高中数学第一章1.2.2第2课时分段函数及映射学业分层测评新人教A版必修2
高中数学人教a版高一必修一_第一章_集合与函数概念_学业分层测评2_word版有答案
学业分层测评(二)集合的表示(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为()A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}【解析】解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．【答案】 D2．(2016·石家庄高一检测)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为()A．4 B．5C．6 D．7【解析】由题意，B＝{2,3,4,5,6,8}，共有6个元素，故选C.【答案】 C3．(2016·漳州高一检测)下列各组两个集合M和N表示同一集合的是()A．M＝{π}，N＝{3.141 59}B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{x|x2＋1＝0}，N＝∅【解析】对于A，∵π≠3.141 59，∴{π}≠{3.141 59}．对于B，前者包含2个元素，而后者只含一个元素，是个点．对于C，前者是直线x＋y＝1上点的集合，而后者是函数y＝－x ＋1的值域．对于D，∵x2＋1＝0无解，∴{x|x2＋1＝0}＝∅，故选D.【答案】 D4．(2016·贵阳高一检测)设集合A＝{－2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为() 【导学号：97030008】A．1 B．2C．3 D．4【解析】若x∈B，则－x∈A，∴x的可能取值为：2,0，－1，－3，当2∈B时，则1－2＝－1∉A，∴2∈B；当0∈B时，则1－0∈A，∴0∉B；当－1∈B时，则1－(－1)＝2∉A，∴－1∈B；当－3∈B时，则1－(－3)＝4∉A，∴－3∈B.综上，B＝{－3，－1,2}，所以集合B含有的元素个数为3，故选C.【答案】 C5．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}，若集合P中恰有3个元素，则()A．5<x<6 B．5≤x<6C．5<x≤6 D．5≤x≤6【解析】因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，可得5<k≤6，故选C.【答案】 C二、填空题6．已知集合A＝{－1，－2,0,1,2}，B＝{x|x＝y2，y∈A}，则用列举法表示B应为________．【解析】(－1)2＝12＝1，(－2)2＝22＝4,02＝0，所以B＝{0,1,4}．【答案】{0,1,4}7．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a＝0}，若1∈A，则A＝________.【解析】把x＝1代入方程x2＋2x＋a＝0可得a＝－3，解方程x2＋2x－3＝0可得A＝{－3,1}．【答案】{－3,1}8．(2016·松原高一检测)若2∉{x|x－a＜0}，则实数a的取值集合是________．【解析】由题意，{x|x－a＜0}＝{x|x＜a}，∵2∉{x|x－a＜0}，∴a≤2，∴实数a的取值集合是{a|a≤2}．【答案】{a|a≤2}三、解答题9．用适当的方法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；(4)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．【解】(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3，所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)集合的代表元素是数，用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N且x<1 000}．(3)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．(4)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．10．(2016·宁德高一检测)若－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，求实数a的值．【解】∵－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，又a2＋1≥1，∴－3＝a－3，或－3＝2a－1，解得a＝0，或a＝－1，当a＝0时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－3，－1,1}，满足集合三要素；当a＝－1时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－4，－3,2}，满足集合三要素；∴a＝0或－1.[能力提升]1．集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3}，C＝{z|z＝xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为()A．3 B．4C．11 D．12【解析】C＝{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}，故选C.【答案】 C2．已知集合A＝{2,0,1,4}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为()A．2 B．－2C．0 D. 2【解析】若k2－2＝2，得k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，得k＝±2，显然满足条件；若k2－2＝1，得k＝±3，显然满足条件；若k2－2＝4，得k＝±6，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B中的元素之和为－2，则选B.【答案】 B3．已知集合M＝{a,2,3＋a}，集合N＝{3,2，a2}，若M＝N，则a＝()A．1 B．3C．0 D．0或1【解析】 因为集合M 与集合N 相等．所以⎩⎨⎧ a ＝33＋a ＝a 2或⎩⎨⎧a ＝a 23＋a ＝3， 对于⎩⎨⎧ a ＝33＋a ＝a 2，无解； 对于⎩⎨⎧a ＝a 23＋a ＝3， 解得a ＝0，综上可知a ＝0.【答案】 C4．设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N ， (1)试判断元素1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B . 【导学号：97030009】【解】 (1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，所以1∈B,2∉B . (2)令x ＝0,1,4代入62＋x ∈N 检验，可得B ＝{0,1,4}.。
人教A版必修一数学课件：1.2.2函数的表示法(第2课时分段函数及映射)
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x＋2，x≤－1 2 已知函数 f(x)＝x ，－1<x<2 ，求 f(f(f(－3))) 2x，x≥2 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①函数 f(x)是分段函数； ②本例是求值问题． 解答本题需确定 f(f(－3))的范围，为此又需 确定 f(－3)的范围，然后根据所在定义域代入相 应解析式逐步求解．
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对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值
的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作 出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一
样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
2.写出下列函数的解析式并作出函数图象： (1)设函数y＝f(x)，当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2； (2)设函数y＝f(x)，当x≤－1时，f(x)＝x＋1；当－1＜x＜1时，f(x)
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1．分段函数是一个函数还是几个函数？其定义域、值域各
是什么？ 【提示】 分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是
各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
2．函数是映射吗？ 【提示】 对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映
射，是从非空数集到非空数集的映射．
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【解析】 ∵－3≤－1，∴f(－3)＝－3＋2＝－1 ∴f(f(－3))＝f(－1)＝1，
∵－1<1<2，
∴f(f(f(－3)))＝f(1)＝1.
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相
应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层
人教A版高中数学必修1 课时分层训练 ：第一章 1.2 1.2.2 第二课时
第一章1.2 1.2.2第二课时 分段函数及映射课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( ) ①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ； ②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ； ③M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：选D 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.2．若A 为含三个元素的数集，B ＝{－1,3,5}，使得f ：x →2x －1是从A 到B 的映射，则A 等于( )A ．{－1,2,3}B ．{－1,0,2}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2}解析：选C 由映射的概念，A 中的元素在关系x →2x －1下，成为－1,3,5，则A ＝{0,2,3}．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f [f (3)]＝( )A.15B ．3C.23 D ．139解析：选D f (3)＝23，f [f (3)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139. 4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2.若f (x )＝3，则x ＝( )A ．1B ．±3 C.32D ． 3解析：选D 若⎩⎨⎧ x ＋2＝3，x ≤－1，即⎩⎨⎧x ＝1，x ≤－1无解；若⎩⎨⎧ x 2＝3，－1＜x ＜2，⎩⎨⎧x ＝±3，－1＜x ＜2，所以x ＝ 3. 若⎩⎨⎧2x ＝3，x ≥2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，x ≥2无解．综上可知，x ＝ 3.5．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13B ．13C ．－23D ．23解析：选B 由题图可知，函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎨⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.6．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b,5→5且7→11.若x →20，则x ＝________.解析：由题意知，⎩⎨⎧ 5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ⇒⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－10.所以y ＝3x －10.由3x －10＝20，得x ＝10. 答案：107．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1＜x ＜2，x ＋1，x ≥2的值域是________．解析：当0≤x ≤1时，2x 2∈[0,2]；当x ≥2时，x ＋1≥3，所以函数f (x )的值域是[0,2]∪[3，＋∞)．答案：[0,2]∪[3，＋∞)8．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元．则该职工这个月实际用水量为________立方米．解析：该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13. 答案：139．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．解：∵当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ，f (0)＝c ，f (－1)＝(－1)2－b ＋c .∵f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎨⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－2.则f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0，当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1. 由于x ＝1＞0，所以舍去． 当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2， ∴方程f (x )＝x 的解为－2,2.10．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．解：当点P 在BC 上运动， 即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4＜x ≤8时，y ＝12×4×4＝8； 当点P 在DA 上运动，即8＜x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4＜x ≤8，24－2x ，8＜x ≤12.‖层级二‖|应试能力达标|1．函数f (x )＝x 2－2|x |的图象是( )解析：选C f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，分段画出，应选C.2．(2019·兰州高一检测)已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π解析：选B g (π)＝0，f [g (π)]＝f (0)＝0.3．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x ＜0}解析：选A 当x ≥0时，f (x )＝1， xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1， 所以0≤x ≤1；当x ＜0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，所以x ＜0，综上，x ≤1.∴解集为{x |x ≤1}，故选A. 4.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自点O 开始移动．设线段OE ＝x ，过点E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D解法一：当x∈[0,2]时，直线OA：y＝12x，此时S＝12·x·⎝⎛⎭⎪⎫x2＝x24；当x∈(2,3]时，直线AB：y＝3－x，S＝12·3·1－12·(3－x)·(3－x)＝－x22＋3x－3；当x>3时，S＝32.对比图形特征易得D符合．解法二：显然当x＝2时，面积为1，排除A，B，注意到x∈[0,2]时，面积增速越来越快，排除C.5．(2019·聊城高一检测)若定义运算a⊙b＝⎩⎨⎧b，a≥b，a，a＜b，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．解析：由题意知f(x)＝⎩⎨⎧2－x，x≥1，x，x＜1.画出图象为由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．答案：(－∞，1]6．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2，－1≤x＜0，－12x，0＜x＜2，3，x≥2，则f⎩⎨⎧⎭⎬⎫f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f⎝⎛⎭⎪⎫－34＝________.解析：∵－1<－34<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12，而0<12<2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14. ∵－1<－14<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32. 因此f ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫－34＝32.答案：327．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则实数a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案：－348．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，求x 0的取值范围．解：因为x 0∈A ，所以0≤x 0＜12，且f (x 0)＝x 0＋12， 又12≤x 0＋12＜1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12∈B ，所以f [f (x 0)]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0，又f [f (x 0)]∈A ， 所以0≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0<12，解得14<x 0≤12，又0≤x 0＜12， 所以14＜x 0＜12.由Ruize收集整理。
