2018年秋高中数学 课时分层作业12 抛物线的简单几何性质 新人教A版选修1-1
高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质课时作业 新人教A版选修21
2.4.2 抛物线的简单几何性质课时目标1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是________，抛物线在y轴的______侧，当x的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________．(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为p，焦点到顶点的距离为________．22．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程________________________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．3．抛物线的焦点弦设抛物线y2＝2px(p>0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．(1)以AB为直径的圆与准线________．(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)．(3)|AB|＝x1＋x2＋______.(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝________，y1y2＝________.一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝43y2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A .172B ．3C . 5D .924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB .1C ．4aD .4二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y ＝mx 2(m≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求AB 所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于( )A．4 3 B．8 C．8 3 D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离． 2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．2.4.2 抛物线的简单几何性质知识梳理1．(1)x ≥0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p22．k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0 两 一 没有 平行或重合 一3．(1)相切 (2)2(x 0＋p 2) (3)p (4)p 24－p 2作业设计1．B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．] 2．A [设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23，所以x 1＋x 3＝2x 2， 即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎪⎫|P 2F |－p 2，所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |.] 3．A [如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.] 4．B [y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a4，令x＝0得y ＝－a2.∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.] 5．C [∵点P (2,1)在抛物线内部，且直线l 1与抛物线C 相交于A ，B 两点，∴过点P 的直线l 2在过点A 或点B 或与x 轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l 2共有3条．]6．D [可采用特殊值法，设PQ 过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0且垂直于x 轴，则|PF |＝p ＝x P ＋a 4＝a 4＋a4＝a2，|QF |＝q ＝a 2，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4a .]7．y 2＝4x解析 设抛物线方程为y 2＝ax .将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a2＝2.∴a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x . 8．2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x .将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22， ∴S △ABF ＝12×22×42＝2.9.13解析 抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝33x ＋p 2，消去x ，得12y 2－20py ＋3p 2＝0，解得y 1＝p 6，y 2＝3p 2.由题意可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知|AF ||FB |＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋p23p 2＋p 2＝13. 10．解 由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m.由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y . 11．解 方法一 设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为 A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，① y 22＝8x 2，②∵Q (4,1)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 方法二 设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x －4＋1，消去x ， 得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝8k，又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为4x －y －15＝0.12.B [如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴|PF |＝x 0＋2＝8，选B.]13．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3. ∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1y 2＝4x，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋4k2. 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋4k2>4.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.。
【配套K12】2018年秋高中数学 课时分层作业12 抛物线的简单几何性质 新人教A版选修1-1
课时分层作业(十二) 抛物线的简单几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．方程y ＝－2x 所表示曲线的形状是( )D [方程y ＝－2x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy <0故选D.]2．过抛物线C ：y 2＝12x 的焦点作直线l 交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．16B ．12C ．10D ．8B [由题意知p ＝6，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝12.]3．过点(2,4)的直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( )【导学号：97792106】A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条B [点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x 轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2B [易知抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，代入y 2＝2px 得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.]5．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16B [设P (x 0，y 0)，则A (－2，y 0)，又F (2,0) 所以y 0－2－2＝－3，即y 0＝4 3.由y 20＝8x 0得8x 0＝48，所以x 0＝6. 从而|PF |＝6＋2＝8.] 二、填空题6．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.0或1 [当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.]7．2017设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________________．(x ＋1)2＋(y －3)2＝1 [由y 2＝4x 可得点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1.由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切(如图)，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠FAC ＝120°，所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3，所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.]8．抛物线y 2＝4x 上的点到直线x －y ＋4＝0的最小距离为________.【导学号：97792107】322[设与直线x －y ＋4＝0平行且与抛物线y 2＝4x 相切的直线方程为x －y ＋m ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0y 2＝4x 得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0则Δ＝(2m －4)2－4m 2＝0，解得m ＝1 即直线方程为x －y ＋1＝0直线x －y ＋4＝0与直线x －y ＋1＝0的距离为d ＝4－112＋－2＝322. 即抛物线y 2＝4x 上的点到直线x －y ＋4＝0的最小距离为322.]三、解答题9．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为6.(1)求抛物线C 的方程．(2)若抛物线C 与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．