46空间向量及其运算ppt

1→ 1 → D1C1＝a＋c＋ AB＝a＋c＋ b. 2 2 1→ → → → → (2)∵N 是 BC 的中点，∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋ BC 2 1→ 1 ＝－a＋b＋ AD＝－a＋b＋ c. 2 2
→ → → 1→ → (3)∵M 是 AA1 的中点，∴MP＝MA＋AP＝ A1A＋AP 2 1 1 1 1 ＝－ a＋a＋c＋2b＝ a＋ b＋c， 2 2 2 → → → 1→ → 又NC1＝NC＋CC1＝ BC＋AA1 2 1→ → 1 ＝ AD＋AA1＝ c＋a， 2 2 1 → → 1 1 ∴MP＋NC1＝2a＋2b＋c＋a＋2c 3 1 3 ＝ a＋ b＋ c. 2 2 2
平行向量 (共线向量)
方向相同或相反的非零向量
0 与任一向量共线.
常用 e 表示 记作 a b 记作 a b 记作 a ∥b
要点梳理
1. 空间向量的有关概念及表示法
平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算
具有大小和方向的量 加法:三角形法则或 平行四边形法则
ab
a
空间向量
具有大小和方向的量
b
b ab
a
a
ka ( k 0)
ka ( k 0)
减法:三角形法则 数乘:ka, k为正数,负数,零
b
a b
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法交换律 a b b a 加法结合律 加法结合律 ( a b ) c a (b c ) (a b ) c a (b c )
若A(, y1 ), B( x2 , y2 ) x1 则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ); | AB | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 , C ( x , y )是AB的中点,则 x1 x2 x 2 y y1 y2 2
变式训练 1
→ 1→ → → 在例 1 的条件下，若AE＝ EC，A1F＝2FD， 2 → 试用 a，b，c 表示EF.
→ → → 解 如图，连结 AF，则EF＝EA＋AF. → → → 由已知 ABCD 是平行四边形，故AC＝AB＋AD＝b＋c， → → → A1D＝A1A＋AD＝－a＋c. → → → → → 由已知，A1F＝2FD，∴AF＝AD＋DF 1 1 → → → 1→ ＝AD－FD＝AD－ A1D＝c－ (c－a)＝ (a＋2c)， 3 3 3
1→ 1 1 → → → → 又EA＝－ AC＝－ (b＋c)，∴EF＝EA＋AF＝－ (b＋c) 3 3 3 1 1 ＋ (a＋2c)＝ (a－b＋c)． 3 3
共线、共面向量定理的应用
例 2 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点， (1)求证：E、F、G、H 四点共面； (2)求证：BD∥平面 EFGH； (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任 → 1 → → → → 一点 O，有OM＝ (OA＋OB＋OC＋OD)． 4 → → → → 1 → → 证明 (1)连结 BG，则EG＝EB＋BG＝EB＋ (BC＋BD) 2 → → → → → ＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，
2 2 2 (10) | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 ) .
M=(x,y,z),若M是线段AB的中点， x1 x2 y1 y2 z1 z2 (11) x ,y ,z . 2 2 2
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
(6)a b a1b1 a2b2 a3b3 0.
2 2 2 (7) | a | a a a1 a2 a3 ;
(2)a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ); (3) a ( a1 , a2 , a3 )( R); (4)a b a1b1 a2b2 a3b3 ; (5)a / / b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R);
数乘分配律
a
k(a b ) ka kb
数乘分配律
k(a b ) ka kb
要点梳理
2. 空间向量的有关定理及推论 共线向量 共面向量
p, a , b 共面 p xa yb (a , b不共线) P, A, B, AP xAB yAC
变式训练 2
已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M → 1 → → → 满足OM＝ (OA＋OB＋OC)． 3 → → → (1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内． → → → → 解 (1)由已知OA＋OB＋OC＝3OM， → → → → → → ∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，
7.数量积的主要性质: (设a , b是两个非零向量)
(1) a b a b 0; 2 2 (2) | a | a a a
(判断两个向量是否垂直)
(3) cos a b ; |a ||b| (4) | a b |≤| a | | b |
a1b1 a2b2 a3b3 a b (8)cos a , b ; | a || b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
8.向量的直角坐标运算.
设 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), 则 AB OB OA ( x2 , y2 , z2 ) ( x1 , y1 , z1 ) (9) AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ).
空间向量及其运算
要点梳理
1. 空间向量的有关概念及表示法 定义 向量
具有大小和方向的量 向量的大小 长度为零的向量 模为 1 的向量
向量的模 零向量
单位向量
记作 0
| a |,| AB |
表示法 a, AB
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量
9. 空间向量的坐标计算 平面向量
平面向量的坐标运算： a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ( a b ( x1 x2 , y1 y2 ); a ( x1 , y1 ), R; a b x1 x2 y1 y2 .
空间向量的线性运算
例 1 如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 → → → 中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P 分 别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表 示以下各向量： → → → → (1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1. → → → → → 1 解 (1)∵P 是 C1D1 的中点，∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋ 2
空间向量
空间向量的坐标运算： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ); a ( x1 , y1 , z1 ), R; a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 . 若x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) A( 则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ); | AB | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2 x x2 x 1 2 y y2 C ( x , y )是AB的中点，则 y 1 2 z z1 z2 2
→ → → → → 即MA＝BM＋CM＝－MB－MC， → → → ∴MA，MB，MC共面． → → → (2)由(1)知，MA，MB，MC共面且基线过同一点 M，
a b | a || b | cos
要点梳理
b 6.数量积的运算律：(1) a b a (2) ( a ) b (a b ) a ( b ) (3) (a b ) c a c b c
(A, B, C三点不共线)
运 用
判断三点共线,或两直线平行 判断四点共面,或直线平行于平面
要点梳理
1.数量积的定义： 2.向量的夹角定义：OA a , OB b , 则AOB a与b 共起点 3.向量的垂直： 90 a b 4.投影： | b | cos 叫做b 在a方向上的投影 . 5.数量积的几何意义： 数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与b 在 a 的方向上的投影 | b | cos 的乘积.
2 | a | a a a
(求向量的长度(模)的依据)
(求两个向量的夹角) (向量不等式)
8.向量的直角坐标运算.
设 a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ),则 (1)a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 );
( m n 1)
定 义
向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,叫 行或重合 做共面向量.
C四点 OP OA xAB yAC
OP xOA yOB zOC
( xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y z 1)
共面
定 a / / b R, a b (b 0) 理 AP A, P, B AB OP 推 三点 OA AB 共线 OP mOA nOB 论