相切；如果d> r ，直线l与圆C相 离．
直线与圆的位置关系知识点
直线与圆的位置关系知识点一、直线与圆的位置关系※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d<r <===> 直线L和⊙O相交.②d=r <===> 直线L和⊙O相切.③d>r <===> 直线L和⊙O相离.※3. 切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.※4. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.注：证明直线是圆的切线的方法：已知点在圆上，连半径证垂直；未知点在圆上，作垂直证垂线段的长度等于圆的半径。
※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.※6. 三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.[补充]（只做了解）1.圆的外切四边形两组对边和相等2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角3.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角4.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等5.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.二、练习题 一、选择题 1、（2013济宁）、如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为 A ．4 B ．33C ．6D ．322、(20XX 年山东东营)如图，四边形ABCD 为菱形，AB=BD ，点B 、C 、D 、G 四个点在同一个圆⊙O 上，连接BG 并延长交AD 于点F ，连接DG 并延长交AB 于点E ，BD 与CG 交于点H ，连接FH ，下列结论：①AE=DF ；②FH ∥AB ；③△DGH ∽△BGE ；④当CG 为⊙O 的直径时，DF=AF ． 其中正确结论的个数是（ D ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43、(20XX 年山东东营)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（ ）A 。
高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系
高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 考点一 直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断[典例] 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5， 消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0， 所以直线l 与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． 法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．[答案] A[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒] 上述方法中最常用的是几何法． 考法(二) 直线与圆相切的问题[典例] (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0 D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1，所以|MC |2＝13，|MP |＝13－4＝3.[答案] (1)C (2)3 考法(三) 弦长问题[典例] (1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D.2(2)(2019·海口一中模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( )A ．4πB ．2πC ．9πD ．22π[解析] (1)因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. (2)易知圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0的圆心为(0，a )，半径为a 2＋2.圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2，由直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，|AB |＝23，可得a 22＋3＝a 2＋2，解得a 2＝2，故圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π，故选A.[答案] (1)D (2)A[题组训练]1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎝⎛⎭⎫22，22的切线方程是________． 解析：因为M ⎝⎛⎭⎫22，22是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为x ＋y ＋a ＝0，所以22＋22＋a ＝0，得a ＝－2，故切线方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝02．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题知，圆x 2＋y 2－2x －3＝0可写成(x －1)2＋y 2＝4，圆心(1,0)到直线kx －y ＋2＝0的距离d ＞2，即|k ＋2|k 2＋1＞2，解得0＜k ＜43.答案：⎝⎛⎭⎫0，43 3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.解析：因为点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，所以直线y ＝kx ＋1的斜率k ＝1，即y ＝x ＋1.又圆心⎝⎛⎭⎫－1，m2在直线l ：x ＋y ＝0上，所以m ＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径r ＝2，所以圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝22，所以|AB |＝2r 2－d 2＝ 6. 答案：6考点二 圆与圆的位置关系[典例] (2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3， ∴两圆相交．法二：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．[答案] B [变透练清]1．(2019·太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解析：选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.2.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．解析：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，(x －1)2＋(y －1)2＝1，两式相减得，2x －2y －1＝0，因为N (1,1)，r ＝1，则点N 到直线2x －2y －1＝0的距离d ＝|－1|22＝24，故公共弦长为21－⎝⎛⎭⎫242＝142.答案：142[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．[课时跟踪检测]A 级1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：选B 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.故选B.2．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.4．