[解] (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px ，其准线方程为x ＝－p2，因为P (4，m )到焦点的距离等于P 到其准线的距离，所以4＋p2＝6，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，消去y ，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.因为直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同的两点A ，B ，则有k ≠0，Δ＝64(k ＋1)>0， 解得k >－1且k ≠0. 又x 1＋x 22＝2k ＋4k2＝2， 解得k ＝2或k ＝－1(舍去)，所以k 的值为2.10．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)．求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；(2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. 【导学号：97792108】[证明] (1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，可得y 2－2pmy －p 2＝0，y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm ，∴y 21＋y 22＝2p (x 1＋x 2)＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝4p 2m 2＋2p 2，∴x 1＋x 2＝2pm 2＋p ， ∴θ＝90°时，m ＝0，x 1＋x 2＝p ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＝2psin 2θ；θ≠90°时，m ＝1tan θ，x 1＋x 2＝2p tan 2θ＋p ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p tan 2θ＋2p ＝2psin 2θ.∴|AB |＝2psin 2θ.(2)由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝y 1y 224p＝p 24；(3)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2x 1＋x 2＋p＝2p. [能力提升练]1．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( ) A.15 B.14 C.13D.12C [因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B |＝13，故选C.] 2．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3C [抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立得方程组⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方， ∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)． ∴|NF |＝＋2＋－232＝4，|MF |＝|MN |＝＋2＋3－232＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3. 故选C.]3．已知点A (2,0)，B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·AP →取得最小值时的点P 的坐标是________．(0,0) [设P (x 0，y 0)，则AP →＝(x 0－2，y 0)， AP →＝(x 0－4，y 0)，所以AP →·AP →＝(x 0－2)(x 0－4)＋y 20，又y 20＝－4x 0， 所以AP →·AP →＝x 20－10x 0＋8＝(x 0－5)2－17， 因为x 0≤0，所以当x 0＝0时，AP →·AP →取得最小值． 此时点P 的坐标为(0,0)．]4．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是______________.【导学号：97792109】32 [y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，则y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)若过点P (4,0)的直线垂直于x 轴，则直线方程为x ＝4， 此时x 1＋x 2＝8，y 21＋y 22＝32，若过点P (4,0)的直线存在斜率，则设直线方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －y 2＝4x得k 2x 2－(8k 2＋4)x ＋16k 2＝0，则x 1＋x 2＝8＋4k2>8，此时y 21＋y 22>32因此y 21＋y 22的最小值为32.]5．已知点A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB . (1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积． (2)求证：直线AB 过定点．[解] (1)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2. 因为OA ⊥OB ，所以k OA ·k OB ＝－1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0.因为y 1≠0，y 2≠0，所以y 1y 2＝－4p 2，所以x 1x 2＝4p 2.(2)证明：因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2，所以k AB ＝2p y 1＋y 2，故直线AB 的方程为y －y 1＝2py 1＋y 2(x －x 1)， 所以y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2， 即y ＝2px y 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2.因为y 21＝2px 1，y 1y 2＝－4p 2，代入整理得y ＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2，所以y ＝2py 1＋y 2(x －2p )， 即直线AB 过定点(2p,0).。
高中数学人教A版选修-课时作业--抛物线的标准方程含答案
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14.[解析] 双曲线 3x2－y2＝1 的焦点分别为 F1 3 ，0 ，F2 ，0 ，若抛物线的焦
83
－
3
点为 F1，则抛物线的标准方程为 y2＝－
3
x；若抛物线的焦点为 F ，则抛物线的标准方程
2
83 为 y2＝ 3 x.
15.[解析] 设 P(x0,4)，因为 P 是抛物线上的一点，所以 3×42＝16x0.解得 x0＝3，即
2x2＋2＝x1＋1＋x ＋1.即 3
x2＝x1＋2 x3.
y1＋y3
( ) 线段
AD
中点为
x1＋x3 y1＋y3 2，
，所以
kAD＝yx33－ －yx11，AD
2 －0
中垂线斜率为 x1＋x3
.
－3
2
2
y3－y1
y1＋y3
所以x3－x1 · x1＋x3－6＝－1.
4x3－4x1 即 x23－x21 －6 x3－x1 ＝－1.
( ) ( ) ( ) y ，M(－x,0)，所以PM＝ －x，－2 ，PF＝ 1，－2
.
所以→PM·→PF＝－x＋y2＝0⇒y2＝4x，所以 N 点的轨迹方程为 y2＝4x. 4
(2)如右图所示，|AF|＝1x ＋1，|BF|＝x ＋1，|DF| 2 → →→
＝x3＋1，因为|AF|， |BF|，|DF|成等差数列，所以
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线 C 上除原点外的三点，且|AF|，|BF|，| → DF|成等差数列，当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)时，求 B 点的坐标．
1.[解析]
依题意，抛物线开口向左，焦点在
x
高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质(2)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业20 抛物线的简单几何性质(2)知识点一直线与抛物线的交点问题1.过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 B解析 由题意知，点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，所以过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B.2．已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点？ (2)两个公共点？ (3)没有公共点？解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点. 知识点二中点弦问题3.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 中点为(2,2)，则直线l 的方程为__________．答案 y ＝x解析 由题意知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，①②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 知识点三直线与抛物线位置关系的综合应用4.过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )A.45°B.90°C.60°D.120°答案 B解析 如图，由抛物线定义知 |AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， 所以∠AA 1F ＝∠AFA 1. 又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO . 同理∠BFB 1＝∠B 1FO .于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°.故选B. 5．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，求|PQ |的最小值． 解 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x ，消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值等于直线x ＋y ＋5＝0与x ＋y ＋12＝0间的距离，即等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A.2或－2B.1或－1C.2D.3答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0.又由Δ＝42(k ＋2)2－16k 2＞0，得k＞－1.则由4k ＋2k 2＝4，得k ＝2.故选C. 2．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y －4＝0C.2x －y ＋4＝0D.2x ＋y ＋4＝0答案 A解析 设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4.又直线l 的斜率存在，∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，∴直线l 的方程为2x －y －4＝0，故选A. 3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值为( )A.4B.－4C.p 2D.