高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2.2复数的乘法与除法教材习题点拨北师大选修2-2创新
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2_2复数的乘法与除法同步练习北师大版选修2-2
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2.2 复数的乘法与除法同步练习 北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.（2006安徽高考，理1） 复数i i-+331等于（ ） A.i B.-i C.3+i D.3-i答案：思路分析：只要将其分子分母同乘以分母的共轭复数3+i,进行分母实数化,即可将复数式化简.不过如果将分子提出一个复数i,则可直接将分母约去.i i i i i --=-+3)3(331 =i. 2.（2006广东高考，理2文2） 若复数z 满足方程z 2+2=0,则z 3等于（ ） A.±22 B.-22 C.-22i D.±22i答案：D思路分析：先要由z 2+2=0求出z,再将z 3变为z·z 2=-2z,即可求之.由z 2+2=0i z i z 2223±=⇒±=⇒. 3.（2006陕西高考，理2） 复数ii -+1)1(2等于（ ） A.1+i B.-1-i C.1-i D.-1+i答案：D思路分析：先将分子展开,再利用分母实数化化简.)1)(1()1(2121)1(2i i i i i i i i +-+=-=-+=i-1. 4.（2005湖南高考，理1） 复数z=i+i 2+i 3+i 4的值是（ ）A.-1答案：B思路分析：z=i+i 2+i 3+i 4=i-1-i+1=0.5.（2006江西高考，理2） 已知复数z 满足(3+3i)z=3i,则z 等于（ ） A.2323-i B.43-43i C.23+23i D.43+43i 答案：D思路分析：其实两复数相乘所得的积除以一个因式即为另一个因式,然后进行分母实数化.z=43312)33(3333+=-=+i i i i i. 6.复数z=i-11的共轭复数是（ ） A.21+21i B.21-21i C.1-i D.1+i 答案：B思路分析：先将其化简,再求共轭复数;也可直接先求共轭复数,再化简. ∵z=i i i i i 2121)1)(1(111+=+-+=-, ∴i z 2121+==2121-i. 7.复数z=i+2i 2+3i 3+4i 4+…+2 006i 2 006的值为_____________.答案：-1 004+1 003i思路分析：由于等式的右边一共是 2 006项,而从第三项起,每连续四项和,如3i 3+4i 4+5i 5+6i 6=-3i+4+5i-6=-2+2i 均为此值,故除第一、二项外,后面的2 004项的和即可求得.由题意,由于从第三项起,每连续四项的和均为-2+2i,故除第一、二项外,余下2 004项的和即为（-2+2i ）×501,所以,原式=i+2i 2+501×(-2+2i)=i-2-1002+1 002i=-1 004+1 003i.8.已知z∈C ,解方程z z -3i z =1+3i.解：设z=x+yi(x,y∈R ),将z=x+yi 代入原方程,得(x+yi)(x-yi)-3i·(x -yi)=1+3i,整理得x 2+y 2-3y-3xi=1+3i.根据复数相等的定义,得⎩⎨⎧=-+=-)2.(13)1(,3322y y x x由(1)得x=-1,将x=-1代入(2)式解得y=0,或y=3,∴z 1=-1,z 2=-1+3i.思路分析：设复数z 之后由复数相等解方程组即可.综合应用9.计算)12(32132i ii -+++- 1 996. 解：原式=])12[(321)321(2i i i i -+++998=i+（i 22-）998=i+i 998 =i+i 4×249+2=i+i 2=-1+i.思路分析：本题若按复数除法和乘方法则直接计算,则显得十分繁琐,若能结合题目特点,联想结论(1±i)2=±i 和ω的性质,并注意到-2+3i=i(1+23i),计算起来就会简单得多.10.已知11+-z z 为纯虚数,且(z+1)(z +1)=|z|2,求复数z. 解：由(z+1)(z +1)=|z|2⇒z+z =-1,(1) 由11+-z z 为纯虚数,1111+-++-z z z z =0⇒z ·z -1=0.(2) 设z=a+bi 代入(1)(2)得a=21-,a 2+b 2=1, ∴a=21-,b=±23,∴z=21-±23i. 思路分析：先将11+-z z 为纯虚数的条件化简,再设z=a+bi 来求解. 11.已知x,y∈R ,若x 2+2x+(2y+x)i 和3x-(y+1)i 是共轭复数,求复数z=x+yi 和z .解：若两个复数a+bi 与c+di 共轭,则a=c 且b=-d ，由此得到关于x,y 的方程组: ∴z=i 或z=1,z =-i 或z =1.思路分析：由互为共轭复数的概念将复数问题实数化,这是解题的关键.12.已知z=1+i,(1)设ω=z 2+3z -4，求ω.(2)如果122+-++z z b az z =1-i,求实数a,b 的值. 解：(1)∵z=1+i,∴ω=z 2+3z -4=(1+i)2+3)1(i +-4=-1-i. (2)由122+-++z z b az z =1-i,把z=1+i 代入,得1)1()1()1()1(22++-+++++i i b i a i =1-i,即i i a b a )2()(+++ ∴(a+b)+(a+2)i=(1-i)i=1+i,∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+=+.2,1,1,12b a b a a 解得 思路分析：(1)采用代入法求ω.(2)代入化简后,通过复数相等,把复数问题转化为实数问题来解.。
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2 复数的四则运算 复数的乘法与除法教案 北师大版选修22
复数复数的乘法与除法一、教学目标：1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。
2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。
3、情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
二、教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习准备1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2+⨯- （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）（二）、探析新课1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
高中数学第5章数系的扩充与复数的引入2复数的四则运算北师大版选修
2i－[(3＋2i)－(－1＋3i)]
(2) －4＋3i ＝2i－[(3＋1)＋(2－3)i]
＝2i－(4－i)＝－4＋3i.
(3)
－2a＋(5b－
(a＋bi)－(3a－4bi)－5i ＝(a－3a)＋(b＋4b－5)i
5)i
＝－2a＋(5b－5)i.
复数加减法法则的记忆： 法一：实部与实部相加减做为实部，虚部与虚部相加减做 为虚部． 法二：把 i 看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并 同类项．
§2 复数的四则运算
课前预习学案
已知复数 z1＝3＋4i，z2＝－2＋i， (1)z1 对应的向量O→Z1的坐标是什么？z2 对应的向量O→Z2的坐 标是什么？
(2)求出O→Z1＋O→Z2、O→Z1－O→Z2的坐标，那么向量O→Z1＋O→Z2和 O→Z1－O→Z2对应的复数又分别是什么呢？
[提示] (1)O→Z1＝(3,4)，O→Z2＝(－2,1)． (2)O→Z1＋O→Z2＝(1,5)，O→Z1－O→Z2＝(5,3)， 它们对应的复数分别为 1＋5i 和 5＋3i.
1．计算： (1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
பைடு நூலகம்
解析：
序号
结论
理由
原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i (1) －4－10i
＝－4－10i；
(2)
0
原式＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0；
原式＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i (3) －a＋(4b－3)i
＝－a＋(4b－3)i.
复数的乘除运算
计算： (1)(1－2i)(2＋i)(4－3i)； (2)－12＋ 23i－12－ 23i； (3)56＋－65ii； (4)13－－24ii2－42－＋3ii2. [思路导引] 直接利用复数的乘除法法则计算，注意乘法 公式及特殊复数的运算结果的应用．
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.2 复数的乘法与除法课件 北师大版选修2-2
【解析】1.因为xi-y=-1+i，所以 则(1+i)x+y=(1+i)2=2i. 答案：2i
x 1,
y
1.
21
2.z1=
(1－3i)(1＋i)＝2－i. 22
设z2=a+2i，z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
因为z1·z2是实数，所以4-a=0，即a=4，所以z2=4+2i.
55
55
49
类型三 复数的除法运算及综合应用 角度1 复数的除法运算 【典例】1.(2018·天津高考)i是虚数单位，复数 6 7 i =________.
1 2i
50
2.(2018·北京高考)在复平面内，复数
数对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1 的共轭复
1 i
复习课件
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.2 复数的乘法与除法课 件 北师大版选修2-2
1
2.2 复数的乘法与除法
2
3
1.共轭复数的概念 (1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫作互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数.
4
(2)表示：通常记复数z的共轭复数为__z_. (3)性质：若z=a+bi，则z· =a2+z b2=|z|2.
59
2.复数 |1＋2i|＋(1 3i)2=________.
1i
【解析】原式= 12( 2)2＋(1(－ 1i3)i2)2
＝ 3＋ 223i＝ 3＋ i－ 3＝ i. 2i
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入复习小结教案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学
第五章数系的扩充与复数的引入三维目标数系扩充的过程表达了数学的发现和创造过程，同时表达了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。
在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
提炼的课题复数的除法教学手段运用教学资源选择PPT 或试卷教学过程A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1 [解析] ∵(a ＋i)i ＝a i －1＝b ＋i ， ∴a ＝1，b ＝－1. [答案] D5．(2013·某某高二检测)图1假设i 为虚数单位，图1中复平面内点Z 表示复数z ，那么表示复数z1＋i 的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H[解析] 由图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i＝3＋i 1－i 1＋i 1－i ＝4－2i2＝2－i ， ∴表示复数z1＋i 的点为H .应选D.[答案] D6．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0 D ．1 024i[解析] (1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，∴(1＋i)20－(1－i)20＝(2i)10－(－2i)10＝0. [答案] C7．设复数z 满足1＋2iz＝i ，那么z ＝( )A ．－2＋iB ．－2－iC ．2＋iD ．2－i [解析] ∵1＋2i z＝i ，∴z ＝1＋2i i ＝1＋2i i－1＝2－i ，∴z ＝2＋i. [答案] C8．(2013·某某高考)复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，那么z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限[解析] ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限． [答案] D9．(2013·某某高考)假设复数z 满足i z ＝2＋4i ，那么在复平面内z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4)C ．(4，－2) D ．(4,2) [解析] 因为i z ＝2＋4i ，所以z ＝2＋4i i ＝2＋4i －ii －i＝4－2i.在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(4，－2)，选C.[答案] C10．设a ，b 为实数，假设复数1＋2ia ＋b i ＝1＋i ，那么( )A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3[解析] ∵1＋2i a ＋b i＝1＋i ，∴a ＋b i ＝1＋2i 1＋i ＝1＋2i 1－i 2＝3＋i 2＝32＋12i ，∴a ＝32，b ＝12.[答案] A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，那么a ＝________.[解析]a －i1＋i＝a －i1－i2＝a －12－a ＋12i.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝0，a ＋12≠0，∴a ＝1.[答案] 112．(2013·某某高考)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，那么复数z 的模为________． [解析] z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋－42＝5.[答案] 513．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，那么复数z 在复平面内对应的点位于第________象限．[解析] ∵a 1－i ＝a 1＋i2＝a 2＋a2i ， b 1－2i＝b 1＋2i5＝b 5＋2b 5i ， 53＋i ＝53－i 10＝32－12i ， ∴(a 2＋b 5)＋(a 2＋2b 5)i ＝32－12i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 5＝32，a 2＋2b 5＝－12.∴a ＝7，b ＝－10，∴z ＝7－10i ，对应的点位于第四象限． [答案] 四14．(2012·某某高考)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i 1－2i (i 为虚数单位)，那么a ＋b 的值为________．[解析] ∵11－7i 1－2i ＝11－7i1＋2i 1－2i 1＋2i ＝15(25＋15i)＝5＋3i ，∴a ＝5，b ＝3， ∴a ＋b ＝5＋3＝8. [答案] 8三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题总分值12分)(2013·某某高二检测)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． [解] z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，(1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或2，即m ＝1或2时，z 为实数． (2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．16．(本小题总分值12分)a ∈R ，复数z ＝1＋i3·a －i22a －3i2，假设|z |＝23，某某数a 的值．[解] 设z 1＝1＋i ，z 2＝a －i ，z 3＝a －3i ， 那么有|z 1|＝2，|z 2|＝a 2＋1，|z 3|＝a 2＋9. ∵|z |＝|z 1|3·|z 2|22|z 3|2＝23，∴22a 2＋12a 2＋9＝23， ∴3a 2＋3＝a 2＋9，∴a 2＝3，∴a ＝± 3.17．(本小题总分值14分)假设|z |＝1，且z 2＋2z ＋1z为负实数，求复数z .[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由题意得a 2＋b 2＝1.z 2＋2z ＋1z ＝(a ＋b i)2＋2(a ＋b i)＋1a ＋b i＝a 2－b 2＋2ab i ＋2a ＋2b i ＋a －b ia ＋b i a －b i＝(a 2－b 2＋3a )＋(2ab ＋b )i 为负实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＋3a <0，2ab ＋b ＝0，又∵a 2＋b 2＝1，∴可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝±32，。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2.1复数的加法与减法例题与探究北师大版选修2-2资料