高中数学 1.2.2第2课时分段函数及映射课时作业 新人教a版必修1
第2课时 分段函数及映射课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的____________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应_____________________________________________________． 2．映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中____________确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的__________．一、选择题1．已知，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 2．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：A ．100元B ．90元C ．80元D ．60元4．已知函数，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－525．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．18立方米 D ．26立方米6．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x二、填空题7．已知，则f (7)＝____________.8．设则f {f [f (－34)]}的值为________，f (x )的定义域是______________．9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．三、解答题10．已知，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．能力提升12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是( ) A．∅ B．∅或{1}C．{1} D．∅13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．1．全方位认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． (2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况． 2．对映射认识的拓展映射f ：A →B ，可理解为以下三点：(1)A 中每个元素在B 中必有唯一的元素与之对应；(2)对A 中不同的元素，在B 中可以有相同的元素与之对应；(3)A 中元素与B 中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多． 3．函数与映射的关系映射f ：A →B ，其中A 、B 是两个“非空集合”；而函数y ＝f (x )，x ∈A 为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射． 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．第2课时 分段函数及映射知识梳理1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 2．都有唯一 一个映射 作业设计1．A [∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.] 2．D3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．]4．A [若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2，若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故选A.]5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ， x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C.]7．6解析 ∵7<9，∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6. 8.32{x |x ≥－1且x ≠0} 解析 ∵－1<－34<0，∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12.而0<12<2，∴f (12)＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32.因此f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．9．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x <0，－x ， 0≤x ≤1解析 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. 当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入， 则k ＝－1. 10.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0,1]． 11．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，24－2x ， 8<x ≤12.12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2.所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合． 无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.]13．解 根据题意可得d ＝kv 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2 v <25212 500v 2Sv ≥252.。
人教A版数学必修一1.2.2第2课时分段函数、映射
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(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值 的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．
2．已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2＜x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
解：(1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋x－2 x＝1，
解：(1)f－12＝－12＋2＝32， ∴ff－12＝f32＝322＝94， ∴fff－12＝f94＝12×94＝98． (2)当 f(x)＝x＋2＝2 时，x＝0, 不符合 x＜0． 当 f(x)＝x2＝2 时，x＝± 2，其中 x＝ 2符合 0≤x＜2． 当 f(x)＝12x＝2 时，x＝4，符合 x≥2． 综上，x 的值是 2或 4．
分段函数
(1)分段函数是一个函数而非几个函数，只不过在定义域的 不同子集内解析式不一样．
(2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是 各段“值域”的并集．
x＋2x＜0， 已知函数 f(x)＝x20≤x＜2，
12xx≥2.
(1)求 fff－12值； (2)若 f(x)＝2，求 x 的值． 【思路点拨】分段考虑求值即可． (1)先求 f－12，再求 ff－12，最后求 fff－12； (2)分别令 x＋2＝2，x2＝2，12x＝2，分段验证求 x．
【思路点拨】解答本题可由映射的概念出发，观察A中任何 一个元素在B中是否都有唯一的元素与之对应．
解：(1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对 值为0，而0∉B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素 在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(3)对 A 中任何一个元素，按照对应关系 f，在 B 中都有唯一 元素与之对应，符合映射定义，是映射．
人教新课标版数学高一人教A数学必修1作业 1-2-2-2分段函数和映射
课时作业(九) 分段函数和映射一、选择题1. 设集合A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,9,25,49,81,100}，下面的对应关系f 能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →(x －1)2B ．f ：x →(2x －3)2C ．f ：x →－2x －1D ．f ：x →2x －3答案：A2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)＝( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18答案：A 解析：f (2)＝22＋2－2＝4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f ：x →x 2是集合A 到集合B ＝{0,1,4}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C 解析：令x 2＝0,1,4，解得x ＝0，±1，±2.故选C.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4答案：B 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83，又∵x ≤0时，f (x )＝f (x ＋1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝43. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4. 5．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－x ＋1，x ＜1，1x ，x ＞1的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ B ．(0,1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 D ．(0，＋∞)答案：D 解析：当x <1时，f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，当x ＞1时，f (x )＝1x ∈(0,1)，∴f (x )的值域(0,1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞＝(0，＋∞)．6．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x ＞0，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52 C ．2或－2D ．2或－2或－52答案：A 解析：若x 2＋1＝5，则x 2＝4， 又∵x ≤0，∴x ＝－2；若－2x ＝5，则x ＝－52，与x ＞0矛盾．故选A. 二、填空题7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜0，x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．答案：4 解析：当x ＜0时，2x ＝16，无解； 当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4.8．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b ，已知函数f (x )＝x 2⊕x ，则f (2)＝________.答案：4 解析：根据已知条件有f (2)＝4⊕2＝4.9．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，则B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54与A 中________对应．答案：12解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，解得x ＝12.10．设f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，－1≤x ＜0，－12x ，0＜x ＜2，3，x ≥2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝________，f (x )的定义域是________．答案：32 {x |x ≥－1且x ≠0} 解析：∵－1＜－34＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12. 而0＜12＜2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14.∵－1＜－14＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x ＜0}∪{x |0＜x ＜2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ＜0，－x ＋1，0＜x ≤1，则f (x )－f (－x )＞－1的解集为________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1] 解析：当－1≤x ＜0时，f (x )＝－x －1，f (－x )＝x ＋1，∴原不等式为－x －1－(x ＋1)＞－1， 解得x ＜－12，因此－1≤x ＜－12.当0＜x ≤1时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝x －1， ∴原不等式化为－2x ＋2＞－1，解得x ＜32， 因此0＜x ≤1.综上，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1]． 三、解答题12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ≥0，x (x －4)，x ＜0，若f (1)＋f (a ＋1)＝5，求a 的值．解：f (1)＝1×(1＋4)＝5， ∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0. 当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)； 当a ＋1＜0，即a ＜－1时， 有(a ＋1)(a －3)＝0，无解． 综上可知，a ＝－1.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x <0，x 2，0≤x <1，x ，1≤x ≤2.(1)求f (－8)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值；(2)作出函数的简图； (3)求函数的值域．解：函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]． (1)因为－8∉[－1,2]，所以f (－8)无意义． 因为当－1≤x <0时，f (x )＝－x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝23.因为当0≤x <1时，f (x )＝x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.因为当1≤x ≤2时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝32.(2)在同一坐标系中分段画出函数的图象，如图所示． (3)由(2)中画出的图象可知，函数的值域为[0,2]． 14．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1， 当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)． 尖子生题库15．规定：区间[m，n]的长度为n－m(n＞m)，设A＝[0，t](t＞0)，B＝[a，b](b＞a)，从A到B的映射f：x→y＝2x＋t，A中元素在映射f下对应元素的集合为B，且B比A的长度大5，求实数t的值．解：由于A和B均是数集，则该映射f：x→y是函数，且f(x)＝2x＋t.当x∈A时，f(x)的值域为[f(0)，f(t)]，即[t,3t]，所以B的长度为3t－t＝2t，又A的长度为t－0＝t，则2t－t＝5，解得t＝5.。
高中人教A版数学必修一配套课件1.2.2.2分段函数及映射
3.已知f(x)=
x x
1, x 3,
1, x＞1，
则f(f(2))=________.
【解析】f(2)=-2+3=1,所以f(f(2))=f(1)=1+1=2.