－p 2答案 B解析 解法一：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线方程为x ＝my ＋p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y 1y 2＝－p 2.又x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 24.于是y 1y 2x 1x 2＝－p 2p 24＝－4.故选B. 解法二：采用特例法，当直线与x 轴垂直时，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，y 1y 2x 1x 2＝－4.故选B.4．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12B.[－2,2]C.[－1,1]D.[－4,4]答案 C解析 设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋2，消去x 得到关于y 的方程ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点； 当k ≠0时，令Δ＝64－64k 2≥0， 解得－1≤k <0或0<k ≤1. 故－1≤k ≤1.故选C.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D.2答案 D解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.二、填空题6．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2有两个公共点，则a 的取值X 围是________． 答案 a >－14且a ≠0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，得ax 2－x －1＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－12－4×a ×－1>0，解得a >－14且a ≠0.7．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是__________． 答案 (1,1)解析 把直线2x －y －4＝0平移至与抛物线y ＝x 2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x －y ＋b ＝0，联立y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，由题意得Δ＝4＋4b ＝0，b ＝－1.即x 2－2x ＋1＝0，解x ＝1，y ＝1.8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为抛物线C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．答案 2 3解析 由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)， 则x 0＋2＝42，∴x 0＝32， ∴y 20＝42×32＝24， ∴|y 0|＝26，∴S △POF ＝12×2×26＝2 3.三、解答题9．已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点． (1)若|AB |＝10，某某数m 的值； (2)若OA ⊥OB ，某某数m 的值．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.Δ>0解得m <2，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716.(2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．10．已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点，点A ，B 都在抛物线上，且∠AOB ＝90°，证明：直线AB 必过一定点．证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k2k2－2k2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－k y ＝x －2.不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2,0)．。
高中数学 2.4.3 抛物线的简单几何性质(二)学案 新人教A版选修2-1
§2.4.3 抛物线的简单几何性质（二）学习目标：1、掌握抛物线的几何性质；2、掌握直线与抛物线位置关系等；3、在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合一、知识回顾：（见《三维设计》）1、焦半径：2、焦点弦的问题：二、典例分析：〖例1〗：已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k 。
k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？〖例2〗：过抛物线22y x =的顶点作互相垂直的二弦,OA OB 。
（1）求AB 中点M 的轨迹方程；（2）证明：AB 与x 轴的交点为定点。
〖例3〗：已知点()()()11222,8,,,,A B x y C x y 在抛物线22y px =上，ABC ∆的重心与此抛物线的焦点F重合。
（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程。
〖例4〗：线段AB 过点()(),00M m m >，并且点,A B 到x 轴的距离之积为4m ，抛物线C 以x 轴为对称轴且经过,,O A B 三点。
（1）求抛物线C 的方程；（2）当1,2m AM MB ==，时，求直线AB 的方程。
三、课后作业：1、已知抛物线()220y px p =>上有一点()4,M y ，它到焦点F 的距离为5，O 为原点，则OFM S ∆=（ ）A 、1B C 、2 D 、 2、抛物线2y x =上到直线240x y -+=的距离最小的点是（ ）A 、11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、93,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、()1,1D 、()4,2 3、过抛物线2y x =的焦点F 作弦AB ，若()()1122,,,A x y B x y ，则（ ）A 、1214x x ⋅=-B 、1214x x ⋅=C 、1214y y =-D 、1214y y = 4、已知定点()1,0F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，PN PM =，则动点N 的轨迹方程是（ ）A 、24y x =B 、24y x =-C 、22y x =D 、22y x =- 5、对于抛物线24y x =上任一点Q ，点(),0P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是（ ）A 、(),0-∞B 、()0,2C 、[]0,2D 、(],2-∞ 6、抛物线22x y =上离点()0,A a 最近的点恰好是顶点的充要条件（ ）A 、1a ≤B 、0a ≤C 、12a ≤D 、2a ≤7、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线24y x =-所得的弦长AB =则抛物线方程为 。
2018年秋高中数学人教A版选修2-1课件：2.4.2抛物线的简单几何性质 精品
︱AB︱=8
A
B
说明：(1)直线被曲线截得的弦 |AB|＝ 1＋k2 |x1－x2| (2)过抛物线的焦点的弦 |AB|= x1+x2+p
变式练习: 1.斜率为 1 的直线 l 被抛物线 C: y2 4x 截得的弦长
|AB|=8,则直线的 l 的方程是___y_＝__x_－__1_____.
2.直线 l 和抛物线 C: y2 4x 交于 A，B 两点，且线段 AB
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
二、讲授新课：
问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？ y
x F
问题：已知直线 l：y＝kx-1 和抛物线C：
y2＝4x，试判断当 k 为何值时，l与C有：
①一个公共点； k 0 或 k 1
x y m 0
【课堂小结】 判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的 对称轴平行
相交（一个交点）
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
思考：
已知抛物线 y2=4x ,动弦 AB 的长为8，求 AB 中点横 坐标的最小值.
2p越大，抛物线张口越大.
y
y2=2px
A p , p
2
2p
OF
x
B
p , p 2
6、 焦半径
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物
线的焦半径。
y
焦半径公式：
P
|PF|=x0+p/2
OF
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质课时作业新人教A版选修1-1
2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.2 抛物线的简单几何性质课时作业新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.2 抛物线的简单几何性质课时作业新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.2 抛物线的简单几何性质课时作业新人教A版选修1-1的全部内容。
2。
3.2 抛物线的简单几何性质【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的几何性质8直线与抛物线的位置关系1,9抛物线的焦点弦问题2,3，7抛物线中的最值问题4，10,11,13抛物线中的定值问题12综合应用5，6【基础巩固】1.已知直线y=kx—k及抛物线y2=2px(p>0）,则( C )（A)直线与抛物线有一个公共点（B)直线与抛物线有两个公共点(C）直线与抛物线有一个或两个公共点(D)直线与抛物线可能没有公共点解析:因为直线y=kx-k=k（x—1)，所以直线过点（1,0)，又点(1，0）在抛物线y2=2px的内部，所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点。
故选C.2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为（ B )(A）8 （B）16 (C）32 (D)64解析：由题可知抛物线y2=8x的焦点为（2,0），直线的方程为y=x-2，代入y2=8x，得（x-2)2=8x,即x2—12x+4=0,所以x1+x2=12，弦长=x1+x2+p=12+4=16。
2018版高中数学人教版A版选修1-1：2.3.2 抛物线的简单几何性质
与抛物线 没有 公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴 平行或重合 ，
范围
性 对称轴
x≥0，y∈R ____
x轴
x≤0，y∈R ____
x轴
y≥0 x∈R，____ y轴
y≤0 x∈R，____ y轴
质
顶点
离心率
(0,0) ____
e＝1 ____
答案
知识点二
焦点弦
直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2) p p 两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋ ，|BF|＝x2＋ ，故|AB|＝ x1＋x2＋p . 2 2 知识点三 直线与抛物线的位置关系
1 2 A.(4，± 4 ) 1 2 C.(4， 4 )
解析
1 2 B.(8，± 4 ) 1 2 D.(8， 4 )
由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，
因此点P在线段OF的垂直平分线上， 1 1 2 而 F(4，0)，所以点 P 的横坐标为8，代入抛物线方程得 y＝± 4 ， 1 2 故点 P 的坐标为(8，± 4 )，故选 B.