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2.1 复数的加法与减法例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究复平面上的轨迹问题.求复平面上的轨迹问题通常有两种途径:一是设z=x+yi(x,y∈R ）,依据条件转化为关于x 与y 的方程,从而得出所求轨迹. 在平时,我们常见的用复数表示的基本轨迹方程如下(设动点Z 、定点Z 1、Z 2所对应的复数分别为z 、z 1、z 2,r 、r 1、r 2、a>0,Z 0为定点,对应复数为z 0).(1)复平面上两点Z 1、Z 2的距离公式:d=|z 1-z 2|;(2)方程|z-z 0|=r 表示:是以点Z 0为圆心,以r 为半径的圆;(3)式子|z-z 0|<r 表示:是以点Z 0为圆心,以r 为半径的圆的内部;(4)式子r 1<|z-z 0|<r 2表示:是以点Z 0为圆心,以r 1为半径的圆和以点Z 0为圆心,以r 2为半径的圆之间的部分,不含边界;(5)方程|z-z 1|+|z-z 2|=2a 表示:①当Z 1Z 2<2a 时,是以定点Z 1、Z 2为焦点,以2a 为长轴长的椭圆;②当Z 1Z 2=2a 时,是线段Z 1Z 2;(3)当Z 1Z 2>2a 时,点Z 无轨迹.(6)方程|z-z 1|-|z-z 2|=±2a 表示:以定点Z 1、Z 2为焦点,以2a 为实轴长的双曲线;(7)方程|z-z 1|=|z-z 2|表示:线段Z 1Z 2的中垂线.二是结合“基本轨迹方程”,充分考虑复数的整体性,运用条件及有关性质(如模、共轭复数的性质等),探求轨迹上的点所对应的复数z 具有的特征及满足的方程(解析几何代入法是求轨迹的常用思想方法).高手支招4典例精析【例1】 已知复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|=1,且z 1＋z 2=i,求z 1、z 2的值.思路分析:根据两复数的关系z 1＋z 2=i 来设复数z 1、z 2可以减少未知数的个数,从而使式子简化便于求解.解:由z 1＋z 2=i 是纯虚数,且|z 1|=|z 2|=1,可设z 1=a ＋bi,z 2=-a ＋bi(a,b∈R).且a 2＋b 2＝1,于是由(a ＋bi)＋(-a ＋bi)=i.可得b=21,a=±23. ∴z 1=23＋21i,z 2=23-＋21i,或z 1=23-＋21i,z 2=23＋21i. 【例2】 解方程3+z=5+4i.思路分析:设z=x+yi(x,y∈R ),由复数相等将问题转化为实数方程问题,或由减法定义,转化为求两数的差.解:设z=x+yi(x,y∈R ),则将方程变形为3+x+yi=5+4i,则有:⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+,4,2,4,53y x y x 解得∴z=2+4i. 【例3】 复数z 1=1+2i,z 2=-2+i,z 3=-1-2i,它们在复平面上的对应点分别是一个正方形的三个顶点A 、B 、C,如右图.求这个正方形ABCD 的第四个顶点D 对应的复数.思路分析:利用AD =BC 或者DC AB =,求点D 对应的复数.也可利用正方形的性质,对角线相等且互相平分,相对顶点连线段的中点重合,即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解.解法1:设正方形的第四个顶点D 对应的复数为z=x+y i(x,y∈R ),则=-=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,-==(-1-2i)-(-2+i)=1-3i,∵=,∴(x -1)+(y-2)i=1-3i,∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 即⎩⎨⎧-==,1,2y x 故点D 对应的复数为2-i.解法2:设正方形的第四个顶点D 对应的复数为z=x+yi(x,y∈R ),∵点A 与点C 关于原点对称,∴原点O 为正方形的中心.∴点O 也是B 与D 点的中点,于是由(-2+i)+(x+yi)=0,∴x=2,y=-1,∴点D 对应的复数为2-i.高手支招5思考发现1.在解决复数的问题时,如果能用上复数的几何表示,结合几何图形来分析,经常能使过程简化,是数形结合的体现.2.由复平面内适合某种条件的点的集合来求其对应复数时,通常由其对应关系,列出方程(组)或不等式(组)来解决.3.复平面内两点间距离公式的复数表示式,由复数减法的几何意义,可得复平面同两点间距离公式:d=|z 1-z 2|.其中z 1,z 2是复平面内的两点Z 1、Z 2所对应的复数,d 表示Z 1和Z 2之间的距离.。
数学北师版选修2-2第五章1 数系的扩充与复数的引入
§1 数系的扩充与复数的引入 学习目标重点难点 1.了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用．2．能说出复数的有关概念及两复数相等的充要条件．3．了解复平面的概念，理解并掌握复数的几何意义. 重点：复数的概念及代数形式，复数的几何意义． 难点：复数相等的充要条件，复数几何意义的应用.平方等于－1的数用符号______表示，规定________，我们把______叫作虚数单位．形如________的数叫作复数(a ，b 是实数，i 是虚数单位)．a 与b 分别叫作复数的______与______．根据复数a ＋b i 中a ，b 的取值不同，复数可以有以下的分类：复数a ＋b i ⎩⎨⎧ 实数( )虚数( )⎩⎨⎧ 纯虚数( )非纯虚数( )复数的全体组成的集合叫作________，记作C ，显然________．预习交流1议一议：你能用Venn 图表示复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系吗？2．复数的有关概念两个复数a ＋b i 与c ＋d i 相等，当且仅当它们的________与________分别相等，记作a ＋b i ＝c ＋d i.即a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当________．当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为________，x 轴称为________，y 轴称为________．复数集C 和复平面内所有的点构成的集合是________的，即任一个复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点________是对应的．点Z 到原点的________|OZ |叫作复数z 的模或绝对值，记作________，显然________．两个复数一般__________，但__________它们模的大小．预习交流2想一想：引进虚数单位之后，两数还能比较大小吗？答案：预习导引1．i i 2＝－1 i a ＋bi 实部 虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0 a ≠0 复数集 R C 预习交流1：提示：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如下图所示：2．实部 虚部 a ＝c ，且b ＝d 复平面 实轴 虚轴 一一对应 Z (a ，b ) 距离 |z | |z |＝a 2＋b 2 不能比较大小 可以比较预习交流2：提示：两个复数不全是实数时不能比较大小，只能说相等或不相等．若两个复数都是实数则可以比较大小．两个复数可以比较它们模的大小．在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！实数k 为何值时，复数(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．思路分析：根据复数的有关概念进行求解．已知复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2－3m －4)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )．A ．m ＝4B ．m ＝－2C ．m ＝－1D ．m ≠－1且m ≠4 研究一个复数在什么情况下是实数，虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部有意义．对于纯虚数，除了虚部不为0外，勿忘实部必须为零．二、复数相等已知2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ，求实数x ，y 的值．思路分析：利用复数相等的性质，列出方程组，再解方程组．若a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )，i 为虚数单位，则a 2＋b 2＝( )．A ．0B ．2 C.52 D ．5两个复数相等时，应分清两复数的实部和虚部，然后让其实部和虚部分别相等，列出方程组求解．若z＝x＋y i＝a＋b i，未说明x，y，a，b为实数时，就不能这样处理．三、复数的几何意义若复数z＝(m－2)＋m i的模等于2，求实数m的值．思路分析：利用复数模的定义求解．已知z1＝2－2i，|z|＝1，求|z－z1|的最大值．复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离，因此|z1－z2|表示z1，z2两复数表示的两点之间的距离．答案：活动与探究1：解：z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i，(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6，或k＝－1.(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6，且k≠－1.(3)当⎩⎨⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4. (4)当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1. 综上所述：当k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数；当k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数；当k ＝4时，z 是纯虚数；当k ＝－1时，z ＝0.迁移与应用： B 解析：当⎩⎨⎧m 2－2m －8＝0，m 2－3m －4≠0时，z 为纯虚数，解得m ＝－2. 活动与探究2：解：∵x ，y 为实数，(2x －1)＋(y ＋1)i ＝(x －y )＋(－x －y )i ， ∴⎩⎨⎧ 2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2. 迁移与应用：D 解析：∵a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )， ∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，∴a 2＋b 2＝(－1)2＋22＝5. 活动与探究3：解：由题意得(m －2)2＋m 2＝2，即2m 2－4m ＋4＝4，解得m ＝2或0.即实数m 的值为0或2.迁移与应用：解：z 对应的点可看成以原点为圆心，以1为半径的圆O ，而z 1对应的点是Z 1(2，－2)， ∴|z －z 1|就是点Z 1(2，－2)到圆O 上点的距离，∴|z －z 1|的最大值为|OZ 1|＋1＝22＋1.1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．－1或12．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )．A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆3．复数z 满足|z ＋3－3i|＝3，则|z |的最大值和最小值分别是__________．4．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .5．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 答案：1．A 解析：∵z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1. 2．B 解析：∵|z －i|＝32＋42＝5，∴z 在复平面上对应点的轨迹是到(0，1)的距离为5的圆．3．33，3 解析：|z |表示z 的对应点到原点的距离，|z ＋3－3i|＝3，表示以(－3，3)为圆心，以3为半径的圆，则|z |的最大值为(－3)2＋3＋3＝33，最小值为(－3)2＋3－3＝ 3.4．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， ∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8，∴z ＝－15＋8i. 5．解：复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. (1)当⎩⎨⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0时，z 为实数，∴m ＝－2. (2)当⎩⎨⎧m ＋3≠0，m 2＋5m ＋6≠0时，z 为虚数， ∴m ≠－3，且m ≠－2. (3)当⎩⎨⎧ m 2－m －6＝0，m ＋3≠0，m 2＋5m ＋6≠0时，z 为纯虚数，∴m ＝3.综上所述：m ＝－2时，z 为实数；m ≠－3，且m ≠－2时，z 为虚数；m ＝3时，z 为纯虚数．。
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2 复数的四则运算教案(含解析)北师大版选修2-2-北师大