答案:2
4.已知A={1,2,3,…,9},B=R,从集合A到集合B的映射
f:x→ x .
2x 1
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是________.
第2课时 分段函数及映射
主题1 分段函数 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5千米以内(含5千米),票价2元. (2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米 的按5千米计算).
已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米,沿途(包括起 点站和终点站)有11个汽车站. 请根据以上内容,回答下面的问题:
①A=N,B=N*,f:x→|x|;②A=N,B=N*,f:y=|x-1|;
③A=B={1},f:x→x2;
④A={1,2,3,4,5},B={1,7,17,31,49},f:y=2x2-1.
A.①②
B.①③
C.③④
D.②④
【解析】选C.①A中元素0在集合B中无元素与之对应, 故不是映射;②A中元素1在B中无元素与之对应,故不是 映射;③符合定义,是映射;④中x=1,2,3,4,5时,y分别 是1,7,17,31,49,符合定义,是映射.
1 x2,Leabharlann x 1,x2x
3,
x＞1,
【解题指南】先求
f
1
3
，再求 f (
f
1
3
)
.
【解析】f(3)=32-3-3=3，所以 1 1 .
f 3 3
所以 f( 1 )f(1)1(1)28.
人教A版高中数学必修第一册 同步学案3-1-2-2 第2课时分段函数
第2课时 分段函数1．会用解析法及图象法表示分段函数． 2．给出分段函数,能研究有关性质． 3．对生活中的一些实例,会用分段函数表示．1．分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x 的不同取值范围,有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成,但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．1．某市空调公共汽车的标价按下列规则判定： ①5千米以内,票价2元；②5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米,沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站． (1)从起点站出发,公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？ (2)函数的表达式是什么？ (3)x 与y 之间有何特点？ [答案] (1)有函数关系(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10(3)x 在不同区间内取值时,与y 所对应的关系不同 2．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x>2，是分段函数．( )(3)分段函数的图象不一定是连续的．( )(4)y ＝|x －1|与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x<1，是同一函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√题型一 分段函数求值【典例1】 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x，x>1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x<－1.(1)求f(f(f(－2)))的值； (2)若f(a)＝32,求a.[思路导引] 根据自变量取值范围代入对应解析式求值． [解] (1)∵－2<－1,∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1, ∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2, ∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋12＝32.(2)当a>1时,f(a)＝1＋1a ＝32,∴a ＝2>1；当－1≤a ≤1时,f(a)＝a 2＋1＝32,∴a ＝±22∈[－1,1]； 当a<－1时,f(a)＝2a ＋3＝32,∴a ＝－34>－1(舍去)．综上,a ＝2或a ＝±22.(1)分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题,要按照“由内到外”的顺序,逐层处理．(2)已知函数值,求自变量的值时,要先将“f”脱掉,转化为关于自变量的方程求解．[针对训练]1．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x>1，则f[f(3)]＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139 [解析] ∵f(3)＝23<1,∴f[f(3)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.[答案] D2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，1－x 2，x>1，若f(x)＝－3,则x ＝________.[解析] 若x ≤1,由x ＋1＝－3得x ＝－4. 若x>1,由1－x 2＝－3得x 2＝4, 解得x ＝2或x ＝－2(舍去)． 综上可得,所求x 的值为－4或2. [答案] －4或2 题型二 分段函数的图象【典例2】 (1)作出下列分段函数的图象： ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x<1，x ，x ≥1；②y ＝|x ＋1|.(2)如图所示,在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P,沿着折线BCDA 由B(起点)向点A(终点)运动．设点P 运动路程为x,△ABP 的面积为y,求：①y 与x 之间的函数关系式； ②画出y ＝f(x)的图象．[思路导引] (1)利用描点法分段作图；(2)先依据x 的变化范围求出关系式． [解] (1)①函数图象如图1所示．②y ＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x<－1，x ＋1，x ≥－1,其图象如图2所示．(2)①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.②分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可．(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象．[针对训练]3.已知函数f(x)的图象如图所示,求f(x)的解析式并写出f(x)的值域．[解] 由于f(x)的图象由两条线段组成, 因此可设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－1≤x<0，cx ，0≤x ≤1.将点(－1,0),(0,1)代入f(x)＝ax ＋b, 点(1,－1)代入f(x)＝cx 可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x<0，－x ，0≤x ≤1.由图象可得f(x)的值域为(－1,1). 题型三 分段函数的综合问题【典例3】 已知函数f(x)＝|x －3|－|x ＋1|. (1)求f(x)的值域； (2)解不等式：f(x)>0；(3)若直线y ＝a 与f(x)的图象无交点,求实数a 的取值范围． [思路导引] 去掉绝对值符号,化简f(x),再分段求解． [解] 若x ≤－1,则x －3<0,x ＋1≤0, f(x)＝－(x －3)＋(x ＋1)＝4； 若－1<x ≤3,则x －3≤0,x ＋1>0, f(x)＝－(x －3)－(x ＋1)＝－2x ＋2； 若x>3,则x －3>0,x ＋1>0, f(x)＝(x －3)－(x ＋1)＝－4. ∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤－1，－2x ＋2，－1<x ≤3，－4，x>3.(1)－1<x ≤3时,－4≤－2x ＋2<4.∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．(2)f(x)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，4>0，①或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤3，－2x ＋2>0，②或⎩⎪⎨⎪⎧x>3，－4>0，③解①得x ≤－1,解②得－1<x<1,解③得x ∈∅.所以f(x)>0的解集为(－∞,－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞,1)． (3)f(x)的图象如图：由图可知,当a ∈(－∞,－4)∪(4,＋∞)时,直线y ＝a 与f(x)的图象无交点． [变式] 若a ∈R,试探究方程f(x)＝a 解的个数．[解] 由例3(3)知y ＝f(x)的图象,作出直线y ＝a,可以看出：当a ＝±4时,y ＝a 与y ＝f(x)有无数个交点；当－4<a<4时,y ＝a 与y ＝f(x)有且仅有一个交点；当a<－4或a>4时,y ＝a 与y ＝f(x)没有交点．综上可知：当a ＝±4时,方程f(x)＝a 有无数个解． 当－4<a<4时,方程f(x)＝a 有一个解． 当a<－4或a>4时,方程f(x)＝a 无解．研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究．在每一段上研究函数．(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段,仍是一个函数,对外是一个整体．[针对训练]4．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x>1或x<－1.(1)画出f(x)的图象；(2)若f(x)≥14,求x 的取值范围；(3)求f(x)的值域．[解] (1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示．(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫±12＝14,结合此函数图象可知,使f(x)≥14的x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)由图象知,当－1≤x ≤1时,f(x)＝x 2的值域为[0,1], 当x>1或x<－1时,f(x)＝1. 所以f(x)的值域为[0,1].题型四 分段函数在实际问题中的应用【典例4】 某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种,如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象,其中AB 段是恒温阶段,BC 段是双曲线y ＝kx的一部分,请根据图中信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？ [思路导引] 利用待定系数法求出x 在每一段上的解析式,再分段研究． [解] (1)设线段AD 的解析式为y ＝mx ＋n(m ≠0), 将点A(2,20),D(0,10)代入,得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝20n ＝10,解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5n ＝10,∴线段AD 的解析式为y ＝5x ＋10(0≤x ≤2)．∵双曲线y ＝kx 经过B(12,20),∴20＝k12,解得k ＝240,∴BC 段的解析式为y ＝240x (12≤x ≤24)．综上所述,y 与x 的函数解析式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋10(0≤x ≤2)20(2<x<12)240x (12≤x ≤24).(2)当x ＝18时,y ＝24018＝403,由于403<15,∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长． (3)令y ＝15,当0≤x ≤2时,解5x ＋10＝15,得x ＝1, 当12≤x ≤24时,解240x ＝15,得x ＝16.由于16－1＝15(小时),∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．对于应用题,要在分析题意基础上,弄清变量之间的关系,然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式,则要分段用待定系数法求出,最后用分段函数表示,分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．[针对训练]5．A,B 两地相距150公里,某汽车以每小时50公里的速度从A 地到B 地,在B 地停留2小时之后,又以每小时60公里的速度返回A 地．写出该车离A 地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系,并画出函数图象．[解] (1)汽车从A 地到B 地,速度为50公里/小时,则有s ＝50t,到达B 地所需时间为15050＝3(小时)．(2)汽车在B 地停留2小时,则有s ＝150.(3)汽车从B 地返回A 地,速度为60公里/小时,则有s ＝150－60(t －5)＝450－60t,从B 地到A 地用时15060＝2.5(小时)．综上可得,该汽车离A 地的距离s 关于时间t 的函数关系式为 s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t ，0≤t ≤3，150，3<t ≤5，－60t ＋450，5<t ≤7.5，函数图象如图所示．课堂归纳小结1．分段函数(1)分段是针对定义域而言的,将定义域分成几段,各段的对应关系不一样．(2)一般而言,分段函数的定义域部分是各不相交的,这是由函数定义中的唯一性决定的． (3)研究分段函数时,应根据“先分后合”的原则,尤其是作分段函数的图象时,可先将各段的图象分别画出来,从而得到整个函数的图象． 2．