【精品】北师大初中数学中考冲刺：几何综合问题--巩固练习(提高)
北师大初中数学中考冲刺：代几综合问题--巩固练习(基础)-精品
中考冲刺：代几综合问题—巩固训练（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2017•河北一模）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．2.如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）二、填空题3. 将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线ｙ２的图象如图所示，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足的条件的t的值，则t＝．4. （2017•宝山区一模）如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ，如果AC=8，tanA=，那么CF ：DF= ．三、解答题5.一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……依次类推.（1）试写出第n 层所对应的点数； （2）试写出n 层六边形点阵的总点数；（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？6.如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AC=10cm ，BC=6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒． （1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度； （2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于20cm 2？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．7.阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵2()0,a b -≥20,2,a ab b a b ab ∴-+≥∴+≥a b =只有当时，等号成立。
【优选】北师大初中数学中考冲刺：代数综合问题--巩固练习(基础)
中考冲刺：代数综合问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图所示，已知函数(0)y ax b a =+≠和y ＝kx(k ≠0)的图象交于点P ，则根据图象可得，关于,.y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是( ) A ．42x y =⎧⎨=⎩ B ．42x y =-⎧⎨=⎩ C ．42x y =-⎧⎨=-⎩ D ．42x y =⎧⎨=-⎩2.（2016•河北模拟）如图，点A 是x 轴正半轴上的任意一点，过点A 作EF ∥y 轴，分别交反比例函数()1110k y y x =>和()2220k y y x =<的图象于点E 、F ，且53EA FA =，连接OE 、OF ，有下列结论：①这两个函数的图象关于x 轴对称；②△EOF 的面积为（k 1﹣k 2）；③1235k k =-；④当∠EOF=90°时，153OE OF =，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③3．下列说法中 ①若式子1x -有意义，则x ＞1.②已知∠α=27°，则∠α的补角是153°.③已知x=2 是方程x 2-6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8. ④在反比例函数2k y x-=中，若x ＞0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k ＞2. 其中正确的命题有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个二、填空题4．如图所示，是二次函数21y ax bx c =++(a ≠0)和一次函数2y mx n =+(n ≠0)的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围____ ____．5．已知二次函数22(1)2(1)y x m x m =-++-．若此函数图象的顶点在直线y ＝-4上，则此函数解析式为 ．6. （2016•历下区二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②4a+2b+c ＞0；③b 2﹣4ac ＜0；④b ＞a+c ；⑤a+2b+c ＞0，其中正确的结论有 ．三、解答题7．（北京校级期中）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+1）x+1=0（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m 的整数值；（3）在（2）中开口向上的抛物线y=mx 2﹣（m+1）x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线y=﹣x 上有一个动点P ．求使PA+PB 取得最小值时的点P 的坐标，并求PA+PB 的最小值．8. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y 的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益y 的关系如图2所示(其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．(1)求小迪解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式；(2)求小迪回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 的函数关系式；(3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大?9. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．10. 已知：关于x 的一元二次方程04)4(2=-++-m x m x ，其中40<<m ．（1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；（2）设抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），若点D 的坐标为（0，-2），且AD ·BD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点E （a ，1y ）、F （2a ，y 2）、G （3a ，y 3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】本题考查方程组的解(数)与直线交点(形)坐标之间的关系．2.【答案】B ；【解析】①∵点E 在反比例函数()1110k y y x=>的图象上， 点F 在反比例函数()2220k y y x =<的图象上，且53EA FA =， ∴k 1=OA•EA，k 2=﹣OA•FA， ∴1235k k =-， ∴这两个函数的图象不关于x 轴对称，即①错误；②∵点E 在反比例函数y 1=的图象上，点F 在反比例函数y 2=的图象上，∴S △OAE=k 1，S △OAF =﹣k 2，∴S △OEF =S △OAE +S △OAF=（k 1﹣k 2），即②正确； ③由①可知1235k k =-，∴③错误； ④设EA=5a ，OA=b ，则FA=3a ，由勾股定理可知：OE=，OF=． ∵∠EOF=90°，∴OE 2+OF 2=EF 2，即25a 2+b 2+9a 2+b 2=64a 2，∴b 2=15a 2， ∴=，④正确．综上可知：正确的结论有②④．3.【答案】B ；【解析】若式子1x -有意义，则x ≥1，①错误；由∠α=27°得∠α的补角是=180°-27=153°，②正确.把x=2 代入方程x 2-6x+c=0得4-6×2+c=0，解得c=8，③正确；反比例函数2k y x-=中， 若x ＞0 时，y 随x 的增大而增大，得：k-2＜0，∴k ＜2，④错误.故选B.二、填空题4.【答案】-2≤x ≤1；【解析】本题考查不等式与比较函数值的大小之间的关系．5.【答案】24y x x =-，24y x =-； 【解析】∵顶点在直线y ＝-4上，∴2444ac b a -=-．242(1)4(1)44m m ⨯--+=-，m ＝±1． ∴此函数解析式为：24y x x =-，24y x =-．6.【答案】①②④⑤；【解析】∵抛物线开口朝下，∴a ＜0，∵对称轴x=﹣=1，∴b ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；根据图象知道当x=2时，y=4a+2b+c ＞0，故②正确；根据图象知道抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故③错误；根据图象知道当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，∴a+c ＜b ，故④正确；∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a ，∴a+2b+c=﹣3a+c ， ∵a ＜0，c ＞0，∴a+2b+c=﹣3a+c ＞0，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．三、解答题7.【答案与解析】（1）证明：由题意得m ≠0，∵△=（m+1）2﹣4m ×1=（m ﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）解：方程的两个实数根为x=， ∴x 1=1，x 2=1m，∵方程的两个实数根都是整数，且m 为整数，∴m=±1；（3）由（2）知，m=±1．∵抛物线y=mx 2﹣（m+1）x+1的开口向上，∴m=1，则该抛物线的解析式为：y=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2．易求得A （1，0），B （0，1）．如图，点B 关于直线y=﹣x 的对称点C 的坐标为（﹣1，0），连接AC ，与直线y=﹣x 的交点即为符合条件的点P ．此时点P 与原点重合，则P （0，0）．所以PA+PB=AC=2．8. 【答案与解析】(1)设y ＝kx ，当x ＝1时，y ＝2，解得k ＝2，∴y ＝2x(0≤x ≤20)．(2)当0≤x ＜4时，设y ＝a(x-4)2+16．由题意，∴a ＝-1，∴y ＝-(x-4)2+16，即当0≤x ＜4时，28y x x =-+．当4≤x ≤10时，y ＝16．(3)设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x ≤10)分钟，学习收益总量为y ，则她用于解题的时间为(20-x)分钟．当0≤x ＜4时，22282(20)640(3)49y x x x x x x =-++-=-++=--+．当x ＝3时，49y =最小． 当4≤x ≤10时，y ＝16+2(20-x)＝56-2x ．y 随x 的增大而减小，因此当x ＝4时，48y =最大， 综上，当x ＝3时，49y =最大，此时20-x ＝17．答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大．9．【答案与解析】解：(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等． 所以抛物线对称轴3142b x -+=-=，所以4b =．（2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为，24b ac =-=16-8=8>0．所以，方程有两个不同的实数根，分别是 12122b x a -+==-+，22122b x a--==--． （3）由（1）可知，抛物线2241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++=无实数解即可．由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0，得1k >又k 是正整数，所以k 的最小值为2．10．【答案与解析】解：（1）将原方程整理，得04)4(2=++-m x m x ，△=2222)4(168)4(4)]4([4-=+-=-+-=-m m m m m ac b ＞0∴ 2)4()4(-±+=m m x ． ∴m x =或4=x ．（2）由（1）知，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴的交点分别为（m ，0）、（4,0），∵A 在B 的左侧，40<<m .∴A （m ，0），B （4,0）.则42222222+=+=+=m m OD OA AD ，202422222=+=+=OD OB BD ．∵AD ·BD=10，∴AD 2·BD 2=100.∴100)4(202=+m .解得1±=m .∵40<<m ，∴1=m .∴51=+=m b ，44-=-=m c .∴抛物线的解析式为452-+-=x x y .（3）答：存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式，如：4)(3213--=y y y （答案不唯一）.证明：由题意可得4521-+-=a a y ，410422-+-=a a y ，415923-+-=a a y .∵左边=415923-+-=a a y .右边=－)(321y y -－44)]4104()45[(322--+---+--=a a a a =41592-+-a a .∴左边=右边.∴4)(3213---=y y y 成立.。
北师大初中数学中考冲刺：几何综合问题--知识讲解(提高)(精品)
中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．（2016•太原校级自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【思路点拨】（1）结论：FG=CE，FG∥CE．如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（2）结论仍然成立．如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（3）结论仍然成立．如图3中，设DE与FC的延长线交于点M，证明方法类似．【答案与解析】解：（1）结论：FG=CE，FG∥CE．理由：如图1中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．（2）结论仍然成立．理由：如图2中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE ⊥DE ，∴EG ∥CF ，∵EG=DE ，CF=DE ，∴EG=CF ，∴四边形EGFC 是平行四边形．∴GF=EC ，∴GF=EC ，GF ∥EC ．（3）结论仍然成立．理由：如图3中，设DE 与FC 的延长线交于点M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠ABC=∠DCE=90°，∴∠CBF=∠DCE=90°在△CBF 和△DCE 中，，∴△CBF ≌△DCE ，∴∠BCF=∠CDE ，CF=DE∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF ⊥DE ，∵GE ⊥DE ，∴EG ∥CF ，∵EG=DE ，CF=DE ，∴EG=CF ，∴四边形EGFC 是平行四边形．∴GF=EC ，∴GF=EC ，GF ∥EC ．【总结升华】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，注意这类题目的解题规律，图形变了，条件不变，证明的方法思路完全一样，属于中考常考题型．举一反三：【变式】已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合）， 在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+．（1）求证：ADE ∆∽BEC ∆；（2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示 BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．【答案】（1）证明：∵EC DE ⊥，∴︒=∠90DEC ．∴︒=∠+∠90BEC AED ．又∵︒=∠=∠90B A ，∴︒=∠+∠90EDA AED ．∴EDA BEC ∠=∠．∴ADE ∆∽BEC ∆．（2）证明：如图，过点E 作EF BC //，交CD 于点F ，∵E 是AB 的中点，容易证明)(21BC AD EF +=． 在DEC Rt ∆中，∵ CF DF =，∴ CD EF 21=． ∴ )(21BC AD +CD 21=． ∴ CD BC AD =+．（3）解：AED ∆的周长DE AD AE ++=m a +=，m a BE -=．设x AD =，则x a DE -=．∵ ︒=∠90A ，∴ 222AD AE DE +=．即22222x m x ax a +=+-．∴ am a x 222-=． 由（1）知ADE ∆∽BEC ∆，∴ 的周长的周长BEC ∆∆ADE BE AD =m a a m a --=222am a 2+=． ∴ BEC ∆的周长⋅+=ma a 2ADE ∆的周长a 2=． ∴ BEC ∆的周长与m 值无关．2．在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【思路点拨】(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解.(2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解.(3)D 在BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.【答案与解析】（1）结论：CF ⊥BD ；证明如下： AB=AC ，∠ACB =45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．（2）CF ⊥BD ．(1)中结论仍成立．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴DQ=4-x ，易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ= ，∴44CP x x =-， 24x CP x ∴=-+．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x ．过A 作AQ ⊥BC ，∴∠Q=∠FQC=90°，∠ADQ=∠AFC ，则△AQD ∽△ACF ．∴CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ=, ∴4+4CP x x =,24x CP x ∴=+． 【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．3．（2015•河南模拟）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 坐在点B′处．自主探究：（1）当=1时，如图1，延长AB′，交CD 于点M ．①CF 的长为 ；②判断AM 与FM 的数量关系，并证明你的结论．（2）当点B′恰好落在对角线AC 上时，如图2，此时CF 的长为 ，= ．拓展运用：（3）当=2时，求sin∠DAB′的值．【思路点拨】（1）①利用相似三角形的判定与性质得出FC=AB 即可得出答案；②利用翻折变换的性质得出∠BAF=∠MAF，进而得出AM=FM ；（2）根据翻折变换的性质得出∠BAE=∠MAF，进而得出AM=MF ，利用△ABE∽FCE 得出答案即可；（3）根据①如图1，当点E 在线段BC 上时，延长AB′交DC 边于点M ，②如图3，当点E 在线段BC 的延长线上时，延长AD 交B′E 于点N ，分别利用勾股定理求出即可．