2复数的四则运算复数的加法与减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c ＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.问题2：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．加(减)法法则设a＋b i与c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意复数，则(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.2．运算律对任意的z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1(交换律)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)(结合律).复数的乘法问题1：复数的加减法类似多项式加减，试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？提示：是．问题2：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？提示：满足．问题3：试举例验证复数乘法的交换律．提示：若z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.复数的乘法(1)定义：(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)运算律：①对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3②复数的乘方：任意复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2.共 轭 复 数观察下列三组复数： (1)z 1＝2＋i ；z 2＝2－i ； (2)z 1＝3＋4i ；z 2＝3－4i ； (3)z 1＝4i ；z 2＝－4i.问题1：每组复数中的z 1与z 2有什么关系？ 提示：实部相等，虚部互为相反数．问题2：试计算每组中的z 1z 2，你发现有什么规律？ 提示：z 1与z 2的积等于z 1的实部与虚部的平方和．共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做共轭复数．复数z 的共轭复数用z 来表示，也就是当z ＝a ＋b i 时，z ＝a －b i.于是z z ＝a 2＋b 2＝|z |2.复数的除法我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数a ＋b i ，c ＋d i(c ＋d i≠0)．若(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i ，则x ＋y i ＝a ＋b ic ＋d i叫做复数a ＋b i 除以c ＋d i 的商．问题1：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用a ，b ，c ，d 表示出x ，y .提示：由(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i 得xc －yd ＋(xd ＋yc )i ＝a ＋b i.即⎩⎪⎨⎪⎧xc －yd ＝a ，xd ＋yc ＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ac ＋bdc 2＋d 2，y ＝bc －adc 2＋d 2.问题2：运用上述方法求两个复数的商非常繁琐，有更简便的方法求两个复数的商吗？ 提示：可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后，再进行运算．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．1．复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法和乘法相类似，但应注意在乘法中必须把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．2．复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．复数的加减运算[例1] 计算：(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R)． [思路点拨] 利用复数加减运算的法则计算． [精解详析] (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋[b －(－3b )－3]i ＝－a ＋(4b －3)i. [一点通] 复数加、减运算的方法技巧：(1)复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减；(2)把i 看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项．1．计算：(1＋2i)＋(－2－3i)－(3－2i)． 解：(1＋2i)＋(－2－3i)－(3－2i) ＝[－1＋(2－3)i]－(3－2i) ＝－4＋(2＋2－3)i.2．若(3－10i)y ＋(－2＋i)x ＝1－9i ，某某数x ，y 的值． 解：原式化为3y －10y i ＋(－2x ＋x i)＝1－9i. 即(3y －2x )＋(x －10y )i ＝1－9i.∴⎩⎪⎨⎪⎧3y －2x ＝1，x －10y ＝－9，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.复数的四则运算[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＋i 5； (4)3－4i 2＋2i24＋3i＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2.[思路点拨] 按照复数的乘法与除法运算法则进行计算． [精解详析] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. (3)原式＝－2＋3i 1＋2i ＋i 5＝－2＋3i1－2i 1＋2i1－2i＋(i 2)2·i＝4＋7i 5＋i ＝45＋125i. (4)3－4i 2＋2i 24＋3i ＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝3－4i ·8i 4＋3i ＋－2i2i＝84＋3i4＋3i－1＝8－1 ＝7. [一点通](1)复数的乘法可以把i 看作字母，按多项式的乘法法则进行，注意把i 2化成－1，进行最后结果的化简；复数的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行化简．(2)i m(m ∈N ＋)具有周期性，且最小正周期为4，则 ①i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n＝1(n ∈N ＋)；②i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N ＋)．3．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B.－1－i C.1＋iD.1－i解析：选A z ＝2i1－i＝2i 1＋i1－i 1＋i＝－1＋i ，故选A.4．若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4B.－45C ．4D.45解析：选D 因为|4＋3i|＝ 42＋32＝5，所以已知等式为(3－4i)z ＝5，即z ＝53－4i ＝53＋4i 3－4i 3＋4i ＝53＋4i 25＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以复数z 的虚部为45，选择D. 5．计算：(1)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)；(2)2＋2i 34＋5i 5－4i1－i.解：(1)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i) ＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝24－8i －6i －2＋28－21i －4i －3 ＝47－39i. (2)2＋2i 34＋5i 5－4i 1－i＝221＋i 3i 5－4i5－4i1－i＝221＋i 4i 2＝2(1＋i)4i＝2i[(1＋i)2]2＝2i(2i)2＝－42i.共 轭 复 数[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.[一点通] 已知关于z 和z 的方程，求z 的问题，解题的常规思路为设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程组求解．6．复数z ＝－3＋i 2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋i B.2－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：选D z ＝－3＋i2＋i＝－3＋i 2－i2＋i2－i ＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.7．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数⎝ ⎛⎭⎪⎫2z＋z 2·z ＝________.解析：对于2z ＋z 2＝21－i＋(1－i)2＝1＋i －2i ＝1－i ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2z＋z 2·z ＝(1－i)(1＋i)＝2. 答案：28．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z z＝________.解析：因为(1＋2i)z ＝4＋3i ， 所以z ＝4＋3i1＋2i＝4＋3i1－2i5＝2－i ， 故z ＝2＋i ，zz ＝2－i2＋i ＝2－i 25＝3－4i 5＝35－45i.答案：35－45i9．已知复数z 1＝5＋i ，z 2＝i －3，且1z＝z 1＋z 2，求复数z .解：由已知得：z 1＝5－i ，z 2＝－3－i ， ∴1z＝z 1＋z 2＝(5－i)＋(－3－i)＝2－2i ，∴z ＝12－2i ＝12×11－i ＝14＋14i.1．复数的四则运算顺序与实数运算顺序一致，即先算平方，再算乘除，最后算加减，同时要注重复数运算中的独特技巧，如：(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N ＋)等，在解题中可使运算简化．2．解决共轭复数问题时，除用共轭复数定义解题外，也常用下列结论简化解题过程． ①z ·z ＝|z |2＝|z |2； ②z ∈R ⇔z ＝z ；③z ≠0，z 为纯虚数⇔z ＝－z .1．(1＋2i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋52i ＝( ) A ．－2i B ．2－2i C ．2＋2i D ．2解析：选B 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32－52i ＝2－2i. 2．已知a 为正实数，i 为虚数单位，若a ＋ii的模为2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C.2D ．1 解析：选B 因为a ＋ii＝1－a i ，所以 1＋a 2＝2，又a >0，故a ＝ 3.故选B.3．计算：－1＋3i31＋i 6＋－2＋i 1＋2i＝( ) A ．0 B ．1 C ．i D ．2i 解析：选 D －1＋3i31＋i6＋－2＋i 1＋2i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3i 2i 3＋－2＋i 1－2i5＝i ＋i ＝2i.故选D.4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0 D ．512解析：选 C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i6．若复数z 满足z －3(1＋z )i ＝1，则z ＋z 2＝________. 解析：由题得z －3i －3z i －1＝0， 则z ＝1＋3i 1－3i＝－12＋32i ，所以z ＋z 2＝－12＋32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝－1.答案：－1 7．计算：(1)(2＋2i)2(4＋5i)； (2)1＋i2＋31－i2＋i.解：(1)(2＋2i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i) ＝4i(4＋5i) ＝－20＋16i. (2)1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.8．复数z ＝1＋i3a ＋b i1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，某某数a ，b 的值．解：z ＝1＋i2·1＋i1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a ＜0，b ＜0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
【高中】高中数学第五章数系的扩充与复数的引入22复数的乘法与除法例题与探究北师大版选修22
【关键字】高中高中数学第五章数系的扩充与复数的引入 2.2 复数的乘法与除法例题与探究北师大版选修2-2高手支招3综合探究进行单数的除法运算的步骤利用单数的除法定义:把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di≠0)的单数 x+yi叫做单数a+bi除以单数c+di的商,记作(a+bi)÷(c+di)或,从而利用单数相等求得x,y的值即可.∵(c+di)(x+yi)=(cx-dy)+(dx+cy)i,∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi,由此可得解这个方程组得于是有(a+bi)÷(c+di)=.在进行单数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭单数c-di,化简后,也可以得出上面的结果.高手支招4典例精析【例1】 (2006浙江高考，理2) 已知=1-ni,其中m、n是实数,i是虚数单位,则m+ni=（）A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i思路分析:可先将=1-ni去分母后展开化简,再利用单数相等解之.本题也可将等式左边分母实数化,再利用单数相等解之.将=1-ni两边同乘以1+i,得m=(1-ni)(1+i)=1+n+(1-n)i,由单数相等法则,得从而所以m+ni=2+i.答案:C 【例2】 (2005高考全国Ⅰ，理1) 单数=( )A.iB.-IC.2-ID.-2+i思路分析:此题可以直接进行分母“有理化”(即分子分母同乘以分母的共轭单数),化简解得,或由观察得出:将分子化简后,分母乘以i则可以得到分子,从而解得.原式=.答案:A 【例3】若单数z=+i,则1+z+z2+z3+…+z2 006( )A.0B.+iC.-iD.-i思路分析:由于z=+i正好是ω的一个值,故具有ω特性,即1+z+z2=0,利用此式,原式即可化简.∴1+z+z2+z3+…+z2 006中连续三项的和均为零,由于1+z+z2+z3+…+z2 006的项数2 007项正好是3的倍数项,故所求的和式为零.答案:A 【例4】 (2006高考全国Ⅰ，理4) 如果单数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于( ) A.1 B.-1 C. D.-思路分析:要使一个单数为实数,那只需要一个条件:虚部为0.将原式(m2+i)(1+mi)展开,得m2+m3i+i+mi2=(m2-m)+(m3+1)i,令其虚部为零,即m3+1=0,即m=-1.答案:B 【例5】 (2007广东高考，理2文2) 若单数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b等于( )A.-2B.C.D.2思路分析:(1+bi)(2+i)=（2-b)+(2b+1)i，依题意2-b=0b=2.答案:D 【例6】 (2007全国高考Ⅰ，理2) 设a是实数,且是实数,则a等于( )A. B.1 C. D.2思路分析:先化简,因为是实数，故其虚部为零，即=0，从而得a=1.