与分段函数有关的实际问题要理解题意,合理引进变量,确定自变量分段的“段点”,注意在自变量分段的端点处要不重不漏.1．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x<0，10x ，x ≥0，则f[f(－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100[解析] ∵f(－7)＝10,∴f[f(－7)]＝f(10)＝10×10＝100. [答案] A2．下列图形是函数y ＝x|x|的图象的是( )[解析] ∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x<0，分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x<0部分)即可．[答案] D3．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x<2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0,＋∞)D ．[0,3][解析] 当0≤x ≤1时,0≤f(x)≤2,当1<x<2时,f(x)＝2,当x ≥2时,f(x)＝3.故0≤f(x)≤2或f(x)＝3,故选B. [答案] B4．下图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)[解析] 可将原点代入,排除选项A,C ；再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入,排除D 项． [答案] B5．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x>0.若f[f(a)]＝2,则a ＝________.[解析] 当a ≤0时,f(a)＝a 2＋2a ＋2>0,f[f(a)]<0,显然不成立；当a>0时,f(a)＝－a 2,f[f(a)]＝a 4－2a 2＋2＝2,则a ＝±2或a ＝0,故a ＝ 2.[答案]2课后作业(十八)复习巩固一、选择题1．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x>0.则f(－2)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．2或4 [解析] f(－2)＝－(－2)＝2,选A. [答案] A2．函数f(x)＝|x －1|的图象是( )[解析] f(x)＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x<1，x －1，x ≥1.选B.[答案] B3．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x>0，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52[解析] 当x ≤0时,令x 2＋1＝5,解得x ＝－2；当x>0时,令－2x ＝5,得x ＝－52,不合题意,舍去．[答案] A4.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13 B.13C ．－23 D.23[解析] 由图可知,函数f(x)的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0<x<1，x ＋1，－1<x<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23,∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.[答案] B5．某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元,则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米[解析] 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x>10.由y ＝16m,可知x>10,令2mx －10m ＝16m,解得x ＝13.[答案] A 二、填空题6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x<01，x ≥0,则不等式xf(x －1)≤1的解集为________．[解析] 原不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x ×(－1)≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ×1≤1，解得－1≤x ≤1.[答案] [－1,1]7．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]的值域是________．[解析] 当0≤x ≤1时,0≤f(x)≤1； 当1<x ≤2时,0≤f(x)<1.所以0≤f(0)≤1,即f(x)的值域为[0,1]． [答案] [0,1]8．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，f (x ＋2)，x ≤0，则f(－5)的值等于________．[解析] f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝2×1＝2. [答案] 2 三、解答题9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x|≤1，11＋x2，|x|>1.(1)求f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值；(2)若f(x)＝13,求x 的值．[解] (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32, 所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝413.(2)f(x)＝13,若|x|≤1,则|x －1|－2＝13,得x ＝103或x ＝－43.因为|x|≤1,所以x 的值不存在；若|x|>1,则11＋x 2＝13,得x ＝±2,符合|x|>1. 所以若f(x)＝13,x 的值为± 2.10．已知函数f(x)＝1＋|x|－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域．[解] (1)当0≤x ≤2时,f(x)＝1＋x －x2＝1,当－2<x<0时,f(x)＝1＋－x －x2＝1－x.所以f(x)＝{ 1，0≤x ≤2，?1－x ，－2<x<0. (2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知,f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．综合运用11．设x ∈R,定义符号函数sgnx ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0.则( )A ．|x|＝x|sgnx|B ．|x|＝xsgn|x|C ．|x|＝|x|sgnxD ．|x|＝xsgnx [解析] 由已知得,xsgnx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x>0，0，x ＝0，－x ，x<0，而|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x>0，0，x ＝0，－x ，x<0，所以|x|＝xsgnx,故选D. [答案] D12.如图,抛物线y 1＝ax 2与直线y 2＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A(－2,4),B(1,1)．记f(x)为max{y 1,y 2},则f(x)的解析式为( )[解析] 由y 1＝ax 2过点B(1,1)得a ＝1,∴y ＝x 2.由y 2＝bx ＋c 过点A(－2,4),B(1,1),有⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1－2b ＋c ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1c ＝2∴y 2＝－x ＋2,结合图象可得．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x<－2－x ＋2，－2≤x<1x 2，x ≥1,选A.[答案] A13．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4[解析] ∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，f (x ＋1)，x ≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23×2＝43,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43＋83＝4. [答案] B14．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥0，1x ，x<0，若f(a)>1,则实数a 的取值范围是________．[解析] 当a ≥0时,f(a)＝12a －1>1,解得a>4,符合a ≥0； 当a<0时,f(a)＝1a >1,无解．[答案] (4,＋∞) 15．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a<b.则函数f(x)＝x ⊙(2－x)的值域为________．[解析] 由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x<1，画出函数f(x)的图象得值域是(－∞,1]．[答案] (－∞,1]16．成都市出租车的现行计价标准是：路程在2 km 以内(含2 km)按起步价8元收取,超过2 km 后的路程按1.9元/km 收取,但超过10 km 后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km)．(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0<x ≤60,单位：km)的分段函数； (2)某乘客的行程为16 km,他准备先乘一辆出租车行驶8 km 后,再换乘另一辆出租车完成余下行程,请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数,本题在计算时都不予考虑)[解] (1)由题意得,车费f(x)关于路程x 的函数为：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧8，0<x ≤2，8＋1.9(x －2)，2<x ≤10，8＋1.9×8＋2.85(x －10)，10<x ≤60＝⎩⎪⎨⎪⎧8，0<x ≤2，4.2＋1.9x ，2<x ≤10，2.85x －5.3，10<x ≤60.(2)只乘一辆车的车费为：f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)； 换乘2辆车的车费为：2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)． ∵40.3>38.8,∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．。
人教版数学高一A版必修1练习 第2课时 分段函数、映射
第一章 1.2 1.2.2 第2课时1．如下图给出的四个对应关系，其中构成映射的是( )A ．(1)(2)B ．(1)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(3)(4)解析：在(2)中，元素1和4没有对应元素；(3)中元素1和2都有两个元素与它们对应，不满足映射的定义；(1)、(4)符合映射定义．故选B.答案：B2．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图象的是( )解析：y ＝－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，(－2≤x <0)－x ，(0≤x ≤2)，其图象是x 轴下方的两条线段，包括x ＝±2时的两个端点．答案：B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，x (x ＋1)，x ＜0，则f (－2)等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵－2＜0，∴f (－2)＝－2(－2＋1)＝2.答案：B4．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ＞0)，－4(x <0)的定义域为________． 解析：{x |x ＞0}∪{x |x <0}＝{x |x ≠0}．答案：{x |x ≠0}5．集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{c ，d ，e }．则由A 到B 的映射共有________个．解析：由于映射的对应形式只有“一对一”、“多对一”两种情况，故由A 到B 的映射有以下9种情况，如图所示．答案：96．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x ＞0)，π(x ＝0)，0(x <0).求f (f (f (－3)))的值．解：∵－3<0，∴f (－3)＝0.∴f (f (－3))＝f (0)＝π.又π＞0，∴f (f (f (－3)))＝f (π)＝π＋1.。
高一数学人教a版必修1学业分层测评8_分段函数及映射