【答案与解析】解：（1）①当=1时，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE， ∴==1，∴FC=AB=6，②AM=FM，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB∥DC，∴∠BAF=∠AFC，∵△ABE 沿直线AE 翻折得到△AB′E，∴∠BAF=∠MAF，∴∠MAF=∠AFC，∴AM=FM；（2）如图2，∵当点B′恰好落在对角线AC上时，∴∠1=∠2，∵AB∥FC，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AC=FC，∵AB=BC=6，∴AC=FC=6，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴===，（3）①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴==2，∵AB=6，∴CF=3，∴DF=CD+CF=9，由（1）知：AM=FM，∴AM=FM=9﹣DM，在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM′2=（9﹣DM）2﹣62，解得：DM=，则MA=，∴sin∠DAB′==，②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，延长AD交B′E于点N，由（1）知：AN=EN ，又BE=B′E=12，∴NA=NE=12﹣B′N，在Rt△AB′N 中，由勾股定理得：B′N 2=（12﹣B′N）2﹣62， 解得：B′N=， AN=，∴sin∠DAB′==．故答案为：6；6，． 【总结升华】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用相关性质和进行分类讨论得出是解题关键．类型二、几何计算型问题4．已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，， 求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）属于纯静态问题，只要证两边的三角形全等就可以了.(2)是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的.题目给定∠MPQ=60°，其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通过相似三角形找比例关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当x 取对称轴的值时y 有最小值，接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解.【答案与解析】（1）证明：∵MBC △是等边三角形∴60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠∵M 是AD 中点∴AM MD =∵AD BC ∥∴60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠∴AMB DMC △≌△∴AB DC =∴梯形ABCD 是等腰梯形．（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠ ∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠ ∴BMP QPC =∠∠∴BMP CQP △∽△ ∴PC CQ BM BP= ∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-， ∴444x y x -=- ∴2144y x x =-+（3）解：PQC △为直角三角形， ∵()21234y x =-+ ∴当y 取最小值时，2x PC ==∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ =︒∠，∴30CPQ =︒∠，∴90PQC =︒∠∴PQC △为直角三角形.【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解.如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的.举一反三：【变式】已知：如图，N 、M 是以O 为圆心，1为半径的圆上的两点，B 是MN 上一动点（B 不与点M 、N 重合），∠MON=90°，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ 是矩形，求OA 的值.【答案】（1）是．证明：连接OB ，如图①，∵BA ⊥OM ，BC ⊥ON ，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵∠AOC=90°，∴四边形OABC 是矩形．∴AB ∥OC ，AB=OC ，∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点，∴AE ∥GC ，AE=GC ，∴四边形AECG 为平行四边形．∴CE ∥AG ，∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点， ∴GF ∥OB ，DE ∥OB ，∴PG ∥EQ ，∴四边形EPGQ 是平行四边形；（2）解：如图②，∵口EPGQ 是矩形．∴∠AED+∠CEB=90°．又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ，∴AD AE BE BC=， 设OA=x ，AB=y ，则::222x y y x = 得y 2=2x 2，又∵OA 2+AB 2=OB 2， 即x 2+y 2=12．∴x 2+2x 2=1，解得：x=33．即当四边形EPGQ是矩形时，OA 的长度为33．5．在ABCD中，过点C作CE ⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P 1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S11P FC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.图1 备用图【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转90°的条件.旋转90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了.(2)是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论.【答案与解析】（1）①直线1FG与直线CD的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线1FG与直线CD的交点为H．∵线段1EC EP、分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段1EF EG、，∴111190PEG CEF EG EP EF EC∠=∠===°，，．∵1190G EF PEF∠=-∠°，1190PEC PEF∠=-∠°，∴11G EF PEC∠=∠．∴11G EF PEC△≌△．∴11G FE PCE∠=∠．∵EC CD⊥，∴190PCE∠=°，FDCBAE图1G2G1P1HP2∴190G FE ∠=°．∴90EFH ∠=°．∴90FHC ∠=°．∴1FG CD ⊥．②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B ADC ∠=∠． ∵461tan 3AD AE B ===，，， ∴45tan tan 3DE EBC B =∠==，． 可得4CE =．由（1）可得四边形EFCH 为正方形．∴4CH CE ==．①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时，∵1114FG CP x PH x ===-，， ∴11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯⨯=△． ∴212(4)2y x x x =->． ②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C H 、两点重合）时，∵1114FG CP x PH x ===-，， ∴11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯=△． ∴212(04)2y x x x =-+<<． ③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11PFG △不存在．DG 1P 1 H C B AE F图2 FG 1 P 1 CAB E D H 图3综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是212(4)2y x x x =->或212(04)2y x x x =-+<<． 【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 举一反三： 【变式】已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB ；（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当S △POB =3S △PCB 时，求PB 与PC 的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且∠PBD=∠ABO ，请借助图3补全图形，并求OP 的长．【答案】（1）作PE ⊥OM ，PF ⊥ON ，垂足为E 、F∵四边形OEPF 中，∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB ，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB ，∴∠EPA=∠FPB ，由角平分线的性质，得PE=PF ，∴△EPA ≌△FPB ，即PA=PB ；（2）∵S △POB =3S △PCB ，∴PO=3PC ，由（1）可知△PAB 为等腰三角形，则∠PBC=12（180°-∠APB ）=12∠MON=∠BOP ， 又∵∠BPC=∠OPB （公共角），∴△PBC ∽△POB ，∴PB PC PO PB=， 即PB 2=PO •PC=3PC 2，∴3PB PC= （3）作BH ⊥OT ，垂足为H ，当∠MON=60°时，∠APB=120°，由PA=PB，得∠PBA=∠PAB=12（180°-∠APB）=30°，又∵∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，∴∠ABO=12（180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°，在△OBP中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，在Rt△OBH中，BH=12OB=1，OH=3，在Rt△PBH中，PH=BH=1，∴OP=OH+PH=3+1．。
北师大初中数学中考总复习：数与式综合复习--巩固练习(提高)-精品
中考总复习：数与式综合复习—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 把多项式1-x 2+2xy-y 2分解因式的结果是（）A.(1)(1)x y x yB.(1)(1)x y x yC.(1)(1)xy xy D.(1)(1)xy xy 2．按一定的规律排列的一列数依次为：111111,,,,,2310152635┅┅，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是（）A ．145B．140C ．146D ．1503．根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（）000110 010111 001 111A ．100，011 B．011，100 C ．011，101 D．101，110 4．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大1米，需增加m 米长的铁丝．假设地球赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n 米长的铁丝，则m 与n 的大小关系是（）A ．m ＞n B．m ＜n C．m =n D．不能确定5．将一张长方形纸片对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，那么对折n 次后折痕的条数是（）A ．2n －1B ．2n ＋1C ．2n－1D ．2n＋16．（2015秋?重庆校级月考）如图图案都是同样大小的小正方形按一定的规律组成的，其中第1个图形中有5个小正方形，第2个图形有13个小正方形，第3个图形有25个小正方形，…，按此规律，则第8个图形中小正方形的个数为（）A ．181B ．145C ．100D ．88二、填空题7．若非零实数a ，b 满足2244abab ，则b a= ．8．已知分式)1)(2(12x x x ，当x ＝时，分式的值为0．9．在实数范围内分解因式4(1)x y 2（x+y ）= .10. （2015秋?平山区校级月考）化简：（1）当x ≥０时，= ；（2）当a ≤０时，=；（3）当a ≥0，b ＜0时，=．11．德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）：第一行11第二行1212第三行131613第四行1411211214第五行1512013012015…………根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是：．12．让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n 1=5 ，计算n 12+1得a 1；第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2；第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，再计算n 23＋1得a 3；…………依此类推，则a 2012=_______________．三、解答题13．（2015春?碑林区期中）图①是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②，三个代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn 之间的等量关系是；（3）观察图③，你能得到怎样的代数等式呢？（4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n ）（m+3n ）；（5）若x+y=﹣6，xy=2.75，求x ﹣y 的值．14．阅读下列题目的计算过程：x xx 12132＝)1)(1()1(2)1)(1(3xx x xx x （A ）＝（x －3）－2（x －1）（B ）＝x －3－2x ＋1 （C ）＝－x －1 （D ）（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号．（2）错误的原因．（3）本题目正确的结论为．15．已知271x xx ,求2421x xx 的值.16. 设12211=112S ,22211=123S ,32211=134S ,…, 2211=1(1)n S nn 设12...n SS S S ，求S 的值 (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ；【解析】22222121(2)1()(1)(1)xxy yxxy y xy x y x y ．2.【答案】D ；【解析】每个分数的分子均为1，分母为21n或21n （当n 为奇数时加1，当n 为偶数时减1），7为奇数，因而其分母为27150．3.【答案】B ；【解析】通过观察，不难发现两个并排的短横表示0，而一条长横表示1，所表示的数是从上往下看，因而表格中的两个空格中所填的数这011和100 ．4.【答案】C ；【解析】设地球仪赤道半径为r ，则2(1)22m r r ；设地球赤道半径为R ，则2(1)22nR R ，所以相等．5.【答案】C ；【解析】除了第一次对折得到1条折痕，其后，每次对折所得折痕都是上次多出来的折痕的两倍．6.【答案】B ；【解析】∵第1个图案中小正方形的个数为3+1+1=5；第2个图案中小正方形的个数为5+3+1+3+1=13；第3个图案中小正方形的个数为7+5+3+1+5+3+1=25；…∴第n 个图形的小正方体的个数（n+1）2+n 2；∴第8个图形中小正方形的个数为92+（9﹣1）2=81+64=145个．故选：B ．二、填空题7．【答案】2；【解析】将原式改写为22440a ab b ，所以2(2)0a b ，可求出b =2a ．8．【答案】－1；【解析】由题意210x且(2)(1)0x x ，所以x =－1．9．【答案】2（x+y-2）；【解析】此题如果按一般方法去分解，须将2(xy)展开，结果将问题复杂化了，其实原式可化为2(xy)4(x y)4，将x y 看成一个整体，再用公式法分解因式.2(xy)4(xy 1).22(x y)4(x y)4(xy2)10．【答案】3x ；﹣a ；﹣3ab【解析】解：（1）∵x ≥0，∴=|3x|=﹣3x ，故答案为：3x ．（2）∵a ≤0，∴=|a|=﹣a ，故答案为：﹣a ．（3）∵a ≥0，b ＜0，∴=|3ab|=﹣3ab，故答案为：﹣3ab ．11．【答案】16、130、160、160、130、16；【解析】每行中相邻两个数相加等于上一行中间的数值．12．【答案】65；【解析】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．由题目得，a 1=26；n 2=8，a 2=65；n 3=11，a 3=122；看不出什么规律，那就继续：n 4=5，a 4=26；…；这样就发现规律：每三个为一个循环，2012÷3=670……2；即a 2012= a 2=65．答案为65.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）阴影部分的边长为（m ﹣n ），所以阴影部分的面积为（m ﹣n ）2；故答案为：（m ﹣n ）2；（2）（m+n ）2﹣（m ﹣n ）2=4mn ；故答案为：（m+n ）2﹣（m ﹣n ）2=4mn ；（3）（m+n ）（2m+n ）=2m 2+3mn+n 2；（4）答案不唯一：（5）（x ﹣y ）2=（x+y ）2﹣4xy=（﹣6）2﹣2.75×4=25，∴x ﹣y=±5．14.【答案与解析】（1）B ；（2）去分母；（3）23211x xx32(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x 322(1)(1)x x x x 11(1)(1)1x x x x．15.【答案与解析】因为271x x x ,所以, 所以2117xx x,即187xx,所以242222111151149xx xxxxx所以24249.115x xx16.【答案与解析】22111(1)nS nn =21111[]2(1)(1)nn n n =2111[]2(1)(1)n n n n=21[1](1)n n ∴S=1(1)12+1(1)23+1(1)34+…+1(1)(1)n n 1111111=1223341n nn 1=11n n 122n nn.（利用拆项111(1)1n n nn 即可求和）．。
北师大初中数学中考冲刺：数形结合问题--巩固练习(提高)【推荐】.doc