答案:B【例7】 (2007高考全国Ⅱ，理3) 设单数z 满足=i,则z 等于… ( )A.-2+iB.-2-IC.2-ID.2+i 思路分析:由=i ，得z===2-i.答案:C【例8】 (2006湖北高考，理11) 设x 、y 为实数,且,则x+y=_____________.思路分析:先将原式两边的分母实数化,然后再利用单数相等即可求得x+y 的值.将原式分母实数化,得(1+i)+(1+2i)=(1+3i),即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0,利用单数相等的充要条件得x+y=4.答案：4【例9】 计算下列各式:(1)i2 006+(+i)8-()50;(2)(i)6.思路分析:(1)充分利用(1±i)2=±2i 及i4n+k=ik 将高次冥化为低次冥.(2)利用ω的性质解答.解:(1)i2 006+(+i)8-()50=i4×501+2+［2(1+i)2］4-［］25=i2+(4i)4-()25=-1+256-i25=255-i;(2)∵ω=+i,∴-i=-ω,∴(-i)6=(-ω)6=(ω3)2=1.【例10】 已知单数z=,若z2+az+b=1+i,试求实数a 、b 的值.思路分析:要求实数a 、b 的值,需先确定单数z 的值,而要确定单数z,需对单数z 进行化简,主要通过单数乘方,加减运算,最后通过分母实数化,从而化得结果.解:∵z=5)2)(3(232332i i i i i i i ++=-+=-++-=1+i, ∴z 2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(2+a)i,由已知z 2+az+b=1+i,∴⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=+,2,1,12,1b a a b a ∴实数a 、b 的值分别为-1,2. 【例11】 已知f(z)=2z+z -3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.思路分析:需要先利用已知式求出z,再将-z 代入f(z)=2z+z -3i 中计算.解:∵f(z)=2z+z -3i,∴f(z +i)=2(z +i)+i z +-3i=2z +2i+z-i-3i=2z +z-2i,又知f(z +i)=6-3i,∴2z +z-2i=6-3i,即2z +z=6-i,设z=a+bi,则z =a-bi,于是有2(a-bi)+a+bi=6-i,所以,⎩⎨⎧-=-=,1,63b a 解得a=2,b=1,∴z=2+i, ∴f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.【例12】 计算:(23-21-i)12+(ii 3122-+)8.思路分析: 23-21-i=i(21-+23i),1-3i=(-2)(21-+23i)，由此,原式可以化简. 解:原式=i 12(21-+23i)12+88)2321()1(i i +-+ =1·1+94)2321()2321()2(i i i +-+- =1+16(21-+23i) =-7+83i.【例13】 已知复数z 1=i(1-i)3.(1)求|z 1|;(2)若|z|=1,求|z-z 1|的最大值.思路分析:(1)求模应求出复数的实部与虚部，再利用|a+bi|=22b a + 得出.(2)是考查复数几何意义的应用.解:(1)z 1=i(1-i)3＝i(-2i)(1-i)=2(1-i),∴|z 1|＝222222=+. (2)|z|=1可看成半径为1、圆心为(０,０)的圆,而点Z 1可看成在坐标系中的点(2,-2), ∴|z -z 1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上点距离的最大值,由右图可知|z-z 1|max =22+1.【例14】 （2005上海春季高考，理18） 证明:在复数范围内,方程|z|2+（1-i ）z -（1+i ）z=ii +-255(i 为虚数单位)无解. 思路分析:将已知条件化简后再由复数相等来解.证明：原方程化简为|z|2+（1-i ）z-（1+i ）z=1-3i.设z=x+yi(x 、y∈R ）,代入上述方程得x 2+y 2-2xi-2yi=1-3i.∴⎩⎨⎧=+=+)2(.322)1(,122y x y x 将(2)代入(1),整理得8x 2-12x+5=0.∵Δ=-16<0,∴方程f(x)无实数解,∴原方程在复数范围内无解.高手支招5思考发现1.利用某些特殊复数的运算结果,如(1±i)2=±2i,(21-±23i)3=1,i1=-i,i i -+11=i,i i +-11=-i,i 的幂的周期性,对于简化复数的运算大有好处,在计算上经常用的结论最好能熟记,以便加快解题速度.2.在化简运算中,要注意运用i 、ω的性质,如当ω=21-+23i 时有: ω=ω2，ω3=1，ω1=ω，ωn +ωn+1+ωn+2=0(n∈N *),i n+i n+1+i n+2+i n+3=0(n∈N * 3.在解题过程中,若能充分利用共轭复数的性质对问题进行等价变形、化简,可使复杂问题简单化,事半功倍.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2_2复数的乘法与除法教材习题点拨北师大版选修22
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 复数的乘法与除法教材习题点拨 北师大版选修2-2教材习题点拨练习(P 107)1.解:(1)（1+3i ）（3+2i ）=3+2i+9i-6=-3+11i ；（2）（-1-2i ）（2i+4）=-2i+4-4-8i=-10i ；(3)（21-+23i ）2=（21-+23i ）（21-+23i ）=41-43i-43i-43=21-23-i ； (4)(3+2i)(-3+2i)=-9+6i-6i-4=-13.思路分析:按照复数相乘的法则分项相乘即可.2.解:(1)i·i 2·i 3·i 4=i 10=-1；(2)i+i 2+i 3+i 4+i 5+i 6+i 7+i 8=i-1-i+1+i-1-i+1=0.思路分析:利用公式:i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i 分别计算即可.3.解:(1)（-2+3i ）3=［(-2+3i)(-2+3i)］(-2+3i)=(-5-12i)(-2+3i ）=46+9i;(2)(1+2i)4=［(1+2i)(1+2i)］2=(4i-3)2=-7-24i. 思路分析:灵活利用复数相乘的法则进行计算即可. 4.解:(1)i i i i i i i i 1321331323)32)(32()32(32+-=+-=+-+=-; (2)1042231)3)(3()3)(1()1)(1()1)(2(3112i i i i i i i i i i i i i i +++=+-++++-++=-++-+ i i i i 1019107101971042)31(5+=+=+++=. 思路分析:综合应用复数的运算法则计算即可.习题5-(P 107)A 组1.解:(1)i+（3+4i ）=3+（i+4i ）=3+5i ；(2)（1-i ）-（1+i ）=（1-1）+（-i-i ）=-2i ；(3)（2-i ）-（3+i ）=（2-3）+（-i-i ）=-1-2i ；(4)（1-4i ）+（2-i ）=（1+2）+（-4i-i ）=3-5i.2.解:(1)（1+i ）（3+4i ）=3+4i+3i-4=-1+7i ；(2)（1-2i ）（1+2i ）=1+2i-2i+4=5；(3)（3+i ）（3-2i ）（1-i ）=［(3+i)(3-2i)］(1-i)=(9-6i+6i+2)(1-i)=8-14i;(4)［（5-4i ）+（1+3i ）］（5+2i ）=（6-i ）（5+2i ）=32+7i.思路分析:综合应用复数的加、减、乘运算法则运算即可.3.解:(1)i 4n +i 4n +1+i 4n +2+i 4n +3=1+i-1-i=0;(2)i 4n ·i 4n +1·i 4n +2·i 4n +3=1·i·(-1)·(-i)=-1.思路分析:注意利用公式i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i.4.解:(1)132)32(32-+=••-=-i i i i i i i =-2i-3;(2)11121)1)(1()1)(1(11+-+=+-++=-+i i i i i i i =i; (3)i i i i i i i i i i i 545354322412)2)(2()2)(2(2222+-=+-=-+-+=-+--=+-; (4)i i i i i i i i i i i 51513513)2(110563)21)(21()21)(53(215322+=+=-+-+=+-+-=--. 思路分析:进行复数的除法时,要注意将分母转化为实数.5.解:(1)（1+2i)2=1+4i-4=-3+4i;(2)(3-4i)2=9-12i-12i-16=-24i-7.思路分析:注意利用公式(a+b)2=a 2+2ab+b 2.6.答案:-1.思路分析:(i i -+11)2=ii 22-=-1. 7.解:i m m i m m i i i mi i mi 5122152215)12(221)2)(2()2)(1(2121+++-=++-=++-++=+-+,实部与虚部相等,也就是675122152=⇒+=+-m m m . B 组1.答案:A思路分析：与复数z=3-4i 共轭的复数为3+4i,由于复数的实部和虚部都大于0,因此应该在第一象限.2.解:(1)z =-3-i (2)z =-3i-2 (3)z =1+3i (4)z =3+4i各对复数对应的点如下图所示A ，A′;B,B′;C，C′;D,D′分别对应（1）中的z 和z ；（2）中的z 和z′；（3）中的z 和z ；（4）中的z 和z.思路分析:一个复数的共轭复数实际上就是实部不变、虚部变为相反数时的复数.3.答案：略.4.解:419)23(641)3)(3()3)(2(41322++++-=++-++=+-+ai a a ai ai ai i ai ii a a a a a i a a a a a a a i a a 222222224368124364334368124369424)9(4)9(])23(6[4+++++-=++++++-=+++++-=,由复数的实部和虚部相等可以得出:⇒++=++-222436812436433aa a a a 33-4a+a 2=12+8a ⇒a 2-12a+21=0⇒a=6±15. STS复数的形成与发展(二)挪威的测量学家成塞尔(1745—1818)在1779年试图给予这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视.德国数学家高斯(1777—1855)在1806年公布了虚数的图像表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a 的点A,纵轴上取对应实数b 的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C 就表示复数a+bi.像这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数一一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了.经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为数系大家庭中的一员,从而实数集才扩充到了复数集.随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且对证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.。
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高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.含有参数形式的复数何时表示实数、虚数、纯虚数.此类问题是涉及到复数的分类及各自概念,在理解的基础上注意它们的联系与区别,以此作为判断它们为实数、虚数、纯虚数的条件.复数z=a+bi 当且仅当b≠0时为虚数,当且仅当b=0时为实数,当且仅当a=0,b≠0为纯虚数,当且仅当a=0,b=0时为0.下面以3m+9+(m 2+5m+6)i,m 为何值时表示实数、虚数、纯虚数为例说明.(1)若表示实数则:m 2+5m+6=0(即虚部必须为零);(2)若表示虚数则:m 2+5m+6≠0(即虚部不能为零);(3)若表示纯虚数则:3m+9=0且m 2+5m+6≠0(即实部必须为零,虚部不能为零).2.两个复数相等的充要条件及应用时应特别注意的问题.因为复数可以用向量来表示,所以可以结合向量相等来理解.在向量坐标表示中,两个向量相等则对应坐标要相等.两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等.在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a 、b 、c 、d∈R ,即当a 、b 、c 、d∈R时,a+bi=c+di ⎩⎨⎧==⇔.,d b c a 但忽略条件后,则不能成立,因此解决复数相等问题,一定要把复数的实部与虚部分离出来.再利用复数相等的充要条件,化复数问题为实数问题.3.复系数一元二次方程根的问题与实系数一元二次方程根的问题.利用复数相等可解决复系数方程根的问题,如果复系数方程有实根,我们将其中的未知数视为等式中的一个实数,将方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R )的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.这里要特别注意,方程有实根务必注意不能用判别式Δ≥0来处理方程的根的问题,否则出错.如果复系数一元二次方程无实根,则同样不能用Δ<0来处理.此时,方程有复数根,可设方程的根为z=m+ni(m,n∈R ),然后,化简方程,使方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R )的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.另外,当实系数一元二次方程无实根时,方程的判别式Δ<0,此时虽无实根,但有虚数根,如实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0(a,b,c∈R )无实根,则其有两个虚根,分别为:x=ai b ac b 242-±-. 当然,也可以设方程的根为z=m+ni(m,n∈R),然后,化简方程,使方程变形化简为s+ti=0(s,t∈R)的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.高手支招4典例精析【例1】 如果用C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C 为全集,那么有（ ） ＝R∪I ∩I＝{０} ＝C∩I ∩I＝∅思路分析:复数系的构成是复数z=a+bi(a,b∈R )⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=≠=)0()0()0()0(a a b b 非纯虚数纯虚数虚数实数由此不难判断正确答案为D 项.答案:D【例2】 若z 1=sin2θ+icosθ,z 2=cosθ+i 3sinθ,当z 1=z 2时θ的值为（ ） π π+3π π±3π π+6π(以上k∈Z ) 思路分析:由已知z 1=z 2,利用复数相等的充要条件,然后解三角方程即得.∵z 1=z 2,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==,33tan ,21sin ,sin 3cos ,cos 2sin θθθθθθ从而得θ=2kπ+6π（k∈Z ）.故选D 项. 答案:D 【例3】 m 为何实数时,复数z=2523222---m m m +(m 2+3m-10)i(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.思路分析:利用复数分类,是实数,只要令复数z 的虚部为零即可;是虚数,只要令复数z 的虚部不为零即可;是纯虚数,只要令复数z 的实部为零,虚部不为零即可.解:(1)令m 2+3m-10=0,得m=2或m=-5.