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
解后反思
解析答案
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高中数学选修2-1课时作业12：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质一、选择题1.设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( )A.p 2B.pC.2pD.无法确定2.过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A.6B.8C.9D.103.设抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →的值是( )A.34B.－34C.3D.－34.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，点P 在抛物线上，若|PF |＝5，则点P 的坐标为( ) A.(3,26)B.(3，－26)C.(3,26)或(3，－26)D.(－3,26)或(－3，－26)5.设A ，B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为16，则∠AOB 等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°6.已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点.若|F A |＝2|FB |，则k 等于( )A.13B.23C.23D.2237.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A.x ＝1B.x ＝－1C.x ＝2D.x ＝－2二、填空题8.已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为________.9.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为________.10.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为抛物线C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________.11.已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________________.三、解答题12.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P (32，6)，求抛物线的方程和双曲线的方程.13.已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x ＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程.[答案]精析1.C2.B3.B [由y 2＝2x 得焦点坐标为(12，0)，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，y 2＝2x ，联立得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－12⎝⎛⎭⎫x 2－12＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14]＝14＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12×k 2＋2k 2＋14＝14＋(－1)＝－34.当直线AB 的斜率不存在时，易求得A (12，1)，B (12，－1).所以OA →·OB →＝(12，1)·(12，－1)＝14－1＝－34.综上，OA →·OB →的值是－34.]4.C [设点P 的坐标为(x ，y )，∵|PF |＝5，∴x －(－2)＝5，∴x ＝3.把x ＝3代入方程y 2＝8x ，得y 2＝24，∴y ＝±2 6.∴点P 的坐标为(3，±26).故选C.]5.D [由|OA |＝|OB |，知抛物线上点A ，B 关于y 轴对称，设A ⎝⎛⎭⎫－a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎫a ，a 24，a >0.S △AOB ＝12×2a ×a 24＝16，解得a ＝4，∴△AOB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.] 6.D [设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得，k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4(2－k 2)k 2，x 1x 2＝4. 由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4，∴4(2－k 2)k 2＝5， ∴k 2＝89.∵k >0，∴k ＝223.] 7.B [抛物线的焦点为F (p 2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，代入y 2＝2px 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.] 8.419.－34[解析] ∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上，∴p 2＝2，∴p ＝4.∴抛物线的方程为y 2＝8x ，则焦点F 的坐标为(2,0). 又A (－2,3)，根据斜率公式得k AF ＝0－32＋2＝－34. 10.2 3[解析] 由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2. 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 0＋2＝42，∴x 0＝32，∴y 20＝42×32＝24， ∴|y 0|＝26，∴S △POF ＝12×2×26＝2 3. 11.(1,2)或(1，－2)[解析] ∵抛物线的焦点为F (1,0)，设A (y 204，y 0)， 则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)， 由OA →·AF →＝－4，得y 0＝±2，∴点A 的坐标是(1,2)或(1，－2).12.解 依题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，∵点(32，6)在抛物线上， ∴6＝2p ×32， ∴p ＝2，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线左焦点在抛物线的准线x ＝－1上，∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点(32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1， 解得：a 2＝14，b 2＝34. ∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1. 13.解 设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2ax ，y ＝2x ＋1，消去y ， 得4x 2－(2a －4)x ＋1＝0，设直线y ＝2x ＋1与抛物线交于A ，B 两点，其坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝a －22，x 1x 2＝14. |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5(a －22)2－4×14＝15. 则a 24－a ＝3，a 2－4a －12＝0， 解得a ＝－2或a ＝6.∴y 2＝－4x 或y 2＝12x .。
2019-2020学年高中数学课时作业抛物线的简单几何性质新人教A版选修
12．平面直角坐标系xOy中.双曲线C1： － ＝1(a>0.b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O.A.B. 若△OAB的垂心为C2的焦点.则C1的离心率为________．
解析：由题意.双曲线的渐近线方程为y＝± x.抛物线的焦点坐标为F .不妨设点A在第一象限.由 解得 或 故A .所以kAF＝ ＝ .因为F为△OAB的垂心.所以直线AF与另一条渐近线垂直.故kAF·(－ )＝－1.即 × ＝－1.整理得b2＝ a2.所以c2＝a2＋b2＝ a2.故c＝ a.即e＝ ＝ .
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上.∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条.一条是抛物线的切线.另一条与抛物线的对称轴平行．
答案：B
2．过抛物线x2＝4y的焦点.作直线l交抛物线于P1(x1.y1).P2(x2.y2)两点.若y1＋y2＝6.则|P1P2|＝( )
直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0).
如图过A.B分别作AM⊥l于M.BN⊥l于N.
由|FA|＝2|FB|.
则|AM|＝2|BN|.点B为AP的中点.连接OB.