中考冲刺：数形结合问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．（2016•黄冈模拟）如图1为深50cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2为容器顶部离水面的距离y（cm）随时间t（分钟）的变化图象，则（）A．注水的速度为每分钟注入cm高水位的水B．放人的长方体的高度为30cmC．该容器注满水所用的时间为21分钟D．此长方体的体积为此容器的体积的2.若用(a)、(b)、(c)、(d)四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的①、②、③、④对应顺序.①小车从光滑的斜面上滑下(小车的速度与时间的关系)②一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物(弹簧长度与所挂重物的重量的关系)③运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)④小杨从A到B后，停留一段时间，然后按原速度返回(路程与时间的关系)正确的顺序是 ( )A．③④②① B．①②③④ C．②③①④ D．④①③②二填空题3. 如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P 有个.4.（2015秋•江阴市期中）如图1，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q．如图2，先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示﹣2014的点与圆周上重合的点对应的字母是．5.（2016•鄂州一模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图（2），当t= 时，△ABE与△BQP相似．三、解答题6.将如图所示的长方体石块（a＞b＞c）放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注水，速度为v cm3/s，直至注满水槽为止．石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图所示．在这三种情况下，水槽内的水深h （cm ）与注水时间 t （ s ）的函数关系如上图1-6所示．根据图象完成下列问题：（1）请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的函数关系图象用线连接起来；（2）水槽的高h= cm ；石块的长a= cm ；宽b= cm ；高c= cm ； （3）求图5中直线CD 的函数关系式； （4）求圆柱形水槽的底面积S ．7.在数学活动中，小明为了求23411111+++++22222n …的值（结果用n 表示），设计如图1所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求23411111+++++22222n …的值为_______； （2）请你利用图2，再设计一个能求23411111+++++22222n …的值的几何图形．8.（2015秋•北京校级期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点B 是y 轴正半轴上一个定点，D 是BO 的中点．点C 在x 轴上，A 在第一象限，且满足AB=AO ，N 是x 轴负半轴上一点，∠BCN=∠BAO=α．（1）当点C 在x 轴正半轴上移动时，求∠BCA ；（结果用含α的式子表示） （2）当某一时刻A （20，17）时，求OC+BC 的值；（3）当点C 沿x 轴负方向移动且与点O 重合时，α= ，此时 以AO 为斜边在坐标平面内作一个Rt △AOE （E 不与D 重合），则∠AED 的度数的所有可能值有 ．（直接写出结果）9．阅读材料，解答问题．利用图象法解一元二次不等式：x 2﹣2x ﹣3＞0．解：设y=x 2﹣2x ﹣3，则y 是x 的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．12 122 123124 … （图1）（图2）又∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＜0的解集是_________ ；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0（画出草图）.10．（1）夜晚，小明在路灯下散步．已知小明身高1.5米，路灯的灯柱高4.5米．①如图1，若小明在相距10米的两路灯AB、CD之间行走（不含两端），他前后的两个影子长分别为FM=x米，FN=y米，试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围？②有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图2，若小明在灯柱PQ前，朝着影子的方向（如图箭头），以0.8米/秒的速度匀速行走，试求他影子的顶端R在地面上移动的速度．（2）我们知道，函数图象能直观地刻画因变量与自变量之间的变化关系．相信，大家都听说过龟兔赛跑的故事吧．现有一新版龟兔赛跑的故事：由于兔子上次比赛过后不服气，于是单挑乌龟再来另一场比赛，不过这次路线由乌龟确定…比赛开始，在同一起点出发，按照规定路线，兔子飞驰而出，极速奔跑，直至跑到一条小河边，遥望着河对岸的终点，兔子呆坐在那里，一时不知怎么办．过了许久，乌龟一路跚跚而来，跳入河中，以比在陆地上更快的速度游到对岸，抵达终点，再次获胜．根据新版龟兔赛跑的故事情节，请在同一坐标系内（如图3），画出乌龟、兔子离开终点的距离s与出发时间t的函数图象示意图（实线表示乌龟，虚线表示兔子）.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】设AB的解析式为y=k1t+b1，BC的解析式为y=k2t+b2，由题意得，，解得：，，∴y=，A、当0≤t≤3时，注水的速度为每分钟注入cm高水位的水，当3＜t≤21时，注水的速度为每分钟注入cm高水位的水；B、由图象知，那样放置在圆柱体容器内的长方体的高为50﹣30=20cm；C、令y=0，则﹣x+35=0，解得：x=21，∴该容器注满水的时间为21秒．D、设每秒钟的注水量为mcm3．则下底面中未被长方体覆盖部分的面积是：m÷=（cm2），圆柱体的底面积为：m÷=cm2．二者比为：=1：4，∴长方体底面积：圆柱体底面积=3：4．∵圆柱高：长方体高=20：50=2：5，∴长方体体积：圆柱体体积=6：20=3：10，∴圆柱体的体积为长方体容器体积的；故选C．2.【答案】A；二、填空题3.【答案】5.【解析】如图，分别以一顶点为定点，连接其与另一顶点的连线，在此图形中根据平行线分线段成比例定理可知，CD ∥BE ∥AF ，ED ∥FC ∥AB ，EF ∥AD ∥BC ，EC ∥FB ，AE ∥BD ，AC ∥FD ，根据垂直平分线的性质及正六边形的性质可知，相互平行的一组线段的垂直平分线相等，在这五组平行线段中，AE 、BD 与AB 垂直，其中垂直平分线必与AB 平行，故无交点．故直线AB 上会发出警报的点P 有：CD 、ED 、EF 、EC 、AC 的垂直平分线与直线AB 的交点，共五个．4．【答案】m ；【解析】解：∵由题意可得，q 、m 、n 、p 第一次在数轴上对应的点为﹣1、﹣2、﹣3、﹣4，即每四个为一个循环，∴2014÷4=503 (2)∴数轴上表示﹣2014的点与圆周上重合的点对应的字母是m ． 故答案为：m ． 5．【答案】294秒； 【解析】由图象可知，BC=BE=5，AB=4，AE=3，DE=2，∵△ABE 与△BQP 相似，∴点E 只有在CD 上，且满足=，∴=，∴CQ=．∴t=（BE+ED+DQ ）÷1=5+2+（4﹣）=．三、解答题6．【答案与解析】（1）（1）图1与图4相对应，图2与图6相对应，图3与图5相对应；28.【答案与解析】解：（1）过A分别作AM⊥BC于E，AF⊥x轴于F，则∠AMB=∠AFO=90°，设AO与BC交于点P，在△ABP和△COP中，∠BAO=∠BCN，∠BPA=∠CPO，∴∠ABP=∠COP，即∠ABM=∠AOF，在△ABM和△AOF中，∴△ABM≌△AOF（AAS），∴AM=AF，∴CA平分∠BCF，∴．∵∠BCN=α，∴∠BCM=180°﹣α，∴；（2）∵△ABM≌△AOF，△ACM≌△ACF，∴BM=OF，CM=CF，∵OC+BC=OC+BM+CM，∴OC+BC=OC+OF+CF=2OF，∵A（20，17），∴OF=20，∴OC+BC=40；（3）当点C沿x轴负方向移动且与点O重合时，∵x轴与y轴垂直，∴α=90°，此时以AO为斜边在坐标平面内作一个Rt△AOE（E不与D重合），则∠AED的度数的所有可能值有∠AED=45°或135°．故答案为：90°；45°或135°．9．【答案与解析】解：（1）-1＜x＜3；（2）设y=x2-1，则y是x的二次函数，∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2-1=0，解得x1=-1，x2=1．∴由此得抛物线y=x2-1的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜-1或x＞1时，y＞0．∴x2-1＞0的解集是：x＜-1或x＞1．10．【答案与解析】解：（1）∵EF∥AB，∴∠MEF=∠A，∠MFE=∠B．∴△MEF∽△MAB．①===．∴=，MB=3x BF=3x-x=2x．同理，DF=2y．∵BD=10，∴2x+2y=10，∴y=-x+5，∵当EF接近AB时，影长FM接近0；当EF接近CD时，影长FM接近5，∴0＜x＜，②如图2所示，设运动时间为t秒，则EE′=FF′=0.8t, ∵EF∥PQ,∴∠REF=∠RPQ，∠RFE=∠RQP,∴△REF∽△RPQ,∴∴∵EE′∥RR′,∴∠PEE'=∠PRR'，∠PE′E=∠PR′R,∴△PEE′∽△PRR′,∴∴∴RR'=1.2t∴1.2t= 1.2(Vt=影子米/秒）1.2t= 1.2(Vt=影子米/秒）.（2）如图3所示．。
北师大初中数学中考总复习：几何初步及三角形--巩固练习(提高)-精编
中考总复习：几何初步及三角形—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，下列说法不正确的是( ).A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段ACC．线段AD是点D到BC的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段2．如图，标有角号的7个角中共有____对内错角，____对同位角，____对同旁内角.( )A.4、2、4B.4、3、4C.3、2、4D.4、2、33．把一张长方形的纸片按下图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，则∠EMF的度数是( ).A.85°B.90°C.95°D.100°4．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且S△ABC=4cm2，则阴影面积等于( ).A.2cm2B.1cm2C.cm2D.cm25．（2014秋•金昌期末）钟表4点30分时，时针与分针所成的角的度数为（）A．45°B．30° C．60° D．75°6. △ABC中，AB=AC=，BC=6，则腰长的取值范围是（）.A. B. C. D.二、填空题7．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，则∠D=________．8.（2014春•兴业县期末）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠x、∠y、∠z三者之间的关系是．9．已知a、b、c是△ABC的三边，化简|a+b―c|+|b―a―c|―|c+b―a|=____________.10．已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB三等分线分别交于点D、E，若∠A=n°，则∠BDC=___,∠BEC=___.11．在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则此三角形为_____三角形；若∠A+∠B ＜∠C，则此三角形是_____三角形.12．如图所示，∠ABC与∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°，则∠BOC=______，∠D=______，∠E=_______.三、解答题13．（2015春•山亭区期末）如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．14．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B ﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．15．已知：如图，D、E是△ABC内的两点.求证：AB+AC＞BD+DE+EC.16.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C.【解析】重点考查垂线段的定义.2.【答案】A.3.【答案】B.【解析】因为折叠，所以∠1=∠2，∠3=∠4，又因为∠1=∠2+∠3+∠4=180°，所以∠EMF=∠2+∠3 =90°.4.【答案】B.【解析】∵D，E分别为边BC，AD的中点，∴S△ABD= S△ADC =2cm2 ,S△ABE= S△AEC =1cm2∴S△BEC=2cm2又因为F分别为边CE 的中点，所以S△BEF= S△BCF =1cm2.5.【答案】C.【解析】∵4点30分时，时针指向4与5之间，分针指向6，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴4点30分时分针与时针的夹角是2×30°﹣15°=45度．故选A．6.【答案】B.【解析】∵2x>6,∴x>3.二、填空题7．【答案】35°.8．【答案】x=180°+z﹣y.【解析】∵CD∥EF，∴∠CEF=180°﹣y，∵AB∥EF，∴∠x=∠AEF=∠z+∠CEF，即x=180°+z﹣y．故答案为：x=180°+z﹣y．9．【答案】3a―b―c.【解析】∵a、b、c是△ABC的三边,∴a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a。
北师大初中数学中考冲刺：观察、归纳型问题--巩固练习(基础)
中考冲刺：观察、归纳型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 用边长为1的正方形覆盖3×3的正方形网格，最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是( )A．2 B．4 C．5 D．62．求1＋2＋22＋23＋…＋22 012的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22 012，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22 013，因此，2S－S＝22 013－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52 012的值为( )A．52 012－1 B．52 013－1 C.2013514-D.2012514-3.（2016•冷水江市三模）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是（）A．（2016，0） B．（2017，1） C．（2017，﹣1） D．（2018，0）二、填空题4．（2015•盘锦四模）已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2015C2015，则点C2015的坐标是．5．（2016•天门）如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1（3，0），A3（1，0），A5（4，0），A7（0，0），A9（5，0），依据图形所反映的规律，则A100的坐标为．6. 如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=___________.（用含n的式子表示）三、解答题7．观察下列等式：……请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝______＝______；(2)用含有n的代数式表示第n个等式：a n＝______＝______(n为正整数)；(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．8. 如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…、方程组n ． （1）将方程组1的解填入表中．（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n 和它的解直接填入表中；9. 如图所示，是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图①倒置后与原图拼成图②的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为123+++ (1)2n n n ++=．如果图①中的圆圈共有12层，(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边的这个圆圈中的数是________；(2)我们自上往下，在每个圆圈中都按图④的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图④中所有圆圈中各数的绝对值之和．10.（余杭区期中）如图，将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去．（1）填表次数12345个数 4 7（2）如果剪了n次，共剪出多少个小正方形？（3）能否经过若干次分割后共得到2014片纸片？若能，请直接写出相应的次数，若不能，请说明理由．（4）若将所给的正方形纸片剪成若干个小正方形（其大小可以不一样），那么你认为可以将它剪成六个小正方形吗？八个小正方形呢？如果可以，请在下图中画出剪割线的示意图；如果不可以，请简单说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】6个，把边长为1的小正方形的对角线与3乘3网格中的中间正方形任意边重合（其中小正方形的对角线中点与3乘3网格中的中间正方形边上的中点重合），因为对角线的长为2＞1，所以这时有6个正方形网格被覆盖.2.【答案】C；【解析】设S＝1＋5＋52＋53＋…＋52 012，则5S＝5＋52＋53＋54＋…＋52 013.因此，5S－S＝52 013－1，S＝20135-1 4.3.【答案】B；【解析】以时间为点P的下标．观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣1），P4（4，0），P5（5，1），…，∴P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）．∵2017=504×4+1，∴第2017秒时，点P的坐标为（2017，1）．二、填空题4.【答案】（22016，0）．【解析】∵∠OBC=90°，OB=1，BC=，∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，∴OC1=2OC=2×2=4=22，OC2=2OC1=2×4=8=23，OC3=2OC2=2×8=16=24，…，OC n=2n+1，∴OC2015=22016，∵2015÷6=335…5，∴点C2015与点C5在同一射线上，在x轴正半轴，坐标为（22016，0）．故答案为：（22016，0）．5.【答案】45．【解析】观察，发现规律：A2（2，），A4（，﹣），A6（2，2），A8（，﹣），…，∴A4n+2（2，n+），A4n+4（，﹣）（n为自然数），∵100=4×24+4，∴A100的坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．6.【答案】．【解析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．三、解答题7．【答案与解析】解：根据观察知，答案分别为：8．【答案与解析】显然该方程组不符合（2）中的规律．9．【答案与解析】解：(1)67．(2)图④中所有圆圈中共有1+2+3+…+12＝12(21)782+=个数，其中23个负数，1个0，54个正数，∴图④中所有圆圈中各数的绝对值之和＝|-23|+|-22|+…+|-1|+0+1+2+…+54＝(1+2+3+...+23)+(1+2+3+ (54)＝276+1485＝1761．10．【答案与解析】解：（1）答案如下：次数 1 2 3 4 5个数 4 7 10 13 16 （2）如果剪了n次，共剪出4+3（n﹣1）=3n+1个小正方形；（3）3n+1=2014解得n=671，经过671次分割后共得到2014片纸片；（4）可以将它剪成六个小正方形，八个小正方形，如图。
北师大初中数学中考冲刺：几何综合问题--巩固练习(提高).doc
