广东省深圳市宝安区2016_2017学年高二数学下学期期中试题理(含答案)

深圳市宝安区2016～2017学年高二下学期期中考试数学（理科）试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分。

全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。

2、第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上。

3、考试结束，监考人员将答题纸收回。

第Ⅰ卷 （本卷共计60 分）一、选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分） 1．设i z +=1（i 是虚数单位），则=+z z2（ ） A ．i 22-B ．i 22+C ．i --3D ．i +32、设a b c ，，都是正数，则三个数111a b c b c a+++，，（ ）Ａ．都大于2 Ｂ．至少有一个大于2 Ｃ．至少有一个不小于2 Ｄ．至少有一个不大于23、用数学归纳法证明1+a +a 2+…+a n+1=aa n --+112（a ≠1，n ∈N *），在验证n =1成立时，左边计算所得的项是（A ）1 （B ）1+a （C ）1+a +a 2（D ）1+a +a 2+a 34、函数x e x f xln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是A.)1(2-=x e yB.1-=ex yC. e x y -=D. )1(-=x e y5、“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形6、已知函数)(()(x f x f x y ''⋅= ))(的导函数是函数x f 则下面四个图象中)(x f y =的图象大致是7．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －1≤x<0 cos x 0≤x≤π2 的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A .32B ．1C ．2D .128．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1，32) C ．[1,2)D ．[32，2)9、由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是 ( )A ．ʃ40(x 2－4)d x B. |ʃ40(x 2－4)d x | C ．ʃ40|x 2－4|d xD ．ʃ20(x 2－4)d x ＋ʃ42(x 2－4)d x10、在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c 的值是( )A. 1B. 2C.3D.411、函数⎩⎨⎧≤≤+-<≤-+-=ax x x x x x f 0,2301,1)1(log )(32的值域是[0，2]，则实数a 的范围是（ ）A ．[0，2]B ．[1，2]C ．[1．2] 12、已知函数()(1)ln ()af x x a x a x=--+∈R ．至少存在一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x > 则a 的取值范围是（ ） A ．)11,(--∞e B ．)11,11(-+-e e C ．)11,0[+e D ．)11,(+-∞e第Ⅱ卷 （本卷共计90分）二、填空题（每小题5分，共计20分）13、已知复数 z 满足(1)1z i +=+，则||z =14、设曲线2x y =在点)4,2(处的切线与曲线xy 1=（0>x ）上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．15、已知t>0，若⎠⎛0t dx x 24-＝2332+π，则t ＝______.16、类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：d a a n n =++1（N n n ∈≥,1+,d 为常数,称为公和），已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为____________．这个数列的前n 项和n S 的计算公式为______________________．三、解答题（共6小题，计70分）17、（本小题10分）若下列方程： 03442=+--a ax x ，22(1)0x a x a +-+=， 2220x ax a +-=，至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．18、（本小题12分）用数学归纳法证明不等式)(),11(2131211+∈-+>+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++N n n n19、（本小题12分）已知函数x x a x f ln 2)1)(2()(---= （1）当1=a 时,求)(x f 的单调区间； （2）求证：当0=a 时，0)(≥x f20、（本小题12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围21、（本小题12分）已知函数f(x)＝2x＋a ln x－2(a>0).(1)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)若对∀x∈(0，＋∞)都有f(x)>2(a－1)成立，试求实数a的取值范围；(3)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R)，当a＝1时，函数g(x)在区间[e－1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.22、已知函数f(x)＝x＋1e x(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋1e x，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围．2016－2017学年第二学期期中考试高二数学（理科）答案与解析一、选择题12、解析：至少存在一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立”的否定是“(0,)x ∀∈+∞，()f x x ≤恒成立”。