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.故选B.5．(2019·重庆一中模拟)若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )A ．±1B ．±24 C ．± 2D ．±32解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a ＋1|1＋a 2＝1，解得a ＝±24. 6．(2018·嘉定二模)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：易知圆心(2，－1)，半径r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝355，弦长为2r 2－d 2＝2555. 答案：25558．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB 的斜率等于－11－02－1＝－1，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________． 解析：因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0， 圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.答案：－5310．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．解析：把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3； 圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35＞5.故圆C 1与圆C 2相离， 所以|P Q |的最小值是35－5.答案：35－511．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 解：(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11， 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和圆C 2相交． (2)圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.B 级1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B.3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0，则有x 20＋y 20＝1，且切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令y ＝0，x ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2，当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________．解析：因为AB ―→·CD ―→＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝π4，设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以 直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 答案：33．(2018·安顺摸底)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)． (1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－ 3.(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点． ∵|MN |＝455，∴|DM |＝255.又|MC |＝2，∴|CD |＝4－2025＝45， ∴cos ∠MCA ＝452＝25，|AC |＝|MC |cos ∠MCA ＝225＝5，∴|OC|＝2，|AM|＝1，∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.。
直线与圆的位置关系讲义
九年级数学时间：学生：第讲直线与圆的位置关系【知识点】1 直线和圆的位置关系有三种：，，。
2 设r为⊙O的半径，d为圆心O到直线l的距离， d r,那么直线l与⊙O相交。
d r,那么直线l与⊙O相切d r,那么直线l与⊙O相离。
3 圆的切线的性质：圆的切线垂直于的半径。
4 圆的切线的判定定理：经过直径的一端，并且这条直径的直线是圆的切线。
5 圆的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
6.三角形的内切圆：〔1〕定义：与三角形三边都相切的圆称为三角形的内切圆。
〔2〕内切圆的作法; .(3)内心的性质：内心是的交点，内心到的距离相等，内心与三角形顶点的连线这个内角。
【课前自测】1. 〔2021•成都〕⊙O的面积为9πcm2，假设点0到直线l的距离为πcm，那么直线l与⊙O的位置关系是〔〕A、相交B、相切C、相离D、无法确定2.如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．假设∠A＝26°，那么∠ACB的度数为▲．3. ⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，那么⊙O上有且只有__________个点到直线AB的距离为3．4. 如图，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC＝3BC，CD与⊙O相切，切点为D．假设CD＝，那么线段BC的长度等于▲．5.如图23，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，假设∠ABC=32°，那么∠P的度数为。
【例题讲解】例1. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，假设∠A=25°，那么∠D等于A．20°B．30°C．40°D．50°例2BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧AB上的一点，过M作⊙O的切线MP交OA的延长线于点P，MD交OA于点N。
〔1〕求证：PM=PN(2) 假设BD=4, 2PA=3AO，过点B作BC//PM，交⊙O于点C，求BC的长。
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一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定1． 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点 （3）过圆心_l _A_A_l _l三、三角形内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-四、典例分析：切线的性质及判定【例1】 如图，AB 是O e 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作O e 的切线，切点为C ，若25A =︒∠，则D =∠______．例1 例2 巩固【例2】 如图，直线AB 与O ⊙相切于点A ，O ⊙的半径为2，若30OBA ∠=︒，则OB 的长为( )A ．B ．4C ．D ．2_ O_F _E_ D _ C _ B_ A_ C_ B _ A _ C_ B_ A_c_ b _a_c_ b_aAD【巩固】如图，AB 与O ⊙相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，60AOB ∠=︒，4cm BC =，则切线AB = cm ．【例3】 如图，若O e 的直径AB 与弦AC 的夹角为30︒，切线CD 与AB 的延长线交于点D ，且O e 的半径为2，则CD 的长为（ ）A．B． C ．2 D ．4巩固【巩固】如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB，BC AD ⊥于点C ，2AB =，半圆O 的半径为2，则BC 的长为【例4】 如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D C E ，，．求证：以AB 为直径的圆与CD 相切．例4巩固 【巩固】如图，已知以直角梯形ABCD 中，以AB 为直径的圆与CD 相切，求证：以CD 为直径的圆与AB相切．【例5】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE AC ⊥，垂足为点E ． 求证：（1）ABC ∆是等边三角形；（2）13AE CE =．【巩固】如图，MP 切O ⊙于点M ，直线OP 交O ⊙于点A B 、，弦AC MP ∥，求证：MO BC ∥．_ A_ O_C _B _AM OA DCB【例6】 如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