中考冲刺：几何综合问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春•江阴市校级期中）在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置如图所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分别在线段AC、线段BC上运动，当△MON的面积达到最大时，存在一种使得△MON周长最小的情况，则此时点M的坐标为（）A．（0，4）B．（3，4）C．（，4）D．（，3）2.如图，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B与点D重合，点A，B （D），E在同一条直线上，将△ABC沿DE方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B，D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y与x之间对应关系的图象是（）A B C D二、填空题3. （2016•绥化）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠A BD=45°，∠DCA=30°，AB=，则AE= （提示：可过点A作BD的垂线）三、解答题5.（2017•莒县模拟）在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连结CG．（1）如图1，当点E在BC边上时．求证：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM．（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，（1）中的结论②是否成立？请写出结论，不用证明．（3）试问当点E运动到什么位置时，△MCE是等腰三角形？请说明理由．6.如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，动点P、Q分别从A、B两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC的边运动，当Q运动到A点时，P、Q停止运动.设Q点运动时间为t秒，点P 运动的轨迹与PQ、AQ围成图形的面积为S.求S关于t的函数解析式.10.将正方形ABCD 和正方形CGEF 如图1摆放，使D 点在CF 边上，M 为AE 中点，（1）连接MD 、MF ，则容易发现MD 、MF 间的关系是______________（2）操作：把正方形CGEF 绕C 点旋转，使对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M ，探究线段MD 、MF 的关系，并加以说明；（3）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，不需要证明.【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】如图，过点M 作MP∥OA，交ON 于点P ，过点N 作NQ∥OB，分别交OA 、MP 于两点Q 、G ，则S △MON =S △OMP +S △NMP =MP•QG+MP•NG=MP•QN，∵MP≤OA，QN≤OB，∴当点N 与点B 重合，QN 取得最大值OB 时，△MON 的面积最大值=OA•OB，设O 关于AC 的对称点D ，连接DB ，交AC 于M ，此时△MON 的面积最大，周长最短，∵=，即=，∴AM=3，∴M（3，4）．故选B ．2.【答案】B.图3D E C F G M B A 图2C F M A B D E G 图1A B G M F E D C二、填空题3.【答案】2.【解析】过A作AF⊥BD，交BD于点F，∵AD=AB，∠DAB=90°，∴AF为BD边上的中线，∴AF=BD，∵AB=AD=，∴根据勾股定理得：BD==2，∴AF=，在Rt△AFE中，∠EAF=∠DCA=30°，∴EF=AE，设EF=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：x2+3=4x2，解得：x=1，则AE=2．故答案为：24.三、解答题5.【答案与解析】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，在△ABM和△CBM中，，∴△ABM≌△CBM（SAS）．②∵△ABM≌△CBM∴∠BAM=∠BCM，又∵∠ECF=90°，G是EF的中点，∴GC=EF=GF，∴∠GCF=∠GFC，又∵AB∥DF，∴∠BAM=∠GFC，∴∠BCM=∠GCF，∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，∴GC⊥CM；（2）解：成立；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，在△ABM和△CBM中，，∴△ABM≌△CBM（SAS）∴∠BAM=∠BCM，又∵∠ECF=90°，G是EF的中点，∴GC=GF，∴∠GCF=∠GFC，又∵AB∥DF，∴∠BAM=∠GFC，∴∠BCM=∠GCF，∴∠GCF+∠MCF=∠BCM+MCFE=90°，∴GC⊥CM；（3）解：分两种情况：①当点E在BC边上时，∵∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM=EC，∴∠EMC=∠ECM，∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，∴2∠BAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB=；②当点E在BC的延长线上时，同①知BE=．综上①②，当BE=戓BE=时，△MCE是等腰三角形．6.【答案与解析】当P运动到C点时：t=6当Q运动到A点：t=∴分两种情况讨论(1)当0≤t≤6时，如图：作PH⊥AB于H，则△APH为等腰直角三角形此时AP=t，BQ=t，则AQ=-tPH=APsin45°=t∴S△AQP=AQ·PH=·(-t)·t=t2+3t(2)当6＜t≤时，如图：过P过PH⊥AB于H，此时△PBH为等腰直角三角形AC+CP=t，BQ=t∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t∴PH=BPsin45°=(12-t)∴S四边形AQPC=S△ABC-S△BPQ=AC·BC-BQ·PH=·6·6-·t·(12-t)=18-t+t2=t2-t+18.综上，.7.【答案与解析】∴∠EAB+∠BAC=90°即∠EAF=90°在Rt △EAF 中，EF=22AE AF =5，在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2∵BE=BF∴BF=22EF=102． 8.【答案与解析】（1）如图2，连接BF ，∵四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形，∴∠FBC=∠CBD=45°，∴∠CBD=∠GBC=90°，而BF=2BG ，BD=2BC ，∴△BFD ∽△BGC ，∴∠BCG=∠BDF ，DF CG =BF BG而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°， ∴DF CG=2，∠DMC=45°； （2）如图3，∵将图1中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转45°，DF 的延长线交CG 于M ， ∴B 、E 、D 三点在同一条直线上，而四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形，∴∠CBD=∠GBC=45°，BF=2BG ，BD=2BC ，∴△BFD ∽△BGC ，∴DF CG=2，∠BCG=∠BDF 而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，即∠DMC=45°；10．【答案与解析】如图1，延长DM交FE于N，图1∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，∴∠1=∠2，又∵MA=ME，∠3=∠4，∴△AMD≌△EMN，∴MD=MN，AD=EN．∵AD=DC，∴DC=NE．又∵FC=FE，∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD；（2）MD=MF，MD⊥MF．如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2．又∵AM=EM，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM，∴AD=EN，MD=MN．∵AD=DC，∴DC=NE．又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∴∠DCF=∠NEF=45°，∴△FDC≌△FNE，∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，∴MD=MF，MD⊥MF；（3）FM⊥MD，MF=MD．如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．∴∠ADC=∠H，AD∥EH，∴∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN，∴DM=NM，AD=EN．∵正方形ABCD、CGEF，∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，∴∠DCF=∠5=∠NEF．∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°．∴FM⊥MD，MF=MD．11。
北师大版数学[中考冲刺：几何综合问题--知识点整理及重点题型梳理](提高)
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北师大版数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．（2016•太原校级自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【思路点拨】（1）结论：FG=CE，FG∥CE．如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（2）结论仍然成立．如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（3）结论仍然成立．如图3中，设DE与FC的延长线交于点M，证明方法类似．【答案与解析】解：（1）结论：FG=CE，FG∥CE．理由：如图1中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．（2）结论仍然成立．理由：如图2中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．（3）结论仍然成立．理由：如图3中，设DE与FC的延长线交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，∴∠CBF=∠DCE=90°在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．【总结升华】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，注意这类题目的解题规律，图形变了，条件不变，证明的方法思路完全一样，属于中考常考题型．举一反三：AM射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN 【变式】已知：如图（1），射线//上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合）， 在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+．（1）求证：ADE ∆∽BEC ∆；（2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示 BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．【答案】（1）证明：∵EC DE ⊥，∴︒=∠90DEC ．∴︒=∠+∠90BEC AED ． 又∵︒=∠=∠90B A ，∴︒=∠+∠90EDA AED ．∴EDA BEC ∠=∠．∴ADE ∆∽BEC ∆．（2）证明：如图，过点E 作EF BC //，交CD 于点F ，∵E 是AB 的中点，容易证明)(21BC AD EF +=． 在DEC Rt ∆中，∵ CF DF =，∴ CD EF 21=． ∴ )(21BC AD +CD 21=． ∴ CD BC AD =+．（3）解：AED ∆的周长DE AD AE ++=m a +=，m a BE -=．设x AD =，则x a DE -=．∵ ︒=∠90A ，∴ 222AD AE DE +=．即22222x m x ax a +=+-．∴ am a x 222-=． 由（1）知ADE ∆∽BEC ∆，∴ 的周长的周长BEC ∆∆ADE BE AD =m a a m a --=222am a 2+=． ∴ BEC ∆的周长⋅+=ma a 2ADE ∆的周长a 2=． ∴ BEC ∆的周长与m 值无关．2．在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC＝3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【思路点拨】(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解.(2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解.(3)D 在BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.【答案与解析】（1）结论：CF ⊥BD ；证明如下： AB=AC ，∠ACB =45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．（2）CF ⊥BD ．(1)中结论仍成立．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴DQ=4-x ，易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ= ，∴44CP x x =-， 24x CP x ∴=-+．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x ．过A 作AQ ⊥BC ，24x CP x ∴=+． 【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．3．（2015•河南模拟）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 坐在点B ′处．自主探究：（1）当=1时，如图1，延长AB ′，交CD 于点M ．①CF 的长为 ；②判断AM与FM的数量关系，并证明你的结论．（2）当点B′恰好落在对角线AC上时，如图2，此时CF的长为，=．拓展运用：（3）当=2时，求sin∠DAB′的值．【思路点拨】（1）①利用相似三角形的判定与性质得出FC=AB即可得出答案；②利用翻折变换的性质得出∠BAF=∠MAF，进而得出AM=FM；（2）根据翻折变换的性质得出∠BAE=∠MAF，进而得出AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；（3）根据①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，②如图3，当点E在线段BC 的延长线上时，延长AD交B′E于点N，分别利用勾股定理求出即可．【答案与解析】解：（1）①当=1时，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴==1，∴FC=AB=6，②AM=FM，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴∠BAF=∠AFC，∵△ABE沿直线AE翻折得到△AB′E，∴∠BAF=∠MAF，∴∠MAF=∠AFC，∴AM=FM；（2）如图2，∵当点B′恰好落在对角线AC上时，∴∠1=∠2，∵AB∥FC，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AC=FC，∵AB=BC=6，∴AC=FC=6，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴===，（3）①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴==2，∵AB=6，∴CF=3，∴DF=CD+CF=9，由（1）知：AM=FM，∴AM=FM=9﹣DM，在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM′2=（9﹣DM）2﹣62，解得：DM=，则MA=，∴sin ∠DAB ′==， ②如图3，当点E 在线段BC 的延长线上时，延长AD 交B ′E 于点N ，由（1）知：AN=EN ，又BE=B ′E=12，∴NA=NE=12﹣B ′N ，在Rt △AB ′N 中，由勾股定理得：B ′N 2=（12﹣B ′N ）2﹣62，解得：B ′N=， AN=，∴sin ∠DAB ′==．故答案为：6；6，． 【总结升华】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用相关性质和进行分类讨论得出是解题关键．类型二、几何计算型问题4．已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，， 求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）属于纯静态问题，只要证两边的三角形全等就可以了.(2)是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的.题目给定∠MPQ=60°，其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通过相似三角形找比例关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当x 取对称轴的值时y 有最小值，接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解.【答案与解析】（1）证明：∵MBC △是等边三角形∴60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠∵M 是AD 中点∴AM MD =∵AD BC ∥∴60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠∴AMB DMC △≌△∴AB DC =∴梯形ABCD 是等腰梯形．（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠ ∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠ ∴BMP QPC =∠∠∴BMP CQP △∽△ ∴PC CQ BM BP= ∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-， ∴444x y x -=- ∴2144y x x =-+（3）解：PQC △为直角三角形， ∵()21234y x =-+ ∴当y 取最小值时，2x PC ==∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ =︒∠，∴30CPQ =︒∠，∴90PQC =︒∠∴PQC △为直角三角形.【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解.如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的.举一反三：【变式】已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是MN上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO 的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ是矩形，求OA的值.【答案】（1）是．证明：连接OB，如图①，∵BA⊥OM，BC⊥ON，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．∴AB∥OC，AB=OC，∵E、G分别是AB、CO的中点，∴AE∥GC，AE=GC，∴四边形AECG为平行四边形．∴CE∥AG，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形；（2）解：如图②，5．在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S11P FC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.图1 备用图【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转90°的条件.旋转90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了.(2)是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论.【答案与解析】（1）①直线1FG 与直线CD 的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线1FG 与直线CD 的交点为H ．∵线段1EC EP 、分别绕点E 逆时针旋转90°依次得到线段1EF EG 、，∴111190PEG CEF EG EP EF EC ∠=∠===°，，．∵1190G EF PEF ∠=-∠°，1190PEC PEF ∠=-∠°， ∴11G EF PEC ∠=∠． ∴11G EF PEC △≌△． ∴11G FE PCE ∠=∠． ∵EC CD ⊥，∴190PCE ∠=°， ∴190G FE ∠=°．∴90EFH ∠=°．∴90FHC ∠=°． FDC BAE 图1 G 2 G 1P 1 H P 2∴1FG CD ⊥．②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B ADC ∠=∠． ∵461tan 3AD AE B ===，，， ∴45tan tan 3DE EBC B =∠==，． 可得4CE =．由（1）可得四边形EFCH 为正方形．∴4CH CE ==． ①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时，∵1114FG CP x PH x ===-，， ∴11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯⨯=△． ∴212(4)2y x x x =->． ②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C H 、两点重合）时，∵1114FG CP x PH x ===-，， ∴11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯=△．∴212(04)2y x x x =-+<<． ③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11PFG △不存在．综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是212(4)2y x x x =->或212(04)2y x x x =-+<<． 【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 举一反三： 【变式】已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB ；（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当S △POB =3S △PCB 时，求PB 与PC 的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且∠PBD=∠ABO ，请借助图3补全图形，并求OP 的长．【答案】（1）作PE ⊥OM ，PF ⊥ON ，垂足为E 、F∵四边形OEPF 中，∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB ，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB ，∴∠EPA=∠FPB ，由角平分线的性质，得PE=PF ，∴△EPA ≌△FPB ，即PA=PB ；。