∵分母m 2-25≠0,∴m≠-5.∴m=2;(2)令m 2+3m-10≠0,又分母m 2-25≠0,得m≠2,且m≠-5,且m≠5;(3)令⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=---,0103,025232222m m m m mm 2+3m-10≠0,得m=21-. 【例4】 当实数m 为何值时,复数(m 2-8m+15)+(m 2+3m-28)i 在复平面中的对应点(1)位于第四象限;(2)位于x 轴的负半轴上:思路分析:复数a+bi(a,b∈R )在复平面内的对应点：对于(1)应满足⎩⎨⎧<>;0,0b a 对于(2)应满足⎩⎨⎧=<.0,0b a解:(1)由已知⎪⎩⎪⎨⎧=-+<+-,0283,015822m m m m ∴⎩⎨⎧<<-<<.47,53m m m 或 ∴-7<m<3.(2)由已知⎪⎩⎪⎨⎧=-+<+-,0283,015822m m m m 解之得:m=4.【例5】 已知a∈R ,问复数z=(a 2-2a+4)-(a 2-2a+2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？思路分析:根据复数与复平面上点的对应关系知,复数z 对应的点在第几象限,与复数z 的实部和虚部的符号有关.所以本题的关键是判断a 2-2a+4与-(a 2-2a+2)的符号.而求复数z 对应点的轨迹问题,首先把z 表示成z=x+yi 的形式,然后寻求x,y 之间的关系,但要注意参数限定的条件.解:a 2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a 2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1.由此可知,z 的实部为正数,z 的虚部为负数.∴复数z 的对应点在第四象限.设复数z=x+yi(x,y∈R ),则⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=),22(,4222a a y a a x 消去a 2-2a 得y=-x+2(x≥3),∴复数z 对应点的轨迹是一条射线,其方程为y=-x+2(x≥3).【例6】 用复数表示下图各题的阴影部分.思路分析:本题关键在于要设出复数z=x+y i(x,y∈C ),并利用其坐标在复平面内的范围写出用复数表示平面区域中阴影部分的图形.解:设复数z=x+yi(x,y∈R ),则有:(1){z|z=x+yi,1<x<3};(2){z|z=x+yi,x≤3,y≥1};(3){z|z=x+yi,1≤|z|≤2,x≥0,y≥0};(4){z|z=x+yi,|y|≤x,x≥0}.【例7】 设z 1=6-3i,z 2=22--22i,z∈C .若全集I={z||z|≤|z 1|,z∈C},A={z||z|≤|z 2|,z∈C},那么A 中所有z 在复平面上对应的点的集合是什么图形？思路分析:解决复数在复平面上对应的几何图形问题,要熟练掌握两点:①复数z=x+yi(x,y∈R )在复平面上对应点Z(x,y);②|z|的几何含义为z 在复平面上对应点Z 与原点的距离.本题关键是求出|z|的取值范围,就可确定z 在复平面上的图形.解:由已知:|z 1|=22)3()6(-+=3,|z 2|=222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,∴I={z||z|≤3,z∈C },A={z||z|≤1,z∈C },∴A ={z|1<|z|≤3,z∈C },∴A 中的z 在复平面上对应的点Z 的集合应是与原点距离大于1而不大于3的所有点. ∴A 中的所有z 在复平面上对应的点的集合是以原点为圆心,以1和3为半径的圆所夹的圆环,但不包括小圆的边界(如图).【例8】 设z∈C ,满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)|z|=2;(2)2<|z|<3.解:(1)因为|z|=2,即|OZ |=2,如果设z=x+yi(x,y∈R ）,所以满足|z|=2的点Z 的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆.(2)不等式2<|z|<3可化为不等式组⎩⎨⎧<>.3||,2||z z 满足不等式|z|>2的点的集合是圆|z|=2外部所有的点组成的集合,满足不等式|z|<3的点的集合是圆|z|=3内部所有的点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解所对应点的集合.因此,满足条件2<|z|<3的点Z 的集合是以原点为圆心,分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界.如下图所示.高手支招5思考发现1.对于复数用非标准形式给出,应先化成标准形式a+bi 的形式,使复数问题实数化,这是解复数问题的基本思想,也是化归思想的重要表现.2.对于复数分类问题的求解,主要包含四类:是实数,是虚数,是纯虚数,是零.是实数就必须使复数的虚部为零;是虚数就必须使复数的虚部不为零;是纯虚数就必须使复数的虚部不为零,同时要使复数的实部为零;是零就必须使复数的实部和虚部均为零.3.对于涉及到利用复数相等的问题,求解时关键是要抓住两个复数相等的充要条件,从而将复数问题转化为实数问题的主要方法.此外,要明确由一个复数等式可得到两个实数等式这一性质,并在解题中会运用它.4.在设复数的过程中常设为z=a+bi(a,b∈R );在有关的解决轨迹问题中常设z=x+yi 从而与解析几何联系起来;当复数的模为1时也可以设为z=cosθ+isinθ用三角函数解决相关最值等.5.复数相等是解决复数问题常用的方法,这是一个将复数问题实数化的过程,转化后再用实数范围内的相关方法来解.6.在判定复系数一元二次方程根的问题时不能用判定实系数一元二次方程根的问题的方法来解决,否则就会出错.如果复系数一元二次方程有实根,那么就将未知数视作实数,将方程化为a+bi=0(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等的充要条件解之.。
【基础】高中数学第五章数系的扩充与复数的引入22复数的乘法与除法教材基础北师大版选修22
【关键字】基础2.2 复数的乘法与除法高手支招1细品教材一、单数的乘法1.单数乘法的运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个单数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.显然,两个单数的积仍然是一个单数.【示例1】计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).解:先将(-2-i)(3-2i)(-1+3i)前面两式相乘,得(-8+i)(-1+3i),再将所得积与最后一式相乘,得5-25i.状元笔记单数的乘法与多项式的乘法是类似的,只是在运算过程中要把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并.【示例2】计算(a+bi)(a-bi).思路分析:利用单数乘法法则直接得出结果.解:(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-b2i2=a2-b2i2=a2+b2.2.单数乘法的运算律单数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律:即对任何z1,z2,z3∈C,有:(1)交换律:z1·z2=z2·z1证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,则z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a2+a1b2i+a2b1i+b1b2i2=(a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=a1+a2b1i+a1b2i+b2b1i2=(a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,∴z1z2=z2z1.(2)结合律:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,则(z1·z2)·z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i］(a3+b3i)=［(a2-b1b2)a3-(a1b2+a2b1)b3］+［(a2-b1b2)b3+(a1b2+a2b1)a3］i=（a3-a1b2b3-a2b1b3-a3b1b2)-（b1b2b3-b3-b3-b2)i;z1·(z2·z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a3-b2b3)+(a3b2+a2b3)i］=［(a3-b2b3)a1-(a3b2+a2b3)b1］+［(a3-b2b3)b1+(a3b2+a2b3)a1］i=(a3-a1b2b3-a2b1b3-a3b1b2)-(b1b2b3-b3-b3-b2)i.(3)乘法对加法的分配律:z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3证明:设z1=a1+b1i,z2=a2b2i,z3=a3+b3i，则z1·(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=(a2+a3-b1b2-b1b3)+(a1b2+a2b1+a1b3+a3b1)iz1·z2+z1·z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a2+a3-b1b2-b1b3)+(a1b2+a2b1+a1b3+a3b1)i3.负数的平方根由于(-i)2=i2=-1,这表明,i和-i是-1的两个平方根,或者说,方程x2+1=0有两个根i和-i,这样,负数就可以开平方了.4.共轭单数(1)我们把实部相等,虚部互为相反数的两个单数叫做互为共轭单数.单数 z=a+bi的共轭单数记作,即=a-bi.【示例】 (2005北京春季高考,理1)i-2的共轭单数是( )A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i思路分析:本题考查单数及共轭单数的概念,应首先分清谁为虚部,谁为实部;其次,互为共轭的单数实部相等,虚部互为相反数.答案:D(2)当单数z=a+bi 的虚部b=0时,z==a,也就是说,实数的共轭单数仍是它本身.反过来也成立,即如果单数z 的共轭单数仍是它本身,那么z ∈R.(3)共轭单数的性质:①两个共轭单数z,的积是一个实数,这个实数等于每一个单数的模的平方,即z ·=|z|2=||2=a2+b2;②=z1+z2;③=;④（）=（z2≠0).5.单数的乘方(1)单数的乘方是相同单数的积.根据单数乘法的运算律,实数范围内正整数指数幂的运算律在单数范围内仍然成立,即对任何z1，z2，z3∈C 及m,n ∈N*,有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.【示例】 设ω=+i,求证:(1)1+ω+ω2=0;(2)ω3=1.思路分析:要证明1+ω+ω2=0和ω3=1,须先求出ω2,再由ω2ω求出ω3.证明：(1)因为ω2=（+i)2=-i-=-i,所以,1+ω+ω2=1+（+i ）+（-i ）=0.(2)ω3＝ω2ω=(-i)(+i)=( )2-(i)2=+=1.(2)在计算单数的乘方时,要用到虚数单位i 的乘方,对于i 的正整数指数幂,易知:i1=i,i2=-1,i3=i2·i=-i,i4=(i2)2=1.一般地,如果n ∈N*,我们有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.【示例】 复数z=1+i+i 2+i 3+…+i 2006的值为( )A.0B.1C.iD.1+i思路分析:本题初看起来是一个等比数列的求和,故按等比数列求和公式可解之;然而,本题除此法外,还有一种简捷解法,即利用i 4n +i 4n +1+i 4n +2+i 4n +3=0,将其中的连续的4倍数项去掉,然后化简.由于z=1+i+i 2+i 3+…+i 2 006共有2 007项,故将后面的2 004项去掉,余下前三项,即z=1+i+i 2+0=i.答案:C二、复数的除法1.复数除法的定义我们把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi(x,y∈R )叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商,记作dic bi a ++或(a+bi)÷(c+di). 状元笔记复数除法运算是乘法运算的逆运算;复数集合对乘法、除法(除数不为零)运算封闭,即两复数乘、除运算的结果仍为复数.进行复数除法运算时,通常进行分母实数化,即先将两个复数相除写成分数形式,然后将分子与分母同时乘以分母的共轭复数,再把结果化简,这样可使运算简化.2.复数除法的运算一般地,我们有di c bi a ++=i dc ad bc d c bd ac d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a 222222)()())(())((+-+++=++++=-+-+. 由于c+di≠0,所以c 2+d 2≠0.可见,两个复数的商仍是一个复数.【示例】 计算ii 432--. 思路分析:将i i 432--的分子分母同时乘以分母的共轭复数3+4i,使分母有理化,进而化简. 解: i i 432--=i i i i i i i i 51522551025)43)(2()43)(43()43)(2(+=+=+-=+-+-. 高手支招2基础整理本节内容主要阐述了复数的四则运算中的乘法运算、除法运算,复数乘除法的几何意义.本节的知识结构如下:此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高中数学 第5章 数系的扩充与复数的引入 2 复数的四则运算课后演练提升 北师大版选修2-2(20
算课后演练提升北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第5章数系的扩充与复数的引入2 复数的四则运算课后演练提升北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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则运算课后演练提升北师大版选修2—2 一、选择题1．复数错误!的共轭复数是( )A．－错误!i B。
错误!iC．－i D．i解析：∵错误!＝错误!＝错误!＝i，∴错误!的共轭复数为－i.答案：C2．设i是虚数单位，复数错误!为纯虚数，则实数a为（)A．2 B．－2C．－错误!D。
错误!解析：1＋a i2－i＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!，i为纯虚数，∴错误!＝0。
∴a＝2。
答案：A3．设a，b∈R，（5＋b i）＋（b－3i）－(2＋a i)＝0,那么复数a＋b i的模为（）A．0 B．6C．3错误!D．2错误!解析：（5＋b i)＋(b－3i)－（2＋a i)＝(5＋b－2）＋(b－3－a）i＝(3＋b）＋(b－a－3）i＝0，∴错误!，∴错误!，∴a＋b i＝－6－3i，∴｜a＋b i｜＝错误!＝错误!＝3错误!。
答案：C4．设z1＝1，z2＝x＋y i,z3＝y＋x i（x＞0，y∈R)，且z1·z3＝z错误!，则z2等于（) A.错误!＋错误!i B。
错误!－错误!iC。
错误!＋错误!i D.错误!－错误!i解析：z22＝z1·z3，所以（x＋y i）2＝y＋x i，即x2－y2＋2xy i＝y＋x i。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法5.2.2复数的乘法与除法课件北师大版选修2_2
∴z＝1＋2i或－1－2i， ∴－z ＝1－2i或－1＋2i， ∴－z ＝±(1－2i).
(1＋i)2－22－＋ii＝________. 【解析】 ∵(1＋i)2－22－ ＋ii＝2i－（2－5 i）2＝－35＋154i. 【答案】 －35＋154i
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)
＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i
.