学业分层测评(八) 分段函数及映射(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2(x ≤1)x 2＋x －2(x >1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18【解析】 当x ＞1时，f (x )＝x 2＋x －2，则f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f (2)＝14，当x ≤1时，f (x )＝1－x 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516.故选A. 【答案】 A2．设集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，在下图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是( )【导学号：97030042】【解析】 在A 中，当0＜x ＜1时，y ＜1，所以集合A 到集合B 不成映射，故A 不成立； 在B 中，当1≤x ≤2时，y ＜1，所以集合A 到集合B 不成映射，故B 不成立；在C 中，当0≤x ≤1时，任取一个x 值，在0≤y ≤2内，有两个y 值与之相对应，所以构不成映射，故C 不成立；在D 中，当0≤x ≤1时，任取一个x 值，在0≤y ≤2内，总有唯一确定的一个y 值与之相对应，故D 成立．故选D.【答案】 D3．已知f (x )＝⎩⎨⎧x －5(x ≥6)f (x ＋2)(x <6)，则f (3)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 由题意，得f (3)＝f (5)＝f (7)， ∵7≥6，∴f (7)＝7－5＝2.故选A. 【答案】 A4．(2016·杭州高一检测)在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与B 中的元素(－1,1)对应的A 中的元素为( )A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(－1，－3)D ．(－2,0)【解析】 由题意，⎩⎨⎧x －y ＝－1x ＋y ＝1，解得x ＝0，y ＝1，故选A.【答案】 A5．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－1)x 2(－1<x <2)2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x ＝( )【导学号：97030043】 A. 3 B ．±3 C ．－1或 3D ．不存在【解析】∵f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－1)x 2(－1<x <2)2x (x ≥2)，f (x )＝3，∴⎩⎨⎧ x ＋2＝3x ≤－1或⎩⎨⎧ x 2＝3－1<x <2或⎩⎨⎧2x ＝3x ≥2，∴x ∈∅或x ＝3或x ∈∅，∴x ＝ 3. 【答案】 A二、填空题6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x <0－12x ，0<x <23，x ≥2，则f ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫－34的值为________，f (x )的定义域是________． 【解析】 ∵－1<－34<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12.而0<12<2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14. ∵－1<－14<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32.因此f ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫－34＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}． 【答案】 32 {x |x ≥－1且x ≠0}7．已知函数f (x )的图象如图1-2-3所示，则f (x )的解析式是______．图1-2-3【解析】 由题图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎨⎧ －a ＋b ＝0b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝1，即f (x )＝x ＋1；当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1，即f (x )＝－x . 综上，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ＜0－x ，0≤x ≤1.【答案】 f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，－1≤x <0－x ，0≤x ≤18．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b ，a ≥ba ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．【解析】 由题意得f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥1x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．【答案】 (－∞，1] 三、解答题9．画出函数y ＝|x ＋1|＋|x －3|的图象，并写出其值域． 【导学号：97030044】【解】由y ＝|x ＋1|＋|x －3|＝错误!∴函数图象如图，由图象易知函数的值域为[4，＋∞)．10.如图1-2-4，动点P 从边长为4的正方形ABCD的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．图1-2-4【解】 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4×x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤48，4<x ≤824－2x ，8<x ≤12.[能力提升]1．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( ) A ．∅ B ．∅或{1} C ．{1}D ．∅【解析】 由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2.所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.【答案】 B2．下列图形是函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x <0x －1，x ≥0的图象的是( )【解析】 由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形C 符合．【答案】 C3．(2016·常州高一检测)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________. 【导学号：97030045】【解析】 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，∴2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32(舍去)． 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，∴－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34. 【答案】 －344．“水”这个曾经被人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y (单位：元)．【解】 由题意可知：①当x ∈[0,5]时，f (x )＝1.2x .②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，即当x ∈(5,6]时， f (x )＝1.2×5＋(x －5)×3.6＝3.6x －12.③当x ∈(6,7]时，f (x )＝1.2×5＋1×3.6＋(x －6)×6＝6x －26.4.∴f (x )＝⎩⎨⎧1.2x ，x ∈[0，5]3.6x －12，x ∈(5，6]6x －26.4，x ∈(6，7].。
高中数学 1.2.2.2 分段函数及映射 新人教A版必修1
2．作出下列函数的图象． (1)y＝x，|x|≤1； (2)y＝1－x，x∈Z 且|x|≤2； (3)y＝xx2－－1x. 解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以 其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－ x上．(这样的点叫做整点)
分段函数的图象 已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
讨论x的取值范围→化简fx的解析式→把fx 表示为分段函数形式→画出fx的图象→求fx 的值域
[规范作答] (1)当 0≤x≤2 时， f(x)＝1＋x－2 x
(3)先求定义域，在定义域上化简函数式 y＝xx2－－1x ＝x，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．其图象如下：
1．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不 同的取值范围，有着不同的_对__应__关__系__，则称这 样的函数为分段函数． 2．映射 设A、B是两个_非__空__的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的_任__意__一__个_元 素x，在集合B中都有_唯__一__确__定__的元素y与之对 应，那么就称对应_f：__A__→__B为从集合A到集合B 的一个映射．
第2课时 分段函数及映射
1.通过具体实例，了解简 1.分段函数求值．(重
单的分段函数，并能简单 点)
应用.
2.对映射概念的理
2.了解映射的概念.
解．(难点)
1．若f(2x＋1)＝x2＋1，则f(x)＝________.
解析： 设 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝t－2 12＋1.从而 f(x)＝x－2 12＋1. 答案： x－2 12＋1
高中数学必修1全册课时训练含答案
人教A版高中数学必修1 全册课时训练目录1.1.1（第1课时）集合的含义1.1.1（第2课时）集合的表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3（第1课时）并集、交集1.1.3（第2课时）补集及综合应用1.2.1（第1课时）函数的概念1.2.1（第2课时）函数概念的综合应用1.2.2（第1课时）函数的表示法1.2.2（第2课时）分段函数及映射1.3.1（第1课时）函数的单调性1.3.1（第2课时）函数的最大值、最小值1.3.2（第1课时）函数奇偶性的概念1.3.2（第2课时）函数奇偶性的应用集合与函数的概念-单元评估试题2.1.1（第1课时）根式2.1.1（第2课时）指数幂及运算2.1.2（第1课时）指数函数的图象及性质2.1.2（第2课时）指数函数及其性质的应用2.2.1（第1课时）对数2.2.1（第2课时）对数的运算2.2.2（第1课时）对数函数的图象及性质2.2.2（第2课时）对数函数及其性质的应用2.3幂函数基本初等函数-单元评估试题3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2（第1课时）一次函数、二次函数应用举例3.2.2（第2课时）指数型、对数型函数的应用举例函数的应用-单元评估试题第1-3章-全册综合质量评估试卷课时提升卷(一)集合的含义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列各项中,不能组成集合的是( )A.所有的正整数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数2.(2013·冀州高一检测)若集合M中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.24.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这2个元素,则下列说法中正确的是( )A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数5.下列四种说法中正确的个数是( )①集合N中的最小数为1;②若a∈N,则-a∉N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·天津高一检测)设集合A中含有三个元素2x-5,x2-4x,12,若-3∈A,则x的值为.7.(2013·济宁高一检测)若集合P含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,且P,Q相等,则a= .8.若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值所组成的集合中元素的个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.集合A的元素由kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中的元素只有一个,求k的值.10.数集M满足条件,若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0),已知3∈M,试把由此确定的集合M的元素全部求出来.11.(能力挑战题)设P,Q为两个数集, P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.答案解析1.【解析】选C.怎样才是接近于0的数没有统一的标准,即不满足集合元素的确定性,故选C.2.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,a,b,c三个数一定全不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.3.【解析】选C.∵-1∈M,∴2×(-1)∈M,即-2∈M.4.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,2a≠a2-a,解得a≠0且a≠3,故选D.5.【解析】选A.①中最小数应为0;②中a=0时,- a∈N;③中a+b的最小值应为0;④中“小的正数”不确定.因此①②③④均不对.6.【解析】∵-3∈A,∴-3=2x-5或-3=x2-4x.①当-3=2x-5时,解得x=1,此时2x-5=x2-4x=-3,不符合元素的互异性,故x≠1;②当-3=x2-4x时,解得x=1或x=3,由①知x≠1,且x=3时满足元素的互异性.综上可知x=3.答案:37.【解析】由于P,Q相等,故a2=2,从而a=±.答案:±8.【解题指南】对a,b的取值情况分三种情况讨论求值,即同正,一正一负和同负,以确定集合中的元素,同时注意集合元素的互异性.