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中考总复习：方程与不等式综合复习一巩固练习（提高）【巩固练习】、选择题1. 关于X的一元二次方程（a -1）x2 x a2 -^0的一个根是0,则a的值是（）A . 1B . _1C . 1 或_1D . 0.522. 如果关于x的方程kx -2x -1=0有两个不相等实数根，那么k的取值范围是（）A. k _1 B . k 1 C. k _-1且k = 0 D . k -1且k = 03. 已知相切两圆的半径是一元二次方程X2-7X+12 = 0的两个根，则这两个圆的圆心距是（）A . 7B . 1 或7C . 1D . 64. 若:是方程x2,2x-2007 =0的两个实数根，则:-2 - 的值（）A . 2007B . 2005C . —2007D . 40105. （2015?永州）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3 , [0.6]=0 , [ - 3.6]= - 4.对于任意实数x,下列式子中错误的是（）A . [x]=x （x 为整数） B. 0< x -凶V 1C. [x+y] < [x ]+[y] D . [n+x]=n+[x] （n 为整数）36. 已知x是实数，且一-（x 2+3X）=2，那么X2+3X的值为（）I +3xA.1B.-3 或1C.3D.-1 或3二、填空题7. （2015春?萧山区月考）已知关于x的一元二次方程x2- 2x+2k - 4=0有两个不相等的实数根，则：（1）字母k的取值范围为 ________ ;（2 ）若k为正整数，且该方程的根都是整数，那么k的值为_______ ，此时方程的根为_________ .-1 _ X _1&若不等式组《有解，那么a必须满足_________ ..2x ca9. _______________________________________________________________ 关于x的方程k（x+1）=1+2x 有非负数解，则k的取值范围是 ___________________________________________ .* 。
北师大初中数学中考冲刺：代数综合问题--巩固练习(基础)-精选
中考冲刺：代数综合问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图所示，已知函数(0)y ax b a =+≠和y ＝kx(k ≠0)的图象交于点P ，则根据图象可得，关于,.y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是( ) A ．42x y =⎧⎨=⎩ B ．42x y =-⎧⎨=⎩ C ．42x y =-⎧⎨=-⎩ D ．42x y =⎧⎨=-⎩2.（2016•河北模拟）如图，点A 是x 轴正半轴上的任意一点，过点A 作EF ∥y 轴，分别交反比例函数()1110k y y x =>和()2220k y y x =<的图象于点E 、F ，且53EA FA =，连接OE 、OF ，有下列结论：①这两个函数的图象关于x 轴对称；②△EOF 的面积为（k 1﹣k 2）；③1235k k =-；④当∠EOF=90°时，153OE OF =，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③3．下列说法中 ①若式子1x -有意义，则x ＞1.②已知∠α=27°，则∠α的补角是153°.③已知x=2 是方程x 2-6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8. ④在反比例函数2k y x-=中，若x ＞0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k ＞2. 其中正确的命题有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个二、填空题4．如图所示，是二次函数21y ax bx c =++(a ≠0)和一次函数2y mx n =+(n ≠0)的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围____ ____．5．已知二次函数22(1)2(1)y x m x m =-++-．若此函数图象的顶点在直线y ＝-4上，则此函数解析式为 ．6. （2016•历下区二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②4a+2b+c＞0；③b 2﹣4ac ＜0；④b ＞a+c ；⑤a+2b+c ＞0，其中正确的结论有 ．三、解答题7．（北京校级期中）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+1）x+1=0（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m 的整数值；（3）在（2）中开口向上的抛物线y=mx 2﹣（m+1）x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线y=﹣x上有一个动点P ．求使PA+PB 取得最小值时的点P 的坐标，并求PA+PB 的最小值．8. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y 的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益y 的关系如图2所示(其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．(1)求小迪解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式；(2)求小迪回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 的函数关系式；(3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大?9. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．10. 已知：关于x 的一元二次方程04)4(2=-++-m x m x ，其中40<<m ．（1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；（2）设抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），若点D 的坐标为（0，-2），且AD ·BD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点E （a ，1y ）、F （2a ，y 2）、G （3a ，y 3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】本题考查方程组的解(数)与直线交点(形)坐标之间的关系．2.【答案】B ；【解析】①∵点E 在反比例函数()1110k y y x =>的图象上， 点F 在反比例函数()2220k y y x =<的图象上，且53EA FA =， ∴k 1=OA•EA，k 2=﹣OA•FA，∴1235k k =-， ∴这两个函数的图象不关于x 轴对称，即①错误；②∵点E 在反比例函数y 1=的图象上，点F 在反比例函数y 2=的图象上，∴S △OAE =k 1，S △OAF =﹣k 2，∴S △OEF =S △OAE +S △OAF =（k 1﹣k 2），即②正确； ③由①可知1235k k =-，∴③错误； ④设EA=5a ，OA=b ，则FA=3a ，由勾股定理可知：OE=，OF=． ∵∠EOF=90°，∴OE 2+OF 2=EF 2，即25a 2+b 2+9a 2+b 2=64a 2，∴b 2=15a 2， ∴=，④正确．综上可知：正确的结论有②④．3.【答案】B ； 【解析】若式子1x -有意义，则x ≥1，①错误；由∠α=27°得∠α的补角是=180°-27=153°，②正确.把x=2 代入方程x 2-6x+c=0得4-6×2+c=0，解得c=8，③正确；反比例函数2k y x-=中， 若x ＞0 时，y 随x 的增大而增大，得：k-2＜0，∴k ＜2，④错误.故选B.二、填空题4.【答案】-2≤x ≤1；【解析】本题考查不等式与比较函数值的大小之间的关系．5.【答案】24y x x =-，24y x =-； 【解析】∵顶点在直线y ＝-4上，∴2444ac b a -=-．242(1)4(1)44m m ⨯--+=-，m ＝±1． ∴此函数解析式为：24y x x =-，24y x =-．6.【答案】①②④⑤；【解析】∵抛物线开口朝下，∴a ＜0，∵对称轴x=﹣=1，∴b ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；根据图象知道当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②正确；根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③错误；根据图象知道当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故④正确；∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴a+2b+c=﹣3a+c，∵a＜0，c＞0，∴a+2b+c=﹣3a+c＞0，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．三、解答题7.【答案与解析】（1）证明：由题意得m≠0，∵△=（m+1）2﹣4m×1=（m﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）解：方程的两个实数根为x=，∴x1=1，x2=1m，∵方程的两个实数根都是整数，且m为整数，∴m=±1；（3）由（2）知，m=±1．∵抛物线y=mx2﹣（m+1）x+1的开口向上，∴m=1，则该抛物线的解析式为：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2．易求得A（1，0），B（0，1）．如图，点B关于直线y=﹣x的对称点C的坐标为（﹣1，0），连接AC，与直线y=﹣x的交点即为符合条件的点P．此时点P与原点重合，则P（0，0）．所以PA+PB=AC=2．8. 【答案与解析】(1)设y＝kx，当x＝1时，y＝2，解得k＝2，∴y＝2x(0≤x≤20)．(2)当0≤x＜4时，设y＝a(x-4)2+16．由题意，∴a＝-1，∴y＝-(x-4)2+16，即当0≤x ＜4时，28y x x =-+．当4≤x ≤10时，y ＝16．(3)设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x ≤10)分钟，学习收益总量为y ，则她用于解题的时间为(20-x)分钟．当0≤x ＜4时，22282(20)640(3)49y x x x x x x =-++-=-++=--+．当x ＝3时，49y =最小． 当4≤x ≤10时，y ＝16+2(20-x)＝56-2x ．y 随x 的增大而减小，因此当x ＝4时，48y =最大， 综上，当x ＝3时，49y =最大，此时20-x ＝17．答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大．9．【答案与解析】解：(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等． 所以抛物线对称轴3142b x -+=-=，所以4b =． （2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为，24b ac =-=16-8=8>0． 所以，方程有两个不同的实数根，分别是 12122b x a -+==-+，22122b x a --==--． （3）由（1）可知，抛物线2241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++=无实数解即可．由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0，得1k >又k 是正整数，所以k 的最小值为2．10．【答案与解析】解：（1）将原方程整理，得04)4(2=++-m x m x ，△=2222)4(168)4(4)]4([4-=+-=-+-=-m m m m m ac b ＞0∴ 2)4()4(-±+=m m x ． ∴m x =或4=x ．（2）由（1）知，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴的交点分别为（m ，0）、（4,0），∵A 在B 的左侧，40<<m .∴A （m ，0），B （4,0）.则42222222+=+=+=m m OD OA AD ，202422222=+=+=OD OB BD ．∵AD ·BD=10，∴AD 2·BD 2=100.∴100)4(202=+m .解得1±=m .∵40<<m ，∴1=m .∴51=+=m b ，44-=-=m c .∴抛物线的解析式为452-+-=x x y .（3）答：存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式，如：4)(3213--=y y y （答案不唯一）. 证明：由题意可得4521-+-=a a y ，410422-+-=a a y ，415923-+-=a a y . ∵左边=415923-+-=a a y .右边=－)(321y y -－44)]4104()45[(322--+---+--=a a a a =41592-+-a a .∴左边=右边.∴4)(3213---=y y y 成立.。
北师大初中数学中考冲刺：代几综合问题--巩固练习(提高).doc
中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2016•鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A．B．C．D．2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）二、填空题3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．4.（2016•梧州）如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到A n（n为正整数）点时，则A n的坐标是．三、解答题5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q 分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？7.条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC 的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．（1）求N点、M点的坐标；（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l 的解析式；（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．9.如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB 的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10.（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A.【解析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OG⊥AB于G，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AG=BG=OG=AB=2cm，∴S=AP•OG=×t×2=t（cm2），②当t≥4时，作OG⊥AB于G，如图2所示：S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．2.【答案】A.三、填空题3.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）4．【答案】（2×3n﹣1，0）.【解析】∵点B1、B2、B3、…、B n在直线y=2x的图象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴A n B n=4×3n﹣1（n为正整数）．∵OA n=A n B n，∴点A n的坐标为（2×3n﹣1，0）．故答案为：（2×3n﹣1，0）．三、解答题5．【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，t=1秒，∴AP=1，BQ=1.25，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，∵PE∥BC，1,,PE PE==ＡP∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴EQ DQ AC DC=，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=1.25t-2，∴4 1.252,t t--=125AC CDAD=EDQ，∠QED=CDA，综上所述，当t=2.5秒或t=3.1OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．当时，S有最小值，且．7．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴4,9123m DEDE m ==；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S最大=﹣．9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为：；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y AE=k1x+b1，则，解得：，∴y AE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE =（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m ﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知x D﹣x P=x A﹣x Q，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=y D+y Q=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），11m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．F B M12。
北师大初中数学中考总复习函数综合 巩固练习提高