2.复数乘法的运算律
对任意复数 z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教材习题点拨北师大版选修22
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入教材习题点拨 北师大版选修2-2教材习题点拨练习(P 101) 1.解:(1)1＋2i 实部为1,虚部为2,它是虚数; (2)21-+23i 实部为21-21-,虚部为23,它是虚数; (3)（3-1）i 实部为0,虚部为3-1,它是纯虚数;(4)0实部为0,虚部为0,它是实数.思路分析:依据有关复数的基本概念去判断.2.解:(1)（-2x+3)+(y-4)i=0⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧==+-⇒.4,23,4,032y x y x(2)(3x-2y)+(x+2y)i=3-6i ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧-=+=-⇒.852,43,62,323y x y x y x思路分析:(1)复数为零的充要条件是它的实部和虚部都为0.(2)两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等.3.解:A 点表示的复数是4+3i,B 点表示的复数是-3+2i,C 点表示的复数是-4-3i,D 点表示的复数是-3i,E 点表示的复数是3-2i.思路分析:复平面内的点和复数是一一对应的,复平面的横轴表示实部,纵轴表示虚部.4.答案:(1)b=0;(2)a=0;(3)b>0;(4)a<0.思路分析:(1)点Z 位于实轴上,必然是复数的虚部为零;(2)点Z 位于虚轴上,必然是复数的实部为零;(3)点Z 位于实轴上方,必然是复数的虚部大于零;(4)点Z 位于虚轴左方,必然是复数的实部小于零.5.解:(1)|z 1|=2212)5(+-=13;(2)|z 2|=41)5(422=-+;(3)|z 3|=22)1()3(-+=2.思路分析:利用公式|z|=22b a +计算即可.习题51(P 102)A 组1.解:(1)复数（m 2-2m-3)+(m 2-3m-4)i 为实数的充要条件是:m 2-3m-4=0,可以得出m=4或m=-1;(2)复数(m 2-2m-3)+(m 2-3m-4)i 为纯虚数的充要条件是:m 2-2m-3=0且m 2-3m-4≠0,可以得出m=3;(3)复数(m 2-2m-3)+(m 2-3m-4)i 为零的充要条件是:m 2-2m-3=0且m 2-3m-4=0,可以得出m=-1.2.解:(1)⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+,7,1.1,7,7,6y x y x xy y x 或 (2)⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--.1,1,4,1,1,5,4,5,043,05422y x y x y x y x y y y x 或或或 思路分析:利用复数为零或复数相等的条件列出方程组,解出相应的未知数即可.3.解:如下图:-1+2i 对应的点为A,23+21i 对应的点为B,3i 对应的点为C,5对应的点为D. 思路分析:复平面的横轴表示实部,纵轴表示虚部,依据相应的数据分别画出各点即可.4.解:(1)|3-4i|=22)4()3(-+=5; (2)|21-23i|=22)23()21(-+=1; (3)|-6|=6;(4)|-5i|=5.思路分析:利用求复数模的公式即可.B 组解:(1)点Z 不在实轴上实际上就是要求m 2-4m-5≠0,由此可以得出m≠5和m≠-1.(2)点Z 位于虚轴上,实际上就是要求m-1=0,由此可以得出m=1.(3)点Z 在实轴下方,实际上就是要求m 2-4m-5<0,由此可以得出-1<m<5.(4)点Z 在虚轴右方,实际上就是要求m-1>0,由此可以得出m>1.STS数的概念的五次扩充数的概念是现代数学的基本概念之一,它是人类由于生产和生活的实际需要而逐步形成并加以扩展的.人类最初为了实际需要,要对某种物体的集合作出量的估计.随着经验的积累,人们逐渐形成了“多少”的概念.但在这个历史时期里,数还没有被人们从具体的事物中分离出来. 随着历史的发展,人们千百万次地重复进行比较和计算,最后才把数与具体事物相分离,引进了数字符号.希腊人已经知道了自然数1,2,……的集N .公元6世纪,印度数学家运用了“0”.我国古代也在筹算中利用空位来表示“0”.引进数0,把自然数集扩充成为扩大的自然数集,即非负整数集.生产、生活的发展,对于像长度、时间、重量等量,仅用自然数就不能把它们完全表示出来,这便促使人们引进正分数,形成非负有理数集,即算术数集.这是数的概念的第二次扩充.希腊人知道了正有理数qp (p,q 为正整数).由于表示具有相反意义的量的需要,在算术数的基础上,引进负数形成有理数集,这是数的概念的第三次扩充.阿拉伯人受印度的影响而发明了代数之后,提出了求解像3x+2=0一类的方程,“负数”也就应运而生了.我国古代数学巨著《九章算术》第八章“方程”章里,提出了“正负术”,完整地叙述了正负数的不同表示法和正负数的加减法则.公元6世纪,希腊数学家毕达哥拉斯在研究用一个正方形的边长作为单位长,去度量这个正方形的对角线时,发现两者是不能用分数表示.为了解决这个矛盾,导致了无理数概念的产生.这是数的概念的第四次扩充.15世纪中叶,欧洲工商业的繁荣与发展提出了大量的、新的数学问题.1545年,意大利数学家卡丹在解三次方程中引用了负数开平方的运算,并引进了新的数——虚数i=1 .但许多数学家都不承认这种新数.1572年意大利邦别利第一次在代数里给复数的运算以正式的论据,1777年数学家欧拉建立了复数的系统理论,对这种数才有了进一步的认识.这是数的概念的第五次扩充.。
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入(3课时)北师大版选修22
【金学案】2015年春高中数学第五章数系的扩充与复数的引入（3课时）北师大版选修2-2知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求数系的扩充和复数的概念1.在问题情境中认识数系的扩充过程,体会在数系扩充中数学与实际需求的作用与关系2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示法及其几何意义复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充,要在问题情境中体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维在数系扩充中的作用以及数与现实世界的联系,了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,了解复数的一些基础知识复数的四则运算能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义1.结合小学、初中所学过的数,思考数系不断扩充的过程.2.回忆向量的有关知识,尝试建立向量与复数的关系.3.阅读本章后面的“阅读材料”,并收集有关资料,了解数系的发展史,深入认识数学的发展规律.4.选择适合的教学方式.5.把握新《标准》,落实新“双基”.第1课时数系的扩充和复数的概念1.在问题的情境中了解把实数系扩充到复数系的过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念和代数表示,能利用复数的有关概念对复数进行分类.3.掌握两个复数相等的充要条件.4.理解复数集和复平面上的点集的一一对应关系,知道实轴、虚轴及各象限内的点所对应的复数的特征;会用复平面内的点和向量来表示复数,体会复数与向量之间的关系.重点:复数及其相关概念,能区分虚数与纯虚数,明白各数系的关系.根据复数的代数形式描写出其对应的点及向量、理解复数的几何意义及模.难点:复数及其相关概念的理解.运用复数的代数形式描写出其对应的点及向量.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:(1)虚数单位i的引进:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于-1,即i2= -1.(2)复数的有关概念:复数:形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数.复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+b i(a,b∈R)的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部.两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+b i=c+d i⇔a=c,b=d.问题2:复数z=a+b i(a,b∈R),当b=0时,复数z是实数;当b≠0时,复数z是虚数;当时,复数z是纯虚数.问题3:两个复数相等的充要条件是什么?两个复数a+b i(a,b∈R)与c+d i(c,d∈R)相等,当且仅当它们的实部与虚部分别相等,即a+b i=c+d i(a,b,c,d∈R)⇔ a = c , b = d .问题4:复数的向量表示方法和向量的模是如何定义的?因为复平面内的点Z(a,b)与平面向量是一一对应的,所以一个复数z=a+b i与复平面内的向量= (a,b)也是一一对应的.(1)我们常将复数z=a+b i说成点或向量,并规定相等的向量表示同一个复数.这是复数的向量表示.(2)设复数z=a+b i在复平面内对应的点Z(a,b),点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z=a+b i的模,记作|z|或|a+b i|.|z|=|a+b i|= .“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1.“a=0”是“复数a+b i(a,b∈R)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时,a+b i(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+b i为纯虚数时,a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是().A.3B.-3C.-10iD.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是.【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)∵(-i)2=i2=-1,∴-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)∵i2=-1,∴i4=i2·i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.对复数概念的理解已知下列命题:①复数a+b i一定不是实数;②两个复数不能比较大小;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;④若复数z=a+b i,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a+b i=c+d i,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+b i是实数.②是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+b i中要求a∈R,b∈R.复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+b i(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.复数相等与复数的模(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求x与y.(2)设z1=1+sin θ-icos θ,z2=+(cos θ-2)i,若z1=z2,求θ和|z1|.【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得θ=2kπ(k∈Z),此时z1=1-i,|z1|==.【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:①等式两边整理为a+b i(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.下列命题中正确的有.①若z=a+b i(a,b∈R),则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;③若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.【解析】①正确.②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.【答案】①复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由②得x=4,经验证满足①.所以当x=4时,z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即<x<4或x>4.所以当<x<4或x>4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.关于a的方程是a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.【解析】设实数根是a,则a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan θ∈R,∴∴a=-1且tan θ=1,又0<θ<,∴θ=,a=-1.1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.A∪B=CB.∁S A=BC.A∩(∁S B)=⌀D.B∩(∁S A)=B【答案】D2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在【解析】由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.【答案】C3.已知复数z=3-2i,则|z|= .【解析】|z|==.【答案】4.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x轴的负半轴上?【解析】(1)由已知得∴∴-7<m<3.∴当m∈(-7,3)时,z对应的点在第四象限.(2)由已知得解得m=4,即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.(2013年·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m= .【解析】∵m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,∴∴m=-2.【答案】-21.复数z=-2+3i的虚部是().A.-2B.2C.3D.3i【解析】复数z=-2+3i的虚部是3.【答案】C2.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足().A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2【解析】由题意得x2+x-2≠0,∴x≠1且x≠-2.【答案】D3.已知z=a+3i,a∈R,若|z|=5,则a= .【解析】|z|==5,解得a=±4.【答案】±44.设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时,z是实数、虚数、纯虚数?【解析】当a、b同时为0时,z为实数;当a、b不全为0时,z是虚数;当a、b有且仅有一个为0时,z为纯虚数.5.如果(x+y)i=x-1,则实数x、y的值分别为().A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】根据复数相等的充要条件,可知解得【答案】A6.下列命题中,正确命题的个数是().①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;⑤-1没有平方根;⑥若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3【解析】由于x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.由于两个虚数不能比较大小,∴②是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∴③是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错.因为-1的平方根为±i,故⑤错.当a=-1时,(a+1)i是实数0,故⑥错.【答案】A7.复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,则复数z的虚部为.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,∴∴∴a=-3,∴a2-1=8,∴复数z的虚部为8.【答案】88.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i?【解析】(1)m需满足解得m=-3.(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)m需满足解得m=0或m=-2.