求证：AC 是O e 的切线。
【例7】 如图，已知AB 是O e 的直径，BC 为O e 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ， OA r =。
（1）求证：CD 是O e 的切线； （2）求AD OC ⋅的值；（3）若92AD OC r +=，求CD 的长。
【巩固】 如图，已知AB 是O e 的直径，BC 是和O e 相切于点B 的切线，过O e 上A 点的直线AD OC ∥，若2OA =且6AD OC +=，则CD = 。
【巩固】 如图，AB 是半圆（圆心为O ）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC与弦AD平行且交BM 于C 。
（1）求证：CD 是半圆的切线；（2）若AB 长为4，点D 在半圆上运动，设AD 长为x ，点A 到直线CD 的距离为y ，试求出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
【例8】 如图，AC 为O e 的直径，B 是O e 外一点，AB 交O e 于E 点，过E 点作O e 的切线，交BC 于D 点，DE DC =，作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是O e 的切线； （2）EM FM =。
【例9】 如图，割线ABC 与O e 相交于B 、C 两点，D 为O e 上一点，E 为»BC的中点，OE 交BC 于F ，DE 交AC 于G ，ADG AGD ∠=∠。
ODCBACBD CBAE（1）求证：AD 是O e 的切线；（2）如果242AB AD EG ===，，，求O e 的半径。
【例10】 如图，已知点E 在ABC ∆的边AB 上，以AE 为直径的O ⊙与BC 相切于点D ，且AD 平分BAC ∠．求证：AC BC ⊥．【巩固】AB 是圆的直径，BC 是它的弦，过C 作圆的切线CD ，过B 作BEABC EBC ∠=∠．【例11】 如图，已知Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 于D ，过D 作O ⊙的切线DE交BC 于E ．求证：BE CE =．【巩固】如图，已知O ⊙的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA EC =，延长EC 到点P ，连结PB ，若PB PE =，试判断PB 与O ⊙【例12】 如图，点P 在O e 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切O e 于点C ，连结BC ．（1）求P ∠的正弦值；（2）若O e 的半径2cm r =，求BC 的长度．【巩固】在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ．（1）求证：BD BF =；（2）若64BC AD ==，，求O ⊙的面积．_ D _ C _ A_ O_ B_ C_ D _E_P【例13】 如图所示，AB 是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ，若AEC ODB ∠=∠．（1）判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明； （2）当108AB BC ==，时，求BD 的长．【巩固】已知：如图，⊙O 的直径AB =8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ．（1）若120ACP ∠=︒，求阴影部分的面积；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC于点4tan 60PC =⋅︒=，∠83OPC S S S π∆=-=阴影扇形BOC 的大小是否发生变化若变化，请说明理由；若不变，求出∠12的度数．【例14】 在平行四边形ABCD中，1060AB AD m D ==∠=︒，，，以AB 为直径作O ⊙，（1）求圆心O 到CD 的距离(用含m 的代数式来表示)； （2）当m 取何值时，CD 与O ⊙相切．【例15】 已知：如图，O ⊙的直径AB 与弦CD 相交于E ，»»BCBD =，O ⊙的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ．（1）求证：CD BF ∥．（2）连结BC ，若O ⊙的半径为4，3cos 4BCD ∠=，求线段AD CD 、的长．BA_C【巩固】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，34AC BC ==，．O 为BC 边上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边和AB 边分别交于点D E ，，连结DE ． （1）当3BD =时，求线段DE 的长；（2）过点E 作半圆O 的切线，当切线与AC 边相交时，设交点为F ．求证：FAE ∆是等腰三角形．典例分析：切线长定理及切线性质的应用【例16】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点O 在BC 上，以O 为圆心的O e 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB a =， AC b =，则O e 的半径为（ ） AB 、a b ab + C 、ab a b + D 、2a b+ 【例17】 如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，BC 与以AD 为直径的O e 相切于点E ，9AB =，4CD =，则四边形ABCD 的面积为 。
【例18】 如图，过O e 外一点P 作O e 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD BE =，BD AF =，连结DE 、DF 、EF ，则EDF ∠=（ ） A 、90P ︒∠－ B 、1902P ︒-∠ C 、180P ︒-∠ D 、1452P ︒∠-【例19】 如图，已知ABC ∆中，AC BC =， CAB α∠=（定值），O e 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。
（1）求POQ ∠；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与O e 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断DOE ∠的大小是否保持不变，并说明理由。
C FBA CE BNQP ODCBA【例20】 如图，O e 为Rt ABC ∆的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若6AD =，4BD =，则ABC ∆的面积为 。
【例21】 正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则:CF FD =（ ）A 、1∶2B 、1∶3C 、1∶4D 、2∶5【巩固】 如图，以正方形ABCD 的边AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，CG 切半圆于E ，交AD于F ，交BA 的延长线于G ，8GA =。
（1） 求G ∠的余弦值；（2）求AE 的长。