中考总复习：函数综合—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题x?3?y中自变量x1.函数的取值范围是( ) x?1x≠1A．x≥－3 B．x≥－3且x≠1 C．x≠1 D．x≠－3且2，则下列1＝OC＝OA的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且c2．如图为抛物线y＝ax＋bx＋)关系中正确的是(ac＜＜＝－1 C．b2a D．aA. a＋b＝－1 B．－b3．设一元二次方程(x－1)(x－2)＝m(m＞0)的两实根分别为α、β，则α、β满足( )A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2 ＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞24．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P 点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( )A B C D若．点，垂足为C轴，⊥x交OB于D点作y=A5．（2015?眉山）如图，、B是双曲线上的两点，过AAC ）的中点，则k的值为（为的面积为△ADO1，DOBC．3 B． A ．D．411x＋2的图象上有两点A、B，A＝－点的横坐标为2，B点的横坐标为a(0＜a6．如图，一次函数y2＜4且a≠2)，过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为S、S，则21S、S的大小关系是()21A．S＞S B．S＝S C．S＜S D．无法确定212121二、填空题222?ax?ay?ax?2 7．抛物线轴交点的坐标y轴右侧与x的一部分如图所示，那么该抛物线在是________．3，反比例10，sin∠AOB＝Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO＝8．在直角坐标系中，有如图所示的5k?y (k＞0)的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点函数D的坐标为_______________．x第7题第8题第9题k y上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积在双曲线S＝2，则k＝______. 9．如图，点A△AOB x 2=x的图象交于点A（3，2），y10．（2015?贵港）如图，已知二次函数y=x﹣x的图象与正比例函数21与x轴交于点B（2，0），若0＜y＜y，则x的取值范围是 .213)，过x轴上的点1、3、5、经过点OPP (4, 4 7、9、11……分别作x轴的垂．如图所示，直线11线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S、S、S……S 则S n31n2关于n的函数关系式是________．2题第12第11题按如图所示的方式放置，其中CCC、…、ABB、ACC、ABC12．在直角坐标系中，正方形ABCO1222n2－113n3n311n1轴上．若点均在xC、…、C＋b的图象上，点C、C、A点A、、A、…、A均在一次函数y＝kx n332n112．A 的坐标为____________(1,1)的坐标为，点B的坐标为(3,2)，则点B n12三、解答题重合的任意一点，连C边上不与点B、4 cm，点P是BC13．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为．的长为y cmBP的长为x cm，CQP作PQ⊥AP交DC于点Q，设，过点结AP 的最大值；上运动的过程中y求点P在BC(1)1?y x的值．cm时，求(2)当4（2015?黄石）大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家14.元，每元，售价为每件60饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元每月件；售价每下降11元每月要少卖10月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨即0即售价上涨，x＜/件）（x＞060+x要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为（元．w（元）（件）售价下降），每月饰品销量为y，月利润为之间的函数关系式；与x（1）直接写出y ）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（2 6000元应如何控制销售价格？（3）为了使每月利润不少于222m?1m?22?mx?y?x???xmxy，这两个二次函数的图象中15．已知关于的二次函数x与22两个不同的点．Bx的一条与轴交于A、两点；、试判断哪个二次函数的图象经过(1)AB3(2)若A点坐标为(-l，0)，试求B点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？16. 探究 (1)在下图中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．①若A(-1，0)，B(3，0)，则E点坐标为________；②若C(-2，2)，D(-2，-1)，则F点坐标为________；(2)在下图中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，求出图中AB中点D的坐标(用含a，b，c，d的代数式表示)，并给出求解过程．归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，AB中点为D(x，y)时，x＝________，y＝_______．(不必证明)3 y的图象交点为A，B．x-2运用在下图中，一次函数y＝与反比例函数x①求出交点A，B的坐标；②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】由x＋3≥0且x－1≠0，得x≥－3且x≠1.2.【答案】B；a?b?c?0?则a－b＝－1.，，得＝【解析】由OAOC＝1A(－1,0)C(0,1)，所以?c?1?3.【答案】D；【解析】当y＝(x－1)(x－2)时，抛物线与x轴交点的横坐标为1,2，抛物线与直线y＝m(m＞0)交点的横坐标为α，β，可知α＜1，β＞2.4；4.【答案】B1 8；＝上时，S＝2x－×4×(x－4)P【解析】当点在AD上时，S＝0；当点P在DC△APD△APD211＋2x×4×(16－x)＝－在BA上时，S上时，当点P在CBS＝＝8×4×4＝；当点P△APD△APD2232.B.故选；5.【答案】B，轴于点EB作BE⊥x【解析】过点的中点，为OB∵D．CD=△OBE 的中位线，即BE∴CD是，CD=（2x，，﹣AD=，）设A（x，），则B 1，∵△ADO的面积为y=，?）?OC=1，x=1（﹣，解得∴AD?．=y=∴k=x 故选B．；【答案】A6.11；×2×1＝1＝A(2,1)1，，S＝S时，【解析】当x＝2y＝－2x＋＝△AOC122111＝－y时，＝当x 2)a，－，＋＝－2x＋a2B(a＋，a2225111122(?a?2)＝－a＋a＝－S＝S＝ (a－2)＋1，×a×△BOD22424当a＝2时，S有最大值1，当a≠2时，S＜1.所以S＞S.2221二、填空题7．【答案】(1，0) ；2a222a?y?ax?2ax?1??x??轴两交x，【解析】由二次函数的对称性知，的对称轴抛物线与a2x?x?3x?b1211????，则，0)，点关于对称轴对称，所以(x，所以设另一交点坐标为1222a解得x＝1，故坐标为(1，0)．13（8，）．【答案】；82AB3=，则AB ＝6，OB＝8.又点C是AC中点，得C(4,3)，【解析】在Rt△AOB中，AO＝10.sin∠AOB＝AO5121233y??y?（8，）坐标为8时，. .∴D当.x，k＝4×3＝12＝x822【答案】－4；9．1111?xy＝＝2.·|x|·|y|＝ x·(－＝【解析】设A(x，y)．Sy) OB·AB＝△AOB2222所以xy＝－4，即k＝－4.10．【答案】2＜x＜3；2B轴交于点），与xx的图象交于点A（3，【解析】∵二次函数yx=﹣x的图象与正比例函数y2=21＜3．，则yx的取值范围是：2＜x（2，0），∴由图象得：若0＜y＜2134)11．【答案】(8n－；3334k，kx，由kP(4,4，得)，4＝＝y【解析】设直线OP的解析式为＝1 3333＝)×(3－1)×(＝，＋43∴y＝x.则S121333＝×(7－5)×(5，＋712)S＝221333S＝11，……，)＝×(11－9)×(920＋3233.－1)4)＝(8n所以S＝4(2n－nn－1n－1；12．【答案】 (2－1,2)1n－，纵－1，…，其横坐标，，，【解析】可求得A(0,1)A(1,2)A(3,4)A(7,8)0,1,3,7…的规律为24231n－1n－11n－)的坐标为A，所以点(21,22坐标1,2,4,8…的规律为－．n6三、解答题13.【答案与解析】解：(1)∵PQ⊥AP，∴∠CPQ+∠APB＝90°．又∵∠BAP+∠APB＝90°，∴∠CPQ＝∠BAP，∴ tan∠CPQ＝tan∠BAP，BPCQ?．因此点P在BC上运动时始终有ABPC∵AB＝BC＝4，BP＝x，CQ＝y，xy?∴，x?441112224)x?2)?1(0?4)?1??(x??y??(x?4x)?(x?4x?∴．44410??a?，∵41y?(cm)．∴y有最大值，当x＝2时，最大112(x?4y??x)，当(2)由(1)知y ＝cm时，441122?4x?1x?0)??(xx?4．，整理，得442b?4ac?12?0，∵?(?4)?12?2?x?3．∴2(2?3)(2?3)cm的值是或x．cm14.【答案与解析】y=；）由题意可得：（1 解：，w= （2）由题意可得：化简得：，w=w=，即由题意可知x应取整数，故当x=﹣2或x=﹣3时，w＜6125＜6250，故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）由题意w≥6000，如图，令w=6000，22 +6125x+）（，﹣10（x5）+62506000=﹣20，﹣即6000= ，=10x=0x5=x解得：﹣，，312﹣5≤x ≤10，7故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．15.【答案与解析】2?1m2?mx?x?y x的二次函数，对于关于解：(1)221m?20??2??m2×1(-m)-4×，由于△＝2所以此函数的图象与x轴没有交点．?2m22(??1m)?3m4?4＞0?=(-)?由于，2?2m2?mxx?y?的二次函数．对于关于x222所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．2?2m2??mxy?x故图象经过A，B两点的二次函数为．2222??2mm2??mmx?1y?0?x?，得0)代入A(-1． (2)将，2220．m-2＝整理，得．m＝2，或解之，得m＝022．-1＝0y＝0，得xx 当m＝0时，y＝-1．令．＝1＝解这个方程，得x-1，x 21．，0) 此时，B点的坐标是B(123x??x?2y时，．当m＝220x?3?x?2＝0．，得令y ＝3．解这个方程，得x＝-1，x210)．此时，B点的坐标是B(3，2时，0，所以当x＜0y当m＝0时，二次函数为＝x-l，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝(3) 随函数值yx的增大而减小．22 l，(x-1)-2x-3＝-4，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝＝＝当m2时，二次函数为yx 的增大而减小．l时，函数值y随x所以当x＜16.【答案与解析】1??2,?.0)(1(1) 解：探究①，；②??2??8′．′∥BB′∥DDA′，D′，B′，则AAA (2)过点，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为′．D′B为AB中点，由平行线分线段成比例定理得A′D′＝∵D c??aac?a?′＝OD，∴22ca?点的横坐标是．即D2db?点的纵坐标是，同理可得D2d?a?cb??,的坐标为∴AB中点D，??22??db?c?a，，归纳222,??xy??①由题意得运用3?.?y?x?1,3x???x??或，解得??3.??y?1y??1)．，-3)，B(3，A(-1∴即交点的坐标为 AB为对角线时，②以，的坐标为(1，-1)M由上面的结论知AB中点∵平行四边形对角线互相平分， OPM为的中点，∴OM＝MP，即，-2)，∴P点坐标为(2 -4)(-4，，4)POA同理可得分别以，OB为对角线时，点坐标分别为(4，，．-4)(-44)(4-2)(2P∴满足条件的点有三个，坐标分别是，，，，，9。
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中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过 添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经 验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：⑴当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？⑵求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论；⑶当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？D ABC QP【思路点拨】⑴中应由△QAP为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP，由AQ=6－t，AP=2t，可求出t的值；⑵中四边形QAPC是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC与△PBC的面积求出；⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论.【答案与解析】【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律．四边形QAPC的面积也可由△QAC与△CAP的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.2．（永春县校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长度向终点C运动；动点N同时从点C出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒（1）直接写出梯形ABCD的中位线长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，使得MC=MN．【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；（3）利用MC=MN时，结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．【答案与解析】解：（1）∵AD=3，BC=10，∴梯形ABCD的中位线长为：（3+10）÷2=6.5；（2）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG，∴BG=AD=3．∴GC=10﹣3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．∵DG∥MN，∴△MNC∽△GDC．∴=，即=．解得，t=；（3）当MC=MN时，如图2，过M作MF⊥CN于F点，FC=NC=t．∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC，∴=，即=，解得：t=．综上所述，t=时，MC=MN．【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.3.（2016秋•泗阳县期末）（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究．（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想线段BD、CD、DE之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①题（2）的结论还成立吗？请说明理由；②连结BE，若BE=10，BC=6，求AE的长．【思路点拨】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；②由△ABD≌△ACE，以及等边三角形的性质，就可以得出AC=DC+CE；（2）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出CE2+CD2=DE2，即可得到BD2+CD2=DE2；（3）①运用（2）中的方法得出BD2+CD2=DE2；②根据Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得=8，进而得出CD=8﹣6=2，在Rt△DCE中，求得，最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长．【答案与解析】解：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；②∵BD=CE，AC=BC，又∵BC=BD+CD，∴AC=CE+CD；（2）BD2+CD2=DE2．证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，∴BD2+CD2=DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°=∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，∴BD2+CD2=DE2；②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，∴=8，∴BD=CE=8，∴CD=8﹣6=2，∴Rt△DCE中，∵△ADE是等腰直角三角形，==∴【总结升华】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用.举一反三：【变式】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0︒＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °；（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．【答案】（1）∠BPD= 30°；（2）如图3，连结CD ．∵ 点D 在∠PBC 的平分线上，∴ ∠1=∠2．∵ △ABC 是等边三角形，∴ BA=BC=AC ，∠ACB= 60°．∵ BP=BA ，∴ BP=BC ．∵ BD= BD ，∴ △PBD ≌△CBD ．∴ ∠BPD=∠3．∵ DB=DA ，BC=AC ，CD=CD ，∴ △BCD ≌△ACD ．∴ 134302ACB ∠=∠=∠=︒．∴ ∠BPD =30°．（3）∠BPD= 30°或 150°.类型二、几何计算型问题4.如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E.(1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．【答案与解析】【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题．举一反三【变式】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是 . 【答案】在Rt△ABE中，∵∠B=45°，AB=2，∴AE=BE=2，∴S△ABE=1．由翻折的性质可知：△AB ′E ≌△ABE ，∴EB ′=EB=2∴B ′C=BB ′－BC=22－2，∵四边形ABCD 是菱形，∴CF ∥BA ．∴∠ B ′FC=∠B ′AB=90°, ∠B ′CF=∠B=45°∴CF='2B C ∴S B FC △' =221CF =3－22 ∴S 阴=S B E ′△A －S B FC′△=22－2．5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm ，CD=4 cm ，等腰直角△PMN 的斜边MN=10 cm ， A 点与N 点重合， MN 和AB 在一条直线上，设等腰梯形ABCD 不动，等腰直角△PMN 沿AB 所在直线以1 cm ／s 的速度向右移动，直到点N 与点B 重合为止.(1)等腰直角△PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状由________形变化为________形；(2)设当等腰直角△PMN 移动x (s)时，等腰直角△PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为y(cm 2)，求y与x 之间的函数关系式；(3)当x=4 (s)时，求等腰直角△PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积.