则|OB|＝ |FA|.
所以|OB|＝|BF|.点B的横坐标为1.
故点B的坐标为(1,2 ).把B点坐标代入直线方程得k的值为 .
所以p＝1.抛物线的方程为y2＝2x.
10．已知抛物线y2＝6x.过点P(4,1)引一弦.使它恰在点P被平分.求这条弦所在的直线方程．
解析：设弦的两个端点为P1(x1.y1).P2(x2.y2)．
∵P1.P2在抛物线上.∴y ＝6x1.y ＝6x2.
2018年秋高中数学 课时分层作业12 抛物线及其标准方程 新人教A版选修2-1
课时分层作业(十二) 抛物线及其标准方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．x 2＝－2yB [由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B ．]2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线的方程为( )【导学号：46342108】A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2xD ．y 2＝±8xD [由题意抛物线的焦点坐标为(2,0)或(－2,0)，因此抛物线方程为y 2＝±8x .] 3．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12B [抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，则点P 到准线的距离为6，即点P 到抛物线焦点的距离是6.]4．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12C [抛物线的准线方程为x ＝－2，则焦点为F (2,0)．从而k AF ＝3－0－2－2＝－34.]5．如图242，南北方向的公路l ，A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 东偏北30°方向23km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路l 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上建一座码头，向A 、B 两地运货物，经测算，从M 到A 、到B 修建费用都为a 万元/km ，那么，修建这条公路的总费用最低是( )万元．图242A ．(2＋3)aB ．2(3＋1)aC ．5aD ．6aC [依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、l 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，只须求出B 到直线l 距离即可，因B 地在A 地东偏北30°方向23km 处，∴B 到点A 的水平距离为3(km)， ∴B 到直线l 距离为：3＋2＝5(km)，那么修建这两条公路的总费用最低为：5a (万元)，故选C ．] 二、填空题6．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．y ＝－18[化方程为标准方程为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上，∴准线方程为y ＝－18.]7．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．4 [抛物线标准方程为x 2＝－4y ，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y ＝1，则|MF |的长度等于点M 到准线y ＝1的距离，从而点M 到两定点F ，E 的距离之和的最小值为点E (1，－3)到直线y ＝1的距离．即最小值为4.]8．对于标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)②④ [抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．]三、解答题9．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，求k 的值．[解] 根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF ⊥x 轴，知点P ，F 的横坐标相等，再根据点P 在曲线y ＝k x上求出k .∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)． 将点P (1,2)的坐标代入y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.10．如图243是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若|CD |＝9米，那么|DE |不超过多少米才能使货船通过拱桥？【导学号：46342109】图243[解] 如图所示，以点O 为原点，过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (9，－8)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． ∵B 点在抛物线上，∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2＝－818y .当x ＝92时，y ＝－2，即|DE |＝8－2＝6.∴|DE |不超过6米才能使货船通过拱桥．[能力提升练]1．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4C ． 2D ．322＋1A [将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1,0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A ．] 2．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16yD [由e 2＝1＋b 2a 2＝4得ba＝3，则双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0抛物线C 2的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则有p22＝2，解得p ＝8故抛物线C 2的方程为x 2＝16y .]3．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．2 [抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y 轴的距离是2.]4．在抛物线y 2＝－12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．(－6,62)或(－6，－62) [设所求点为P (x ，y )，抛物线y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3，由题意知3－x ＝9，即x ＝－6.代入y 2＝－12x ，得y 2＝72，即y ＝±6 2. 因此P (－6,62)或P (－6，－62)．]5．如图244，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M.图244(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标.【导学号：46342110】[解] (1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)，所以k AF ＝43，则FA 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34，则MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－34x ＋2y ＝43(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85y ＝45，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.。
高中数学人教A版选修1-1学业分层测评12 抛物线的简单几何性质 Word版含解析.doc
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在【解析】 由定义，知|AB |＝5＋2＝7，因为|AB |min ＝4，所以这样的直线有且仅有两条．【答案】 B2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．213B ．215C ．217D ．219【解析】 设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由直线AB 斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，代入抛物线方程y 2＝8x 得4(x －1)2＝8x ，整理得x 2－4x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，|AB |＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝516－4＝215.故选B.【答案】 B3．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】 由y 2＝x 得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14，设A 点到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.【答案】 A4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在抛物线上，得y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，②由①－②，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)．又线段AB 的中点的纵坐标为2，即y 1＋y 2＝4，直线AB 的斜率为1，故2p ＝4，p ＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－1.【答案】 B5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若O A →·A F →＝－4，则点A 的坐标为( ) 【导学号：26160061】A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)【解析】 设A (x ，y )，则y 2＝4x ，①O A →＝(x ，y )，A F →＝(1－x ，－y )，O A →·A F →＝x －x 2－y 2＝－4，② 由①②可解得x ＝1，y ＝±2. 【答案】 B二、填空题6．抛物线y 2＝4x 上的点到直线x －y ＋4＝0的最小距离为________．【解析】 可判断直线y ＝x ＋4与抛物线y 2＝4x 相离， 设y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝4x 相切，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4y ＋4m ＝0.∴Δ＝16－16m ＝0，m ＝1.又y ＝x ＋4与y ＝x ＋1的距离d ＝|4－1|2＝322，则所求的最小距离为322. 【答案】 3227．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 21的最小值是________．【解析】 设AB 的方程为x ＝my ＋4，代入y 2＝4x 得y 2－4my －16＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋32， 当m ＝0时，y 21＋y 22最小为32.【答案】 328．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________.【解析】 设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，联立得⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 整理得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0， x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得k 2＝24， 代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0 得12x 2－13x ＋3＝0，解之得x 1＝13，x 2＝34，又|AF |＜|BF |， 故|AF |＝x 1＋12＝56. 