【解析】当a>0,b>0时,+=2;当ab<0时,+=0;当a<0,b<0时,+=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即集合中元素的个数为3.答案:39.【解析】由题知A中元素即方程kx2-3x+2=0(k∈R)的解,若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题意;若k≠0,则方程为一元二次方程.当Δ=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两个相等的实数解,此时A中有一个元素.综上所述,k=0或.10.【解析】∵a=3∈M,∴==-2∈M,∴=-∈M,∴=∈M,∴=3∈M.再把3代入将重复上面的运算过程,由集合中元素的互异性可知M中含有元素3,-2,-,.【拓展提升】集合中元素互异性的应用集合中的元素是互异的,它通常被用作检验所求未知数的值是否符合题意.只要组成两个集合的元素是一样的,这两个集合就是相等的,与两个集合中元素的排列顺序无关.11.【解析】∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.课时提升卷(二)集合的表示（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·临沂高一检测)设集合M={x∈R|x≤3},a=2,则( )A.a∉MB.a∈MC.{a}∈MD.{a}∉M2.集合{x∈N*|x-3<2}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}3.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )A.{0}B.{y|y2=0}C.{x|x=0}D.{x=0}4.下列集合的表示法正确的是( )A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}B.不等式x-1<4的解集为{x<5}C.整数集可表示为{全体整数}D.实数集可表示为R5.设x=,y=3+π,集合M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( )A.x∈M,y∈MB.x∈M,y∉MC.x∉M,y∈MD. x∉M,y∉M二、填空题(每小题8分,共24分)6.设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+b= .7.已知集合A={x|∈N,x∈N},则用列举法表示为.8.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},a∈A且a∈B,则a 为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|的所有x的值构成的集合B.10.下面三个集合:A={x|y=x2+1}; B={y|y=x2+1};C={(x,y)|y=x2+1}.问:(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?11.(能力挑战题)集合P={x|x=2k,k∈Z},M={x|x=2k+1,k∈Z},a∈P,b ∈M,设c=a+b,则c与集合M有什么关系?答案解析1.【解析】选B.(2)2-(3)2=24-27<0,故2<3.所以a∈M.2.【解析】选B.集合中元素满足x<5且x∈N*,所以集合的元素有1,2,3,4.3.【解析】选D.A是列举法,B,C是描述法,而D表示该集合含有一个元素,即“x=0”.4.【解析】选D.选项A中应是xy<0;选项B的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C的“{ }”与“全体”意思重复.5.【解析】选B.∵x==--.y=3+π中π是无理数,而集合M中,b ∈Q,得x∈M,y M.6.【解析】两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.∴a+b=4.答案:47.【解题指南】结合条件,可按x的取值分别讨论求解.【解析】根据题意,5-x应该是12的正因数,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12,从而可得到对应x的值为4,3,2,1,-1,-7.因为x∈N,所以x 的值为4,3,2,1.答案:{1,2,3,4}8.【解析】∵a∈A且a∈B,∴a是方程组的解,解方程组,得∴a为(2,5).答案:(2,5)9.【解析】(1){x|x=3n,n∈Z}.(2)B={x|x=|x|,x∈R}.【变式备选】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y) |y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.集合A为列举法表示集合,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中B选项省略了代表元素和竖线.10.【解析】(1)在A,B,C三个集合中,虽然代表元素满足的表达式一致,但代表元素互不相同,所以它们是互不相同的集合.(2)集合A的代表元素是x,满足y=x2+1,故A={x|y=x2+1}=R.集合B的代表元素是y,满足y=x2+1,所以y≥1,故B={y|y=x2+1}={y|y≥1}.集合C的代表元素是(x,y),满足条件y=x2+1,即表示满足y=x2+1的实数对(x,y);也可认为是满足条件y=x2+1的坐标平面上的点.【拓展提升】三种集合语言的优点及应用集合语言包括符号语言、图形语言和自然语言三种.(1)符号语言比较简洁、严谨且内涵丰富有利于推理计算.(2)图形语言能够引起直观的视觉感受,便于理清关系,有利于直观地表达概念、定理的本质及相互关系,使得抽象的思维关系明朗化. (3)自然语言往往比较生动,能将问题研究对象的含义更加明白地叙述出来.集合的三种语言之间相互转化,在解决集合问题时,一般是将符号语言转化为图形语言、自然语言,这样有助于弄清集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析问题和解决问题的能力.11.【解析】∵a∈P,b∈M,c=a+b,设a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z,∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1,又k1+k2∈Z,∴c∈M.课时提升卷(三)集合间的基本关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0=∅2.(2013·宝鸡高一检测)如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.0MC.{0}∈MD.{0}⊆M3.(2013·长沙高一检测)已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.设A={a,b},B={x|x∈A},则( )A.B∈AB.B AC.A∈BD.A=B5.(2013·潍坊高一检测)设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是( )A.a≤2B.a≤1C.a≥1D.a≥2二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·汕头高一检测)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m= .7.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x<m},且A B,则实数m满足的条件是.8.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P 的关系为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B⊆A,求a,b的值.10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A B,求a的取值范围.(2)若B⊆A,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知A={x||x-a|=4},B={1,2,b},是否存在实数a,使得对于任意实数b(b≠1,且b≠2),都有A⊆B?若存在,求出对应的a的值;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},∴{0}⊆M.3.【解析】选C.由题意知,x=-2或2,即A={-2,2},故其真子集有3个. 【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.4.【解析】选D.因为集合B中的元素x∈A,所以x=a或x=b,所以B={a,b},因此A=B.5.【解析】选D.∵A⊆B,∴a≥26.【解析】∵B⊆A,∴m2=2m-1,∴m=1.答案:17.【解析】将数集A标在数轴上,如图所示,要满足A B,表示数m的点必须在表示3的点的右边,故m>3.答案: m>38.【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P9.【解析】由B⊆A知,B中的所有元素都属于集合A,又B≠ ,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a,b的值为或或10.【解题指南】利用数轴分析法求解.【解析】(1)若A B,由图可知,a>2.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.11.【解析】不存在.要使对任意的实数b都有A⊆B,所以1,2是A中的元素,又∵A={a-4,a+4},∴或这两个方程组均无解,故这样的实数a不存在.课时提升卷(四)并集、交集（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·衡水高一检测)若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C 之间的关系为( )A.C AB.A CC.C⊆AD.A⊆C2.已知M={0,1,2, 4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则(M∩N)∪(M ∩P)等于( )A.{1,4}B.{1,7}C.{1, 4,7}D.{4,7}3.(2013·本溪高一检测)A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R︱x2+x-6=0},则图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}4.(2013·德州高一检测)设集合A={x|x≤1},B={x|x>p},要使A∩B=∅,则p应满足的条件是( )A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤15.(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=( )A.0或B.0或3C.1或D.1或3二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N= .7.(2013·清远高一检测)已知集合A={x|x≤1},集合B={x|a≤x},且A∪B=R,则实数a的取值范围是.8.(2013·西安高一检测)设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A ∩B.10.已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=∅,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知:A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∪B=B,求a的值.(2)若A∩B=B,求a的值.答案解析1.【解析】选D.∵A∩B=A,B∪C=C,∴A⊆B,B⊆C,∴A⊆C.2.【解析】选C.M∩N={1,4},M∩P={4,7},故(M∩N)∪(M∩P)={1,4,7}.3.【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.4.【解析】选B.∵A∩B= ,∴结合数轴分析可知应满足的条件是p≥1. 【误区警示】本题易漏掉p=1的情况而误选A.5.【解析】选B.由A∪B=A得B⊆A,所以有m=3或m=.由m=得m=0或1,经检验,m=1时B={1,1}不符合集合元素的互异性,m=0或3时符合.6.【解析】由题意联立方程组得x=3,y=-1,故M∩N={(3,-1)}.答案:{(3,-1)}7.【解析】∵A∪B=R,∴a≤1.答案:a≤18.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,∴b=2,即B={1,2},∴A∪B={1,2,5}.答案:{1,2,5}9.【解析】∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈A∪B.∴x2-1=3或x2-1=5.解得x=±2或x=±.若x2-1=3,则A∩B={1,3}.若x2-1=5,则A∩B={1,5}.10.【解题指南】通过数轴直观表示,并结合A∩B=∅分析列不等式(组)求解.【解析】A∩B=∅,A={x|2a≤x≤a+3}.(1)若A=∅,有2a>a+3,∴a>3.(2)若A≠∅,如图所示.则有解得-≤a≤2.综上所述,a的取值范围是-≤a≤2或a>3.【拓展提升】数轴在解含参不等式(组)中的作用数轴是解不等式(组)的重要工具,它是实现数形结合解决数学问题的桥梁,在求解不等式(组)待定字母值或范围时,借助数轴的直观性,很轻松地将各变量间的关系表示出来,进而列出不等式(组),更能显示出它的优越性.11.【解析】(1)A={-4,0},若A∪B=B,则B=A={-4,0},解得a=1.(2)若A∩B=B,则①若B为空集,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,则a<-1;②若B为单元素集合,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0, 解得a=-1,将a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2=0得,x=0,即B={0},符合要求;③若B=A={-4,0},则a=1,综上所述,a≤-1或a=1.