【思路点拨】（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN ，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可；（2）可分为以下两种情况：①当0＜x ≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN ，AN=x （cm ），过点E 作EH ⊥AB 于点H ，则EH 平分AN ，求出EH ，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x ≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED ，求出AN=x （cm ），CE=BN=10-x ，DE=x-6，过点D 作DF ⊥AB 于F ，过点C 作CG ⊥AB 于G ，求出DF ，代入梯形面积公式求出即可.【答案与解析】(1)等腰直角三角形；等腰梯形.(2)等腰直角△PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重合部分图形的形状可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm)，过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，∴EH=AN=x，∴y=S△ANE=AN·EH=x·x=.②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②)．此时，AN=x(cm)，∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC，∵CE∥BN，∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，∴y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)×3=3x-9.综上，.(3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)，∴当x=4 (s)时，y=x2=×42=4.∴当x=4 (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状.【答案】(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P.则AM=x，AN=20-x.∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，∴∠PAN=∠D=30°.在Rt△APN中，PN=AN×sin∠PAN=(20-x)，即N到AB距离为(20-x).∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x取值范围是0≤x≤15.(2)∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN且S梯形为定值，∴当S五边形BCDMN最小时，应使S△AMN最大据(1)，S△AMN=AM·NP=.∵＜0，∴当x=10时，S△AMN有最大值.∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值．当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形.。
【优选】北师大初中数学中考冲刺：代数综合问题--巩固练习(基础)
中考冲刺：代数综合问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图所示，已知函数(0)y ax b a =+≠和y ＝kx(k ≠0)的图象交于点P ，则根据图象可得，关于,.y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是( ) A ．42x y =⎧⎨=⎩ B ．42x y =-⎧⎨=⎩ C ．42x y =-⎧⎨=-⎩ D ．42x y =⎧⎨=-⎩2.（2016•河北模拟）如图，点A 是x 轴正半轴上的任意一点，过点A 作EF ∥y 轴，分别交反比例函数()1110k y y x =>和()2220k y y x =<的图象于点E 、F ，且53EA FA =，连接OE 、OF ，有下列结论：①这两个函数的图象关于x 轴对称；②△EOF 的面积为（k 1﹣k 2）；③1235k k =-；④当∠EOF=90°时，153OE OF =，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③3．下列说法中 ①若式子1x -有意义，则x ＞1.②已知∠α=27°，则∠α的补角是153°.③已知x=2 是方程x 2-6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8.④在反比例函数2k y x-=中，若x ＞0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k ＞2. 其中正确的命题有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个二、填空题4．如图所示，是二次函数21y ax bx c =++(a ≠0)和一次函数2y mx n =+(n ≠0)的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围____ ____．5．已知二次函数22(1)2(1)y x m x m =-++-．若此函数图象的顶点在直线y ＝-4上，则此函数解析式为 ．6. （2016•历下区二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②4a+2b+c ＞0；③b 2﹣4ac ＜0；④b ＞a+c ；⑤a+2b+c ＞0，其中正确的结论有 ．三、解答题7．（北京校级期中）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+1）x+1=0（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m 的整数值；（3）在（2）中开口向上的抛物线y=mx 2﹣（m+1）x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线y=﹣x 上有一个动点P ．求使PA+PB 取得最小值时的点P 的坐标，并求PA+PB 的最小值．8. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y 的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益y 的关系如图2所示(其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．(1)求小迪解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式；(2)求小迪回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 的函数关系式；(3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大?9. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．10. 已知：关于x 的一元二次方程04)4(2=-++-m x m x ，其中40<<m ．（1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；（2）设抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），若点D 的坐标为（0，-2），且AD ·BD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点E （a ，1y ）、F （2a ，y 2）、G （3a ，y 3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】本题考查方程组的解(数)与直线交点(形)坐标之间的关系．2.【答案】B ；【解析】①∵点E 在反比例函数()1110k y y x=>的图象上， 点F 在反比例函数()2220k y y x =<的图象上，且53EA FA =， ∴k 1=OA•EA，k 2=﹣OA•FA， ∴1235k k =-， ∴这两个函数的图象不关于x 轴对称，即①错误；②∵点E 在反比例函数y 1=的图象上，点F 在反比例函数y 2=的图象上，∴S △OAE=k 1，S △OAF =﹣k 2，∴S △OEF =S △OAE +S △OAF=（k 1﹣k 2），即②正确； ③由①可知1235k k =-，∴③错误； ④设EA=5a ，OA=b ，则FA=3a ，由勾股定理可知：OE=，OF=． ∵∠EOF=90°，∴OE 2+OF 2=EF 2，即25a 2+b 2+9a 2+b 2=64a 2，∴b 2=15a 2， ∴=，④正确．综上可知：正确的结论有②④．3.【答案】B ；【解析】若式子1x -有意义，则x ≥1，①错误；由∠α=27°得∠α的补角是=180°-27=153°，②正确.把x=2 代入方程x 2-6x+c=0得4-6×2+c=0，解得c=8，③正确；反比例函数2k y x-=中， 若x ＞0 时，y 随x 的增大而增大，得：k-2＜0，∴k ＜2，④错误.故选B.二、填空题4.【答案】-2≤x ≤1；【解析】本题考查不等式与比较函数值的大小之间的关系．5.【答案】24y x x =-，24y x =-； 【解析】∵顶点在直线y ＝-4上，∴2444ac b a -=-．242(1)4(1)44m m ⨯--+=-，m ＝±1． ∴此函数解析式为：24y x x =-，24y x =-．6.【答案】①②④⑤；【解析】∵抛物线开口朝下，∴a ＜0，∵对称轴x=﹣=1，∴b ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；根据图象知道当x=2时，y=4a+2b+c ＞0，故②正确；根据图象知道抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故③错误；根据图象知道当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，∴a+c ＜b ，故④正确；∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a ，∴a+2b+c=﹣3a+c ， ∵a ＜0，c ＞0，∴a+2b+c=﹣3a+c ＞0，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．三、解答题7.【答案与解析】（1）证明：由题意得m ≠0，∵△=（m+1）2﹣4m ×1=（m ﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）解：方程的两个实数根为x=， ∴x 1=1，x 2=1m，∵方程的两个实数根都是整数，且m 为整数，∴m=±1；（3）由（2）知，m=±1．∵抛物线y=mx 2﹣（m+1）x+1的开口向上，∴m=1，则该抛物线的解析式为：y=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2．易求得A （1，0），B （0，1）．如图，点B 关于直线y=﹣x 的对称点C 的坐标为（﹣1，0），连接AC ，与直线y=﹣x 的交点即为符合条件的点P ．此时点P 与原点重合，则P （0，0）．所以PA+PB=AC=2．8. 【答案与解析】(1)设y ＝kx ，当x ＝1时，y ＝2，解得k ＝2，∴y ＝2x(0≤x ≤20)．(2)当0≤x ＜4时，设y ＝a(x-4)2+16．由题意，∴a ＝-1，∴y ＝-(x-4)2+16，即当0≤x ＜4时，28y x x =-+．当4≤x ≤10时，y ＝16．(3)设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x ≤10)分钟，学习收益总量为y ，则她用于解题的时间为(20-x)分钟．当0≤x ＜4时，22282(20)640(3)49y x x x x x x =-++-=-++=--+．当x ＝3时，49y =最小． 当4≤x ≤10时，y ＝16+2(20-x)＝56-2x ．y 随x 的增大而减小，因此当x ＝4时，48y =最大， 综上，当x ＝3时，49y =最大，此时20-x ＝17．答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大．9．【答案与解析】解：(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等． 所以抛物线对称轴3142b x -+=-=，所以4b =．（2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为，24b ac =-=16-8=8>0．所以，方程有两个不同的实数根，分别是 12122b x a -+==-+，22122b x a--==--． （3）由（1）可知，抛物线2241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++=无实数解即可．由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0，得1k >又k 是正整数，所以k 的最小值为2．10．【答案与解析】解：（1）将原方程整理，得04)4(2=++-m x m x ，△=2222)4(168)4(4)]4([4-=+-=-+-=-m m m m m ac b ＞0∴ 2)4()4(-±+=m m x ． ∴m x =或4=x ．（2）由（1）知，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴的交点分别为（m ，0）、（4,0），∵A 在B 的左侧，40<<m .∴A （m ，0），B （4,0）.则42222222+=+=+=m m OD OA AD ，202422222=+=+=OD OB BD ．∵AD ·BD=10，∴AD 2·BD 2=100.∴100)4(202=+m .解得1±=m .∵40<<m ，∴1=m .∴51=+=m b ，44-=-=m c .∴抛物线的解析式为452-+-=x x y .（3）答：存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式，如：4)(3213--=y y y （答案不唯一）.证明：由题意可得4521-+-=a a y ，410422-+-=a a y ，415923-+-=a a y .∵左边=415923-+-=a a y .右边=－)(321y y -－44)]4104()45[(322--+---+--=a a a a =41592-+-a a .∴左边=右边.∴4)(3213---=y y y 成立.。
北师大初中数学中考总复习：特殊的四边形--巩固练习(提高).doc
【巩固练习】中考总复习：特殊的四边形 --巩固练习（提高）一、选择题 1.如图,E 是边长为1的正方形ABCD 勺对角线 点Q,PR± BE 于点R 则P3 PR 的值是（ BD 上一点，且 A .2.如图,在梯形ABCD 中, BE=BC P 为CE 上任意一点, 1 B.2PQL BC 于2D.AB// CD 中位线 MN = 7,对角线ACL BD / BDC = 30°,则梯形的高为 C. r 八3.四边形ABCD 勺对角线AC=BD 且AC L BD 分别过 ABC D 作对角线的平行线， 得到四边形EFGH 则它是（ ）.A .正方形 a , 4如图，矩形ABCD 中，其长为 nA 7】 85.如图，在菱形D •任意四边形 C.矩形 宽为b ,如果1 ,则-一的值为（ ）.2B .菱形 D. - ：；'.'■ 4ABCD 中, —_ JI'，亠 的垂直平分线FE 交对角线AC 于点F , E 为垂足，连接亍—A.』 B .川 C.」 D .川B . 一“' 2 DF . V _ '丄「_；'等于（6. （2014?海南模拟）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线ACBD相交于点0,过点P分别作AC BD的垂线，分别交AG BD于点E、F,交AD BC于点M N下列结论：①厶APE^A AME ② PM+PN=AC③ PE 2+P F=P0:④厶POF^^ BNF其中正确的结论有（）A. 4个B. 3个G. 2个D. 1个二、填空题7. 如图，点E、F、G H分别为正方形ABCD的边AB BC CD DA上的点，且AE=BF=CG=D H=AB,则3图中阴影部分的面积与正方形ABCD勺面积之比为______________ .8. ______________________________________________________________________________ 如图，在等腰梯形ABCD中, AD// BC AC与BD相交于点O.下面结论正确的是___________________________1① AC=BD ②/ DAO M DBC ③ S A BO=一S 梯形ABC D④厶AOB^A DOG29. （2015春?伊春校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为8cm,底面周长为12cm,在杯内离杯底2cm的点G处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到达10. （2012?湖州）如图，将正△ ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若巴=空，则△ ABC的边长是 _______________.n 25ABCD中, AD// BC / C=90°, BE 平分/ ABC且交CD于E, E 为CD的中点，EF// BC交AB于F, EG// AB交BC于G,当AD=2 BC=12时，四边形BGEF勺周长为__________________________________________________________________________12. 如图，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形AiBCiD，再以A i B i CD各边的中点为顶点作四边形ABGDa,…，如此下去，得到四边形A011B2011C2011D2011,若ABCD对角线长分别为a和b，请用含a、b的解答题代数式表示四边形A2011B2011C2011 D>011的周长__________________ .13. ( 2015 •邯郸校级月考)已知，如图，正方形ABCD勺边长为6,菱形EFGH勺三个顶点E, G H分别在正方形ABCD边AB, CD DA上, AH=2连接CF.(1) 当DG=2时，求△ FCG的面积；⑶判断△ FCG的面积能否等于1,并说明理由.(2) 设DG=，用含；的代数式表示△ FCG的面积;14. 在图1到图3中，点O是正方形ABCD寸角线AC的中点，△ MPN为直角三角形，/ MPN=90 .正方形ABCD保持不动，△ MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E, PN垂直于直线BC于点F.(1) _____________________________________________________ 如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_______________________________________________ ;；(2)如图2,当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；15 .如图1, P 是线段 AB 上的一点，在 AB 的同侧作厶 APC^D ^ BPD 使PC=PA PD=PB / APC=/ BPD 连接CD 点E 、F 、G H 分别是AC AB BD CD 的中点，顺次连接 E 、F 、G H. (1) 猜想四边形 EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；(2) 当点P 在线段AB 的上方时，如图 2,在厶APB 的外部作厶APC 和厶BPD 其他条件不变，(1 )中 的结论还成立吗？说明理由； (3)如果(2)中，/ APC / BPD=90，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形 EFGH 的形状，并 说明理由.图1图2图316.如图，在平面直角坐标系中，点 A (10, 0), / OBA=90 , BC// OA OB=8点E 从点B 出发，以每 秒1个单位长度沿BC 向点C 运动，点F 从点O 出发，以每秒2个单位长度沿 OB 向点B 运动.