【答案】 56 三、解答题9．求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．【解】 如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则设直线为y ＝kx ＋1，代入y 2＝2x 得： k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0，当k ＝0时，直线方程为y ＝1，与抛物线只有一个交点． 当k ≠0时，Δ＝(2k －2)2－4k 2＝0⇒k ＝12.此时，直线方程为y ＝12x＋1.可知，y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程． 故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.10．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【解】 由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2，∴A ，B 两点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，∴|AB |＝2|p |.∵△OAB 的面积为4， ∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线方程为y 2＝±42x .[能力提升]1．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12D ．7 3【解析】 ∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34.联立⎩⎨⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0.∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于|AB |＝x A ＋x B ＋p ，所以|AB |＝212＋32＝12. 【答案】 C2．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，O 为原点，若|OA →|＝|OB →|，且抛物线的焦点恰好为△AOB 的垂心，则直线AB 的方程是( )A ．x ＝pB ．x ＝32p C ．x ＝52pD ．x ＝3p【解析】 ∵|OA →|＝|O B →|， ∴A ，B 关于x 轴对称．设A (x 0，2px 0)，B (x 0，－2px 0)．∵AF ⊥OB ，F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0，∴2px 0x 0－p 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2px 0x 0＝－1， ∴x 0＝52p . 【答案】 C3．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．【解析】 由题意知机器人行进轨迹为以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .设过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)．代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k 2－4)2－4k 4<0，∴k 2>1.∴k >1或k <－1.【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)4．已知直线l ：y ＝12x ＋54，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上．(1)求抛物线C 的方程；(2)设A ，B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若O A →·O B →＝0(O 为原点，A ，B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程.【导学号：26160062】【解】 (1)直线l ：y ＝12x ＋54.①过原点且垂直于l 的直线方程为y ＝－2x .②由①②，得x ＝－12.∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上， ∴－p 2＝－12×2，∴p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x ，y )． 由O A →·O B →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，解得y 1y 2＝－16.③直线ON ：y ＝y 2x 2x ，即y ＝4y 2x .④由③④及y ＝y 1，得点N 的轨迹方程为x ＝－4(y ≠0)．。
高中数学课时作业12抛物线及其标准方程新人教A版选修2_1
课时作业12 抛物线及其标准方程|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．以直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点为焦点的抛物线的方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝12x D ．y 2＝－12x解析：因为焦点为直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点，所以令y ＝0，得x ＝4，则焦点为(4,0)，故所求抛物线的方程为y 2＝16x .答案：A2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1)解析：∵抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－1，∴p2＝1，∴抛物线的焦点坐标为(1,0)．答案：B3．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆解析：由题意知，圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大于1，即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．答案：A4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3 D ．2解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故选C.答案：C5．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2. 若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .答案：D二、填空题(每小题5分，共15分) 6．抛物线y 2＝4x 的准线方程为________．解析：由抛物线的方程y 2＝4x 可知p ＝2，开口向右，可直接得到准线方程是x ＝－1. 答案：x ＝－17．抛物线x ＝14m y 2的焦点坐标是________．解析：方程改写成y 2＝4mx ，得2p ＝4m ， ∴p ＝2m ，即焦点(m,0)． 答案：(m,0)8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝－14x ；(2)5x 2－2y ＝0；(3)y 2＝ax (a >0)．解析：(1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110，准线方程是y ＝－110.(3)由a >0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.10．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5.解析：(1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .|能力提升|(20分钟，40分)11．若动点P 到定点F (1,1)的距离与它到直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，则由题意可得(x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|10，化简、整理，得x －3y ＋2＝0.所以动点P 的轨迹为直线，选D.答案：D12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：1413．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，且点M 到焦点的距离为10，求点M 的坐标．解析：由抛物线方程y 2＝－2px (p >0)，得焦点坐标为F (－p 2，0)，准线方程x ＝p2.设点M到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝－4x .设点M 的纵坐标为y 0，由点M (－9，y 0)在抛物线上，得y 0＝±6，故点M 的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．14．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)解析：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．依题意有P ′(1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12.故得抛物线方程为x 2＝－y .点B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2， 即|AB |＝2，则|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2) m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.。
2018年秋人教A版高二数学选修1-1课件：第二章 2.3.2 抛物线的简单几何性质第2课时 (共79张PPT)
成功就是把复杂的问题简单化，然后狠狠去做。 学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。 竞争，其实就是一种变相的友谊，在对手的帮助下提高你自己，害怕竞争的人已经输给了对手，注定难取得大的成就。 做最好的今天，回顾最好的昨天，迎接最美好的明天。 不悲伤，定会快乐。不犹豫，定会坚持。 别拿自己的无知说成是别人的愚昧！ 没有人能替你承受痛苦，也没有人能抢走你的坚强。 上帝从不埋怨人们的愚昧，人们却埋怨上帝的不公。 努力耕耘，少问收获。 哪怕是最没有希望的事情，只要有一个勇敢者去坚持做，到最后就会拥有希望。 行动不一定带来快乐，而无行动则决无快乐。 你一定不要做丑恶的人，但是世态炎凉，你也别太善良！马善被人骑，人善被人欺，过于善良就是一种懦弱和无能！ 知道自己目的地的人，才是旅行得最远的人。 勇敢地迎接逆境，即使不能实现最初的梦想，也会打开另一扇梦想的大门。 本来无望的事，大胆尝试，往往能成功。 只有品味了痛苦，才能珍视曾经忽略的快乐；只有领略了平凡，才会收藏当初丢弃的幸福。 骄傲是断了引线的风筝稍纵即逝。 如果你看到面前的阴影，别怕，那是因为你的背后有阳光。 眼中闪烁的泪光，也将化作永不妥协的坚强。 现实会告诉你，不努力就பைடு நூலகம்被生活给踩死。无需找什么借口，一无所有，就是拼的理由。
高中数学人教A版选修-优化练习抛物线的简单几何性质含解析
(0,2)，则 C 的方程为( )
A．y2＝4x 或 y2＝8x
B．y2＝2x 或 y2＝8x
C．y2＝4x 或 y2＝16x
D．y2＝2x 或 y2＝16x
( ) 解析：由已知得抛物线的焦点 F p，0 ，设点 A(0,2)，抛物线上点 M(x0，y0)，则A→F＝
( ) ( ) p2，－2 ， A→M＝ 2yp20，y0－2 .由 已 知2得 ， A→F·A→M＝ 0， 即 y20－ 8y0＋ 16＝ 0， 因 而 y0＝ 4，
x－1 2＋y2－x＝1(x>0)．
化简得 y2＝4x(x>0)．
(2)假设抛物线 y2＝4x(x>0)上存在不同两点 A、B 关于直线 y＝x＋m 对称，则可设 AB 的方程
为 y＝－x＋b 代入 y2＝4x 并整理得 x2－(2b＋4)x＋b2＝0，
则 Δ＝(2b＋4)2－4b2>0 且 x≠0，即 b＋1>0，且 b≠0.