课时提升卷(五)补集及综合应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则ð(A∪B)=( )UA.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}2.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(ðB)=( )RA.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,7},B={3,5},则下列式子一定成立的是( )A.ðB⊆UðA B.(UðA)∪(UðB)=UUC.A∩ðB=∅ D.B∩UðA=∅U4.设全集U(U≠∅)和集合M,N,P,且M=UðN,N=UðP,则M与P的关系是( )A.M=ðP B.M=PUC.M PD.M P5.(2013·广州高一检测)如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.(ðA∩B)∩C B.(IðB∪A)∩CIC.(A∩B)∩ðC D.(A∩IðB)∩CI二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9, 12},则A∩(ðB)= .N7.已知全集为R,集合M={x∈R|-2<x<2},P={x|x≥a},并且M⊆ðP,则Ra的取值范围是.8.设集合A,B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(ðA)∩(UðB)={2},(UðA)U∩B={1},且A∩B=∅,则A= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·济南高一检测)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪ðA=R,RB∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},求集合B.R10.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且AðB,求a的取值范R围.11.(能力挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(ðA)∩B=∅,求m的值.U答案解析1.【解析】选C.由题知U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},故ð(A∪B)={2,4}.U2.【解析】选D.∵B={x|x<1},∴ðB={x|x≥1},R∴A∩ðB={x|1≤x≤2}.R3.【解析】选D.逐一进行验证.ðB={1,2,4,6,7},UðA={2,4, 6},显然UðAU⊆ðB,显然A,B错误;A∩UðB={1,7},故C错误,所以只有D正确.U4.【解析】选B.利用补集的性质:M=ðN=Uð(UðP)=P,所以M=P.U【拓展提升】一个集合与它的补集的关系集合与它的补集是一组相对的概念,即如果集合A是B相对于全集U 的补集,那么,集合B也是A相对于全集U的补集.同时A与B没有公共元素,且它们的并集正好是全集,即A∪B=U,A∩B= .5.【解析】选D.由图可知阴影部分是A的元素,且是C的元素,但不属于B,故所表示的集合是(A∩ðB)∩C.I6.【解析】∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴ðB={1,2,4,5,7,8,…}.N∴A∩ðB={1,5,7}.N答案:{1,5,7}7.【解析】M={x|-2<x<2},ðP={x|x<a}.R∵M⊆ðP,∴由数轴知a≥2.R答案:a≥28.【解析】根据题意画出Venn图,得A={3,4}.答案:{3,4}9.【解析】∵A={x|1≤x≤2},∴ðA={x|x<1或x>2}.R又B∪ðA=R,A∪RðA=R,可得A⊆B.R而B∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},R∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1或2<x<3}={x|0<x<3}.10.【解题指南】解答本题的关键是利用AðB,对A=∅与A≠∅进行R分类讨论,转化为等价不等式(组)求解,同时要注意区域端点的问题. 【解析】ðB={x|x≤1或x≥2}≠∅,R∵AðB.R∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论.(1)若A=∅,则有2a-2≥a,∴a≥2.(2)若A≠∅,则有或∴a≤1.综上所述,a≤1或a≥2.11.【解题指南】本题中的集合A,B均是一元二次方程的解集,其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(ðA)∩B=∅对集合A,B的关系进行转化.U【解析】A={-2,-1},由(ðA)∩B=∅,得B⊆A,U∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或m=2.【变式备选】已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax-6=0}且ðA⊆RðB,R求实数a的取值集合.【解析】∵A={x|x2-5x+6=0},∴A={2,3}.又ðA⊆RðB,R∴B⊆A,∴有B=∅,B={2},B={3}三种情形.当B={3}时,有3a-6=0,∴a=2;当B={2}时,有2a-6=0,∴a=3; 当B= 时,有a=0,∴实数a的取值集合为{0,2,3}.课时提升卷(六)函数的概念（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则ð(A∩B)=( )RA.[3,7)B.(-∞,3)∪[7,+∞)C.(-∞,2)∪[10,+∞)D.2.(2013·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x=3.(2013·红河州高一检测)四个函数:(1)y=x+1.(2)y=x3.(3)y=x2-1.(4)y=.其中定义域相同的函数有( )A.(1),(2)和(3)B.(1)和(2)C.(2)和(3)D.(2),(3)和(4)4.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数D.A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值5.(2013·盘锦高一检测)函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )A.[-2,+∞)B.[-2,2)C.(-2,2)D.(-∞,2)二、填空题(每小题8分,共24分)6.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.7.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是;其中只与x的一个值对应的y值的范围是.8.函数f(x)定义在区间[-2,3]上,则y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·烟台高一检测)求下列函数的定义域.(1)y=+.(2)y=.10.已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域.(2)若f(a)=2,求a的值.(3)求证:f()=-f(x).11.(能力挑战题)已知函数y=(a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选B.∵A∩B=[3,7),∴ð(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).R2.【解析】选A.一个x对应的y值不唯一.3.【解析】选A.(1),(2)和(3)的定义域都是R,(4)的定义域是{x∈R|x≠0}.4.【解析】选A.按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.5.【解析】选B.由题意得M=(-∞,2),N=[-2,+∞),所以M∩N=(-∞,2)∩[-2,+∞)=[-2,2).6.【解析】由题意3a-1>a,则a>.答案:(,+∞)【误区警示】本题易忽略区间概念而得出3a-1≥a,则a≥的错误.7.【解析】观察函数图象可知f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].答案:[-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]【举一反三】本题中求与x的两个值对应的y值的范围.【解析】由函数图象可知y值的范围是[2,4].8.【解题指南】根据函数的定义,对应定义域中的任意一个自变量x 都有唯一的函数值与之对应.利用此知识可以结合函数图象分析. 【解析】当a∈[-2,3]时,由函数定义知,y=f(x)的图象与直线x=a只有一个交点;当a [-2,3]时,y=f(x)的图象与直线x=a没有交点.答案:0或19.【解析】(1)由已知得∴函数的定义域为[-,].(2)由已知得:∵|x+2|-1≠0,∴|x+2|≠1,得x≠-3,x≠-1.∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞).10.【解析】(1)要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.(2)因为f(x)=,且f(a)=2,所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.(3)由已知得f()==,-f(x)=-=,∴f()=-f(x).11.【解题指南】由题意得,(-∞,1]是函数y=的定义域的子集. 【解析】函数y=(a<0且a为常数).∵ax+1≥0,a<0,∴x≤-,即函数的定义域为(-∞,-].∵函数在区间(-∞,1]上有意义,∴(-∞,1] (-∞,-],∴-≥1,而a<0,∴-1≤a<0.即a的取值范围是[-1,0).关闭Word文档返回原板块。
高中数学(人教A版必修一)学业分层测评第1章 1.2.2 第2课时 分段函数及映射 Word版含解析
学业分层测评(八)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．设函数()＝(\\(－(≤(＋－(>(，))则的值为( )．－．【解析】当＞时，()＝＋－，则()＝＋－＝，∴＝，当≤时，()＝－，∴＝＝－＝.故选.【答案】．设集合＝{≤≤}，＝{≤≤}，在下图中能表示从集合到集合的映射的是( )【解析】在中，当＜＜时，＜，所以集合到集合构不成映射，故不成立；在中，当≤≤时，＜，所以集合到集合构不成映射，故不成立；在中，当≤≤时，任取一个值，在≤≤内，有两个值与之相对应，所以构不成映射，故不成立；在中，当≤≤时，任取一个值，在≤≤内，总有唯一确定的一个值与之相对应，故成立．故选.【答案】．已知()＝(\\(－，≥(＋(，<，))则()＝( )．．．．【解析】由题意，得()＝()＝()，∵≥，∴()＝－＝.故选.【答案】．在映射：→中，＝＝{(，)，∈}，且：(，)→(－，＋)，则与中的元素(－)对应的中的元素为( )．() ．()．(－，－) ．(－)【解析】由题意，(\\(－＝－＋＝，))解得＝，＝，故选.【答案】．设()＝(\\(＋，≤－，－<<，≥，))若()＝，则＝( )．±．－或．不存在【解析】∵()＝(\\(＋，≤－，－<<，≥，))()＝，∴(\\(＋＝≤－))或(\\(＝,－<<))或(\\(＝≥，))∴∈∅或＝或∈∅，∴＝.故选.【答案】二、填空题．设()＝(\\(＋，－≤<,－()，<<，≥，))则的值为，()的定义域是．【解析】∵－<－<，∴＝×＋＝.而<<，∴＝－×＝－.∵－<－<，∴＝×＋＝.因此＝.函数()的定义域为{－≤<}∪{<<}∪{≥}＝{≥－，且≠}．【答案】{≥－，且≠}．已知函数()的图象如图--所示，则()的解析式是．。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 第2课时 分段函数及映射学业分层测评 新人教A版必修1
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1。
2。
2 第2课时 分段函数及映射(建议用时：45分钟）[学业达标]一、选择题1．设函数f （x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2x ≤1x 2＋x －2x >1，则f（⎭⎪⎫1f 2的值为( )A 。
1516B ．－错误!C 。
错误!D ．18【解析】 当x ＞1时,f (x ）＝x 2＋x －2，则f (2）＝22＋2－2＝4，∴1f 2＝错误!，当x ≤1时,f (x ）＝1－x 2,∴f 错误!＝f 错误!＝1－错误!＝错误!。
故选A 。
【答案】 A2．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤2｝，B ＝{y |1≤y ≤2｝，在下图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是( ）【解析】 在A 中，当0＜x ＜1时，y ＜1，所以集合A 到集合B 构不成映射，故A 不成立； 在B 中,当1≤x ≤2时，y ＜1，所以集合A 到集合B 构不成映射，故B 不成立；在C 中,当0≤x ≤2时，任取一个x 值,在1≤y ≤2内，有两个y 值与之相对应，所以构不成映射，故C 不成立；在D 中,当0≤x ≤1时，任取一个x 值，在1≤y ≤2内，总有唯一确定的一个y 值与之相对应，故D 成立．故选D.【答案】 D3．已知f (x ）＝错误!则f (3）＝（ ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 由题意，得f (3）＝f （5）＝f (7)， ∵7≥6,∴f (7）＝7－5＝2。
高中数学人教A版必修二 第一章 空间几何体 学业分层测评2 Word版含答案.doc