(4)m需满足解得m∈⌀.9.已知m、n∈R,复数z1=m2+2n-3+(m+n)i,z2=2m-3n+2+(2m-n)i,若z1=z2,则m+n= .【解析】∵z1=z2,∴∴∴n=1或n=-,m+n=3n,∴m+n的值为3或-.【答案】3或-10.已知复数z1=sin 2x+λi,z2=m+(m-cos 2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.若λ=0且0<x<π,求x的值.【解析】∵z1=z2,∴∴λ=sin 2x-cos 2x.若λ=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.∵0<x<π,∴0<2x<2π,∴2x=或2x=,∴x=或.第2课时复数代数形式的加减运算及其几何意义1.理解复数代数形式的加减运算规律.2.复数的加减与向量的加减的关系.重点:正确理解复数的加减运算,复数加减运算的几何意义.难点:对比复数加减法与向量加减法的异同,从而理解复数的几何意义.实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应有加减运算,并且也有相应的运算律.问题1:依据多项式的加法法则,得到复数加法的运算法则.设z1=a+b i,z2=c+d i是任意两个复数,那么(a+b i)+(c+d i)= (a+c)+(b+d)i,很明显,两个复数的和仍然是一个确定的复数.问题2: 复数的加法满足交换律、结合律.即z1+z2= z2+z1,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3).问题3:利用向量加法讨论复数加法的几何意义向量加法遵循平行四边形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相加.故复数相加就是实部与虚部分别相加得到一个新的复数.问题4:如何理解复数的减法?复数减法是复数加法的逆运算.向量减法遵循三角形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相减.故复数相减就是实部与虚部分别相减得到一个新的复数.十八世纪末十九世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时,就应用并论述了卡尔丹所设想的新数,并首次引进了“复数”这个名词,把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.这样历经300年的努力,数系从实数系到复数系的扩张才基本完成,复数才被人们广泛承认和使用.1.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(3-4i)-(-2+3i)=5-7i.【答案】D2.(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i(其中i为虚数单位)等于().A.10B.10+2iC.14D.14+2i【解析】(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i=2+3+4+5+(-+1++-)i=14.【答案】C3.复数z1=9+3i,z2=-5+2i,则z1-z2= .【解析】z1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i.【答案】14+i4.已知复数z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.(1)求z2;(2)求z1-2z2.【解析】(1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i.复数代数形式的加减法运算(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;(2)计算:(+i)+(2-i)-(-i);(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2012+2013i)+(2013-2014i).【方法指导】依据复数代数形式的加减运算法则以及运算律求解.【解析】(1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.(2)+i+(2-i)-(-i)=(+2-)+(-1+)i=1+i.(3)(法一)原式=[(1-2)+(3-4)+…+(2011-2012)+2013]+[(-2+3)+(-4+5)+…+(-2012+2013)-2014]i=(-1006+2013)+(1006-2014)i=1007-1008i.(法二)(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,(2011-2012i)+(-2012+2013i)=-1+i,将以上各式(共1006个)相加可知:原式=1006(-1+i)+(2013-2014i)=1007-1008i.【小结】几个复数相加减,运算法则为这些复数的所有实部相加减,所有虚部相加减.第(3)小题的解法一是从整体上把握,将计算分实部和虚部进行,有机构造特殊数列的和进而求得结果.解法二是从局部入手,抓住了式中相邻两项和的特点,恰当地分组使计算得以简化.复数代数形式加减运算的几何意义在复平面内,A、B、C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及AD的长.【方法指导】根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.【解析】如图所示:对应复数z3-z1,对应复数z2-z1,对应复数z4-z1.由复数加减运算的几何意义得=+,∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,∴AD的长为||=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2.【小结】利用向量进行复数的加减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.复数加减运算的综合应用已知实数a>0,b>0,复数z1=a+5i,z2=3-b i,|z1|=13,|z2|=5,求z1+z2.【方法指导】利用两复数的模,可求得a,b的值,再求z1+z2.【解析】由题意得∴∴z1=12+5i,z2=3-4i,∴z1+z2=15+i.【小结】本题结合了复数的模与复数的加法,表面看着难,其实难度不大.复数z1=2+3i,z2=4-5i,z3=-6i,求z1+z2-z3,并说明z1+z2-z3在复平面内对应的点所在的象限.【解析】z1+z2-z3=(2+3i)+(4-5i)-(-6i)=6+4i,z1+z2-z3在复平面内对应的点为(6,4),在第一象限.如图所示,平行四边形OABC的顶点O、A、C分别表示0、3+2i、-2+4i.求:(1)表示的复数;(2)表示的复数;(3)表示的复数.【解析】(1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.已知实数a∈R,复数z1=a+2-3a i,z2=6-7i,若z1+z2为纯虚数,求a的值.【解析】z1+z2=(a+2-3a i)+(6-7i)=a+8-(3a+7)i,∵z1+z2为纯虚数,∴∴a=-8.1.复数z1=-3+4i,z2=6-7i,则z1+z2等于().A.3-3iB.3+3iC.-9+11iD.-9-3i【答案】A2.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数m的取值范围是().A.m<B.m<1C.<m<1D.m>1【解析】(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,∵点(3m-2,m-1)在第三象限,∴即m<.【答案】A3.复数z1=-2+3i,z2=4+3i,则z1-z2= .【解析】z1-z2=(-2+3i)-(4+3i)=-6.【答案】-64.已知a∈R,复数z1=2+(a+2)i,z2=a2+2a-1+3i,若z1+z2为实数,求z1-z2.【解析】z1+z2=a2+2a+1+(a+5)i,∵a∈R,z1+z2为实数,∴a+5=0,∴a=-5,∴z1=2-3i,z2=14+3i,∴z1-z2=-12-6i.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求向量,,对应的复数;(2)判断△ABC的形状.【解析】(1)=-=(2+i)-1=1+i,=-=(-1+2i)-1=-2+2i,=-=(-1+2i)-(2+i)=-3+i,所以,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.(2)因为||2=10,||2=8,||2=2,所以有||2=||2+||2,所以△ABC为直角三角形.1.向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是().A.-10+8iB.10-8iC.0D.10+8i【解析】+对应的复数为5-4i+(-5+4i)=0.【答案】C2.复数z1=1-5i,z2=-2+i,则z1-z2在复平面内对应的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z1-z2=(1-5i)-(-2+i)=3-6i,对应的点为(3,-6),该点位于第四象限.【答案】D3.复数z1=5-12i,z2=4+7i,则z1-z2= .【解析】z1-z2=(5-12i)-(4+7i)=1-19i.【答案】1-19i4.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2且z=13-2i,求z1,z2.【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z=13-2i,且x,y∈R,则解得故z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.5.复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD,则||等于().A.5B.C.D.【解析】如图所示,▱ABCD四个顶点对应复数分别为z1=i,z2=1,z3=4+2i,z4,则有=+,=(z1-z2)+(z3-z2)=2+3i, 故||==.【答案】B6.已知复数z1,z2,有|z1|=5,|z2|=12,|z1+z2|=13,则|z1-z2|为().A.8B.10C.12D.13【解析】利用向量结合复数分析可知构成的平行四边形为矩形,故对角线相等.【答案】D7.已知实数a>0,复数z1=a+2i,z2=3+5i,|z1-z2|=5,则a的值为.【解析】z1-z2=a-3-3i(a∈R),∵|z1-z2|=5,∴=25,∴a-3=±4,又a>0,∴a=7.【答案】78.已知f(z)=2z+2-i,z0=1+2i,f(z0-z1)=6-3i,z∈C,求复数z1,f(|z0+z1|).【解析】由已知得2z0-2z1+2-i=6-3i,z0=1+2i,∴2+4i-2z1+2-i=6-3i,即4+3i-2z1=6-3i,∴2z1=(4+3i)-(6-3i)=(4-6)+(3+3)i=-2+6i,∴z1=-1+3i,∴|z0+z1|=|(1+2i)+(-1+3i)|=|5i|=5,∴f(|z0+z1|)=f(5)=2×5+2-i=12-i.9.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为.【解析】(法一)∵|z|=2,∴|z-i|≤|z|+|i|=2+1=3.(法二)设w=z-i,则w+i=z,∴|w+i|=|z|=2.w表示以点(0,-1)为圆心,以2为半径的圆,由图知,圆上到原点的距离以|OP|为最大,最大值是3.【答案】310.已知a,b∈R,若复数z1=a+b i,|z1|=4,z2=b-a i,求|z1+z2|,|z1-z2|.【解析】∵|z1|=4,∴=4,a2+b2=16.∵z1+z2=(a+b)+(b-a)i,∴|z1+z2|====4.∵z1-z2=(a-b)+(b+a)i,∴|z1-z2|====4.第3课时复数代数形式的乘除运算1.理解复数的代数形式的四则运算,并能用运算律进行复数的四则运算.2.能根据所给运算的形式选择恰当的方法进行复数的四则运算.重点:正确进行复数的四则混合运算.难点:采用适当的方法提高运算速度与准确度.两个多项式可以进行乘除法运算,例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;对于两个复数a+b i,c+d i(a,b,c,d∈R),能像多项式一样进行乘除法运算吗?问题1:结合多项式乘法运算的特点,说明复数乘法运算有哪些特点?(1)复数的乘法与多项式的乘法类似,只是在运算过程中把i2换成-1,然后实部、虚部分别合并;(2)两个复数的积仍是一个复数;(3)复数的乘法与实数的乘法一样,满足交换律、结合律及分配律;(4)在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立.问题2:什么是共轭复数?一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数.问题3:怎样进行复数除法运算?复数的除法首先是写成分数的形式,再利用两个互为共轭复数的积是一个实数,将分母化为实数,从而化成一个具体的复数.问题4:复数的四种基本运算法则(1)加法:(a+b i)+(c+d i)= (a+c)+(b+d)i;(2)减法:(a+b i)-(c+d i)= (a-c)+(b-d)i;(3)乘法:(a+b i)(c+d i)= (ac-bd)+(ad+bc)i;(4)除法:(a+b i)÷(c+d i)== +i(c+d i≠0).高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+b i,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合,统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把“数轴上的点与实数一一对应”扩展为“平面上的点与复数一一对应”.高斯不仅把复数看作平面上的点,还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了.1.i是虚数单位,复数z=的虚部是().A.0B.-1C.1D.2【解析】∵z===-i,∴虚部为-1,故选B.【答案】B2.复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内的对应点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z=z1·z2=(3+i)(1-i)=4-2i.【答案】D3.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,则z= .【解析】设z=b i(b∈R),则(z+2)2-8i=(b i+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,依题意得解得b=-2.所以z=-2i.【答案】-2i4.设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),试求z的实部.【解析】(法一)∵i(z+1)=-3+2i,∴z=-1=-(-3i-2)-1=1+3i,故z的实部是1.(法二)令z=a+b i(a、b∈R),由i(z+1)=-3+2i,得i[(a+1)+b i]=-3+2i,-b+(a+1)i=-3+2i,∴a+1=2,∴a=1.故z的实部是1.复数代数形式的乘法运算计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)(4)(1-i)3.【方法指导】利用复数代数形式的加减法和乘法的运算法则进行计算,注意i的性质.【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(-2+11i+5)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=(24-8i-6i+2i2)+(28-21i-4i+3i2)=47-39i.(4)(1-i)3=13-3×12×i+3×1×i2-i3=1-3i-3-(-i)=-2-2i.【小结】三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算与实数的运算顺序一样,对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘法公式更简捷,如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.复数代数形式的除法运算计算:(1)(1+2i)÷(3-4i);(2);(3)(+i)4+.【方法指导】(1)写成分式的形式,再分母实数化.(2)分子、分母按复数的乘法先分别展开化简,或分解因式,再做除法.(3)先展开,后化简.【解析】(1)(1+2i)÷(3-4i)====-+i.(2)(法一)原式===1.(法二)原式===1.(3)原式=[(+i)2]2+=(-+i)2-=--i+i-=(--)+(-)i.【小结】进行复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单算式要知道其结果,这样可方便计算,简化运算过程,比如=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i,a+b i=i(b-a i),=i,等等.运算方法要灵活,有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式,比如第(2)题中的解法一.