又 S△ABP＝12|AB|·d，
则 d＝2·S|A△BA| BP，
2|a－5 2|＝23×5 9⇒|a－2|＝3⇒a＝5 或 a＝－1，
故点 P 的坐标为(5,0)或(－1,0)．
[B 组 能力提升]
1．若抛物线 y2＝x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P 的坐标为( )
( ) A. 14， ±
m，过点 B 作 BB1 ⊥m，垂足分别为 A1 ，B1 ，过点 B 作 BD⊥A1A 于点 D，设|AF|
＝2|BF|＝2r，则|AA1|＝2|BB1|＝2|A1D|＝2r，
所以|AB|＝3r，|AD|＝r，则|BD|＝2 2r.
所以 k＝tan ∠BAD＝||ABDD||＝2 2.选 C. 答案：C
高中数学人教A版选修2-1课时训练12抛物线的简单几何性质.docx
课时训练12抛物线的简单几何性质一、综合题1.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( ).A.x2=±3yB.y2=±6xC.x2=±12yD.x2=±6y答案:C解析:依题意知抛物线方程为x2=±2py(p>0)的形式,又=3,∴p=6,2p=12,故方程为x2=±12y.2.经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的值是( ).A.4B.-4C.p2D.-p2答案:B解析:采用特例法,当直线与x轴垂直时,易得A,B,∴=-4.3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F点作直线交抛物线C于A,B两点,则△AOB的最小面积是( ).A. B.2 C.4 D.1答案:B解析:设直线AB的倾斜角为θ,由弦长公式得|AB|=,又∵原点O到直线AB的距离d=sin θ,∴S=sinθ· .△AOB∴当sinθ=1时,(S△AOB)min=2,故选B.4.抛物线y=x2上与直线2x-y=4距离最近的点的坐标是( ).A. B.(1,1)C. D.(2,4)答案:B解析:设抛物线上的点(x0,y0),则它到直线2x-y=4的距离d=,所以当x0=1,y0==1时,d取最小值.5.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,灯口直径为60cm,灯深40cm,则光源到反射镜顶点的距离是( ).A.11.25cmB.5.625cmC.20cmD.10cm答案:B解析:如图建立直角坐标系,则A(40,30).设抛物线方程为y2=2px(p>0),将点(40,30)代入得p=,所以=5.625.6.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方程是( ).A.x=pB.x=3pC.x=pD.x=p答案:D解析:由|OA|=|OB|,设点A,B的坐标分别为A(x0,y0),B(x0,-y0),满足k FA·k OB=-1,即·=-1.∴x0.又=2px0,∴x0=p.7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).若x1+x2=6,则|AB|=.答案:8解析:如图,作AA'⊥l,BB'⊥l,垂足分别为A',B'.由抛物线定义知|AF|=|AA'|=x1+,|BF|=|BB'|=x2+.∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=6+2=8.8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B.若,则p=.答案:2解析:过B作准线的垂线,垂足为B1,设l与x轴交于M1,则易得MM1⊥l.由AM=MB得BB1=2MM1=AM=BM,所以点M恰为抛物线的焦点,即=1,p=2.9.过抛物线x2=4y上不同两点A,B分别作抛物线的切线相交于P点,=0.(1)求点P的轨迹方程;(2)已知点F(0,1),是否存在实数λ,使得+λ()2=0?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解:(1)∵直线PA,PB分别与抛物线相切,且·=0,∴直线PA,PB的斜率均存在且不为0,且PA⊥PB.设直线PA的方程是y=kx+m(k,m∈R,k≠0),由得x2-4kx-4m=0.∴Δ=16k2+16m=0,即m=-k2,即直线PA的方程是y=kx-k2.同理可得直线PB的方程是y=-x-.由故点P的轨迹方程是y=-1.(2)由(1)得A(2k,k2),B,P,∴=(2k,k2-1),,∴·=-4+(k2-1)=-2-,()2=+4=2+.故存在λ=1,使得·+λ()2=0.10.已知抛物线y2=4x的准线与x轴交于M点,过M点作直线与抛物线交于A,B两点,若AB的垂直平分线与x轴交于点E(x,0).(1)求x0的取值范围;(2)若△ABE是等边三角形,求x0的值.解:(1)设过M点的直线l:y=k(x+1)(k≠0),将l的方程代入y2=4x,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,①所以Δ=4(k2-2)2-4k4>0.解得-1<k<1且k≠0.设方程①的两根x1,x2分别为A,B两点的横坐标,则由根与系数的关系得x1+x2=, 所以y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2+2)=.则线段AB的中点坐标为,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=-.令y=0,得x0=+1>3,即x0>3.(2)因为△ABE为等边三角形,所以△ABE的高d=|AB|.因为点E到直线AB的距离为d=,|AB|=|x1-x2|=,所以.解得k=±,所以x0=+1=.。
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课时分层作业(十二) 抛物线的简单几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．方程y ＝－2x 所表示曲线的形状是( )D [方程y ＝－2x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy <0故选D.]2．过抛物线C ：y 2＝12x 的焦点作直线l 交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．16B ．12C ．10D ．8B [由题意知p ＝6，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝12.]3．过点(2,4)的直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( )【导学号：97792106】A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条B [点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x 轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2B [易知抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，代入y 2＝2px 得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.]5．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16B [设P (x 0，y 0)，则A (－2，y 0)，又F (2,0) 所以y 0－2－2＝－3，即y 0＝4 3.由y 20＝8x 0得8x 0＝48，所以x 0＝6. 从而|PF |＝6＋2＝8.] 二、填空题6．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.0或1 [当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.]7．2017设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________________．(x ＋1)2＋(y －3)2＝1 [由y 2＝4x 可得点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1.