即可转化为()(1)ln af x x a x x x=--+≤亦即()1ln 0a a x x ++≥恒成立。

令()()1ln x a a x x ϕ=++，则只需()0x ϕ≥在()0,x ∈+∞恒成立即可， ∵()()()11ln x a x ϕ'=++ 当10a +>时，在10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0x ϕ<，在1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0x ϕ>∴()x ϕ的最小值为1e ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由10e ϕ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得11a e ≥-， ∴当11a e ≥-时()f x x ≤恒成立， 当10a +=时，()1x ϕ=-，()0x ϕ≥在()0,x ∈+∞不能恒成立，当10a +<时，取,1=x 有,1)1(-<=a ϕ ()0x ϕ≥在()0,x ∈+∞不能恒成立，∴当11a e ≥-时，(0,)x ∀∈+∞，()f x x ≤恒成立 综上，当11a e <-时，至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立。

二、填空题3、)21,2( 15、3 16、318=a ；=n S ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥=∈≥-=- N k k k n n N k k k n n ,1,2,25,1,12,215三、解答题 17、（本小题10分）．解：设三个方程均无实根，则有2122223164(43)0(1)4044(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩，，，解得312211320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪<->⎨⎪-<<⎪⎪⎩，，或，，即312a -<<-． 所以当1a -≥或32a -≤时，三个方程至少有一个方程有实根．18、（本小题12分） 证明：①当时，左端，右端n ===+-=-112111221()() 显然，左端＞右端；所以n ＝1时，原不等式成立。

②假设当n ＝k （k ∈N ）时不等式正确，即：112131211++++>+-…k k ()那么当时n k =+11121311121111++++++>+-++…k k k k ()又211112111()(())k k k +-++-++-1)2)(1(232+++-+=k k k k 01)2)(1(2)2(22>+++-+>k k k k∴…112131112111++++++>++-k k k [()]即n ＝k ＋1时，不等式也成立由①、②可知，对任意n ∈N +，不等式都成立。

19、（本小题12分）解：（1）)(x f 在)2,0(上单调递减，在),2(∞+上单调递增 (2) 证明0)(min ≥x f ，即可。

20、（本小题12分）解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-；（2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=+ 为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或21、（本小题12分）解 (1)直线y ＝x ＋2的斜率为1，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 2＋a x，∴f ′(1)＝－212＋a 1＝－1，解得a ＝1， ∴f (x )＝2x ＋ln x －2，f ′(x )＝x －2x 2，由f ′(x )>0得x >2，由f ′(x )<0得0<x <2，∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2).(2)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x 2(a >0)，由f ′(x )>0得x >2a ，由f ′(x )<0得0<x <2a，∴f (x )的单调递增区间为(2a ，＋∞)，单调递减区间为(0，2a)，当x ＝2a 时，f (x )取极小值， 也就是最小值f (x )min ＝f (2a).∵对∀x ∈(0，＋∞)都有f (x )>2(a －1)成立，∴f (2a )>2(a －1)，即22a＋a ln 2a －2>2(a －1)，∴a ln 2a >a ，ln 2a >1，0<a <2e，∴实数a 的取值范围为(0，2e).(3)当a ＝1时，g (x )＝2x ＋ln x ＋x －2－b (x >0)，g ′(x )＝x 2＋x －2x2，由g ′(x )>0得x >1， 由g ′(x )<0得0<x <1. ∴g (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)， 当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1). ∵函数g (x )在区间[e －1，e]上有两个零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧g e －1≥0，g e ≥0，g 1 <0，解得1<b ≤2e＋e －1.∴b 的取值范围是(1，2e ＋e －1].22、（本小题12分）解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min <[φ(x )]max . ∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋ 1－t x ＋1ex ，∴φ′(x )＝－x 2＋ 1＋t x －tex＝－ x －t x －1ex. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1；②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0； ③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减，若t ∈(t,1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t,1)上单调递增，∴2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}， 即2·t ＋1e t<max{1，3－t e }．(*)由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et 在[0,1]上单调递减， 故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e，∴不等式(*)无解． 综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立．。