复数四则运算的综合应用已知|z|2+(z+)i=(i为虚数单位),试求满足条件的z.【方法指导】本题可设z=x+y i(x,y∈R),然后代入给定的方程,利用复数相等的充要条件列方程组解x,y,从而得出复数方程的解z.【解析】原方程化简为|z|2+(z+)i=1-i,设z=x+y i(x,y∈R),代入上述方程得x2+y2+2x i=1-i,∴∴∴原方程的解为z=-±i.【小结】对于此类复数方程我们一般是设出复数的代数形式z=x+y i(x,y∈R),然后将其代入给定方程,利用复数四则运算将其整理,然后利用复数相等的充要条件来求解.计算:(1)(1-i)2;(2)(-+i)(+i)(1+i).【解析】(1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i.(2)(-+i)(+i)(1+i)=[(--)+(-)i](1+i)=(-+i)(1+i)=(--)+(-)i=-+i.计算:(1);(2)+.【解析】(1)======1-i.(2)+=+=i-i=0.若关于x的方程x2+(t2+3t+tx)i=0有纯虚数根,求实数t的值和该方程的根.【解析】设x=a i(a∈R且a≠0)是方程x2+(t2+3t+tx)i=0的一个纯虚根,将其代入方程可得(a i)2+(t2+3t+t·a i)i=0,∴-a2-at+(t2+3t)i=0,由复数相等的充要条件可得∴故t=-3,方程的两个根为0或3i.1.复数z=(i为虚数单位),则|z|等于().A.25B.C.5D.【解析】z==-4-3i,所以|z|=5.【答案】C2.i是虚数单位,则复数+(1+2i)2等于().A.-2-5iB.5-2iC.5+2iD.-2+5i【解析】+(1+2i)2=+4i-3=5i-2.【答案】D3.若复数z满足z(1+i)=2,则复数z= .【解析】z===1-i.【答案】1-i4.计算:+()2014.【解析】原式=+(-i)2014=-i-1.(2014年·山东卷)已知a,b∈R,i是虚数单位.若a-i与2+b i互为共轭复数,则(a+b i)2=().A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i【解析】先由共轭复数的条件求出a,b的值,再求(a+b i)2的值.由题意知a-i=2-b i,∴a=2,b=1,∴(a+b i)2=(2+i)2=3+4i.【答案】D1.设z=+i,则|z|=().A. B. C. D.2【解析】先化简,再求|z|.∵z=+i=+i=+i,∴|z|==.【答案】B2.复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z=-2i-i2=1-2i,对应复平面内的点为(1,-2),在第四象限.【答案】D3.复数= .【解析】===.【答案】4.规定运算=ad-bc,若=1-2i,i为虚数单位,求复数z.【解析】=2z-1=1-2i⇒z=1-i.5.复数=a+b i(i是虚数单位,a、b∈R),则().A.a=1,b=1B.a=-1,b=-1C.a=-1,b=1D.a=1,b=-1【解析】==-1+i,则a=-1,b=1.【答案】C6.已知复数z=,则+等于().A.0B.1C.-1D.2【解析】z====-1,所以+=1-1=0.【答案】A7.复数= .【解析】==--1=--1=-1+i.【答案】-1+i8.设x、y为实数,且+=,求x-y的值.【解析】由+=知(1+i)+(1+2i)=(1+3i),即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0<故解得∴x-y=-6.9.已知|z|=3-i+z,则复数z= .【解析】设复数z=a+b i(a,b∈R),∴=a+3+(b-1)i,∴∴∴∴z=-+i.【答案】-+i10.设a,b为共轭复数,且(a+b)2-3ab i=4-12i,求a,b的值.【解析】设a=x+y i,b=x-y i,(x,y∈R).代入原方程得4x2-3(x2+y2)i=4-12i,由复数相等的充要条件得解得或故或或或第五章章末小结1.复数的概念及主要代数性质(1)复数:形如z=a+b i(a,b∈R)的数叫作复数,其中i是虚数单位,i2= -1,a,b分别叫它的实部和虚部.(2)复数的分类:设复数z=a+b i(a,b∈R),①当b=0时,z为实数;②当b≠0时,z为虚数;③当a=0,且b≠0时,z为纯虚数.(3)复数相等的条件:在复数集中任意两个复数a+b i,c+d i(a,b,c,d∈R),规定:a+b i与c+d i相等的充要条件是 a = c 且 b = d ,换句话说,如果两个复数实部和虚部分别相等,那么就说这两个复数相等.(4)两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数,就不能比较它们的大小.(5)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.2.对复平面与复数的几何性质的理解(1)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.(2)复数z=a+b i(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)建立了一一对应的关系.(3)复数的模:因为z=a+b i(a, b∈R)与复平面内的向量一一对应,所以向量的模就叫作复数z=a+b i的模,因此有|z|= ,且有z·= a2+b2.3.复数的四则运算及运算律(1)复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则①z1±z2= (a±c)+(b±d)i;②z1·z2= (ac-bd)+(ad+bc)i;③==+i(z2≠0).(2)结论:①在复数代数形式的四则运算中,加法、减法、乘法运算都可以按多项式运算法则进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后实、虚部分别合并;除法法则需分子分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.②记住一些常用的结果,如i的有关性质,可简化运算,提高运算速度.③若z为虚数,则|z|2≠z2.(3)运算律①复数的加法运算满足交换律、结合律.②复数的乘法运算满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律.③复数的减法是加法的逆运算,复数的除法是乘法的逆运算.4.复数与其他知识的联系与区别(1)复数事实上是一对有序实数对,因此复数问题可以转化为实数问题来解决,复数z=a+b i(a,b∈R)与复平面内的向量=(a,b)一一对应,故复数与平面解析几何、平面向量联系密切.(2)复数代数形式的加、减运算与平面向量的加、减运算是一致的,复数代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算是类似的.题型一:复数的基本概念和运算已知复数z=(2+i)m2--2(1-i),当实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数?【方法指导】得结果结合条件确定m对复数z进行化简【解析】z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)当即m=2时,z为零.(2)当m2-3m+2≠0,即m≠2且m≠1时,z为虚数.(3)当即m=-时,z为纯虚数.(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.【小结】本题考查了复数的四则运算、复数的分类、复数相等的充要条件、复数的几何意义等知识点.题型二:复数的几何意义已知z是复数,z+2i、均为实数,且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.【方法指导】a的范围←解不等式组←列不等式组←化简(z+a i)2←求出z←列方程组←设z=c+d i 【解析】根据题意,设复数z=c+d i(c,d∈R),则z+2i=c+(d+2)i为实数,即d+2=0,解得d=-2,所以z=c-2i.又==为实数,即=0,解得c=4,所以z=4-2i.∵(z+a i)2=(4-2i+a i)2=16-(2-a)2-8(2-a)i对应的点在第一象限,∴⇒解得2<a<6.∴实数a的取值范围是(2,6).【小结】复数的几何意义使复数及复平面内的数学问题转化成一系列的实数问题.因而,需熟记各种转化的条件和实数、虚数、纯虚数满足的条件.题型三:复数的综合应用设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证:u为纯虚数;(3)求ω-u2的最小值.【方法指导】先设出z的代数形式,然后利用ω=z+是实数为突破口求出|z|,结合-1<ω<2的范围求出z 的实部的取值范围.证明u为纯虚数只需求出u的代数形式后,说明它的实部为0,虚部不为0即可.求ω-u2的最小值,这里可利用重要不等式.【解析】(1)设z=a+b i(a,b∈R,b≠0),则ω=a+b i+=(a+)+(b-)i.∵ω是实数,b≠0,∴b-=0,∴a2+b2=1,∴|z|=1,∴ω=2a,又-1<ω<2,∴z的实部的取值范围是(-,1).(2)u=====-i.又a∈(-,1),b≠0,∴u为纯虚数.(3)ω-u2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2[(a+1)+]-3.∵a∈(-,1),∴<a+1<2,∴ω-u2≥1,当且仅当a+1=时,即a=0时等号成立.故ω-u2的最小值为1.【小结】没有给定复数的具体形式时,要注意首先设出其代数形式z=a+b i(a,b∈R),这是解决复数问题时的一般思路,本题将复数与不等式相结合考查,具有一定的综合性.1.(2012年·全国新课标卷)下面关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1.。
北师版高中数学必修第二册精品课件 第5章 复数 复数的乘法与除法 复数乘法几何意义初探
-+++
=
(-√+)(-√)
(3)原式=(+ )(- ) +
√
√
√+
√
+
-i=i-i=0.
+0=++(-i)1 010=i-1.
反思感悟 1.in的周期性
(1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N+).
【问题思考】
1.一元二次方程x2+1=0在实数范围内有解吗?引入虚数单位i
后,方程的解是什么?
提示:没有.x=±i.
2.你能用虚数单位i表示方程(x+1)2=-1的解吗?
提示:能.x=-1±i.
3.在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求
根公式为:
(1)当 Δ≥0
(2)当 Δ<0
√
√
(2) - +
+
-+
(3) + ;
+
-
(4) - − +.
(1+i);
解:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i.
(2)
=
=
√
- +
√ √
-
√
-
+
+
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高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2.2 复数的乘法与除法
教材习题点拨 北师大版选修2-2
教材习题点拨
练习(P 107)
1.解:(1)（1+3i ）（3+2i ）=3+2i+9i-6=-3+11i ；
（2）（-1-2i ）（2i+4）=-2i+4-4-8i=-10i ；
(3)（21
-+23
i ）2=（21
-+23
i ）（21
-+23i ）=41-43i-43i-43=21-23
-i ；
(4)(3+2i)(-3+2i)=-9+6i-6i-4=-13.
思路分析:按照复数相乘的法则分项相乘即可.
2.解:(1)i·i 2·i 3·i 4=i 10=-1；
(2)i+i 2+i 3+i 4+i 5+i 6+i 7+i 8=i-1-i+1+i-1-i+1=0.
思路分析:利用公式:i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i 分别计算即可.
3.解:(1)（-2+3i ）3=［(-2+3i)(-2+3i)］(-2+3i)=(-5-12i)(-2+3i ）=46+9i;
(2)(1+2i)4=［(1+2i)(1+2i)］2=(4i-3)2=-7-24i.
思路分析:灵活利用复数相乘的法则进行计算即可.
4.解:(1)i i i i i i i i 132
1331323)32)(32()32(32+-=+-=+-+=-; (2)1042231)3)(3()3)(1()1)(1()1)(2(3112i
i i i i i i i i i i i i i +
++=+-++++-++=-++-+
i i
i
i 1019
107101971042)31(5+=+=+++=.
思路分析:综合应用复数的运算法则计算即可.
习题5-(P 107)
A 组
1.解:(1)i+（3+4i ）=3+（i+4i ）=3+5i ；
(2)（1-i ）-（1+i ）=（1-1）+（-i-i ）=-2i ；
(3)（2-i ）-（3+i ）=（2-3）+（-i-i ）=-1-2i ；
(4)（1-4i ）+（2-i ）=（1+2）+（-4i-i ）=3-5i.
2.解:(1)（1+i ）（3+4i ）=3+4i+3i-4=-1+7i ；
(2)（1-2i ）（1+2i ）=1+2i-2i+4=5；
(3)（3+i ）（3-2i ）（1-i ）=［(3+i)(3-2i)］(1-i)=(9-6i+6i+2)(1-i)=8-14i;
(4)［（5-4i ）+（1+3i ）］（5+2i ）=（6-i ）（5+2i ）=32+7i.
思路分析:综合应用复数的加、减、乘运算法则运算即可.
3.解:(1)i 4n +i 4n +1+i 4n +2+i 4n +3=1+i-1-i=0;
(2)i 4n ·i 4n +1·i 4n +2·i 4n +3=1·i·(-1)·(-i)=-1.
思路分析:注意利用公式i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i.
4.解:(1)13
2)
32(32-+=∙∙-=-i i i i
i i i =-2i-3;
(2)1
1121)1)(1()1)(1(11+-+=+-++=-+i i i i i i i =i; (3)
i i i i i i i i i i i 545354322412)2)(2()2)(2(2222+-=+-=-+-+=-+--=+-; (4)i i i i i i i i i i i 51513513)
2(110563)21)(21()21)(53(215322+=+=-+-+=+-+-=--. 思路分析:进行复数的除法时,要注意将分母转化为实数.
5.解:(1)（1+2i)2=1+4i-4=-3+4i;
(2)(3-4i)2=9-12i-12i-16=-24i-7.
思路分析:注意利用公式(a+b)2=a 2+2ab+b 2.
6.答案:-1.
思路分析:(i i -+11)2=i
i 22-=-1. 7.解:i m m i m m i i i mi i mi 5
122152215)12(221)2)(2()2)(1(2121+++-=++-=++-++=+-+,实部与虚部相等,也就是
6
75122152=⇒+=+-m m m . B 组 1.答案:A
思路分析：与复数z=3-4i 共轭的复数为3+4i,由于复数的实部和虚部都大于0,因此应该在第一象限.
2.解:(1)z =-3-i (2)z =-3i-2 (3)z =1+3i (4)z =3+4i
各对复数对应的点如下图所示A ，A′;B,B′;C，C′;D,D′分别对应（1）中的z 和z ；
（2）中的z 和z′；（3）中的z 和z ；（4）中的z 和z.
思路分析:一个复数的共轭复数实际上就是实部不变、虚部变为相反数时的复数.
3.答案：略.
4.解:419)23(641)3)(3()3)(2(41322++++-=++-++=+-+a
i a a ai ai ai i ai i
i a a a a a i a a a a a a a i a a 222222224368124364334368124369424)9(4)9(])23(6[4+++++-=++++++-=+++++-=,由复数的实部和虚部相等可以得出:
⇒++=++-222436812436433a
a a a a 33-4a+a 2=12+8a ⇒a 2-12a+21=0⇒a=6±15. STS
复数的形成与发展(二)
挪威的测量学家成塞尔(1745—1818)在1779年试图给予这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视.德国数学家高斯(1777—1855)在1806年公布了虚数的图像表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a 的点A,纵轴上取对应实数b 的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C 就表示复数a+bi.像这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数一一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了.
经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为数系大家庭中的一员,从而实数集才扩充到了复数集.
随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且对证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.。