由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切(如图)，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠FAC ＝120°，所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3，所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.]8．抛物线y 2＝4x 上的点到直线x －y ＋4＝0的最小距离为________.【导学号：97792107】322[设与直线x －y ＋4＝0平行且与抛物线y 2＝4x 相切的直线方程为x －y ＋m ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0y 2＝4x 得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0则Δ＝(2m －4)2－4m 2＝0，解得m ＝1 即直线方程为x －y ＋1＝0直线x －y ＋4＝0与直线x －y ＋1＝0的距离为d ＝4－112＋－2＝322. 即抛物线y 2＝4x 上的点到直线x －y ＋4＝0的最小距离为322.]三、解答题9．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为6.(1)求抛物线C 的方程．(2)若抛物线C 与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．[解] (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px ，其准线方程为x ＝－p2，因为P (4，m )到焦点的距离等于P 到其准线的距离，所以4＋p2＝6，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，消去y ，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.因为直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同的两点A ，B ，则有k ≠0，Δ＝64(k ＋1)>0， 解得k >－1且k ≠0. 又x 1＋x 22＝2k ＋4k2＝2， 解得k ＝2或k ＝－1(舍去)，所以k 的值为2.10．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)．求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；(2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. 【导学号：97792108】[证明] (1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，可得y 2－2pmy －p 2＝0，y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm ，∴y 21＋y 22＝2p (x 1＋x 2)＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝4p 2m 2＋2p 2，∴x 1＋x 2＝2pm 2＋p ， ∴θ＝90°时，m ＝0，x 1＋x 2＝p ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＝2psin 2θ；θ≠90°时，m ＝1tan θ，x 1＋x 2＝2p tan 2θ＋p ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p tan 2θ＋2p ＝2psin 2θ.∴|AB |＝2psin 2θ.(2)由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝y 1y 224p2＝p 24；(3)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2x 1＋x 2＋p＝2p. [能力提升练]1．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( ) A.15 B.14 C.13D.12C [因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B |＝13，故选C.] 2．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3C [抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立得方程组⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方， ∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)． ∴|NF |＝＋2＋－232＝4，|MF |＝|MN |＝＋2＋3－232＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3. 故选C.]3．已知点A (2,0)，B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·AP →取得最小值时的点P 的坐标是________．(0,0) [设P (x 0，y 0)，则AP →＝(x 0－2，y 0)， AP →＝(x 0－4，y 0)，所以AP →·AP →＝(x 0－2)(x 0－4)＋y 20，又y 20＝－4x 0， 所以AP →·AP →＝x 20－10x 0＋8＝(x 0－5)2－17， 因为x 0≤0，所以当x 0＝0时，AP →·AP →取得最小值． 此时点P 的坐标为(0,0)．]4．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是______________.【导学号：97792109】32 [y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，则y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)若过点P (4,0)的直线垂直于x 轴，则直线方程为x ＝4， 此时x 1＋x 2＝8，y 21＋y 22＝32，若过点P (4,0)的直线存在斜率，则设直线方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －y 2＝4x得k 2x 2－(8k 2＋4)x ＋16k 2＝0，则x 1＋x 2＝8＋4k2>8，此时y 21＋y 22>32因此y 21＋y 22的最小值为32.]5．已知点A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB . (1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积． (2)求证：直线AB 过定点．[解] (1)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2. 因为OA ⊥OB ，所以k OA ·k OB ＝－1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0.因为y 1≠0，y 2≠0，所以y 1y 2＝－4p 2，所以x 1x 2＝4p 2.(2)证明：因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2，所以k AB ＝2p y 1＋y 2，故直线AB 的方程为y －y 1＝2py 1＋y 2(x －x 1)， 所以y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2， 即y ＝2px y 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2.因为y 21＝2px 1，y 1y 2＝－4p 2，代入整理得y ＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2，所以y ＝2py 1＋y 2(x －2p )， 即直线AB 过定点(2p,0).。