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．下列命题中，真命题的个数是()①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面；③圆台的两个底面可以不平行．A．0 B．1C．2 D．3【解析】①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行，故①③错误．【答案】 B2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥【解析】如图，以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．【答案】 D3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是()A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱【解析】用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，但截棱柱一定不会产生圆面．【答案】 D4．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱【解析】一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.【答案】 B5．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图1-1-21所示，则截面可能的图形是()图1-1-21A．①③B．②④C．①②③D．②③④【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.【答案】 C 二、填空题6．如图1-1-22是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________.【导学号：09960010】图1-1-22【解析】 一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱． 【答案】 圆柱7．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．【解析】 作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13， ∴r ＝1. 【答案】 1 三、解答题8．指出如图1-1-23(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．图1-1-23【解】 图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 9．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【解】 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得上底半径O 1A ＝2(cm)，下底半径OB ＝5(cm)，又因为腰长为12 cm ， 所以高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.[自我挑战]10．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．0.5【解析】 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5，r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d1＝R2－r21，d2＝R2－r22，∴d1－d2＝R2－5－R2－8＝1，∴R2＝9，∴R＝3.【答案】 B11．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S; 【导学号：09960011】(2)当x为何值时，S最大？【解】(1)如图，设圆柱的底面半径为r cm，则由r2＝6－x6，得r＝6－x3，∴S＝－23x2＋4x(0<x<6)．(2)由S＝－23x2＋4x＝－23(x－3)2＋6，∴当x＝3时，S max＝6 cm2.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修一课件：1.2.2.2 分段函数与映射
类 型 一 求 分 段 函 数 的 函 数 值 ,, 例 1 (1) 设 f(x) ＝
|x－1|－2|x|≤1， 1＋1 x2|x|>1，
则 ff21＝(
)
1 A.2
4 B.13
C．－95
25 D.41
(2)已知 f(n)＝nf－fn3＋，5n≥，1n0<，10， 则 f(8)＝________.
0 1))，f(f(f(－1)))．
解析：∵－1<0，∴f(－1)＝0， ∴f(f(－1))＝f(0)＝π， ∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.
x>0， x＝0， x<0，
求 f(－1)，f(f(－
根据不同的取值代入不同的解析式．
类型二 分段函数的图象及应用 例 2 (1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ________，值域为________； (2)已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． ①用分段函数的形式表示该函数； ②画出该函数的图象； ③写出该函数的值域．
B 可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．( √ ) (2)分段函数由几个函数构成．( × ) (3)函数 f(x)＝x－＋x1＋，3x，≤x1>，1 是分段函数．( √ ) (4)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A 到 B 的 映射．( × )
2．已知函数 f(x)＝x＋1 1，x<－1， 则 f(2)等于(
)
x－1，x>1，
A．0
1 B.3
C．1
D．2
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1.2.2 第2课时 分段函数及映射(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2x ≤1x 2＋x －2x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2的值为( )A .1516B ．－2716C.89D ．18【解析】 当x ＞1时，f (x )＝x 2＋x －2，则f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f 2＝14，当x ≤1时，f (x )＝1－x 2，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516.故选A .【答案】 A2．设集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，在下图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是( )【解析】 在A 中，当0＜x ＜1时，y ＜1，所以集合A 到集合B 构不成映射，故A 不成立；在B 中，当1≤x ≤2时，y ＜1，所以集合A 到集合B 构不成映射，故B 不成立； 在C 中，当0≤x ≤2时，任取一个x 值，在1≤y ≤2内，有两个y 值与之相对应，所以构不成映射，故C 不成立；在D 中，当0≤x ≤1时，任取一个x 值，在1≤y ≤2内，总有唯一确定的一个y 值与之相对应，故D 成立．故选D.【答案】 D3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5，x ≥6f x ＋2，x<6，则f (3)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 由题意，得f (3)＝f (5)＝f (7)， ∵7≥6，∴f (7)＝7－5＝2.故选A . 【答案】 A4．在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与B 中的元素(－1,1)对应的A 中的元素为( )A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(－1，－3)D ．(－2,0)【解析】 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝1，解得x ＝0，y ＝1，故选A .【答案】 A5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1x 2，－1<x <22x ，x ≥2，若f (x )＝3，则x ＝( )A . 3B ．± 3C ．－1或 3D ．不存在【解析】 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1x 2，－1<x <22x ，x ≥2，f (x )＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝3x ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3－1<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3x ≥2，∴x ∈∅或x ＝3或x ∈∅，∴x ＝ 3.故选A . 【答案】 A二、填空题6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x <0－12x ，0<x <23，x ≥2，则f ⎝⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34的值为________，f (x )的定义域是________． 【解析】 ∵－1<－34<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12.而0<12<2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1，且x ≠0}． 【答案】 32{x |x ≥－1，且x ≠0}7．已知函数f (x )的图象如图125所示，则f (x )的解析式是______．图12 5【解析】 由题图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，即f (x )＝x ＋1.当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1，即f (x )＝－x .综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0－x ，0≤x ≤1.【答案】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0－x ，0≤x ≤1.8．若定义运算a ⊙b＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥ba ，a<b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．【解析】 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．【答案】 (－∞，1] 三、解答题9．如图126，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．图12 6(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的值域．【解】 (1)当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝k x ＋b(k≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝1，∴y ＝x ＋1，当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤014x －22－1，x >0.(2)当－1≤x ≤0时，y ∈[0,1]． 当x >0时，y ∈[－1，＋∞)． ∴函数值域为[0,1]∪[－1，＋∞) ＝[－1，＋∞)．10．如图127，动点P 从边长为4的正方形A BCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△A PB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．图127【解】 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4×x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤48，4<x ≤824－2x ，8<x ≤12.[能力提升]1．下列图形是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0x －1，x ≥0的图象的是( )【解析】 由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形C 符合．【答案】 C2．集合A ＝{a ，b}，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b)＝0，那么这样的映射f ：A →B 的个数是( )A ．2B ．3C ．5D ．8【解析】 由f (a )＝0，f (b )＝0，得f (a )＋f (b )＝0；由f (a )＝1，f (b )＝－1，得f (a )＋f (b )＝0；由f (a )＝－1，f (b )＝1，得f (a )＋f (b )＝0，共3个．【答案】 B3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.【解析】 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，∴2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32(舍去)．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，∴－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.【答案】 －344．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y (单位：元)．【解】 ①当x ∈[0,5]时，f (x )＝1.2x .②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，即当x ∈(5,6]时，f (x )＝1.2×5＋(x －5)×3.6＝3.6x －12.③当x ∈(6,7]时，f (x )＝1.2×5＋1×3.6＋(x －6)×6＝6x －26.4. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1.2x ，x ∈[0，5]3.6x －12，x ∈5，6]6x －26.4，x ∈6，7].。