现点E 、 F 同时出发，当点 F 到达点B 时，E 、F 两点同时停止运动. (1) 求梯形OABC 的高BG 的长；(2) 连接E 、F 并延长交OA 于点D,当E 点运动到几秒时，四边形 ABED 是等腰梯形； (3)动点E 、F 是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点 E 、F 运动的时间t 的值；如果不会，请说明理由.图1图2图3(3)如图3,当点P 在AC 的延长线上时，0E 与OF 的数量关系为 _____________ ;位置关系为 ___________【答案与解析】.选择题【答案】A. 【答案】B. 【答案】A.【答案】A.【解析】由题意二—二—兰，二£ —三二心_=上「—二匚—匚124 2 2 2 2【答案】D. 6.【答案】B.【解析】在正方形 ABCD 中，/ PAE= / MAE=45 ° °fZPAE=ZlIAE在厶APE 和厶AME 中，*怔二也,ZAEP=ZAEM=90fl•••△ APEAME (ASA )，故① 正确； ••• AP=AM ,• △ APM 是等腰直角三角形， • PM= y\AP , 同理可得PN= _PB , • PM+PN= ：AB , 又••• AC=匚AB , • PM+PN=AC ，故②正确；•/ PM 丄 AC , PN 丄 BD , AC 丄 BD , •四边形PEOF 是矩形， • PF=OE ,在 RtA POE 中，PE 2+OE 2=PO 2,2 2 2• PE +PF =PO ，故③正确；•••矩形PEOF 不- -定是 正方形， •△ POF 是不一定等腰直角三角形， •••/ OBC=45 °, BF 丄 FN , •△ BNF 是等腰直角三角形，• △ POF 与厶BNF 相似不一定成立，故 ④ 错误； 综上所述，正确的结论有 ①②③ 共3个.故选B .1. 2. 3. 5.二•填空题27 •【答案】1.5【解析】 把厶APD 旋转到△ DCM 把厶ABF 旋转到△ BCN 则多边形PFBNM 的面积被分成10份，阴影 部分占4份. &【答案】①②④. 9.【答案】10cm【解析】如图：将杯子侧面展开，作 A 关于EF 的对称点A 连接AC ,则AC 即为最短距离，由题意可得出： A D=6cm , CD=8cm ,10.【答案】12.【解析】设正△ ABC 的边长为X ,则高为V3x , S A ABC ^X ? J3X =V 3X 2,22 2 4乞品,212解得X 1=（不符合题意，舍去），X 2=12,所以，△ ABC 的边长是12 .1111. 【答案】28. 【解析】先根据 EF// BC 交AB 于F , EG// AB 交BC 于G 得出四边形BGEF 是平行四边形，再由 BE 平分/ ABC 且交CD 于E 可得出/ FBE=Z EBC 由EF// BC 可知，/ EBC 2 FEB,故/ FBE=FEB 由此可判断出 四边形BGEF 是菱形，再根据 E 为CD 的中点，AD=2 BC=12求出EF 的长，进而可得出结论. 12 •【答案】1004 .•••所分成的都是正三角形，•••结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为 较短的对角线为（3x- 3 ）2 •••黑色菱形的面积=1 （ "3x- 2 2 並x 2_ 迥（x-2）2• m = 4 8 （）=47，整理得,n一 225怎1 d---- =—x-1 ,3 2^3 )(丄 x-1 )=至(x-2 ) 2,8x-2)2211x -144x+144=0 ,AC=Jy D '+CD "=10（cm ）•2a b 【解析】结合图形，脚码为奇数时，四边形A2n-1 B2n-1 C2n-1 D2n-1是矩形，长为，宽为；2 2脚码为偶数时，四边形AnBnC 2nD 2n 是菱形，边长为2口屮J a 2 +b 22*006，三.综合题13•【解析】⑴J 'I-⑵作FML DC M 为垂足，连结 GE•/ AB // CD •- / AEG 2 MGE •/ HE // GF, • / HEG M FGE • M AEH 玄 MGF.在厶 AHE 和△ MFG^,Z A=M M=90 , HE=FG • △ AHE^A MFG.• FM=HA=2即无论菱形EFGH 如何变化，点F 的直线CD 的距离始终为定值 2. 因此「廿：'' 卜一：--7⑶ 若■-1 ,由， ，得「二.1 ,此时在△ DGH 中 ,相应地，在厶AHE 中， ，即点E 已经不在边 AB 上.故不可能有•一 ；… 14.［解析】(1) OE=OF(相等)； (2) OE=OF OEL OF ;证明：连接BO•••在正方形ABCD 中O 为AC 中点， • BO=CO BC L AC, M BCA M ABO=45 , •/ PF 丄 BC, M BCO=45 , • M FPC=45, PF=FC•••正方形 ABCD M ABC=90 , •/ PF L BC, PEI AB, • M PEB=Z PFB=90 . •四边形PEBF 是矩形， • BE=PF• BE=FC• △ OBE^A OCF• OE=OF M BOE M COF •••M COF+M BOF=90 , • M BOE+M BOF=90 , • M EOF=90 , • OEL OF.(3) OE=OF(相等)，OEL OF (垂直). 15. ［解析】周长为 4 a2 b 2，即21°062*1004 •四边形 A 2011B 2011G011D011 是矩形，长为 •四边形 A011B 2011G011D 2011 的周长为：2a宽为b2*005，宽为 2*005， （显+角）=霁•故答案为:2*004•••四边形A 2010B 2010C 2010D 2OIO 是菱形，边长为2)成立•理由：连接AD, BC.•••/ APC玄BPD•••/ APC+Z CPD=/ BPD+Z CPD即/ APD=Z CPB又••• PA=PC PD=PB•△APD^A CPB ( SAS • AD=CB•/ E、F、G H分别是AC AB BD CD的中点，• EF、FG GH EH分别是△ ABG △ ABD △ BCD △ ACD的中位线.1111• EF=-BC, FG=—AD, GH」BC, EH^ AD.2 2 2 2EF=FG=GH=EH A 四边形EFGH是菱形.(3)补全图形.理由：连接AD, BC•••( 2)中已证△ APD^A CPB•Z PAD=Z PCBvZ APC=90 ,•Z PAD+Z 仁90°.又vZ 1 = Z 2.•Z PCB+Z 2=90 °.•Z 3=90 °.v( 2)中已证GH EH分别是△ BCD △ ACD的中位线，• GH// BC, EH// AD.•Z EHG=90 .又v( 2)中已证四边形EFGH是菱形，•菱形EFGH是正方形•16.【解析】(1)根据题意，AB=.. AO2- OB2二；102- 82=6,A B D O B 6^8v 2S MOE=AB?OB=AOBG• BG=-------------- = ------- =4.8 ;AO 10(2)设当E点运动到x秒时，四边形ABED是等腰梯形，则BE=X,OF=2X, v BC// OA2•BE = BF，即x =8-2x ,解得OD= x ,OD OF OD 2X4-X过E作EHL OA于H,11/ 8 8/ 6 6• 2tcos / AOB=2tX 一 = —t , 2tsin / AOB=2tX 一 =_ t ,10 510 5•••点F 的坐标为(8t , 6t ) 5 5假设能在同一反比例函数图象上，贝U8 t X 6t= (6.4-t )X 4.8 , 5 5整理得：2t +5t-32=0 ,△ =25-4 X 2 X( -32 ) =281 > 0, •••方程有解，即E 、F 会同时在某一反比例函数图象上，此时， t=,HG=BE=x(3 )会同时在某个反比例函数的图象上.根据题意，OG=AO-AG=10-3.6=6.4, •••点 E (6.4-t ，4.8 ), •/ OF=2t ,因此E 、F 会同时在某个反比例函数的图象上, t= -5 . 281-5 281 4。
北师大初中数学中考总复习：四边形综合复习--巩固练习(提高).doc
中考总复习：四边形综合复习--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1•如图，在中，厂是「，'上异于j 、「的一点，则的值 是（ ）.A. 16B . 20 C. ^5 D . 30的结论有（）.A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. 一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条 不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点 的直线将其剪成两部分……如此下去， 最后得到了 34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）A 2004 B. 2005 C. 2006 D. 20075.如图所示，已知菱形 OABC 点C 在x 轴上，直线y =x经过点A ,菱形OABC 勺面积是£ .若反比例 函数的图象经过点 B ,则此反比例函数表达式为（）.2.如图1 ,在矩形二…一中，动点二从点「出发，沿厂T 丄二方向运动至点二处停止.设 点二运动的路程为：， 的面积为如果关于」的函数图象如图2所示，则当’-「」 时，点］应运动到（）•A.「处G3. （2012?孝感）如图，在菱形连接BD, CG 有下列结论：①/（图1） ABCD 中，/ A=60° ,4 9 r（图2）E 、F 分别是AB, AD 的中点，DE BF 相交于点G,D= 'A B"其中正确4BGD=120 :② BG+DG=CG^ BDF^A CGB ④ &ABRM6. （2015?可南一模）如图，正方形 ABCD 勺边长为1，将长为1的线段QR 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点 Q 从点A 出发，按A T B T 3D ^A 的方向滑动到 A 停止，同时点R 从点B 出发, 按B T C T D T A TB 的方向滑动到B 停止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形面、填空题7.如图，将两张长为 8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直 时，菱形的周长有最小值 8,那么菱形周长的最大值是 ___________________8. 如图，在等腰梯形 ' 中，丿匕• '「丄］，丄「-' = 4二=* -■ ,—- =45°.直角三角板含 45。
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中考冲刺：几何综合问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春•江阴市校级期中）在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置如图所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分别在线段AC、线段BC上运动，当△MON的面积达到最大时，存在一种使得△MON周长最小的情况，则此时点M的坐标为（）A．（0，4）B．（3，4）C．（，4）D．（，3）2.如图，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B与点D重合，点A，B（D），E在同一条直线上，将△ABC沿DE方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B，D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y与x之间对应关系的图象是（）A B C D二、填空题3. （2016•绥化）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠A BD=45°，∠DCA=30°，AB=，则AE= （提示：可过点A作BD的垂线）4.如图，一块直角三角形木板△ABC，将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻滚，使它滚动cm．三、解答题5.（2017•莒县模拟）在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE 或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连结CG．（1）如图1，当点E在BC边上时．求证：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM．（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，（1）中的结论②是否成立？请写出结论，不用证明．（3）试问当点E运动到什么位置时，△MCE是等腰三角形？请说明理由．6.如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，动点P、Q分别从A、B两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC的边运动，当Q运动到A点时，P、Q停止运动.设Q点运动时间为t秒，点P运动的轨迹与PQ、AQ围成图形的面积为S.求S关于t的函数解析式.7.正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．（2）如图2，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点，且AF：FC=3：1，BC=2，求BF的长．9.已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图（1）当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD，判断CE和BD位置关系，填空：CE_____BD．10.将正方形ABCD和正方形CGEF如图1摆放，使D点在CF边上，M为AE中点，（1）连接MD、MF，则容易发现MD、MF间的关系是______________（2）操作：把正方形CGEF绕C点旋转，使对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M，探究线段MD、MF的关系，并加以说明；（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，不需要证明.【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】如图，过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，则S△MON=S△OMP+S△NMP=MP•QG+MP•NG=MP•QN，∵MP≤OA，QN≤OB，∴当点N与点B重合，QN取得最大值OB时，△MON的面积最大值=OA•OB，图3DECFGMBA图2CFMABDEG图1AB GMF EDC设O关于AC的对称点D，连接DB，交AC于M，此时△MON的面积最大，周长最短，∵=，即=，∴AM=3，∴M（3，4）．故选B．2.【答案】B.二、填空题3.【答案】2.【解析】过A作AF⊥BD，交BD于点F，∵AD=AB，∠DAB=90°，∴AF为BD边上的中线，∴AF=BD，∵AB=AD=，∴根据勾股定理得：BD==2，∴AF=，在Rt△AFE中，∠EAF=∠DCA=30°，∴EF=AE，设EF=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：x2+3=4x2，解得：x=1，则AE=2．故答案为：24.三、解答题5.【答案与解析】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，在△ABM和△CBM中，，∴△ABM≌△CBM（SAS）．②∵△ABM≌△CBM∴∠BAM=∠BCM，又∵∠ECF=90°，G是EF的中点，∴GC=EF=GF，∴∠GCF=∠GFC，又∵AB∥DF，∴∠BAM=∠GFC，∴∠BCM=∠GCF，∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，∴GC⊥CM；（2）解：成立；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，在△ABM和△CBM中，，∴△ABM≌△CBM（SAS）∴∠BAM=∠BCM，又∵∠ECF=90°，G是EF的中点，∴GC=GF，∴∠GCF=∠GFC，又∵AB∥DF，∴∠BAM=∠GFC，∴∠BCM=∠GCF，∴∠GCF+∠MCF=∠BCM+MCFE=90°，∴GC⊥CM；（3）解：分两种情况：①当点E在BC边上时，∵∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM=EC，∴∠EMC=∠ECM，∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，∴2∠BAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB=；②当点E在BC的延长线上时，同①知BE=．综上①②，当BE=戓BE=时，△MCE是等腰三角形．6.【答案与解析】当P运动到C点时：t=6当Q运动到A点：t=∴分两种情况讨论(1)当0≤t≤6时，如图：作PH⊥AB于H，则△APH为等腰直角三角形此时AP=t，BQ=t，则AQ=-tPH=APsin45°=t∴S△AQP=AQ·PH=·(-t)·t=t2+3t(2)当6＜t≤时，如图：过P过PH⊥AB于H，此时△PBH为等腰直角三角形AC+CP=t，BQ=t∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t∴PH=BPsin45°=(12-t)∴S四边形AQPC=S△ABC-S△BPQ=AC·BC-BQ·PH=·6·6-·t·(12-t)=18-t+t2=t2-t+18.综上，.7.【答案与解析】（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC在△BFC中，BC2=22=4∴BF2+FC2=BC2∴∠BFC=90°…（3分）∴∠AEB+∠EBF=180°∴AE∥BF…（4分）（2）解：∵Rt△ABC中，AB=BC=2，由勾股定理，得∵AF：FC=3：1，∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=90°∴∠BAC+∠ACB=90°∴∠EAB+∠BAC=90°即∠EAF=90°在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2∵BE=BF8.【答案与解析】（1）如图2，连接BF，∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴∠FBC=∠CBD=45°，∴∠CBD=∠GBC=90°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAE=∠BAD．又∵△ABC≌△ADE，∴AC=AE，AB=AD，∴∠ACE=∠ABD．又∵∠AFC=∠BFM，∠AFC+∠ACE=90°，∴∠ABD+∠BFM=90°，∴∠BMC=90°，∴CE⊥BD．（3）过C′作C′G⊥AM于G，过D作DH⊥AM交延长线于点H．10．【答案与解析】如图1，延长DM交FE于N，图1∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，∴∠1=∠2，又∵MA=ME，∠3=∠4，∴△AMD≌△EMN，∴MD=MN，AD=EN．∵AD=DC，∴DC=NE．又∵FC=FE，∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD；（2）MD=MF，MD⊥MF．如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2．又∵AM=EM，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM，∴AD=EN，MD=MN．∵AD=DC，∴DC=NE．又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∴∠DCF=∠NEF=45°，∴△FDC≌△FNE，∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，∴MD=MF，MD⊥MF；（3）FM⊥MD，MF=MD．如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．∴∠ADC=∠H，AD∥EH，∴∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN，∴DM=NM，AD=EN．∵正方形ABCD、CGEF，∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，∴∠DCF=∠5=∠NEF．∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°．∴FM⊥MD，MF=MD．。